数学史研究之微积

微积分的创立与第二次数学危机微积分在数学史上的发展有着重要的地位，不仅是一种研究工具，更是引领了数学领域的新一波革命。

然而，在微积分创立的同时，数学却遭遇了第二次数学危机，为什么会出现这样的情况呢？微积分的创立微积分的创立是由牛顿和莱布尼茨两位伟大的数学家分别独立发明的。

17世纪末期，牛顿发明了微积分的基本思想，通过对同一函数在两个相邻时刻之间的差别进行极限分析，得出了微分和积分的概念。

莱布尼茨也在同一时间内独立地发明出了微积分的基本思想，但他使用的符号和牛顿有所不同。

微积分的诞生极大地推动了物理学和其他领域的发展。

在物理学中，微积分被用来描述质点的位置变化随时间的导数和加速度，以及力的积分表示功。

微积分也被广泛应用于工程学、经济学、天文学等领域。

第一次数学危机发生在19世纪初期，当时的探究重点是不确定性原理。

卡尔·根特洛克和海森堡等物理学家的研究表明，存在一些物理量的值是无法同时确定的。

这种不确定性引导着波动力学的诞生，而不是经典力学。

然而，第二次数学危机与第一次危机的背景截然不同。

在20世纪初期，一些数学家意识到了基于无穷集合的微积分理论中存在一些悖论。

G·卡扎活、B·罗素和A·怀特海等数学家通过数学的逻辑分析，发现了使得微积分理论变得自相矛盾的问题。

其中一个最著名的问题是伯努利悖论。

伯努利悖论指出如果意像无穷多次抛硬币，每次都有1/2的概率正面朝上，那么这样的尝试会有无穷大的概率得到全部正面或全部反面。

这个问题看着很奇怪，但是仍然能够被证明它是正确的。

结果是，微积分中的传统定义中对于无穷小量，极限和集合的性质并不十分明确。

为了解决这些问题，数学家扩展了微积分的公理化定义，并利用了另一种数学逻辑系统——ZFC公理集合论。

这就意味着微积分和其他数学学科的基础被彻底地改变了。

结语微积分的发明是数学史上的一个里程碑，极大地推动了现代科学的发展。

然而，微积分的诞生也在一定程度上暴露了基于无穷集合的微积分理论的局限性。

微积分发展历程微积分的发展历程是数学史上一个充满辉煌成就的章节。

微积分为我们提供了一种强大的工具，用于理解和描述自然界的各种现象，从运动的轨迹到电磁场的行为，从物质的变化到概率的推断，微积分无处不在。

在下面的文章中，我们将探讨微积分的发展历程，包括其起源、关键人物和里程碑事件。

1. 古希腊时期：微积分的历史可以追溯到古希腊时期。

古希腊数学家阿基米德（Archimedes）被认为是微积分的奠基人之一。

他在计算曲线下的面积和体积时使用了无限小的方法，这可以看作微积分的初步尝试。

2. 牛顿和莱布尼兹：微积分的真正发展始于17世纪末。

英国科学家艾萨克·牛顿和德国数学家戈特弗里德·莱布尼兹独立地开发了微积分的基本原理。

牛顿的工作集中在运动和力学方面，而莱布尼兹则更侧重于符号表示法。

他们的成就为微积分的未来发展奠定了坚实的基础。

3. 分析学的建立：18世纪，微积分逐渐成为一门独立的学科，被称为"分析学"。

法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）和卡尔·威尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）等人在微积分中引入了极限概念，从而解决了一些问题的严格性。

4. 黎曼几何和复分析：19世纪中期，德国数学家伯纳尔·黎曼的工作将微积分与几何学相结合，创立了黎曼几何，为曲线和曲面的研究提供了新的工具。

复分析的发展也为微积分的应用领域提供了更多可能性。

5. 泛函分析和分布理论：20世纪，微积分领域进一步扩展，引入了泛函分析和分布理论等新的数学工具，用于研究函数空间和广义函数。

这些理论在数学、物理学、工程学和经济学等领域的应用中发挥了重要作用。

6. 现代微积分的应用：现代微积分广泛应用于科学、工程、计算机科学、经济学和社会科学等各个领域。

它不仅有助于解决实际问题，还推动了数学自身的发展。

微积分的方法和概念也在其他数学分支中找到了应用，如微分方程、积分方程和泛函分析。

微积分发展史读后感微积分作为数学的一个重要分支，在数学史上有着悠久的历史。

它的发展史可以追溯到古希腊时期的亚历山大大帝时代，当时的数学家们就已经开始研究曲线的长度、面积和体积等问题。

随着时间的推移，微积分逐渐成为了现代数学中不可或缺的一部分，对物理、工程、经济等领域都有着重要的应用价值。

在这篇读后感中，我将结合微积分的发展史，谈谈我对微积分的认识和感悟。

微积分的发展史可以追溯到古希腊时期，当时的数学家们开始研究曲线的长度、面积和体积等问题。

然而，真正将微积分推向新的高度的是17世纪的牛顿和莱布尼茨。

他们独立地发现了微积分的基本理论，分别创立了微积分的两大支柱——微分和积分。

这一发现极大地推动了科学和工程技术的发展，成为了现代数学的基石之一。

在我看来，微积分的发展史不仅仅是一部数学史，更是一部人类智慧的历史。

微积分的发展，不仅仅是数学家们的努力和智慧的结晶，更是对人类认识世界的一种方式。

微积分的发展，推动了科学技术的进步，改变了人类对世界的认识，为人类社会的发展做出了重要贡献。

微积分的发展史也给我留下了深刻的启发。

在学习微积分的过程中，我深刻感受到微积分的深奥和美妙。

微积分的概念和方法，不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式。

通过学习微积分，我学会了用微积分的思维方式去思考问题，去解决问题，这种思维方式在我日常生活中也得到了很好的运用。

总的来说，微积分的发展史是一部充满智慧和魅力的历史。

微积分的发展不仅仅是数学史的一部分，更是人类智慧的结晶。

通过学习微积分，我不仅仅学会了一门数学知识，更学会了一种思维方式，这对我的人生将会产生深远的影响。

希望未来我能够继续深入学习微积分，掌握更多微积分的知识和方法，为人类社会的发展做出更大的贡献。

科学技术创新2019.27微积分是一门建立在实数、函数和极限基础上的学科，它主要研究函数的微分、积分以及相关概念和应用。

微积分是微分和积分的总称，微分即“无限细分”，积分即“无限求和”。

微积分的产生起源于极限思想，最早可追溯到我国的战国时期。

魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”，古希腊数学家欧多克斯的“穷竭法”，阿基米德的“平衡法”等都蕴含着微积分的基本思想。

17世纪牛顿莱布尼兹公式的提出标志着微积分理论开始成为一门独立的学科。

微积分推动了人类文明的进步，在数学、物理、天文以及经济学等许多领域都起到了关键的作用。

1微积分的起源与发展微积分思想的起源最早可以追溯到我国战国时期，《庄子·天下篇》中曾提到过“一尺之棰，日取其半，万事不竭”；魏晋时期刘徽在求圆周率时提出了“割圆术”的方法，其中蕴涵着分割、求和、极限等思想。

还有古希腊数学家欧多克斯的“穷竭法”，被认为是微积分的第一步；阿基米德的“平衡法”，运用微元的思想计算面积和体积等。

这些都是微积分思想萌芽的最早体现，为后世微积分的诞生打下了基础。

从15-16世纪欧洲文艺复兴时代开始，培根、韦达、费马、笛卡尔、开普勒等人发展和完善了前人的思想，深入研究了求切线、求面积和体积这两类基本问题，并提出了无穷小的方法，但他们都没有意识到“求切线”和“求面积”这两者之间存在着互逆关系。

直到17世纪，英国数学家巴罗引入了“微分三角形”的概念，以明确形式给出了求切线和求面积之间互逆关系的几何形式，对后来微积分的创立起到了巨大的推动作用，因此被认为是微积分创立的先驱者[1]。

17世纪以来，随着科学和生产力的进一步发展，以下四种类型的问题亟需解决：求变速运动中的即时速度；求曲线的切线；求函数的最值；求曲线长度、曲边梯形面积等。

这些问题的提出是促使微积分产生的重要因素，牛顿对此做出了巨大贡献。

牛顿在其三大著作《论流数》《无穷多项方程的分析》《流数法和无穷级数》中，将求切线和求面积之间的互逆关系从巴罗的纯几何形式推广到了代数形式，第一次以明确形式给出了微积分基本定理，并将其应用到许多动力学和运动学问题中，在经典物理学领域做出了卓越的贡献。

中国古代数学中的微积分思想对学习的启发摘要：微积分是一些列数学思想演变的结果，是高等数学的基本组成内容，也是我们大学生必须要学习的科目。

中国古代数学中的许多智慧也对微积分的发展带来了巨大的贡献。

我们对中国古代数学中有关微积分的发展进行探讨，并希望从中提取到对我们学习的启发。

关键词：微积分；古代数学；高等教育；学习方法17世纪时，许多科学问题亟待解决。

数学首先从对运动的研究中引出了一个基本概念，就是函数。

紧接着函数概念的采用，产生了微积分。

微积分的问题至少被十七世纪的十几个最大的数学家和几十个小的数学家探索过，其创立者一般认为是牛顿和莱布尼兹。

但实际上，在牛顿和莱布尼兹做出他们的冲刺之前，大量微积分的知识已经积累起来了。

17世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都做了大量的研究工作[1]，在这方面的研究，古代中国丝毫不逊于西方。

一、微积分的主要思想微积分是很多数学家经过无数次的思考与研讨总结出的一项数学知识，其产生过程主要分为以下几个阶段：极限概念、求积利用无限小方法、微分与积分之间存着着互逆的关系。

通过对微积分学的发展历程与微积分理论可以知道，微积分学发展是由极限思想支撑的。

极限思想将不同的数学思想连接了起来，提供了一定的理论基础，进而为完善微积分学的思想与方法提供了前提条件。

虽然微积学当中包含了许多不同的数学思想，但是极限思想仍是最主要的思想。

[2]二、古代数学中微积分的发展极限思想的本质是利用极限概念来分析问题与处理问题，尤其是无穷分割的极限思想能直接决定微积分思想。

[3]而在中国，公元前7世纪老庄哲学中就有了无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。

刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。

刘徽利用圆内接正多边形的边数趋于无穷大时，正多边形的面积将无限接近于圆面积的标准，创设了一项符合极限存在要求的不等式，还对圆内接整3072边形的面积进行了计算，推算得出了π，π的数值为3.14161250，π三位数之后的数值是由数学家祖冲之补充完成的，推算到了50位数之后，还得出3.1415926<π<3.1415927这个结果，这就是著名的割圆术。

微积分发展历程（三）3）牛顿的“流数术”牛顿（Isaac Newton ,1642——1727）于伽利略去世那年——1642年（儒略历）的圣诞出生于英格兰肯郡伍尔索普村一个农民家庭，是遗腹子，且早产，生后勉强存活。

少年牛顿不是神童成绩并不突出，但酷爱读书与制作玩具。

17岁时，牛顿被母亲从他就读的格兰瑟姆中学召回田庄务农，但在牛顿的舅父 W .埃斯库和格兰瑟姆中学校长史托克思的竭力劝说下，牛顿的母亲在九个月后又允许牛顿返校学习。

史托克思校长的劝说辞中，有一句话可以说是科学史上最幸运的预言，他对牛顿的母亲说：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失！”牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。

三一学院至今还保存着牛顿的读书笔记，从这些笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。

1665年8月，剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡，随后在家乡躲避瘟疫的两年，竟成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。

制定微积分，发现万有引力和颜色理论，……，可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图，都是在这两年描绘的。

流数术的初建牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。

说在此时，牛顿首创了小o 记号表示x 的无限小且最终趋于零的增量。

1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分并取得了突破性进展。

据他自述，1665年11月发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法）。

1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》（Tract on Fluxions ）著称，当时虽未正式发表，但在同事中传阅。

《流数简论》（以下简称《简论》）是历史上第一篇系统的微积分文献。

第一讲微积分思想的产生与发展历史在微积分产生之前，数学发展处于初等数学时期。

人类只能研究常量，而对于变量则束手无策。

在几何上只能讨论三角形和圆，而对于一般曲线则无能为力。

到了17 世纪中叶，由于科学技术发展的需要，人们开始关注变量与一般曲线的研究。

在力学上，人们关心如何根据路程函数去确定质点的瞬时速度，或者根据瞬时速度去求质点走过的路程。

在几何上，人们希望找到求一般曲线的切线的方法，并计算一般曲线所围图形的面积。

令人惊讶的是，不同领域的问题却归结为相同模式的数学问题：求因变量在某一时刻对自变量的变化率；因变量在一定时间过程中所积累的变化。

前者导致了微分的概念；后者导致了积分的概念。

两者都包含了极限与无穷小的思想。

1．极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之公元前4 世纪，中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论述：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。

”其中大一和小一就是无穷大和无穷小的概念。

而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

” 更是道出了无限分割的极限思想。

公元3 世纪，中国古代数学家刘徽首创的割圆术，即用无穷小分割求面积的方法，就是古代极限思想的深刻表现。

他用圆内接正多边形的边长来逼近圆周，得到了3.141024 <π< 3.142704 ，并深刻地指出：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。

”3我国南北朝时期的数学家祖暅（中国古代数学家祖冲之之子）发展了刘徽的思想，在求出球的体积的同时，得到了一个重要的结论（后人称之为“祖暅原理”)：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。

”用现在的话来讲，一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”) 叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同，那它们的体积(“积”)必然相等。

利用祖暅原理求球体的体积：取一个几何体为上半球体{ x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 , z ≥ 0 }；将圆柱体 { x 2 + y 2 ≤ R 2 ，0 ≤ z ≤ R }减去（即挖去） 倒立的圆锥{ x 2 + y 2 ≤ z 2 ， 0 ≤ z ≤ R }视为另一个几何体。

微积分的发展历程微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”，在18 世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。

在数学史上，18 世纪可以说是分析研究的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。

1) 微积分的发展无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。

不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表有泰勒( B.Taylor )、麦克劳林 ( C.Maclaurin )、棣莫弗( A.de Moivre )、斯特林( J.Stirling )等。

泰勒(1685_1731)做过英国皇家学会秘书。

他在1715 年出版的《正的和反的增量方法》一书中，陈述了他早在1712年就已获得的著名定理其中v 为独立变量z 的增量，和为流数。

泰勒假定z 随时间均匀变化，故为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”：。

泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。

但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。

泰勒公式在x=0 时的特殊情形后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教科书中一直把x=0 时的泰勒级数称为“麦克劳林级数”。

麦克劳林( 1698_1746)是牛顿微积分学说的竭力维护者，他在这方面的代表性著作《流数论》，以纯熟却难读的几何语言论证流数方法，试图从“若干无例外的原则”出发严密推演牛顿的流数论，这是使微各分形式化的努力，但因囿于几何传统而并不成功。

《流数论》中还包括有麦克劳林关于旋转可耻椭球体的引力定理，证明了两个共焦点的椭球体对其轴或赤道上一个质点的引力与它们的体积成正比。

麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态。

微积分发明权的争论滋长了不列颠数学家的民族保守情绪，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚。

莱布尼兹和牛顿关于微积分的贡献：17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。

微积分思想，最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。

1665年牛顿创始了微积分，莱布尼茨在1673—1676年间也发表了微积分思想的论著。

以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别的加以研究的。

卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。

只有莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。

而这是微积分建立的关键所在。

只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。

并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。

因此，微积分“是牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的”。

然而关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。

实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。

莱布尼茨1684年10月在《教师学报》上发表的论文《一种求极大极小的奇妙类型的计算》，是最早的微积分文献。

这篇仅有六页的论文，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义。

牛顿在三年后，即1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。

他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了）。