下载文档原格式
2020届广东省佛山市禅城区高三上学期统一调研测验（一）数学（文）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{|7}A x N x =∈<，{}2|450B x x x =--≥，则()U A C B ⋂的元素个数为（ ）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】求出集合A ，B 的等价条件，结合集合并集，交集的定义进行计算即可． 【详解】解：{}{|7}A x N x =0123456=∈<，，，，，，，{}{2|450=|5B x x x x x =--≥≥或1}x ≤-，则{|15}R x C x B =-<<，则(){0,1,2,3,4}R C B A ⋂=共5个元素， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，结合补集，交集的定义是解决本题的关键． 2．若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B 【解析】【详解】分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果.详解：227cos2α12199sin α=-=-= 故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.3．已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c a b <<B.c b a <<C.b a c <<D.a c b <<【答案】A【解析】先判断ln2的大小范围，然后判断三个数的大小关系。
【详解】解：因为0ln21<<所以1＜ln 22＜2，2+2ln2＞2，0＜2(ln2)＜1， ∴c ＜a ＜b ． 故选：A ． 【点睛】本题考查了有关对数式的大小比较。
4．设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．,αβ垂直于同一平面C ．α，β平行于同一条直线D ．α内有两条相交直线与β平行【答案】D【解析】,,A B C 均可以举出反例；D 选项中，根据面面平行的判定定理可知充分条件成立；根据面面平行的性质定理可知必要条件成立，因此可得结果. 【详解】A 中，若无数条直线为无数条平行线，则无法得到//αβ，可知A 错误；B 中，,αβ垂直于同一个平面，此时α与β可以相交，可知B 错误；C 中，,αβ平行于同一条直线，此时α与β可以相交，可知C 错误；D 中，由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行α\内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件即α内有两条相交直线与β平行是//αβ的充要条件 本题正确选项：D 【点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．5．执行如图所示的程序框图，若输出y =θ=（ ）A.6π B.6π-C.3π D.3π-【答案】D【解析】分sin θ=tan θ=时两种情况加以讨论，解方程并比较||θ与4π的大小，最后综合即可得到本题的答案． 【详解】解：根据程序框图中的算法，得输出的结果可能是sin θ或tan θ，①当输出的sin θ时，即sin θ=22ππθ-<<，此时θ不存在；②当输出的tan θ时，即tan θ=22ππθ-<<，此时3θπ==-；||34ππθ=>，此时3πθ=-符合题意，综上所述可得输入的3πθ=-．故选：D ． 【点睛】本题以程序框图为载体，求方程的解，着重考查了算法语句与方程、三角函数等知识，属于基础题．6．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．13B ．23C ．14D ．34【答案】B【解析】设大灯下缀2个小灯为x 个，大灯下缀4个小灯有y 个，根据题意求得120,240x y ==，再由古典概型及其概率的公式，即可求解．【详解】设大灯下缀2个小灯为x 个，大灯下缀4个小灯有y 个， 根据题意可得360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120,240x y ==，则灯球的总数为360x y +=个， 故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为24023603=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意列出方程组，求得两种灯球的数量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．已知命题:0p x ∀>，ln(1)0x +>，命题3:8q x >是||2x >的充要条件，下列命题为真命题的是（ ） A.p q ∧ B.()p q ⌝∨ C.()p q ∧⌝ D.()()p q ⌝∧⌝【答案】C【解析】由已知可判断命题p 为真命题，命题q 是假命题，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】解：命题:0p x ∀>，ln(1)0x +>，由0x >，得11x +>，可得ln(1)0x +>，故命题p 为真命题；命题3:8q x >是||2x >的充要条件，由38x >，得2x >，可推出||2x >，充分性满足，但当||2x >时，如3x =-，不能推出38x >，不满足必要性，故命题q 是假命题 由复合命题的真假判断得()p q ∧⌝为真命题， 故选：C ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查复合命题的真假判断，是基础题． 8．已知1sin cos 5x x +=，[0,]x π∈，则tan x 的值为（ ） A.34-B.43-C.43±D.34-或43- 【答案】B【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tan x 的值． 【详解】解：∵1sin cos 5x x +=，[0,]x π∈， 两边同时平方得：112sin cos 25x x +=，得12sin cos 025x x =-< ∴x 为钝角，结合22sin cos 1,sin ,cos 5354x x x x +=∴==-， 则sin 4tan cos 3x x x ==-， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．9．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】C【解析】分析：利用面积公式12ABCS absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得。
2020届广东省六校联盟高三上学期第一次联考数学（文）试题一、单选题1．已知R 是实数集，M =2|1x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，N ={}|1y y x =-，则NR C M 等于（ ）A ．()1,2B ．[]0,2C ．∅D ．[]1,2【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，集合{2M x =>或0}x <，，所以R{|02}x x M =≤≤，所以RNM ={|02}x x ≤≤，故选B ．【考点】集合的运算． 2．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】根据复数的运算，化简得到3155z i =-，再结合复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算，可得()()()()1121331121212555i i i i z i i i i +-+-====-++-， 所对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限. 故选D . 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a ，b 的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°【答案】A【解析】根据向量的坐标表示，求得,a b 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】由题意，可得()3,1a =，()1,2b =， 设向量a ，b 的夹角为θ，则2cos 9114a b a bθ⋅===+⋅+⋅ 又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒． 故选A . 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．设x ∈R ，则“327x <”是“13log 1x >-”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式分别求出x 的范围，根据解集的包含关系和充要条件的判定方法得到结果. 【详解】327x < 3x ⇒<，则{}3A x x =<13log 1x >-03x ⇒<<，则{}03B x x =<<B A ⊂ A ∴是B 的必要不充分条件本题正确选项：B 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够确定解集之间的包含关系，属于基础题.5．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．3B ．6-C ．10D ．15-【答案】C【解析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果. 【详解】根据程序框图可知2222123410S =-+-+=，故选C. 【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题.6．已知等差数列{}n a 满足3243a =a ，则{}n a 中一定为0的项是（ ） A ．6a B ．8aC ．10aD ．12a【答案】A【解析】利用等差数列通项公式即可得到结果. 【详解】由324=3a a 得，()114(+2d)=3a a d +，解得：150a d +=， 所以，6150a a d =+=， 故选A 【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查计算能力，属于基础题.7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3π+B ．32π+C ．23π+D ．3π+【答案】A 【解析】【详解】由三视图可知，该几何体由一个三棱锥与一个圆柱组成， 棱锥的体积为113213323⨯⨯⨯⨯=， 圆柱的体积为211ππ⨯⨯=， 该几何体的体积为33π+，故选A. 8．2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（ ） A ．411B ．712C ．511D ．1112【答案】C【解析】分析：由市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食知这是一个几何概型，由题可知事件总数包含的时间长度是121，而他等待的时间不多于30分钟的事件包含的时间长度是55，两值一比即可求出所求． 详解：如图，时间轴点所示，概率为55512111P ==故选C.点睛：本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题．9．设函数()2222f x x x =+，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的图形关于直线π8x =对称 C ．()f x 的一个零点为π8x =-D ．()f x 在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】D【解析】化简得函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解． 【详解】由题意，函数()πsin 2cos 2sin 2224f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 则：①函数的最小正周期为2ππ2T ==，故选项A 正确. ②当π8x =时，函数ππsin 182f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选项B 正确.③当π8x =-时，函数π08f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选项C 正确. ④当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ3π2,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上不是单调递减，所以不正确．故选D ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．10．已知函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩为奇函数，则()f x 在2x =处的切线斜率等于（ ）A ．6B ．-2C ．-6D ．-8【答案】B【解析】先求()f x 在x 0>时的解析式，再求切线方程即可 【详解】设x 0>，则x 0-<,()2f x x 2x,-=-又()f x 为奇函数，则()()()2?f x f x x 2x,f x 2x 2,=--=-+=-+则 ()’f 22=-故选：B 【点睛】本题考查函数奇偶性性质，切线斜率，熟记函数奇偶性，准确计算是关键，是基础题 11．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A B 、分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的轴长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]【答案】B【解析】抛物线的准线2l x =-：，焦点20F （，），由抛物线定义可得2A AF x =+， 圆22216x y -+=（）的圆心为20（，），半径为4， ∴FAB 的周长246A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+（）， 由抛物线28y x =及圆22216x y -+=（）可得交点的横坐标为2， ∴26B x ∈（，），∴6812B x +∈（，），故选B. 点睛：本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B 点横坐标的范围是关键；由抛物线性质抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等可得2A AF x =+，从而可得FAB 的周长246A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+（），确定B 点横坐标的范围，即可得到结论.12．已知四边形ABCD PA ⊥平面ABCD ，QC ∥PA ，且异面直线QD 与PA 所成的角为30°，则四棱锥Q －ABCD 外接球的表面积等于( ) A ．12524π B ．1256π C ．25πD ．1252π 【答案】C【解析】先找到异面直线QD 与P A 所成的角为∠DQC=30°，求出QC 长，再由QC ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为正方形，所以四棱锥Q －ABCD 的外接球与长宽高分别为然后由长方体外接半径公式2r =算出外接球的半径，从而求出表面积. 【详解】解：因为QC ∥P A ，所以异面直线QD 与P A 所成的角为∠DQC=30°，因为四边形ABCD所以QC 又因为P A ⊥平面ABCD ，QC ∥P A ，得QC ⊥平面ABCD所以四棱锥Q －ABCD 同所以外接球的半径为52r ==所以四棱锥Q －ABCD 外接球的表面积24πr 25S π== 故选：C. 【点睛】本题考查了异面直线的夹角，空间几何体的外接球，将本题中四棱锥的外接球转化为长方体外接球可简化本题.二、填空题13．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数是________．【答案】40【解析】后两组的频率和是5×(0.0125＋0.0375)＝0.25. 故第2小组的频率是(1－0.25)×26＝0.25，所以抽取的学生人数是100.25＝40.14．设实数x ，y 满足约束条件32032060x y x y x y --≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则3435x y z ++=的最大值为______.【答案】5【解析】画出约束条件所表示的可行域，根据目标函数z 的几何意义表示可行域内的点与直线3430x y ++=的距离，结合图形，得到点A 到直线的距离最大，即可求解． 【详解】由题意，画出实数x ，y 满足约束条件32032060x y x y x y --≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩所表示的可行域，如图所示，又由22343343534x y x y z ++++==+3430x y ++=的距离，结合图形，得到点A 到直线的距离最大，由32060x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得(2,4)A ， 其中最大值为max z =3244355⨯+⨯+=.故答案为5. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题． 15．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos cos 1b bC A c a+=，则角B 的最大值为______. 【答案】π3【解析】根据题意，求得2b ac =，再利用余弦定理，结合基本不等式，求得cos B 的最小值，即可得到答案． 【详解】因为cos cos 1b b C A c a +=，由余弦定理可得222222122b a b c b b c a c ab a bc+-+-⋅+⋅=，整理可得2b ac =，又由2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a c =时等号成立，即cos B 的最小值为12， 因为(0,)B π∈，所以角B 的最大值为π3. 【点睛】本题主要考查了余弦定理和基本不等式的应用，其中解答中利用余弦定理，得到2b ac =，再利用余弦定理，结合基本不等式求得cos B 的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x kx b =+（k ，b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数.现有如下函数：①()3f x x =；②()2xf x -=；③()lg ,00,0x x f x x >⎧=⎨≤⎩；④()sin f x x x =+.则存在承托函数的()f x 的序号为______.（填入满足题意的所有序号） 【答案】②④【解析】由函数()g x kx b =+是函数()f x 的一个承托函数，得到函数()f x 的图象恒在函数()g x 的上方，结合给定函数的值域，逐项判定，即可求解． 【详解】由题意，函数()g x kx b =+（k ，b 为常数）是函数()f x 的一个承托函数，可得函数()f x 的图象恒在函数()g x 的上方（至多有一个交点）①中，函数()3f x x =的值域为R ，所以不存在函数()g x kx b =+，使得函数()f x 的图象恒在函数()g x 的上方，故不存在承托函数； ②中，()20xf x -=>，所以y A =()0A ≤都是函数()f x 的承托函数，故②存在承托函数；③中，函数()lg ,00,0x x f x x >⎧=⎨≤⎩的值域为R ，所以不存在函数()g x kx b =+，使得函数()f x 的图象恒在函数()g x 的上方，故不存在承托函数；④中，函数()sin 1f x x x x =+≥-，所以存在函数()1g x x =-，使得函数()f x 的图象恒在函数()g x 的上方，故存在承托函数； 故答案为②④ 【点睛】本题主要考查了函数新定义的应用，其中解答中正确理解函数的新定义，结合函数的性定义，转化为函数的值域问题求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与论证能力，属于中档试题．三、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，其前n 项和为n B .（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设1n n nc a B =+，求数列{}n c 的前项和n T . 【答案】（1）2n n a =；n b n =；（2）1221n n T n +=-+. 【解析】（1）利用数列的通项n a 和n S 的关系，求得2nn a =，进而求得n b n =即可；（2）由（1）求得()112n B n n =+，可得()21122211nn n c n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，结合等比数列的求和公式和“裂项法”求和，即可求解． 【详解】（1）由题意，数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-， 当1n =时，则11122a S a ==-，解得12a =；当2n ≥时，则1122n n n n n a S S a a --=-=-，可得12n n a a -=，即12nn a a -=， 所以{}n a 的首项和公比均为2的等比数列，可得2nn a =，又由22log log 2nn n b a n ===．（2）由（1）知n b n =，可得()112n B n n =+， 所以()121122211n n n n n c a B n n n n ⎛⎫=+=+=+- ⎪++⎝⎭， 即有()2121111121122231n n T n n -⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭ 11122221211n n n n ++⎛⎫=-+-=- ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了利用数列的通项n a 和n S 的关系求解数列的通项公式，以及等比数列的前n 项和公式和“裂项法”求和的综合应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 18．某区在2019年教师招聘考试中，参加A 、B 、C 、D 四个岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（1）从表中所有应聘人员中随机抽取1人，试估计此人被录用的概率；（2）将应聘D 岗位的男性教师记为()1,2,3i A i ==，女性教师记为()1,2,3i B i ==，现从应聘D 岗位的6人中随机抽取2人. （i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2人性别不同”，求事件M 发生的概率. 【答案】（1）4331000；（2）（i ）{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}33,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B ；（ii ）35. 【解析】（1）根据表中的数据，得到表中所有应聘人数为1000，被录用的人数为433，利用古典概型及概率的计算公式，即可求解；（2）（i ）记应聘D 岗位的男性为1A ，2A ，3A ，应聘D 岗位的女性为1B ，2B ，3B ，利用列举法，即可求解；（ii ）列举出事件M “抽取的2人性别不同”所含基本事件的个数，利用古典概型及概率的计算公式，即可求解． 【详解】（1）因为表中所有应聘人数为5334671000+=，被录用的人数为264169433+=. 所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =. （2）（i ）记应聘D 岗位的男性为1A ，2A ，3A ，应聘D 岗位的女性为1B ，2B ，3B ， 从应聘D 岗位的6人中随机选择2人，共有15种结果，分别为：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}33,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B ，（ii ）事件M “抽取的2人性别不同”情况有9种：{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}33,A B ，∴事件M 发生的概率为93155m P n ===. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，利用列举法一一列举基本事件的总数和所求事件所包含基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面AEC ⊥平面CDE ，90AEC ∠=︒，F 为DE 中点，且1DE =.（1）求证：CD DE ⊥；（2）求FC 与平面ABCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）26. 【解析】（1）先由面面垂直的性质，证得AE ⊥平面CDE ，得到AE CD ⊥，在由正方形的性质，得到CD AD ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得CD ⊥平面DAE ，即可得到CD DE ⊥；（2）过F 作FM AD ⊥于M ，连接CM ，得到FCM ∠为FC 与平面ABCD 所成角，再结合三角形相似，即可求解． 【详解】（1）因为平面AEC ⊥平面CDE ，平面AEC平面CDE CE =，90AEC ∠=︒，∴AE ⊥平面CDE ，又由CD ⊂平面CDE ，∴AE CD ⊥， ∵ABCD 为正方形，∴CD AD ⊥， 又∵AEAD A =，∴CD ⊥平面DAE ，∴CD DE ⊥.（2）过F 作FM AD ⊥于M ，连接CM . 由（1）得CD ⊥平面DAE ，∴CD FM ⊥， 又CDAD D =，所以FM ⊥平面ABCD ，∴FCM ∠为FC 与平面ABCD 所成角， ∴2AD CD ==，1DE =，12DF =，∴32FC =，221AE AD DE =-=， 由DFM ∆∽DAE ∆，可得FM DF AE AD =，∴24AE DF FM AD ⋅==， ∴2sin 6FM FCM FC ∠==【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与证明，以及线面角的求解，其中解答中熟记线面垂直的判定定理，以及熟练应用根据线面角的定义得到直线与平面所成的角是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题． 20．函数()1xf x e x =--，()()cos 1xg x eax x x =++.（1）求函数()f x 的极值，并证明，当1x >-时，111x e x ≤+； （2）若1a >-，证明：当()0,1x ∈时，()1g x >.【答案】（1）极小值()00f =，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）求得函数的导数()1xf x e '=-，得出函数的单调性，求得函数最小值，结合不等式的性质，即可求解； 函数()f x 只有极小值()00f =，（2）不等式()1g x >等价于1cos 1xax x x e ++>，构造新函数()1cos 1h x x a x =+++，利用导数求得函数的单调性，结合函数的最值，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数()1x f x e x =--，则()1xf x e '=-，由()0f x '>得0x >，()0f x '<得0x <，所以函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 所以函数()f x 只有极小值()00f =，所以()10xx e f x =--≥，所以1x e x ≥+，又1x >-，得111x e x ≤+． （2）不等式()1g x >等价于1cos 1x ax x x e++>，()0,1x ∈ 由（1），且()0,1x ∈，得111x e x <+， 所以111cos 1cos 1cos cos 111x x ax x x ax x x ax x x x a x e x x x ⎛⎫++->++-=++=++ ⎪+++⎝⎭，令()1cos 1h x x a x =+++，则()()21sin 1h x x x '=--+，当()0,1x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在()0,1上为减函数， 所以()()11cos12h x h a >=++， 因为π1cos1cos32>=，所以，当1a >-时，1cos102a ++>， 所以()0h x >，所以当()0,1x ∈时()1g x >. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.【答案】（1）22113y x +=； （2）见解析. 【解析】（1）根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程，根据得到的式子求出,,a b c . （2）当直线l 斜率不存在时，易得NAB 的面积，当直线l 斜率存在时，设为y kx m =+，与椭圆1C 相切，得到k 和m 的关系，再由直线l 和椭圆联立方程组，得到12x x +、12x x ， 利用弦长公式表示出AB ，再得到ON 和MO 的关系，由O 到AB 的距离，得到N 到AB 的距离，从而计算出NAB 的面积.得到结论为定值.【详解】（1）解：因为1C所以22619b a=-，解得223a b =.①将点⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 联立①②，得21a =，213b =， 故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得3y =±，所以11122NAB S MN AB ∆=⋅==. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310kxkmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m∆=-+-=，整理得22313m k =+.将y kx m =+代入椭圆2C 的方程， 得()222136330kxkmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+，所以AB =2313k m==+.设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=， 所以3ON MO =，从而)1NM OM =. 又因为点O 到直线l的距离为d =所以点N到直线l 的距离为)11m d ⋅=所以))111122NABS d AB ∆=⋅==，综上，NAB ∆【点睛】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆相切和相交，设而不求的方法表示弦长和三角形面积等，涉及知识点较多，对计算要求较高，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)1x y -+=，圆2C ：22(2)4x y ++=.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆1C ，2C 的极坐标方程；（2）设A ，B 分别为1C ，2C 上的点，若OAB ∆为等边三角形，求AB .【答案】（1）C 1：ρ＝2cosθ；C 2：ρ＝－4cosθ（2）7． 【解析】（1）由直角坐标方程与极坐标方程的互化即可求解；（2）设A(ρA ，θ)，B(ρB ，θ＋π3)，0＜θ＜π2，由ρA ＝2cosθ=ρB ＝－4cos(θ＋π3)，得tanθ，则可求AB =ρA 【详解】（1）依题意可得，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1；圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4． 所以C 1：x 2＋y 2＝2x ；C 2：x 2＋y 2＝－4x ， 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcosθ，所以C 1：ρ＝2cosθ；C 2：ρ＝－4cosθ．（2）因为C 1，C 2都关于x 轴对称，△OAB 为等边三角形，所以不妨设A(ρA ，θ)，B(ρB ，θ＋π3)，0＜θ＜π2． 依题意可得，ρA ＝2cosθ，ρB ＝－4cos(θ＋π3)．从而2cosθ＝－4cos (θ＋π3)，整理得，2cosθsinθ，所以tanθ＝3，又因为0＜θ＜π2，所以cosθ＝7，|AB|＝|OA|＝ρA ＝7． 【点睛】本题考查极坐标方程，ρ的几何意义的应用，三角函数，利用ρA ＝ρB 求得θ是突破点，是中档题23．设函数()f x x m x n =-++，其中0m >，0n >. （1）当1m =，1n =时，求关于x 的不等式()4f x ≥的解集； （2）若m n mn +=，证明：()4f x ≥. 【答案】（1）(][),22,-∞-+∞（2）见解析【解析】（1）代入m ，n 的值，求出()f x 的分段函数的形式，求出不等式的解集即可； （2）变形m n mn +=可得111m n+=，再利用三角不等式求出()f x 的最小值为m n +，由基本不等式即可得到()f x 的最小值为4 【详解】解：（1）由1m =，1n =，得()2,1112,112,1x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，所以()4f x ≥的解集为(][),22,-∞-+∞.（2）由m n mn +=，可得111m n+=， ()f x x m x n m n =-++≥+，因为0m >，0n >， 所以()()1124n m f x m n m n m n m n ⎛⎫≥+=++=++≥⎪⎝⎭，当且仅当2m n ==时等号成立.所以()4f x ≥. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及含参数不等式恒成立的问题，属于中档题。
2020届广东省高三调研（12月）考试数学（文）试题一、单选题1．若(1312)z i i =++)(，则（ ） A ．z 的实部等于虚部 B ．z 的实部与虚部互为相反数 C ．z 的实部大于虚部 D ．z 的实部与虚部之和大于零【答案】B【解析】先化简得55=-+z i ,易知实部为5-,虚部为5,故互为相反数 【详解】∵55=-+z i ,∴z 的实部与虚部互为相反数 故选：B 【点睛】本题考查复数的运算,考查实部与虚部的关系,属于基础题 2．已知集合{|4}A x x =<，{}2|50B x x x =-≤，则A B =（ ）A ．{|04}x x ≤<B ．{|5}x x ≤C ．{|04}x x <<D ．{|0}x x ≤【答案】A【解析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ． 【详解】因为{|4}A x x =<，{|05}B x x =≤≤，所以{|04}A B x x ⋂=≤<. 故选：A 【点睛】本题考查两个集合的交集的求法，考查二次不等式解法及交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况，如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（ ）A ．他们健身后，体重在区间(90kg,100kg)内的人增加了2个B ．他们健身后，体重在区间[100kg,110kg)内的人数没有改变C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8 kgD ．他们健身后，原来体重在区间[110kg,120kg)内的肥胖者体重都有减少 【答案】C【解析】利用饼状图逐项分析即可求解 【详解】体重在区间[90kg,100kg)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人.故人增加了2个，故A 正确；他们健身后，体重在区间[100kg,110kg)内的百分比没有变，所以人数没有变，故B 正确；他们健身后，20人的平均体重大约减少了(0.3950.51050.2115)(0.1850.4950.5105)5kg ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯=；因为图（2）中没有体重在区间[110kg,120kg)内的比例，所以原来体重在区间[110kg,120kg)内的肥胖者体重都有减少，故D 正确 故选：C 【点睛】本题考查识图能力，考查统计知识，准确理解图形是关键，是基础题4．已知函数310()20x x f x x x ⎧+>=⎨+⎩，，，，…，若()1f a =，则()f a -=（ ）A ．2B ．4C ．6D ．10【答案】B【解析】根据指数函数的性质可知当0x >时,()3121xf x =+>>,则()21f a a =+=,即得1a =-,则代入求解可得()f a -【详解】因为当0x >时,()3121xf x =+>>,所以()21f a a =+=,解得1a =-,则()()11314f a f -==+=,故选：B 【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数函数性质的应用5．在ABC △中，AC =135ABC ∠=︒，则ABC △的外接圆的面积为（ ） A ．12π B ．8πC ．16πD ．4π【答案】D【解析】由正弦定理可得2sin b R B =,即2sin ACR ABC=∠,可得2R =,进而求得外接圆面积即可 【详解】由2sin b R B =,则2sin ACR ABC=∠,22R=,则2R =,所以外接圆面积为24S R ππ==故选：D 【点睛】本题考查正弦定理比值的几何意义,属于基础题6．第28届金鸡百花电影节将于11月19日至23日在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为（ ） A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】C【解析】分别列举出五部作品中选择两部的情况,共有10种,再找到《春潮》与《抵达之谜》至少有一部的情况,共有7部,求出概率即可 【详解】从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为（《南方车站的聚会》，《春江水暖》），（《南方车站的聚会》，《第一次的离别》），（《南方车站的聚会》，《春潮》），（《南方车站的聚会》，《抵达之谜》），（《春江水暖》，《第一次的离别》），（《春江水暖》，《春潮》，（《春江水暖》，《抵达之谜》），（《第一次的离别》，《春潮》）（《第一次的离别》，《抵达之谜》），（《春潮》，《抵达之谜》），共10种情况，其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种，故所求概率为710故选：C 【点睛】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,考查古典概型,属于基础题 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．115πB ．140πC ．165πD ．215π【答案】A【解析】由三视图可知，直观图是由半个球与一个圆锥拼接，即可求出表面积． 【详解】由三视图可知，该几何体由半个球与一个圆锥拼接而成，所以该几何体的表面积251325115S πππ=⨯⨯+⨯=.故选：A 【点睛】本题考查三视图，考查表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 8．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的（九章算术也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”.其中4AB =.D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理.则AB AD ⋅=（ ）A ．25144B ．25169C ．16925D ．14425【答案】D【解析】先由等面积得AD ，利用向量几何意义求解即可 【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥，则AB 在AD 上的投影为||AD ，所以2144||25AB AD AD ⋅==. 故选：D【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，是基础题 9．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z . 故选：B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为010．设tan 211a ︒=，则sin17cos17sin17cos17︒+︒=︒-︒（ ）A ．221aa - B ．221-a a C ．21a a - D ．241aa - 【答案】A【解析】先对式子进行化简,分子分母同时除以cos17︒,再利用正切的和角公式求解可得,原式tan62=-︒,根据诱导公式可得tan 211tan31︒=︒=a ,进而利用倍角公式求解即可 【详解】()sin17cos17tan171ta tan 4n 5tan 45117tan 1745tan 62sin17cos17tan171tan17︒︒︒︒+︒++===-+=---︒︒︒︒︒︒︒︒-,因为tan 211tan31︒=︒=a , 所以222tan 312tan 621tan 311︒︒==-︒-a a ,故2sin17cos172sin17cos171︒+︒=︒-︒-aa 故选：A 【点睛】本题考查利用正切的和角公式、倍角公式进行化简,考查三角函数分式齐次式求值问题11．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D 【答案】C【解析】由0FA FB +=得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可 【详解】因为0FA FB +=，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==. 故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．12．已知函数2()()(0)f x x x a a =->，则函数()()()g x ff x =的零点个数不可能为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】先利用导数求得函数的极值,根据()0f x =时,10x =,2x a =,则()()()g x f f x =的零点即方程()0f x =与()f x a =的根,显然()0f x =有2个根,则讨论3427a 与a的关系即可得到()()()g x f f x =可能的零点个数【详解】由题,()3222f x x ax a x =-+,则()()()22343f x x ax a x a x a '=-+=--,令()0f x '>,得3a x <或x a >；令()0f x '<,得3<<ax a ,所以()f x 的极大值为34327⎛⎫=⎪⎝⎭a af ,极小值为()0f a = 令()0f x =得10x =,2x a =,所以()()()g x ff x =的零点即方程()0f x =与()f x a =的根,()0f x =显然有2个根,则当3427=a a ,即=a 时,()f x a =有2个根；当3427>a a ,即>a 时,()f x a =有3个根；当3427<a a ,即0<<a ,()f x a =有1个根,故()()()g x f f x =的零点个数可能为3,4,5 故选：A 【点睛】本题考查利用导数求函数极值,考查零点的个数问题,考查分类讨论思想和运算能力二、填空题13．不等式组020220y x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-+⎩………，表示的可行域的面积为______.【答案】3【解析】由题画出可行域,进而求得面积即可 【详解】作出可行域,如图所示,可行域的面积为13232⨯⨯=故答案为：3 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域的应用问题,属于基础题14．若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离为8，则P 到x 轴的距离是________. 【答案】6【解析】由抛物线的焦半径公式得则()00,P x y 的坐标，则到x 轴的距离可求． 【详解】设点()00,P x y ，则028y +=，即06y =，即P 到x 轴的距离是6. 故答案为：6 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，着重考查抛物线定义的应用，是基础题．15．已知函数2()log )f x x =，则不等式(1)(2)0f x f x ++>的解集为________.【答案】1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】证明()f x 为奇函数，并确定为增函数，去掉函数符号f 列不等式求解 【详解】由题2()log )f x x =定义域为R,2()log )()f x x f x -==-故()f x 为奇函数，则(1)(2)0f x f x ++>等价于(1)(2)f x f x +>-，又()f x 为增函数，所以12x x +>-，解得1,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．16．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，D 为线段BC 上的动点，若PC 与底面ABC 所成角为30°，则PD 与底面ABC 所成角的正切值的最大值为______.【解析】由题可得PA =分析可得当AD BC ⊥时,PD 与底面ABC 所成角PDA ∠最大,即要求出tan ∠=PAPDA AD,在ABC ∆中,由余弦定理解得BC =利用等面积法求得=AD ,代入求解即可 【详解】因为PA ⊥平面ABC ,PC 与底面ABC 所成角为30°,所以30∠=︒PCA , 又3AC =,所以PA =当AD BC ⊥时,PD 与底面ABC 所成角PDA ∠最大,且tan ∠=PAPDA AD在ABC ∆中,由余弦定理得BC ===又11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ∆=⋅⋅∠=⋅,即112322⨯⨯=AD ,解得=AD , 则PD 与底面ABC所成角的正切值的最大值为PA AD ==【点睛】本题考查线面成角,考查利用余弦定理解三角形,考查运算能力三、解答题17．某公司一产品的销售额逐年上升，下表是部分统计数据：其中年份编号1x =代表2014年，2x =代表2015年，……依此类推.（1）利用所给数据求年销售额y 与年份编号x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）利用（1）中所求出的直线方程预测该产品2019年的销售额.参考公式：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆ=-ay bx . 【答案】（1）ˆ12.821.6=+yx （2）98.4百万元【解析】（1）根据平均数公式求出x 与y ,将数据代入求出ˆb,再代入ˆ=-a y bx 求得ˆa ,即可得到回归直线方程；（2）由于1x =代表2014年,则ˆ6=x代表2019年,代入回归直线方程求解即可 【详解】 解：（1）由图表可知,()11234535x =⨯++++=,()13646577685605y =⨯++++=, 所以511362463574765851028i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑,522222211234555ii x==++++=∑,则1222110285360ˆ12.85553ni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑, ˆˆ6012.8321.6=-=-⨯=ay bx , 故所求的回归方程为ˆ12.821.6=+yx （2）由题,当ˆ6=x时,ˆ12.8621.698.4y =⨯+=, 故该产品2019年的销售额估计为98.4百万元【点睛】本题考查求回归直线方程,考查回归直线方程的应用,考查运算能力 18．已知正项等比数列{}n a 的前n 项积为n ∏，且364∏=，71∏=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}22log +n n a a 的前n 项和n S .【答案】（1）412-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n a （2）247216nn S n n -=-+-+【解析】（1）利用等比数列性质可得331232I 64===a a a a ,771274II 1===a a a a ,解得24a =,41a =,则12q =,18a =,进而求得{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得2log 4=-n a n ,分组求和即可求解 【详解】解：（1）因为正项等比数列{}n a ,所以331232I 64===a a a a ,771274II 1===a a a a ,则24a =,41a =,从而24214a q a ==, 依题意得0q >,所以12q =,则214812a a q ===, 故{}n a 的通项公式为1411822n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为412-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n a ,所以4221log log 42n n a n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭,则21log 413a =-=,显然{}2log n a 是首项为3的等差数列,所以()24181342272161212n n n n n S n n -⎛⎫- ⎪+-⎡⎤⎝⎭⎣⎦=+⨯=-+-+-【点睛】本题考查等比数列的性质的应用,考查求等比数列通项公式,考查分组求和法求前n 项和,考查运算能力19．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，O 为11A C 的中点，且2AB =.（1）证明：OD平面1AB C .（2）若异面直线OD 与1AB 所成角的正弦值为11，求三棱柱111ABC A B C -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接1OB ，连接BD 交AC 于G ，连接1B G ，证明四边形1OB GD 为平行四边形，得到证明.（2）线OD 与1AB 所成角即直线1B G 与1AB 所成角，1sin 11AB G ∠=,证明1AC B G ⊥，再计算得到1BB =.【详解】（1）连接1OB ，连接BD 交AC 于G ，连接1B G . 易证1OB DG ，且1O B D G =，所以四边形1OB GD 为平行四边形，所以1ODB G .因为1B G ⊂平面1AB C ，OD ⊄平面1AB C ，所以OD 平面1AB C .（2）由（1）知，1ODB G ，所以异面直线OD 与1AB 所成角即直线1B G 与1AB 所成角，所以1sin 11AB G ∠=. 因为底面ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，又侧棱垂直底面，所以1BB AC ⊥. 因为1BB BD B ⋂=，所以AC ⊥平面11BB D D ，所以1AC B G ⊥.因为AG =1sin 11AB G ∠=，所以1AB =1BB ==故三棱柱111ABC A B C -的体积2122V =⨯=【点睛】本题考查了线面平行，体积的计算，计算出1BB 的长度是解题的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20．已知函数()()33114ln 10f f x ax x x '=--的图象在点()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b .（1）求a ，b 的值；（2）若()13f x m >对()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）13a =,403=-b （2）2642ln 2<-m【解析】（1）求导可得()()23114310f f x ax x''=--,由题,切线方程斜率为()1f k '=,解得13a =,代回函数求得()1013f =,即10103b =--,可求得403=-b ； （2）如果求()13f x m >对0x ∈+∞（，）恒成立,即求()min 13f x m >,利用导数判断单调性求得最小值即可求解不等式 【详解】解：（1）()()23114310f f x ax x''=--, 因为()f x 在()()1,1f 处的切线方程为100++=x y b ,即10y x b =--,此时切线斜率10k =-,则()3(1)13141010f f a k ''=--==-,解得13a =,所以()()333101114ln 314ln 3103f x x x x x x x ⨯-=--=+-, 所以()31110113114ln13333f =⨯+⨯-=+=,则10103b =--,解得403=-b（2）由（1）知()31314ln 3f x x x x =+-,()32143143x x f x x x x+-'=+-=, 设函数()()33140g x x x x =+->,则()2330g x x '=+>,所以()g x 在()0,∞+为增函数,因为()20g =,令()0g x <,得02x <<；令()0g x >,得2x >, 所以当02x <<时,()0f x '<；当2x >时,()0f x '>, 所以()()3min 126223214ln 214ln 233f x f ==⨯+⨯-=-, 从而12614ln 233<-m ,即2642ln 2<-m 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求值,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查转化思想,考查运算能力21．已知圆22260x y ++-=的圆心为1F ，直线l 过点2F 且与x 轴不重合，l 交圆1F 于C ，D 两点，过2F 作1F C 的平行线，交1F D 于点E .设点E 的轨迹为Ω. （1）求Ω的方程；（2）直线1l 与Ω相切于点M ，1l 与两坐标轴的交点为A 与B ，直线2l 经过点M 且与1l 垂直，2l 与Ω的另一个交点为N ，当||AB 取得最小值时，求ABN ∆的面积.【答案】(1) 221(0)82x y y +=≠ (2) 【解析】（1）根据三角形相似得到DE BEAD AC=，得到AE +DE ＝4，再利用椭圆定义求解即可（2）设1l 的方程为(0)y kx m k =+≠，与椭圆联立，由直线1l 与Ω相切得2282m k =+，由1l 在x 轴、y 轴上的截距分别为mk-，m ，得||AB 表达式，结合基本不等式求得M 坐标及2l ，进而得||MN ，则面积可求 【详解】（1）因为12FC EF ∥，所以12FCD EF D ∠=∠. 又11=F C F D ，所以11FCD F DC ∠=∠，则22EDF EF D ∠=∠， 所以2||ED EF =，从而2111||EF EF ED EF DF +=+=.22260x y ++-=化为22(32y x y ++=，所以21EF EF +==>从而E的轨迹为以1(F，2F为焦点，长轴长为右顶点）.所以Ω的方程为221(0)82x y y +=≠.（2）易知1l 的斜率存在，所以可设1l 的方程为(0)y kx m k =+≠，联立22,1,82y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222148480k x kmx m +++-=.因为直线l 与Ω相切,所以()()222(8)414480km k m∆=-+-=，即2282m k =+.1l 在x 轴、y 轴上的截距分别为mk-，m ，则||AB ====≥= 当且仅当2228k k =，即2k =±时取等号. 所以当212k =时，||AB 取得最小值，此时26m =，根据对称性.不妨取2k =，m=282143M km x k =-=-+，即3M x =-323M y =-⨯+=.联立22,1,82y x x y ⎧=+⎪⎪⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y，得29160x ++=，则39M N N x x x +=-+=-，解得9N x =-，所以8||3M N MN x =-=，故ABN ∆的面积为1823⨯⨯=【点睛】本题考查了椭圆定义求轨迹方程，考查直线和椭圆的关系，考查基本不等式求最值，确定取得最值时直线方程是关键，属于压轴题．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），曲线C 的参数方程为3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为(2,)π，l 与曲线C 交于,A B两点，求2.【答案】（1）6sin ρθ=；（2）6+.【解析】（1）利用消参数将参数方程化成普通方程，再利用公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化成极坐标方程；（2）将点P 的极坐标化为直角坐标，得点P 为直线参数方程所过的定点，再利用参数的几何意义进行求解. 【详解】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y +-=，即226x y y +=，因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以26sin ρρθ=，即6sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=.（2）将12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得2(240t t -++=.设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则122t t +=+124t t =.因为点P 的极坐标为(2,)π，所以点P 的直角坐标为(2,0)-，所以212||||6PA PB t t +=++=++=+.【点睛】本题考查曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、直线参数方程参数的几何意义，考查转化与化归思想的应用，求解是要注意利用直线的参数的几何意义解题时，要保证参数方程为标准形式.23．已知函数()7 1.f x x x =-++ （1）求不等式2()10x f x <<的解集；（2）设[]x 表示不大于x 的最大整数，若[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）(2,4)-；（2）(2,1)--.【解析】（1）将函数()f x 的绝对值去掉等价于62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩再分别解不等式并取交集；（2）利用取整函数的定义，将不等式[()]9f x ≤转化为()10f x <，再利用（1）的结论进行求解. 【详解】（1）62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩由()2f x x >得：1,622,x x x <-⎧⎨->⎩或17,82,x x -≤≤⎧⎨>⎩或7,262,x x x >⎧⎨->⎩解得：4x <；由()10f x <，1,6210,x x <-⎧⎨-<⎩或17,810,x -≤≤⎧⎨<⎩或7,2610,x x >⎧⎨-<⎩解得：28x -<<.故不等式2()10 x f x <<的解集为：(2,4)-. （2）依题意可得[()]9f x ≤等价于()10f x <， 由（1）知[()]9f x ≤的解集为(2,8)-. 因为[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，所以[,9](2,8)a a +⊆-，所以2,98,a a >-⎧⎨+<⎩解得21a -<<-，所以a 的取值范围为(2,1)--. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、取整函数的应用，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用，第（2）问取整函数不等式的等价转化是求解问题的关键.。
广东省广州市2020届高三年级调研测试（文科数学）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是（）A.皿+3b.”+手 C.血+2»"+警2.执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）第6题图A.就210一1b.2曜3-1c2d.63.函数y=3sinx+4cosx,xg R的值域是（）A.[-7,7]B.[-章]仁[>4]d.[―如]2224.已知椭圆q：亳+,=1（。
〉力〉o）与双曲线：亍-=1有公共焦点，G的一条渐近线与以G的长轴为直径的圆相交于A,8两点，若G恰好将线段屉三等分，则（）A.8b.W=12 c.8D.b2=15.过三点A（l,3）,3（4,2）,C（l,—7）的圆截直线x+ay+2=0所得弦长的最小值等于（）A.2右b.4右c.而D.2^13Y2y23。
6.设g是椭圆&；+*=1（。
＞力＞0）的右焦点，A是椭圆E的左顶点，尸为直线x=y上一点, AAPE是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为22£J_A.4b.3 c.2D.37.已知集合A={x\x-x2＞0},B={%|y=lg（2x-l））,则集合A B=（）B.【°』—,+oo 28.一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的表面积为（）俯浅图A.72+671B.72+4冗C.48+6"D.48+4tt9.如图，网格纸上小正方形的边长为。
，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为3+J^，贝帅的值为（）正视图■左视图A.4B.3 c.2D.i10.已知定义在R上的偶函数/'(x)满足f(l+x)^f(l-x),当xg[O,1]时，f(x)=x.函数g(x)=疽7(_1<X<3),则/(A-)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为()A.3B.4C.5D.611.设函数/'(%)(%6幻满足/"(x+z)=/"(%)+sinx,,当OWx<兀，f(x)=O,则=()£V?_J_A.2B.2C.0D.212.设。
绝密★启用前揭阳市2019-2020学年度高中毕业班学业水平考试数学（文科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{1,1}B =-，则A B =ðA ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．复数221z i i=++-的虚部是 A ．3B ．2C ．2iD ．3i3．“0a b ⋅≥”是“a 与b 的夹角为锐角”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数2()2xaf x -=，14f =，则(f = A ．1 B ．18- C ．12D ．185.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知132,6S S =-=-，且公比1q ≠，则3a =A ．-2B ．2C ．-8D ．-2或-86. 若点(2,A 在抛物线2:2C y px =上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为A B C ． D7. 已知[0,]x π∈，且3sin2x =tan 2x = A ．12- B ．12 C ．43D ．28. 右图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是 A.从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B.2011年该地区环境基础设施的投资额比 2000年至2004年的投资总额还多；C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 9.函数1()ln ||f x x=+的图象大致为10．若,x y 满足约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x z y =-+的最小值为A ． -1B ．-2C ．1D ． 211．某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为 A ．πB ．2πC ．4πD ．16π12．已知函数312()423x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底， 若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．1[,)2+∞C ．1(1,)2-D ．1[1,]2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,)a x =、(1,2)b =--，若a b ⊥，则||a = _____；14．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为____；15. 如图，圆柱O 1 O 2 内接于球O ，且圆柱的高等于球O 的半径，则从球O 内任取一点，此点取自圆柱O 1 O 2 的概率为 ；OHCBAP16. 已知数列{}n a 满足119a =-，181n n n a a a +=+()n N *∈，则数列{}n a 中最大项的值为 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2s i n c o s s i n a B A b A -=，（1）求A ；（2）当函数()sin )6f x B C π=-取得最大值时，试判断ABC ∆的形状．18.（12分）如图，在三棱锥P-ABC 中，正三角形PAC 所在平面与等腰三角形 ABC 所在平面互相垂直，AB ＝BC ，O 是AC 中点，OH ⊥PC 于H . （1）证明：PC ⊥平面BOH ；（2）若OH OB ==，求三棱锥A-BOH 的体积．19.（12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1），并据此判断哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周．．．培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率. 20.（12分）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，下顶点为B ，过A 、O 、B （O 为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为1)2-． （1）求椭圆的方程；（2）已知点M 在x 轴正半轴上，过点B 作BM 的垂线与椭圆交于另一点N ，若∠BMN =60°，求点M 的坐标．21.（12分）已知函数()()21322xf x x e x x =--+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求实数a 的值，使得2x =是函数()()3213g x f x ax ax =+-唯一的极值点． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）已知曲线C 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=⎩，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线1l 、2l 相互垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点（不同于点O ），且1l 的倾斜角为锐角α. （1）求曲线C 和射线2l 的极坐标方程；（2）求△OAB 的面积的最小值，并求此时α的值． 23. [选修4-5：不等式选讲] (10分）已知函数()|2||2|f x x a x =--+.（1）当2a =时，求不等式()2f x <的解集；（2）当[2,2]x ∈-时，不等式()f x x ≥恒成立，求a 的取值范围．揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（文科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．解析：11. 三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r ，母线的长为l ，则2284r l r l +=⇒+=， S 侧=2()42r l rl πππ+≤=（当且仅当r l =时“=”成立） 12. 由222'()42240x x f x x e e x x -=-++≥-+=≥，知()f x 在R 上单调递增，且31()422()3x x f x x x e e f x --=-++-=-，即函数()f x 为奇函数， 故2(1)(2)0f a f a -+≤2(1)(2)f a f a ⇔-≤-212a a ⇔-≤-2210a a ⇔+-≤，解得112a -≤≤. 二、填空题解析：16. 由181n n n a a +=+得18n n n n a a a +==+18n na a +⇒-=， 即数列1{}n a 是公差为8的等差数列，故111(1)8817n n n a a =+-⨯=-，所以1817n a n =-， 当1,2n =时0n a <；当3n ≥时，0n a >，数列{}n a 递减，故最大项的值为317a =. 三、解答题17.解：（1）由正弦定理sin sin a bA B=得sin sin 0a B b A =≠，----------------------------------2分又2sin cos sin 0a B A b A -=, ∴2cos 1A =,即1cos 2A =，------------------------------------------------------------------------4分 ∵0A π<< ∴3A π=.-----------------------------------------------------------------------------6分（2）解法一：∵3A π= ∴23C B π=-,从而62C B ππ-=-， ------------------------------7分。
高三数学上学期第三次调研考试试题 文全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．若{}{}=0,1,2,32,A B y y x x A ==∈，，则A B =U （ ）．A ．{}0,2,4,6B ．{}0,2C ．{}0,1,2,3,4,6D ．{}0,1230246,,,,,,2．设i 为虚数单位，复数21322z i ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应的点在第（ ）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四3．已知数列{}n a 是等比数列，函数2=53y x x -+的两个零点是15a a 、，则3a =（ ）．A ．1B ．1-C ．3±D ．3 4．“()()110b a -⋅->”是“log 0a b >”成立的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 5．已知圆C ：2240x y x a +++=上存在两点关于直线:=2l y kx +对称，k =（ ）．A ．1B ．1-C ．0D ．12 6．在ABC ∆中，1=3AD DC u u u r u u u r，P 是直线BD 上的一点，若12AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则m =（ ）．A. 4-B.1- C ．1 D ．4 7．惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐，该教师统计自己1至8月的月平均通话时间，其中有6个月的月平均通话时间分别为520、530、550、610、650、660（单位：分钟），有2个月的数据未统计出来。
绝密★启用前2020届广州市高三年级调研测试文科数学2019.12本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号、并将试卷类型（A ）填图在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡各题目制定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔盒涂改液，不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知复数z=i435，则复数z 的虚部为（ ） A. 4i B. C. 54i D. 542.设集合A={x|x 2−2x−3}≤0，B={x|y=ln(2−x) } ，则A ∩B=（ ）A. [−3,2)B. (2,3]C. [−1,2)D. (−1,2)3.如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成，在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A.41 B. 3 C. 32 D. 43 4.命题“∀x>0,lnx ≥1−x 1”的否定是（ ）A. ∃x ≤0，lnx ≥1−x 1B. ∃x ≤0 ，lnx<1−x 1C. ∃x>0，lnx ≥1−x 1D. ∃x>0，lnx<1−x15.设 a ，b 是单位向量，a 与b 的夹角是60°，则c =a +3b 的模为（ ） A. 13 B.13 C. 16 D. 46.已知实数x ，y 满足，则z=x−3y 的最小值为（ ）A. −7B. −6C. 1D. 6 7.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m−1)x n 的图像上，设a= f(33)，b= f(lnπ)，c=f(22)，则a,b,c 的大 小关系为（ ）A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. a<c<b8.已知F 为双曲线C: 12222=-by a x 的右焦点，过点F 作C 的渐近线的垂线FD ，垂足为D ，且满足|FD|=|OF|（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A.332 B. 2 C.3 D. 310 9函数f(x ）=xx e e x x -+-|2|ln 的图象大致为（ ）10.已知函数f(x)=sin(2x+ϕ)0<ϕ<2π，将函数f(x)的图象向左平移 个单位长度，得到的函数的图象关于y 轴对称，则下列说法错误的是（ ）A. f(x)在（-32π，2π）上单调递减 B. f(x)在（0, 3π）上单调递增 C. f(x)的图象关于（125π ,0 ）对称 D. f(x)的图象关于x=−3π对称11.已知三棱锥P−ABC 中，PA=1，PB= 7，AB=22，CA=CB=5，面PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A.920π B. 1225π C. 325πD. 35π 12.已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足122log ,02)12(+==---n an nn n n b S S ，若[x]表示不超过x 的最大正数，则2021202032212020....20202020b b b b b b +++=（ ） A. 2018 B.2019 C.2020 D.2021二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知抛物线x 2=2py(p>0)的焦点与椭圆=1的一个焦点重合，则p=__________.14.设数列{a}为等比数列，若2a ，4a ，8a 成等差数列，则等比数列{a}的公比为__________.15.奇函数f(x)=x (x xeae +)（其中e 为 的底数）在x=0处的切线方程为__________. 16.已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为__________.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知csin(A+3π)−asinC=0. （1）求角A 的值；（2）若∆ABC 的面积为3，周长为6，求a 的值.18．（本小题满分12分）随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一中形式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调50. 年龄（岁） [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数51012721（）若以“年龄岁为分界点”，由以上统计数据完成下面×列联表，并判断是否有99%的把 握 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计（）若从年龄在的被调查人中随机选取人进行追踪调查，求人中至少有人不赞成“使用微信交流”的概率.附：19．（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC=60，平面AEFC ⊥平面ABCD ，EF AC ，且AE=1，AC=2EF.（1）求证：平面BED ⊥平面AEFC ；（2）若四边形AEFC 为直角梯形，且EA ⊥AC ，求点A 到平面FCD 的距离.20. （本小题满分12分）已知椭圆C: 13222=+y ax (a>0)的右焦点F 到左顶点的距离为3（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A,B 不在x 轴上），若OB OA OE +=延长AO 交椭圆于点G ，求四边形AGBE 的面积S 的最大值.21. （本小题满分12分）已知a ≥1，函数f(x)=xlnx−ax+1+a(x−1) 2. （1）若a=1，求f(x)的单调区间； （2）讨论f(x)的零点个数.（二）选考题：共10分 。
