高中数学竞赛标准讲义---排列组合与概率

高考数学排列组合与概率问题2025版解析在高考数学中，排列组合与概率问题一直是让许多同学感到头疼的难点。

但别担心，让我们一起来深入剖析一下这些问题，找到解题的窍门。

首先，我们来谈谈排列组合。

排列组合是研究从给定的元素中按照一定的规则选取部分或全部元素的方法数。

比如说，从 5 个不同的苹果中选 2 个，有多少种选法？这就是一个简单的组合问题。

排列和组合的区别在于，排列考虑元素的顺序，而组合不考虑。

举个例子，从 3 个不同的字母 A、B、C 中选 2 个进行排列，有 AB、BA、AC、CA、BC、CB 这 6 种情况；但如果是组合，就只有 AB、AC、BC 这 3 种情况。

在解决排列组合问题时，有几个重要的原理和方法需要掌握。

加法原理：如果完成一件事有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法……在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。

乘法原理：如果完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法……做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。

比如，安排一场晚会，有 5 个歌唱节目和 3 个舞蹈节目，若歌唱节目和舞蹈节目相间演出，有多少种安排方法？我们可以先排舞蹈节目，有 A(3,3)种方法，再在舞蹈节目之间和首尾共 4 个位置排歌唱节目，有 A(5,5)种方法，根据乘法原理，总的安排方法有 A(3,3) × A(5,5) 种。

在排列组合问题中，还有一些常见的题型，比如捆绑法、插空法、隔板法等。

捆绑法：当要求某些元素必须相邻时，可以将这些元素看作一个整体，与其他元素一起排列，然后再考虑这些相邻元素的内部排列。

例如，4 个男生和 3 个女生排成一排，要求 3 个女生必须相邻，我们可以先把3 个女生看作一个整体，与4 个男生一起排列，有A(5,5)种方法，然后 3 个女生内部有 A(3,3)种排列方法，所以总的排列方法有 A(5,5) ×A(3,3) 种。

组合计数问题和概率组合计数问题是教学竞赛中常见的一类问题，也是数学竞赛中与实际生活联系最为直接的内容。

计数问题的顺利解决会给其他排列组合问题的解决打下竖实的基础。

概率作为新增内容，拓展了排列组合的研究和应用的领域。

实则是以排列组合为基础的内容，所以概率的考查通常与计数问题联系在一起，既要用到排列组合的知识来解答，也要用到排列、组合的解题思路。

解组合计数问题的基本方法有枚举法和利用基本计数原理及基本公式、映射方法、算二次方法、递推方法、容斥原理等，其中蕴含的数学思想有分类讨论的思想、化纳和转化的思想、函数与方程的思想等重要的数学思想。

例1． （2004年全国高中联赛题）设三位数为abc n =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个解：选C 。

理由：a , b , c 要构成三角形边长，显然不为零，即a , b , c ∈{1, 2, 3, …, 9}。

（1）若构成等边三角形，则c b a ==可取{1, 2, …, 9}中任何一个值，所以这样的三位数的个数为9191==C n 。

（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三角形个数为n 2，且等腰三角形的三边长为a 1, b 1=c 1。

当111c b a =<时，即腰大于底边时，等腰（非等边）三角形由数组(a 1, b 1)惟一确定，有29C 个；当111c b a =>时，即腰小于底边时，这时数组(a 1, b 1)有29C 个，但必须1112b a b <<才能构成三角形。

而不能构成三角形的组数(a 1, b 1)是共20种情况，故这时等腰（非等边）三角形只有2039-C 个。

同时，每个数组(a 1, b 1)可形成23C 个三位abc ，故156)20(2929232=-+=C C C n 。

综上，16521=+=n n n ，故选C 。

【重点知识回顾】1.排列与组合⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关⑵排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑶排列与组合的主要公式高考数学总复习排列组合与概率统计①排列数公式: mAn n! n(n1) (n m)!—...2)21—+(nm 1) (mW n)A n=n !=n(n —1)(n②组合数公式: mCn n!_n(nm!(n m)! m 1) - (n (m 1)③组合数性质:+ *③G2C n42.二项式定理⑴二项式定理C1C n n m(m< n).+ :+ ■ 11G32n1②C n。

m 1) (m< n).2+G11+ + •・・*C C n n2n(a+b)n=C0a n+Ca n Tb+?+C a0-r b r+?+ C n n b n，其中各项系数就是组合数G r，展开式共有n+1项，第r+1项是T r+1=Ga n⑵二项展开式的通项公式r b r.二项展开式的第r+1项Tr+1=C r a n"r b r(r=Q,1, ?叫n）做二项展开式的通项公式。

⑶二项式系数的性质①在二项式展开式中, 端与首末两“等距离”的两个二项式系数相等，r n r (r=Q,1,2即G=G ,?,n)②若n是偶数，则中间项1项）的二项公式系数最大，其值为n；若C n2数,n是奇则中间两项（第n2 1项和第3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为G2n1 n12 =C 2.③所有二项式系数和等于n—02 13 1即G+G+?=C+G+?=23. 概率(1)事件与基本事件：随机事件在条件下，可能发生也可能不发生的事件T ：| S事件不可能事件：在条件下，一定不会发生的事件%. VS确定事件必然事件：在条件下，一定会发生的事件S基本事件：试验中不能再分的最简单“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一的个基试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形本事件；任意两个基本事件都是互斥的；式来表示.(2)频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值.频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小.随机事件而变化.的概率是一个常数(，不随具体的实验次数的变化(3)互斥事件与对立事件:事件定义集合角度理解关系事件A与B不可能同时事件A与B对立，则A 互斥事件两事件交集为空对立事件两事件互补发生，且必有一个发生(4)古典概型与几何概型：一是对立事件古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型—几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成比例.两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个.(5)古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式: 几何概型的概率计算公式: 两种概型概率的求法都是A包含的基本事件的个数P(A)基本事件的总数构成事件A的区域长度(面积或体积)P(A)J J r-试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同.(6)概率基本性质与公式①事件A的概率P(A)的范围为：0 w P(A) < 1.②互斥事件A与B的概率加法公式：P(A B)P(A) P(B).发生事件A与B不可能同时与B必为互斥事件；事件A与B互斥，但不③对立事件A与B的概率加法公式：P(A) P(B) 1.(7)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k n—k的概率是p n k(i —p)(k) = C n p .实际上，它就是二项式的展开式的第k+1 [(1 —p)+p](8)独立重复试验与二项分布① .一般地，在相同条件下重复做的 n 次试验称为n 次独立重复试验.注意这里强调了三点：(1)相同条件；(2)多次重复；(3)各次之间相互独立；② .二项分布的概念：一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为X ,在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k 次的概率为 P Xk _ LCP k 0 p ),(k _ 01, ,, n )n .此时称随机变量 X 服从二项分布，记作X ~B(n , p)，并称p 为成功概率.4、统计(1) 三种抽样方法① 简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法.抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回.我们在抽样调查中用的是不放回抽取.简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限.从总体中逐个进行抽取，使抽样便于 在实践中操作.它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性.每一次抽样时，每个个体等可能的 被抽到，保证了抽样方法的公平性.实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解.随机数表法：要理解好随机数表，即 表中每个位置上等可能出现 0, 1, 2, ?, 9这十个数字的数表.随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可 能性.② 系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况.系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段 中进行抽样时，采用的是简单随机抽样.系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号； 第二步，将总体 的编号分段，要确定分段间隔 k ，当N (N 为总体中的个体数,n k 一“；当N 不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数 这时k —T 第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号 n 抽取样本.通常是将|加上间隔k 得到第2个编号(I k)，将(I k)加上k ，得到第3个编号(I 2k),这样继续下去，直到获取整个样本.③ 分层抽样为了使抽样更好地反映总体情况， 将总体中各个个 每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样.分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比; n 为样本容量)是整数时,N 能被n 整除,I ，再按事先确定的规则 当总体由明显差别的几部分组成时， 体按某种特征分成若干个互不重叠的部分,第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步, 将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本.(2 )用样本估计总体样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率, 应样本的频率分我们常常使用频率分布直方图来表示相布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确.xy X i y ii1 X i i 1 第二步：计算回归系数的£ a , b ,公式为 X i y i 1 nn i n( i1Xi 1X i )( i n X i )2 1 y i ) 1 决定组距与组数-分组-列频率分布表-画频率分布直方图.② 茎叶图刻画数据有两个优 一是所有的信息都可以从图中得占： 至U ；八、、• 亠J ’录和表示，但数据位数较多时不够方便.③ 平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波 动程1 n(X i x) ----------------------- .有时也用标准差的平方 方差来代替标准差，nil两者实质上是一样的.(3)两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定 随机性的相关关系.在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可 以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解. 分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估 计求出回归直线方程.通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，① 用样本频率分布估计总体频率分布时， 频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步 骤.通常要对给定一组数据进行列表、作图处理.作 画样本频率分布直方图的步骤： 求全距T二是茎叶图便于记 度，其计算公式为s 形成散点图.然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系： 如果这些点大那么就说这两个变量之间具有线性相关关 系，致分布在通过散点图中心的一条直线附近, 条直线叫做回归直线，量大，因此同学们要学会应用科学计算器.(4)求回归直线方程的步骤：其对应的方程叫做回归直线方程. £ 在本节要经常与数据打交道， 计算 第一步：先把数据制成表，从表中计算 屮出、-'■ 2；n(ad be)2(其中n构造随机变量K2ab ed)(a b)(e d)(a e)b d)得到K 2的观察值k 常与以下几个临界值加以比较:如果 k 2.706，就有9000的把握因为两分类变量0的把握因为两分类变 如果 k 3.841 就有95° 量0的把握因为两分类变如果 k 6.635就有990一量 如果低于k 2.706，就认为没有充分的证据说明变量【典型例题】考点一：排列组合【方法解读】1、解排列组合题的基本思路：① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是 “正难则反”；2、解排列组合题的基本方法：① 优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；② 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

数学竞赛中的组合数学在高中数学竞赛中，组合数学是一个重要且常见的考点。

它在数学中的地位也越来越重要，不仅能帮助我们在比赛中取得更好的成绩，更能增强我们的逻辑思维能力。

组合数学的基本概念是排列和组合。

排列是指从n个不同的元素中取出m个元素排成一列，不同排列的个数为A(n,m)=n×(n-1)×(n-2)×...×(n-m+1)。

组合是指从n个不同的元素中取出m个元素，不考虑排列顺序，不同组合的个数为C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/[m!(n-m)!]。

在组合数学的学习中，一个重要的定理是乘法原理和加法原理。

乘法原理是指若有两个事件A、B，那么总的事件数为它们发生的方式数的积。

加法原理是指若有两个互相排斥的事件A、B，那么总的事件数为它们发生的方式数的和。

另一个重要的组合数学定理是排列组合公式。

它是指在概率问题中常用的计算公式，能用于求解排列和组合的概率。

其公式为P(n,m)=n!/[m!(n-m)!]，其中n是元素总数，m是取出的元素个数。

组合数学还可以用于求解各种排序和组合问题。

例如，在比赛中出现的一道题目：用1、2、3、4、5一共五个数字，组成不能重复的三位数并将这些三位数排序，求第k（k<60）个数是多少？这类问题可以用排列组合公式和乘法原理解决。

除此之外，组合数学还在各种实际问题中得到广泛应用。

统计学中，组合数学用于计算随机事件的概率；密码学中，组合数学用于设计和破解密码算法；计算机科学中，组合数学用于算法设计以及计算模型的研究。

总之，组合数学是数学竞赛中的重要一环，也是我们日常生活中的必要技能之一。

学好组合数学可以帮助我们更好的解决各种实际问题，并提高我们的思维能力。

在数学竞赛中，掌握组合数学的知识可以帮助我们更好的理解和解决问题，从而提高我们的比赛成绩。

高考知识点：排列、组合、二项式、概率一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。

分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。

区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。

二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。

（2）排列数、组合数： 排列数的公式：)()!(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-=+---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质：①1-=m m nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）②m m m A mA A 1-+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成：第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。

第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）即有11--m n mA 种不同的方法。

第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个位置上，有m n A 1-种方法。

高中数学教学备课教案排列组合和概率计算高中数学教学备课教案一、引言在高中数学教学中，排列组合和概率计算是一个重要的知识点。

学生通过学习排列组合和概率计算，可以培养他们的逻辑思维和问题解决能力。

为了有效地教授这个知识点，本教案将以理论概要、教学目标、教学内容、教学方法和教学评估等部分展开讲解。

二、理论概要排列组合是组合数学的一个分支，它主要研究对象的排列和选择的方法。

概率计算是利用统计和概率理论，通过统计现象发生的可能性来进行推论和预测，常用于实际生活中的决策和分析。

三、教学目标1. 理解排列组合和概率计算的基本概念和原理；2. 能够解决排列组合和概率计算的相关问题；3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

四、教学内容1. 排列组合的基本概念a. 排列的定义和表示方法b. 组合的定义和表示方法c. 排列组合的性质与关系2. 排列组合的应用a. 生活中的排列组合问题b. 排列组合在实际问题中的应用3. 概率计算的基本概念a. 随机事件的定义和表示方法b. 概率计算的基本原理c. 概率计算的性质与关系4. 概率计算的应用a. 生活中的概率计算问题b. 概率计算在实际问题中的应用五、教学方法1. 讲授法：通过讲解理论知识，让学生了解排列组合和概率计算的基本概念和原理；2. 案例分析法：通过实际案例讲解，让学生掌握排列组合和概率计算的应用技巧；3. 练习演算法：通过大量练习题和问题解答，巩固学生对排列组合和概率计算的理解和运用能力；4. 合作学习法：组织学生进行小组合作学习，通过互相交流和讨论，促进思维的碰撞和学习效果的提高。

六、教学评估1. 成绩评估：通过课后作业和考试来评估学生对排列组合和概率计算的掌握程度；2. 互动评估：课堂上进行互动讨论和问答，评估学生对知识点的理解和运用能力；3. 学生自我评估：要求学生在学习过程中进行反思，评估自己的学习效果和存在的问题，以便及时调整学习方法和提高学习效果。

七、总结通过本教案的设计和实施，希望能够帮助学生全面、系统地学习和掌握排列组合和概率计算的知识，提高逻辑思维和问题解决能力，为将来的学习和工作打下坚实的数学基础。

排列组合相关的概率
在概率理论中，排列和组合都与计算事件发生的可能性有关。

排列是指从一组元素中选取一部分元素进行排列的方式。

排列考虑元素的顺序。

假设有n个元素，要从中选取r个元素进行排列，则排列的总数可以表示为P(n, r)。

P(n, r) = n! / (n - r)!
其中，"!"表示阶乘运算，即将一个正整数n与小于n的正整数连乘。

排列的顺序对结果产生影响。

组合是指从一组元素中选取一部分元素进行组合的方式。

组合不考虑元素的顺序。

同样假设有n个元素，要从中选取r个元素进行组合，则组合的总数可以表示为C(n, r)。

C(n, r) = n! / (r!(n - r)!)
下面是一些排列组合相关的例子：
1. 排列的例子：
- 有5个人参加比赛，选取其中3个人获得前三名的排名情况，共有P(5, 3) = 60种可能性。

2. 组合的例子：
- 有10个苹果，从中选取其中4个苹果放入篮子，共有C(10, 4) = 210种组合方式。

在实际的概率计算中，排列和组合常常用于确定事件发生的可能性，从而帮助我们预测和分析各种情况的概率。

高考数学知识点：排列、组合和概率
如何对总体分布进行估计?(用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图;理解频率分布直方图矩形面积的几何意义。

)
.你还记得一般正态总体如何化为标准正态总体吗?(对任一正态总体来说，取值小于x的概率，其中表示标准正态总体取值小于的概率)
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第十三章 排列组合与概率 一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。

2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。

3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，mn A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，nn A =n!。

4．N 个不同元素的圆周排列数为nA nn =(n-1)!。

5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。

从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示：6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）knk n C C kn =--11；（4）n nk kn n nn n C C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。

第十三章排列组合与概率(高中数学竞赛标准教材)第十三章排列组合与概率一、基础知识．加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有1种不同的方法，在第2类办法中有2种不同的方法，……，在第n类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事一共有N=1+2+…+n种不同的方法。

．乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有1种不同的方法，第2步有2种不同的方法，……，第n步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=1×2×…×n种不同的方法。

．排列与排列数：从n个不同元素中，任取个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个排列，从n个不同元素中取出个元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出个元素的排列数，用表示，=n…=,其中,n∈N,≤n,注：一般地=1，0！=1，=n!。

．N个不同元素的圆周排列数为=!。

．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出个构成原集合的一个子集。

从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个元素的组合数，用表示：．组合数的基本性质：；；；；；。

．定理1：不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为。

[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。

反之B中每一个解,将xi作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,…,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有种。

故定理得证。

推论1不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为推论2从n个不同元素中任取个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的可重组合，其组合数为．二项式定理：若n∈N+,则n=.其中第r+1项Tr+1=叫二项式系数。