浙江省名校协作体2018学年第二学期联考高三年级数学学科试题

2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科试题（答案在最后）命题学校：考生须知：1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}=1,2,3M ，{}=0,1,2,3,4,7N ，若M A N ⊆⊆，则满足集合A 的个数为（）A.4B.6C.7D.8【答案】D 【解析】【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A 即可得解.【详解】因为M A N ⊆⊆，所以A 可以是{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,0,1,2,3,7,1,2,3,0,4,1,2,3,0,7,1,2,3,7,4,1,2,3,0,4,7，共8个，故选：D2.抛物线2:6C y x =的焦准距是（）A.112B.16C.3D.6【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线标准方程求出p 即可得解.【详解】2:6C y x =化为标准方程为216x y =，所以126p =，112p =，即焦点与准线的距离为112p =，故选：A3.在正三棱台111ABC A B C -中，已知AB =，11A B =1AA 的长为2，则此正三棱台的体积为（）A.212 B.74C.214D.72【答案】C 【解析】【分析】先计算出三棱台的上下底面的面积，再根据底面边长与侧棱长求解三棱台的高，进而计算出三棱台的体积．【详解】正三棱台111ABC A B C -中，已知AB =，11A B =所以ABC 的面积为1224=，111A B C△的面积为122⨯=，设O ，1O 分别是ABC ，111A B C △的中心，设D ，1D 分别是BC ，11B C 的中点，A ∴，O ，D 三点共线，1A ，1O ，1D 三点共线，π33sin 322AD AB =⨯==，1111π3sin 332A D AB =⨯==，1132OD AD ∴==，1111113O D A D ==，12DD ===，过D 作11DE A D ⊥，垂足为E ，则1//DE OO ，DE === ∴三棱台的高为∴三棱台的体积为121(344V =++=．故选：C ．4.628log 3x ⎛⎝⎭展开式的常数项为（）A.512B.512-C.136D.136-【答案】A 【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，令x 的指数为0，得出常数项的项数，即可得常数项．【详解】展开式的通项公式为()()(66212316868C log 3C log 3rr r r r r rr T x x---+⎛=⋅⋅-=⋅⋅⋅ ⎝⎭，令1230r -=，解得4r =，所以常数项为()(242445686231115C log 3C log 3log 215323612T ⎛⎫=⋅⋅=⋅⨯=⨯=⎪⎝⎭.故选：A.5.已知()()1cos cos cos cos 3αβγαβγ+-+=，则()()sin sin sin sin αβγαβγ+-+=（）A.16-B.13-C.16D.13【答案】B 【解析】【分析】根据余弦两角和公式将()cos αβγ++展开成角αβ+与γ的两角和形式与α与βγ+的两角和形式，建立等式关系结合已知等式即可得结论.【详解】因为()()()cos cos cos sin sin αβγαβγαβγ++=+-+，又()()()cos cos cos sin sin αβγαβγαβγ++=+-+，所以()()cos cos sin sin αβγαβγ+-+()()cos cos sin sin αβγαβγ=+-+，因为()()1cos cos cos cos 3αβγαβγ+-+=，则()()sin sin sin sin αβγαβγ+-+=()()1cos cos cos cos 3αβγαβγ+-+=-.故选：B.6.为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（）A.1.4B.1.45C.1.5D.1.55【答案】B 【解析】【分析】利用分层随机抽样的均值与方差公式即可解决.【详解】由题意可得，该校学生每天学习时间的均值为40601008910200200200x =⨯+⨯+⨯9.3=，该校学生每天学习时间的方差为()22400.589.3200s ⎡⎤=⨯+-⎣⎦()2600.899.3200⎡⎤+⨯+-⎣⎦()21001109.3200⎡⎤+⨯+-⎣⎦ 1.45=.故选：B7.已知函数()f x 满足对任意的(),1,x y ∈+∞且x y <都有111x y f f f xy x y ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若2155n a f n n ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，*n ∈N ，则1232024a a a a ++++= （）A.253385f ⎛⎫⎪⎝⎭B.253380f ⎛⎫⎪⎝⎭C.253765f ⎛⎫⎪⎝⎭D.253760f ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据111x y f f f xy x y ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭将21115523n a f f f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再用裂项相消法求1232024a a a a ++++ 的值.【详解】∵函数()f x 满足对任意的(),1,x y ∞∈+且x y <都有111x y f f f xy x y ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴令2,3x n y n =+=+，则()()()()2231112355n n x y xy n n n n +-+-==--++++，∴21115523n a f f f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1232024111111344520262027a a a a f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭113202725332027132027760f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关键是将通项分析为：2111.5523n a f f f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数1cot tan θθ=，正割函数1sec cos θθ=，余割函数1csc sin θθ=，正矢函数sin 1cos ver θθ=-，余矢函数cos 1sin ver θθ=-.如图角θ始边为x 轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P ，A 、B 分别是单位圆与x 轴和y 轴正半轴的交点，过点P 作PM 垂直x 轴，作PN 垂直y 轴，垂足分别为M 、N ，过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线分别交θ的终边于T 、S ，其中AM 、PS 、BS 、NB 为有向线段，下列表示正确的是（）A.sin ver AM θ=B.csc PS θ=C.cot BS θ=D.sec NBθ=【答案】C 【解析】【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知sin =MP θ，cos OM θ=，tan =AT θ，然后结合新定义简单计算可判断各个选项.【详解】根据题意，易得OMP OAT SBO PNO V :V :V :V ，对于A ，因为1cos 1OM MA θ-=-=，即sin ver MA θ=，故A 错误；对于B ，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，11csc sin BO OS OS MP MP OPθθ=====，故B 错误；对于C ，11cot tan tan BS OSBθθ===∠，故C 正确；对于D ，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得11sec cos OA OTOT OM OM OPθθ=====，故D 错误.故选：C.【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AD 和1DD 的中点，则下列说法正确的是（）A.1//AD 平面BEFB.1B C ⊥平面BEFC.异面直线11B D 与EF 所成角为60°D.平面BEF 截正方体所得截面为等腰梯形【答案】ACD 【解析】【分析】于A ，连接1AD ，利用三角形中位线证得1//AD EF ，结合线面平行判定定理即可判断A ；对于B ，取1AA 中点Q ，连接1,,A D QE QB ，设正方体棱长为2，根据线段长度结合勾股定理判断QE 与BE 是否垂直，即判断1B C 与BE 是否垂直，从而可判断B ；对于C ，连接11,AD B A ，根据正方体的面对角线性质，即可得异面直线11B D 与EF 所成角的大小，从而判断C ；对于D ，连接111,,AD BC C F ，确定截面完整图形为四边形1BEFC ，再计算其四边长度与位置关系，即可判断D.【详解】对于A ，如图，连接1AD ，因为E ，F 分别为棱AD 和1DD 的中点，所以1//AD EF ，又1AD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以1//AD 平面BEF ，故A 正确；对于B ，如图，取1AA 中点Q ，连接1,,A D QE QB ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111,//AB CD A B CD =，所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以11//BC AD ，又,QE 分别为1AA ，1A D 中点，则1//QE A D ，故1//B C QE ，设正方体棱长为2，则BE BQ QE ======，故222QE BE BQ +≠，所以QE 不垂直于BE ，故1B C 不垂直于BE ，又BE ⊂平面BEF ，所以1B C 不垂直平面BEF ，故B 错误；对于C ，如图，连接11,AD B A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111AB B D AD ==，即11AB D 为正三角形，又因为E ，F 分别为棱AD 和1DD 的中点，所以1//EF AD ，故异面直线11B D 与EF 所成角即为1160B D A ∠=︒，故C 正确；对于D ，如图，连接111,,AD BC C F ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111,//C D AB C D AB =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，则11//AD BC ，又1//EF AD ，所以1//EF BC ，所以1,,,B E F C 四点共面，故平面BEF 截正方体所得截面为四边形1BEFC ，设正方体棱长为2，则112BE C F ====所以11,C F BE EF BC =≠，又1//EF BC ，故截面为四边形1BEFC 为等腰梯形，故D 正确.故选：ACD.10.已知正实数a ，b ，c ，且a b c >>，x ，y ，z 为自然数，则满足0x y za b b c c a++>---恒成立的x ，y ，z 可以是（）A.1x =，1y =，4z =B.1x =，2y =，5z =C.2x =，2y =，7z =D.1x =，3y =，9z =【答案】BC 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到2x y a b b c a c+≥---，进而得到只需2z >即可，再依次判断四个选项即可.【详解】要满足0x y z a b b c c a ++>---，只需满足x y za b b c a c+>---，其中正实数a ，b ，c ，且a b c >>，x ，y ，z 为正数，()()a b b c x y x y a b b c a c a b b c -+-⎛⎫+=+ ⎪-----⎝⎭()()()()()()b c x a b y x y a c a b a c a c b c a c--=+++------x y a c a c≥++--2x ya c a c a c+=+=---，当且仅当()()()()()()b c x a b y a b a c a c b c --=----，即()()22b c x a b y -=-时，等号成立，观察各选项，故只需2z a ca c+>--，故只需2z >即可，A 选项，1x =，1y =，4z =时，24=，A 错误；B 选项，1x =，2y =，5z =时，235=+，B 正确；C 选项，2x =，2y =，7z =时，287=>，C 正确；D 选项，1x =，3y =，9z =时，249=+，D 错误.故选：BC.11.已知椭圆()222:1039x y C b b+=<<左右两个焦点分别为1F 和2F ，动直线l 经过椭圆左焦点1F 与椭圆交于,A B 两点，且228AF BF +≤恒成立，下列说法正确的是（）A.b =B.[]4,6AB ∈C.离心率2e =D.若OA OB ⊥，则2211518OAOB+=【答案】AB 【解析】【分析】根据椭圆定义利用通径长可求得b ，由椭圆性质可得[]4,6AB ∈，且离心率33e =，联立直线和椭圆方程可知当OA OB ⊥，方程无解，因此D 错误.【详解】如下图所示：易知3a =，由椭圆定义可知22412AB AF BF a ++==，因为228AF BF +≤恒成立，所以4AB ≥，当AB x ⊥轴，即AB 为通径时，AB 最小，所以2min 24b AB a==，解得b =，所以A 正确；当AB 为长轴时，AB 最大，此时26AB a ==，所以[]4,6AB ∈，即B 正确；可得椭圆方程为22:196x y C +=，易知c ==3c e a ==，即C 错误；因为()1F ，可设直线l的方程为x my =()()1122,,,A x y B x y ，联立22196x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()2223120m y +--=，因此12122212,2323y y y y m m +==-++；若OA OB ⊥，可得0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，所以()()21212130m y y y y +-++=；整理得2610m +=，此时方程无解，因此D 错误.故选：AB非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数1i +与3i 在复平面内用向量OA 和OB 表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则OA 与OB夹角为__________.【答案】45°（或π4）【解析】【分析】根据复数的几何意义、向量夹角公式运算得解.【详解】根据题意，()1,1OA = ，()0,3OB =，cos ,2OA OB OA OB OA OB ⋅∴==u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，又0,πOA OB ≤≤ ，所以向量OA 与OB 的夹角为π4.故答案为：o 45（或π4）.13.将函数()cos 2g x x =的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移π4得到函数()y h x =的图象，若函数()y g x =与函数()1y h x =+图象交于点()(),g αα，其中π02α-<<，则sin α的值为__________.【答案】255-##【解析】【分析】先利用伸缩变换和平移变换得到()h x ，再根据题意，由()()1h g αα+=求解.【详解】解：由题意得：()2sin 2h x x =，因为函数()y g x =与函数()1y h x =+图象交于点()(),g αα，所以2sin 21cos 2αα+=，即22224sin cos sin cos cos sin αααααα++=-，整理得()2sin 2cos sin 0ααα+=，因为π02α-<<，所以2cos sin 0αα+=，又因为22sin cos 1αα+=，所以sin 5α=-，故答案为：255-14.如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆O 的一段圆弧E ，且弧E 所对的圆心角为4π5.设圆C 的圆心C 在点O 与弧E 中点的连线所在直线上.若存在圆C 满足：弧E 上存在四点满足过这四点作圆O 的切线，这四条切线与圆C 也相切，则弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离的取值范围为__________.（参考数据：2π1cos54=）【答案】(【解析】【分析】设弧E 的中点为M ，根据圆与圆相离，确定两圆的外公切线与内公切线，确定圆O 的位置，分析可得弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离.【详解】如图，设弧E 的中点为M ，弧E 所对的圆心角为4π5，圆O 的半径1OM =，在弧E 上取两点,A B ，则4π5AOB ∠≤，分别过点,A B 作圆O 的切线，并交直线OM 于点D ，当过点,A B 的切线刚好是圆O 与圆C 的外公切线时，劣弧AB 上一定还存在点,S T ，使过点,S T 的切线为两圆的内公切线，则圆C 的圆心C 只能在线段MD 上，且不包括端点，过点C ，分别向,AD BD 作垂线，垂足为,R P ，则CR 即为圆C 的半径，设线段OC 交圆C 于点N ，则弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离即为线段MN 的长度.在Rt AOD中，12πcos 51cos cos 254OAOA OAOD AOB AOD ==≤==∠∠，则11011MN OC OM CN OC CR OD =--=--<--=-=即弧E 上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为(.故答案为：(.【点睛】结论点睛：本题考查了根据两圆位置关系求距离的范围的问题.可按如下结论求解：相离的两个圆（圆心分别为1O 和2O ,半径分别为R 和r ）上的两个动点之间的距离L 的最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径，即min 12max 12,L O O R r L O O R r =--=++.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知多面体111111,,,ABC A B C A A B B C C -均垂直于平面111,120,4,1,2ABC ABC A A C C AB BC B B ∠=︒=====．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3913.【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：通过计算，根据勾股定理得111111,AB A B AB B C ⊥⊥,再根据线面垂直的判定定理得结论；（Ⅱ）方法一：找出直线AC 1与平面ABB 1所成的角，再在直角三角形中求解即可.【详解】（Ⅰ）［方法一］：几何法由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=，即有111AB A B ⊥.由2BC =，112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC ⊥⊥得11B C =，由2,120AB BC ABC ==∠=︒得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =，所以2221111AB B C AC +=，即有111AB B C ⊥，又11111A B B C B = ，因此1AB ⊥平面111A B C .［方法二］：向量法如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz .由题意知各点坐标如下：()()()()()1110,,1,0,0,0,4,1,0,2,0,,A B A B C因此111112),(1,2),(0,3)AB A B A C ==-=-,由1110AB A B ⋅= 得111AB A B ⊥；由1110AB A C ⋅=得111AB AC ⊥，所以1AB ⊥平面111A B C .（Ⅱ）［方法一］：定义法如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD .由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角.由111111B C A B A C ===得111111cosC A B C A B ∠=∠=，所以1C D =，故111sin 13C D C AD AC ∠==.因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13.［方法二］：向量法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.由(I)可知11(0,(0,0,2)AC AB BB ===,设平面1ABB 的法向量(,,)n x y z =.由100n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可取(n = ，所以111sin cos ,13||AC n AC n AC n θ⋅===⋅ .因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13.［方法三］：【最优解】定义法+等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，点1C 到平面1ABB 距离为d （下同）．因为1C C ∥平面1ABB ，所以点C 到平面1ABB 的距离等于点1C 到平面1ABB 的距离．由条件易得，点C 到平面1ABB 的距离等于点C 到直线AB 的距离，而点C 到直线AB，所以d =1sin 13d AC θ===．［方法四］：定义法+等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，由条件易得111111A B B C AC ===，所以2221111111111111cos 25A B B C AC A B C A B B C +-∠==-⋅，因此11115sin 5A B C ∠=．于是得11111111111sin 2A B C S A B B C A B C =⋅⋅∠=△，易得114AA B S =△．由111111C AA B A A B C V V --=得1111111133AA B A B C S d S AB ⋅=⋅△△，解得d =故139sin 13d AC θ===．［方法五］：三正弦定理的应用设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，易知二面角11C AA B --的平面角为6BAC π∠=，易得11sinC AA ∠=，所以由三正弦定理得11139sin sin sin 213C AA BAC θ=∠⋅∠==．［方法六］：三余弦定理的应用设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，如图2，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，易得CG ⊥平面1ABB ，所以CG可看作平面1ABB 的一个法向量．结合三余弦定理得1139sin cos ,cos cos 13AC CG C AC GCA θ=〈=∠⋅∠=〉=．［方法七］：转化法＋定义法如图3，延长线段1A A 至E ，使得1AE C C =．联结CE ，易得1EC AC ∥，所以1AC 与平面1ABB 所成角等于直线EC 与平面1ABB 所成角．过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，联结GE ，易得CG ⊥平面1ABB ，因此EG 为EC 在平面1ABB 上的射影，所以CEG ∠为直线EC 与平面1ABB所成的角．易得CE =，CG =，因此39sin 13CG CEG CE ∠===．［方法八］：定义法＋等积法如图4，延长11,A B AB 交于点E ，易知2BE =，又2AB BC ==，所以AC CE ⊥，故CE ⊥面11AA C C ．设点1C 到平面1ABB 的距离为h ，由1111E AA C C AA E V V --=得1111113232AA AE h AA AC CE ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅，解得h =又1AC =，设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，所以sin 13θ==．【整体点评】（Ⅰ）方法一：通过线面垂直的判定定理证出，是该题的通性通法；方法二：通过建系，根据数量积为零，证出；（Ⅱ）方法一：根据线面角的定义以及几何法求线面角的步骤，“一作二证三计算”解出；方法二：根据线面角的向量公式求出；方法三：根据线面角的定义以及计算公式，由等积法求出点面距，即可求出，该法是本题的最优解；方法四：基本解题思想同方法三，只是求点面距的方式不同；方法五：直接利用三正弦定理求出；方法六：直接利用三余弦定理求出；方法七：通过直线平移，利用等价转化思想和线面角的定义解出；方法八：通过等价转化以及线面角的定义，计算公式，由等积法求出点面距，即求出．16.欧拉函数()()*Nn n ϕ∈的函数值等于所有不超过正整数n 且与n 互素的正整数的个数，例如：()11ϕ=，()42ϕ=，()84ϕ=，数列{}n a 满足()()*2N n n a n ϕ=∈.（1）求1a ，2a ，3a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记()222log 1nnn na b a =-，求数列{}n b 的前n 和n S .【答案】（1）11a =，22a =，34a =，12n n a -=（2）()620625254n nn S +=-+⨯-【解析】【分析】（1）根据题意理解可求1a ，2a ，3a ，结合与2n 互素的个数可求数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用错位相减法求和即可.【小问1详解】由题意可知()121a ϕ==，()242a ϕ==，()384a ϕ==，由题意可知，正偶数与2n 不互素，所有正奇数与2n 互素，比2n 小的正奇数有12n -个，所以()122nn n a ϕ-==；【小问2详解】由（1）知()122nn n a ϕ-==，所以()221222nn n a ϕ-==，所以()()()()()21222212log log 2211112142244nn nn n n n n n n a b n n a --⎛⎫=-=-=--=-- ⎪⎝⎭，12n n S b b b =+++ ，所以()()12111112646424444n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++-⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()()2311111126464244444nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-++-⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②所以①－②得()12151111244244444n n n S n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++---⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111641144212414n n n -+⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+⨯--⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()()1111111320614225441054n n n n n -++⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-+----⨯-=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯-⎢⎥⎣⎦，所以()620625254n nn S +=-+⨯-.17.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左右焦点分别为1F ，2F ，点()3,2P 在双曲线上，且点()3,2P 到双曲线两条渐近线的距离乘积为65，过1F 分别作两条斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，已知1l 与C 双曲线左支交于A ，B 两点，2l 与C 左右两支分别交于E ，F 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若线段AB ，EF 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）22132x y -=（2）证明见解析，()-【解析】【分析】（1）根据题意，列出,,a b c 的方程组求出22,a b 得解；（2）设直线1l的方程为(y k x =+，可得2l的方程(1y x k=-+，分别与双曲线方程联立，结合韦达定理求出点,M N 的坐标，表示直线MN 的方程，令0y =求得x 是定值.【小问1详解】设双曲线C 的两渐近线方程分别为by x a=，b y x a =-，点()3,2P 到双曲线两渐近线的距离乘积为22294323265b a b a b a ccc --+⨯==，由题意可得：22222229465941a b c b a a b ⎧+=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得23a =，22b =，所以双曲线C 的方程为22132x y -=.【小问2详解】设直线1l的方程为(y k x =，由1l ，2l 互相垂直得2l的方程(1y x k=-，联立方程得(22132y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，消y 得()2222231560k x x k ----=，0∆>成立，所以212235223M x x x k +==-，(22523M M y k x k=+=-，所以点M 坐标为2223525,2323k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭，联立方程得(221132y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以342223N x x x k +==-，(2123N N y x k k -=-=-，所以点N坐标为22,2323k k ⎛⎫- ⎪ ⎪--⎝⎭，根据对称性判断知定点在x 轴上，直线MN 的方程为()N MM M N My y y y x x x x --=--，则当0y =时，222222222323232325252323M N N M N M x y x y k k k k x y y k k -⋅-⋅-==----，所以直线MN恒过定点，定点坐标为()-.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法再联立双曲线方程从而解出点,M N 的坐标，再得到直线MN 的方程，最后令0y =即可得到其定点坐标.18.定义{},max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，已知函数(){}3max ln ,41f x x x mx =-+-，其中R m ∈.（1）当5m =时，求过原点的切线方程；（2）若函数()f x 只有一个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）e 0x y -=或20x y -=（2）3m <或5m >【解析】【分析】（1）当5m =时，求出()f x ，利用导数的几何意义得出切线斜率，即可求切线方程；（2）对m 分类讨论，根据函数只有一个零点，结合函数的单调性分别分析求出m 的取值范围.【小问1详解】由题意知()f x 定义域()0,∞+，当5m =时，()333451,451ln ln ,451ln x x x x x f x x x x x ⎧-+--+-≥=⎨-+-<⎩，令()3451g x x x =-+-，()21250012g x x x '=-+>⇒<<，()g x ⇒在0,12⎛ ⎝⎭单调递增，12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，且()10g =，令()ln h x x =，则在()0,∞+单调递增，而()()101f h ==，又13416g ⎛⎫=⎪⎝⎭，11ln 144h ⎛⎫=<- ⎪⎝⎭，而()01g =-，所以当104x <<时，()()>g x h x ，当114x ≤<时，()()0g x h x >>，所以当01x <<时，()()f x g x =，当1x ≥时，()()f x h x =，所以()3451,01ln ,1x x x f x x x ⎧-+-<<=⎨≥⎩，所以()f x 在0,12⎛ ⎝⎭和()1,+∞单调递增，在,112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减.（ⅰ）当01x <<时，()2125f x x '=-+，设切点()3000,451M x x x -+-，则此切线方程为()()230000125451y x x x xx =-+--+-，又此切线过原点，所以()()23000001250451x x x x =-+--+-，解得012x =，即此时切线方程是20x y -=；（ⅱ）当1x ≥时，()ln f x x =，所以()1f x x'=，设切点为()00,ln x x ，此时切线方程()0001ln y x x x x =-+，又此切线过原点，所以()000100ln x x x =-+，解得0e x =，所以此时切线方程e 0x y -=，综上所述，所求切线方程是：e 0x y -=或20x y -=；【小问2详解】（ⅰ）当5m =时，由（1）知，()f x在0,12⎛ ⎝⎭和()1,+∞单调递增，,112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，且()01f =，130416f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()10f =，此时()f x 有两个零点；（ⅱ）当5m >时，当01x <<时，3345141x x x mx -+-<-+-，由（1）知：()3451g x x x =-+-在0,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭递增，12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭递减，且()10g =，所以60,12x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x >，而()01f =-，所以()f x在0,12⎛ ⎪⎝⎭只有一个零点，,12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭没有零点；（ⅲ）当05m <<时，341y x mx =-+-，此时2120y x m '=-+>得012x <<<，由（1）知，当1x ≥时，()ln f x x =只有一个零点1x =，要保证()f x 只有一个零点，只需要当01x <<时，()341f x x mx =-+-没有零点，34110901f m ⎧⎛⎛⎪=-+-=-< ⎪⎝⎝⎨⎪<<⎪⎩，得03m <<；（ⅳ）当0m ≤时，当()0,x ∈+∞时，()3410g x x mx =-+-<，此时()f x 只有一个零点1x =，综上，()f x 只有一个零点时，3m <或5m >.【点睛】关键点点睛：通过对m 的分类讨论，得出()f x 解析式，再由函数的单调性，结合函数只有一个零点，分别分析或列出不等式求m 的范围，解题过程较繁琐.19.甲、乙两人进行知识问答比赛，共有n 道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为p 和13，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.（1）若3n =，12p =，求甲获胜的概率；（2）若20n =，设甲第i 题的得分为随机变量i X ，一次比赛中得到i X 的一组观测值()1,2,,20i x i = ，如下表.现利用统计方法来估计p 的值：①设随机变量11ni i X X n ==∑，若以观测值()1,2,,20i x i = 的均值x 作为X 的数学期望，请以此求出p 的估计值 1p ；②设随机变量i X 取到观测值()1,2,,20i x i = 的概率为()L p ，即()L p ()11222020,,,P X x X x X x ==== ；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着p 的变化，用使得()L p 达到最大时p 的取值 2p 作为参数p 的一个估计值.求 2p .题目12345678910得分100﹣111﹣1000题目11121314151617181920得分﹣1011﹣100010表1：甲得分的一组观测值.附：若随机变量X ，Y 的期望()E X ，()E Y 都存在，则()()()E X Y E X E Y +=+.【答案】（1）539864（2）①135p =；② 235p =【解析】【分析】（1）根据甲抢到题目数，分类讨论利用条件概率和全概率公式求解.（2）①由公式计算的数学期望与观测值的均值x 相等，可求出p 的估计值 1p ；②由概率()L p 的表达式，利用导数求取最大值时时p 的取值.【小问1详解】记甲获胜为事件A ，甲抢到3道题为事件3A ，甲抢到2道题为事件2A ，甲抢到1道题为事件1A ，甲抢到0道题为事件0A ，则()331128P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()322313C 28P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()311313C 28P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()301128P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，而()322331111|C 12222P A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()212211117|C 11222312P A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1122211222|21233332333P A A ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅⋅+-⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3210321220|C 33327P A A ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()()()()()()()()33221100||||P A P A P A A P A P A A P A P A A P A P A A =+++1137321205398281283827864=⋅+⋅+⋅+⋅=.【小问2详解】①()12i p P X ==，()102i P X ==，()112i p P X -=-=，所以()11211012222i p p p E X --=⨯+⨯-⨯=；因为()()1111111212122n n ni i i i i i p p E X E X E X E X n n n n n ===--⎛⎫⎛⎫====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，由表中数据可知110x =，所以1211210p -=， 135p =.②因为()1,2,,20i X i = 取值相互独立，所以()()()()()1122202011222020,,,L p P X x X x X x P X x P X x P X x ======== ()()()6104610411101222i i i p p P X P X P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯=-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()10546310531111135322222222222p p p p p p p L p ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；令()0L p '=得35p =，又01p <<，所以当30,5p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0L p '>，()L p 单调递增；当3,15p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0L p '<，()L p 单调递减；即当35p =时()L p 取到最大值，从而235p =.【点睛】方法点睛：正确提取题干中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。

2023-2024学年第二学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科考生须知：1本卷满分150分，考试时间120分钟；2答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效：4考试结束后，只需上交答题卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）已知全集U=R,A={xl x.. o},B={xl-l<x<l}，则{xi-I<x<O} = ( )A.Au B B（炉）＾B c.A^（研） D.6u(AnB)2已知复数Z满足z=—-，则Z·Z=( )1-iA.-2B. 2iC.fi_D.2cosO-sin0 7t=2,则tan(e-�)=c)3已知cos0+sin0A.-2B.2C.--D.-2 24柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经入选国家非物质文化遗产名录如图所示；这是用柳条编织的圆台形米斗，上底直径30cm,下底迎径20cm,高为30cm,则该米斗的容积大概为（A.9升B.15升C.19升D.21升5有一组数据：1,1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4,去掉该组中的一个数据，得到一组新的数据与原有数据相比，无论去掉哪个数据，一定变化的数字特征是(A平均数B众数C中位数D极差6已知a>l,b>O,若抎＋log2a= b + log2b，则（）A.a>2bB.a<2bC.a>扩D.a<b27已知正项数列{a,，}满足生＝3a1,S,，为{a,,｝的前n项和，则”{a,，}是等差数列“是＂J芍为等差数列＂的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件8已知平面向量a,b满足lal= l,(b,a +b) A.2 B.✓2+ 1 C. ✓3+1 D.3冗飞，则位－b|的最大值为（）二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．兀9．已知x=－为函数f(x)=si n2x+acos2x的一个极大值点，则（）6A函数f(x)的值域为(-2,2]B函数y=f(x－王）为奇函数12c．曲线y=f(x)关于直线x=－？对称D函数y=f(x)叶子门上单调递增10．三棱锥P-ABC各顶点均在半径为2的球0的表面上，AB=AC=2，乙BAC=90,二面角P-BC-A的大小为45,则下列结论正确的是()A．直线OA/／平面PBC2拉B三棱锥0-ABC的体积为－－－3c．点0到平面PBC的距离为1D点P形成的轨迹长度为2✓37tII．日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量X,根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数n,寿命恰好为n的植物在所有寿命不小千n的柏物中的占比为10%记“一株植物的寿命为r1”为事件九，“一株植物的寿命不小于n,＇为事件B,，则下列结论正确的是（A. P(A2) =0.01B. P(B11) = 0.9n-iC设a n= P(A,,) B2)，则{a,,}为等比数列IID设S n=nP区），则I:s k< 10k=I三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．l x12已知正实数从Y满足x+2y=I,则一十一的最小值为X)'X13已知R,F2分别是双曲线C:—-�=l(a > O,b >0)的左右焦点，P是圆X Z+ y2 = C Z与C的渐近线的a2 b2一个交点，若2乙P�F2＝乙PF2�，则双曲线C的离心率为14已知函数f(x):n.x,x>0，若函数g(x)=f(f(x)）－可(x)+]有唯一零点，则实数0的取值范围是一一x,x<O,X四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15（本小题满分13分）已知”ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=2bcosC(I)判断�.A BC的形状；(2)若µ,A BC的外接圆半径为1，求＾ABC周长的朵大值16（本小题满分15分）如图，在等腰直角三角形RBC中，A,D分别为RB,RC的中点，BC=BR=4,将...RAD沿AD折起，使得点R至点P的位置，得到四棱锥P-ABCD,RB（l)若M为PC的中点，求证：DM/／平面PAB;2 (2)若平面PAD上平面ABCD,点E在线段BC上，平面PDE与平面ABED夹角的余弦值为－，求线3段BE的长17（本小题满分15分）甲乙丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2分，负者积0分；比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为p1，甲与丙比赛时，甲获胜,乙与丙比赛时，乙获胜的概率为P3的概率为P2(I)若p l=p2 =p3=0.5，求比赛结束时，三人总积分X的分布列与期望：(2)若p1+p3>l，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略18（本小题满分17分）已知过点(1,0)的归线与抛物线E:y2 =2px(p >0)交于A,B两点，O为坐标原点，当且线A B垂直于X轴时，A OB的面积为五(I)求抛物线E的方程；(2)若0为A BC的巫心，直线AC,B C分别交））轴于点M,N,记�M CN,�A O B的面积分别为S"S2, s 求-一的取值范围s19.（本小题满分17分）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合A={l,2,...,n},nEN十的函数称为n次置换满足对任意iEA，几）＝l的置换称作恒等置换所有n次置换组成的集合记作S,，对千f(i)ES,,,我们可用列表法表示此置换：兀）＝［ 1 2心］，记f(l) f(2)f (i) =I'(i),t(f (i)) =/2 (i),1(12 (i)) =/3 (i), ,f(广(i))=f飞），i EA,k EN+．(I)若f(l)E&，几）＝（：： 1 3 :），计算广(l)(2)证明对任意/(i)ES4,存在kEN+，使得广(i)为恒等置换，(3)对编号从．1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，，依次类推这样橾作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由2023-2024学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高三年级数学学科一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I:： [ 1:［ ［1:I:[ [ I二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分JO杻CD1答案I BC I BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.1+2✓2 13.2 514.a =-－或－1,,a< l4四、解答题：共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【解析】(l)因为a=2bcosC,所以sinA= 2sinBcosC,所以sin(B + C) = 2sinBcosC,所以sinBcosC+ c osBsinC = 2sinBcosC,所以sinBcosC-cosBsinC = 0,即sin(B-C)=O,因为B-C云(-7t,7t），所以B=C:所以,t,.ABC为等腰三角形：(2)由题意可知a=2sinA,b =2sinB, c = 2sinC = 2sinB,所以ABC的周长为：a+b+c =2<;inA+4sinB =2sin(n-28)+4sinB =2sin28+4sinB,设f(B) =2sin28+4sin8, B十彗+ 4cosB =8cos2 B + 4cosB-4 = 4(cosB + 1)(2cosB-l),则/'(B)= 4cos2B所以当BE（吁］时，cosB>沪'(B)> O,f (B)单调递增当B E(巴卫]时,cos B<』,＇B3 2) - 2 f'(B) <0,/(B)单调递减兀所以当B＝一时，．f(B)取到最大值3✓3'3所以周长的最大值为3./3.16.【解析】(I)取PB中点N,连接AN,MN,1则MNII BC,且MN=�BC,2因为A,D分别为R B,R C的中点，1所以ADIi BC,且AD=－BC,2所以ADIi MN且AD=MN,所以四边形ADMN为平行四边形，所以DM II AN,又ANc平面PAB,DMc;:.平面PAB,所以DM/／平面PAB(2)因为平而PAD..L平面ABCD,平而PAD＾平而ABCD=AD,D,所以AB..L平面PAD,又D,所以AB,AD,AP两两垂直如图，以A为原点，AB,AD,AP分别为x,y立轴建系，设B E=t,则P(0,0,2),D(0,2,0),E(2,t,0),所以PD=(0,2,-2),DE=(2,t-2,0),设n=(x,y,z)为平面P DE的法向量，则{n P D=0，即｛2y-2z=0 n·D E=O'�,·p x+(t-2)y=O'令y=2得n=(2-t,2,2)易知平面ABED的法向量为m=(0,0,1),设平面PDE与平面ABED的夹角为0,则cos0= !cos(ii，利＝2 2＝－ 扣－t）2+4+43'解得t=l或t=3,故BE=l或317.【解析】(I)由题意可知，X的取值可能为4,6,8P(x=4) =0.5x0.5x2=0.5;P(x=6) =0.5x0.5x0.5x2 =0.25;P(x =8) = 0.5x0.5x0.5x2= 0.25;所以三人总积分X的分布列为x 4 6 8p 0.5 0.25 0.25所以EX=0.5x4+0.25x6+0.25x8 =5.5.(2)设事件A为“第一局乙对丙最终乙获胜“,B为“第一局乙对甲最终乙获胜“,C为“第一局甲对丙而最终乙获胜＂，则有：P(A)=A(l-P i)+p孔(l-p2)p3+（l-p3队(l-p l)p”P(B) =(1-p,)PJ +(l-P i)(1-A)P i(l-P i)+ P, (1-Pi)A (l-P,);P(C)= P i(l-p,)PJ +(l-P2趴(1-Pi) =A(1-P i);显然P(B)>P(C);P(A)-P(B) =A P, (1-Pi)A +(l-PJ)P2 (1-P1)PJ -(l-P1)(l-PJ)P2 (1-P,)-P, (1-P2)A (1-P,)= (Pi + P :1 -l) P i (1-P 2) p 3 + (Pi + P :1 -l) (l -p 3屈(l-p l )=(p, + PJ -l)[P , (1-P i ) P 3 +(1-PJ 队(1-p ,)]>0所以P (A )>P (B );故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局18【解析】(I)由题意可知，SAOB =1x 2l x2痴＝石，所以p =1,所以抛物线E 的方程为l =2x(2)设A (xl,y l ),B (乓,A ),C(X:i,),3），因为0为，AB C 的重心，所以X 1+x2＋X':i = (), s AOB = s AOC = s BOC ;因为SMO C ＝巴生－X 3,s /1,，oc＝四＝飞s AOC IACx ,-X:J ,S 80C l8CI X 2 -X 3且S .,.,,oc+SNoc飞，S AOC = S BOC = S 2 ;所以江二立十二土＿＝x 1 +x 2 + X 1 +x 2 = 3(x 1飞）2＝ 3(x 1飞）2s 2x 1 -X 3 x 2 -X 3互＋凸X 1+2x 2 (2x 1飞）（x 1+2x 2) 2(x 1飞）2＋X l x 2 ; 设AB:x =ty +l ，与y 2=2x 联立得：y 2-2ty -2=0,所以Y 1Y 2= -2,2所以环＝（y心）＝1'则X1飞么仄�=2;4．． ＼）3-2， 4-3＿＿E 2、I'儿一1+斗3 ,i l '、＋ 2 ＝s i ＿鸟以所s所以忒的取值范围为［彗）19.【解析】2( 1 2 3 4l 2 3 4(I )由题意可知f l)＝（3 2 4 1)吓）＝（12 3 4](2)【解法一】1 2 3 4＠若氏）＝［12 34)，则吓）为恒等置换，＠若存在两个不同的i'使得f (i)=i'不妨设i=1,2,则兀）＝［12 34)1 2 4 3所以吓）＝（｝： ： ：），即吓）为恒等置换，l2 341 2 3 4＠若存在唯一的i'使得兀）＝i'不妨设i =2,则兀）＝（）32 4 1或f (i)＝(421 3)当兀）＝（12 3 4)时，由(I)可知广(i 4 2 1 3 ）为恒等置换；1 2 3 4同理可知，当f (i)=( ）时，广(·32 4 1 l)也是恒等置换；＠若对任意的i,J (i)妇，则情形一：f（i)＝(1 22 1情形二：f (i )=(� ! 几）＝（：： ： ｝）： ：）或f(t )＝（：： ： ：）或f (i)＝（；二32 :) 34 :]或f (l)＝［；: ： ：］或f (i )=G � !:]或或几）＝（；： ： ：）幻(i)=(�: : �)对于悄形一：广(i)为恒等置换；对于情形二：广(i)为恒等置换；综上，对任意/(i)ES 4,存在KEN +，使得广(i)为恒等置换，【解法二】对千任意iE {1,23,4}，都有j 、1(l)，广(t)，广(i)，广（小叶123,4},所以广（小f飞），广(t )，广(i )中，至少有一个满足广(l)＝l ,即使得广(i)= i的K的取值可能为1,2,3,4.当l分别取1,2,3,4时，记使得广(i)= i的K值分别为k"k2,k3, k4,只需取k为k“幻，k3,k4的最小公倍数即可所以对任意f(i)ES4,存在kEN+,使得广(i)为恒等暨换：(3)不妨设原始牌型从上到下依次编号为l到52,则洗牌一次相当于对{1,2,...,52}作一次如下暨换：兀）＝（1 2 3 4 5,1 272 28 3, 其中k=1,2,...,26 52)，即几）＝ ｛K，i =2K-1, 52)..''126+k,i=2k,注意到各编号在置换中的如下变化：l f l f f f i l l f f f l l l f ll➔1,2➔27今14➔33➔17➔9➔5➔3➔2,4今28今40今46今49今25➔13➔7➔4f f f f f l l f f f f f l f f f6➔29➔15➔8➔30➔41今21➔11➔,10➔31➔16➔34➔43➔22今37➔19➔lO,12➔32今42➔47今24➔38➔45➔23今12,18今35➔18,20➔36➔44➔48➔50➔51➔26今39➔20,52➔52;所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，注意到1,2,8的最小公倍数为8,由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型。

2018年9月浙江省名校协作体高三联考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，（）A.B.C.D.2.双曲线的焦距是（）A.2B.C.D.43.在中，内角所对的边长分别为，已知，，，则（）A.B.C.D.4.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A.B.4C.2D.5.已知函数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在一个箱子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为，黑球个数为，则（）A.，B.，C.，D.，7.若变量满足约束条件，则（）A.有最小值，无最大值B.有最大值，无最小值C.有最小值，最大值D.无最小值也无最大值8.已知，函数，记的最小值为，则（）A.在上是增函数，在上是减函数B.在上是减函数，在上是增函数C.在R上是奇函数D.在R上是偶函数9.已知公差为的等差数列的前项和为，若存在正整数，对任意正整数，恒成立，则下列结论不一定成立的是（）A.B.有最小值C.D.10.已知，是边（不包括端点）上的动点，将沿直线折起到，使在平面内的射影恰在直线上，则（）A.当时，两点的距离最大B.当时，两点的距离最小C.当时，两点的距离最小D.当时，两点的距离最大二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知，，则________，________.12.已知是虚数单位，复数满足，则_________，_________.13.已知展开式第三项的二项式系数为15，则________，含的项的系数是_________.14.已知，，则的最大值为________，的取值范围是_________.15.已知平面向量满足，，若，则的取值范围是_________.16.用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为_________.17.设函数，若对任意的实数和实数，总存在，使得，则实数的最大值是________.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分14分）已知函数的最小正周期为.（1）求的值；浙江高考墙Q Q2754808740（2）求函数在区间上的取值范围.19.（本题满分15分）如图，在三棱锥中，和均为等腰三角形，且，.（1）判断是否成立，并给出证明（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.（本题满分15分）已知数列满足，，设数列满足.（1）求数列的前项和及的通项公式；（2）求证：.21.（本题满分15分）如图所示，已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两点，线段的中垂线交轴于点，若.（1）求点的坐标；（2）求面积的最大值.22.（本题满分15分）已知函数.（1）当时，直线是曲线的切线，求实数的值；（2）若是函数的两个极值点，且，求的取值范围.2018学年第一学期浙江省名校协作体试题模拟卷高三年级数学学科答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5B D A B B6-10C A D C C二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）11．，．12．，.13．，14．，．15．16．2017．浙江高考墙Q Q2754808740三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．解：（Ⅰ）------------------2分--------------------------------------------5分由，得；-----------------------------------------7分（Ⅱ），因为，所以，------------------------------10分所以．------------------------------------------------------------14分19．解：（Ⅰ）⊥不成立，证明如下：-------------2分假设⊥，因为，且，所以面，---------5分所以，这与已知矛盾，------7分所以⊥不成立．（Ⅱ）解法1：取中点，中点，连，由已知计算得，------------9分由已知得,且，所以平面，所以平面平面，--------------12分取中点，连，则平面，从而，就是直线与平面所成的角，因为，，所以----------------------15分解法2：如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，-----------------------------------------9分设，由解得：-----------------------------11分，因为平面的法向量是，--------13分由------------15分20．解：I.由得由易得，所以两边取对数得到即……………2分又是以2为公比的等比数列，即……………………6分又………………………7分I I证法一、用数学归纳法证明：当时，左边为=右边，此时不等式成立；………8分假设当时，不等式成立，则当时，左边………10分=右边当时，不等式成立。

2018年9月浙江省名校协作体高三联考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合}11|{<<-=x x P ，}20|{<<=x x Q ，=Q P （ ）A. )2,1(-B. )1,0(C. )0,1(-D. )2,1(2.双曲线1322=-y x 的焦距是（ ） A. 2 B. 22 C. 32 D. 43.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，已知45=A ，60=B ，3=b ，则=a （ ）A. 2B.6 C. 223 D. 6234.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A. 38B. 4C. 2D. 345.已知函数x x f ln )(=，则“0)(>x f ”是“0))((>x f f ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.在一个箱子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数为Y ，则（ ）A. )()(Y E X E >，)()(Y D X D >B. )()(Y E X E =，)()(Y D X D >C. )()(Y E X E >，)()(Y D X D =D. )()(Y E X E =，)()(Y D X D = 7.若变量y x ,满足约束条件⎩⎨⎧-≥≥-122x y x ，则y x z -=2（ ）A. 有最小值3-，无最大值B. 有最大值1-，无最小值C. 有最小值3-，最大值1-D. 无最小值也无最大值8.已知R a ∈，函数||||||)(||||a x e a x e x f x x --+-+=，记)(x f 的最小值为)(a m ，则（ ）A. )(a m 在)0,(-∞上是增函数，在),0(+∞上是减函数B. )(a m 在)0,(-∞上是减函数，在),0(+∞上是增函数C. )(a m 在R 上是奇函数D. )(a m 在R 上是偶函数9.已知公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若存在正整数0n ，对任意正整数m ，000<⋅+m n n S S 恒成立，则下列结论不一定成立的是（ ）A. 01<d aB. ||n S 有最小值C. 0100>⋅+n n a aD. 02100>⋅++n n a a10.已知ABC ∆，D 是边BC （不包括端点）上的动点，将ABD ∆沿直线AD 折起到BD A '∆，使B '在平面ADC 内的射影恰在直线AD 上，则（ ）A. 当CD BD =时，C B ,'两点的距离最大B. 当CD BD =时，C B ,'两点的距离最小C. 当CAD BAD ∠=∠时，C B ,'两点的距离最小D. 当AD BD ⊥时，C B ,'两点的距离最大二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分， 共36分.11.已知54sin =α，),2(ππα∈，则=αcos ________，α2tan ________. 12.已知i 是虚数单位，复数z 满足i i z =+⋅)2(，则=z _________，=||z _________.13.已知nx )21(+展开式第三项的二项式系数为15，则=n ________，含2x 的项的系数是_________.14.已知R b a ∈,，222=-+ab b a ，则b a +的最大值为________，ab 的取值范围是_________.15.已知平面向量,满足5||=，5=⋅，若52||≤-，则||的取值范围是_________.16.用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为_________.17.设函数|2|)(b ax xx f ++=，若对任意的实数a 和实数b ，总存在]3,1[0∈x ，使得m x f ≥)(0，则实数m 的最大值是________.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）已知函数)0(21cos sin 3cos )(2>-+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求函数)(x f 在区间]2,0[π上的取值范围.19.（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC P -中，PAC ∆和ABC ∆均为等腰三角形，且90=∠=∠BAC APC ，4==AB PB .（1）判断PC AB ⊥是否成立，并给出证明； （2）求直线PB 与平面ABC 所成角的正弦值.20.（本题满分15分）已知数列}{n a 满足31=a ，n n n a a a 221+=+，设数列}{n b 满足))(1(log 2*∈+=N n a b n n .（1）求数列}{n b 的前n 项和n S 及}{n a 的通项公式； （2）求证：)2(1131211≥<-++++n n b n .21.（本题满分15分）如图所示，已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，),(11y x A ，))(,(2122x x y x B ≠是抛物线C 上的两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点P ，若4||||=+BF AF . （1）求点P 的坐标； （2）求PAB ∆面积的最大值.22.（本题满分15分）已知函数)()(R a x a e x f x∈+=-.（1）当0=a 时，直线kx y =是曲线)(x f y =的切线，求实数k 的值； （2）若21,x x 是函数)(x f 的两个极值点，且21x x <，求)(1x f 的取值范围.2018学年第一学期浙江省名校协作体试题模拟卷高三年级数学学科答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5 BDABB 6-10 CADCC二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）11．53- ，724． 12．i 5251+.13．6，60 14．22，]2,32[-．15．⎡⎣ 16．20 17．332-4三、解答题（本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．解：（Ⅰ）()1cos 2122x f x ω+=+-------------------2分c o s 23x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭--------------------------------------------5分由22ππω=，得1ω=；-----------------------------------------7分（Ⅱ）()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为[0,]2x π∈，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，------------------------------10分 所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．------------------------------------------------------------14分19．解：（Ⅰ）AB ⊥PC 不成立，证明如下：-------------2分假设AB ⊥PC ，因为AB AC ⊥，且PC AC C=，所以AB ⊥面PAC ，---------5分 所以AB PA ⊥，这与已知4PB AB ==矛盾，------7分 所以AB ⊥PC 不成立．（Ⅱ）解法1：取AC 中点O ，BC 中点G ，连,,PO OG PG ，由已知计算得2PO OG PG ===，------------9分由已知得,AC PO AC OG ⊥⊥, 且PO OG O =， 所以AC ⊥平面POG ，所以平面ABC ⊥平面POG ，--------------12分 取OG 中点H ，连BH ，则PH ⊥平面ABC ，从而，PBH ∠就是直线PB 与平面ABC 所成的角，因为PH =4PB =，所以sin 4PH PBH PB ∠==----------------------15分解法2：如图，以A 为原点，,AB AC 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系， 则()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0A B C ，-----------------------------------------9分设(),,P x y z ，由()()222222222841648x y z x y z x y z ⎧++=⎪⎪-++=⎨⎪+-+=⎪⎩解得：(1,P -----------------------------11分(3,2,PB =--，因为平面ABC 的法向量是()0,0,1n =，--------13分由sin PB n PB nθ=⋅ =------------15分20．解：I.由n n n a a a 221+=+得2211121）（+=++=++n n n n a a a a 由31=a 易得0>n a ，所以两边取对数得到）（）（1log 21log )1(log 22212+=+=++n n n a a a 即n n b b 21=+ ……………2分 又02)1(log 121≠=+=a b}{n b ∴是以2为公比的等比数列，即n n b 2= 221-=∴+n n S ……………………6分又)1(log 2+=n n a b 122-=∴nn a ………………………7分 II 证法一、用数学归纳法证明：1当2=n 时，左边为261131211<=++=右边，此时不等式成立；………8分2假设当2≥=k n 时，不等式成立， 则当1+=k n 时，左边12112121121312111-++++-++++=+k k k k………10分121121211-++++<+k k k k个k k k k k 2212121+++<1+<k =右边∴当1+=k n 时，不等式成立。

2023-2024学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高三年级数学学科一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．+1；13．2；14．=-a 45或11a -<．四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．【解析】（1）因为=a b C 2cos ，所以=A B C sin 2sin cos ，......................................................... 2分所以+=B C B C sin()2sin cos ，所以+=B C B C B C sin cos cos sin 2sin cos ，所以-=B C B C sin cos cos sin 0，即-=B C sin()0， ............................................. 4分 因为，-∈-ππB C ()，所以=B C ； 所以△ABC 为等腰三角形； ..................................................................................... 6分 （2）由题意可知，，====a A b B c C B 2sin 2sin 2sin 2sin ， 所以△ABC 的周长为：++=+=π-+=+a b c A B B B B B 2sin 4sin 2sin(2)4sin 2sin 24sin ， .................. 8分 设，，=+∈πf B B B B 2()2sin 24sin (0)， 则=+=+-=+-'f B B B B B B B ()4cos24cos 8cos 4cos 44(cos 1)(2cos 1)2， .... 10分所以当(0)3B π∈，时，1cos 2B >，()0f B '>，()f B 单调递增；当()32B ππ∈，时，1cos 2B <，()0f B '<，()f B 单调递减；所以当3B π=时，()f B取到最大值 所以周长的最大值为 ....................................................................... 13分16．【解析】（1）取PB 中点N ，连接AN ，MN ，则MNBC ，且12MN BC =， ............................................................................... 2分 因为A D ，分别为RB RC ，的中点， 所以AD BC ，且12AD BC =， 所以ADMN 且AD MN =，所以四边形ADMN 为平行四边形， ........................................................................ 4分 所以DMAN ，又AN ⊂平面PAB ，DM ⊄平面PAB ， 所以DM平面PAB ． ............................................................................................ 7分（2）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD =AD ，AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ，又PA AD ⊥，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴建系， ............................ 8分 设BE t =，则(002)P ，，，(020)D ，，，(20)E t ，，， 所以(022)PD =-，，，(220)DE t =-，，， 设()x y z =，，n 为平面PDE 的法向量，则 00PD DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2202(2)0y z x t y -=⎧⎨+-=⎩， 令2y =得(222)t =-，，n . ..................................................................................... 10分 易知平面ABED 的法向量为(001)=，，m ， ......................................................... 12分 设平面PDE 与平面ABED 的夹角为θ，则2cos |cos |3θ===，n m ，解得1t =或3t =，故1BE =或3． ........................................................................ 15分 17．【解析】（1）由题意可知，X 的取值可能为4，6，8． ............................................................. 1分(4)0.50.520.5P x ==⨯⨯=； (6)0.50.50.520.25P x ==⨯⨯⨯=；(8)0.50.50.520.25P x ==⨯⨯⨯=； ......................................................................... 4分 所以三人总积分X 的分布列为X 4 6 8 P0.50.250.25所以0.540.2560.258 5.5EX =⨯+⨯+⨯=． ........................................................... 6分 （2）设事件A 为“第一局乙对丙最终乙获胜”，B 为“第一局乙对甲最终乙获胜”，C 为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，则有：3131233213()(1)(1)(1)(1)P A p p p p p p p p p p =-+-+--； 1313211231()(1)(1)(1)(1)(1)(1)P B p p p p p p p p p p =-+---+--；21323131()(1)(1)(1)(1)P C p p p p p p p p =-+--=-； ............................................ 9分显然()()P B P C >； ................................................................................................. 11分3123321313211231()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)P A P B p p p p p p p p p p p p p p p p -=-+--------- 123313213(1)[(1)](1)(1)[(1)]p p p p p p p p p p =---+---- 13123321(1)[(1)(1)(1)]0p p p p p p p p =+--+-->所以 ()()P A P B >； ............................................................................................... 14分 故乙的最优指定策略是让乙和丙打第一局． ....................................................... 15分 18．【解析】（1）由题意可知，112AOB S =⨯⨯△， ............................................................ 2分所以 1p =，所以 抛物线E 的方程为22y x =. ............................................................................ 4分 （2）设112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，，因为 O 为ABC △的重心，所以 1230AOB AOC BOC x x x S S S ++===，△△△； ....................................................... 6分 因为313||||MOC AOC S x MC S AC x x -==-△△，323||||NOC BOC S x NC S BC x x -==-△△， ................................ 10分 且1MOC NOC S S S +=△△，2AOC BOC S S S ==△△；所以 22331121212122213231212121212123()3()22(2)(2)2()x x S x x x x x x x x S x x x x x x x x x x x x x x x x --++++=+=+==--++++++； ................................................................................................................................... 12分 设 :1AB x ty =+，与22y x =联立得：2220y ty --=，所以 122y y =-， 所以 21212()14y y x x ==，则122x x +=≥； ............................................. 14分所以 12212343[)1322()S S x x =∈++，； 所以12S S 的取值范围为43[)32，. ............................................................................... 17分 19．【解析】（1）由题意可知21234()3241f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31234()1234f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ........................................... 3分 （2）【解法一】①若1234()1234f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1()f i 为恒等置换；②若存在两个不同的i ，使得()f i i =，不妨设12i =，，则1234()1243f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以21234()1234f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2()f i 为恒等置换；③若存在唯一的i ，使得()f i i =，不妨设2i =，则1234()3241f i ⎛⎫=⎪⎝⎭或1234()4213f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 当1234()4213f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，由（1）可知3()f i 为恒等置换；同理可知，当1234()3241f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，3()f i 也是恒等置换； ④若对任意的i ，()f i i ≠，则情形一：1234()2143f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()3412f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()4321f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭；情形二：1234()2341f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()2413f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()3142f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()3421f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()4123f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭或1234()4312f i ⎛⎫= ⎪⎝⎭；对于情形一：2()f i 为恒等置换； 对于情形二：4()f i 为恒等置换；综上，对任意4()f i S ∈，存在k +∈N ，使得()k f i 为恒等置换； ....................... 9分 【解法二】对于任意{1234}i ∈，，，，都有1234()()()(){1234}f i f i f i f i ∈，，，，，，，所以1234()()()()f i f i f i f i ，，，中，至少有一个满足()k f i i =， 即使得()k f i i =的k 的取值可能为1，2，3，4．当i 分别取1，2，3，4时，记使得()k f i i =的k 值分别为1234k k k k ，，，， 只需取k 为1234k k k k ，，，的最小公倍数即可． 所以 对任意4()f i S ∈，存在k +∈N ，使得()k f i 为恒等置换； ......................... 9分 （3）不妨设原始牌型从上到下依次编号为1到52，则洗牌一次相当于对{1252}，，，作一次如下置换:1234552()127228352f i ⎛⎫=⎪⎝⎭，即21()262k i k f i k i k =-⎧=⎨+=⎩，，，， 其中1226k =，，，． 注意到各编号在置换中的如下变化：112271433179532428404649251374fffffffffffffffff→→→→→→→→→→→→→→→→→，，，629158304121116103116344322371910f f f f f f f f f f f f f f f f→→→→→→→→→→→→→→→→，， 123242472438452312ffffffff→→→→→→→→，183518ff→→，2036444850512639205252f f f f f f f f f→→→→→→→→→，；所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，注意到1，2，8的最小公倍数为8，由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型． ............................................... 17分。

2017-2018学年第二学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,10,1,A B x x C x y x y A ==->==-∈，则()A B C ⋂⋃=（ ）A ．{}2,3,4B ．{}2,3,4,5,6C ．{}0,1,2,3,4,5D ．{}3,4,52．在复平面内，复数z 和1i i-表示的点关于虚轴对称，则复数z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i -- 3．已知257log 8,log 20,log 28a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<4．若不等式组13220x y x y λλ≤⎧⎪≤⎨⎪-+-≥⎩表示的平面区域经过四个象限，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),2-∞ B ．[]1,1- C ．[)1,2- D ．()1,+∞5．已知函数()32f x ax x x b =+++，下列图象一定不能表示()f x 的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知袋子中装有若干个标有数字1,2,3的小球，每个小球上有一个数字，若随机抽取一个小球，取到标有数字2的小球的概率为13，若取出小球上的数字X 的数学期望是2，则X 的方差是（ ） A ．13 B ．23 C ．83 D ．437．设函数()()()()sin 2sin 2sin 2f x a x b x c x αβγ=+++++，则“04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭”是“()f x 是偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且02πθ<<，已知对任意实数()1,1t ∈-，b ta +无最小值，则以下说法正确的是（ ）A ．若θ和b 确定，则a 唯一确定B ．若θ和b 确定，则a 由最大值C ．若θ确定，则a b ≥D ．若θ不确定，则a 和b 的大小关系不确定 9．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,P Q 分别是11,BD BB 上的动点，则1C PQ∆周长的最小值为（ ）A ．3 BC D ．310．已知偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，()()2*,,N f x ax bx c a b c =-+∈。

2018学年浙江省高三“五校联考”考试数学试题卷命题学校：绍兴一中说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间 120分钟．请考生按规定用笔将全部试题的答案涂、写在答题纸上．参照公式柱体的体公式：V=Sh ，此中S 表示柱体的底面,h 表示柱体的高；体的体公式：V=1Sh ，此中S 表示体的底面,h 表示体的高；3台体的体公式：V1 (S 1 S1S2S2)h ，此中S 1,S2分表示台体的上、下底面,h 表示台体的高；3球的表面公式： 2 ，球的体公式：V=4 3S=4πR πR ，此中R 表示球的半径；3若事件A,B 互斥, P(A+B)=P(A)+P(B)；若事件A,B 互相独立, P(A·B)=P(A)·P (B)；k若事件A 在一次中生的概率是p,n 次独立重复中事件A 恰巧生k 次的概率Pn(k)=Cn kpn-kn)⋯．, (1－p)(k=0,1,2,选择题部分（共一、选择题：本大题共 10目要求的.40分）小题，每题4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题1.已知会合U 1,1,3,5,7,9，A{1,5}，B1,5,7，则C U (AB) （▲）A.3,9B.1,5,7C.1,1,3,9D. 1,1,3,7,9 2.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（▲ ）A.426B.46C.422D.423.已知数列{a },知足 an 1 3an,且aa a69，则n2 4log 3a 5log 3a 7log 3a 9 （▲）（第2）A.5B.6C.8D.114.已知xy0 ，则“x”是“2|x|x 22|y|y 2”的（▲）A.充足不用要条件B. 必需不充足条件C.充足必需条件D. 既不充足也不用要条件5.函数y1x e x的大概图象为（▲）1 xCy1,6.已知实数x,y知足y2x10,假如目标函数z x y的最小值为－1，则实数m等于（▲）x y m0,A．7B．5C．4D．37.已知M tan sin cos，N tan(tan82)，则M和N的关系是（▲）28A.M NB.M NC.M ND.M和N没关8.已知函数f(x)|log2x|,x0,|2f(x)m|1，且mZ，若函数g(x)存在5个零1x,x，函数g(x)0.点，则m的值为（▲）9.设a,b,c为平面向量，|a||b|2，若(2c a)(c b)0，则cb的最大值为（▲）A.2B.9C.17D.5 4410.如图，在三棱锥S ABC中，SC AC,SCB,ACB,二面角S BC A的平面角为，则（▲）A. B.SCA C.SBA D.SBA非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．已知复数z知足1+2iz2i，则z=▲，|z|=▲.12．f(x)(x2x1)(2x1)5的睁开式中各项系数的和为▲，该睁开式中的常数项为▲. x13．已知函数f(x)cos(x)(0,||)象中两相的最高点和最低点分(,1),72121)，函数f(x)的增区▲，将函数f(x)的象起码平移▲个位度后对于直(,12x称.414．一个正四周体的四个面上分有1，2，3，4，将正四周体抛两次，向下一面的数字和偶数的概率▲，两个数字和的数学希望▲.15．已知双曲x2y21(a0,b0)中，A1,A2是左、右点，F是右焦点，B是虚的上端点．若在a2b2段BF上（不含端点）存在不一样的两点P i(i1,2)，使得PA i1PA i20，双曲离心率的取范是▲.16．从0,1,2,⋯,8九个数字中取五个不一样的数成五位偶数，且奇数数字不可以放在偶数位（从万位到个位分是第一位，第二位⋯⋯），有▲个不一样的数.（用数字作答）17．已知数x,y[1,1]a,a b,，max{a,b}b.b,amax{x2y21,|x2y|}的最小▲.三、解答：本大共5小，共74分，解答写出文字明、明程或演算步. 18．（安分14分）已知ABC中，角A,B,C所的分a,b,c，且cos AsinA2.222(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)当a7,sin(A C)21，求c的. 1419．（安分15分）如，已知ABC中，ABBC7,AC1，点A平面，点B,C在平面的同，且B,C在平面上的射影分E,D，BE2CD2.(Ⅰ)求：平面ABE平面BCDE；(Ⅱ)若M是AD中点，求平面BMC与平面所成二面角的余弦.20．（此题满分15分）已知正项数列a n的前n项和为S n，知足2S n12a n2a n(nN).(Ⅰ)（i）求数列a n的通项公式；（ii）已知对于n 1111M的最小值；N，不等式S2S3M恒建立，务实数S1S n(Ⅱ)数列b n的前n项和为T n，知足42a n1T n2(n N)，能否存在非零实数，使得数列b n为等比数列？并说明原因.21．（此题满分15分）x2y21，抛物线x22y的准线与椭圆交于A,B两点，过线段AB上的动点P作斜率已知椭圆4为正的直线l与抛物线相切，且交椭圆于M,N两点.(Ⅰ)求线段AB的长及直线l斜率的取值范围；1MNQ面积的最大值.(Ⅱ)若Q（0，），求422．（此题满分15分）已知函数f(x) e x ax (Ⅰ)若f(x)0恒建立，求b.(此中e为自然对数的底数ab的最大值；)(Ⅱ)设g(x)lnx1，若F(x)g(x)f(x)存在独一的零点，且对知足条件的a,b不等式m（ae1)b恒建立，务实数m的取值会合.。

2018学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合},032{},0{2R x x x x B y y A ∈<--=>=,那么AB = （ ▲ ）A ．)3,0(B ．),1(+∞-C ．)1,0(D ．),3(+∞2.设2554log 4,(log 3),log 5,a b c ===则 （ ▲ ） A ．b c a <<B ．a c b << C ．c b a << D ．c a b <<3.将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位得到)(x f 的图象，则 （ ▲ ） A ．x x f 2sin )(= B ．x x f 2cos )(=C ．x x f 2sin )(-=D ．x x f 2cos )(-=4.函数4cos xy e x =-(e 为自然对数的底数)的图象可能是 （ ▲ ）5．设实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-,1,032,02x y x y x 则y x z -=的取值范围是（ ▲ ）A ．[2,1]--B ．]0,1[-C ．]1,1[-D ．[2,1]-6.已知1234{,,,}x x x x {0|(3)sin 1}x x x π⊆>-⋅=,则1234x x x x +++的最小值为 ( ▲ ) A.12 B.15 C.12π D.15πA. ()f x 的周期为4B. ()f x 是奇函数C. (4)0f =D. (1)f x +是奇函数 7.已知函数()tan cos f x x x =⋅，则下列说法正确的是 （▲ ）A. ()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于(,0)2π中心对称C.()f x 在区间(,)2ππ上单调递减 D.()f x 的值域为[1,1]-8.记min{,,}a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，令12min ,,M x y yx ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则M 的最大值是（ ▲ ）A.3B.2239.平面向量,a b 满足，()240aa b -⋅-=，3b =，则a 最大值是 （ ▲ ）A.3B. 4C. 5D. 6 10.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3341S S S -=．若11a >，则 （ ▲ ） A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a <>C ．1324,a a a a >< D ．1324,a a a a >>第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）11.已知向量，若 ，则 ▲，若则 ▲．12.已知3sin()45πα+=，则3sin()4πα-=____▲____；sin2α=___▲___. 13.已知函数()1f x x x a =---，若()f x 为奇函数且非偶函数，则a =__▲___； 若()1f x >的解集为空集，则a 的取值范围为__▲____.14.已知数列{}n a 中，2111,1(2),n n a a a n -==+≥，则数列{}n a 的通项公式为___▲___； 若1223111110n n a a a a a a ++++<+++，则n 的最大值___▲___.15.已知,a b 都是正数，满足23a b +=，则2a b ab+的最小值为 ▲ .16.已知2()1,f x x x =+若()()1,(,),f a f b a b R ⋅≤∈其中则a b +的最大值为__▲___. 17.已知函数222()|2|(21)22f x x x x m x m =+---+-+有三个不同的零点，则实数m 的 取值范围是 ▲ .三、解答题（本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )m x n x x ==, 记()f x m n =⋅． (Ⅰ)求()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)若3(),[,]10312f x x ππ=-∈--，求cos2x 的值； 19.（15分）如图所示， ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b ccb=．(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)点D 为边AB 的中点， 2BD =，求ABC ∆面积的最大值．20.（15分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且555, 5.S a ==数列{}n b 满足12,b =-且113n n nnb b a ++-=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的通项公式.21.（15分）已知函数：),()(2R n m n mx x x f ∈++=.(Ⅰ)若0=+n m ，解关于x 的不等式x x f ≥)(（结果用含m 式子表示）； (Ⅱ)若存在实数m ，使得当[]2,1∈x 时，不等式x x f x 4)(≤≤恒成立，求负数．．n 的最小值.22.已知函数,21)(2xx x f +=b a ,均为正数. (Ⅰ)若2=+b a ，求证：;3)()(≥+b f a f (Ⅱ)若)()(b f a f =-，求：b a +的最小值.2018学年第一学期浙江省名校协作体高二数学参考答案AD1-5 ADCCD 6-10 ABDBC11.4； 12. 37,525-； 13. 1,[0,2]- ；14.n a =，119； 15.3； 16.0；17.127,13⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- 17、解：函数()y f x =有三个不同的零点即()()()222()-2-2,,21,22224,2,1f x mx m x x m x m x ⎧⎤⎡⎦⎣⎪⎨⎪⎩∈-∞-+∞=--+-+∈-有三个不同零点 则必有2220mx m +=在(),21,x ⎤⎡⎦⎣∈-∞-+∞上有一解，且()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解．由2220mx m +=在(),21,x ⎤⎡⎦⎣∈-∞-+∞上有一解得2m -≤-或1m -≥，即2m ≥或1m ≤-．由()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解转化为2222422x x mx m ++=+有两解即二次函数与一次函数相切的临界状态由()()22228420m m ∆=++-=解得127m ±127127,13m ⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-∈-18. （1）31cos 21()2sin(2)262x f x x x π+=+=++． ——————2分 若()f x 单调递增，则2[2,2],622x k k k Z πππππ+∈-++∈ ————————4分解得 ()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈ ———————5分（2）由7()10f x =-知4sin(2),65x π+=- 又∵[,]312x ππ∈--，即 2[,0]62x ππ+∈-———————8分∴3cos(2)65x π+=， ——————11分 ∴334cos 2cos[(2)]66x x ππ-=+-==； —————14分19.（1sin sin BC=,所以tan 3C =故3C π=——————— 5分(2)在BCD ∆中，设BC=,,x CD y =由余弦定理知224x y xy xy +-=≥ , ———10分所以，2sin ABC BCD S S xy C xy ∆∆==⋅=≤此时 2x y == -----------15分20. ()25n a n =-Ⅰ -------------5分 （Ⅱ）当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+-+ 232(3)3(1)3(27)3n n =-+-⋅+-⋅+-⋅记23(3)3(1)3(27)3n t n =-⋅+-⋅++-⋅则3413(3)3(1)3(29)3(27)3n n t n n +=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅23412(3)32[333](27)3n n t n +-=-⋅+⋅++⋅--⋅ --------10分所以32123(13)227(27)313n n t n -+⋅--=-+--⋅-154(28)3n n +=---⋅所以127(4)3n t n +=+-⋅ 所以 ()12543n n b n +=+- ----------14分 当1n =时也满足 所以 ()12543n n b n +=+- ----------15分21.2()x x mx m ≤+-Ⅰ()(1)0x m x ∴+-≥ ------------------2分()()(){}21211.21101,-.11.m x R m x m x m x x m m x x x m =-∈≠-+--===>-≥≤-时，时，解得：①时，原不等式的解集为或{}11.m x x m x <-≥-≤②时，原不等式的解集为或 --- -- 7分 [][][]21,24141,2,141,2x x x mx n x nx m x xn nm x m x x x x∈≤++≤≤++≤∈-+≤≤--+∈（Ⅱ）时，恒成立，等价于对恒成立.即存在实数使得-对时恒成立.--------------11分 max min14n n x x x x ⎛⎫⎛⎫∴--+≤--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,42nn n ∴-≤-≥-即4.n ∴的最小值为- --------------15分（注：其它做法相应给分）22222.1,0121111()()4242421322a b ab t ab t f a f b a b ab t a b ab t+⎛⎫≤==<≤ ⎪⎝⎭+=+++=-+=-+≥-+=令则 ------7分222211()2221,002a ba b a b a b ab a b a b ab+-=+-=>∴-=>Ⅱ由知2222()()4()a b a b ab a b a b+=-+=+-- -----------------10分 设x a b =-，则0x >，可设2()=()0a b g x x +>（）[][)()21222121212121212121212122()0,11,+1222()()21,2,2,()()0.g x x xx x g x g x x x x x x x x x x x x x x x g x g x x x =+∞>≥⎛⎫-=+--=-+- ⎪⎝⎭>≥∴+><∴->下证：在上递减，上递增.设121212()()0()().g x g x x x g x g x ∴>≥>><，同理，当1时， ----------13分()min 3.a b ∴+= 3131a b +-==此时, -------------15分（注：其它做法相应给分）。

1.若集合{|0}A y y =>，2{|230,}B x x x x R =--<∈，那么A B =（ ）A.(0,3)B.(1,)-+∞C.(0,1)D.(3,)+∞ 【答案】A【解析】∵2{|230,}{|13,}B x x x x R x x x R =--<∈⇒-<<∈，所以(0,3)A B =.2.设5log 4a =，25(log 3)b =，4log 5c =，则（ ） A.a c b << B.b c a << C.a b c << D.b a c << 【答案】D【解析】∵50log 31<<，∴255(log 3)log 3<.∵5log y x =递增，∴55log 3log 4<，∴b a <.∵5log 41<，4log 51>，∴ac <，综上b a c <<.3.将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位得到()f x 的图象，则（ ） A.()sin 2f x x = B.()cos 2f x x = C.()sin 2f x x =- D.()cos 2f x x =- 【答案】C【解析】cos 2()cos(2)sin 242y x x x ππ=+=+=-. 4.函数4cos xy e x =-（e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ）A. B.C. D.【解析】由于x xe e-=，cos cos()x x =-，因而()4cos 4cos()()xxf x e x e x f x -=-=--=-，所以原函数为偶函数，排除B 、D.另外0(0)4cos(0)30f e =-=-<，则函数与y 轴交点应该在负半轴上，故选C.5.设实数x ，y 满足约束条件202301x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）A.[2,1]--B.[1,0]-C.[1,1]-D.[2,1]- 【答案】D【解析】画出可行域如图所示：当目标函数z x y =-经过点(1,1)A -时,有min 2z =-； 当目标函数z x y =-经过点(1,2)B --时，有max 1z =.6.已知1234{,,,}{0|(3)sin 1}x x x x x x x π⊆>-⋅=，则1234x x x x +++的最小值为（ ） A.12 B.15 C.12π D.15π 【答案】A【解析】由(3)sin 1x x π-⋅=，得1sin 3x x π=-，设()sin y f x x π==，1()3g x x =-，则()g x 关于(3,0)成中心对称.当3x =时，(0)sin30f π==，即()f x 关于(3,0)成中心对称.作出函数()f x 和()g x 的图象如图当0x >时，要使1234x x x x +++的值最小，则两个函数前四个交点的横坐标之和最小，此时四个交点关于(3,0)成中心对称.∴此时最小值为12344312x x x x +++=⨯=. 7.已知函数()tan cos f x x x =⋅，则下列说法正确的是（ ） A.()f x 的最小正周期为π B.()f x 的图象关于(,0)2π中心对称C.()f x 在区间(,)2ππ上单调递减D.()f x 的值域为[1,1]- 【答案】B【解析】sin ,[,)2()tan cos ()sin ,()2x x k k f x x x k z x x k πππππ⎧∈+⎪⎪=⋅=∈⎨⎪-∈-+⎪⎩,其图象如下图所示：由图象知，()f x 的最小正周期为2π,图象关于(,0)2π中心对称, 在区间(,)2ππ上单调递增，值域为(1,1)-.故选B.8.记min{,,}a b c 为a ，b ，c 中的最小值，若x ，y 为任意正实数，令12min ,,M x y yx ⎧⎫=+⎨⎬⎭⎩，则M 的最大值是（ ）A.3B.2【答案】D【解析】设a x =，1b y =，212c y x b a =+=+，0a b <≤，则110a b≥>，111212b c a a a b b b a a a+-≤-=+-≤+-，∴2223b a c a b a --≤-≤，当a ≤c a ≤，此时c 最小.当0a <<0c a -≥，此时a最小，M ≤.综上，M9.平面向量a ，b 满足，2()40a a b -⋅-=，3b =，则a 最大值是（ ）A.3B.4C.5D.6 【答案】B【解析】设向量a ，b 夹角为θ，则依题意有2||3||cos 40a a θ--=，显然||0a >，则2||4cos 3||a a θ-=， ∵1cos 1θ-≤≤，∴2||4113||a a --≤≤，解得1||4a ≤≤，故a 最大值为4.10.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4331S S S =-.若11a >，则（ ） A.13a a <，24a a < B.13a a <，24a a > C.13a a >，24a a < D.13a a >，24a a > 【答案】C【解析】由4331S S S =-，得3121111a q a a q a q=-++，即 2231(1)1a q q q ++=-，∵11a >即211a >，且210q q ++>，∴310q -<<，201q <<，10q -<<，∴2311(1)0a a a q -=-<，2421(1)0a a a q q -=->，即13a a >，24a a <. 二、填空题11.已知向量(1,2)a =，(2,)b x =，若//a b ，则x = ，若a b ⊥则a b -= . 【答案】4【解析】因为//a b ，所以122x=，解得4x =.因为a b ⊥，所以220x +=，解得1x =-，所以(12)a b -=-=12.已知3sin()45πα+=，则3sin()4πα-= ；sin 2α= . 【答案】35，725-【解析】∵3()()44ππααπ++-=，sin()sin παα-=，∴3sin()sin(())sin()444πππαπαα-=-+=+，又3sin()45πα+=，∴33sin()45πα-=.∵3sin()45πα+=，∴3sin cos 25αα+=，sin cos 5αα+=，218(sin cos )25αα+=，∴7sin 22sin cos 25ααα==-.13.已知函数()1f x x x a =---，若()f x 为奇函数且非偶函数，则a = ；若()1f x >的解集为空集，则a 的取值范围为 .【答案】1-，[0,2]【解析】∵()f x 为奇函数且非偶函数，所以(0)0f =，即10x x a ---=，解得1a =-. ∵()1f x x x a =---，()1f x >的解集为空集，所以()1f x ≤恒成立，即11x x a ---≤恒成立，解得02a ≤≤，即a 的取值范围为[0,2].14.已知数列{}n a 中，11a =，2)n a n =≥，则数列{}n a 的通项公式为 ；若1223111110n n a a a a a a ++++<+++，则n 的最大值 .【答案】n a =，11915.已知a ，b 都是正数，满足23a b +=，则2a bab+的最小值为 . 【答案】3【解析】∵a ，b 为正数，且23a b +=，∴212(2)()3a b a ba b ab ab++=+ 221225()3a b abab++= 2212()1[5](45)333c b ab +=+≥+=，当且仅当a b =时，2a b ab+有最小值为3. 16.已知()f x x =()()1f a f b ⋅≤，（其中a ，b R ∈），则a b+的最大值为 . 【答案】0【解析】∵()()((1f x f x x x ⋅-=+⋅-+=，()()1f a f b ⋅≤，∴()()()()fa fb f b f b ⋅≤⋅-， ∵()||0f x x x x =+>+≥，即()0f b >，∴()()f a f b ≤-， 又∵()10f x '=->，即()f x 在R 上单调递增(也可用定义法判断)，∴a b ≤-，即0a b +≤， 故a b +的最大值为0.17.已知函数222()2(21)22f x x x x m x m =+---+-+有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .【答案】127(1)3-- 【解析】函数()y f x =有三个不同的零点即22222,(,2][1,)()2(22)24,(2,1)mx m x f x x m x m x ⎧--∈-∞-+∞⎪=⎨--+-+∈-⎪⎩有三个不同零点， 则必有2220mx m +=在(,2][1,)x ∈-∞-+∞上有一解， 且222(22)240x m x m --+-+=在(2,1)x ∈-上有两解. 由2220mx m +=在(,2][1,)x ∈-∞-+∞上有一解得2m -≤-或1m -≥，即2m ≥或1m ≤-.由222(22)240x m x m --+-+=在(2,1)x ∈-上有两解转化为2222422x x mx m ++=+有两解即二次函数与一次函数相切的临界状态 由22(22)8(42)0m m ∆=++-=解得13m ±=结合图象得： 127(1)3m -∈-.三、解答题18.已知向量(3sin ,1)m x =，2(cos ,cos )n x x =，记()f x m n =⋅.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若3()10f x =-，[,]312x ππ∈--，求cos2x 的值； 【答案】 （Ⅰ）[,]()36k k k Z ππππ-++∈【解析】（Ⅰ）1cos 21()2sin(2)2262x f x x x π+=+=++. 若()f x 单调递增，则2[2,2],622x k k k Z πππππ+∈-++∈解得()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ∴单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈.（Ⅱ）由7()10f x =-知4sin(2)65x π+=-， 又∵[,]312x ππ∈--，即2[,0]62x ππ+∈-∴3cos(2)65x π+=，∴4cos 2cos[(2)]6610x x ππ=+-=.19.如图所示，ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin C cB b=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）点D 为边AB 的中点，2BD =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】 （Ⅰ）3π（Ⅱ）【解析】sinsinBC=，所以tan C=3Cπ=.（Ⅱ）在BCD∆中，设BC x=，CD y=，由余弦定理知224x y xy xy+-=≥，所以，2sinABC BCDS S xy C xy∆∆==⋅=≤此时2x y==.20.已知等差数列{}na的前n项和为nS，且55S=，55a=.数列{}nb满足12b=-，且113nn nnb ba++-=.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）求数列{}nb的通项公式.【答案】（Ⅰ）25na n=-（Ⅱ）125(4)3nnb n+=+-【解析】（Ⅰ）∵55S=，∴1545.52a d⨯+=，化简得121a d+=，又55a=，∴145a d+=，联立112145a da d+=⎧⎨+=⎩，解得132ad=-⎧⎨=⎩，∴25na n=-.（Ⅱ）当2n≥时，112211()()()n n n n nb b b b b b b b---=-+-+-+232(3)3(1)3(27)3nn=-+-⋅+-⋅+-⋅.记23(3)3(1)3(27)3nt n=-⋅+-⋅++-⋅，则3413(3)3(1)3(29)3(27)3n nt n n+=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅23412(3)32[333](27)3n nt n+-=-⋅+++--⋅.所以32123(13)227(27)313n n t n -+⋅--=-+--⋅- 154(28)3n n +=---⋅.所以127(4)3n t n +=+-⋅， 所以125(4)3n n b n +=+-，当1n =时也满足，所以125(4)3n n b n +=+-.21.已知函数：2()(,)f x x mx n m n R =++∈.（Ⅰ）若0m n +=，解关于x 的不等式()f x x ≥（结果用含m 式子表示）；（Ⅱ）若存在实数m ，使得当[1,2]x ∈时，不等式()4x f x x ≤≤恒成立，求负数n 的最小值. 【答案】 （Ⅰ）略 （Ⅱ）4- 【解析】（Ⅰ）∵2x x mx m ≤+-， ∴()(1)0x m x +-≥. （1）1m =-时，x R ∈.（2）1m ≠-时，由2(1)0x m x m +--=得：11x =，2x m =-. ①1m >-时，原不等式的解集为{|1x x ≥或}x m ≤-. ②1m <-时，原不等式的解集为{|x x m ≥-或1}x ≤. （Ⅱ）[1,2]x ∈时，24x x mx n x ≤++≤恒成立， 等价于14nx m x≤++≤对[1,2]x ∈恒成立.即存在实数m ，使得14n n x m x x x--+≤≤--+对[1,2]x ∈恒成立. ∴max min (1)(4)n n x x x x--+≤--+ ∴22n n -≤-，即4n ≥- ∴n 的最小值为4-.22.已知函数21()2f x x x=+，a ，b 均为正数. （Ⅰ）若2a b +=，求证：()()3f a f b +≥；（Ⅱ）若()()f a f b -=，求：a b +的最小值.【答案】（Ⅰ）略【解析】 （Ⅰ）∵2()12a b ab +≤=，令t ab =则01t <≤. 221111()()4242421322f a f b a b ab t a b ab t +=+++=-+=-+≥-+= （Ⅱ）由221122a b a b -=+知222a b a b ab +-=，∵,0a b > ∴102a b ab -=>， 2222()()4()a b a b ab a b a b +=-+=+--.设x a b =-，则0x >，可设2()()(0)a b g x x +=> 下面证：22()g x x x=+在[0,1]上递减，[1,)+∞上递增.设121x x >≥， 22121212121212222()()()()g x g x x x x x x x x x x x -=+--=-+- ∵121x x >≥，∴122x x +>，1222x x <，∴12()()0g x g x ->. ∴12()()g x g x >，同理，当1210x x ≥>>时，12()()g x g x <.∴min ()a b +=此时，a =，b =。