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第六章 中心力场6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量 ()21121p m p m Mr p-==∙μ （1） 总动量1p p R M P+==∙ （2）总轨迹角动量p r P R p r p r L L L⨯+⨯=⨯+⨯=+=221121 （3）总动能 μ222222222121pMP m p m p T +=+= （4）反之，有 ,11r m R rμ+= r m R r22μ-= （5） p P m p +=21μ，p P m p -=12μ（6）以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ证： 212211m m r m r m R ++=， （17） 21r r r -=， （18）相对动量 ()21122121211p m p m M r r m m m m r p-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∙∙∙μ （1’）总动量 ()2121221121p p m m r m r m m m R M P+=+++==∙∙∙ （2’）总轨迹角动量 221121p r p r L L L⨯+⨯=+=)5(2211p r m u R p r m u R ⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ()()2112211p m p mMr p p R -⨯++⨯=)2)(1(p r P R ⨯+⨯=由（17）、(18)可解出21,r r，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。
总动能()22112262221212222m p P m m p P m m p m p T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=μμ2122222122112222122222m m p P u m pPm m um m p P u m pPm m u⋅-++⋅++=()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++=2122221222211112122m m p Pm m m Pm m m μ2222pMP +=（4’）［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.6.2) 同上题，求坐标表象中p 、P 和L 的算术表示式r i p ∇-= R i P ∇-= ，p r P R L⨯+⨯=解： ()()211221121r r m mMi p m p mMp ∇-∇-=-=（1）其中 1111z k y j x ir ∂∂+∂∂+∂∂=∇，而x X M m x x x X x X x ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1111，同理，y YM m y ∂∂+∂∂=∂∂11zZM m z ∂∂+∂∂=∂∂11；（利用上题（17）（18）式。
量⼦物理基础习题解量⼦物理基础17.1 夜间地⾯降温主要是由于地⾯的热辐射。
如果晴天夜⾥地⾯温度为-5°C ，按⿊体辐射计算，每平⽅⽶地⾯失去热量的速率多⼤？解：每平⽅⽶地⾯失去热量的速率即地⾯的辐射出射度2484W /m2922681067.5=??==-TM σ17.2 在地球表⾯，太阳光的强度是1.0?103W/m 2。
地球轨道半径以1.5?108km 计，太阳半径以7.0?108 m 计，并视太阳为⿊体，试估算太阳表⾯的温度。
解：42244TR I R M SE σππ==K103.51067.5)107.6(100.1)105.1(348283211422==S E R I R T 17.3宇宙⼤爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于3K ⿊体辐射．求：（1）此辐射的单⾊辐射强度在什么波长下有极⼤值？（2）地球表⾯接收此辐射的功率是多少？[解答]（1）根据公式λm T = b ，可得辐射的极值波长为λm = b/T = 2.897×10-3/3 = 9.66×10-4(m)．（2）地球的半径约为R = 6.371×106m ，表⾯积为 S = 4πR 2．根据公式：⿊体表⾯在单位时间，单位⾯积上辐射的能量为 M = σT 4，因此地球表⾯接收此辐射的功率是 P = MS = 5.67×10-8×34×4π(6.371×106)2= 2.34×109(W)．17.4 铝的逸出功是eV 2.4，今有波长nm 200=λ的光照射铝表⾯，求：（1）光电⼦的最⼤动能；（2）截⽌电压；（3）铝的红限波长。
解：（1） A chA h E k -=-=λνeV 0.22.4106.1102001031063.6199834=-=---（2）V 0.21/0.2/===e E U k c （3）Ahc c==0νλnm6.12.41031063.6719834=?==---17.5 康普顿散射中⼊射X 射线的波长是λ = 0.70×10-10m ，散射的X 射线与⼊射的X 射线垂直．求：（1）反冲电⼦的动能E K ；（2）散射X 射线的波长；（3）反冲电⼦的运动⽅向与⼊射X 射线间的夹⾓θ．[解答]（1）（2）根据康普顿散射公式得波长变化为21222sin2 2.42610sin24πλΛ-?==??= 2.426×10-12(m)，散射线的波长为λ` = λ + Δλ = 0.72426×10-10(m)．反冲电⼦的动能为`k hchcE λλ=810106.63103106.63103100.7100.7242610----=-= 9.52×10-17(J)．（3）由于/`tan /`hc hc λλθλλ==，0.70.96650.72426==，所以夹⾓为θ = 44°1`．17.6 求波长分别为71100.7-?=λm 的红光和波长1021025.0-?=λm 的X 射线光⼦的能量、动量和质量。
17-1 在加热黑体过程中，其单色辐出度的峰值波长是由μm 69.0变化到μm 50.0，求总辐出度改变为原来的多少倍？解：由 4)(T T M B σ=，b T m =λ 得 63.3)5.069.0()()()(442112===m m B B T M T M λλ17-2解：（1）m 10898.21010898.21073--⨯=⨯==T b m λ （2）J 1086.610898.21031063.61610834---⨯=⨯⨯⨯⨯===λνch h E 17-3解：（1）4)(T T M B σ=，K 17001067.5001.0/6.473)(484=⨯==-σT M T B（2）m 1070.1170010898.263--⨯=⨯==T b m λ （3）162)()()(441212===T T T M T M B B ，2612W/m 10578.7001.06.47316)(16)(⨯=⨯==T M T M B B17-4 钾的光电效应红限波长为μm 62.00=λ。
求：(1)钾的逸出功；(2)在波长nm 330=λ的紫外光照射下，钾的截止电压。
解：（1）eV 2J 1021.31062.01031063.61968340=⨯=⨯⨯⨯⨯===---λνch h A （2）A h mv eU a -==ν221 V 76.11060.11021.3103301031063.619199834=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=-=----eA ch eA h U a λν17-5 铝的逸出功为eV 2.4。
今用波长为nm 200的紫外光照射到铝表面上，发射的光电子的最大初动能为多少？截止电压为多大？铝的红限波长是多大？解：（1）eV 2J 1023.3106.12.4102001031063.621191998342≈⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=-=----A c h A h mv λν （2）221mv eU a =，V 2eV2==eU a （3）Hz 10014.11063.6106.12.41534190⨯=⨯⨯⨯==--h A νnm 296m 1096.210014.1103715800=⨯=⨯⨯==-νλc17-6 在光电效应实验中，对某金属，当入射光频率为Hz 102.215⨯时，截止电压为V 6.6，入射光频率为Hz 106.415⨯时，截止电压为V 5.16。
量子物理基础参考答案一、选择题参考答案：1. D ；2. D ；3. D ；4. C ；5. D ；6. C ；7. C ；8. A ；9. A ；10. D ；11. D ；12. C ；13. C ；14. A ；15. D ；16. E ；17. C ；18. C ；19. B ；20. A ；21. D ；22. C ；23. B ；24. B ；25. A ；26. C ；27. D ；28. A ；29. A ；30. D ；31. C ；32. B ；33. C ；34. C ；35. C ；36. D ；37. C ；38. D ；39. A ；40.D二、填空题参考答案：1、J 261063.6-⨯，1341021.2--⋅⋅⨯s m kg2、>，>3、14105⨯，24、V 45.1，151014.7-⋅⨯s m5、θφcos cos P c v h c hv+'=6、2sin 2sin 2212ϕϕ7、π，︒08、定态，（角动量）量子化，跃迁9、（1）4 , 1 （2）4 ,310、10 ,311、6.13 , 4.312、913、1:1, 1:414、122U em he15、m 101045.1-⨯, m 291063.6-⨯16、231033.1-⨯， 不能17、241063.6-⨯18、≥19、（1）粒子在t 时刻在()z y x ,,处出现的概率密度；（2）单值、有限、连续；（3）12*=ψ=ψψ⎰⎰⎰⎰dxdydz dV V20、不变 21、a x n a π2sin 2， dx a x n a a π230sin 2⎰三、计算题参考答案：1、分析 光子的能量、动量和质量与波长的关系为c h cE m h c E p hc E λλλ=====2 解： 利用上面的公式，当nm 001.0 nm,20 nm,1500=λ时，分别有 J 1099.1 J,1097.9 J,1033.1131919---⨯⨯⨯=Em/s kg 1063.6 m/s,kg 1031.3 m/s,kg 1043.4222628⋅⨯⋅⨯⋅⨯=---p kg 1021.2kg,1010.1kg,1048.1303436---⨯⨯⨯=m2、解： 由光电效应方程可得V 45.1=-=eW h U a ν m/s 1014.725max ⨯==meU a v3、解： 康普顿散射公式得散射光的波长为2sin 22sin 22C 0200ϕλλϕλλ+=+=c m h 其中m 1043.212C -⨯=λ，则当︒︒︒=90 ,60 ,30ϕ时，代入上式得波长分别为 nm 0074.0nm,0062.0nm,0053.0=λ4、解： 氢原子从基态1=f n 激发到3=i n 的能级需要的能量为eV 1.12Δ13=-=E E E对应于从3=i n 的激发态跃迁到基态1=f n 的三条谱线的光子能量和频率分别为 Hz 1092.2eV 1.12 :1315⨯===→=νE n n f iHz 1046.2eV 2.10 Hz1056.4eV 89.1 :12315221411⨯==⨯===→=→=ννE E n n n f i5、解： 经电场加速后，电子的动量为meU p 2=根据德布罗意关系，有m 1023.111-⨯==Ph λ6、解： 一维无限深阱中概率密度函数（定态）为)2cos 1(1sin 2)(*)()(2ax n a a x n a x x x ππψψρ-=== 当12cos -=a x n π时，即 ,212,,.23,2212a nk n a n a a n k x +=+=时，发现粒子的概率最大．当∞→n 时，趋近于经典结果．7、解：分析 在一维无限深井区间],[21x x 发现粒子的概率为 ⎰=21d )(*)(x x x x x P ψψ 在区间]43,0[a 发现粒子的概率为 909.0d sin 2d )(*)(4302430===⎰⎰a ax ax a x x x P πψψ。
量子物理试题及答案1. 请解释普朗克常数在量子力学中的作用。
答案：普朗克常数是量子力学中一个基本常数，它标志着能量与频率之间的联系。
在量子力学中，普朗克常数用于描述粒子的能量量子化，即粒子的能量只能以普朗克常数的整数倍进行变化。
2. 描述海森堡不确定性原理。
答案：海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。
具体来说，粒子的位置不确定性与动量不确定性的乘积至少等于普朗克常数除以2π。
3. 什么是波函数坍缩？答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当进行测量时，系统从一个不确定的量子态（波函数描述的状态）转变为一个确定的经典态的过程。
4. 简述薛定谔的猫思想实验。
答案：薛定谔的猫是一个思想实验，用来说明量子力学中的超位置原理。
在这个实验中，一只猫被放置在一个封闭的盒子里，盒子内还有一个装有毒气的瓶子和一个放射性原子。
如果原子衰变，毒气瓶就会打开，猫就会被毒死。
在没有观察之前，猫处于既死又活的超位置状态。
只有当观察者打开盒子时，猫的状态才会坍缩为一个确定的状态。
5. 什么是量子纠缠？答案：量子纠缠是量子力学中的一种现象，指的是两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联，使得即使它们相隔很远，一个粒子的状态也会立即影响到另一个粒子的状态。
6. 解释泡利不相容原理。
答案：泡利不相容原理指出，在同一个原子内，两个电子不能具有相同的四个量子数（主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数）。
这个原理解释了原子的电子排布和元素周期表的结构。
7. 描述量子隧穿效应。
答案：量子隧穿效应是指粒子能够穿越一个在经典物理学中不可能穿越的势垒。
这种现象是由于量子力学中的波函数具有非零的概率在势垒的另一侧存在，即使粒子的能量低于势垒的高度。
8. 什么是量子比特？答案：量子比特，又称为量子位，是量子计算中的基本信息单位。
与经典比特不同，量子比特可以处于0和1的叠加态，这使得量子计算机能够同时处理大量信息。
9. 简述狄拉克方程。
第六部分 量子物理基础 习题：1.从普朗克公式推导斯特藩玻尔兹曼定律。
（提示：15143π=-⎰∞dx e xx）解：λλπλλλd e hc d T M T M T k hc⎰⎰∞-∞-==52000112),()(令x Tk hc =λ，则dx kTxhc d 2-=λ，所以442545034234025252015212)(11)(2112)(TTch kdxexTc h k dxkTxhc e hckTx hc d e hc T M xxT k hcσπππλλπλ=⋅⋅=-=--=-=⎰⎰⎰∞∞∞-证毕。
2.实验测得太阳辐射波谱中峰值波长nm m 490=λ，试估算太阳的表面温度。
解：由维恩位移定律b T m =λ得到K bT m3931091.51049010897.2⨯⨯⨯==--＝λ3.波长为450nm 的单色光射到纯钠的表面上（钠的逸出功A ＝2.29eV ），求： （1）这种光的光子能量和动量； （2）光电子逸出钠表面时的动能。
解：（1） 2.76eV J 1042.4104501031063.6199834＝＝－－⨯⨯⨯⨯⨯===-λhchv Es m /kg 1047.1104501063.6hp 27934⋅⨯⨯⨯--－＝＝＝λ（2）由爱因斯坦光电效应方程，得光电子的初动能为eV A hv E k 47.029.276.2=-=-=4.铝的逸出功是4.2eV ，现用波长nm 200=λ的紫外光照射铝表面。
试求： （1）发射的光电子的最大动能； （2）截止电压； （3）铝的红限频率。
解：（1）由光电效应方程得光电子的最大动能为J 102.3106.12.4102001031063.619199834－－－－＝⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=-=A hcA hv E k λ（2）截止电压V 0.2106.1102.319190＝－－⨯⨯==eE V k（3）红限频率Hz 1001.11063.6106.12.41534190⨯=⨯⨯⨯==-－hA v5.在一次康普顿散射中，传递给电子的最大能量为MeV E 045.0=∆，试求入射光子的波长。
高二物理量子物理练习题及答案第一题：小明是一位高二学生，正在学习量子物理。
他遇到了一个练习题，请根据以下题目及答案给出解析。
题目：在一个电子束实验中，电子通过一个狭缝后形成干涉图样。
若间距为d的两条暗纹距离中心的距离为y，则电子波长为λ。
小明计算出干涉图案中相邻两个亮纹之间的间距为x，请推导出计算λ的公式。
答案：在干涉图样中，相邻两个亮纹之间的间距x可以表示为：x = λD/d，其中D为屏幕到狭缝的距离。
根据几何关系，可以得到下列表达式：tanθ = y / D，其中θ为小角度。
进而可得：y = D tanθ，将其代入x =λD/d中，可得到结果：x = λD / (d tanθ)解析：这个题目考察了学生对干涉图样和波长之间的关系的理解，同时还考察了几何关系的运用。
在解答题目时，小明首先要明确干涉图案中相邻两个亮纹之间的间距是与波长有关的，然后通过几何关系的运用，得到了计算λ的公式。
第二题：小明继续进行量子物理的练习题，以下是他遇到的另一个问题，请根据题目及答案给出解析。
题目：在其他物理实验中，小明观察到一束光经过一个光栅后形成了衍射图样。
若光栅缝宽为d，中心条纹到第一个次级最暗条纹的距离为y，则光的波长为λ。
小明计算出光栅条纹间距为x，请推导出计算λ的公式。
答案：光栅条纹间距x可以表示为：x = λD / d，其中D为屏幕到光栅的距离。
根据几何关系与几何光学原理，可以得到下列表达式：tanθ = y / D，其中θ为小角度。
进一步可以得到：y = D tanθ，将其代入x = λD / d中，解得：x = λ/y解析：在这个问题中，小明需要理解光栅衍射图样中光波长与条纹间距之间的关系，以及应用几何关系来推导计算λ的公式。
小明通过几何光学原理和几何关系，成功地找到了解决问题的思路，并最终推导出结果。
通过以上两道量子物理练习题，我们可以看到小明在学习量子物理方面有了不错的掌握，他通过理解干涉和衍射现象，并熟练运用几何关系，成功地解答了这两道题目。
可编辑修改精选全文完整版习题22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。
解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式，222240E c p m c =+ 可得p ===h pλ==834-=131.210m -=⨯（2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出：3415h 9.110m p λ--====⨯22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。
解：（1）用非相对论公式：mmeU h mE h 123193134108.71025106.1101.921063.622p h ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====λ（2）用相对论公式：420222c m c p +=EeU E E k ==-20c mm eU eU c m hmEh 12220107.722ph-⨯=+===）（λ22-3．一中子束通过晶体发生衍射。
已知晶面间距nm 1032.72-⨯=d ，中子的动能eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长：3411h 1.410p m λ--====⨯再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ϕλ= 0,1,2k =…11111.410sin 0.095227.3210k d λϕ--⨯===⨯⨯ ， 5.48ϕ=22-4．以速度m/s 1063⨯=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速，为使电子波长A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？解：3410h 110p m λ--====⨯ 可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。
22-5．设电子的位置不确定度为A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为keV 1，计算电子能量的不确定度。
第六部分 量子物理基础 习题：1.从普朗克公式推导斯特藩玻尔兹曼定律。
（提示：15143π=-⎰∞dx e xx）解：λλπλλλd e hc d T M T M T k hc⎰⎰∞-∞-==52000112),()(令x Tk hc =λ，则dx kTxhc d 2-=λ，所以442545034234025252015212)(11)(2112)(TTch kdxexTc h k dxkTxhc e hckTx hc d e hc T M xxT k hcσπππλλπλ=⋅⋅=-=--=-=⎰⎰⎰∞∞∞-证毕。
2.实验测得太阳辐射波谱中峰值波长nm m 490=λ，试估算太阳的表面温度。
解：由维恩位移定律b T m =λ得到K bT m3931091.51049010897.2⨯⨯⨯==--＝λ3.波长为450nm 的单色光射到纯钠的表面上（钠的逸出功A ＝2.29eV ），求： （1）这种光的光子能量和动量； （2）光电子逸出钠表面时的动能。
解：（1） 2.76eV J 1042.4104501031063.6199834＝＝－－⨯⨯⨯⨯⨯===-λhchv Es m /kg 1047.1104501063.6hp 27934⋅⨯⨯⨯--－＝＝＝λ（2）由爱因斯坦光电效应方程，得光电子的初动能为eV A hv E k 47.029.276.2=-=-=4.铝的逸出功是4.2eV ，现用波长nm 200=λ的紫外光照射铝表面。
试求： （1）发射的光电子的最大动能； （2）截止电压； （3）铝的红限频率。
解：（1）由光电效应方程得光电子的最大动能为J 102.3106.12.4102001031063.619199834－－－－＝⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=-=A hcA hv E k λ（2）截止电压V 0.2106.1102.319190＝－－⨯⨯==eE V k（3）红限频率Hz 1001.11063.6106.12.41534190⨯=⨯⨯⨯==-－hA v5.在一次康普顿散射中，传递给电子的最大能量为MeV E 045.0=∆，试求入射光子的波长。
已知电子的静能量MeV c m E 511.0200==，m V hc ⋅⨯=-e 104.127。
解：要使一个电子的反冲能量具有最大值，入射光子必定是反向散射。
设入射光子的能量为E ，散射光子得能量为'E ，电子的初能量为20c m ，反冲能量为＋0.045MeV 。
由能量守恒定律有)045.0('2020MeV cm E cm E ++=+整理后得MeV E E 045.0'=-. 由动量守恒定律，有e p c E c E +-='考虑到电子能量与动量的相对论关系，有 2202220)()()045.0(c m c p MeV c m e +=+所以c MeV p e /219.0=. 于是MeV cp E E e 219.0'==+ 这样可以求得MeV E 132.02219.0045.0=+=根据λ/hc hv E ==可以得到入射光的波长m 1039.9132.0MeV 104.121213－－⨯=⋅⨯==MeVmEhc λ6.有一功率1W 的光源，发射波长为589nm 的单色光。
试求单位时间内落在半径为1mm 、距光源1m 的薄圆片上的光子数。
假设光源向各个方向发射的能量是相同的。
解：圆片的面积为26210m R S ππ-==。
由于光源发射出来的能量在各个方向是相同的，故单位时间落在圆片上的能量为24rS PE π=其中，r 为光源到圆片的距离，P 为光源的功率，于是W E 726105.214101－－＝⨯⨯⨯=ππ单位时间落在圆片上的光子数为s hcE hvE N /104.7100.31063.610589105.21183497⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===－－－－λ第二章 原子光谱与原子结构1.根据氢原子光谱实验规律求巴耳末系的最长波长和最短波长。
解：巴耳末系的波长由里德堡线系公式确定，即⋯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==,5,4,31211~22n n R λν所以，n ＝3时对应的频率最小，波长最长，此时m 10563.6312110097.1110227m ax －⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=λ而n ＝∞时对应的波长最短，此时m 10364612110097.1110227m in －⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-⨯⨯=λ2.根据玻尔理论计算氢原子基态下列各物理量：量子数、轨道半径、角动量。
解： 玻尔理论主要有三个方面的内容；即定态En ，n=1,2,3…的提出，量子化条件 n L =和跃迁假设h E E v h i /)(-=。
根据角动量的定义：r m L υ=牛顿第二定律rm re22024υπε=得到电子轨道运动速度：)1(202nh enευ=（n=1,2,3…）和υm n r = （n=1,2,3…）这样得到的量子化轨道为：2220nmeh r n πε=（n=1,2,3…）就此得到有关氢原子基态的上述参数值： 量子数 n=1轨道半径11219312341222010103.5)106.1(1011.914.3)1063.6(1085.8-----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===meh r a πεm角动量 343411101.121063.62--⨯=⨯===ππυh•r m L J/s3.根据玻尔理论计算：氢原子从n ＝4跃迁到n ＝1态的相关物理量 （1）求解初态和末态的能量；（2）求解辐射能量和4-1能级的辐射频率。
解：（1）根据玻尔理论量子化能级的公式：)1(82224nhmeE n ε-= （n=1,2,3…）eV hmeE 6.131)1063.6()1085.8(8)106.1(1011.9)11(823421221931222041-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=-=----εeV hmeE 85.0161)1063.6()1085.8(8)106.1(1011.9)41(823421221931222044-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=-=----ε（2）eV E E E 75.12)6.13(85.014=---=-=∆15341910078.31063.6106.175.12⨯=⨯⨯⨯=∆=--hE v Hz4.一个原子体系吸收一个375nm 的光子后辐射出来一个580nm 的光子，求在这个过程中原子体系的能量变化。
解：设第一个光子能量为E 1第二个光子的能量为E 2eVhc E E E 17.1J1087.11058011037511031063.61119998342121=⨯=⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=-=-=∆---－）（）（λλ可见原子体系的能量增加1.17eV 5.指出玻尔理论的不足 答：玻尔理论的不足表现在：（1）只能计算氢原子及类氢原子的光谱。
（2）即使氢原子也只能计算频率而不能计算强度。
（3）理论结构本身的不合逻辑性。
它的理论仍未从根本上突破牛顿力学的框架，只是人为地将量子化条件强加与原子的一种半经典，半量子化理论，特别是有关电子轨道的概念，显然与后来的量子力学中的电子轨道不相容。
第三章 量子力学初步 习题1.指出波函数的标准条件，以及波恩对波函数的概率解释。
根据波函数的统计解释，必须要求波函数是单值、有限、连续而且是归一化的函数。
这些条件称为波函数的标准条件。
玻恩提出的波函数的统计解释：波函数是描写微观粒子波动性的函数，是时间和空间的复函数y(r, t)。
描写沿x 方向以恒定动量p 运动（能量为E ）的自由粒子的波函数为以下形式)(0),(px Et i et x --=ψψ在某一时刻，在空间某处波函数模的平方2),(t x ψ正比于粒子在该时刻、该地点出现的概率，称为概率密度。
因此，物质波是一种概率波，它反映了微观粒子运动的统计规律。
2.试求：（1）动能为0.5eV 的中子的德布罗意波波长（中子质量1.675×10-27kg ）； （2）质量m ＝0.01kg ，速率v ＝300m/s 的子弹的德布罗意波波长。
解：（1）由于中子的能量较小，可以采用经典理论计算。
m 1028.1106.105.010675.121063.6210192734－kn E m h ph ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===＝－－－λ（2）由德布罗意公式m 1021.230001.01063.6m 3434－＝⨯⨯⨯==-υλh可见宏观物体的德布罗意波波长是非常小的，实验无法测量。
3.静止在光滑水平面上的一颗沙粒的质量为1.00×10-3g ，其位置测量的误差不大于0.01mm ，求沙粒速度的最小测量误差。
解：由不确定关系式2 ≥∆⋅∆x p x 可得到xm mp x x ∆≥∆=∆2 υ进一步可以计算得到：s m xm /1025.5100.11000.121005.12235634----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=∆所以sm x /103.523-⨯≥∆υ可见沙粒速度不确定性很小，因而经典理解速度的确定性还是被认为成立的。
4.原子的线度为10－10m ，求原子中电子速度的不确定量（电子质量m e ＝9.11×10－31kg ）。
解：电子在原子中，意味着电子位置的不确定量m x 1010-=∆，由不确定关系2≥∆⋅∆x p x 可得)/(m 108.5101011.921005.125103134s xm mp x x ⨯⨯⨯⨯⨯=∆⋅≥∆=∆＝－－－ υ 5.求证：如果电子位置的不确定量等于它的德布罗意波长，那么它的速度的不确定量等于该粒子的速度。
（不确定关系选h p x x ≈∆⋅∆）证明：由不确定关系有h p x x ≈∆⋅∆，而由题设可得λ=∆x ，所以 λhx h p x =∆≈∆所以 x x x mp m h υλυ==≈∆6.某粒子运动时的波函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2,02,3cos 2a x a x ax aπφ试求：（1）概率密度的表达式；（2）粒子出现概率最大的各个位置。
解：（1）概率密度的表达式为22,3cos2||22a x a ax a<<-=πφ（2）概率密度最大的位置，粒子出现的位置也最大。
由（1）可知，13cos 2=ax π时概率密度最大。
此时ππk ax =3 （k 为整数）所以3ka x =.又由22a x a <<-可以知道，k ＝-1，0，1。
由此可得在)2,2(aa -区间，概率密度最大的可能位置为3,0,3a a x -=.7.三维无限深势阱：假设粒子限制在矩形盒子中运动，也就是说它的势函数形式为：⎩⎨⎧∞<<<<<<=其他,0,0,0,0c z b y a x V讨论能量的允许值和相应的波函数形式解：由定态薛定谔方程得到本题中的波函数),,(z y x ψ满足),,(),,()2(22z y x E z y x V mψψ=+∇-由势阱的特殊形式决定可以把波函数分离变量)()()(),,(z y x z y x ψψψψ=来解本题，并且参照一维无限深势阱的解题方法，得到在x 方向上的波函数)sin()(x an A x xn πψ=22222man E x n xπ =a A xn2=,...3,2,1=x n同理，其他方向上的)sin()(y an A y y m yπψ=22222mbn E y nyπ =b A yn2=,...3,2,1=y n)sin()(z an A z z m zπψ=22222mbn E z n zπ =c A zn 2=,...3,2,1=z n这样得到我们需要的解：)sin()sin()sin(8)sin()sin()sin()()()(),,(z cn y bn x an abcz c n A y b n A x a nx A z y x z y x z y x z m y n n z yx ππππππψψψψ===粒子能量允许值是：222222222222222mcn mbn man E E E E z y x n n n zyxπππ ++=++=，,...3,2,1,,=z y x n n n .8.简述隧道效应的量子物理机制，并说明扫描隧道显微镜（Scanning Tunneling Microscopy ）的原理。
