锐角三角函数2

锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c2、如以下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 那么∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得B A 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 对边邻边Cαsin0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan 0 33 1 3 不存在 αcot不存在3133 06、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。

1、解直角三角形的定义：边和角〔两个，其中必有一边〕→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量防止使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角； (2)俯角：视线在水平线下方的角。

(3)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即h i l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i lα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

:i h l=hl α如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

一、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时：1.正弦值随着角度的增大而增大；2.余弦值随着角度的增大而减小；3.正切值随着角度的增大而增大。

4.锐角三角函数值都是正值.5.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；6.正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；7.正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

8.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0；当角度在0°<A0, cotA>0。

二、锐角三角函数：锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。

初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。

所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角的三角函数。

初中研究的锐角的三角函数为：正弦（sin），余弦（cos），正切（tan）。

正弦：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；余弦：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；正切：在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即，锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。

三、锐角三角函数的关系式：同角三角函数基本关系式tanα·cotα=1sin2α·cos2α=1cos2α·sin2α=1sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα(sinα)2+(cosα)2=11+tanα=secα1+cotα=cscα诱导公式sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotαsin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanαsin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotαsin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα(其中k∈Z)二倍角、三倍角的正弦、余弦和正切公式Sin(2α)=2sinαcosαCos(2α)=（cosα）2－(sinα)2=2(cosα)2－1=1－2(sinα)2Tan(2α)=2tanα/(1tanα)sin(3α)=3sinα4sin3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°α)cos(3α)=4cos3α3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°α)tan(3α)=(3tanαtan3α)/(13tan2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3α)和差化积、积化和差公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(αβ)/2]sinαsinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(αβ)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(αβ)/2] cosαcosβ=2sin[(α+β)/2]·sin[(αβ)/2] sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α－β）] sinαsinβ=[1][cos（α+β）cos（αβ）]/2 cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（αβ）]/2 sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（αβ）]/2 cosαsinβ=[sin（α+β）sin（αβ）]/2。

三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。

在物理学中，三角函数也是常用的工具。

目录锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin&sup2;a)+(1-2sin&sup2;a)sina=3sina-4sin&sup3;acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos&sup2;a-1)cosa-2(1-sin&sup2;a)cosa=4cos&sup3;a-3cosasin3a=3sina-4sin&sup3;a=4sina(3/4-sin&sup2;a)=4sina[(√3/2)&sup2;-sin&sup2;a]=4sina(sin&sup2;60°-sin&sup2;a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos&sup3;a-3cosa=4cosa(cos&sup2;a-3/4)=4cosa[cos&sup2;a-(√3/2)&sup2;]=4cosa(cos&sup2;a-cos&sup2;30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-s inα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-s inα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·t anγ-tanγ·tanα)两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］。

锐角三角函数知识点锐角三角函数：一、基本概念：1、什么是锐角三角函数：锐角三角函数是一类特殊的函数，涉及到角度和角度对应的三角函数值，用于计算平面向量在多边形中和求解三角形的面积。

2、锐角三角函数的定义：锐角三角函数是基于角度θ，从而定义的三角函数值。

一般情况下，它用半圆线直叙指函数如下所示：sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ，cscθ。

3、锐角三角函数的基本关系：cosθ= sin (π/2-θ)；sinθ= cos (π/2-θ)；tanθ=cot (π/2-θ)；cotθ=tan (π/2-θ)；secθ=csc(π/2-θ)；cscθ=sec (π/2-θ)。

二、圆周角：1、什么是圆周角：圆周角是指以圆等分线在a轴上的量度，即由圆心和两个点确定的弧的长度。

圆周角定义在一个圆的周围，与半径的长度有关，可以用角度μ来表示。

2、单位：圆周角的单位是弧度rad，又称为radian，表示当一个圆的半径为1时，圆周角的长度。

三、锐角的余弦定理：1、锐角余弦定理是用弦和角定义的三角形问题，可以求解共有三角形A、B、C三个锐角所对应边长a、b、c满足关系：a²=b²+c²-2bc cosA；b²=a²+c²-2ac cosB；c²=a²+b²-2ab cosC。

2、此外，锐角余弦定理也可以利用三角形所有边长求解A、B、C三个锐角所对应的角度值，记为A=cos-1[(b²+c²-a²)/2bc]；B=cos-1[(a²+c²-b²)/2ac]；C=cos-1[(a²+b²-c²)/2ab]。

四、锐角的正弦定理：1、锐角正弦定理是求解三角形的已知一边和两个对边角的问题，满足条件如下：a=b sinA/sinB；b=a sinB/sinA；c=a sinC/sinA，c=bsinC/sinB。

28.1 锐角三角函数第2课时一、教学目标【知识与技能】1.通过类比正弦函数，理解余弦函数、正切函数的定义，进而得到锐角三角函数的概念；2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.【情感态度与价值观】经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力.二、课型新授课三、课时第2课时共4课时四、教学重难点【教学重点】理解余弦、正切概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边的比值、直角边之比是固定值.【教学难点】熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔.六、教学过程(一)导入新课（出示课件2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就确定，此时，其他边之间的比是否也确定呢？(二)探索新知知识点一余弦的定义如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则AC DF=成立吗？为什么？（出示课件4）AB DE学生思考后，师生共同解答：（出示课件5）∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.从而sinB=sinE，因此AC DF=.AB DE教师归纳：（出示课件6）在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=.A b c∠=的邻边斜边教师强调：从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三角函数之间的关系：对于任意锐角α，有cos α=sin(90°－α),或sin α=cos(90°－α).（出示课件7）出示课件8，教师对照正弦、余弦的定义，对两个概念注意事项加以强调：1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA 、cosA 是一个比值（数值）.3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.出示课件9，学生独立思考后口答，教师订正.知识点二 正切的定义如图，△ABC 和△DEF 都是直角三角形，其中∠A=∠D ，∠C=∠F=90°，则BC EF AC DF=成立吗？为什么？（出示课件10）学生自主证明，一生板演，教师巡视，并用多媒体展示. 证明：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D ，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF. ∴BC AC EF DF =， 即BC EF AC DF=. 教师问：当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？（出示课件11）学生独立思考后，师生共同总结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值.（出示课件12）如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA.即tanA=a .A A b∠=∠的对边的邻边出示课件14，教师问：如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？学生答：互为倒数.教师问：锐角A 的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？学生答：锐角A 的正切值可以等于1；当a=b 时；可以大于1，当a ＞b 时.出示课件15，学生独立思考后口答，教师订正.知识点三 锐角三角函数的定义出示课件16：锐角A 的正弦、余弦、和正切统称∠A 的锐角三角函数.考点1 已知直角三角形两边求锐角三角函数的值.例 如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA ，cosA ，tanA 的值.（出示课件17）学生思考后，师生共同解答.解：由勾股定理,得2222=106AC AB BC --， 因此，63sin ==105BC A AB =， 84cos 105AC A AB ,===63tan ==.84BC A AC = 师生共同总结：已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函数值；当所涉及的边是未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函数值．（出示课件18）出示课件19，学生独立思考后口答，教师订正.考点2 已知一边及一锐角三角函数值求函数值.例 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，3sin 5A =，求cosA,tanB 的值．学生独立思考后，师生共同解答.解：∵在Rt △ABC 中，sin BC A AB=， ∴5610sin 3BC AB A =⨯==. 又22221068AC AB BC =-=-=， ∴4cos 5AC A AB ==，4tan .3AC B BC == 教师强调：在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值.出示课件21，学生独立思考后一生板演，教师订正.(三) 课堂练习（出示课件22-28）练习课件22-28相应题目，约用时15分钟。