拉氏变换和z变换表(精选.)

附录A 拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质1()([n n k f t dt s s-+=+∑⎰个2．常用函数的拉氏变换和z变换表附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式，即1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

（1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()ii i s s c s s F s →=- （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝1in s ti i c e =∑ (F -4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→11lim[()()]ir r s s dc s s F s ds-→=-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。

附录A 拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质1()([n n k f t dt s s-+=+∑⎰个2．常用函数的拉氏变换和z 变换表附表A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式，即1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

（1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()ii i s s c s s F s →=- （F-2）或iss is A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝1in s ti i c e =∑ (F-4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→11lim[()()]ir r s s dc s s F s ds-→=-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。

附录A拉普拉斯变换及反变换1 •拉氏变换的基本性质常用函数的拉氏变换和变换表附表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表3.用査表法进行拉氏反变换用査表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设F(s)是s 的有理真分式，即F(s)_ 3G) _勺”卍+也严+…+加+仇A(s) a n s11 + 心-is" + ・•・ + qs + a。

式中.系数心仆…'心“和…九亠叽都是实常数S是正整数。

按代数定理可将F(s)展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

(1)4(5)= 0无重根：这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式，即F(s)= -^+_Ea_ + ...+_^+…+_S^_ = £_S_ (F-i)s — s —s — S)s — S fj j=| s — s i式中，51,52,---,5…是特征方程A(s)= 0的根：Cj为待肚常数，称为F(s)在耳处的留数，可按下列两式计算: c i =lim(5 一5Z)F(5)(F-2)f式中，A f(s)为4(s)对s的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式(F-1)可求得原函数为■/(r) = L-1[F(5)] = r,乞丄严(F-4)■】S一S： /-1(2) A(5)= 0有重根：设4($) = 0有r重根$厂F(s)可写为皿巾卷FC r C r_|Cl C r+| c+・・• + ——!— + —+・——-—+ ——-―・・ + —:($ —山)‘ (s-S|)L (s-g) S 一片+1 S —式中,S]为F(s)的r重根,常I，…，召为F(s)的n-r个单根;其中,c r+I,…，c“仍按式(F-2)或式(F-3) 计算，c r, c“…，5则按下式计算:c r = lim(s-y])「F($) fij =limf [(s-y) F(s)] f asds }(s-s{ y F(s)(F-5)B(s)(F-3) Si _ T Hi j(r-i)帆科(_"弘)原函数/(/)为/(r) = r*[F(5)]__ £-1 I『+ I —1 __ | ____ p ( [ + —J _| ________ p Cj______ p(几L(y-g)「(y-$i)z (s-yj y-»+] s-»s_s“=[ —t r~' + (— t r~2 + -• ■ + cJ + c.严+ £cf (F-6) L(r-1)! (r-2)! J $。

附录A 拉普拉斯变换及反变换4194203． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换.设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论.421① 0)(=s A 无重根这时，F （s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式.∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( (F —1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A （s ）＝0的根.i c 为待定常数，称为F （s)在i s 处的留数，可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F —3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F —1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1（F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ,F （s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s ）的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s ）的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式（F-2)或（F-3）计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- )()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5）)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为422[])()(1s F L t f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( (F —6）。

常⽤函数的拉⽒变换和z变换表附录A 拉普拉斯变换及反变换4194204213．⽤查表法进⾏拉⽒反变换⽤查表法进⾏拉⽒反变换的关键在于将变换式进⾏部分分式展开，然后逐项查表进⾏反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A ⽆重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征⽅程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→（F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的⼀阶导数。

根据拉⽒变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；422其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- )()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -=-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11 1111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+??+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。

附录A拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质419102 z 附表A-2常用函数的拉氏变换和z 变换表5 (t)外(t) =2 6(t -nT)n 兰1(t)Tz (z —1)22T z(z+1)拉氏变换E(s)时间函数e(t)Z 变换E(s)丄s 31 s +a(s+a)2 as(sb -a(s + a)(s +b)t n n-ate丄 -atte” -at1 -e-at_bte -ea m 0卑-(宀) T n! c a z-ezZaTz -eT -aTTze； ,2 (z —e )(1-eR)z (z-1)(z-eR)z z-aT —-bTZ-ez-e4213. 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设F(s)是s 的有理真分式，即f , 、 ■ m . ,m-1匚(、_ B(s) b m S + b mj S F(s)— A# \ — n ,A(s) a n S +a^^s式中，系数ao®,…，a n 亠a n 和b o ,bjll,b m 」b m 都是实常数；m,n 是正整数。

按代数定理分以下两种情况讨论。

这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即式中，S H S 2,…，S n 是特征方程 A(s) = 0的根；C i 为待定常数，称为 F(S)在S i 处的留数, 可按下列两式计算：C =lim(s-s)F(s)(F-3)+…+bis + b o n」+…+a 1s + a o(n Am )可将F(s)展开为部分分式。

(1) A(s)=O 无重根:C iC2F(s)—2+…+-2^+…—CL_S-sS-S n irn S-s(F-1)(F-2)s=s i式中，A'(s)为A(s)对s的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式( F-1 )可求得原函数为10423(2) A(S)=O 有重根：设A(S)=O 有r 重根S 1 , F(s)可写为F (S )=r(s-s) (s- Sr G …(s - S )2(z —1)3「n C f (t) =L*(s)]= L 」匡— , =Z C i e st[i 丄 S — S j 」i 4F-4)C r(S-S i )r (S-SjH+…+ C i +CrHi+…+C i +…+ C n(S-S i ) S-S r 韦 S — S i s - S n式中，S i 为F(S)的r 重根， 式(F-2)或式(F-3)计算，C r , C r 」，…，C i 则按下式计算: S rHt , …，S n 为F(s)的n —r 个单根；其中，C r ，…，C n 仍按c 「= lim (s — S i )「F (s) T i dr c-=iS mj-[(s-s) F(s)] i d (D新(S -S i)r F(S)j=ys^id>(S —S i )r F(S)丿 (F-5)原函数f(t)为 f(t) =「〔F(s) C rC i Cr 「+— +■■- + Ci + C f [(s-s)r (s-s)r 」 (s-s) S-S"+■■■ S-S i+亠S-S nC rt 「4 + C「4 t 「"2■+■…L (r -i)!t+ C 2t +C fe Stn+ Z C i e Siti:±4t(F-6)B(s)。

常用的拉氏变换表全集文档(可以直接使用，可编辑实用优质文档，欢迎下载）常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +⎰＝1ln ax bC b x +-+6．2d ()x x ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x+-++ 7．2d ()xx ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x+-++的积分10．x C +11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x⎰＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+15．(0)(0)C b C b ⎧+>+<16．2a bx b -- 17．d x x ⎰＝b 18．x＝2a +（三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +⎰=1arctan x C a a+ 20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰21．22d x x a -⎰=1ln 2x aC a x a-++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++ 24．22d x x ax b+⎰＝2d x b x a a ax b -+⎰25．2d ()xx ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()xx ax b +⎰＝21d a x bx b ax b --+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx+-+ 28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b +++⎰（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac C b ac +<+> 30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分 31．＝1arshxC a+＝ln(x C ++ 32．C +33．xC34．x＝C +35．2x2ln(2a x C ++ 36．2x ⎰＝ln(x C +++37．1lnaC a x + 38．C + 39．x2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C +++41．x ⎰C42．xx ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．x a C +44．2d x x ⎰＝ln(x C x-+++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C ++50．2x ⎰＝ln x C +++51．1arccos aC a x+52．2C a x +53．x 2ln 2a x C +54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰C56．xx ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．x arccos a a C x -+58．x ＝ln x C +++(0)a >的积分 59．＝arcsinxC a+ 60．C +61．x ＝C +62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x ⎰arcsinxC a-+65．1C a +66．C +67．x 2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a -+69．x ⎰＝C70．xx ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-++71．d x x⎰a C +72．2d x x ⎰＝arcsin xC x a--+(0)a >的积分73．2ax b C +++74．x22ax b C +++75．x2ax b C +++76．＝C +77．x 2C ++78．x ＝C +79．x ＝((x b b a C --+80．x ＝((x b b a C --81．C()a b <82．x 2()4b a C -()a b <（十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+ 84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C + 87．sec d x x ⎰＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+ 91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d nx x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d nx x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰99．cos sin d m nx x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n -+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n +----+++⎰100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰tan xa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C+22()a b <105．d cos x a b x +⎰)2xC +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin x a x b x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a114．arcsin d x x x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a ++116．arccos d x x a ⎰＝arccosxx C a- 117．arccos d x x x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a --118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -+ 119．arctand x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+ 121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d xa x ⎰＝1ln x a C a+ 123．e d ax x ⎰＝1e ax C a+ 124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a-+ 125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a --⎰ 126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n x n x a x a x a a--⎰ 128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b-++ 129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b+++ 130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n --+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+ 133．d ln x x x ⎰＝ln ln x C +134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ⎰＝ch x C +138．ch d x x ⎰＝sh x C +139．th d x x ⎰＝ln ch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147． ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰ ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （为大于1的正奇数），＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-（为正偶数），＝2π换元积分法一、第一换元积分法(凑微分法).二、常用凑微分公式注: 以上使用的多为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有a) 可令b) 可令c) 可令当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换.三、第二换元积分法,例题：凑微分法例1求不定积分.例2 求不定分例3计算不定积分.例4 计算不定积分例5求不定积分.例6 求下列不定积分(1) (2)例7 求下列不定积分:(1) ; (2)例8 求下列不定积分:(1) ; (2)例9求不定积分.例10 求下列不定积分:(1) ; (2)例11求下列不定积分(1) (2)例12求不定积分.例13求不定积分.例14求下列不定积分:(1) (2)例15 求下列不定积分:(1) (2)例16求不定积分.例17求.例18 用换元法求不定积分例19 试用换元法求不定积分例20试用换元法求不定积分例21求不定积分.例22 求不定积分第二换元法例23求不定积分例24求不定积分例25计算.例26 求不定积分例27求不定积分例28求不定积分.例29求不定积分例30求不定积分.例31求不定积分. 练习：求下列不定积分2.设, 求常用部首表部首名称表示大概意思例字饣食字旁多与食物、吃有关饭饿饥饮饱馆馍糸紧字底（丝字底）多与织物有关紧系素累紫絮繁土提土旁多与土有关地场坏垃圾块城宀宝盖多与房屋有关室客宁宝安字宽穴穴字头（穴宝盖）多与房屋有关突帘窄空穷穿宿广广字旁（广字头）多与房屋有关庄店库麻床度席厂厂字旁（偏厂）多与房屋有关厅厨厕厢原厚厌门门字框多与房屋门窗有关阔闰闯闻闲闪间户户字头多与房屋门窗有关扇扁启房扉雇肩阝左耳旁（双耳刀）地势高除院隔降队阳阴右耳旁（右耳刀）城郭邻郊耶邮部都郁礻示字旁（示补儿）求福福神视祝礼社祖彡三撇须毛及饰画的花纹彩影形须杉彤彬石石字旁多与石有关碰破礴砖硬码研巾巾字旁（巾字底）多与布有关贴帖帽帐辽幅帆衣衣字底多与衣服有关袋装裹袈裟裂衷火火字旁（火字底）多与火有关灯炒煤烘炬烧烦皿皿字底（皿墩儿）多与器皿有关盆孟盘盒盂盖益见见字旁（见字底）多与视物有关览视现规观觉觅刀刀字旁、刀字头和底多与刀有关切分召象急危刃身身字旁多与人体有关躲射躺躯躬月月字旁（肉月）多与人体有关肚肝肌肤腊肛服页页字旁多与头有关领额颅顺顶顷须耳耳字旁（耳字底）多与耳朵有关取聪耻联聆聋耸目目字旁多与眼睛有关眼睛瞪盯睬眨瞄手手字旁（手字底）多与手的动作有关拿掌挚擎摩擘挛攵反文旁多与手的动作有关攻败收牧放教救爪爪字头多与手的动作有关采舀妥觅孚爬弓弓字旁（弓字底）多与弓箭有关弯引张强弛酉酉字旁多与酒有关酒配醒酿酥刂立刀旁多与刀有关刮刘削划列刻隹隹字旁多与鸟有关集推难雄谁准堆雨雨字头多与气候有关露霞雷雪零雹雾冫两点水多与气候寒冷有关凉冰冷冻冽凛衤衣字旁多与衣服有关补被裤裙袖初褂夂折文从后至备各冬条务卩单耳旁多与符节有关却叩印卸即羽羽字旁、头、底多与羽毛有关翅翔翻翁翠贝贝字旁（贝字底）多与财物有关财购赠货贸贵贫说明：了解部首的意思为了帮助学生更好地理解字的意思。