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7刚体力学

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理论力学7—刚体的平面运动

理论力学7—刚体的平面运动


A
[vB ]AB [v A ]AB
平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影( 大小和方向)相等。这就是速度投影定理。
例7-3 用速度投影定理解例1。 解：由速度投影定理得 vB
[vB ]AB [v A ]AB

B
vA cos30 vB cos60
解得

30°
vA
A
vB 10 3 cm s
0
O
I
vCA与vA方向一致且相等， 点C的速度
vC vA vCA 2vA
7.2 平面图形上各点的速度
7.2.2 投影法
vB v A vBA
vBA
vB vA
B
将两边同时向AB方向投影:
[vB ]AAB，因 此[vBA]AB=0。于是
M
x
xO f1 (t ), yO f2 (t ), f3 (t )
这就是刚体的平面运动方程。
运动分解
y S O' O M

x
如果O'位置不动，则平面图形此时绕轴O'做定 轴转动； 如果O'M方位不变，则平面图形做平移。因此刚 体的平面运动包含了平移和定轴转动两种情况。 但能不能说平移和定轴转动是刚体平面运动的特 殊情况呢? 不能！
M
7.1 刚体平面运动的描述 而垂直于图形S的任 一 条 直 线 A1A2 必 然 作平移。 A1A2 的 运 动 可 用 其与图形S的交 点A的运动来代 替。无数的点A 构成了平面S。
A1 N A S
A2
M
因此，刚体的平面运动可以简化为平面图 形S在其自身平面内的运动。
刚体的平面运动方程 平面图形S在其平面上的位 y 置完全可由图形内任意线段 S O'M的位置来确定，而要确 定此线段的位置，只需确定 O' 线段上任一点O'的位置和线 段O'M与固定坐标轴Ox间的 O 夹角 即可。点O'的坐标和 角 都是时间t的函数，即

第七章 刚体动力学(讲义)

第七章 刚体动力学(讲义)

MO = ∑ MO ( Fi ) = ∑ (ri × Fi )
i =1 i =1
n
n
注意，主矩的的计算与参考点的选取有关。例如，将参考点由 O 改成 O′ ，于是
MO = ∑ ri × Fi = ∑
i =1 i =1
n
n
(ri′ + OO′) × Fi = ∑ (ri′ × Fi ) + OO′ × ∑ Fi
R = ∑ Fi
i =1
n
这是个自由矢量，它只给出矢量的大小和方向，不过问作用点的位置。 对力系的矩也可作类似的讨论。对于共点力系，合力的矩等于各个力对同一点的矩的矢量 和，即
MO ( F) = r × F = r × ∑ Fi = ∑ (r × Fi )
i =1 i =1
n
n
一般的力系中不一定存在合力，因此也就谈不上求合力的矩。但是每个力相对于同一参考 点的力矩是矢量，我们可以求这些矢量的和，并称为主矩，记为 MO ，即有
（II）刚体绕质心的转动：
dLc = ∑ ric × Fi （对质心的角动量定理） dt i
第一个式子求质心运动等同于质点动力学，可以解出刚体的平动运动部分（三个方程解三个运 动变量） 。第二个式子又可求出刚体的转动角速度 ω （ L 与 ω 有一定的关系） ，于是刚体的运动 就完全确定了。由角动量定理求刚体的转动角速度是重点讨论的内容。 7．2 作用在刚体上的力和力矩 通常矢量指的是所谓自由矢量（free vector） ：只有大小和方向，它可以平行自由移动。 作为物理量的矢量则不然，例如，力矢量 F ，为了完全确定这个力，还要说明力的作用点， 若用 r 表示作用点的话，则要有两个矢量 F 和 r ，这个力才完全被确定下来。这种矢量被称为定 位矢量（bound vector） 。除了力矢量是定位矢量外，质点的速度和加速度等也是定位矢量的例 子。 还有一种矢量，称为滑动矢量（sliding vector） ，它可在包含该矢量的一直线上自由移动。 例如，作用在刚体上的力（见下面的讨论） 。

普通物理学第二版第七章课后知识题目解析

普通物理学第二版第七章课后知识题目解析

第七章 刚体力学7.1.1 设地球绕日作圆周运动.求地球自转和公转的角速度为多少rad/s?估算地球赤道上一点因地球自转具有的线速度和向心加速度.估算地心因公转而具有的线速度和向心加速度（自己搜集所需数据）.[解 答]7.1.2 汽车发动机的转速在12s 内由1200rev/min 增加到3000rev/min.（1）假设转动是匀加速转动，求角加速度.(2)在此时间内，发动机转了多少转？[解 答] （1）22(30001200)1/601.57(rad /s )t12ωπβ⨯-⨯===（2）22222()(30001200)302639(rad)2215.7πωωθβ--===⨯所以 转数=2639420()2π=转7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为 球t 时刻的角速度和角加速度.[解 答]7.1.4 半径为0.1m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立O-xy 坐标系，原点在轴上.x 和y 轴沿水平和铅直向上的方向.边缘上一点A 当t=0时恰好在x 轴上，该点的角坐标满足21.2t t (:rad,t :s).θθ=+求（1）t=0时，（2）自t=0开始转45时，（3）转过90时，A 点的速度和加速度在x 和y 轴上的投影.[解 答]（1） A ˆˆt 0,1.2,R j 0.12j(m/s).0,0.12(m/s)x y ωνωνν====∴==（2）45θ=时，由2A1.2t t,t0.47(s)42.14(rad/s)v Rπθωω=+==∴==⨯得（3）当90θ=时，由7.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m的平行臂AB和CD支承，以角速度10rad/sω=逆时针转动，求臂与铅直45时门中心G的速度和加速度.[解答]因炉门在铅直面内作平动，门中心G的速度、加速度与B或D点相同。

所以：7.1.6 收割机拔禾轮上面通常装4到6个压板.拔禾轮一边旋转，一边随收割机前进.压板转到下方才发挥作用，一方面把农作物压向切割器，另一方面把切割下来的作物铺放在收割台上，因此要求压板运动到下方时相对于作物的速度与收割机前进方向相反.已知收割机前进速率为 1.2m/s，拔禾轮直径1.5m，转速22rev/min,求压板运动到最低点挤压作物的速度.[解答]取地面为基本参考系，收割机为运动参考系。

刚体力学

刚体力学

三、教学重点与难点：
重点： 刚体运动的描述方法；刚体定轴转动的运动学与动力学；刚体的平 衡。 难点： 转动惯量的理解和计算；学生学习思维方式的转变；刚体转动的角 动量，应用刚体力学有关规律解决实际问题。 教材分析：（分为6个单元） 1、刚体运动学（§7—1）； 2、刚体平动的动力学（§7—2）； 3、刚体定轴转动动力学（§7—3、§7—4）是全章的重点； 4、刚体的平面平行动力学（§7—5）； 5、刚体的平衡（静力学）（§7—6）; 6、刚体的自转与旋进（7—7）
积分限为：
z=0
z=R
例题2：已知图中物体由均匀等厚的两个半径不同的圆板和刚性细杆组 成,三个部分的质量均为M,尺寸如图所示.试求质心的位置.
解: 因为物体均匀等厚,且具有对称性,,所以质心在其几何对称轴上,建立图 示的坐标系: 。
二、刚体的动量与质心运动定理
1、刚体的动量： 特殊的质点组 2、动量守恒定律 若刚体所受外力矢量和为零，即,则=恒量 3、刚体的质心运动定理 例题1:教材P201[例1] 解: 例题2:如图所示:长为L的匀质杆在力F和光滑地面支持力的作用下保持 平衡,当外力撤消后,杆子倒下.试求杆子A端的运动方程。
(4)应用转动定理解题的基本方法（隔离体法）一般步骤为： 1． 将运动系统用假想平面分成若干个作定轴转动的刚体和质点的隔 离体.分别应用不同定理解题 2． 分析各隔离体的受力情况，作出受力图 3． 建立适当的坐标系 4． 建立动力学方程 ( 转动刚体根据转动定理列方程 质点根据牛 二定律列方程) 5． 建立各个隔离体之间的动力学和运动学关系 6． 由联立方程求解 例题: 如图所示是一阿特武德机，绳子一端悬挂一重物m1=500g，另一 端悬挂一重物m2=460g，半径r=5.0cm 的滑轮绕水平光滑轴转动，自静 止开始释放重物、并测得m1在5.0s内下降75cm，试由这些数据确定定滑 轮的转动惯量。（不计绳的质量及伸长，且绳与滑轮之间无相对滑动）

刚体力学基础

刚体力学基础

非专业训练，请勿模仿
例 解 由转动定律得
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
角加速度与质量无关，与长 度成反比，竹竿越长越安全。
-------------------------------------------------------------------------------
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
-------------------------------------------------------------------------------
二、刚体绕定轴转动定律
F外力 F内力 mi ai
ai ：质元绕轴作圆运动
-------------------------------------------------------------------------------
二、定轴转动的角动量守恒定律
质点角动量（相对O点）
定轴转动刚体
L r p r mv
-------------------------------------------------------------------------------
解：
M 1l gdl cos M mgL cos 2 m g1 l cos dl cos mgl M 2 3g cos L 1 22 J 2l M ml L g 3 cos L 2 3g cos d d d d 1 2 l dt cos d d mgL dt 2
2 法向： F cos F cos m r 法向力的作用线过转轴 i i i i. 内力 ,其力矩为零 外力 切向：F外力 sin i F内力 sin i mi ri

第七章 刚体力学

第七章 刚体力学

i
rc
mi ri
i

即：重心和质心重合。
M
注意：
① 该结论成立的条件是：刚体不是特别
大，各处的重力加速度相同。 ②重心仅在重力场中存在，若物体失重， 则无重心；但质心仍存在，故质心比重心更常 用到。
§7.2 刚体的平衡
刚体所受合外力为零，对任意参考点的力矩为零，则刚 体平衡。其充分必要条件可以表示为： Fi 0
解：
Q T1 T2
m1 g T1 m1a T m g m a 2 2 1 2 T1 R T2 R J a R , J MR 2 / 2
( m1 m 2 ) g a m1 m 2 M / 2
R
M
R
T1 '
Mg T ' 2
2
连续体的转动惯量： J
dm dl ：质量线密度 dm dS ：质量面密度 dm dV ：质量体密度
3.决定刚体转动惯量的因素 ⑴与刚体的体密度有关（即与m有关）； ⑵与刚体的几何形状有关（即与m的分布有关）； ⑶与刚体的转轴位置有关。
r 2 dm
dm ：质量元
即：与刚体的质量、质量的分布、以及转轴位置 有关。
P
R O m
4、垂直轴定理
如果薄板位于o-xy平面内, 则 J z J x J y
J z mi ri mi xi mi yi J y J x
2 2 2
z
yi
xi x
ri
y
mi
5. 常见对称刚体绕对称轴的转动惯量：
单个质点： I mr ，如图 7.2.2-1 (a)所示。
2

刚体力学的基本性质与运动分析

刚体力学的基本性质与运动分析刚体力学是物理学中的一个重要分支，研究物体的运动和力学性质。

它假设物体是刚性的，即不会发生形变。

在刚体力学中，有一些基本性质和运动分析方法，本文将对这些内容进行探讨。

一、刚体的基本性质刚体是指在力的作用下不会发生形变的物体。

它的基本性质有三个：质点性、形状不变性和刚性。

质点性是指刚体可以看作一个质点，即物体的大小和形状对其运动没有影响。

这意味着刚体的运动可以通过描述质心的运动来表示。

形状不变性是指刚体在运动过程中，其形状保持不变。

无论刚体如何运动，其各个部分之间的距离和角度都保持不变。

刚性是指刚体内部各个点之间的相对位置保持不变。

这意味着刚体的任意两点之间的距离和角度在运动过程中保持不变。

二、刚体的运动分析方法在刚体力学中，有几种常用的运动分析方法，包括平动、转动和复合运动。

平动是指刚体的各个部分在同一时间内以相同的速度和方向运动。

在平动中，刚体的质心和各个部分的速度和加速度都相同。

转动是指刚体绕某个轴线旋转。

在转动中，刚体的各个部分围绕轴线旋转，但质心保持静止。

复合运动是指刚体同时进行平动和转动。

在复合运动中，刚体的质心同时进行平动，而各个部分围绕质心旋转。

为了描述刚体的运动，我们可以使用刚体的运动学方程和动力学方程。

运动学方程描述了刚体的位置、速度和加速度之间的关系，而动力学方程描述了刚体的受力和运动之间的关系。

在运动分析中，我们还可以使用刚体的转动惯量和角动量来描述刚体的运动特性。

转动惯量是刚体对转动的惯性度量，它与刚体的质量和形状有关。

角动量是刚体的旋转运动的物理量，它与刚体的转动惯量和角速度有关。

三、刚体力学的应用刚体力学在工程和科学研究中有广泛的应用。

在工程中，刚体力学可以用于分析建筑物和桥梁的结构强度和稳定性。

它还可以用于设计机械装置和运动控制系统。

在科学研究中，刚体力学可以用于研究天体运动和分析地震运动。

它还可以用于研究分子和原子的运动和相互作用。

总之，刚体力学是物理学中的一个重要分支，研究物体的运动和力学性质。

《力学》漆安慎答案07章

力学（第二版）漆安慎习题解答第七章刚体力学第七章刚体力学一、基本知识小结1.刚体的质心定义：r c m i r i/ m r c rdm/ dm求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。

2.刚体对轴的转动惯量定义：I m i r i2I r2dm平行轴定理I o = l c+md2正交轴定理I z = X+I y.常见刚体的转动惯量：（略）3.刚体的动量和质心运动定理p mv c F ma c4.刚体对轴的角动量和转动定理L I I5.刚体的转动动能和重力势能E k ?I 2E p mgy c6•刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程： F ma c c I c c（不必考虑惯性力矩）动能：E k 2mv；今I c c27.刚体的平衡方程、思考题解答火车在拐弯时所作的运动是不是平动答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。

若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。

但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。

对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动r r答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即Fi ma c 0时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。

所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩M Mi r i Fi不一定为零。

由刚体的转动定律M J可知，刚体将发生转动。

比如，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。

如果刚体转动的角速度很大，那么（1）作用在它上面的力是否一定很大（2）作用在它上面的力矩是否一定很大M r i F sin j J J「答：由刚体的定轴转动定律dt可知，刚体受对轴的合外力矩正比于绕定轴转动角速度的时间变化率。

第7章-刚体力学


d
3g
cos
d
0
0 2l
＝
3g sin
l
运用质心运动定理，对质心C：
nˆ F1
F
F2
l
O C
ˆt
mg
x
nˆ : F1 mg sin man ˆt : F2 mg cos mat
F
an
r2
l 2 2
3g sin 2l
l 3g cos
at
r
2
4
F12 F22
arctan F1 F2
(7.5.2)
即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转 动定律. 式(7.5.1)和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动 力学方程.
§7.5.2 作用于刚体上的力
1.作用于刚体上力的两种效果 ·滑移矢量
(1) 施于刚体的力的特点 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.
A
F
作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.
FT
11 10
mg
比较上面结果，可见提升弧形闸门
所用的拉力较小.
W
图(b)
[例题3]如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。
待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，
线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定
滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得 m自静止开始下落 h 高度的时间为 t ,求待测物体的转动
L
r1
r1
L2
L1
r2
O r2
m2
k
2mr 2
v1 v2 r
2如.转图轴, 为非对称k 轴对O点同样有

普通物理学第二版第七章课后习题答案

第七章 刚体力学7.1.1 设地球绕日作圆周运动.求地球自转和公转的角速度为多少rad/s 估算地球赤道上一点因地球自转具有的线速度和向心加速度.估算地心因公转而具有的线速度和向心加速度（自己搜集所需数据）.[解 答]7.1.2 汽车发动机的转速在12s 内由1200rev/min 增加到3000rev/min.（1）假设转动是匀加速转动，求角加速度.(2)在此时间内，发动机转了多少转[解 答]（1）22(30001200)1/601.57(rad /s )t 12ωπβ⨯-⨯===V V（2）222220()(30001200)302639(rad)2215.7πωωθβ--===⨯所以 转数=2639420()2π=转7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为球t 时刻的角速度和角加速度.[解 答]7.1.4 半径为0.1m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立O-xy 坐标系，原点在轴上.x 和y 轴沿水平和铅直向上的方向.边缘上一点A 当t=0时恰好在x 轴上，该点的角坐标满足21.2t t (:rad,t :s).θθ=+求（1）t=0时，（2）自t=0开始转45o 时，（3）转过90o时，A 点的速度和加速度在x 和y 轴上的投影.[解 答]（1） A ˆˆt 0,1.2,R j 0.12j(m/s).0,0.12(m/s)x y ωνωνν====∴==v（2）45θ=o时，由2A 1.2t t ,t 0.47(s)42.14(rad /s)v R πθωω=+==∴==⨯v v v得（3）当90θ=o时，由7.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m 的平行臂AB 和CD 支承，以角速度10rad/s ω=逆时针转动，求臂与铅直45o 时门中心G 的速度和加速度.[解 答]因炉门在铅直面内作平动，门中心G 的速度、加速度与B 或D点相同。

所以：7.1.6 收割机拔禾轮上面通常装4到6个压板.拔禾轮一边旋转，一边随收割机前进.压板转到下方才发挥作用，一方面把农作物压向切割器，另一方面把切割下来的作物铺放在收割台上，因此要求压板运动到下方时相对于作物的速度与收割机前进方向相反. 已知收割机前进速率为1.2m/s ，拔禾轮直径1.5m ，转速22rev/min,求压板运动到最低点挤压作物的速度.[解 答]取地面为基本参考系，收割机为运动参考系。

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第7章 刚体力学
3.平面平行运动
平面平行运动演示
刚体中的任意一点始终在平行于某一固定平面的平面 内运动，称为刚体的平面平行运动。 4.绕固定点转动
刚体绕固定点转动
刚体运动时，只有一点固定不动，整个刚体围绕着通 过这点的某一瞬时轴线转动，称为刚体绕固定点转动。 5.一般运动
刚体一般运动演示
刚体的任意运动。可分为：基点的平动+绕基点的定点 转动。
第7章 刚体力学
四.刚体绕固定轴转动
1.定义 刚体内各点都绕同一直线作圆周运动。则这种 运动叫刚体绕固定轴转动，简称定轴转动。 转轴
ω
ω
· P
O
·
O
P
注意： 1.刚体内各质点的线速度与加速度一般不同。 2.刚体内各点的角位移、角速度与角加速度相同。
9
第7章 刚体力学
2. 刚体的角坐标、角速度、角加速度 角坐标: θ ⎯ 定轴转动时刚体 的位置状态 (标量) P θ r r dθ r O 角速度: ω = k = ωzk dt r r dω dω z r d 2θ r r 角加速度: β = = k = 2 k = β zk dt dt dt 3. θ , ωz , βz 之间的关系 微分关系:
第七章 刚体力学
§7-1. 刚体运动学 §7-2.定轴转动惯量 §7-3.定轴转动定律与角动量守恒定律 §7-4.定轴转动动能定理 §7-5.应用例题 §7-6. 守恒定律与对称性
1
第7章 刚体力学
§5-1. 刚体运动学
什么是刚体? 在力的作用下，大小和形状都保持不变的物体称为 刚体。 或在力的作用下，组成物体的所有质点之间的距 离始终保持不变的物体称为刚体。 刚体是力学中又一个十分有用的理想模型。是一个特 殊的质点系。 因此，有关质点系的规律都可用于刚体，而且考虑到刚 体的特点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。
⎧Iz = I x + I y y 由 1 2 ⎨ 得 I x = I y = mR ⎩ Ix = Iy 4 19
第7章 刚体力学
例1: 如图, 已知2质点的m, 求Iz.
z m l/2 l/2 m z
解: I = ∑ mi ri2 = 2m(l 2)2 = ml 2 2
例2：如图, 已知均匀圆环M, R，求Iz. 解:
η、σ、ρ分别为刚体质量的线密度、面密度、体密度. 决定I大小的三个因素：转轴位置、刚体质量、质量对 16 轴的分布。
第7章 刚体力学
三. 常用的几个I
C R m 均匀圆环：
I c = mR
2
C R
m
均匀圆盘：
1 I c = mR 2
2
A
C
l 2 l 2
m
均匀杆：
1 2 1 2 Ic = ml ，I A = ml 12 3
∫
L 2
−L 2
M 1 dx ) = ML 2 x ( L 12
2
M 解: dm = dx L
例5: 如图, 已知细棒M,L, 求Iz.
z dm
2
1 2 1 M L 2 ⎛ L⎞ 2 2 I = ∫ x dm = ∫ x dx = ML = ML + M ⎜ ⎟ 0 12 3 L ⎝2⎠
I = I C + md 2 ⇒ 推广得平行轴定理:
17
第7章 刚体力学
四. 计算I的几条规律
IC C d I m 1.对同一轴I具有可叠加性
I=
∑I
i
i
Ii =
∑ Δm r
i
2
i i
2.平行轴定理
平行
I = I c + md
2
刚体对任意已知轴的转动惯量，等于刚体对通过质 心并与该已知轴平行的轴的转动惯量加上刚体的质 18 量与两轴间垂直距离d平方的乘积。
7
第7章 刚体力学
2.刚体平动时的速度与加速度 由图所示A、B两点 r r d rB d rA d ( AB ) r r = + 有 r B = r A + AB 求导 dt dt dt r z Bn ∵ AB = C （常矢量） B2 r r B B1 r r d rB d rA = ⇒ v A = v B 再求导 ∴ rB dt dt An r r A A1 A2 O r r dv B dv A y = ⇒ aA = aB rA dt dt x 在任意时刻,平动刚体上各点的速度、加速度都相同。 可以把平动刚体当作质点运动研究.一般选刚体质心. 8
ω
b
dy o
u h
a y
ω
b
22
x
θ
Qu / a 2 + b2 = ( a sinθ − y ) / a sinθ
第7章 刚体力学
( a sin θ − y ) a 2 + b 2 y ∴u= a sin θ 把u代入转动惯量求in θ
2 2
dy
u h
a y
k 参考轴
dω z d 2θ dω z dθ , βz = = 2 = ωz ωz = dt dt dt dθ
10
第7章 刚体力学
积分关系: ω z (t ) = ω z (t0 ) + ∫t β z dt
0
t
θ ( t ) = θ ( t0 ) + ∫ ω z dt
t0
t
4. 刚体上任一点的速度、加速度
r vA
r r r r v i = vC + ω × rCi = 0
注意：1.瞬心位置可以在刚体之外;一般随时间也在变化. 2.选瞬心为基点，刚体运动学问题可简化.
13
第7章 刚体力学
6.质元角速度与基点选择无关：
r P r ω R • r r r r 选C基点: v P = vC + ω × Rr R′ C•r r r r C′ RC ′ 选C′基点: v P = vC ′ + ω′ × R′ • ω′ r r r r 注意 v C ′ = v C + ω × RC ′ R = RC ′ + R′ r r r r r r 代入 v C + ω × R = v C ′ + ω′ × R′ r r r r r r r r r vC + ω × R = vC + ω × ( R − R′ ) + ω′ × R′ r r r r r r ω′ × R′ − ω × R′ = 0 ω′ = ω
基面上各点均以同一角速度在旋转.
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第7章 刚体力学
§7-2.定轴转动惯量 一.刚体对轴的角动量
由质点对轴的角动量得 L zi = ri m i v i 则刚体对轴的动量矩 mi为刚体中任意一质点
z
ω vi
ri mi
Lz =
∑L
i
zi
=
∑rm v
i i i
i
=
∑m r
i
2
i i
ω
= I zω
刚体绕固定轴转动的角动量，等于刚体对该轴的转动 惯量与角速度的乘积。 15
O r
F//
F F⊥ Y
θ
• 显然, 力通过O点时, 对O点的力矩为零. 力平 行或通过某轴时, 对该轴的力矩为零
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第7章 刚体力学
二. 转动定律
如图, 设转轴Z 对惯性参照系无加速度. 对mi：az = 0。即F合 // = f i // + Fi // = 0
Fi ⊥ sin θ i + f i ⊥ sin ϕ i = m i ri β z
第7章 刚体力学
2.刚体运动的自由度 平动 ——3个自由度 绕固定轴转动 ——1个自由度 平面平行运动 ——3个自由度 绕固定点转动 ——3个自由度 一般运动 ——6个自由度
6
第7章 刚体力学
三.刚体的平动
1.定义 刚体运动时，若在刚体内所作的任意一条直线都始 终保持和自身平行，这种运动就称为刚体的平动。 A’’ A B A’ B’ 注意：1.刚体上每一点的轨迹不一定是直线。 2.刚体上各点的运动轨迹相同。 B’’
s r r r r dv d r r dω r s a= = (ω × r ) = × r + ω ×(ω × r ) dt dt dt
an = ω r r r r v =ω×r
2
υ =ω r υτ = ωzr dωz dυτ =r = rβ z aτ = dt dt
τ r O n P
ω
θ
参考轴
r r r a = aττ + an n
I = ∫ r 2 dm = R 2 ∫ dm = MR 2
L
例3：如图, 已知匀质园盘M, R，求Iz. 1 M R 2 r 2 π rdr = MR 2 解: I = π R 2 ∫0 2
z
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第7章 刚体力学
例4: 如图, 已知细棒M, L, 求Iz. 解: I = ∫ x 2 dm
=
z
dm
第7章 刚体力学
二.转动惯量的定义
刚体对Z轴的转动惯量，等于刚体上各点的 质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积 之和。
z
Iz =
Iz =
Iz =
∑m r
i
2
i i
刚体质量分立分布 刚体质量连续分布
m
dm ri
∫
V
r 2 dm
r 2η dl ∫
Iz =
r 2σ ds ∫∫
I z = ∫∫∫ r 2 ρdV
第7章 刚体力学
§5-3. 刚体转动定律与角动量守恒定律 Z 一.力对轴和点的力矩
r r 如图, 力F 对Z轴的力矩 M Z r X 大小: M Z = F⊥ r sinθ r r r r r 方向: 与r、F⊥ 成右旋关系 M Z = r × F⊥ r r r r 同理, 力F 对X轴的力矩: M X = r × F// r r r r r 一般 r 不沿Y轴 ⇒ r × F// = M X + MY r 综上所述, F 对O点的力矩为 r r r r r r r × F = M X + MY + M Z = M O