高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 . 平面向量的应用练习 理讲解

2019年高考数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3 平面向量的数量积与平面向量应用举例课时跟踪检测理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3 平面向量的数量积与平面向量应用举例课时跟踪检测理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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4。

3 平面向量的数量积与平面向量应用举例［课时跟踪检测］［基础达标］1．已知|a|＝6,|b|＝3,a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( ）A．－4 B．4C．－2 D．2解析:∵a·b＝｜a｜｜b|cos〈a，b〉＝18cos<a，b〉＝－12，∴cos<a，b〉＝－23.∴a在b方向上的投影是|a|cos〈a，b〉＝－4。

答案:A2．（2017届河南八市重点高中质检）已知平面向量a，b的夹角为错误!，且a·（a－b)＝8,|a|＝2，则｜b｜等于( )A。

错误!B．2错误!C．3 D．4解析：因为a·（a－b）＝8，所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a|｜b｜cos〈a，b〉＝8，所以4＋2｜b｜×错误!＝8，解得|b｜＝4。

答案：D3．已知平面向量a，b,｜a｜＝1,|b|＝错误!，且|2a＋b｜＝错误!，则向量a与向量a＋b的夹角为( )A.错误!B．错误!C。

26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例实战演练理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例实战演练理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例实战演练理1．(2016·全国卷Ⅲ）已知向量错误!＝错误!,错误!＝错误!，则∠ABC＝( A )A．30°B．45°C．60°D．120°解析:cos∠ABC＝错误!＝错误!，所以∠ABC＝30°.2．（2016·天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则错误!·错误!的值为( B ）A．－58B．错误!C．错误!D．错误!解析:建立如图所示的平面直角坐标系．则B错误!，C错误!,A错误!,所以错误!＝（1，0）．易知DE＝错误!AC,∠FEC＝∠ACE＝60°，则EF＝错误!AC＝错误!，所以点F的坐标为错误!，所以错误!＝错误!，所以错误!·错误!＝错误!·(1，0）＝错误!.故选B．3．（2016·山东卷)已知非零向量m,n满足4|m|＝3|n|，cos<m，n〉＝错误!，若n⊥（t m ＋n)，则实数t的值为( B )A．4 B．－4 C．错误!D．－错误!解析:因为n⊥（t m＋n），所以t m·n＋n2＝0，所以m·n＝－n2t，又4|m｜＝3｜n|，所以cos <m，n〉＝错误!＝错误!＝－错误!＝错误!，所以t＝－4，故选B．4．（2016·浙江卷）已知平面向量a，b，｜a|＝1，｜b｜＝2，a·b＝1。

第三节平面向量的数量积及其应用［考纲传真］1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.双基自主测评I基础知识环能力全面巩固■(对应学生用书第61页)［基础知识填充］1. 向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图4-3-1 ,作0A= a, 0B= b，则/ AOB=0 (0 °w 0 < 180° )叫作a与b的夹角.0 b B图4-3-1(2)当0 = 0°时，a与b共线同向.当0 = 180°时，a与b共线反向.当0 =90°时，a与b互相垂直. '—2•平面向量的数量积(1) 定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0，则数量| a|| b| • cos 0叫做a与b的数量积(或内积).规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2) 几何意义：数量积a • b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积Jk 曜或b的长度| b|与a在b方向上射影| a|cos 0的乘积.3. 平面向量数量积的运算律(1) 交换律：a • b= b • a；(2) 数乘结合律：(入a) • b=入(a • b) = a •(入b)；(3) 分配律：a •( b+ c) = a • b+ a • C.4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示122结论几何表示坐标表小2| a || b |cos 0夹角a - bcos 0 — . [[ i .|a || b |X 1X 2+ y 1y 2cos 0 — . y, ------------------------------- .,,V X 2 + y2^/X 2 + y 2a 丄ba -b — 0X 1X 2+ y 1y 2— 0|a • b | 与 | a || b | 的关系|a - b | w| a || b || X 1X 2+ y 1y 2| w 寸X 1 + y 2 •寸 X 2+ y ；［知识拓展］1两个向量a , b 的夹角为锐角？ a •b >0且a , b 不共线;两个向量a ，b 的夹角为钝角？ a •b <0且a , b 不共线. 2 •平面向量数量积运算的常用公式 (1)( (2)( (3)(2 2a +b ) •( a -b ) = a — b .2 2 2a +b ) = a + 2a • b + b .a -b )2= a 2-2a • b + b 2.3.当a 与b 同向时，a •b = | a||b1.当a 与b 反向时，a ・b = — |a||b |.［基本能力自测］(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X” (1) 两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量.由 a - b = 0,可得 a = 0 或 b = 0.()由a - b = a - c 及a ^0不能推出b = C.()2. 在四边形 ABCDh AB- DC &AC- BD= 0,则四边形 ABCD 为矩形•( [答案](1) V (2) X (3) V(2016 -全国卷川)已知向量BA=A . 30° ,1，则/ ABC=(3.C. 60°D. 120°A [因为BA=2, -2 , BC > 三3, 1，所以 E3A- £=¥+石3=_23.又因为 B A- B <> I B AII 航cos / ABC= 1X 1X cos / ABC 所以 cos / 又 0°<Z ABCc 180°,所以/ABC= 30° .故选 A .](2015 •全国卷 n )向量 a = (1 , - 1), b = ( — 1,2)，则(2a + b ) - a =()A . - 1 B. 0 C. 1D. 22C [法: T a = (1 , — 1) , b = ( — 1,2) ,.•. a = 2, a • b =— 3, 从而(2a + b ) • a = 2a 2 + a • b = 4 — 3= 1. 法二：T a = (1 , — 1) , b = ( — 1,2), .2a + b = (2 , — 2) + ( — 1,2) = (1,0),从而(2a + b ) • a = (1,0) • (1 , — 1) = 1，故选 C.]4. ______________ (教材改编)已知|a | = 5, | b | = 4, a 与b 的夹角0 = 120° ,则向量b 在向量a 方向上的 投影为 __ .—2 [由数量积的定义知， b 在a 方向上的投影为| b |cos 0 = 4x cos 120 ° =— 2.]5. (2017 •全国卷I)已知向量 a = ( — 1,2) , b = (m,1).若向量 a + b 与a 垂直，则 m=7 [ T a = ( — 1,2) , b = (m,1), ••• a + b = ( — 1 + m,2 + 1) = ( m- 1,3). 又 a + b 与 a 垂直，二(a + b ) • a = 0, 即(m-1) x ( — 1) + 3X 2= 0, 解得m= 7.]题型分类突破I 高琴题型烦律方法逐-突砸■(对应学生用书第62页)心 ......平面向量数量积的运算■■■I (1)(2016 •天津高考)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点D, E 分别是边AB,BC 的中点，连接 DE 并延长到点F ,使得DE= 2EF,则AF- BC 勺值为()A . 11D -S'已知正方形 ABCD 勺边长为1,点E 是AB 边上的动点，则DE- CB 勺值为C.;DE ・DC的最大值为 【导学号: 00090135】AF = AM DF又D, E 分别为AB BC 的中点,(1) B (2) 1 1 [(1)如图所示,f 1 f f 1 ・_且DE=2EF所以AD= 1A B DF=2AC+；AC=4AC1f2当E 运动到B 点时，DE^DC 方向上的投影最大，即为 DC = 1, 所以(DE' Dg =| DC - 1= 1.］［规律方法］1.求两个向量的数量积有三种方法： 利用定义；利用向量的坐标运算； 利用数量积的几何意义.~T 1 -T 3 ~T 所以 AF = 2AB+ 4AC又 BC= AC- AB3T-4AC-又 | AB =|AQ = 1,z BAO 60°,故AF- E3C = 4-2 — 4X 1X 1X 2= 1.故选 B.4 2 4 2 8⑵ 法一：以射线AB AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0),巳1,0),C (1,1) ,D (0,1)，设E (t, 0) , t € [0,1]，则DE = (t , - 1),(t , -1) - (0，- 1) = 1.因为 DC = (1,0)，所以 DE- DC = (t ，- 1) - (1,0) = t w 1, 故D E- DC 的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE 在CB^向上的投影都是 CB= 1,所以DE- CB= | CB则 AF- BC= -(AC-AB 3 T T2. (1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量. (2)注意向量夹角的大小，以及夹角0 = 0°, 90°, 180°三种特殊情形.2[变式训练1] ⑴ 已知AB= (2,1)，点C ( — 1,0) , D (4,5)，则向量AB 在 C [方向上的投影为(1) C (2)C [(1)因为点 C ( —1,0) , Q4,5)，所以 C* (5,5)，又AB= (2,1)，所以向量 AB 在CD?向上的投影为|AB |cos 〈 AB C D =磊=芈I CD%2⑵ 由 AB- AF = 3 得AB ・(AM DF = AB- DF= 3,所以 |DF = 1, |CF = 2,BE • BC= — 6 + 2 = — 4.](1)(2017 •合肥二次质检)已知不共线的两个向量a ,b 满足|a — b | = 2且a 丄(a—2b )，则 | b | =( )A . 2 C. 2 2⑵(2018 •西安模拟)已知平面向量a , b 的夹角为 卡，且|a | = .3, | b | = 2,在厶ABC 中,AB= 2a + 2b , AC= 2a — 6b , D 为 BC 的中点，贝U |AQ = ______ .(1)B (2)2[(1)由 a 丄(a — 2b )得 a - (a — 2b ) = | a | — 2a - b = 0.又•/ | a — b | = 2,「. | a(2)(2018 •榆林模拟)已知在矩形ABCD 中 AB= 3, BC = 3, BE = 2EC 点 F 在边 CD 上.若AB- AF = 3,则 A E- 'BF 的值为()【导学号：00090136】A . 0B 育C.— 4D. 42B.- 3 5 D. 3 5C. 所以 AE - BF = ( AB+ BE ) •( BC+ CF ) =AB- BC+ AB- CF + BE- BC + BE- CF = AB- CF +ISfifl... ......... . ............................ j平面向量数量积的性质角度1平面向量的模MBB. 2 D. 4—b| 2= | a|2—2a - b+ | b|2= 4,则| b|2= 4, | b| = 2，故选B.■ ■ ~9 1 ~> (2)因为 A[> 2(AB+ AC 1=2(2a + 2b + 2a — 6b ) =2a — 2b ,所以 |AD 2= 4(a — b )2= 4(a 2— 2b •a + b 2)—e 2的夹角为B ,贝U cos 3 =⑵ 若向量a = (k, 3) , b = (1,4) , c = (2,1)，已知2a — 3b 与c 的夹角为钝角，贝U k 的取2=I — 2X 3X 2X1 X cos a + 4= I ,所以|a | = 3,i i222因为 b = (3e 1 — e 2) = I — 2X 3X 1 XI X cos a + 1 = 8, 所以 | b | = 2 2,a •b = (3 e 1 — 2e 2)- (3 e 1 — e ?)2 21 =9e 1 — 9e 1 • e2 + 2e 2= I — I X 1 X 1 X + 2 = 8,3 所以cos 3= rOi 占=3^=弩.(2) •/ 2a — 3b 与c 的夹角为钝角， ••• (2 a — 3b ) - c v 0, 即(2 k — 3, — 6) - (2,1) v 0,• 4k — 6— 6v 0, • k v 3.9又若(2a — 3b ) // c ,贝U 2k — 3 =— 12,即卩 k =—》 当 k =— I 时，2a — 3b = ( — 12,— 6) = — 6c ,=4X (3 — 2X 2X3 X cos n + 4) = 4,所以 | AD = 2.]角度2平面向量的夹角2-2 1(1)已知单位向量 e 1与e 2的夹角为 a ,且cos a = 3 向量 a = 3e i — 2e 2与 b = 3e i值范围是 (1)弩(2)[(1)因为 a 2= (3 e 1 — 2e 2)2△in 2 x — ¥cos x = 2,2 2即2a -3b 与c 反向. 综上，k 的取值范围为 一R, 角度3平面向量的垂直 (2016 •山东高考)已知向量a = (1 , - 1), b = (6 , - 4).若a 丄(ta + b )，则实 数t 的值为 _________ —5 [ - a = (1 , — 1), b = (6 , — 4)，…ta + b = (t + 6, — t — 4). 又 a 丄(ta + b )，则 a •( ta + b ) = 0，即 t + 6 +1 + 4= 0，解得 t =— 5.] a • b [规律方法]1.求两向量的夹角：cos 0 = ，要注意0 c [0 , n ]. 丨a l •丨b | 2.两向量垂直的应用： 两非零向量垂直的充要条件是： a 丄b ? a • b = 0? | a — b | = |a + b |. 3 •求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1) a 2= a • a = | a |2 或 | a | = a • a . (2) | a ± b | = a ± b 2= a ±2a • b + b . ⑶若 a = (x , y )，则 | a | = x 2 + y 2. |U3［ 平面向量与三角函数的综合 (2018 •佛山模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量m = ^2, — 2小=(sin cos x ) , x c (1)若 miL n ,求 tan x 的值; n ⑵若m 与n 的夹角为—，求x 的值. 【导学号：00090137】所以 sin x = cos x ,所以 tan x = 1. n 1⑵因为 | m = I n | = 1,所以 m-n = cos —=-,3 2x . 所以 m-n = 0, x , cos x ), n Ln . 即承n cos x(1)因为m = n = (sin所以sin 12因为 O v x v n ,所以—n_< x — n_<n n , 一 n n 5 n 所以x —才=6，即x =〒2. ［规律方法］平面向量与三角函数的综合问题的解题思路得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题 sin x x= -------cos x •- tan 2 x = —=1 — tan x 53⑵•/ a = sin ^, , b = (cos x , — 1),3 2 2 2 2••• a •b = sin x cos x — ?, b = cos x + ( — 1) = cos x + 1,23 2 1 1 1• f (x ) = (a + b ) - b = a •b + b = sin x cos x — ~ + cos x + 1 = 2sin 2x + 尹 + cos 2x ) — ?⑴ 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式, 运用向量共线或垂直或等式成立等, 思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等. ［变式训练2］ (2018 •郴州模拟)已知向量a = sin x , | , b = (cos X , (1)当a //b 时，求tan 2 x 的值; (2)求函数f (x ) = (a + b ) - b 在|—-2 , 0上的值域. (1) ■/ a //b , a = sin x , | , b = (cos x , 3 x - ( — 1) — 2 • cos 即sin 3 X + 2C0S x = 0, 得sin 3 x = — 2C0S x , 二tan -32，匕2tan x 12 x = 0,1 n 1 sin 2x+ 才.I nT x€ |—— , 0••• sin 2x+4 € —1 ,n故函数 f (X ) = (a + b ) • b 在 | — , 0 • •• f(X)= 刍n -弓，2上的值域为•—， 2。

学习资料2022版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第二讲平面向量的基本定理及坐标表示学案（含解析）新人教版班级：科目：第二讲平面向量的基本定理及坐标表示知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个__不共线__向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2使a＝__λ1e1＋λ2e2__.知识点二平面向量的坐标表示在直角坐标系内,分别取与__x轴，y轴正方向相同__的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a,有唯一一对实数x，y，使得：a＝x i＋y j，__(x,y)__叫做向量a的直角坐标，记作a＝（x,y），显然i＝__（1,0）__，j＝(0,1），0＝__（0，0）__.知识点三平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝（x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝__（x1＋x2,y1＋y2）__，a－b＝__(x1－x2,y1－y2）__，λa＝__(λx1，λy1）__，｜a｜＝__错误!__.（2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1）,B(x2,y2），则错误!＝__（x2－x1,y2－y1)__，|错误!|＝__错误!__。

知识点四向量共线的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2）,则a∥b⇔__x1y2－x2y1＝0__。

错误!错误!错误!错误!两个向量作为基底的条件：作为基底的两个向量必须是不共线的．平面向量的基底可以有无穷多组．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)（2）若a,b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2，μ1＝μ2。

(√）（3)若a＝(x1，y1）,b＝（x2,y2），则a∥b的充要条件可表示成错误!＝错误!.(×）(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．（√)(5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二走进教材2．(必修4P 100T2改编）(2021·北京十五中模拟）如果向量a ＝(1，2），b ＝(4，3）,那么a －2b ＝( B ）A ．(9,8)B ．(－7，－4）C ．(7，4)D ．(－9,－8）［解析］ a －2b ＝（1，2）－（8，6）＝（－7,－4），故选B ．3．（必修4P 101A 组T5改编）下列各组向量中，可以作为基底的是( B ）A ．e 1＝(0，0），e 2＝（1，2)B ．e 1＝（－1，2）,e 2＝（5，7)C ．e 1＝（3,5）,e 2＝（6，10）D ．e 1＝(2，－3),e 2＝错误!［解析] A 选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 选项中,不存在实数λ，使得e 1＝λe 2.故两向量不共线,故其可以作为基底；C 选项中，e 2＝2e 1，两向量共线，故其不可以作为基底;D 选项中,e 1＝4e 2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B ．题组三 走向高考4．(2015·新课标全国Ⅰ)已知点A （0,1)，B （3,2)，向量错误!＝（－4，－3），则向量错误!＝( A )A ．(－7,－4)B ．(7，4）C ．（－1,4)D ．(1，4)［解析］ 设C （x ，y ），∵A (0,1），错误!＝(－4，－3），∴错误!解得错误!∴C （－4,－2），又B （3,2)，∴错误!＝(－7，－4)，选A ．5．（2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝（1，2），b ＝（2，－2），c ＝（1，λ）．若c ∥（2a＋b ),则λ＝__12__。

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入[深研高考·备考导航]为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情]1．从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小．2．平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针引线的载体作用．3．本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形”与“数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．[导学心语]1．透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法则是学好本章的基础．(1)向量的几何运算侧重于“形”，坐标运算侧重于“数”，要善于将二者有机结合和转化．(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用．2．平面向量与其他知识的综合渗透充分体现了平面向量的载体作用．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用．3．复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算，属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实”的思想方法．第一节平面向量的概念及线性运算————————————————————————————————[考纲传真] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的a－b＝a＋(－b)运算叫做a 与b 的差三角形法则数乘某某数λ与向量a 的积的运算 (1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ；(λ＋μ)a ＝λa＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R)的充要条件．( )(4)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →A [AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.]3．(2017·某某质检)设点P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，则PC →＋PA →＝________.0 [因为BC →＋BA →＝2BP →，由平行四边形法则知，点P 为AC 的中点，故PC →＋PA →＝0.] 4．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．b －a －a －b [如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .]5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. －13[由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，3k ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－13，k ＝13.]平面向量的有关概念给出下列六个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线； ⑤λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a ，b 为非零向量，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中假命题的序号为________．①②③④⑤⑥ [①不正确．|a |＝|b |.但a ，b 的方向不确定，故a ，b 不一定是相等或相反向量；②不正确．因为AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 可能在同一直线上，所以ABCD 不一定是四边形． ③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a ＝0时，λa ＝0.⑥不正确．对于非零向量a ，b ，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向．] [规律方法] 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．若a 为非零向量，则a |a |是与a 同向的单位向量，－a|a |是与a 反向的单位向量．[变式训练1] 设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) 【导学号：31222141】A ．0B ．1C ．2D ．3D [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]平面向量的线性运算(1)(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC → (2)(2016·某某某某模拟)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R)，则mn＝( )A ．－3B ．－13C.13D ．3(1)C (2)A [(1)如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. (2)如图，过D 作DE ∥AB ，CD →＝mBA →＋nBC →＝CE →＋ED →＝－13BC →＋BA →，所以n ＝－13，m ＝1，所以mn＝－3.故选A.][规律方法] 向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[变式训练2] (1)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →(2)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．(1)D (2)－2 [(1)因为M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则，得OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.故选D.(2)因为D 是BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →.由PA →＋BP →＋CP →＝0，得BA →＝PC →. 又AP →＝λPD →，所以点P 是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝AB →＋AC →＝2AD →＝－2PD →，所以λ＝－2.]共线向量定理的应用设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．[解] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，2分 ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.5分 (2)∵ka ＋b 和a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，即ka ＋b ＝λa ＋λkb ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .9分 ∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.12分 [规律方法] 共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[变式训练3] (1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线(2)(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.(1)B (2)12 [(1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B.(2)∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.][思想与方法]1．向量加法的三角形法则应注意“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则应注意“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则应注意“起点重合”．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R)，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.[易错与防X]1．解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．3．在向量共线的条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．课时分层训练(二十四) 平面向量的概念及线性运算A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( )【导学号：31222142】A.12a －bB.12a ＋b C ．a －12b D ．a ＋12bA [AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A.]2．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，DB [因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ， 所以A ，B ，D 三点共线．]3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )【导学号：31222143】A.23B.13 C ．－13D ．－23A [∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.]4．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |C [a |a |＝b |b |⇔a ＝|a |b |b |⇔a 与b 共线且同向⇔a ＝λb 且λ>0.B ，D 选项中a 和b 可能反向．A 选项中λ<0，不符合λ>0.]5．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直 A [由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →， CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →－AB →)＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．] 二、填空题6．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB→＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________.【导学号：31222144】平行四边形 [由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →， 所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．]7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)52e 1＋32e 2 [在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．]8．(2015·高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.12 －16 [∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →. ∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)，∴MN ＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16.]三、解答题9．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.图4­1­1[解]AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .2分AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b .12分 10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， 求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． [解] (1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2， CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2 ＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线.3分又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线.5分 (2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2.7分 ∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，9分 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为 ( )【导学号：31222145】A.13B.12 C ．1 D ．2A [∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD (图略)，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →)．∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，∴|MD →||BM →|＝|MD →||－3MD →|＝13，故选A.] 2．(2017·某某某某高三双基测试)如图4­1­2，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.图4­1­223[因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1. 因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM →＝λAB→＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.]3．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．[解] 由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，3分整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .6分因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，9分解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上.12分。

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1课时平面向量的线性运算、基本定理及坐标表示考纲索引1.向量的线性运算.2.向量的数乘运算及其几何意义.3.平面向量基本定理.4.平面向量坐标运算.5.平面向量共线的坐标表示.课标要求1.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.2.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.3.了解平面向量的基本定理及其意义.4.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.5.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知识梳理1.向量的线性运算2.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作,它的长度与方向规定如下:①|λa|=;②当λ>0时,λa与a的方向;当λ<0时,λa与a的方向;当λ=0时,λa=.(2)运算律:设λ,μ是两个实数,则①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.3.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中不共线的向量e1,e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底.4.平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=,a-b=,λa=,|a|=.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1,y1),B(x2,y2),则5.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,当且仅当时,向量a,b共线.基础自测指点迷津◆一个顺序一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量.◆两个要素向量具有大小和方向两个要素,用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小.◆三个注意(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个.(2)注意向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.(3)注意0与0的区别0为模为数0,它不是没有方向,而是方向不定.0可以看成与任意向量平行.0+0是无意义的,0·0=0而不能为0.◆向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量，,点A的位置被向量a唯一确定,此时点A的坐标与a的坐标统一为(x,y),但应注意其表示形式的区别,如点A(x,y)向量.考点透析考向一平面向量的线性运算【审题视点】(1)用平行四边形法则求解.(2)利用三角形性质及向量的运算法则求解.【方法总结】1.平面向量的线性运算法则的应用.三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,共起点的向量和用平行四边形法则,差用三角形法则.2.两个重要结论.变式训练考向二平面向量基本定理及应用【方法总结】先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.变式训练考向三平面向量的坐标运算(2)(2013·某某某某二模)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b等于().A.(-5,-10)B.(-4,-8)C.(-3,-6)D.(-2,-4)【审题视点】首先利用向量关系把a,b的坐标求出,再利用法则计算.【课堂记录】【方法总结】利用向量的坐标运算解题,主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解;在将向量用坐标表示时,要看准向量的起点和终点坐标,也就是要注意向量的方向,不要写错坐标.变式训练3.(2014·某某八校联考)点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为().A.(-2,4)B.(-30,25)C.(5,-10)D.(10,-5)考向某某面向量平行的坐标表示例4平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;(2)若(a+kc)∥(2b-a),某某数k;(3)若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= ,求d.【审题视点】利用平行关系,建立含字母参数的实数方程求解.【方法总结】(1)一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量. (2)如果已知向量共线,求某些参数的取值时,则利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.4.(2014·呼和浩特模拟)已知a=(1,0),b=(2,1),若向量ka-b与a+3b平行,则实数k=.真题体验参考答案与解析知识梳理1.三角形平行四边形b+a a+(b+c)三角形2.(1)λa①|λ||a|②相同相反03.不共线基础自测1.A2.B3.A4.A5.0考点透析变式训练经典考题真题体验。