2018年苏教版数学必修3 第2章 学业分层测评9

2.3.2 方差与标准差(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．一组数据1,3，x 的方差为23，则x ＝________.【解析】 由x －＝1＋3＋x 3＝4＋x3，且s 2＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4＋x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4＋x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4＋x 32＝23，得x 2－4x ＋4＝0，∴x ＝2. 【答案】 22．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则平均命中环数为________；命中环数的标准差为________．【解析】 平均数为110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7；方差为s 2＝110(0＋1＋0＋4＋4＋9＋4＋9＋0＋9)＝4，所以s ＝2.【答案】 7 23．某样本的5个数据分别为x,8,10,11,9，已知这组数据的平均数为10，则其方差为________．【解析】 由题意知x ＋8＋10＋11＋9＝50，解得x ＝12，故方差s 2＝15[(12－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝2.【答案】 24．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：【解析】 ∵x －甲＝7，s 2甲＝15(12＋02＋02＋12＋02)＝25，x －乙＝7，s 2乙＝15(12＋02＋12＋02＋22)＝65，∴s 2甲<s 2乙，∴方差中较小的一个为s 2甲，即s 2＝25.【答案】 255．对划艇运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲 27,38,30,37,35,31； 乙 33,29,38,34,28,36.根据以上数据，可以判断________更优秀．【解析】 x －甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33(m/s)．s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝946≈15.7(m 2/s 2)． x －乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33(m/s)，s 2乙＝16×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝766≈12.7(m 2/s 2)． ∴x －甲＝x －乙，s 2甲>s 2乙，说明甲乙两人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，乙比甲更优秀．【答案】 乙6．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图2­3­8所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X 甲、X 乙，则下列结论正确的有________．(填序号)图2­3­8①X 甲<X 乙，乙比甲成绩稳定； ②X 甲>X 乙，甲比乙成绩稳定； ③X 甲>X 乙，乙比甲成绩稳定； ④X 甲<X 乙，甲比乙成绩稳定．【解析】 ∵甲同学的成绩为78,77,72,86,92，乙同学的成绩为78,82,88,91,95， ∴X 甲＝78＋77＋72＋86＋925＝81，X 乙＝78＋82＋88＋91＋955＝86.8，∴X 甲<X 乙，从茎叶图上数据的分布情况看，乙同学的成绩更集中于平均值附近，这说明乙比甲成绩稳定．【答案】 ①7．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图2­3­9中以x 表示：图2­3­9则7个剩余分数的方差为________．【解析】 根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99，则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91，∴x ＝4.∴s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367.【答案】3678．若样本x 1＋1，x 2＋1，…，x n ＋1的平均数为10，其方差为2，则对于样本x 1＋2，x 2＋2，…，x n ＋2的平均数为________，方差为________．【解析】 ∵x 1＋＋x 2＋＋…＋x n ＋n＝10，故x 1＋x 2＋…＋x n ＝10n －n ＝9n ， 故x 1＋x 2＋…＋x n ＋2n ＝11n ， ∴x 1＋＋x 2＋＋…＋x n ＋n＝11，s 21＝1n [(x 1＋1－10)2＋(x 2＋1－10)2＋…＋(x n ＋1－10)2]＝1n[(x 1－9)2＋(x 2－9)2＋…＋(x n －9)2]＝1n[(x 1＋2－11)2＋(x 2＋2－11)2＋…＋(x n ＋2－11)2]＝s 22.故所求的平均数为11，方差为2. 【答案】 11 2 二、解答题9．某盐场有甲、乙两套设备包装食盐，在自动包装传送带上，每隔3分钟抽一包称其重量是否合格，分别记录数据如下：甲套设备：504,510,505,490,485,485,515,510,496,500；乙套设备：496,502,501,499,505,498,499,498,497,505.试确定这是何种抽样方法？比较甲、乙两套设备的平均值与方差，说明哪套包装设备误差较小？【解】 (1)根据三种抽样方法的定义，可知这种抽样方法是系统抽样． (2)甲套设备的平均值、方差分别为 x －1＝110(504＋510＋505＋490＋485＋485＋515＋510＋496＋500)＝500，s 21＝110[(504－500)2＋(510－500)2＋…＋(500－500)2]＝103.2， 乙套设备的平均值、方差分别为 x －2＝110(496＋502＋501＋499＋505＋498＋499＋498＋497＋505)＝500，s 22＝110[(496－500)2＋(502－500)2＋…＋(505－500)2]＝9. 可见，x －2＝x －1，s 21>s 22，所以乙套设备较甲套设备更稳定，误差较小．10．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图2­3­10所示．图2­3­10(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面的结果，对两人的训练成绩作出评价． 【解】 (1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为： 甲 10分 13分 12分 14分 16分 乙 13分 14分 12分 12分 14分 甲的平均得分为：10＋13＋12＋14＋165＝13，乙的平均得分为：13＋14＋12＋12＋145＝13.s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由s 2甲>s 2乙，可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．[能力提升]1．甲、乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图2­3­11所示．图2­3­11①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学高； ③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差． 上面说法正确的是________．(填序号) 【答案】 ③④2．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x 、y 、10、11、9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为________.【解析】 x －＝x ＋y ＋10＋11＋95＝10，可得x ＋y ＝20， ①根据方差的计算公式s 2＝15[(x －10)2＋(y －10)2＋12＋12]＝2，可得x 2＋y 2－20(x ＋y )＋200＝8， ②由①②得|x －y |＝4. 【答案】 43．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)【解析】 假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x44＝2，x 2＋x 32＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.又s ＝12x 1－2＋x 2－2]＝1，∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为方程(x －2)2＋(y －2)2＝2的解，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.【答案】 1,1,3,34．师大附中三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：【解】 设第一组20名学生的成绩为x i (i ＝1,2，…，20)， 第二组20名学生的成绩为y i (i ＝1,2，…，20)， 依题意有x －＝120(x 1＋x 2＋…＋x 20)＝90，y －＝120(y 1＋y 2＋…＋y 20)＝80，故全班平均成绩为140(x 1＋x 2＋…＋x 20＋y 1＋y 2＋…＋y 20)＝140(90×20＋80×20)＝85；又设第一组学生成绩的标准差为s 1，第二组学生成绩的标准差为s 2，则s 21＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220－20x 2)， s 22＝120(y 21＋y 22＋…＋y 220－20y 2)(此处x －＝90，y －＝80)， 又设全班40名学生的标准差为s ，平均成绩为z (z ＝85)，故有s 2＝140(x 21＋x 22＋…＋x 220＋y 21＋y 22＋…＋y 220－40z 2)＝140(20s 21＋20x 2＋20s 22＋20y 2－40z 2)＝12(62＋42＋902＋802－2×852)＝51.即s ＝51.所以全班学生的平均成绩为85分，标准差为51.。

学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．如果执行如图1-2-36所示的流程图，那么输出的p为________．图1-2-36【解析】第1次k＝1，p＝3；第2次k＝2，p＝12；第3次k＝3，p＝60；第4次k＝4，p＝360；而k＝4时不符合条件，终止循环输出p＝360.【答案】3602．如图1-2-37，该流程图运行后输出的结果为________．图1-2-37【解析】 依次运行该程序可得：①b ＝2，a ＝2；②b ＝22＝4，a ＝3；③b ＝24＝16，a ＝4.不满足条件，退出循环．故应输出16.【答案】 163．流程图1-2-38所示的s 的表达式为________．图1-2-38【解析】 由流程图可知该程序表达的是计算并输出1＋13＋15＋…＋12N －1的值．【答案】 s ＝1＋13＋15＋17＋…＋12N －14．如图1-2-39所示，程序框图的输出结果是________．图1-2-39【解析】 由T ＝1＋2＋3＋…＋k ＝12(k ＋1)k >105，得k >14(k <－15舍)，故输出k ＝15.【答案】 155．阅读如图1-2-40所示的流程图，运行相应的程序．若输入m 的值为2，则输出的结果i＝________.【导学号：11032011】图1-2-40【解析】第一次循环：i＝1，A＝2，B＝1，A>B；第二次循环：i＝2，A ＝4，B＝2，A>B；第三次循环：i＝3，A＝8，B＝6，A>B；第四次循环：i＝4，A＝16，B＝24，A<B；终止循环，输出i＝4.【答案】 46．若流程图1-2-41所给的程序运行的结果为S＝90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是________．图1-2-41【解析】由流程图可知其作用是计算S＝1×10×9×…，当运行结果为S ＝90时，应有S＝1×10×9，∴当k＝8时应符合条件且k>8不符合条件，∴条件应为k≤8或k<9.【答案】k≤8或k<97．如图1-2-42所示的流程图，表示的算法功能是________．图1-2-42【解析】该流程图是直到型循环结构流程图，表示的算法是求使12＋22＋…＋n2>2 017成立的最小正整数n.【答案】求使12＋22＋…＋n2>2 017成立的最小正整数n8．阅读如图1-2-43所示的流程图，运行相应的程序，输出的S值等于________．图1-2-43【解析】第1次循环S＝1，k＝1<4成立，S＝2×1－1＝1，k＝1＋1＝2<4成立；第2次循环S＝2×1－2＝0，k＝2＋1＝3<4成立；第3次循环S＝2×0－3＝－3，k＝3＋1＝4<4不成立，循环结束，此时S＝－3.【答案】－3二、解答题9．用循环结构写出计算11×3＋12×4＋13×5＋…＋1100×102的流程图．【解】法一：法二：10．某班共有学生50人，在一次数学测试中，要搜索出测试中及格(60分及以上)的成绩，试设计一个算法，并画出流程图．【解】算法步骤如下：S1把计数变量n的初始值设为1；S2输入一个成绩r，比较r与60的大小；若r≥60，则输出r，然后执行S3；若r<60，则执行S3；S3使计数变量n的值增加1；S4判断计数变量n与学生个数50的大小，若n≤50，返回S2，若n大于50，则结束．流程图如下图：[能力提升]1．按如图1-2-44所示的流程图运算，若输出k＝2，则输入x的取值范围是________．图1-2-44【解析】第一次运行x＝2x＋1，k＝1，第二次运行x＝2(2x＋1)＋1，k＝2，此时输出x的值，则2x＋1≤115且2(2x＋1)＋1>115，解得28<x≤57.【答案】(28,57]2．根据条件把图1-2-45中的流程图补充完整，求区间[1,1 000]内所有奇数的和，①处填________；②处填________.【导学号：11032012】图1-2-45【解析】求[1,1 000]内所有奇数的和，初始值i＝1，S＝0，并且i<1 000，所以①应填S←S＋i，②为i←i＋2.【答案】S←S＋i i←i＋23．某流程图如图1-2-46所示，若输出的S＝57，则判断框内为________．图1-2-46【解析】由流程图知k＝1时，S＝1；当k＝2时，S＝2×1＋2＝4；当k＝3时，S＝2×4＋3＝11；当k＝4时，S＝2×11＋4＝26；当k＝5时，S＝2×26＋5＝57，此时与输出结果一致．所以此时k>4(或k≥5)．【答案】k>4(或k≥5)4．写出计算2＋4＋6＋…＋100的至少两个算法，并画出流程图．【解】算法1(当型循环结构)S1S←0；S2I←2；S3如果I≤100，那么转S4，否则转S6；S4S←S＋I；S5I←I＋2，转S3；S6输出S.算法2(直到型循环结构)S1S←0；S2I←2；S3S←S＋I；S4I←I＋2；S5如果I>100，那么转S3；S6输出S.算法3运用公式2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)直接计算S1n←50；S2S←n(n＋1)；S3输出S.。

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.关于简单随机抽样的特点，有以下几种说法，其中正确的是________.(填序号)①要求总体的个数有限；②从总体中逐个抽取；③它是一种不放回抽样；④每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.【解析】由简单随机抽样的特点可知④不对，①②③对.【答案】①②③2.从个体数为N的总体中抽取一个容量为k的样本，采用简单随机抽样，当总体的个数不多时，一般用________进行抽样.【解析】由抽签法特点知宜采用抽签法.【答案】抽签法3.下面的抽样方法是简单随机抽样的是________.①从某城市的流动人口中随机抽取100人作调查；②在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方法确定号码的后四位为2 709的为三等奖；③在待检验的30件零件中随机逐个拿出5件进行检验.【解析】①中总体容量较大，不宜用简单随机抽样；②中抽取的个体的间隔是固定的，不是简单随机抽样.【答案】③4.(2015·苏州高一检测)采用抽签法从含有3个个体的总体{a，b，c}中抽取一个容量为2的样本，则所有可能的样本是________.【解析】从三个总体中任取两个即可组成样本，所有可能的样本为{a，b}，{a，c}，{b，c}.【答案】{a，b}，{a，c}，{b，c}5.用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性、“第二次被抽到”的可能性分别是________. 【导学号：90200035】【解析】简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会均等，都为110.【答案】110，1106.某工厂的质检人员对生产的100件产品采用随机数表法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法：①01,02,03，…，100；②001,002,003，…，100；③00,01,02，…，99.其中正确的序号是________.【解析】 根据随机数表法的要求，只有编号时数字位数相同，才能达到随机等可能抽样.故②③正确.【答案】②③7.从总数为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为25%，则N ＝________.【解析】 由题意得，30N＝25%，∴N ＝120. 【答案】 1208.一个总体的60个个体编号为00,01，…，59，现需从中抽取一个容量为6的样本，请从随机数表的倒数第5行(如下表，且表中下一行接在上一行右边)第10列开始，向右读取，直到取足样本，则抽取样本的号码是________.95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 3879 58 69 32 81 76 80 26 92 82 8084 25 39【解析】 读取的数字两个一组为01,87,47,20,01,83,87,95,86,93,28,17,68,02，…，则抽取的样本号码是01,47,20,28,17,02.【答案】 01,47,20,28,17,02二、解答题9.现有一批编号为10,11，…，99,100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验.如何用随机数表法设计抽样方案？【解】 (1)将元件的编号调整为010,011,012，...，099,100， (600)(2)在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向.比如，选第6行第7列数“9”，向右读(见课本随机数表)；(3)从数“9”开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到544,354,378,520,384,263；(4)以上号码对应的6个元件就是要抽取的样本.10.某合资企业有150名职工，要从中随机地抽出20人去参观学习.请用抽签法和随机数表法进行抽取该样本，并写出过程.【解】 (抽签法)先把150名职工编号：1,2,3，…，150，把编号写在小纸片上，揉成小球，放入一个不透明的袋子中，充分搅拌均匀后，从中逐个不放回地抽取20个小球，这样就抽出了去参观学习的20名职工.(随机数表法)第一步，先把150名职工编号：001,002,003， (150)第二步，从随机数表中任选一个数，如第10行第4列数0.第三步，从数字0开始向右连续读数，每3个数字为一组，在读取的过程中，把大于150的数和与前面重复的数去掉，这样就得到20个样本的号码如下：086,027,079,050,074,146,148,093,077,119,022,025,042,045,128,121,038,130,125,033.[能力提升]1.为了解参加运动会的2 000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有________.(填序号)①2 000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的20名运动员是一个样本；④样本容量为20；⑤这个抽样方法可采用随机数表法抽样；⑥每个运动员被抽到的机会相等.【解析】①2 000名运动员不是总体，2 000名运动员的年龄才是总体；②每个运动员的年龄是个体；③20名运动员的年龄是一个样本.【答案】④⑤⑥2.从一群正在游戏的小孩中随机抽出k 人，一人分一个苹果，让他们返回继续做游戏.过了一会儿，再从中任取m 人，发现其中有n 个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为________.【解析】 设参加游戏的小孩有x 人，则k x ＝n m ，x ＝km n. 【答案】km n3.一个总体的个体数为60，编号为00,01,02，…，59，现需从中抽取一个容量为7的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列的1开始，依次向下，到最后一行后向右，直到取足样本，则抽取样本的号码是________.95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 46 40 62 98 80 54 97 20 56 9538 79 58 69 32 81 76 80 26 92 15 74 80 08 32 16 46 70 50 8082 80 84 25 39 90 84 60 79 80 67 72 16 42 79 71 59 73 05 5024 36 59 87 38 82 07 53 89 35 08 22 23 71 77 91 01 93 20 4996 35 23 79 18 05 98 90 07 35 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60【解析】 先选取18，向下98不符合要求，下面选取05，向右读数，07、35、59、26、39，因此抽取的样本的号码为18、05、07、35、59、26、39.【答案】18、05、07、35、59、26、394.某电视台举行文艺晚会，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选出10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人.试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序.【解】第一步先确定艺人：(1)将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出；(2)运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人.第二步确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可.。

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3。

3 几何概型(建议用时：45分钟)［学业达标]一、填空题1．用随机模拟的方法来估计圆周率π的近似值．在正方形中随机撒一把芝麻,如果撒了1 000颗芝麻，落在正方形内切圆内的芝麻点数为778颗，那么这次模拟中π的近似值是________．【解析】 根据几何概型及用频率估计概率的思想，πR 24R2＝错误!＝错误!，其中R 为正方形内切圆的半径，解得π＝3.112。

【答案】 3.1122．已知函数f （x )＝log 2x ,x ∈错误!，在区间错误!上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________．【解析】 欲使f （x ）＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x ∈错误!,∴x ∈[1,2］，从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝错误!＝错误!.【答案】 错误!3．如图3。

3。

5，在平面直角坐标系中，∠xOT ＝60°，以O 为端点任作一射线，则射线落在锐角∠xOT 内的概率是________。

图3.3.5【解析】 以O 为起点作射线，设为OA ，则射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．记“射线OA 落在锐角∠xOT 内”为事件A ，其几何度量是60°,全体基本事件的度量是360°，由几何概型概率计算公式，可得P （A ）＝错误!＝错误!.【答案】 164．若将一个质点随机投入如图3.3。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是________．(填序号)①频率分布折线图与总体密度曲线无关；②频率分布折线图就是总体密度曲线；③样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线；④如果样本容量无限增大、分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近总体密度曲线．【解析】由总体密度曲线定义知④正确．【答案】④2．为了解高二年级女生的身高情况，从中抽出20名进行测量，所得结果如下：(单位：cm)149159142160156163145150148151156144148149153143168168152155在列样本频率分布表的过程中，如果设组距为4 cm，那么组数为________．【解析】极大值为168，极小值为142，极差为168－142＝26，根据组距＝极差组数，知组数为7. 【答案】 73．一个容量为40的样本数据，分组后，组距与频数如下：[5,10)5个；[10,15)14个；[15,20)9个；[20,25)5个；[25,30)4个；[30,35]3个．则样本在区间[20，＋∞)上的频率为________．【解析】 由题意知在区间[20，＋∞)上的样本数为5＋4＋3＝12个，故所求频率为1240＝0.3.【答案】 0.34．如图2-2-5是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图中的数据填空．图2-2-5(1)样本数据在范围[6,10)内的频率为________； (2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为________． 【解析】 (1)样本数据在[6,10)内频率为0.08×4＝0.32. (2)在[10,14)内的频数为0.09×4×100＝36. 【答案】 (1)0.32 (2)365．在样本频率分布直方图中，共有11个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积的和的14，且样本容量为100，则中间一组的频数为________．【解析】 设中间一个小矩形的面积为x ，由题意得x 1－x ＝14，解得x ＝15，故中间一组的频数为100×15＝20.【答案】 206．为了了解某地区10 000名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图2-2-6.根据图示，请你估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是________．图2-2-6【解析】 依题意得，该地区高三男生中体重在[56.5，64.5]的学生人数是10 000×(0.03＋2×0.05＋0.07)×2＝4 000.【答案】 4 0007．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图2-2-7，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________.【导学号：11032040】图2-2-7【解析】 成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2，则低于60分的频率是0.3.设该班学生总人数为m ，则15m ＝0.3，m ＝50.【答案】 508．对某市“两学一做”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图2-2-8)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：图2-2-8(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)据此估计该市“两学一做”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________．【解析】 设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h ，则5×(0.01＋h ＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，h ＝0.04.志愿者年龄在[25,35)的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)的人数约为0.55×800＝440.【答案】 (1)0.04 (2)440 二、解答题9．某工厂对一批产品进行了抽样检测，图2-2-9是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是多少？图2-2-9【解】 产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n ，则36n ＝0.300，所以n ＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.10．下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).分组 [122， 126) [126， 130) [130， 134) [134， 138) [138， 142) 人数58102233分组 [142， 146) [146， 150) [150， 154) [154， 158] 人数201165(1)列出样本频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)估计身高小于134 cm 的人数占总人数的百分比． 【解】 (1)样本频率分布表如下：分组 频数 频率 [122,126) 5 0.04 [126,130) 8 0.07 [130,134) 10 0.08 [134,138) 22 0.18 [138,142) 33 0.28 [142,146) 20 0.17 [146,150) 11 0.09 [150,154) 6 0.05 [154,158] 5 0.04 合计1201(2)其频率分布直方图如下：(3)由样本频率分布表可知身高小于134 cm 的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.[能力提升]1．某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下，则表中字母m、n、M、N所对应的数值分别为________、________、________、________.组别频数频率[145.5,149.5)80.16[149.5,153.5)60.12[153.5,157.5)140.28[157.5,161.5)100.20[161.5,165.5)80.16[165.5,169.5]m n合计M N【解析】由题意知样本容量为80.16＝50，故M＝50，从而m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，所以n＝450＝0.08；N＝1.【答案】40.0850 12．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图2-2-10)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．图2-2-10【解析】由题意知1－(0.005＋0.035＋0.020＋0.010)×10＝0.3，故a＝0.3 10＝0.030；由分层抽样的方法知，在[140,150]内的学生中选取的人数为18×0.010.03＋0.02＋0.01＝18×16＝3人．【答案】 0.030 33．某市数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图2-2-11所示，已知130～140分数段的人数为90人，求90～100分数段的人数a ＝________，则下边的流程图(图2-2-12)的功能是________．图2-2-11 图2-2-12【解析】 ①在频率分布图中，由题意可得900.05＝a0.45，∴a ＝810. ②在图2中，∵a ＝810， n ←1时，S ←1，S ←1×1， n ←2时，S ←1×1，S ←1×1×2， n ←3时，S ←1×2，S ←1×2×3， 依此循环，n >810时终止循环，输出S . 此时S ＝1×2×3×4× (810)故该流程图的功能是计算并输出1×2×3×4×…×810的值． 【答案】 810 计算并输出1×2×3×…×810的值4．从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，被抽取的学生的身高全部介于155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)；…；第八组[190,195]，如图2-2-13是按上述分组方法得到的频率分布直方图．图2-2-13(1)根据已知条件填写下面表格：组别12345678样本数(2)估计这所学校高三年级800名学生中身高在180 cm以上(含180 cm)的人数．【解】(1)由频率分布直方图得第七组的频率为1－(0.008×2＋0.016×2＋0.04×2＋0.06)×5＝0.06，∴第七组的人数为0.06×50＝3.同理可得各组人数如下：组别12345678样本数2410101543 2(2)由频率分布直方图得后三组的频率为0.016×5＋0.06＋0.008×5＝0.18.估计这所学校高三年级身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144.。

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.下列关于流程图的说法正确的是________.(填序号)①用流程图表示算法直观、形象，容易理解；②流程图能清楚地展现算法的逻辑结构，是算法的一种表现形式；③在流程图中，起止框是任何流程不可少的；④输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置.【解析】　由流程图的概念知①②③④都正确.【答案】　①②③④2.如图1­2­9所示的流程图最终输出结果是________.图1­2­9【解析】　第二步中y＝2，第三步中y＝22＋1＝5.【答案】　53.如图1­2­10所示的流程图表示的算法意义是________.图1­2­10【解析】　由平面几何知识知r为三边长分别为3,4,5的直角三角形内切圆半径，S表示内切圆面积.【答案】　求边长为3,4,5的直角三角形内切圆面积4.如图1­2­11所画流程图是已知直角三角形两条直角边a、b求斜边c的算法，其中正确的是________.(填序号)图1­2­11【解析】　根据流程图的功能知，对于②计算顺序不对，对于③输入、输出框不对，对于④处理框不对，所以只有①对.【答案】　①5.给出下列流程图1­2­12：图1­2­12若输出的结果为2，则①处的处理框内应填的是________.【解析】　由题意知，处理框中应是x 的值，由(2x ＋3)－3＝2，得x ＝1.故应填x ←1.【答案】　x ←16.阅读下列流程图1­2­13，若输出结果为6，则图中的x ＝________.图1­2­13【解析】　由流程图可得(x ＋2)＋3＝6，解得x ＝1.【答案】　17.已知两点A (7，－4)，B (－5,6)，完成下面所给的求线段AB 垂直平分线方程的算法.S1求线段AB 的中点C 的坐标，得C 点坐标为________；S2求线段AB 的斜率，得k AB ←________；S3求线段AB 中垂线的斜率，得k ←________；S4求线段AB 的垂直平分线方程为_________________________.【解析】　(1)由中点坐标公式：设C (x 0，y 0)，则x 0＝＝1，y 0＝7＋(－5)2＝1，∴C 点坐标为(1,1).－4＋62(2)由斜率公式知：k AB ＝＝－.6－(－4)－5－756(3)直线AB 的中垂线的斜率与直线AB 的斜率互为负倒数，∴k ＝.65(4)由点斜式方程得y －1＝(x －1)，即6x －5y －1＝0.65【答案】　(1,1)　－ 6x －5y －1＝056658.流程图1­2­14结束时x 、y 的值分别是________.图1­2­14【解析】　当x ＝1，y ＝2时y ＝x ＋y ＝3，x ＝y ＋1＝3＋1＝4，y ＝x ＋1＝4＋1＝5，t ＝x ＝4，x ＝y ＝5，y ＝t ＝4.【答案】　5,4二、解答题9.已知函数y ＝2x ＋3，设计一个算法，若给出函数图象上任一点的横坐标x (由键盘输入)，求该点到坐标原点的距离，并画出流程图..【解】　算法如下：S1　输入横坐标的值x .S2　计算y ←2x ＋3.S3　计算d ←.x 2＋y 2S4　输出d.流程图如图：10. 如图1­2­15所示的流程图，当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，根据该图和下列各小题的条件回答下面几个问题.图1­2­15(1)该流程图解决的是一个什么问题？(2)当输入的x的值为3时，求输出的f(x)的值；(3)要想使输出的值最大，求输入的x的值..【解】　(1)该流程图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题.(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，即f(0)＝f(4).因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，所以－16＋4m＝0，所以m＝4，所以f(x)＝－x2＋4x.因为f(3)＝－32＋4×3＝3，所以当输入的x 的值为3时，输出的f (x )的值为3.(3)因为f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，当x ＝2时，f (x )max ＝4，所以要想使输出的值最大，输入的x 的值应为2.[能力提升]1.写出流程图1­2­16的运行结果. 【导学号：90200006】图1­2­16(1)S ＝________.(2)若R ＝8，则a ＝________.【解析】　(1)由流程图知S ＝＋＝，故应填.24425252(2)由流程图可得a ＝32×＝32×2＝64.故填64.82【答案】　(1)　(2)64522.如图1­2­17是计算图中的阴影部分面积的一个流程图，则①中应该填________.图1­2­17【解析】　设阴影部分面积为M ，则M ＝x 2－π·2＝x 2.(x 2)(1－π4)【答案】　M ←x 2(1－π4)3.已知一个三角形三条边长分别为a ，b ，c ，利用海伦—秦九韶公式(令p ＝，则三角形的面积S ＝).图1­2­18是一个用海伦—a ＋b ＋c2p(p －a )(p －b )(p －c )秦九韶公式求三角形面积的流程图.图1­2­18则当a ＝5，b ＝6，c ＝7时，输出的S ＝________.【解析】　由流程图的意义知p ＝＝9，5＋6＋72所以S ＝＝＝6.9×(9－5)×(9－6)×(9－7)2166【答案】　64.有关专家猜测，在未来几年内，中国的通货膨胀率保持在3%左右，这对我国经济的稳定有利无害.所谓通货膨胀率为3%，指的是每年消费品的价格增长率为3%.在这种情况下，某种品牌的钢琴2015年的价格是10 000元，请用流程图描述这种钢琴今后四年的价格变化情况，并输出四年后的价格..【解】　用P表示钢琴的价格，则有：2016年P＝10 000×(1＋3%)＝10 300；2017年P＝10 300×(1＋3%)＝10 609；2018年P＝10 609×(1＋3%)＝10 927.27；2019年P＝10 927.27×(1＋3%)≈11 255.09.因此，价格的变化情况表为：年份2015年2016年2017年2018年2019年钢琴的价10 00010 30010 60910 927.2711 255.09格P/元流程图如图：。

学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.已知集合A ＝{2,5}，在A 中可重复地依次取出三个数a ，b ，c ，构成空间直角坐标系内的点，则满足条件的点共________个.【解析】 从集合A 中有重复地取3个数，所有情况有(2,2,2)，(5,2,2)，(2,5,2)，(2,2,5)，(2,5,5)，(5,2,5)，(5,5,2)，(5,5,5).共8个点.【答案】 82.从1,2,3三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取一个数，恰为偶数的概率为________.【解析】 两位数有12,21,23,32,13,31，偶数有2个，因而任取一个数，恰为偶数的概率为26，即13. 【答案】 133.(2015·南通高一检测)将一枚硬币投掷3次，出现“一个正面、两个反面”的概率是________.【解析】 将一枚硬币投掷3次，所得结果共有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)8种，其中“一个正面，两个反面”共包括3种情况，故所求概率为38. 【答案】 384.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.【解析】 从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5).其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求概率为34. 【答案】 345.(2015·南京高二检测)图3­2­1是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为________.图3­2­1【解析】 茎叶图中的数据为18,19,21,22,22,27,29,30,30,33，共10个，其中落在区间[22,30)内的数有22,22,27,29,30,30共6个，故所求概率为610＝35. 【答案】 356.现有5根竹竿，他们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则他们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________. 【导学号：90200071】【解析】 从5根竹竿中，一次随机抽取2根竹竿的方法数为10.而满足他们的长度恰好相差0.3 m 的方法数为2个，即2.5和2.8,2.6和2.9.由古典概型概率的求法得P ＝210＝15. 【答案】 157.在平面直角坐标系内，从横坐标与纵坐标都在集合A ＝{0,1,2}内取值的点中任取一个，此点正好在直线y ＝x 上的概率为________.【解析】 由x ，y ∈{0,1,2}，这样的点共有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)共9个，其中满足在直线y ＝x 上的点(x ，y )有(0,0)，(1,1)，(2,2)3个，所以所求概率为P ＝39＝13. 【答案】 138.用红黄蓝三种不同的颜色给三个矩形随机地涂色，每个矩形只涂一种颜色，则三个矩形颜色都相同的概率是________，三个矩形颜色都不同的概率是________.【解析】 各种涂色的情况列树形图如下：由树形图知共有27种情况，其中三个矩形颜色都相同的有3种情况，故概率为327＝19；三个矩形颜色都不同共有6种情况，故概率为627＝29.【答案】 19 29二、解答题9.设集合P ＝{b,1}，Q ＝{c,1,2}，P ⊆Q ，若b ，c ∈{2,3,4,5,6,7,8,9}.(1)求b ＝c 的概率；(2)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率.【解】 (1)因为P ⊆Q ，当b ＝2时，c ＝3,4,5,6,7,8,9；当b >2时，b ＝c ＝3,4,5,6,7,8,9，基本事件总数为14.其中b ＝c 的事件数为7种，所以b ＝c 的概率为714＝12. (2)记“方程有实根”为事件A ，若使方程有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b ＝c ＝4,5,6,7,8,9 共6种.所以P (A )＝614＝37. 10.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.【解】 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )共9种.从中选出的两名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，选出的两名教师性别相同的概率为P ＝49. (2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种，从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种，选出的两名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝25. [能力提升]1.从{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是________.【解析】 集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集共25＝32个，集合{a ，b ，c }的子集共23＝8个，故所求概率为832＝14. 【答案】 142.若将一枚骰子连续掷两次分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率是________.【解析】 若m ＋n <5，即点数和小于5，则(m ，n )在x ＋y ＝5下方，点(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)满足题意，∴P ＝636＝16. 【答案】 163.把一个体积为n ×n ×n (n ≥3，n ∈N *)cm 3表面涂有红漆的正方体木块锯成n 3个体积为1 cm 3的小正方体，从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为________.【解析】 由题意知这n 3个小正方体中，三面涂有红漆的共8个；两面涂有红漆的共12(n －2)个，一面涂有红漆的共6(n －2)2＝6(n 2－4n ＋4)，故至少有一面涂有红漆的情况共有8＋12(n －2)＋6(n 2－4n ＋4)＝6n 2－12n ＋8(个)，所以所求概率为6n 2－12n ＋8n 3. 【答案】 6n 2－12n ＋8n 3 4.(2015·苏州高二检测)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率. 【导学号：90200072】【解】 列树形图可得所有基本事件总数为27个.(1)设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3个，∴P (A )＝327＝19， 即抽取卡片上的数字满足a ＋b ＝c 的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则结合树形图可知事件B 包含的基本事件有24个.∴P (B )＝2427＝89即抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同的概率为89.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列说法正确的是()A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B.经过任意两个不同点P(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示C.不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示【解析】当直线与y轴重合时，斜率不存在，选项A、D不正确；当直线垂直于x轴或y轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C不正确；当x1≠x2，y1≠y2时由直线方程的两点式知选项B正确，当x1＝x2，y1≠y2时直线方程为x －x1＝0，即(x－x1)(y2－y1)＝(y－y1)(x2－x1)，同理x1≠x2，y1＝y2时也可用此方程表示.故选B.【答案】 B2.直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距为3，则实数m值为()A.65 B.－6C.－65 D.6【解析】将(3,0)代入得(m＋2)3＝2m解得m＝－6.【答案】 B3.若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则()A.ab>0，bc>0B.ab>0，bc>0C.ab <0，bc >0D.ab <0，bc <0【解析】 直线经过第一、二、三象限，则由y ＝－a b x －c b 可知，⎩⎪⎨⎪⎧ －a b >0，－c b >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ab <0，bc <0，选D. 【答案】 D4.两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a ＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y －a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合.【答案】 A5.若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )【导学号：45722084】A.1B.2C.－12D.2或－12 【解析】 当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12.【答案】 D二、填空题6.直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点________.【解析】 将直线方程变形为y －2＝a (x －3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a ，过定点(3,2).【答案】 (3,2)7.已知直线l 1过点P (2,1)且与直线l 2：y ＝x ＋1垂直，则l 1的点斜式方程为________.【导学号：45722085】【解析】 直线l 2的斜率k 2＝1，故l 1的斜率为－1，所以l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2).【答案】 y －1＝－(x －2)8.已知光线经过点A (4,6)，经x 轴上的B (2,0)反射照到y 轴上，则光线照在y 轴上的点的坐标为________.【解析】 点A (4,6)关于x 轴的对称点A 1(4，－6)，则直线A 1B 即是反射光线所在直线，由两点式可得其方程为：3x ＋y －6＝0，令x ＝0，得y ＝6，所以反射光线经过y 轴上的点的坐标为(0,6).【答案】 (0,6)三、解答题9.若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线.(1)求实数m 的范围；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值.【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2＝0，m －2＝0，解得m ＝2， 若方程表示直线，则m 2－3m ＋2与m －2不能同时为0，故m ≠2.(2)由－(m 2－3m ＋2)m －2＝1，解得m ＝0. 10.求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程.【解析】 法一 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b .①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋y b ＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7.②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二 设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)，令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k .又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，∴|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ， 解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.[能力提升]1.直线x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线的方程为( )A.x －y －1＝0B.x －y －2＝0C.x ＋y －1＝0D.x ＋y ＋1＝0【解析】 令y ＝0，则x ＝－1，令x ＝0，则y ＝1，∴直线x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线过点(0,1)和(1,0)，由直线的截距式方程可知，x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0.【答案】 C2.已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图2-2-3所示，则( )图2-2-3A.b >0，d <0，a <cB.b >0，d <0，a >cC.b <0，d >0，a >cD.b <0，d >0，a <c【解析】 由题图可知直线l 1、l 2的斜率都大于0，即k 1＝－1a >0，k 2＝－1c >0且k 1>k 2，∴a <0，c <0且a >c .又l 1的纵截距－b a <0，l 2的纵截距－d c >0，∴b <0，d >0，故选C.【答案】 C3.已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.【解析】 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取得最大值3. 【答案】 34.直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12；(2)△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【导学号：45722086】 【解】 设直线方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. ① 又∵直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，∴43a ＋2b ＝1. ②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝92，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y 9＝1，即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.若满足条件(2)，则ab ＝12， ③由题意得：43a ＋2b ＝1， ④由③④整理得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6，∴所求直线的方程为x4＋y3＝1或x2＋y6＝1，即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．一组数据1,3，x 的方差为23，则x ＝________. 【解析】 由x －＝1＋3＋x 3＝4＋x 3，且s 2＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4＋x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4＋x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4＋x 32＝23，得x 2－4x ＋4＝0，∴x ＝2. 【答案】 22．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则平均命中环数为________；命中环数的标准差为________．【解析】 平均数为110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7；方差为s 2＝110(0＋1＋0＋4＋4＋9＋4＋9＋0＋9)＝4，所以s ＝2.【答案】 7 23．某样本的5个数据分别为x,8,10,11,9，已知这组数据的平均数为10，则其方差为________．【解析】 由题意知x ＋8＋10＋11＋9＝50，解得x ＝12，故方差s 2＝15[(12－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝2.【答案】 24．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2＝________. 【解析】 ∵x －甲＝7，s 2甲＝15(12＋02＋02＋12＋02)＝25， x －乙＝7，s 2乙＝15(12＋02＋12＋02＋22)＝65，∴s 2甲<s 2乙，∴方差中较小的一个为s 2甲，即s 2＝25. 【答案】 255．对划艇运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲 27,38,30,37,35,31； 乙 33,29,38,34,28,36.根据以上数据，可以判断________更优秀．【解析】 x －甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33(m/s)． s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝946≈15.7(m 2/s 2)． x －乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33(m/s)，s 2乙＝16×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝766≈12.7(m 2/s 2)． ∴x －甲＝x －乙，s 2甲>s 2乙，说明甲乙两人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，乙比甲更优秀．【答案】 乙6．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图2-3-8所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X 甲、X 乙，则下列结论正确的有________．(填序号)图2-3-8①X 甲<X 乙，乙比甲成绩稳定； ②X 甲>X 乙，甲比乙成绩稳定； ③X 甲>X 乙，乙比甲成绩稳定； ④X 甲<X 乙，甲比乙成绩稳定．【解析】 ∵甲同学的成绩为78,77,72,86,92，乙同学的成绩为78,82,88,91,95，∴X 甲＝78＋77＋72＋86＋925＝81，X 乙＝78＋82＋88＋91＋955＝86.8，∴X 甲<X 乙，从茎叶图上数据的分布情况看，乙同学的成绩更集中于平均值附近，这说明乙比甲成绩稳定．【答案】 ①7．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图2-3-9中以x 表示：图2-3-9则7个剩余分数的方差为________．【解析】 根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99，则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91，∴x ＝4.∴s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝36 7.【答案】36 78．若样本x1＋1，x2＋1，…，x n＋1的平均数为10，其方差为2，则对于样本x1＋2，x2＋2，…，x n＋2的平均数为________，方差为________．【解析】∵(x1＋1)＋(x2＋1)＋…＋(x n＋1)n＝10，故x1＋x2＋…＋x n＝10n－n＝9n，故x1＋x2＋…＋x n＋2n＝11n，∴(x1＋2)＋(x2＋2)＋…＋(x n＋2)n＝11，s21＝1n[(x1＋1－10)2＋(x2＋1－10)2＋…＋(x n＋1－10)2]＝1n[(x1－9)2＋(x2－9)2＋…＋(x n－9)2]＝1n[(x1＋2－11)2＋(x2＋2－11)2＋…＋(x n＋2－11)2]＝s22.故所求的平均数为11，方差为2.【答案】11 2二、解答题9．某盐场有甲、乙两套设备包装食盐，在自动包装传送带上，每隔3分钟抽一包称其重量是否合格，分别记录数据如下：甲套设备：504,510,505,490,485,485,515,510,496,500；乙套设备：496,502,501,499,505,498,499,498,497,505.试确定这是何种抽样方法？比较甲、乙两套设备的平均值与方差，说明哪套包装设备误差较小？【解】(1)根据三种抽样方法的定义，可知这种抽样方法是系统抽样．(2)甲套设备的平均值、方差分别为x－1＝110(504＋510＋505＋490＋485＋485＋515＋510＋496＋500)＝500，s21＝110[(504－500)2＋(510－500)2＋…＋(500－500)2]＝103.2，乙套设备的平均值、方差分别为x －2＝110(496＋502＋501＋499＋505＋498＋499＋498＋497＋505)＝500， s 22＝110[(496－500)2＋(502－500)2＋…＋(505－500)2]＝9. 可见，x －2＝x －1，s 21>s 22，所以乙套设备较甲套设备更稳定，误差较小．10．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图2-3-10所示．图2-3-10(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面的结果，对两人的训练成绩作出评价． 【解】 (1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为： 甲 10分 13分 12分 14分 16分 乙 13分 14分 12分 12分 14分 甲的平均得分为：10＋13＋12＋14＋165＝13，乙的平均得分为：13＋14＋12＋12＋145＝13.s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s 2甲>s 2乙，可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．[能力提升]1．甲、乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图2-3-11所示．图2-3-11①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学高； ③甲同学的平均分比乙同学低；④甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差． 上面说法正确的是________．(填序号) 【答案】 ③④2．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x 、y 、10、11、9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为________.【导学号：11032051】【解析】 x －＝x ＋y ＋10＋11＋95＝10，可得x ＋y ＝20， ①根据方差的计算公式s 2＝15[(x －10)2＋(y －10)2＋12＋12]＝2， 可得x 2＋y 2－20(x ＋y )＋200＝8， ②由①②得|x －y |＝4. 【答案】 43．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)【解析】 假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝2，x 2＋x 32＝2，∴⎩⎨⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.又s ＝122[(x 1－2)2＋(x 2－2)2]＝1， ∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2.同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为方程(x －2)2＋(y －2)2＝2的解，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.【答案】 1,1,3,34．师大附中三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：统计量 组别 平均成绩 标准差 第一组 90 6 第二组804求全班学生的平均成绩和标准差．【解】 设第一组20名学生的成绩为x i (i ＝1,2，…，20)， 第二组20名学生的成绩为y i (i ＝1,2，…，20)， 依题意有x －＝120(x 1＋x 2＋…＋x 20)＝90， y －＝120(y 1＋y 2＋…＋y 20)＝80，故全班平均成绩为140(x 1＋x 2＋…＋x 20＋y 1＋y 2＋…＋y 20)＝140(90×20＋80×20)＝85；又设第一组学生成绩的标准差为s 1，第二组学生成绩的标准差为s 2，则 s 21＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220－20x 2)， s 22＝120(y 21＋y 22＋…＋y 220－20y 2)(此处x －＝90，y －＝80)， 又设全班40名学生的标准差为s ，平均成绩为z (z ＝85)，故有s 2＝140(x 21＋x 22＋…＋x 220＋y 21＋y 22＋…＋y 220－40z 2)＝140(20s 21＋20x 2＋20s 22＋20y 2－40z 2)＝12(62＋42＋902＋802－2×852)＝51.即s ＝51.所以全班学生的平均成绩为85分，标准差为51.。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________法．【解析】总体(1 000名学生)中的个体(男、女学生)有明显差异，应采用分层抽样．【答案】分层抽样2．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法________．①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．【解析】由于各家庭有明显的差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样法．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样法．【答案】①②③3．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有________人．【解析】设共抽取n个人，则n56＋42×56＝8，∴n＝14.∴抽取的女运动员有14－8＝6(人)．【答案】 64．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．【解析】420×300＝60(名)．【答案】605．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则p1，p2，p3的大小关系是________．【解析】不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，他们都是等概率抽样，每个个体被抽中的可能性相同概率均为nN.则p1＝p2＝p3.【答案】p1＝p2＝p36．某校高级职称教师26人，中级职称教师104人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资情况，按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师________人．【解析】设其他教师为x人，则5626＋104＋x＝16x，解得x＝52，∴x＋26＋104＝182(人)．【答案】1827．某单位共有老年、中年、青年职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．【解析】由题意，设老年职工人数为x，则中年职工人数为2x，所以x＋2x＋160＝430，则x＝90.故该样本中老年职工人数为90×32160＝18.【答案】188．某工厂生产A、B、C、D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号有16件，那么此样本的容量n为________．【解析】在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的．所以，样本容量n＝2＋3＋5＋12×16＝88.【答案】88二、解答题9．某单位组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组，在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动的总人数的14，且该组中，青年人占5%，中年人占40%，老年人占10%，为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本，试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人所占的比例；(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．【解】(1)设登山组人数为x；游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c；则有x·40%＋3xb4x＝47.5%，x·10%＋3xc4x＝10%，解得b＝50%，c＝10%，故a＝100%－50%－10%＝40%，即游泳组中、青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.(2)游泳组中，抽取的青年人数为200×34×40%＝60(人)；抽取的中年人数为200×34×50%＝75(人)；抽取的老年人数为200×34×10%＝15(人)．10．一批产品有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别采用系统抽样和分层抽样，从这批产品中抽取一个容量为20的样本．【解】①系统抽样方法：将200个产品编号1,2，…，200，再将编号分为20段，每段10个编号，第一段为1～10号，…，第20段为191～200号．在第1段用抽签法从中抽取1个，如抽取了6号，再按预先给定规则，通常可用加间隔数10，第二段取16号，第三段取26号，…，第20段取196号，这样可得到一个容量为20的样本．②分层抽样方法：因为样本容量与总体的个体数的比为20∶200＝1∶10，所以一、二、三级品中分别抽取产品的个数依次是100×110，60×110，40×110，即10,6,4.将一级品的100个产品按00,01,02，…，99编号，将二级品的60个产品按00,01,02，…，59编号，将三级品的40个产品按00,01,02，…，39编号，采用随机数表法，分别抽取10个，6个，4个．这样可得容量为20的一个样本．[能力提升]1．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽样的方法是________．(填序号)①简单随机抽样；②系统抽样；③先从中年人中剔除1人，再用分层抽样；④先从老年人中剔除1人，再用分层抽样．【解析】总人数为28＋54＋81＝163.样本容量为36，由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样．若按36∶163取样，无法得到整解，故考虑先剔除1人，抽取比例变为36∶162＝2∶9，则中年人取12人，青年人取18人，先从老年人中剔除1人，老年人取6人，组成36的样本．【答案】④2．某校对全校男女学生共1 200名进行健康调查，选用分层抽样抽取一个容量为200的样本，已知男生比女生多抽了10人，则该校男生人数为________人．【解析】由男生比女生多抽10人可知样本中有男生105人，女生95人，因此该校男生人数为1 200×105200＝630.【答案】6303．从某地区15 000位老人中用分层抽样法抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示： 性别人数生活能否自理男 女能178 278 不能 22 22 则在该地区生活的老人中男性比女性少________人．【解析】 从表中可知，500人中男性有200人，女性有300人．故该地区生活的老年人中男性比女性少15 000×⎝ ⎛⎭⎪⎫35－25＝3 000(人)． 【答案】 3 0004．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n .【导学号：11032037】【解】 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n 2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.即样本容量n ＝6.。