(完整版)不定积分的概念与存在定理

5．1 不定积分的概念一．原函数的概念定义1：设 f (x) 是定义在区间上的已知函数，若存在一个函数F(x) 对于该区间上的每一点都有： F (x) f (x) 或dF(x) f ( x) dx 。

则：F(x)为f(x)的一个原函数。

例：(x3) 3x2,则：x3是3x2的一个原函数，另外由于(x31) 3x2,(x31) 3x2,(x33) 3x2，。

即：x31,x31, x3 3 , 。

等等也都是3x2的原函数。

即：x3 C ( C常数)全为3x2的原函数。

所以，有下面定理。

定理：一个函数 f (x) ，若有一个原函数F(x) ，则必有无穷多个。

而这写原函数只相差一个常数。

F(x) C是f(x) 的全体原函数。

例：设e x cosx是 f (x) 的原函数，求： f (x)。

解：由原函数概念可知，若e x cosx是f (x) 的原函数则有(e x cosx) e x sin x f (x) ，所以 f(x) (e x sin x) =e x cosx 二．不定积分的定义定义2。

设函数F(x)为函数 f (x)的一个原函数，则f(x) 的全部原函数F(x) C ( C为任意常数)称为函数 f (x) 的不定积分。

记作： f (x)dx。

即： f (x)dx F(x) C 。

f (x) ：被积函数， f ( x)dx ：被积表达式，x ：积分变量，：积分号， C ：积分常数。

存在原函数的函数为：可积函数。

求已知函数的不定积分，只要求出它的一个原函数，再加一个 C (任意常数)。

例：求积分3x 2dx解：( x3) 3x2∴ 3x2dx x 3 C例：求积分cosxdx解：(sin x) cos x∴ cosdx sin x C例：求积分e x dx解：(e x) e x∴ e x dx e x C例：求积分1dxx1 1 15) 2dx ( ) d ；6) dx ( ) d x1解：( ln x) ，(x 0)x 11[ln( x)] 1 ( 1) 1 ,(x 0) xx 1dx ln x Cx不定积分 (互逆)求导数。

不定积分24个基本公式一、原函数不定积分的概念原函数的定义：如果区间I上，可导函数F(x)的导函数为f'(x),即对任一x∈I都有 F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x) dx 那么函数F(x)就称为f(x)(或 f(x) dx)在区间 I 内的一个原函数。

原函数存在定理：如果函数f(x)在区间 I 上连续，那么在区间 I 上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有 F'(x)=f(x).简单地说：连续函数一定有原函数。

不定积分的定义：在区间 I 上，函数f(x)的带有任意常数项的的原函数称为f(x)( f(x)dx ) 在区间 I 上的不定积分，记作∫ f(x)dx . 其中记号∫ 称为积分号，f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。

二、基本积分公式三、不定积分的性质设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则∫ [ f(x) ± g(x)]dx= ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx 。

记：合拢的加减积分可以分开加减积分2. 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，k为非零常数，则∫ k f(x) dx=k ∫ f(x) dx记者:非零常数乘以积分，可以把常数拿出来，乘以不定积分。

四、第一类换元积分法设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：也叫做凑微分法五、第二类换元积分法设x=ψ(t)是单调的可导函数，并且ψ'(t)≠0，又设f[ψ(t)]ψ'(t)具有原函数，则有换元公式是x=ψ(x)的反函数。

三种常见的换元公式(注：利用三角形理解去记)利用第二种换元积分法解出的常见的积分公式：六、分部积分法设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为 (uv)'=u'v+uv',移项，得： u v'=(u v)'-u' v对这个等式两边求积分∫ u v' dx=u v- ∫ u' v dx 称为分部积分公式按零件的集成顺序集成:反对力量指的是三，意思是从后面集成容易，先集成那个。

不定积分概念一、不定积分概念不定积分（indefinite integral）是指求某个函数的积分，而不是某个特定值。

对于定积分（definite integral）来说，求积分时已经明确求积分的范围，而不定积分时，积分范围是不确定的，只有拉格朗日积分常数可以确定函数的值。

它可以表示为：∫f(x)dx=F(x)+C其中，C 为拉格朗日积分常数，F(x) 为原函数的积分。

二、不定积分的应用不定积分在微积分中有重要的作用，主要用来表示某物的变化率。

例如：求物体的加速度时，可以使用不定积分来计算。

速度是物体的位移量在单位时间的变化率，因此加速度可以通过不定积分来计算，可以表示为：a=∫∫v(t)dt其中，t 为时间，v(t)为速度，a 为加速度。

不定积分在运筹学中也有重要作用，用来表示最优解中的某个函数值的变化率。

例如在著名的求任务资源最大利用率的问题中，可以用不定积分来表示任务资源的利用率：∫∫R(t)dt其中，t 为时间，R(t) 为任务资源的利用率。

同样，不定积分还可以应用在经济学中用来表示物价的变化率： P=∫∫p(t)dt其中，t 为时间，p(t) 为物价，P 为物价变化率。

三、不定积分的计算方法不定积分的计算主要是根据特定函数的积分公式来求解的，例如：∫x^2dx=1/3x^3+C。

但是，有时候也会用到“积分变换法”来计算不定积分。

具体的做法是，首先根据函数的形式进行积分变换，然后再根据积分变换的结果来计算不定积分。

举例来说，求解∫xdx，可以采用如下变换：x=u+1dx=du则：∫xdx=∫(u+1)du=1/2u^2+u+C再将u 替换为 x 的值，即∫xdx=1/2x^2+x+C。

四、不定积分的特殊情况1、当函数为可积函数时，不定积分可以简化为定积分，即：∫f(x)dx=F(x2)-F(x1)其中，x1,x2 为积分的下、上限，F(x) 为原函数的积分。

2、当函数在某一区间内有多个极值点时，可以将函数分段：∫f(x)dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx+....+∫fn(x)dx其中，f1(x),f2(x),...fn(x) 为函数分段的函数。

第四章 不定积分 一、基本内容（一）主要定义【定义4.1】 若在()f x 的定义区间M 上均满足()()F x f x '=，则称函数()F x 是()f x 在M 上的一个原函数.【定义4.2】 ()f x 的原函数的一般表达式()F x C +称为 ()f x 的不定积分，记成()().f x dx F x C =+⎰（二）性质与定理【定理4.1】 设()f x 在(,)a b 上连续，则必存在原函数. 性质 以下均假设()f x 和()g x 在所讨论的区间上连续，则 1、 (())()f x dx f x '=⎰, ()()d f x dx f x dx =⎰.2、 ()()f x d xf x C '=+⎰,()()df x f x C =+⎰. 3、 (()())()()f x g x d x f x d xg x d x±=±⎰⎰⎰. 4、()(),kf x dx k f x dx =⎰⎰ 常数0.k ≠（三） 基本积分公式 1、11(1)1x dx x C αααα+=+≠-+⎰， 2、1ln ,dx x C x=+⎰ 3、(0,1)ln xxa a dx C a a a=+>≠⎰， 4、,x x e dx e C =+⎰ 5、sin cos xdx x C =-+⎰ 6、cos sin xdx x C =+⎰7、tan ln cos xdx x C =-+⎰ 8、cot ln sin ,xdx x C =+⎰9、sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ 10、csc ln csc cot ,xdx x C =-+⎰11、2sec tan xdx x C =+⎰ 12、2csc cot ,xdx x C =-+⎰13、2211tan x dx arc C a a a x =++⎰ 14、2211ln ,2a xdx C a a xa x +=+--⎰15、arcsinx C a =+ 16、ln .dx x C =+ （四）基本积分方法 第一类换元法（凑微分法）(())()(())()f x x dx f x d x φφφφ'=⎰⎰ 令()u x φ=()()(())f u du F u C F x C φ==+=+⎰常见的几种凑微分形式: 1、1()()(),0f ax b dx f ax b d ax b a a +=++≠⎰⎰2、2221()(2)()(),f ax bx c ax b dx f ax bx c d ax bx c a +++=++++⎰⎰3、1(ln )(ln )ln ,dx f x f x d xx a =⎰⎰ 4、2f f =⎰⎰ 5、(sin )cos (sin )sin ,f x xdx f x d x =⎰⎰ 6、(cos )sin (cos )cos ,f x xdx f x d x =-⎰⎰ 7、2(tan )sec (tan )tan ,f x xdx f x d x =⎰⎰8、(sin (sin )sin ,f arc x f arc x darc x =⎰⎰9、2(tan )(tan )tan .1dxf arc x f arc x darc x x=+⎰⎰ 第二类换元积分法设()f x 连续，()x t φ=具有连续导数()t φ'，且()0,t φ'≠则()()()((())())t x f x dx x t f t t dt ψφφφ='=⎰⎰其中右边表示对t 积分后再以()x t φ=的反函数()t x ψ=代回成x 的函数. 常见的几种类型的换元法: 以下式子中，(,)R u v 表示,u v 的有理函数.1、(,(R x dx R x dx ⎰⎰型,0a >含，令sin ,cos ;x a t dx a tdt == 含 ，令tan ,x a t =2sec ;dx a tdt =含 ，令sec ,sec tan ;x a t dx a t tdt ==2、(R x dx ⎰型,0a ≠令1,,.mn mn t b mn t x dx t dt a a--===3、(R x dx ⎰型.2222(),,,()dt b a ad bc t t x dx dt a ct a ct --===--其中设0.ad bc -≠ 4、(sin ,cos )R x x dx ⎰型.令tan ,2x t =则2222212sin ,cos ,.111t t x x dx t t t -==+++ 分部积分法设()()u x v x 、均有连续导数，则()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰分部积分法的关键就是选择好()()u x v x 与，其中()u x 的选取顺序为对数函数、反三角函数、幂函数、指数函数、三角函数这五种函数位置靠前者.如3xx e dx ⎰首先变形为3x x de⎰再用公式计算.二、典型例题解析（一） 填空题 【例4.1】= 解=C =+.C . 【例4.2】（98，数二）= .解1=2arcsin 2x C -=+. 解2===2arcsin 2C +. 故应填2arcsin2x C -+ 或2arcsin 2C +. 【例4.3】= . 解1=dx C =+=+⎰解2 令t =22(3)t dt =+⎰312(3)3t t C =++122(3)(6)3x x C =-++故应填122(3)(6)3x x C -++C . 【例4.4】 2xx e dx =⎰解2x x e dx =⎰2x x de ⎰22x x x e xde =-⎰222x x x x e xe e dx =-+⎰2(22)x e x x C =-++，故应填 2(22)x e x x C -++.【例4.5】2ln 1x dx x -=⎰ 解 2l n 1x dx x -=⎰1(l n 1)x d x --⎰2l n 1x d x x x -=-+⎰ln xC x=-+， 故应填. ln xC x-+ 【例4.6】()xf x dx ''=⎰解()xf x dx ''=⎰()xdf x '⎰()()xf x f x dx ''=-⎰. 故应填 ()()x f x f x C'-+ 【例4.7】22156x dx x x -=-+⎰ . 解 22156x dx x x -=-+⎰53()32dx x x ---⎰5l n 33l n 2x x C=---+ 53(3)ln (2)x C x -=+- 故应填 53(3)ln (2)x C x -+-. 【例4.8】（99，数二）25613x dx x x +=-+⎰ .解 25613x dx x x +=-+⎰21(26)82613x dx x x -+-+⎰2221(613)(3)82613(3)4d x x d x x x x -+-=+-+-+⎰⎰ 213ln(613)4arctan 22x x x C -=-+++ 故应填 213ln(613)4arctan22x x x C --+++. 【例4.9】x dx =⎰解 由于 ,0,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩，所以x dx =⎰2122,02,02x C x x C x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩，由于x 是连续的，则存在可导的原函数，从而原函数在0x =连续，固12C C C ==. 从而x dx =⎰12x x C +，故应填 12x x C +. 【例4.10】 设2sin x 是()f x 的一个原函数，则2()x f x dx =⎰解1 ()f x 22(sin )2cos x x x '==，则2()x f x dx =⎰322cos x x dx ⎰22sin x d x =⎰222sin 2sin x x x x dx =-⎰222sin cos x x x C =++，解2 由于2sin x 是()f x 的一个原函数，则2()x f x dx =⎰22sin x d x ⎰222sin 2sin x x x x dx =-⎰222sin cos x x x C =++， 故应填 222s i n c o s x x x C ++（二）选择题【例4.11】 下列结论正确的是 [ ] (A) 21x -在(1,1)-上的原函数为1x ;(B)121arctan ,1dx x C x -=-++⎰ 2211arctan ,1dx C xx -=++⎰ 即1arctan ,arctan x x-为同一个函数的原函数,彼此差一常数.(C) 符号函数sgn x 在(,)-∞+∞上存在原函数.（D ）112sin cos ,0()0,0x x f x x xx ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩ 在(,)-∞+∞存在原函数,所以不连续函数也可以存在原函数.解 若()f x 在区间I 内有原函数()F x ,则()F x 在I 内一定是连续函数, ()f x 在I 内却不一定连续.（A ）中函数1x 在0点不连续；（B ）中函数1arctan x在0点不连续,因而与arctan x 不是同一函数的原函数；（C ）中符号函数在(,)-∞+∞上不存在原函数；（D ）中()f x 的原函数为21sin ,0()0,0x x F x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，故选答案D. 【例4.12】 设()ln f x dx x x C =+⎰,则()f x = [ ]（A ）ln 1x + （B ）ln x . （C ）x （D ）ln x x解 由不定积分定义()(ln )ln 1,f x x x C x '=+=+故选A.【例4.13】 设()F x 是()f x 的一个原函数,则等式成立的是 [ ] (A) (())()d f x dx F x =⎰ (B)()()F x dx f x C '=+⎰(C)()()F x dx F x '=⎰(D)(())()df x dx f x dx=⎰ 解 由不定积分的性质选答案D .【例4.14】 已知21f x x ⎛⎫'= ⎪⎝⎭,则下列式子中正确的是 [ ](A) 21()f x x d x C x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭⎰ (B)3213x f x dx C x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰,所以31()3f x C x =+(C) ()21,f x x'=211()f x dx C x x ==-+⎰ (D) 32()3x f x x dx C ==+⎰解 令1,t x =,则由题设有()21f t t '=，即()21,f x x'=因而选C. 【例4.15】 设()x f x e -=，则(ln )f x dx x '=⎰ [ ](A) x C + (B) x C -+ (C) 1C x+ (D) 2ln x C +解 (l n )f x dx x '=⎰(l n )(l n f x d x '⎰1(l n )f x C x==+，故选C.【例4.16】 若xe 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ](A) ,0(),0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-+<⎩ (B) ,0()2,0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-++<⎩(C) ,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩ (D) ,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩解 本题与[例4.9]类似，应选C .【例4.17】 (05,数二)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，“M N ⇔”表示“M 的充要条件是N ”，则必有 [ ].(A) ()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数 (B) ()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数 (C) ()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数(D) ()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数 解 (B) 2()f x x =为偶函数，31()13F x x =+非奇非偶(C) ()sin f x x =为周期函数，cos 1,sin 0()cos 1,sin 0x x F x x x -+>⎧=⎨+<⎩不是周期函数(D) ()2f x x =为单调函数，但2()F x x =不是单调函数.故选A.注 当问题直接证明不易解答时，采用反例是非常有效的方法. (三)主观题 1.第二类换元法【例4.18】求下列积分 (1)d x a x -⎰; (2)d ln x x x ⎰; (3)x x ⎰.解 (1) d d()ln .x a -x a x C a x a x =-=--+--⎰⎰ (2) d d(ln )ln ln ln ln x x x C x x x==+⎰⎰.(3) 333332211221)(1)(1).3339xx x x C x C =+=⋅++=++⎰【例4.19】 求（1）（2）(ln(1)ln ).(1)x x dx x x +-+⎰ （3）.⎰解 （1） 原式22.C ===+⎰（2） 原式()1111ln ln ln ln(1)1x x dx d x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅-+⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 21111ln ln ln .2x x x d C x x x +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰（3）原式22211()(arctan )(1)(1)x x x xx ==-=-++=3221(arctan ).3C x-+被积函数中含有xe 时，通常有效的方法是分子、分母同时乘以xe 或.xe -【例4.20】 求 （1）(1).(1)x x dx x xe ++⎰ （2）21.x xdx e e +⎰解 （1）原式(1)()11()()(1)(1)1x x xx x x x x x x e d xe dx d xe xe xe xe xe xe xe +===-+++⎰⎰⎰ ln .1x xxe C xe=++ （2）原式22222222()111xx x x xx x x e eeedx dx d e ee e --------⋅===-+++⎰⎰⎰2212(1)()1x x d e e--=--+⎰2222ln(1).x x e eC --=-+++以指数函数为基本元素且底不尽相同的被积函数式一般首先将被积函数式化为同底数幂的形式.【例4.21】 求 （1） 23.94x xxxdx -⎰ （2） 112510x x x dx +--⎰解 （1） 原式2212223ln 13233ln .2(ln 3ln 2)32221133xx x x x x x xd dx C ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪-⎝⎭===+-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ （2） 原式12525xx dx dx --=-⎰⎰=2152ln 55ln 2x xC ---++. 被积函数为三角函数，利用凑微分法积分时，通常“奇化偶，偶降幂，中间穿插恒等式”.【例4.22】 求 （1）3sin xdx ⎰. （2）6sec xdx ⎰（3）3sin cos dxx x ⎰解 （1） 原式222sin sin sin cos (1cos )cos x xdx xd x x d x ==-=--⎰⎰⎰=31cos cos 3x x C -++ (2) 原式 22222(sec )sec (1tan )tan x xdx x d x ==+⎰⎰24(12tan tan )tan x x d x =++⎰=3521tan tan tan 35x x x C +++. (3) 原式223sin cos sin cos x xdx x x+=⎰=32sin 1cot cos cos x dx x dx x x +⎰⎰ =21(tan )2cos tan d x x x +⎰21ln tan 2cos x C x=++. 2.变量代换法形如(,(,0R x dx R x dx a >⎰⎰的积分含 ，令sin ,cos ;x a t dx a tdt ==含 ，令2tan ,sec ;x a t dx a tdt ==含，令sec ,sec tan ;x a t dx a t tdt ==【例4.23】 求 （1）2.dx x⎰（2） 5. （3）解 （1）令sin x t =,则cos dx tdt =,原式2222cos cos 1sin csc cot sin sin t t t dt dt tdt t t t C t t⋅-===-=--+⎰⎰⎰arcsin .x C =-+（2） 令tan ,x t =则2sec dx tdt =,原式5422tan sec tan sec (sec 1)sec t tdt td t t d t ===-⎰⎰⎰5224121sec sec sec (843.5315t t t C x x C =-++=-+ 注t =更简单；还可以分部积分将5x 的次数降低求解. （3） 令sec ,x t =则sec tan dx t tdt =,原式sec tan 1arccos .sec tan t t dt tdt t C C t t x==±=+=+⎰⎰ 注此题还可分别令1x cht t x t===、求出相应的解. 【例4.24】 求下列积分(1); (2)解 (1)(法一)原式=2sec sec 2sec t dt tdt t ==sec tan 2C tt =++212C x =++.(法二)原式2122x C ==+++21x C =+++. (2)原式2===arcsin(21)x C =-+.【例4.25】 求解1,u =则222ln(1),.1ux u dx u =-=-原式2112ln ln .11u du C C u u -==+=++-⎰ 解2原式222xx--===-22ln(xeC -=-++.3.分部积分法分部积分法的关键就是选择好()()u x v x 与，其中()u x 的选取顺序为对数函数、反三角函数、幂函数、指数函数、三角函数这五种函数位置靠前者.【例4.26】 求 （1）3xx e dx ⎰. （2）2tan x xdx ⎰（3）()2arctan x x dx ⎰解 （1） 原式33232336x x x x x xx de x e x de x e x e xde ==-=-+⎰⎰⎰32366.x x x xx e x e xe e C =-+-+（2） 原式=2(sec 1)x x dx -⎰21tan 2xd x x =-⎰ 21tan tan 2x x x xdx =--⎰ 21tan ln cos 2x x x x C =-+++. （3） 原式()221arctan 2x d x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰()2222111arctan arctan 21x x x x dx x +-=-+⎰ ()221arctan arctan 2x x xdx =-⎰21arctan 1x dx x +⋅+⎰ ()2221arctan arctan 21x x x x x dx x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰arctan arctan xd x +⎰ ()()22211arctan arctan ln 122x x x x x =-++()21arctan 2x C ++【例4.27】 求322ln .(1)x xdx x+⎰解原式ln xd ⎛⎫=-=+⎰=+1ln .C x ⎛=-++ ⎝【例4.28】求.x解1原式222x ===⎰,u =则222ln(2),,2ux u dx du u =+=+22222u du u C u ==-++⎰原式2.C =解2,u =则222ln(2),,2ux u dx du u =+=+ 原式222ln(2)(2)2(2)u u udu u u ++⋅=+⎰ 222222ln(2)2ln(2)22u u du u u du u =+=+-+⎰⎰22l n (2)42a n u uu C =+-+22a r 1.C = sin ,cos x x e xdx e xdx ⎰⎰型, 连续用两次分部积分公式，移项解方程可得.注 对于分部积分也可用下列快速计算表格法:uu 'u ''v 'vv⎰......++-(1)n-(1)n u +1(1)(1)n n nu v++-⎰⎰⎰⎰v⎰⎰()n u nv⎰⎰⎰上一行代表对u 不断求导,下一行代表对v 不断积分,斜线代表两个函数相乘,竖线代表两函数乘积后再积分,连线上符号代表乘积后的符号,上表格用式子写出来即为(1)()()()(1)(1)()(1)(2)(2)()(1)(2)1(1)d d d d (1)d n n n n n n n n n n n n n n n uvx uv u v x uv u v u v xuv u v u v u v x uv u v u v u v x+-------++''''=-=-+'''''' =-+-''' ==-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰常用于以下类型的分部积分:①d ,sin d ,kxx e x x kx x μμ⎰⎰一般设u x μ=②ln d ,arctan d ,x x x x x x μμ⎰⎰一般设()n v x μ=③sin d ,xekx x μ⎰,u v 可以任意设.对于含多项式的积分,如类型①②,须求导至0或易积分时为止,而对于循环类型③,须求导至上下函数乘积与原积分函数相同时为止.【例4.29】求32(2)d xx x e x -+⎰.解 取32u x x =-+原式2321111[(2)(31)66]24816x e x x x x C =-+--+⋅-⋅+2321(4627)8xe x x x C =-+++ 【例4.30】求cos 2d xe x x ⎰.解 取cos 2u x =32x x -+231x -6x 2xe 212x e 214x e ++--2116x e 218xe 6cos 2x2sin 2x -4cos 2x-2xe 212xe 4x e +-+22211cos 2d (cos 2sin 2)cos 2d 22x x xe x x e x x e x x =+-⎰⎰ 原式21(cos 2sin 2)4xe x x =+. 【例4.31】 求sin(ln )x dx ⎰解s i n (l n )x d x⎰s i n (l n )c o s (l n x x x d x=-⎰ sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰故s i n (l n )x d x⎰[s i n (l n )c o s (l n )].2xx x C =-+ *【例4.32】 设sin n n dxI x =⎰，试建立递推公式.解 221sin sin sin n nx xI dx x-+=⎰ 22cos sin n n xdx I x-=+⎰2111cos ()1sin n n xd I n x --=-+-⎰ 2211cos 11sin 1n n n x I I n x n ---=--+--211cos 21sin 1n n x n I n x n ---=-+-- *【例4.33】 求22,()n n dxI x a =+⎰其中n 为正整数.解 当1n >时，有21221221222212(1)()()()()n n n n n dx x x dx xI n x a x a x a x a ----==+-=++++⎰⎰ 2212212222112(1)2(1)()()()()n n n n n a xn dx n I a I x a x a x a ---⎡⎤+--=+--⎢⎥+++⎣⎦⎰ 122211(23)2(1)()n n n xI n I a n x a --⎡⎤∴=+-⎢⎥-+⎣⎦1221arctan dx xI C x a a a==++⎰.【例4.34】 已知()f x 的一个原函数是2,x e -求().xf x dx '⎰解 原式()()()xdf x xf x f x dx ==-⎰⎰2222()(21)x x x x e e C x e C ---'=-+=--+注 这类问题一般直接用分部积分，而不是先求出()f x '后代原积分求解. 4.有理函数的积分【例4.35】 求 （1）422331.1x x dx x +++⎰ （2）4611x dx x ++⎰ 解 （1） 原式=23213arctan .1x dx dx x x C x =+=+++⎰⎰ （2） 原式=422611x x x dx x -+++⎰22232332()113()11()x x dx dx x x -+=+++⎰⎰ 321arctan 31dx x x =++⎰31arctan arctan 3x x C =++. 注 拆项求解有理函数的积分是一种简洁有行之有效的方法. 【例4.36】 求2(1)dxx x +⎰.解 设221(1)1A Bx C x x x x +=+++,去分母221(1),A x Bx Cx =+++比较多项式系数得1,1,0A B C ==-=.故22211ln ln(1)2(1)1dx xdx dx x x C x x x x =-=-++++⎰⎰⎰l .C =+ 注 比较系数法可以与赋值法同时使用.如上例代入0x =直接可得 1.A = 【例4.37】 求42.21dxx x -+⎰解 设422222111121(1)(1)(1)(1)A B C Dx x x x x x x x ==+++-+-+-+-+上式两边乘以21(1),1,4x x C -→=并令得； 上式两边乘以21(1),1,4x x +→-=并令得D ；上式两边乘以,,0x x →+∞=并令得A +B ； 用0x =代入上式得1,2B A -=从而11,44A B =-=. 原式1111ln .4111x C x x x ⎛+⎫=+-+ ⎪--+⎝⎭幂次较高的有理函数积分一般采用降幂或恒等变形凑微分法.【例4.38】 求 （1）91088x dx x x -+⎰ （2）7.(1)dx x x +⎰ （3）2100.(1)x dxx -⎰ 解 （1） 原式998(8)x dx x x -=+⎰9899(8)(8)x x dx x x -=+⎰9999912(8)9(8)x x dx x x -+=+⎰92ln 8ln 9x x C =+-+ （2） 原式6777771(1)7(1)x dx dx x x x x ==++⎰⎰ 77771()7(1)dx dx x x =-+⎰⎰771ln 71x C x =++. 变形方法不唯一,也可为()()87777111711dx x dx d x x x x x ----+==-+++⎰⎰⎰71ln 17x C -=-++ (3) 原式210099100111(1)(1)(1)(1)x x d x dx dx x x x -++-==-----⎰⎰⎰ 989999121(1)(1)99(1)dx dx x x x =-+---⎰⎰979899121.97(1)98(1)99(1)C x x x =-++--- 5.三角有理式的积分形如(sin ,cos )R x x dx ⎰的积分，原则上令tan 2xt =利用万能公式做变换.但计算中由于此法复杂，通常采用三角恒等式变形.【例4.39】 求sin 1sin cos xdx x x ++⎰ 解1 令tan 2xt =,原式=22(1)(1)tdt t t ++⎰2111t dt dt t t +=-++⎰⎰21arctan ln(1)ln 12t t t C =++-++ =ln sec ln 1tan 222x x xC +-++. 解2 原式=22sin cos 222sin cos 2cos 222x x dx x x x +⎰sin2sin cos22xdx x x =+⎰(sin cos )(cos sin )22222sin cos22x x x x x d x x +--=+⎰ (sin cos )222sin cos22x x d x x x +=-+⎰ =ln sin cos 222x x xC -++. 解3 原式分子分母同乘1(sin cos )x x -+, 原式=sin (1sin cos )2sin cos x x x dx x x ---⎰1(1sin cos )2cos x x dx x--=-⎰11sin 1ln ln cos 41sin 22x x x C x -=--+++ 【例4.40】 求 (1) 21cos dx x +⎰ (2) 1tan dx x +⎰ (3) cos()4sin cos x dx x xπ+⎰ 解 (1)原式222tan .cos (1sec )2tan dx d x C x x x ===+++⎰⎰ (2) 原式 cos 1cos sin cos sin cos sin 2cos sin xdx x x x xdxx x x x++-==++⎰⎰ 1(cos sin )22cos sin x d x x x x +=++⎰1ln cos sin .22x x x C =+++ (3)原式=sin )2sin cos x x dx x x -⎰11()sin cos dx x x=-⎰csc cot ln sec tan )x x x x C =++++. 形如sin cos mx nxdx ⎰,sin sin mx nxdx ⎰或cos cos mx nxdx ⎰的积分,一般用积化和差公式先将被积函数变形后再积分.【例4.41】 求sin sin 2sin 3x x xdx ⎰. 解 sin sin 2sin 3x x x ()1cos3cos sin 32x x x =-- 1(sin 3cos3cos sin 3)2x x x x =--1111sin 6sin 4sin 22222x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭()1sin 6sin 4sin 24x x x =-++原式()1sin 6sin 4sin 24x x x dx =-++⎰111cos 6cos 4cos 224168x x x C =+++ 形如s i n c o s s i n c o sa xb xdx c x d x ++⎰的三角函数有理式的积分可采用拆项的方法,拆成(s i n c o s )(s i n c o s )s i n c o s s i n c o s A c x d x B c x d x d x d x c x d x c x d x+++++⎰⎰通过待定系数法确定的,A B 值.【例4.42】 求3sin 2cos 2sin 3cos x x dx x x ++⎰解 设3sin 2cos (2sin 3cos )(2sin 3cos )x x x x x x αβ'+=+++， 解得 125,1313αβ==- . 原式12(2sin 3cos )125ln 2sin 3cos .132sin 3cos 1313x x dx dx x x x C x x '+=-=-+++⎰⎰ 形如(sin ,cos )R x x dx ⎰的三角有理式的积分，若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-，则可设cos t x =； 若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-，则可设sin t x =； 若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=，则可设tan t x =.【例4.43】 求 (1)254cos (2cos )sin xdx x x ++⎰ (2) 66sin 2sin cos xdx x x +⎰解 (1) 令cos t x =，则原式=2254(2)(1)t dt t t +-+-⎰2222(2)(1)(2)(1)t t dt t t ++-=-+-⎰2211(2)dt dt t t =---+⎰⎰111ln 212t C t t -=++++111c o sln 2s 21cos x C co x x-=++++. (2) 令2tan ,sec ,t x dt xdx ==则原式2242222131()24tdt dt C t t t ⎛⎫===+-+-+⎰⎰21r c t a .C =+ 6.无理函数的积分形如(R x dx ⎰；(,0.R x dx a ≠⎰的积分，分别令2222(),,,()dt b a ad bc tt x dx dt a ct a ct --===--其中设0ad bc -≠；,t = 1,mn mn t b mn x dx t dt a a--==【例4.44】 求 （1）（2）（3）.dx解 （1）令t =则321,3x t dx t =-=原式22211333(ln(1)).1112t dt t t dt t t C t t t ⎛⎫-==+=-+++ ⎪+++⎝⎭⎰⎰3ln(1.C =+++（2）原式=, 令t =3211x t =+-原式=3322dt t C -=-+⎰.C = （3） 令65,6x t dx t dt ==，则原式211666ln .11()dt t dt C C t t t t t ⎛⎫==-=+=+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰【例4.45】 求 （1）. （2）解 （1）原式=(x x dx ⎰3211(1)32x x =-- 332211(1)33x x C =--+.（2） 原式==332221(31)(21)93x x C =++++.注 当分母是无理式时，有时分母有理化会简化计算. 7.综合杂例【例4.46】 设1,01(ln ),1x f x x x ≤≤⎧'=⎨<<+∞⎩求(),(ln )f t f x .解 令ln t x =，则1,0(),0tt f t e t -∞<<⎧'=⎨<<+∞⎩,,0(),0t t C t f t e D t +-∞<≤⎧=⎨+<<+∞⎩, 由()f t 的连续性得1C D =+，因此有1,0(),0tt D t f t e D t ++-∞<≤⎧=⎨+<<+∞⎩， l n 1,01(l n ),1x D t f x x D x ++<≤⎧=⎨+<<+∞⎩.【例4.47】 设()f x 的导函数为()f x '开口向下的二次抛物线，且()f x 的极小值为2，极大值为6，试求()f x .解()(2),(0)f x ax x a '=-<,所以32()(2)()3x f x ax x dx a x C =-=-+⎰由(0)0,(2)0f f ''==，且(0)0,(2)0f f ''''><，故()f x 的极小值为(0)2,f C ==极大值322(2)(2)26,33f a a =-+=⇒=-，所以32()32f x x x =-++.【例 4.48】设()F x 是()f x 的一个原函数，(1)4F =，若当0x >时有()()f x F x =，试求()f x .解 由于()F x 是()f x 的一个原函数，()()F x f x '=()()F x F x '=()()F x dF x =⎰，221()2F x C =+，又(1)4F =，所以0C =，()F x =故 ()f x =.【例4.49】 设()y y x =是由22()y x y x -=所确定的隐函数，求2dx y ⎰.解 令y tx =，则由22()y x y x -=可得211,(1)(1)x y t t t t ==--，3223(1)tdx t t -+=- 原式=23t dt t -+⎰32ln t t C =-+32ln y yC x x=-+. 注 这种隐函数的不定积分一般通过变量代换将x 和y 用另一个变量表示，然后求解.三、综合测试题综合测试题A 卷一、填空题（每小题4分，共20分） 1、函数2x为 的一个原函数.2、已知一阶导数 (())f x dx '=⎰，则(1)f '= 3、若()arctan xf x dx x C =+⎰，则1()dx f x ⎰=4、已知()f x 二阶导数()f x ''连续，则不定积分()xf x dx ''⎰=5、不定积分cos cos ()xxd e ⎰=二、选择题（每小题4分，共20分）1、已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中是()f x 的原函数的是 [ ] (A) 21x - (B) 21x + (C) 22x x - (D) 22x x + 2、已知()sin x x e f x dx e x C =+⎰，则()f x dx ⎰= [ ] (A) sin x C + (B) cos x C + (C) cos sin x x C -++ (D) cos sin x x C ++ 3、若函数ln xx 为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '⎰= [ ] (A)1ln x C x -+ (B) 1ln xC x ++ (C)12ln x C x -+ (D) 12ln xC x++ 4、已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = [ ](A) -1 (B) -1 (C) 0 (D) x5、若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '= [ ](A)1x (B) 21x- (C) ln x (D) ln x x 三、解答题 1、（7分）计算22(1)dxx x +⎰. 2、（7分）计算1x dx e +⎰.3、（7分）计算 321x dx x +⎰. 4、（7分）计算 254dxx x ++⎰.5、（8分）计算.6、（7分）计算23xx e dx ⎰.7、（8分）已知222(sin )cos tan 01f x x xx '=+<< ，求()f x .8、（9分）计算 cos ax I e bxdx =⎰.综合测试题A 卷答案 一、填空题1、2ln 2x2 3、241124x x C ++ 4、()()xf x f x C '-+5、cos (cos 1)x ex C -+二、选择题1、D2、C3、C4、A5、B 三、解答题 1、1arctan x C x --+ 2、ln(1)x x e C -++ 3、2211ln(1)22x x C -++4、11ln 34x C x +++5、C6、2221()2x x x e e C -+7、21()ln(1)2f x x x C =---+8、22(sin cos )axe b bx a bx C a b +++综合测试题B 卷一、填空题（20分）1、不定积分(sin d =⎰.2、已知()(),f x dx F x C =+⎰则()()F x f x dx =⎰ .3、若21(ln ),2f x dx x C =+⎰则()f x dx =⎰ .4、1)dx +=⎰ .5、2ln x dx =⎰.二、选择题（25分） 1、若2(),f x dx xC =+⎰则2(1)xf x dx -=⎰ [ ](A) 222(1)x C --+ (B) 222(1)x C -+ (C) 221(1)2x C --+ (D) 221(1)2x C -+ 2、设()2,x f x dx x C =++⎰则()f x '= [ ](A) 2l n 22x x C ++ (B) 2l n 21x + (C) 22l n 2x (D) 22l n 21x + 3、11dx x =-⎰ [ ]（A ）ln 1x C -+ （B ） l n (1)x C -+ （C ）ln (1)x C -++ （D ）ln 1x C --+4、存在常数A 、B 、C ，使得21(1)(2)dx x x =++⎰ [ ]（A ）2()12A B dx x x +++⎰ （B ） 2()12Ax Bx dx x x +++⎰ （C ）2()12A Bx C dx x x ++++⎰ （D ）2()12Ax B dx x x +++⎰5、若xe 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ](A) ,0(),0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-+<⎩(B) ,0()2,0x xe C x F x e C x -⎧+≥=⎨-++<⎩ (C) ,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩ (D) ,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩三、计算题（48分） 1、（7分）求积分2arccos x . 2、（7分）求.3、（7分）2(1)dx x x +⎰. 4、（01，数二，8分）求.5、（8分）求积分1sin cos dx x x ++⎰.6、（06，数二，11分）求arcsin xxe dx e⎰. 四、（7分）计算2ln sin sin x dx x ⎰综合测试题B 答案 一、填空题1、C 2、2()2F x C + 3、xe C + 4、335222353x x x x C +--+ 5、2ln 2x x x C -+ 二、选择题1、C2、C3、D4、C5、C 三、计算题1、2arccos 1102ln10xC -+ 2、1)C + 3、221ln .21x C x ++ 4、C =+ 5、ln 1tan 2x C =++6、解 arcsin x x e dx e⎰arcsin arcsin x x x x x xe de e e e ---=-=-+⎰⎰a r c s i n x xxee --=-+a r c s i n xx xe e --=-- s e cx t e -=令s e c t a n a r c s i n t a n xxt tdt e e t-=--⎰a r c s i n s e c x xe e tdt -=--⎰a r c s i n l n s e c t a n x xe e t t C -=--++a r c s i n l n 1x x x e e e C--=--+ 四、 2ln sin sin xdx x ⎰cot ln sin cot x x x x C =-⋅--+.。

总结不定积分知识点一、不定积分的概念1.1 不定积分的定义在微积分中，不定积分是定积分的一个重要概念，它是函数的一个原函数。

给定函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，则称F(x)是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x) dx =F(x) + C，其中C为积分常数。

1.2 不定积分的符号表示不定积分一般用∫f(x) dx表示，其中f(x)为被积函数，dx为积分变量的微元，∫表示积分的符号。

1.3 不定积分的意义不定积分的意义在于求解函数的原函数。

也就是说，通过不定积分，我们可以得到函数f(x)的原函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，并且这个原函数不唯一，因为在不定积分的结果中，需要加上一个常数C。

1.4 不定积分与定积分的关系不定积分与定积分是紧密相关的，它们之间的关系可以通过牛顿-莱布尼茨公式来描述。

牛顿-莱布尼茨公式表明，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为F(b) - F(a)。

二、不定积分的性质2.1 基本性质不定积分具有以下基本性质：（1）线性性质：即∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b为常数。

（2）积分的可加性：即∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx。

（3）不定积分的性质：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x) + C也是f(x)的原函数，其中C为任意常数。

2.2 函数的原函数和不定积分在求解不定积分时，我们需要寻找函数的原函数。

要注意的是，不一定所有的函数都有原函数，而且对于一些函数，它的原函数不唯一。

2.3 被积函数的连续性与不定积分存在性要进行不定积分，被积函数需要满足一定的连续性条件，例如在不定积分的区间上是连续的。

2.4 替换积分变量法在不定积分中，有时会通过替换积分变量的方法来简化积分计算。