黄冈市黄州区西湖中学2020年5月高三数学(理科)压轴考试

黄冈市黄州区西湖中学2008年5月高三压轴考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分;在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的 1．集合{}12A x Nx *=∈-<的真子集的个数为 （ ）A ．3B ．4C ．7D ．8 ２．函数)23(log 52-=x y 的定义域为Ａ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,32Ｂ．⎥⎦⎤⎝⎛1,32 Ｃ．（1，+∞） Ｄ．⎪⎭⎫⎝⎛54,323．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-a y y x y x 00,且y x z 2+=的最大值是3，则a 的值为Ａ．1 Ｂ．-1 Ｃ．0 Ｄ．24.已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于 ( )A . 135B . 270C . 540D . 1215 5．下面四个命题：①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a 、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”； 其中正确命题的序号是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④6．已知)1(3cos3)1(3sin)(+-+=x x x f ππ，则(1)(2)(2008)+++= f f f （ ）A ．23B ．3C ．1D ．07．已知O ，A ，B ，C 是不共线的四点，若存在一组正实数1λ，2λ，3λ，使1λOA ＋2λOB＋3λ= 0，则三个角∠AOB ，∠BOC ，∠COA （ ）A ．都是锐角B ．至多有两个钝角C ．恰有两个钝角D ．至少有两个钝角。

8．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，所得的数是大于20000的偶数的概率为 （ ）A ．2512 B ．52 C ．256 D ．10021 9．如图过抛物线x y 42=焦点的直线依次交抛物线与圆()1122=+-y x 于A ，B ，C ，D ，则AB CD ⨯=Ａ．4 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2110．函数a ax x x f +-=2)(2在区间(∞-，1)上有最小值，则函数xx f x g )()(=在区间(1，)∞+上一定Ａ．有最小值 Ｂ．有最大值 Ｃ．是减函数 Ｄ．是增函数第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上. 11．已知在平面直角坐标系中，O (0,0), M (1,21), N (0,1), Q (2,3), 动点P (x,y )满足： 0≤OP ⋅OM≤1,0≤⋅≤1,则⋅的最大值为＿＿＿＿＿．12. 已知函数y ＝f(x) (x ∈R)满足f(x ＋3)＝f(x ＋1)，且x ∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则y ＝f(x)与y ＝log 5x 的图象交点的个数是 13．函数xx y sin 51sin 41+-+=的值域为 .14．若两条异面直线所成的角为600，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为＿＿＿＿＿． 15．已知抛物线的方程为22(0)y px p =>，直线l 与抛物线交于A,B 两点，且以弦AB为直径的圆M 与抛物线的准线相切，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为 ；当直线l 的倾斜角为3π时，圆M 的半径为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年湖北省黄冈中学高考数学冲刺试卷（理科）（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|x2−2x−3≤0}，B={x|x−1>0}，则集合A∩B=()A. {2,3}B. {−1,1}C. {1,2，3}D. ⌀=n+i(m,n∈R)，其中i为虚数单位，则m+n=()2.己知m−2iiA. −1B. 1C. 3D. −33.已知向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=1,|2a⃗+b⃗ |=√7，且a⃗与b⃗ 的夹角为60°，则|b⃗ |=()A. 1B. 3C. √3D. √54.已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3−a5=3，则S7=()A. 42B. 21C. 7D. 35.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图(90后指1990年及以后出生，80后指1980−1989年之间出生，80前指1979年及以前出生)，则下列结论中不一定正确的是()A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C. 互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%(其中e为自然对数的底数)的图象大致为()6.函数f(x)=e x+1x3(e x−1)A. B.C. D.7.已知抛物线y2=4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|=5，则线段MN的中点到y轴的距离为()A. 3B. 32C. 5 D. 528.如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠．若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为()A. 57B. 47C. 27D. 179.已知函数f(x)=2sin(2x+π6)，将f(x)的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x=π6对称，则θ的最小值为()A. π6B. π3C. π2D. π10.设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点．有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与α垂直；④存在过直线AB的平面与α平行．其中，一定正确的是()A. ①②③B. ①③C. ①④D. ③④11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2=45°，则双曲线的渐近线方程为()A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±xD. y=±2x12.已知球O是正四面体A−BCD的外接球，BC=2，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是()A. 89π B. 11π18C. 512π D. 4π9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1.如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n的值为6，则输出i的值为______．14.已知cos(2α+π6)=−25，则sin(2α−π3)=______．15.若(3+ax)(1+x)4展开式中x的系数为13，则展开式中各项系数和为______(用数字作答)．16.已知函数f(x)={e x−1−e1−x,x≤1|x−2|−1,x>1(其中e为自然对数的底数)，则不等式f(x)+ f(x−1)<0的解集为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}中，a1=1且2a n+1=6a n+2n−1(n∈N∗).(1)求证：数列{a n+n2}为等比数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，已知四边形ABCD是边长为√2的正方形，点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，点P在棱SD上，且△SAC的面积为1．(1)若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC；(2)在棱SD上是否存在一点P使得二面角P−AC−D的余弦值为√5？若存在，求出5点P的位置；若不存在，说明理由．19.已知椭圆的一个顶点A(0,−1)，焦点在x轴上，离心率为√3．2(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．20.东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内(含4小时)每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内(含24小时)收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间(假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次)，得到下面的频数分布表：以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．(1)现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的2×2列联表：完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？(2)(i)X表示某辆车一天之内(含一天)在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望E(X)；(ii)现随机抽取该停车场内停放的3辆车，ξ表示3辆车中停车费用大于E(X)的车辆数，求P(ξ≥2)的概率．参考公式：k2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.已知函数f(x)=e2x+mx，x∈(0,+∞)(其中e为自然对数的底数)．(1)求f(x)的单调性；(2)若m=−2，g(x)=a2x2e x，对于任意a∈(0,1)，是否存在与a有关的正常数x0，使得f(x02)−1>g(x0)成立？如果存在，求出一个符合条件x0；否则说明理由．22.在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2−4x−6y+5=0.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−3√22．(1)写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点P在C上，点Q在l上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．23.已知函数f(x)=|x+1|−|x−2|．(1)解不等式f(x)≤1；(2)记函数f(x)的最大值为s，若√a+√b+√c=s(a,b，c>0)，证明：√a b√c≥3．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={x∈Z|−1≤x≤3}={−1,0，1，2，3}，B={x|x>1}，∴A∩B={2,3}．故选：A．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D=n+i，得m−2i=i(n+i)=−1+ni，【解析】解：由m−2ii∴m=−1，n=−2．则m+n=−3．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得m，n的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=1,|2a⃗+b⃗ |=√7，∴4a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=7．又a⃗与b⃗ 的夹角为60°，∴4+4⋅1⋅|b⃗ |⋅cos60°+|b⃗ |2=7，则|b⃗ |=1，或|b⃗ |=−3(舍去)，故选：A．由题意利用两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3−a5=3，∴a1+5d+a1+2d−a1−4d=a1+3d=3，∴S7=7(a1+a7)=7(a1+3d)=21．2故选：B．利用等差数列通项公式求出a1+3d=3，再由S7=72(a1+a7)=7(a1+3d)，能求出结果．本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图，知：在A中，互联网行业从业人员中90后占56%，故A正确；在B中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故B错误；在C中，互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%，故D正确．故选：B．利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图直接求解．本题考查例题真假的判断，考查整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【解析】解：f(−x)=e −x+1(−x)3(e−x−1)=−1+e xx3(1−e x)=e x+1x3(e x−1)=f(x)，故函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3(e x−1)>>e x+1，f(x)→0，故排除B．故选：D．由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f(x)→0，排除B，由此得到答案．本题考查函数图象的确定，考查读图识图能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】【分析】考查抛物线的定义的应用，属于基础题．抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．【解答】解：由抛物线方程得，准线方程为：x=−1，设M(x,y)，N(x′,y′)，由抛物线的定义得，MF+NF=x+x′+p=x+x′+2=5，线段MN的中点的横坐标为x+x′2=32，线段MN的中点到y轴的距离为：32．故选：B．8.【答案】A【解析】解：我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠．从某一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n=C73=35，至少含有一颗上珠包含的基本事件个数m=C22C51+C21C52=25，∴至少含有一颗上珠的概率为P=mn =2535=57．故选：A．从某一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n=C73=35，至少含有一颗上珠包含的基本事件个数m=C22C51+C21C52=25，由此能求出至少含有一颗上珠的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】C【解析】解：函数f(x)=2sin(2x+π6)，将f(x)的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得y=f(x−θ)=2sin[2(x−θ)+π6]=2sin(2x−2θ+π6)；又函数y的图象关于直线x=π6对称，即2×π6−2θ+π6=kπ+π2，k∈Z；解得θ=−12kπ，k∈Z；又θ>0，所以θ的最小值为π．2故选：C．根据三角函数图象平移法则写出平移后的函数解析式，再根据函数图象关于直线x=π6对称求出θ的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移问题，是基础题．10.【答案】B【解析】解：对于①，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都在α内存在直线与直线AB异面，所以①正确；对于②，当直线AB与α平行时，平面α内不存在直线与直线AB相交，所以②错误；对于③，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都存在过直线AB的平面与α垂直，所以③正确；对于④，若直线AB与α相交，则不存在过直线AB的平面与α平行，所以④错误；综上知，正确的命题序号是①③．故选：B．根据空间中的直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断题目中的命题真假性即可．本题考查了空间中的直线与平面以及平面与平面的位置关系应用问题，是基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，进而得到所求渐近线方程．【解答】解：设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ， 由|ON|=a ，且ON 为△F 1F 2A 的中位线，可得 |F 2A|=2a ，|F 1N|=√c 2−a 2=b ， 即有|F 1A|=2b ， 因为∠F 1MF 2=45°，所以在等腰直角三角形MF 2A 中，可得|MF 2|=2√2a ， 即有|MF 1|=2b +2a ，由双曲线的定义可得|MF 1|−|MF 2|=2b +2a −2√2a =2a ， 可得b =√2a ，则双曲线的渐近线方程为y =±√2x. 故选A ．12.【答案】A【解析】解：作AO′⊥面BCD ，垂足为O′连接BO′并延长交CD 于F ，由题意得F 时CD 的中点，且O′为三角形BCD 的外接圆的圆心，设三角形BCD 的外接圆半径为r ，则r =BO′=23BF =23⋅√32BC =√33⋅2=2√33，高ℎ=AO′=√AB 2−BO′2=(2√33)=2√63，设外接球的球心为O ，设外接球的半径为R ，则由题意知O 在AO′上，连接OB ，R =OB ，在三角形BOO′中：R 2=r 2+(ℎ−R)2，所以2Rℎ=r 2+ℎ2，将r ，h 值代入可得：R =√62，所以OO′=AO′−R =2√63−√62=√66， 因为点E 在线段BD 上，且BD =3BE ，BD =2，所以BE =23，在三角形BEO′中，由余弦定理：O′E =√BO′2+BE 2−2⋅BO′⋅BE ⋅cos30°=√(2√33)2+(23)2−2⋅2√33⋅23⋅√32=23，正三角形OEO′中，OE 2=O′E 2+OO′2=(23)2+(√66)2=1118当过E 的截面与OE 垂直时，截面的面积最小，设截面的半径为r′则r′2=R 2−OE 2=(√62)2−1118=1618=89，所以截面的面积S =πr′2=89π，故选：A．由正四面体的棱长求出底面外接圆的半径即棱锥的高，再由外接球的半径与高和底面外接圆的半径之间的关系求出外接球的半径，在△BEO′，由余弦定理求出EO′的值，当过E的截面与OE垂直时，截面的面积最小，求出OE，再求求出截面的半径，进而求出截面的面积．考查正四面体的外接球的半径与棱长的关系，及截面面积最小时的情况．属于中档题．13.【答案】8【解析】解：i=0，n=6；n为偶数，n=3，i=1；n为奇数，n=10，i=2；n为偶数，n=5，i=3；n为奇数，n=16，i=4；n为偶数，n=8，i=5；n为偶数，n=4，i=6；n为偶数，n=2，i=7；n为偶数，n=1，i=8；跳出循环，输出结果8，故答案为：8．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出相应变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．14.【答案】25【解析】解：因为sin(2α−π3)=cos[π2−(2α−π3)]=cos(5π6−2α)=cos[π−(2α+5π6)]=−cos(2α+π6)=25．故答案为：25．直接根据诱导公式把所求问题转化为sin(2α−π3)=cos[π2−(2α−π3)]=cos(5π6−2α)=cos[π−(2α+5π6)]=−cos(2α+π6)即可求解．本题主要考查诱导公式在解题中的应用，属于基础题目．15.【答案】64【解析】解：∵(3+ax)(1+x)4展开式中x 的系数为：3C 41+aC 44=12+a =13，∴a =1， 令x =1，得：(3+x)(1+x)4展开式中各项系数和为：(3+1×1)(1+1)4=64， 故答案为：64．依题意，可得3C 41+aC 44=12+a =13，求得a =1，再赋值x =1，即可求得展开式中各项系数和．本题考查二项式定理，依题意，求得a =1是关键，考查赋值法的灵活应用，属于中档题．16.【答案】(−∞,72)【解析】解：因为f(x)={e x−1−e 1−x ,x ≤1|x −2|−1,x >1，∴当x ≤1时，x −1≤0，∴由f(x)+f(x −1)<0，得e x−1−e 1−x +e x−2−e 2−x <0，∴x ≤32，又x ≤1，∴x ≤32； 当1<x ≤2时，0<x −1≤1，∴由f(x)+f(x −1)<0， 得|x −2|−1+e x−2−e 2−x <0，∴|x −2|<1−e x−2+e 2−x ， ∵当1<x ≤2时，|x −2|∈[0,1)，1−e x−2+e 2−x ∈[1,1+e +1e )， ∴当1<x ≤2时，f(x)+f(x −1)<0成立，∴1<x ≤2， 当x >2时，由f(x)+f(x −1)<0，得|x −2|−1+|x −3|−1<0，∴|x −2|+|x −3|<2， ∴32<x <72，又x >2，∴2<x <72， 综上，不等式的解集为(−∞,72)． 故答案为：(−∞,72)．根据f(x)+f(x −1)<0，分x ≤1，1<x ≤2和x >2三种情况解不等式即可． 本题考查了指数不等式和绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和计算能力，属中档题．17.【答案】(1)证明：∵2a n+1=6a n +2n −1(n ∈N ∗)∴a n+1=3a n+n−12；∴a n+1+n+1 2a n+n2=3a n+n−12+n+12a n+n2=3a n+32na n+n2=3；∴{a n+n2}为等比数列，首项为32，公比为3．(2)解：由(1)得：a n+n2=(a1+12)×3n−1=32×3n−1=12×3n；∴a n=12×3n−n2；S n=a1+a2+a3+⋯…+a n=12(31+32+33+⋯…+3n)−12(1+2+3+⋯…+n) =123(1−3n)1−3−12n(n+1)2=3(3n−1)4−n2+n4=3n+1−n2−n−34．【解析】(1)把已知的递推关系式整理即可证明结论；(2)先利用(1)的结论求出通项公式，再直接利用分组求和即可求解．本题主要考查由数列的递推关系式求数列的通项以及分组求和的应用，是对数列知识的综合考查，属于中档题目．18.【答案】解：(1)∵点S在底面ABCD上的射影为点O，∴SO⊥平面ABCD，∵四边形ABCD是边长为√2的正方形，∴AC=2；∵三角形SAC的面积为1，∴12×2×SO=1，即SO=1，∴SC=√2，∵CD=√2，点P是SD的中点，∴CP⊥SD，同理可得AP⊥SD；又因为AP∩CP=P，AP，CP⊂平面PAC；∴SD⊥平面PAC，∵SD⊂平面SCD，∴平面SCD⊥平面PAC．(2)如图，连接OB，易得OB，OC，OS两两互相垂直，分别以OB，OC，OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O−xyz，则A(0,−1,0)，C(0,1，0)，S(0,0，1)，D(−1,0，0)；假设存在点P 使得二面角P −AC −D 的余弦值为√55，不妨设SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λSD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又点P 在棱SD 上，∴0≤λ≤1， 又SD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，−1)， ∴SP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,0，−λ)，∴P(−λ,0，1−λ)， 设平面PAC 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,1，1−λ)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， ∴{−λx +y +(1−λ)z =02y =0， 令z =λ，可得x =1−λ，∴平面PAC 的一个法向量为n⃗ =(1−λ,0，λ)， 又平面ACD 的一个法向量为OS⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)，二面角P −AC −D 的余弦值为√55； ∴|cos <OS ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|OS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||OS ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=√(1−λ)2+λ2=√55， 即3λ2+2λ−1=0，解得λ=13或λ=−1(不合题意，舍去)；所以存在点P 符合题意，点P 为棱SD 靠近端点S 的三等分点．【解析】(1)根据题意证明CP ⊥SD ，AP ⊥SD ，得出SD ⊥平面PAC ，即可证明平面SCD ⊥平面PAC ；(2)连接OB ，易知OB ，OC ，OS 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，设存在点P 使得二面角P −AC −D 的余弦值为√55，SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λSD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则0≤λ≤1； 利用法向量表示二面角的余弦值，求出λ的值，从而求出点P 的位置．本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了利用空间向量求出二面角余弦的计算问题，是中档题．19.【答案】解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a +y2b =1(a >b >0)， 则{b =1ca =√32,a 2=b 2+c 2,解之得：a =2,b =1,c =√3．故椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设P(x 0,y 0)弦MN 的中点，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 由{y =kx +m,x 24+y 2=1,得(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 因为直线与椭圆相交，所以x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4(m 2−1)4k 2+1，△=(8km)2−16(4k 2+1)(m 2−1)>0⇒m 2<1+4k 2，① ∴x 0=x 1+x 22=−4km4k 2+1，所以y 0=kx 0+m =m4k +1． ∴k AP =y 0+1x 0=−m+1+4k 24km，又|AM|=|AN|，∴AP ⊥MN ，则−m+1+4k 24km=−1k，即3m =4k 2+1，②把②代入①得m 2<3m ，解得0<m <3， 由②得k 2=3m−14>0，解得m >13．综上可知m 的取值范围为(13,3)．【解析】(1)根据顶点、离心率建立方程求出椭圆的标准方程；(2)先由直线与椭圆方程联立方程组，由判别式得出不等关系，根与系数关系，再将条件|AM|=|AN|转化为A 在线段MN 的垂直平分线上，建立等量关系，最后将它们相结合进行求解．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的综合问题，有一定难度，属于中档题目．20.【答案】解：(1)2×2列联表如下：根据上表数据代入公式可得K 2=100×(20×30−10×40)230×70×60×40=5063≈0.794<2.706，所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关． (2)(i)由题意知：X 的可取值为5，8，11，15，19，30， P(X =5)=110，P(X =8)=110，P(X =11)=15， P(X =15)=15，P(X =19)=720，P(X =30)=120．所以X 的分布列为：∴E(X)=5×110+8×110+11×15+15×15+19×720+30×120=14.65． (ii)由题意得P(X >14.65)=15+720+120=35， ∴ξ～B(3,35)，∴P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=C 32(35)2(25)+(35)3=3×925×25+27125=81125．【解析】(1)作出2×2列联表，求出K 2=100×(20×30−10×40)230×70×60×40=5063≈0.794<2.706，从而没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关．(2)(i)由题意知：X 的可取值为5，8，11，15，19，30，分别求出相应的概率，由此有求出X 的分布列和数学期望．(ii)由题意得P(X >14.65)=15+720+120=35，从而ξ～B(3,35)，由此能求出P(ξ≥2)的概率．本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=2e 2x +m ，①当m ≥0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上的单调递增；②当−2≤m <0时，x ∈(0,+∞)，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上的单调递增； ③当m <−2时，由f′(x)=0得x =12ln(−m2)>0，x ∈(0,12ln(−m2))时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x ∈(12ln(−m 2),+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 综上所述：当m ≥−2时，f(x)在(0,+∞)上的单调递增；当m <−2时，f(x)在(0,12ln(−m2))上单调递减，f(x)在(12ln(−m2),+∞)上单调递增；(2)f(x02)−1>g(x 0)⇒e x 0−x 0−1>a2x 02e x 0⇒1−x 0+1e x 0>a2x 02⇒a2x 02+x 0+1e x 0−1<0(∗)，需求一个x 0，使(∗)成立，只要求出t(x)=a2x 2+x+1e x−1的最小值，满足t(x)min <0，∵t′(x)=x(a −1e x )∴t(x)在(0,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增， ∴t(x)min =t(−lna)=a2ln 2a +a(−lna +1)−1，只需证明a2ln 2a +a(−lna +1)−1<0在a ∈(0,1)内成立即可，令φ(a)=a 2ln 2a +a(−lna +1)−1⇒φ′(a)=12ln 2a >0， ∴φ(a)在a ∈(0,1)单调递增，∴φ(a)<φ(1)=12ln 21+1×(−ln1+1)−1=0，所以t(x)min <0，故存在与a 有关的正常数x 0=−lna(0<a <1)使(∗)成立．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可判断， (2)需求一个x 0，满足结论成立，只要求出t(x)=a2x 2+x+1e x−1的最小值，满足t(x)min <0，结合函数的性质及导数即可证明．本题考查了导数的综合应用，考查了一定的推理与运算的能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)圆C 的方程可化为(x −2)2+(y −3)2=8，圆心为C(2,3)，半径为2√2，∴圆C 的参数方程为{x =2+2√2cosαy =3+2√2sinα(α为参数)直线l 的极坐标方程可化为ρsinθ+ρcosθ=−3， ∵{ρcosθ=x ρsinθ=y， ∴直线l 的直角坐标方程为x +y +3=0． (2)：曲线C 是以C(2,3)为圆心，半径为2√2的圆， 圆心C(2,3)到直线l ：x +y +3=0的距离d =22=4√2，所以|PQ|min =4√2−2√2=2√2，此时直线PQ 经过圆心C(2,3)，且与直线l ：x +y +3=0垂直，k PQ ⋅k l =−1， 所以k PQ =1，PQ 所在直线方程为y −3=x −2，即y =x +1． 联立直线和圆的方程{y =x +1x 2+y 2−4x −6y +5=0，解得{x =0y =1或 {x =4y =5当|PQ|取得最小值时，点P 的坐标为(0,1) 所以|PQ|min =2√2，此时点P 的坐标为(0,1)．【解析】(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和方程组的解法的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，方程组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)f(x)={−3,x ≤−12x −1,−1<x <23,x ≥2，①当x ≤−1时，−3≤1恒成立，所以x ≤−1；②当−1<x <2时，2x −1≤1，即x ≤1，所以−1<x ≤1； ③当x ≥2时，3≤1显然不成立，所以不合题意； 综上，不等式的解集为(−∞,1]． (2)证明：由(1)知f(x)max =3=s ， 于是√a +√b +√c =3， 所以√a√a √b√b +√c+√c≥2√b +2√c +2√a =6，当且仅当a =b =c =1时取等号， 所以√a √b √c ≥3．【解析】(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤1分别解不等式即可； (2)先由(1)得到f(x)的最大值s ，然后利用基本不等式即可证明√a √b √c ≥3成立．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

黄冈中学高三5月第二次模拟考试数学（理科）试卷 试卷满分：150分一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}223,1,0,1,2,3A x y x x B ==--=-，则()R C A B =I （ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}1,3- 2. 若复数232018|34|134i z i i i i i-=++++++-…，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．15-B ．95-C ．95D ．95i -3. 设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<4．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是( ) A ．1623+ B ．1625+C ．2023+D ．2025+5. 下列命题正确的个数是（ ）1:p 若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥2:p 命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+≥”3:p 函数sin()6y x πω=+在2x =处取得最大值，则正数ω的最小值为6π4:p 若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()280.8185P X <≤=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 过双曲线22:1x yΓ-=上任意点P作双曲线Γ的切线，交双曲线Γ两条渐近线分别交于,A B两点，若O为坐标原点，则AOB∆的面积为( )A．4 B．3 C．2 D．17. 函数2sin()xxf xe=在[,]ππ-的图像大致为( )8.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入10m=，则输出的S为（）A. 100B. 250C. 140D. 1909．已知ABC∆所在平面内有两点,P Q，满足0,PA PC QA QB QC BC+=++=u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r，若4,2AB AC==u u u r u u u r，23APQS∆=,则2AB AC BC⋅+u u u r u u u r u u u r的值为( )n=1,S=01结束是n为奇数?否输入正整数ma=n22开始n=n+1 a=n2-12S=S+an≥m?输出S是否图二A. ±B. 8±C. 12±D. 20±10.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的体积为( )A.27B.9C.27D.2711.实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，它表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p .由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为( )A ．12B ．23C ．35D ．4312. 若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1(1,)1e e e --B. 1[1,]1e e e --C. 1(,1)1e e e ---D. 1[,1]1e e e ---二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.若()6111ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是11-，则实数a 的值为_________.14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=相交的，则椭圆的离心率为_________.15.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为_________.16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6a c +=，(3cos )tan sin 2BA A -=，则ABC ∆的面积的最大值为 ．三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22()(2a b c bc --=．（1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1sin 1=A a ，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SCD ∆为钝角三角形，侧面SCD 垂直于底面ABCD ，CD SD =，点M 是SA 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==.（1）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求二面角B MD C --余弦值．19.（本小题满分12分）IC 芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC 芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅.为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为23，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为34，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：22()=,()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=+++++++ 参考数据： 20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.0250.01 0.005 0.00120.（本小题满分12分）已知抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点的距离为3，线段AB 的两端点()11,A x y ， ()22,B x y 在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的方程；（2）在抛物线C 上存在点()33,D x y ，满足312x x x <<，若ABD ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABD ∆面积的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()().2a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （1）若直线(0)()(),x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点,且曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ>>已知若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为1()2x y ααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数，直线1:0l x =，直线 2:0l x y -=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系.（1）求曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求线段AB 的长.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0a >，0b >，且222a b +=． （1）若2214|21||1|x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明：5511()()4a b ab++≥．黄冈中学高三5月第二次模拟考试数学（理科）答案 试卷满分：150分一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{{},1,0,1,2,3A x y B ===-，则()R C A B =I （ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}1,3- 【答案】B2.若复数232018|34|134i z i i i i i-=++++++-…，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．15- B ．95-C ．95D ．95i -【答案】B3.设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】D4. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是( )A ．16+B ．16+C ．20+D ．20+【答案】B5.下列命题正确的个数是（ ）1:p 若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥【错误】2:p 命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+≥”【错误】3:p 函数sin()6y x πω=+在2x =处取得最大值，则正数ω的最小值为6π【正确】4:p 若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()280.8185P X <≤=【正确】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B6. 过双曲线22:1x y Γ-=上任意点P 作双曲线Γ的切线，交双曲线Γ两条渐近线分别交于,A B 两点，若O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 7. 函数2sin ()xxf x e=在[,]ππ-的图像大致为( )8. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的 推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理. 数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪 数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数 列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列 前n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入10m =，则输 出的S 为（ ）A. 100B. 250C. 140D. 190【答案】D9．已知ABC ∆所在平面内有两点,P Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r，若4,2AB AC ==u u u r u u u r ，23APQ S ∆=,则2AB AC BC ⋅+u u u r u u u r u u u r的值为( )A. 43±B. 843±C. 1243±D. 2043±【答案】D【解析】因为0PA PC +=u u u r u u u r r，所以P 为AC 中点，又因为QA QB QC BC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r 即QA QB BC QC BQ +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2QA BQ =u u u r u u u r ，所以Q 为线段AB 的靠近B 的三等分点．所以13APQ ABC S S ∆∆=，所以1sin 22ABCS AB AC A ∆==u u u r u u u r ，所以1sin 2A =，3cos A =或3-．故cos 43AB AC AB AC A ⋅=⋅=±u u u r u u u r u u u r u u u r .10.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的体积为( ) A.86π B.43π C.43π D.323π 【答案】D11．实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，它表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p .由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为( )A ．12B ．35C ．23D ．43【答案】C【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭处取得最小值，且最小值为12z =，即112p =．区域C 的面积为1112222⨯⨯=，平面区域D 的面积为33320233d 63x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰，故2112612p ==，所以121224133p p -=-=．12. 若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1(1,)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1e e e --- 【解析】由题意可得ln ,(0,)ln x xa x x x x=-∈+∞-有3个不同解，令ln (),ln x xg x x x x=--22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )(0,),'(),(ln )(ln )x x x x x x x g x x x x x x x ----∈+∞=-=--则当(0,)x ∈+∞时，令2ln y x x =-，则1211'2,(0,),'0,2x y x y y x x -=-=∈<当递减；当1(,),'0,2x y y ∈+∞>递增，则min 11ln1ln 20,(0,)2y x =-=+>∈+∞则当时，恒有2ln 0.'()0,x x g x ->=令得1x =或,(0,1),'()0,()x e x g x g x =∈<且时递减；(1,),'()0,()x e g x g x ∈>时递增；(,)x e ∈+∞时，'()0,()g x g x <递减，则()g x 的极小值为(1)1,()g g x =的极大值为1(),1e g e e e=--结合函数图象可得实数a 的取值范围是1(1,)1e e e--.[答案]A 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13. 若()6111ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是11-，则实数a 的值为_________. 【答案】214．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=相交的，则椭圆的离心率为_________.15.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为_________. 【解析】由题意可得：9101112128a a a a S S +++=-,由8426S S -=可得8446S S S -=+,由等比数列的性质可得：484128,,S S S S S --成等比数列,则()()2412884S S S S S -=-,综上可得：249101112128444(6)361224S a a a a S S S S S ++++=-==++≥当且仅当46S =时等号成立.综上可得,则9101112a a a a +++的最小值为24.16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6a c +=，(3cos )tan sin 2BA A -=，则ABC ∆的面积的最大值为 ．【答案】 Q (3cos )tansin 2B A A -=，∴sin (3cos )sin 1cos B A A B-=+，整理得 3sin sin sin B A C =+，则3b a c =+ 又6a c +=，∴2b =.又2222cos b a c ac B =+-，则24()22cos 362(1cos )a c ac ac B ac B =+--=-+,∴16cos 1B ac=-∴11cos 22ABC S ac B ∆===，Q 6a c +=，∴9ac ≤∴ABC S ∆=，当且仅当3a c ==时取等号.三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且22()(2a b c bc --=．（1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1sin 1=A a ，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nS ．【解析】（1）由22()(23)a b c bc --=-，2223a b c bc --=-，所以2223cos 2b c a A bc +-==6A π∴=（2）设{}n a 的公差为d ，由得21=a ，且2428a a a =，∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++．又0d ≠，∴2d =，∴2n a n =．∴14111(1)1n n a a n n n n +==-++， ∴11111111(1)()()()122334111n n S n n n n =-+-+-++-=-=+++… 18. 如图，在四棱锥S ABCD -中，SCD ∆为钝角三角形，侧面SCD 垂直于底面ABCD ，CD SD =，点M 是SA 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==. （1）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求二面角B MD C --余弦值．【解析】（1）证明：取BC 中点E ，连接DE ，设AB AD a ==，2BC a =， 依题意得，四边形ABED 为正方形，且有BE DE CE a ===，2BD CD a ==，所以222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，又平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD I 底面ABCD CD =，BD ⊂底面ABCD ， 所以BD ⊥平面SCD . 又BD ⊂平面MBD ，所以平面MBD ⊥平面SCD （2）过点S 作CD 的垂线，交CD 延长线于点H ，连接AH ，因为平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD I 底面ABCD CD =，SH CD ⊥SH ⊂平面SCD ，所以SH ⊥底面ABCD ，故DH 为斜线SD 在底面ABCD 内的射影， SDH ∠为斜线SD 与底面ABCD 所成的角，即60SDH ∠=︒由（1）得，2SD a =，所以在Rt SHD ∆中，2SD a =，22DH a =，6SH =，在ADH ∆中，45ADH ∠=︒，AD a =，22DH a =，由余弦定理得22AH a =， 所以222AH DH AD +=，从而90AHD ∠=︒，过点D 作DF SH ∥，所以DF ⊥底面ABCD ，所以,,DB DC DF 两两垂直，如图，以点D 为坐标原点，DB uuu r 为x 轴正方向，DC uuu r 为y 轴正方向，DF uuu r为z轴正方向建立空间直角坐标系，则()2,0,0Ba ，()2,0C a ，260,S ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，22,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，226,42M a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面MBD 的法向量(),,n x y z =r00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu u r 得202260424x x y z =-+=⎩ 取1z =得3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，设平面MCD 的法向量(),,m x y z '''=u r00m DC m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uuu u r 得202260424y x y z ⎧'=⎪'''-+=⎪⎩，取1z '=得，()3,0,1m =-u r ， 所以17cos ,724n mn m n m⋅===⋅⋅r u rr u r r u r 故所求的二面角B MD C --的余弦值为77.19. IC 芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC 芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅.为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为23，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为34，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：22()=,()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=+++++++ 参考数据：【解析】（1）由题意列列表为：故250(288212)257.879302040103K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ 故有99.5%的把握认为晶圆的制作效果与使用西门子制程这一工艺技术有关（2）设i A 表示检测到第i 个环节有问题，(1,2,3,4)i =，X 表示成为一个合格的多晶圆需消耗的费用，则X 的可能取值为：0,10,20,30,40,50,60,700X =，表明四个环节均正常312342324(0)()()34108P X P A A A A ====g10X =表明第四环节有问题31234218(10)()()34108P X P A A A A ====g20X =表明前三环节有一环节有问题12312336(20)()()334108P X C ===g g 30X =表明前三环节有一环节及第四环节有问题12312112(30)()()334108P X C ===g g 40X =，表明前三环节有两环节有问题22312318(40)()()334108P X C ===g g50X =表明前三环节有两环节及第四环节有问题2231216(50)()()334108P X C ===g g60X =表明前三环节有问题31234133(60)()()34108P X P A A A A ====g70X =四环节均有问题31234111(70)()()34108P X P A A A A ====g费用X 分布列为：X 0 10 20 30 40 50 60 70 P241088108361081210818108610831081108故：108542EX ===（元）故大约需要耗费452元20. 已知抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点的距离为3，线段AB 的两端点()11,A x y ， ()22,B x y 在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的方程；（2）在抛物线C 上存在点()33,D x y ，满足312x x x <<，若ABD ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABD ∆面积的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）最小值为16.【解析】（1）设抛物线的方程为22x py =，抛物线的焦点为F ，则322pQF ==+，所以1p =，则抛物线C 的方程为24x y =.（2）如图所示，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233(,)4x D x ，根据抛物线关于y 轴对称，取10x ≥，记1AB k k =， 2AD k k =，则有2114x x k +=， 3124x x k +=，所以2114x k x =-， 3214x k x =-， 121k k ⋅=-， 又因为ABD ∆是以A 为顶点的等腰直角三角形，所以AB AD =，2212123111k x x k x x +-=+-，将23,x x 代入得：221112211212k k x k k x +-=+- 化简求出1x ，得： 3112114422k x k k -=+，则()2222112114411||122ABDk S AB k k k ∆⎛⎫+=⋅=⨯+⨯ ⎪+⎝⎭，可以先求AB 的最小值即可， 2211211441k AB k k k +=+⋅+，令()3222222111t t y t t t t t++=+⋅=++， 则()()()()()1322222223122112t t t t t t y t t+⋅⋅+-+++'=()()()()()()11233223222222213322111t tt t t t tt t t t tt t ++----+-+-==++()()()()122222111tt t t t +-+=+所以可以得出当1t =即11k =时， AB 最小值为42，此时10x =，即当()0,0A ， ()4,4B ， ()4,4D -时， ABD ∆为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16.21. 已知函数2()ln ,()().2a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （1）若直线(0)()(),x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点,且曲线()y f x = 在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ>>已知 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.【解析】（1）依题意，函数()f x 的定义域为（0，+∞），'()ln 1,'() 1.f x x g x ax =+=+因为曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，所以'()'()(0,)f t g t =+∞在有解，即方程ln 0(0,)t at -=+∞在有解.……………………2分方程ln 0(0,)t at -=+∞在有解转化为函数ln y x y ax ==与函数的图像在(0,)+∞上有交点，如图，令过原点且与函数ln y x =的图像相切的直线的斜率为k ，只须.a k ≤令切点为000000ln 1(,ln ),'|,x x x A x x k y k x x ====则又，所以000ln 1,x x x =解得01,x e k e ==于是，所以1.a e≤………………………………………5分（2）2()()()ln (0),'()ln .2a h x f x g x x x x x a x h x x ax =-=--+>=-所以 因为12,()x x h x 为在其定义域内有两个不同的极值点，所以12,ln 0x x x ax -=是方程的两个根，即12112212ln ln ln ,ln ,.x x x ax x ax a x x -===-作差得……………………………6分因为120,0,,x x λ>>>所以112121ln ln 1e x x x x λλλλλ+<⋅⇔+<+⇔+<1212121()ax ax a x x a x x λλλλ++=+⇔>+⇔121121212212ln ln (1)()1ln x x x x x x x x x x x x λλλλ-+-+>⇔>-++⇔112122(1)(1)ln .x xx x x x λλ+->+……8分令12x t x =，则(1,)t ∈+∞，由题意知，不等式(1)(1)ln (1,)t t t t λλ+->∈+∞+在上恒成立. 令2222(1)(1)1(1)(1)()()ln ,'().()()t t t t t t t t t t t λλλϕϕλλλ+-+--=-=-=+++则 （ⅰ）若21,(1,),'()0,t t λϕ≥∈+∞>对一切所以()(1,)t ϕ+∞在上单调递增，又(1)0,ϕ=所以()0t ϕ>(1,)+∞在上恒成立，符合题意.……………………………10分（ⅱ）若221,(1,)t λλ>∈当时，2'()0;(,),t t ϕλ<∈+∞当时2'()0,()(1,)t t ϕϕλ>所以在上单调递减，在2(,)λ+∞上单调递增，又(1)0,())t ϕϕ=∞所以在(1,+上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综合（ⅰ）（ⅱ）得，若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，只须21.0,1λλλ≤>≤又所以0<.………12分（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为1()2x y ααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数，直线1:0l x =，直线 2:0l x y -=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系.（1）求曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求线段AB 的长.23. 选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，且222a b +=． （1）若2214|21||1|x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明：5511()()4a b ab++≥．【解析】（1）设,1,1|21||1|32,1,21,.2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩由222a b +=，得221()12a b +=，故22222222221411414()()(14)22b a a b a b a b a b +=++=+++2222149(142)22b a a b ≥++⋅=， 所以9|21||1|2x x ≥---． 当1x ≤时，92x ≤，得912x ≤≤； 当112x ≤<时，9322x -≤，解得136x ≤，故112x ≤<； 当12x <时，92x -≤，解得92x ≥-，故9122x -≤<． 综上，9922x -≤≤． （2）55554411()()b a a b a b a b a b ++=+++5522222222()2()=4b a a b a b a b a b=+++-≥+。

湖北省黄冈市2020届高三5月适应性考试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 的值分别为1，2，则输出的S 是（ ）A ．70B ．29C ．12D ．52．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)...(2018)f f f f ++++=（ ）A ．50B ．2C ．0D ．-20183．设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ︒∠=，c=2,213PF F S ∆=，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）A ．5πB ．4πC ．6πD ．3π4．已知,a b ∈R ，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．33a b > B ．11a b <C ．22a b > D ．||a b b >+5．已知1tan 2α=，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．5B ．5C ．25D ．256．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点与抛物线220y x =的焦点重合，且其渐近线方程为34y x =±，则该双曲线的方程为（ ）A．221 916x y-=B．221169x y-=C．2216436x y-=D．2213664x y-=7．定义区间[],a b，(),a b，(],a b，[),a b的长度为b a-.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为m（其中(]0,m e∈，e为自然对数的底数），那么称这个函数为“m函数”.下列四个命题：①函数()lnxf x e x=+不是“m函数”；②函数()ln xg x x e=-是“m函数”，且1mme=；③函数()ln xh x e x=是“m函数”；④函数()lnxxxeϕ=是“m函数”，且ln1m m=.其中正确的命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．已知实数x，y满足约束条件133xx yy x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y=-+的最小值为( ）A．-6 B．-4 C．-3 D．-19．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是''''A B C DY，如图2所示.其中24A'B'A'D'==，则该几何体的表面积为（）A．1612+πB．168+πC．1610+π D．8π10．已知()f x是定义在[2,1]b b-+上的偶函数，且在[2,0]b-上为增函数，则(1)(2)f x f x-≤的解集为（）A．2[1,]3-B．1[1,]3-C．[1,1]-D．1[,1]311．已知锐角ABCV的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1c=，三角形ABC的面积1ABCS=△，则22a b+的取值范围为()A．17,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．()9,+∞C．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．17,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．若a，b，c，满足23a=，2log5b=，32c=，则（）A．c a b<<B．b c a<<C．a b c<<D．c b a<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

黄冈中学高三5月第二次模拟考试数学（理科）试卷试卷满分：150分一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}223,1,0,1,2,3A x y x x B ==--=-，则()R C A B =I （ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}1,3- 2. 若复数232018|34|134i z i i i i i-=++++++-…，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．15-B ．95-C ．95D ．95i -3. 设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<4．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是( ) A ．1623+ B ．1625+C ．2023+D ．2025+5. 下列命题正确的个数是（ ）1:p 若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥2:p 命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+≥”3:p 函数sin()6y x πω=+在2x =处取得最大值，则正数ω的最小值为6π4:p 若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()280.8185P X <≤=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 过双曲线22:1x y Γ-=上任意点P 作双曲线Γ的切线，交双曲线Γ两条渐近线分别交于,A B 两点，若O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 7. 函数2sin()xxf x e=在[,]ππ-的图像大致为( )8. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的 推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理. 数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪 数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数 列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列 前n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入10m =，则输 出的S 为（ ）A. 100B. 250C. 140D. 1909．已知ABC ∆所在平面内有两点,P Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r，若n=1,S=0 1 结束是n 为奇数?否 输入正整数ma=n 22开始 n=n+1a=n 2-12S=S+an ≥m? 输出S是否图二4,2AB AC ==u u u r u u u r ，23APQ S ∆=,则2AB AC BC ⋅+u u u r u u u r u u u r的值为( )A. ±B. 8±C. 12±D. 20±10.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的体积为( )11.实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，它表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p .由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为( )A ．12B ．23C ．35D ．4312. 若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1(1,)1e e e --B. 1[1,]1e e e --C. 1(,1)1e e e ---D. 1[,1]1e e e ---二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.若()6111ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是11-，则实数a 的值为_________.14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=相交的，则椭圆的离心率为_________.15.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为_________.16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6a c +=，(3cos )tan sin 2BA A -=，则ABC ∆的面积的最大值为 ．三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22()(23)a b c bc --=-． （1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1sin 1=A a ，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SCD ∆为钝角三角形，侧面SCD 垂直于底面ABCD ，CD SD =，点M 是SA 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==.（1）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求二面角B MD C --余弦值．19.（本小题满分12分）IC 芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC 芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅.为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为23，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为34，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：22()=,()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=+++++++参考数据：20.（本小题满分12分）已知抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点的距离为3，线段AB 的两端点()11,A x y ， ()22,B x y 在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的方程；（2）在抛物线C 上存在点()33,D x y ，满足312x x x <<，若ABD ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABD ∆面积的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()().2a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （1）若直线(0)()(),x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点,且曲线()y fx =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ>>已知若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为1()2x y ααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数，直线1:0l x =，直线 2:0l x y -=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系.（1）求曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求线段AB 的长.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0a >，0b >，且222a b +=． （1）若2214|21||1|x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围；（2）证明：5511()()4a b a b++≥．黄冈中学高三5月第二次模拟考试数学（理科）答案 试卷满分：150分一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{{},1,0,1,2,3A x y B ===-，则()R C A B =I （ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}1,3- 【答案】B2.若复数232018|34|134i z i i i i i-=++++++-…，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．15- B ．95-C ．95D ．95i -【答案】B3.设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】D4. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是( )A ．16+B ．16+C ．20+D ．20+【答案】B5.下列命题正确的个数是（ ）1:p 若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥【错误】2:p 命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+≥”【错误】3:p 函数sin()6y x πω=+在2x =处取得最大值，则正数ω的最小值为6π【正确】4:p 若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()280.8185P X <≤=【正确】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B6. 过双曲线22:1x y Γ-=上任意点P 作双曲线Γ的切线，交双曲线Γ两条渐近线分别交于,A B 两点，若O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 7. 函数2sin ()xxf x e=在[,]ππ-的图像大致为( )8. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的 推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理. 数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪 数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数 列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列 前n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入10m =，则输 出的S 为（ ）A. 100B. 250C. 140D. 190【答案】D9．已知ABC ∆所在平面内有两点,P Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r，若4,2AB AC ==u u u r u u u r ，23APQ S ∆=,则2AB AC BC ⋅+u u u r u u u r u u u r的值为( )A. 43±B. 843±C. 1243±D. 2043±【答案】D【解析】因为0PA PC +=u u u r u u u r r，所以P 为AC 中点，又因为QA QB QC BC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r 即QA QB BC QC BQ +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2QA BQ =u u u r u u u r ，所以Q 为线段AB 的靠近B 的三等分点．所以13APQ ABC S S ∆∆=，所以1sin 22ABCS AB AC A ∆==u u u r u u u r ，所以1sin 2A =，3cos A =或3-．故cos 43AB AC AB AC A ⋅=⋅=±u u u r u u u r u u u r u u u r .10.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的体积为( ) A.86π B.43π C.43π D.323π 【答案】D11．实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，它表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p .由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为( )A ．12B ．35C ．23D ．43【答案】C【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭处取得最小值，且最小值为12z =，即112p =．区域C 的面积为1112222⨯⨯=，平面区域D 的面积为33320233d 63x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰，故2112612p ==，所以121224133p p -=-=．12. 若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1(1,)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1e e e --- 【解析】由题意可得ln ,(0,)ln x xa x x x x=-∈+∞-有3个不同解，令ln (),ln x xg x x x x=--22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )(0,),'(),(ln )(ln )x x x x x x x g x x x x x x x ----∈+∞=-=--则当(0,)x ∈+∞时，令2ln y x x =-，则1211'2,(0,),'0,2x y x y y x x -=-=∈<当递减；当1(,),'0,2x y y ∈+∞>递增，则min 11ln1ln 20,(0,)2y x =-=+>∈+∞则当时，恒有2ln 0.'()0,x x g x ->=令得1x =或,(0,1),'()0,()x e x g x g x =∈<且时递减；(1,),'()0,()x e g x g x ∈>时递增；(,)x e ∈+∞时，'()0,()g x g x <递减，则()g x 的极小值为(1)1,()g g x =的极大值为1(),1e g e e e=--结合函数图象可得实数a 的取值范围是1(1,)1e e e--.[答案]A 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13. 若()6111ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是11-，则实数a 的值为_________. 【答案】214．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=相交的，则椭圆的离心率为_________.15.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为_________. 【解析】由题意可得：9101112128a a a a S S +++=-,由8426S S -=可得8446S S S -=+,由等比数列的性质可得：484128,,S S S S S --成等比数列,则()()2412884S S S S S -=-,综上可得：249101112128444(6)361224S a a a a S S S S S ++++=-==++≥当且仅当46S =时等号成立.综上可得,则9101112a a a a +++的最小值为24.16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6a c +=，(3cos )tan sin 2BA A -=，则ABC ∆的面积的最大值为 ．【答案】 Q (3cos )tansin 2B A A -=，∴sin (3cos )sin 1cos B A A B-=+，整理得 3sin sin sin B A C =+，则3b a c =+ 又6a c +=，∴2b =.又2222cos b a c ac B =+-，则24()22cos 362(1cos )a c ac ac B ac B =+--=-+,∴16cos 1B ac=-∴11cos 22ABC S ac B ∆===，Q 6a c +=，∴9ac ≤∴ABC S ∆=，当且仅当3a c ==时取等号.三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且22()(2a b c bc --=．（1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1sin 1=A a ，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【解析】（1）由22()(23)a b c bc --=-，2223a b c bc --=-，所以2223cos 2b c a A bc +-==6A π∴=（2）设{}n a 的公差为d ，由得21=a ，且2428a a a =，∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++．又0d ≠，∴2d =，∴2n a n =．∴14111(1)1n n a a n n n n +==-++， ∴11111111(1)()()()122334111n n S n n n n =-+-+-++-=-=+++… 18. 如图，在四棱锥S ABCD -中，SCD ∆为钝角三角形，侧面SCD 垂直于底面ABCD ，CD SD =，点M 是SA 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==. （1）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求二面角B MD C --余弦值．【解析】（1）证明：取BC 中点E ，连接DE ，设AB AD a ==，2BC a =， 依题意得，四边形ABED 为正方形，且有BE DE CE a ===，2BD CD a ==，所以222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，又平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD I 底面ABCD CD =，BD ⊂底面ABCD ， 所以BD ⊥平面SCD . 又BD ⊂平面MBD ，所以平面MBD ⊥平面SCD （2）过点S 作CD 的垂线，交CD 延长线于点H ，连接AH ，因为平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD I 底面ABCD CD =，SH CD ⊥SH ⊂平面SCD ，所以SH ⊥底面ABCD ，故DH 为斜线SD 在底面ABCD 内的射影， SDH ∠为斜线SD 与底面ABCD 所成的角，即60SDH ∠=︒由（1）得，2SD a =，所以在Rt SHD ∆中，2SD a =，22DH a =，6SH =，在ADH ∆中，45ADH ∠=︒，AD a =，22DH a =，由余弦定理得22AH a =， 所以222AH DH AD +=，从而90AHD ∠=︒，过点D 作DF SH ∥，所以DF ⊥底面ABCD ，所以,,DB DC DF 两两垂直，如图，以点D 为坐标原点，DB uuu r 为x 轴正方向，DC uuu r 为y 轴正方向，DF uuu r为z轴正方向建立空间直角坐标系，则()2,0,0Ba ，()2,0C a ，260,S ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，22,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，226,42M a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面MBD 的法向量(),,n x y z =r00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu u r 得202260424x x y z =-+=⎩ 取1z =得3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，设平面MCD 的法向量(),,m x y z '''=u r00m DC m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uuu u r 得202260424y x y z ⎧'=⎪'''-+=⎪⎩，取1z '=得，()3,0,1m =-u r ， 所以17cos ,724n mn m n m⋅===⋅⋅r u rr u r r u r 故所求的二面角B MD C --的余弦值为77.19. IC 芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC 芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅.为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为23，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为34，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：22()=,()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=+++++++ 参考数据：【解析】（1）由题意列列表为：故250(288212)257.879302040103K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ 故有99.5%的把握认为晶圆的制作效果与使用西门子制程这一工艺技术有关（2）设i A 表示检测到第i 个环节有问题，(1,2,3,4)i =，X 表示成为一个合格的多晶圆需消耗的费用，则X 的可能取值为：0,10,20,30,40,50,60,700X =，表明四个环节均正常312342324(0)()()34108P X P A A A A ====g10X =表明第四环节有问题31234218(10)()()34108P X P A A A A ====g20X =表明前三环节有一环节有问题12312336(20)()()334108P X C ===g g 30X =表明前三环节有一环节及第四环节有问题12312112(30)()()334108P X C ===g g 40X =，表明前三环节有两环节有问题22312318(40)()()334108P X C ===g g50X =表明前三环节有两环节及第四环节有问题2231216(50)()()334108P X C ===g g60X =表明前三环节有问题31234133(60)()()34108P X P A A A A ====g70X =四环节均有问题31234111(70)()()34108P X P A A A A ====g费用X 分布列为：X 0 10 20 30 40 50 60 70 P241088108361081210818108610831081108故：108542EX ===（元）故大约需要耗费452元20. 已知抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点的距离为3，线段AB 的两端点()11,A x y ， ()22,B x y 在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的方程；（2）在抛物线C 上存在点()33,D x y ，满足312x x x <<，若ABD ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABD ∆面积的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）最小值为16.【解析】（1）设抛物线的方程为22x py =，抛物线的焦点为F ，则322pQF ==+，所以1p =，则抛物线C 的方程为24x y =.（2）如图所示，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233(,)4x D x ，根据抛物线关于y 轴对称，取10x ≥，记1AB k k =， 2AD k k =，则有2114x x k +=， 3124x x k +=，所以2114x k x =-， 3214x k x =-， 121k k ⋅=-， 又因为ABD ∆是以A 为顶点的等腰直角三角形，所以AB AD =，2212123111k x x k x x +-=+-，将23,x x 代入得：221112211212k k x k k x +-=+- 化简求出1x ，得： 3112114422k x k k -=+，则()2222112114411||122ABDk S AB k k k ∆⎛⎫+=⋅=⨯+⨯ ⎪+⎝⎭，可以先求AB 的最小值即可， 2211211441k AB k k k +=+⋅+，令()3222222111t t y t t t t t++=+⋅=++， 则()()()()()1322222223122112t t t t t t y t t+⋅⋅+-+++'=()()()()()()11233223222222213322111t tt t t t tt t t t tt t ++----+-+-==++()()()()122222111tt t t t +-+=+所以可以得出当1t =即11k =时， AB 最小值为42，此时10x =，即当()0,0A ， ()4,4B ， ()4,4D -时， ABD ∆为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16.21. 已知函数2()ln ,()().2a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （1）若直线(0)()(),x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点,且曲线()y f x = 在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ>>已知 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.【解析】（1）依题意，函数()f x 的定义域为（0，+∞），'()ln 1,'() 1.f x x g x ax =+=+因为曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，所以'()'()(0,)f t g t =+∞在有解，即方程ln 0(0,)t at -=+∞在有解.……………………2分方程ln 0(0,)t at -=+∞在有解转化为函数ln y x y ax ==与函数的图像在(0,)+∞上有交点，如图，令过原点且与函数ln y x =的图像相切的直线的斜率为k ，只须.a k ≤令切点为000000ln 1(,ln ),'|,x x x A x x k y k x x ====则又，所以000ln 1,x x x =解得01,x e k e ==于是，所以1.a e≤………………………………………5分（2）2()()()ln (0),'()ln .2a h x f x g x x x x x a x h x x ax =-=--+>=-所以 因为12,()x x h x 为在其定义域内有两个不同的极值点，所以12,ln 0x x x ax -=是方程的两个根，即12112212ln ln ln ,ln ,.x x x ax x ax a x x -===-作差得……………………………6分因为120,0,,x x λ>>>所以112121ln ln 1e x x x x λλλλλ+<⋅⇔+<+⇔+<1212121()ax ax a x x a x x λλλλ++=+⇔>+⇔121121212212ln ln (1)()1ln x x x x x x x x x x x x λλλλ-+-+>⇔>-++⇔112122(1)(1)ln .x xx x x x λλ+->+……8分令12x t x =，则(1,)t ∈+∞，由题意知，不等式(1)(1)ln (1,)t t t t λλ+->∈+∞+在上恒成立. 令2222(1)(1)1(1)(1)()()ln ,'().()()t t t t t t t t t t t λλλϕϕλλλ+-+--=-=-=+++则 （ⅰ）若21,(1,),'()0,t t λϕ≥∈+∞>对一切所以()(1,)t ϕ+∞在上单调递增，又(1)0,ϕ=所以()0t ϕ>(1,)+∞在上恒成立，符合题意.……………………………10分（ⅱ）若221,(1,)t λλ>∈当时，2'()0;(,),t t ϕλ<∈+∞当时2'()0,()(1,)t t ϕϕλ>所以在上单调递减，在2(,)λ+∞上单调递增，又(1)0,())t ϕϕ=∞所以在(1,+上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综合（ⅰ）（ⅱ）得，若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，只须21.0,1λλλ≤>≤又所以0<.………12分（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为1()2x y ααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数，直线1:0l x =，直线 2:0l x y -=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系.（1）求曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求线段AB 的长.23. 选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，且222a b +=． （1）若2214|21||1|x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明：5511()()4a b ab++≥．【解析】（1）设,1,1|21||1|32,1,21,.2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩由222a b +=，得221()12a b +=，故22222222221411414()()(14)22b a a b a b a b a b +=++=+++2222149(142)22b a a b ≥++⋅=， 所以9|21||1|2x x ≥---． 当1x ≤时，92x ≤，得912x ≤≤； 当112x ≤<时，9322x -≤，解得136x ≤，故112x ≤<； 当12x <时，92x -≤，解得92x ≥-，故9122x -≤<． 综上，9922x -≤≤． （2）55554411()()b a a b a b a b a b ++=+++5522222222()2()=4b a a b a b a b a b=+++-≥+。

2020年黄冈市五月调考题参考答案（理科）一，选择题A 卷1﹑C 2﹑B 3﹑C 4﹑D 5﹑D 6﹑B 7﹑B 8﹑B 9﹑A 10﹑A B 卷1﹑C 2﹑A 3﹑C 4﹑D 5﹑D 6﹑A 7﹑A 8﹑A 9﹑B 10﹑B简解：10 解：设()a B e a A AM ,0,0,,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=由题意得λ． 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=a b y c x b ya x a ex y 22222,1得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∴=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴a ab e ac e a a e a a b e a c AB AM a b c M λλλλ222,,,,,,即Θ，而 222221,011,e ABAMe e b a c -=>--=∴-=故且λ 二，填空题 11﹑ 6512﹑ 9 13﹑(,0))λ∈-∞+∞U 14﹑33或210 15﹑ 6 14 解： 当b >0时由2721a b a b +=⎧⎨-=⎩，得a =2，b =3，此时e =3331=； 当b <0时，由2127a b a b +=⎧⎨-=⎩，得a =2，b =-3，此时e =21025=． 三，解答题16 解：⑴在ACE ∆中，215327532cos 222222-=⨯⨯-+=-+=ACAE CE AE AC A ， 在ABC ∆中，2110321032cos 222222-=⨯⨯-+=-+=BC ACAB BC AB AC A 139=∴BC ……………6分⑵∵2222cos b a c ac B =+-，∴224a c ac =++，23ac ac ac ≥+=.∴43ac ≤，………………8分∴114sin 22323ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=．………………10分当且仅当3a c ==时取得等号．……………………12分 17 解：（1）所求的概率为1P =1－(1－50％)• (1－90％)•(1－80％)＝1－0．01＝0．99 …………………… (6分)（2）P 2=(1－50％)（1－90％）（1－80％）＝0．01,因为每人从三种乳制品中各取一件，三件恰好都是不合格乳制品的概率为0．01，所以三人分别从中各取一件，恰好有一人取到三件都是不合格品的事件，可看做三次独立重复试验问题．∴P=123(10.01)0.01c -•=0．027403…………………………12分18解：⑴取CD 的中点F ，连结BF 并延长交AD 的延长线于G 点．设正方体棱长为a 2，则a DF DE ==，a DG 2=，过D 点作FG DH ⊥于H ，有a DH 52=，连EH ，由三垂线定理知，FG EH ⊥， 即DHE ∠为所求二面角的平面角．其正切值为25=DH ED ．……………… 6分 ⑵分别取111D C CC 的中点M ﹑N 并连结MN ，有MN ∥B A 1,M B 1∥E A 1,从而，平面BE A MN B 11//平面，由题意知：P 点在线段MN 上移动．又a P C a ≤≤122，直线P B 1与平面11C CDD 所成角的正切值为P C C B 111，[]222111，∈PC CB …………………… 12分 19 解:(1)由已知,得(S n+1-S n )-(S n -S n-1)＝1(n ≥2,n ∈N *),即a n+1-a n ＝1(n ≥2,n ∈N *),且a 2-a 1＝1,∴数列{a n }是以a 1＝2为首项,公差为1的等差数列.∴a n ＝n+1. ………………………………… 5分 (2)∵a n ＝n+1,∴b n ＝4n +(-1)n-1λ·2n+1,要使b n+1＞b n 恒成立.∴b n+1-b n ＝4n+1-4n +(-1)n λ·2n+2-(-1)n-1λ·2n+1＞0恒成立, 即3·4n -3λ·(-1)n-12n+1＞0恒成立.∴(-1)n-1λ＜2n-1恒成立. ……………………………9分 ①当n 为奇数时,即λ＜2n-1恒成立,当且仅当n ＝1时,2n-1有最小值为1,∴λ＜1. ②当n 为偶数时,即λ＞-2n-1恒成立,当且仅当n ＝2时,-2n-1有最大值-2,∴λ＞-2, 即-2＜λ＜1.又λ为非零整数,则λ＝-1.综上所述,存在λ＝-1,使得对任意n ∈N *,都有b n+1＞b n . ………………12分20 解：⑴易知)0,1(1-F ，)0,1(2F ，)1,0(-A 设点),(11y x P ， 则212121212122)2(2121)1()1(-=-+-=+-=x x x y x PF ，又⊙M 的面积为8π，所以21)2(88-=x ππ 解得11=x )22,1(±∴P 故PA 所在直线的方程为1)221(-+=x y 或1)221(--=x y …………… 4分 ⑵直线1AF 的方程为01=++y x ，且)2,21(11y x M +到直线1AF 的距离为： 111422221221x y x -=+++ 化简得1121x y --= 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1221212111y x x y 解得01=x 或981-=x 当01=x 时， 可得)21,21(-M ， ∴⊙M 的方程为21)21()21(22=++-y x 当981-=x 时，可得)187,181(M ，∴⊙M 的方程为162169)187()181(22=-+-y x ；………………9分⑶⊙M 始终和以原点为圆心，半径为21=r （长半轴）的圆（记作⊙O ）相切．证明：12121212142228414)1(44)1(x x x y x OM +=-++=++=，又⊙M 的半径1224222x MF r -==， 21r r OM -=∴，即⊙M 与⊙O 相切． …………………13分（3）法二 122PF PF a +=，∴2OM MF a +==∴2OM MF =∴⊙M 总与以原点为圆心以椭圆半长轴为半径的圆相内切21 解：⑴假设函数xx f 1)(=有派驻点0x ，则111100+=+x x ，即01020=++x x ，而此方程无实根，矛盾．所以函数xx f 1)(=没有派驻点． ………………… 4分 ⑵令)12(2122)1(2)1()()1()(1221-+=----++=--+=-+x x x f x f x f x h x x x ，又1)0(-=h ，2)1(=h ， ∴0)1()0(<⋅h h ，所以0)(=x h 在()1,0上至少有一个实根0x ，即函数22)(x x f x+=有派驻点0x ． ……………………………… 9分 ⑶若函数1ln)(2+=x ax f 有派驻点0x ，即有：2ln 1ln 1)1(ln 2020a x a x a ++=++成立．211)1(2020ax a x a ⋅+=++∴ 又0>a 22)1(202020+++=∴x x x a 设22)1(2)(22+++=x x x x g ，则由0)22()1(4)(222=++-+='x x x x x g 得251±-=x ，列表：又极大值为53)251(+=--=g y ；极小值为53)251(-=+-=g y ； 222)1(2lim 22=+++→∝x x x n ，所以)(x g 的值域为[]53,53+-， 即a的范围是[]53,53+-． …………………………… 14分命题人 黄梅一中 王卫华 方耀光 审稿人 黄冈教科院 丁明忠黄冈中学 张智 程继承y=2。

湖北省黄冈中学2020届高三5月第三次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．根据复数的几何意义，复数z 都可以表示为)20)(sin (cos ||πθθθ<≤+=i z z ，其中||z 为z 的模，θ称为z 的辐角.已知i z 33-=，则z 的辐角为（ ）A ．32π B ．34π C ．5 D ．611π 2．已知:p “100>a ”，q ：“2110log <a ”，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1510=a ，且72S S =，则=8a （ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．下图是某企业产值在2020年~2020年的年增量（即当年产值比前一年产值增加的量）统计图（单位：万元），下列说法正确的是（ ）A. 2020年产值比2020年产值少B. 从2020年到2020年，产值年增量逐年减少C. 产值年增量的增量最大的是2020年D. 2020年的产值年增长率可能比2020年的产值年增长率低5．已知点)4,1(-P ，过点P 恰存在两条直线与抛物线C 有且只有一个公共点，则抛物线C 的标准方程为（ ）A ．y x 412=B ．y x 42=或x y 162-=C ．x y 162-=D ．y x 412=或x y 162-=6．已知)2,2(,ππβα-∈，βαtan ,tan 是方程010122=++x x 的两根，则=+2tan βα（ ）A ．34B ．2-或21C ．21D ．2-7．陶艺选修课上，小明制作了空心模具，将此模具截去一部分后，剩下的几何体三视图如图所示，则剩下的模具体积为（ ）A ．π312-B ．π212-C ．π38-D ．π+88．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为（ ）（参考数据：1161.0)320sin(,3420.020sin 0≈≈）A ．24,180sin210n n S ⨯⨯= B ．18,180sin 210n n S ⨯⨯= C ．54,360sin210n n S ⨯⨯= D ．18,360sin 210nn S ⨯⨯= 9．对33000分解质因数得115323300033⨯⨯⨯=，则33000的正偶数因数的个数是（ ） A ．48 B ．72 C ．64 D ．96 10．已知函数a x ax e ex f +--+=)(，若c b a ==3log 3，则（ ）A.)()()(c f b f a f <<B. )()()(a f c f b f <<C.)()()(b f c f a f <<D. )()()(a f b f c f <<11．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰∆Rt ，2=AB ，2π=∠=∠CBD BAD ，且二面角C BD A --的大小为65π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．π12B ．π20C ．π24D ．π3612．直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，CD AD AB 22==.若P 为ABC ∆边上的一个动点，且AD n AB m AP +=，则下列说法正确的是（ ）A ．满足21=m 的P 点有且只有一个 B ．n m 21-的最大值不存在 C ．n m +的取值范围是]23,0[ D ．满足1=+n m 的点P 有无数个二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知n x x )12(32-展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值是 .14．某旅行团按以下规定选择E D C B A ,,,,五个景区游玩：①若去A ，则去B ；②C B ,不能同时去；③D C ,都去，或者都不去；④E D ,去且只去一个；⑤若去E ，则要去A 和D .那么，这个旅游团最多能去的景区为 .15．已知双曲线)0(1:2222>>=-b a by a x C 的左右焦点分别为21,F F ，以虚轴为直径的圆O 与C 在第一象限交于点M ，若2MF 与圆O 相切，则双曲线C 的离心率为 .16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….若第n 次“扩展”后得到的数列为1，1x ，2x ，…，t x ，2，并记)21(log 212⋅⋅⋅⋅=t n x x x a Λ，其中12-=n t ，*N n ∈，则数列}{n a 的前n 项和为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在ABC ∆中，角C B A ,,对边分别为c b a ,,，且满足22)(,1c b bc a bc -=-= （1）求ABC ∆的面积； （2）若41cos cos =C B ，求ABC ∆的周长. 18．如图，矩形ABCD 中，42==AB AD ，E 为BC 的中点，现将BAE ∆与DCE ∆折起，使得平面BAE 及平面DEC 都与平面ADE 垂直.（1）求证：//BC 平面ADE ； （2）求二面角C BE A --的余弦值.19.随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过kg 1的包裹收费10元；重量超过kg 1的包裹，在收费10元的基础上，每超过kg 1（不足kg 1，按kg 1计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？20．如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点分别为21,F F ，⊥2MF x 轴，直线1MF 交y 轴于H 点，42||=OH ，Q 为椭圆E 上的动点，Q F F 21∆的面积最大值为1. （1）求椭圆E 的方程；（2）如图，过点)0,4(S 作两条直线与椭圆E 分别交于D C B A ,,,，且使x AD ⊥轴，问四边形ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.21．已知函数x ae ax x x f -+=221)(，)(x g 为)(x f 的导函数. （1）求函数)(x g 的单调区间；（2）若函数)(x g 在R 上存在最大值，求函数)(x f 在),0[+∞上的最大值； （3）求证：当0≥x 时，)sin 23(3222x e x x x-≤++.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点O 重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同.曲线C 的极坐标方程是)4sin(22πθρ-=.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 1t y t x （t 为参数，πα<≤0）.设)2,1(P ，直线l 与曲线C 交于B A ,两点. （1）当0=α时，求||AB 的长度； （2）求22||||PB PA +的取值范围. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数aa x x f 21||)(+-=（0≠a ）. （1）若不等式1)()(≤+-m x f x f 恒成立，求实数m 的最大值； （2）当21<a 时，函数|12|)()(-+=x x f x g 有零点，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．10 14．C 和D 15．3 16．43231-+=+n S n n三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．解：（1）∵bc a c b =-+222，∴21cos =A ，即060=A ， ∴43sin 21==∆A bc S ABC ；（2）∵21)cos(cos =+-=C B A ，∴21cos cos sin sin =⋅-⋅C B C B 由题意，41cos cos =⋅C B ，∴43sin sin =⋅C B ， ∵34sin sin )sin (2==C B bc A a ，∴1=a ， ∴3)(12)(22222-+=--+=-+c b bc c b a c b ∵1222=-+a c b ，∴2=+c b ． ∴ABC ∆的周长为321=+=++c b a ．18.解：（1）分别取DE AE ,中点N M ,，分别连接MN CN BM ,,，则AE BM ⊥且DE CN ⊥∵平面BAE 及平面DEC 都与平面ADE 垂直， ∴⊥BM 平面⊥CN ADE ,平面ADE ，由线面垂直性质定理知CN BM //，又CN BM =， ∴四边形BCNM 为平行四边形，MN BC // 又⊄BC 平面ADE ，∴//BC 平面ADE .（2）如图，以E 为原点，EA ED ,为x ，y 正半轴，建立空间直角坐标系xyz E -，则)2,0,2(),2,2,0(C B .平面ABE 的一个法向量)0,0,1(1=n ，设平面CBE 的法向量),,(2z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅02202222z x EC n z y EB n ，取1-=y 得)1,1,1(2--=n ∴3331||||,cos 212121-=-=<n n n n ，注意到此二面角为钝角， 故二面角C BE A --的余弦值为33-. 19. 解：（1）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率363605f ==， 故可估计概率为35， 显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数X 服从二项分布，即3~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故所求概率为32252314455625C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为830415100+⨯=，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元）， 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为26015310010003⨯⨯-⨯=（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为2351521009753⨯⨯-⨯=（元） 因9751000<，故公司不应将前台工作人员裁员1人.20．解：（1）设)0,(c F ，由题意可得12222=+b y a c ，即ab y M 2=∵OH 是12F F M ∆的中位线，且4OH =∴2MF =，即2b a =，整理得242a b =.①又由题知，当Q 在椭圆E 的上顶点时， 12F F M ∆的面积最大， ∴1212c b ⨯⨯=，整理得1bc =，即()2221b a b -=，② 联立①②可得1246=-b b ，变形得0)12)(1(242=++-b b b ，解得12=b ，进而22=a∴椭圆E 的方程为1222=+y x （2）设),(),,(2211y x C y x A ，则由对称性可知),(),,(2211y x B y x D -- 设直线AC 与x 轴交于点)0,((t ，直线AC 的方程为)0(≠+=m t my x ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x t my x ，消去x ，得022)2(222=-+++t mty y m ，∴22,222221221+-=+-=+m t y y m mt y y ，由A B S 、、三点共线AS BS k k =，即121244y y x x -=--， 将11x my t =+， 22x my t =+代入整理得()()122140y my t t y my t +-++-=， 即()()1212240my y t y y +-+=，从而()()22222402m t mt t m ---=+，化简得()2420m t -=，解得12t =，于是直线AC 的方程为12x my =+， 故直线AC 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭.同理可得BD 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭， ∴直线AC 与BD 的交点是定点，定点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭. 21．解：（1）由题意可知，xae a x x f x g -+==)(')(，则xae x g -=1)('当0)('>x g ，∴)(x g 在),(+∞-∞上单调递增；当0>a 时，解得a x ln -<时，0)('>x g ，a x ln ->，0)('<x g ，∴)(x g 在)ln ,(a --∞上单调递增，在),ln (+∞-a 上单调递减.综上，当0≤a 时，)(x g 的单调递增区间为),(+∞-∞，无递减区间；当0>a 时，)(x g 的单调递增区间为)ln ,(a --∞，单调递减区间为),ln (+∞-a . （2）由（1）可知，0>a 且)(x g 在a x ln -=处取得最大值，1ln ln )ln (1ln--=-+-=-a a aea a a g e，即01ln =--a a ，观察可得当1=a 时，方程成立令)0(1ln )(>--=a a a a h ，aa a a h 111)('-=-= 当)1,0(∈a 时，0)('<a h ，当),1(+∞∈a 时，0)('>a h∴)(a h 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，∴0)1()(=≥h a h ，∴当且仅当1=a 时，01ln =--a a ， 所以x e x x x f -+=221)(，由题意可知0)()('≤=x g x f ，)(x f 在),0[+∞上单调递减， 所以)(x f 在0=x 处取得最大值10021)0(02-=-+⨯=e f . （3）由（2）可知，若1=a ，当0≥x 时，1(-≤fx ，即1212-≤-+x e x x ，可得2222-≤+x e x x ，)sin 23(322)sin 23(32222x e e x e x x x x x --+-≤--++令1]2)3sin 2([12)3sin 2()(2++-=++-=x e e e x e x F x x x x ，即证0)(≤x F令2)3sin 2()(+-=x e x G x ，]3)4sin(22[)3cos 2sin 2()('-+=-+=πx e x e x G x x ∵1)4sin(≤+πx ∴03)4sin(22<-+πx ，又0>x e ，∴ 0]3)4sin(22[<-+πx e x ，∴0)('<x G ，)(x G 在),0(+∞上单调递减，1)0()(-=≤G x G ，∴01)(≤+-≤x e x F ，当且仅当0=x 时等号成立所以)sin 23(3222x e x x x -≤++.22．解：（1）曲线C 的方程是)4sin(22πθρ-=，化为)cos 22sin 22(222θθρρ-= 化为)cos 2sin 22θρθρρ-=，∴x y y x 2222-=+曲线C 的方程为2)1()1(22=-++y x当0=α时，直线2:=y l代入曲线C 可得11±=+x ，解得0=x 或2-∴2||=AB .（2）将⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 1t y t x 代入到2)1()1(22=-++y x 得，03)sin 2cos 4(2=+++t t αα由0>∆，得012)sin 2cos 4(2>-+αα 化简得1)(sin 532≤+<ϕα（其中2tan =ϕ）， ∴3),sin 2cos 4(2121=++-=+t t t t αα∴212212221222)(||||t t t t t t PB PA -+=+=+ 6)(sin 206)sin 2cos 4(22-+=-+=ϕααα∴22||||PB PA +]14,6(∈.23．解：（1）∵)21|(|21||)()(a a m x a a x m x f x f +-+-+-=+- ||||a m x a x -+--=|||)()(|m a m x a x =-+--≤，∴1||≤m即m 的最大值为1.（2）ax a x x x f x g 21|12||||12|)()(+-+-=-+= 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--+<≤+-+-<+++-=21,121321,121,1213)(x a a x x a a a x a x a a x x g ∴)(x g 在]21,(-∞上是减函数，在),21[+∞上是增函数， ∴a a a a g x g -+=--+⨯==2121121213)21()(min 由题意得02121≤-+a a 解得021<≤-a 或1≥a 又21<a ， ∴a 的取值范围是}021|{<≤-a a .。

2020年湖北省黄冈中学高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log2x＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，1）2．（5分）设z＝，是z的共轭复数，则z＝（）A．﹣1B．i C．1D．43．（5分）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值4．（5分）将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．y＝cos x D．y＝sin4x5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是（）A．（30，42）B．（30，42]C．（42，56]D．（42，56）6．（5分）已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π+48，则r＝（）A．2B．4C．1D．37．（5分）已知抛物线C：，定点A（0，2），B（0，﹣2），点P是抛物线C上不同于顶点的动点，则∠PBA的取值范围为（）A．B．C．D．8．（5分）如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）设{a n}（n∈N*）是各项为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列结论错误的是（）A．0＜q＜1B．a7＝1C．K9＞K5D．K6与K7均为K n的最大值10．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且g（x）＝f（x﹣1），则f（2 017）+f（2 019）的值为（）A．﹣1B．1C．0D．无法计算11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN长的最小值为（）A．B．1C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝alnx﹣x+2（a为大于1的整数），若y＝f（x）与y＝f（f （x））的值域相同，则a的最小值是（）（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094）A．5B．6C．7D．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值为．14．（5分）现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．15．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线右支于点M，若，则双曲线的离心率为．16．（5分）已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为边BC的中点，△ABC的面积为．（Ⅰ）求sin∠BAD•sin∠BDA的值；（Ⅱ）若BD＝2AB，，求b．18．（12分）设矩形ABCD中，AD＝4，，点F、E分别是BC、CD的中点，如图1．现沿AE将△AED折起，使点D至点M的位置，且ME⊥MF，如图2．（Ⅰ）证明：AF⊥平面MEF；（Ⅱ）求二面角M﹣AE﹣F的余弦值．19．（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，A为相圆C上一点，AF1与y轴交于B，|AB|＝|F2B|，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线y＝k（x﹣2）（k≠0）交椭圆于P、Q两点若PQ的中点为N，O为原点，直线ON交直线x＝3于点M ．求的最大值．20．（12分）10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W型号，T型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表手机店A B C D E6613811W型号手机销量1291364T型号手机销量（Ⅰ）若在10月1日当天，从A，B这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X表示其中W型号手机销量超过T型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算，W型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部）满足关系η＝3ξ+4．若表中W 型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的W型号手机销售成本的方差S2的值．（用m表示，结论不要求证明）21．（12分）已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）比较与的大小（n∈N+且n＞2），并证明你的结论．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ+4，直线l1的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝3．（Ⅰ）写出曲线C和直线l1的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l2过点P（﹣1，0）与曲线C交于不同两点A，B，AB的中点为M，l1与l2的交点为N，求|PM|•|PN|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax﹣2|．（1）当a＝4时，求不等式f（x）+|4x+2|≥8的解集；（2）若x∈[2，4]时，不等式f（x）+|x﹣3|≤x+3成立，求a的取值范围．2020年湖北省黄冈中学高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log2x＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，1）【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|log2x＜0}＝{x|0＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}＝（01，2）．故选：A．2．（5分）设z＝，是z的共轭复数，则z＝（）A．﹣1B．i C．1D．4【解答】解：∵z＝＝，∴z＝|z|2＝1．故选：C．3．（5分）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值【解答】解：在A中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A 错误；在B中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，没有减弱，故B错误；在C中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差大于11月份的方差，故C错误；在D中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故D正确．故选：D．4．（5分）将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．y＝cos x D．y＝sin4x【解答】解：函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到：y＝sin[2（x+）+]＝sin（2x+）＝cos（2x+），再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为y＝cos（x+）．故选：A．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是（）A．（30，42）B．（30，42]C．（42，56]D．（42，56）【解答】解：∵该程序的功能是计算2+4+6+…值，由循环变量的初值为1，步长为1，第1次循环：S＝0+2＝2 k＝1+1＝2第2次循环：S＝2+4＝6 k＝2+1＝3第3次循环：S＝6+6＝12 k＝3+1＝4第4次循环：S＝12+8＝20 k＝4+1＝5第5次循环：S＝20+10＝30 k＝5+1＝6第6次循环：S＝30+12＝42 k＝6+1＝7由题意，退出循环．此时S＝42，不满足条件，跳出循环，输出k＝7，则判断框内m的取值范围是m∈（30，42]．故选：B．6．（5分）已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π+48，则r＝（）A．2B．4C．1D．3【解答】解：由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，该几何体的体积为×π×9r2×4r+×3r×3r×4r＝24π+48，∴r＝2．故选：A．7．（5分）已知抛物线C：，定点A（0，2），B（0，﹣2），点P是抛物线C上不同于顶点的动点，则∠PBA的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知抛物线的图形如图：当PB与抛物线相切时，∠PBA最大，设直线PB的方程为y＝kx﹣2，联立可得：x2﹣8kx+16＝0，令△＝64k2﹣64＝0，解得k＝±1．此时，∠PBA＝，所以∠PBA的取值范围为：．故选：A．8．（5分）如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设大圆的半径为2，则S大圆＝4π，又S阴＝8×（）＝2π﹣4，所以在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是＝＝，故选：D．9．（5分）设{a n}（n∈N*）是各项为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列结论错误的是（）A．0＜q＜1B．a7＝1C．K9＞K5D．K6与K7均为K n的最大值【解答】解：∵{a n}是各项为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n项的积，由K6＝K7可得a7＝1，故B正确；由K5＜K6可得a6＞1，∴q＝∈（0，1），故A正确；由{a n}是各项为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列单调递减，∴K9＜K5，故C错误；结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确．故选：C．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且g（x）＝f（x﹣1），则f（2 017）+f（2 019）的值为（）A．﹣1B．1C．0D．无法计算【解答】解：∵f（﹣x﹣1）＝g（﹣x）＝﹣g（x）＝﹣f（x﹣1），又f（x）为偶函数，∴f（x+1）＝f[﹣（x+1）]＝f（﹣x﹣1），于是f（x+1）＝﹣f（x﹣1），∴f（x+1）+f（x﹣1）＝0．∴f（2017）+f（2020）＝f（2018﹣1）+f（2018+1）＝0，故选：C．11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN长的最小值为（）A．B．1C．D．【解答】解：作MM1⊥AD于点M1，作NN1⊥CD于点N1，∵线段MN平行于对角面ACC1A1，∴M1N1∥AC．设DM1＝DN1＝x，则MM1＝x，NN1＝1﹣x，在直角梯形MNN1M1，，∴当时，MN的最小值为．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝alnx﹣x+2（a为大于1的整数），若y＝f（x）与y＝f（f （x））的值域相同，则a的最小值是（）（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094）A．5B．6C．7D．8【解答】解：函数f（x）＝alnx﹣x+2（a为大于1的整数），那么f′（x）＝﹣1＝，令f′（x）＝0，可得x＝a，当x∈（0，a），f′（x）＞0，当x∈（a，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（a）＝alna﹣a+2．即f（x）的值域为（﹣∞，alna﹣a+2）．∴f[f（x）]的值域为（﹣∞，alna﹣a+2），∴alna﹣a+2≥a，∴alna﹣2a+2≥0，设g（a）＝alna﹣2a+2，∴g′（a）＝lna﹣1，当1＜a＜e时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当a＞e时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∵g（2）＝2ln2﹣4+2＝2（ln2﹣1）＜0，g（3）＝3ln3﹣4≈3×0.6931﹣4＜0 g（5）＝5ln5﹣8＝5×1.6094﹣8＞0∴a的最小值为5，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值为8．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图形知，当目标函数z＝2x+3y过点A时，z取得最小值；由，求得A（1，2）；∴z＝2x+3y的最小值是2×1+3×2＝8．故答案为：8．14．（5分）现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有240种不同的分法（用数字作答）．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、将电影票分成5组，其中1组是2张连在一起，有5种分组方法，②、将连在一起的2张票分给甲乙，考虑其顺序有A22＝2种情况，③、将剩余的4张票全排列，分给其他四人，有A44＝24种分法，则共有5×2×24＝240种不同分法，故答案为：24015．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线右支于点M，若，则双曲线的离心率为．【解答】解：如图：|MF1|﹣|MF2|＝2a，设|MF2|＝t，则|MF1|＝2a+t，∵sin∠MF1F2＝＝，在△MF1F2中，由正弦定理得＝，即＝，∴t＝2a，∴|MF2|＝2，|MF1|＝（2+2）a，由余弦定理得4c2＝8a2+（12+8）a2﹣2××）a×4c2＝12a2，∴c2＝3a2，∴e＝．故答案为：．16．（5分）已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为．【解答】解：因为，所以2+4+42＝16，又||＝2，所以+2＝3，令||＝t，t＞0则＝＝+t≤2＝2，当且仅当即t＝时取等号，故答案为：2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为边BC的中点，△ABC的面积为．（Ⅰ）求sin∠BAD•sin∠BDA的值；（Ⅱ）若BD＝2AB，，求b．【解答】解：（Ⅰ）由△ABC的面积为且D为BC的中点，可知：△ABD的面积为，由三角形的面积公式可知，由正弦定理可得：2sin∠BAD•sin∠BDA＝1，所以．（Ⅱ）由于BD＝2AB，所以在△ABD中，由正弦定理可得，所以sin∠BAD＝2sin∠BDA，由（1）可知，所以sin∠BAD＝1，，∵∠BAD∈（0，π），∴，在直角△ABD中，，，所以BD＝2，AB＝1．∵BC＝2BD，BC＝4，在△ABC中用余弦定理，可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝，解得：．18．（12分）设矩形ABCD中，AD＝4，，点F、E分别是BC、CD的中点，如图1．现沿AE将△AED折起，使点D至点M的位置，且ME⊥MF，如图2．（Ⅰ）证明：AF⊥平面MEF；（Ⅱ）求二面角M﹣AE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知：AM⊥ME，又ME⊥MF，AM∩MF＝M，AM、MF⊂面AMF，∴ME⊥面AMFAF⊂面AMF，∴AF⊥ME，在矩形ABCD中，AD＝4，，E、F为中点，∴AE2＝42+2＝18，EF2＝22+2＝6，AF2＝8+22＝12，∴AE2＝EF2+AF2，∴AF⊥EF，又∵ME，EF⊂面MEF，∴AF⊥面MEF．解：（2）AF⊂面ABCE，由（1）知面MFE⊥面AFE，且∠AFE＝90°∴以F为原点，FE为x轴，FA为y轴，建立如图的空间直角坐标系，在Rt△MFE中，过M作MN⊥EF于N，，，MF＝2，∴．FN＝MF cos∠MFE＝，∴、、F（0，0，0）、，面AFE的一个法向量为设面AME的一个法向量为，、，则，令x＝1，则，，∴，∴，∴二面角M﹣AE﹣F的余弦值为．19．（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，A为相圆C上一点，AF1与y轴交于B，|AB|＝|F2B|，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线y＝k（x﹣2）（k≠0）交椭圆于P、Q两点若PQ的中点为N，O为原点，直线ON交直线x＝3于点M．求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）连接AF2，由题意得|AB|＝|F2B|＝|F1B|，则BO为△F1AF2的中位线，∵BO⊥F1F2，∴AF2⊥F1F2，且，又，a2＝b2+c2，得a2＝6，b2＝2，故所求椭圆方程为；（Ⅱ）联立，可得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则，，∴，∴PQ的中点N坐标为，．因此直线ON的方程为，从而点M为，则，设，令u＝3k2+1，则＝＝，因此当u＝4，即k＝±1时l有最大值为3，即取得最大值．20．（12分）10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W型号，T型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表手机店A B C D E6613811W型号手机销量1291364T型号手机销量（Ⅰ）若在10月1日当天，从A，B这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X表示其中W型号手机销量超过T型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算，W型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部）满足关系η＝3ξ+4．若表中W 型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的W型号手机销售成本的方差S2的值．（用m表示，结论不要求证明）【解答】解：（I）设事件M1为从A店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W型号手机，设事件M2为从A店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W型号手机，则事件M1，M2相互独立，且P（M1）＝＝，P（M2）＝＝，∴抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率为P ＝++＝．（II）由表格可知W型号手机销售量超过T型号手机的店有2个，故X的肯取值有0，1，2．且P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝．∴X的分布列为：X012P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．（III）∵D（ξ）＝s02＝m，η＝3ξ+4，∴S2＝D（η）＝9D（ξ）＝9m．21．（12分）已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）比较与的大小（n∈N+且n＞2），并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）可化f（x）＝，当0＜x＜a时，，从而f（x）在（0，a）上总是递减的，当x≥a时，，此时要考虑a与1的大小．若a≥1，则f'（x）≥0，故f（x）在[a，+∞）上递增，若0＜a＜1，则当a≤x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，故f（x）在[a，1）上递减，在（1，+∞）上递增，而f（x）在x＝a处连续，所以当a≥1时，f（x）在（0，a）上递减，在[a，+∞）上递增；当0＜a＜1时，f（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当a＝1，x＞1时，x﹣1﹣lnx＞0，即lnx＞1﹣x，所以．所以，＝，，＝，＝，＝．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ+4，直线l1的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝3．（Ⅰ）写出曲线C和直线l1的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l2过点P（﹣1，0）与曲线C交于不同两点A，B，AB的中点为M，l1与l2的交点为N，求|PM|•|PN|．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ+4的直角坐标方程为：x2+y2＝2x﹣4y+4，即（x﹣1）2+（y+2）2＝9，l1：ρ（cosθ﹣sinθ）＝3的直角坐标方程为：x﹣y﹣3＝0；（Ⅱ）直线l2的参数方程（t为参数），将其代入曲线C的普通方程并整理得t2﹣4（cosα﹣sinα）t﹣1＝0，设A，B两点的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝4（cosα﹣sinα）．∵M为AB的中点，故点M的参数为，设N点的参数为t3，把代入x﹣y﹣3＝0，整理得．∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax﹣2|．（1）当a＝4时，求不等式f（x）+|4x+2|≥8的解集；（2）若x∈[2，4]时，不等式f（x）+|x﹣3|≤x+3成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝4时，原不等式即|4x﹣2|+|4x+2|≥8，即|2x﹣1|+|2x+1|≥4，当x时，原不等式等价于（2x﹣1）+（2x+1）≥4，解得x≥1，当﹣＜x＜时，原不等式等价于（1﹣2x）+（2x+1）≥4，不等式无解；当x≤﹣时，原不等式等价于（1﹣2x）﹣（2x+1）≥4，解得x≤﹣1．综上，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）（2）由f（x）+|x﹣3|≤x+3得|ax﹣2|+|x﹣3|≤x+3（*），当x∈[2，3]时，（*）等价于|ax﹣2|+3﹣x≤x+3，即|ax﹣2|≤2x，即|a﹣|≤2，所以﹣2+≤a≤2+，因为≤，所以2+的最小值为，﹣2+最大值为﹣1．所以﹣1≤a≤，当x∈（3，4]时，原不等式等价于|ax﹣2|+（x﹣3）≤x+3，所以|ax﹣2|≤6，所以﹣6≤ax﹣2≤6，即﹣4≤ax≤8．所以﹣≤a≤，因为≤，所以的最小值为2，﹣的最大值为﹣1，所以﹣1≤a≤2，综上，a的取值范围是[﹣1，2]．。