普通物理学第七版 第十三章 早期量子论和量子力学基础

第13章　早期量子论和量子力学基础13.1　复习笔记一、热辐射 普朗克的能量子假设1．热辐射现象任何固体或液体，在任何温度下都在发射各种波长的电磁波，这种由于物体中的分子、原子受到热激发而发射电磁波的现象称为热辐射，物体向四周所发射的能量称为辐射能．2．基尔霍夫辐射定律（1）辐射相关的物理量单色辐出度M辐出度M （T ）单色吸收比和单色反射比（2）黑体黑体在任何温度下，对任何波长的辐射能的吸收比都等于1．（3）基尔霍夫提出的重要定律在同样的温度下，各种不同物体对相同波长的单色辐出度与单色吸收比的比值都相等，并等于该温度下黑体对同一波长的单色辐出度，即式中，表示黑体的单色辐出度，基尔霍夫定律表明，吸收能力强的物体辐射能力也较强．3．黑体辐射实验定律（1）斯特藩-玻尔兹曼定律：黑体的总辐出度随温度的升高而增大，且满足式中，为斯特藩常量，数值上等于．σ（2）维恩位移定律：黑体单色辐出度的峰值波长与温度成反比，即bT =m λ式中，b 是维恩常量，数值上等于．4．普朗克的能量子假设（1）普朗克能量子假设：辐射黑体分子、原子的振动可以看作谐振子，这些谐振子可以发射和吸收辐射能．但是这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态中，谐振子的能量并不像经典物理所允许的具有任意值．相应的能量是某一最小能量的整数倍ε，其中n 为正整数，称为量子数．这个假设称为普朗克能量子假设．对于频率为v 的谐振子，最小能量为ε＝hv （h 为普朗克常量）（2）普朗克公式式中，c 是光速，k 是玻耳兹曼常量，h 是普朗克常量，h ＝6.6260693（11）×10－34 J·s.二、光电效应 爱因斯坦的光子理论1．光电效应的实验规律（1）实验原理图13-1-1 光电效应实验图如图13-1-1所示，K 为光阴极，A 为阳极，在光照射下阴极可能释放电子，称为光电子．在两极间加上电势差U ，U 不同则形成不同大小的电流由电流计读出，称为光电流．光电流为0时外加电势差的绝对值称为遏止电势差．（2）实验规律①饱和电流单位时间内，受光照的金属板释放出来的电子数和入射光的强度成正比．②遏止电势差光电子从金属板逸出时具有一定动能，最大初动能等于电子的电荷量和遏止电势差的乘积，与入射光的强度无关．③遏止频率（红限）光电子从金属表面逸出时的最大初动能与入射光的频率成线性关系．当入射光频率小于时，不会产生光电效应．0 ④弛豫时间从入射光开始照射直到金属释放出电子，无论光多微弱，几乎都是瞬时的，弛豫时间不超过．910s 图13-1-2 光电效应的伏安特性曲线图13-1-3遏止电势差与频率的关系2．光的波动说的缺陷按照光的经典电磁理论，金属在光的照射下，金属中的电子将从入射光中吸收能量，从而逸出金属表面．逸出时的初动能应决定于光振动的振幅，即决定于光的强度．因而按照光的经典电磁理论，光电子的初动能应随入射光的强度而增加．但实验结果是，任何金属所释出的光电子的最大初动能都随入射光的频率线性地上升，而与入射光的强度无关．3．爱因斯坦的光子理论把光当成以光速运动的粒子流，这些粒子称为光子，每一个光子的能量为光电效应解释如下：当金属中一个自由电子从入射光中吸收一个光子后，可获得能量．如果此能量大于金属表面逸出功A ，这个电子逸出，否则不逸出，与光强无关．光强只决定光子数的多少，决定光电流的大小．根据能量守恒定律，可以得到爱因斯坦光电效应方程式中，是入射光的频率，m 和分别是出射光电子的质量和速度．νmv 4．光的波粒二象性光子的动质量m φ可由相对论的质-能关系式得到m φ的量值应是有限的，视光子的能量而定，而光子的静质量m φ0＝0．光子的动量为动量和能量是描述粒子性的，而频率和波长则是描述波动性的．光的这种双重性质称为光的波粒二象性.三、康普顿效应1．康普顿效应在散射光中，除有与入射线波长相同的射线外，同时还有波长的射线．这种0λ0λλ>改变波长的散射称为康普顿效应．实验结果表明：（1）波长的偏移Δλ＝λ－λ0随散射角φ（散射线与入射线之间的夹角）而异；当散射角增大时，波长的偏移也随之增加，而且随着散射角的增大，原波长的谱线强度减小，而新波长的谱线强度增大；（2）在同一散射角下，对于所有散射物质，波长的偏移Δλ都相同，但原波长的谱线强度随散射物质的原子序数的增大而增加，新波长的谱线强度随之减小．2．光子理论的解释将光子当作能量为、动量为的粒子，与电子发生弹性碰撞，根据动量守恒和能量守恒（电子动能应考虑狭义相对论修正），得到康普顿公式式中，称为康普顿波长．四、氢原子光谱 玻尔的氢原子理论1．氢原子光谱的规律性氢原子发光频率满足以下里德伯方程式中，是波数，k ＝1,2,3,…，n ＝k ＋1,k ＋2,k ＋3,…，R 是里德伯常量，其大小为ν%2．玻尔的氢原子理论玻尔理论的基本假设：（1）定态假设：原子系统只能处在一系列不连续的能量状态，在这些状态电子不辐射也不吸收电磁波．（2）频率条件：当原子从一个能量为的定态跃迁到另一个能量为的定态时，会n E k E 发射或吸收一个频率为的光子．kn ν（3）量子化条件：电子绕核作圆周运动，其稳定状态的角动量L 需满足。

第13章　早期量子论和量子力学基础13-1 估测星球表面温度的方法之一是：将星球看成黑体，测量它的辐射峰值波长λm ，利用维恩位移定律便可估计其表面温度。

如果测得北极星和天狼星的λm 分别为0.35 μm 和0.29 μm，试计算它们的表面温度。

解：根据维恩位移定律，可知与黑体辐射本领极大值相对应的波长与绝对温度T 的乘积为一常数。

则北极星表面温度：天狼星表面温度：。

13-2 在加热黑体过程中，其单色辐出度的峰值波长是由0.69 μm 变化到0.50μm，求总辐出度改变为原来的多少倍?解：设加热前后黑体的温度分别为T 1、T 2，其单色辐出度的峰值波长分别为、，则根据维恩位移定律，可得黑体温度之比为：根据斯特藩-玻尔兹曼定律，可得总辐出度之比为：因此，总辐出度变为原来的3.63倍。

13-3 假设太阳表面温度为5 800 K ，太阳半径为6.96×108 m 。

如果认为太阳的辐射是稳定的，求太阳在1年内由于辐射，它的质量减小了多少?解：由斯特藩一玻尔兹曼定律，太阳通过其表面辐射出的总功率为：太阳在一年内辐射出的总能量为。

由狭义相对论质能关系，可得太阳在一年内的质量亏损：*13-4 黑体的温度T 1＝6000 K ，问λ1＝0.35 μm 和λ2＝0.70 μm 的单色辐出度之比等于多少?当温度上升到T 2＝7000 K 时，λ1的单色辐出度增加到原来的多少倍?解：（1）利用普朗克单色辐出度公式：可得时，和的单色辐出度之比：而因此，单色辐出度之比：。

（2）当黑体温度上升到时，的单色辐出度：与温度为T 1时，黑体的单色辐出度的比值：解得：代入上式可得：。

*13-5 假定太阳和地球都可以看成黑体，如太阳表面温度T S ＝6 000 K ，地球表面各处温度相同，试求地球的表面温度（已知太阳的半径R S ＝6.96×105 km ，太阳到地球的距离r ＝1.496×108 km ）。

第13章　早期量子论和量子力学基础13.2　课后习题详解一、复习思考题§13-1 热辐射普朗克的能量子假设13-1-1 两个相同的物体A和B，具有相同的温度，如A物体周围的温度低于A，而B物体周围的温度高于B．试问：A和B两物体在温度相同的那一瞬间，单位时间内辐射的能量是否相等？单位时间内吸收的能量是否相等？答：单位时间内辐射的能量和吸收的能量不相等．（1）物体的辐出度M（T）是指单位时间内从物体表面单位面积辐射出的各种波长的总辐射能．由其函数表达式可知，在相同温度下，各种不同的物体，特别是在表面情况（如粗糙程度等）不同时，Mλ（T）的量值是不同的，相应地M（T）的量值也是不同的．若A和B两物体完全相同，包括具有相同的表面情况，则在温度相同时，A和B两物体具有相同的辐出度．（2）A和B两物体在温度相同的那一瞬间，两者的温度与各自所处的环境温度并不相同，即未达到热平衡状态．因为A物体周围的环境温度低于A，所以物体A在单位时间内的吸收能小于辐射能；又因为B物体周围的环境温度高于B，所以物体B在单位时间内的吸收能大于辐射能．因为两者的辐出能相同，所以单位时间内A物体从外界吸收的能量大于B物体从外界吸收的能量．13-1-2 绝对黑体和平常所说的黑色物体有何区别？绝对黑体在任何温度下，是否都是黑色的？在同温度下，绝对黑体和一般黑色物体的辐出度是否一样？答：（1）①绝对黑体（黑体）是指在任何温度下，对任何波长的辐射能的吸收比都等于1，即aλ（T）＝1的物体．绝对黑体不一定是黑色的，它是完全的吸收体，然而在自然界中，并不存在吸收比等于1的黑体，它是一种像质点、刚体、理想气体一类的理想化的物理模型．实验中通常以不透明材料制成开有小孔的空腔作为绝对黑体的近似，空腔的小孔就相当于一个黑体模型．②黑色物体是指吸收大部分色光，并反射部分复色光，从而使人眼看不到其他颜色，在人眼中呈现出黑色的物体．现实生活中的黑色物体的吸收比总是小于1，如果吸收比等于1，那么物体将没有反射光发出，人眼也就接收不到任何光线，那么黑色物体也就不可视了．因为绝对黑体对外界的能量不进行反射，即没有反射光被人眼接收，从这个角度讲，它是“黑”的．如同在白天看幽深的隧道，看起来是黑色，其实是因为进入隧道的光线很少被发射出来，但这并不代表隧道就是黑色的．然而，黑色物体虽然会吸收大部分色光，但还是会反射光线的，只是反射的光线很微弱而已．所以，不能将黑色的物体等同于黑体．（2）绝对黑体是没有办法反射任何的电磁波的，但它可以放出电磁波来，而这些电磁波的波长和能量则全取决于黑体的温度，却不因其他因素而改变．黑体在700K以下时，黑体所放出来的辐射能量很小且辐射波长在可见光范围之外，看起来是黑色的．若黑体的温度超过700K，黑体则不会再是黑色的了，它会开始变成红色，并且随着温度的升高，而分别有橘色、黄色、白色等颜色出现，例如，根据冶炼炉小孔辐射出光的颜色来判断炉膛温度．（3）不一样．因为绝对黑体的吸收比大于黑色物体的吸收比，所以在相同温度下，绝对黑体比一般黑色物体吸收更多的辐射能，从而绝对黑体的辐出度比一般的黑色物体大．13-1-3你能否估计人体热辐射的各种波长中，哪个波长的单色辐出度最大？答：远红外波段的单色辐出度最大．设人体正常体温为37℃（即310 K ），根据绝对黑体的辐出度按波长的分布规律进行估算，再结合维恩位移定律得可得因为此波长处于远红外波段，所以远红外波段的单色辐出度最大．13-1-4 有两个同样的物体，一个是黑色的，一个是白色的，且温度也相同，把它们放在高温的环境中，哪一个物体温度升高较快？如果把它们放在低温环境中，哪一个物体温度降得较快？答：（1）黑色物体升温较快．根据基尔霍夫辐射定律可知，在同样的温度下，各种不同物体对相同波长的单色辐出度与单色吸收比之比值都相等，并等于该温度下黑体对同一波长的单色辐出度．所以当一个物体的吸收比越大时，其辐出度也越大，这一定律通俗地说就是好的吸收体也是好的辐射体．因为两物体温度相同，且放置在相同的高温环境中，所以两物体都处于吸收大于辐射的状态．但由于黑色物体的吸收能力比白色物体强，因此，升温较快的是黑色物体．（2）黑色物体降温较快．因为两物体温度相同，且放置在相同的高温环境中，所以两物体都处于辐射大于吸收的状态．又因黑色物体既是良好的吸收体，又是良好的辐射体，其辐射能力比白色物体强，所以，降温较快的是黑色物体．13-1-5 若一物体的温度（绝对温度数值）增加一倍，它的总辐射能增加到多少倍？答：设单位时间、单位面积绝对黑体的总辐射能为M0（T），则由斯特藩-玻耳兹曼定律得M0（T）＝σT4即当绝对黑体的温度增加一倍时，它的总辐射能将增至原来的16倍．§13-2 光电效应爱因斯坦的光子理论13-2-1 在光电效应的实验中，如果：（1）入射光强度增加1倍；（2）入射光频率增加1倍，按光子理论，这两种情况的结果有何不同？答：（1）若入射光光强I增加1倍，在相同的加速电势差下，光电流的量值也较大，相应的I H也增大，说明从电极K逸出的电子数增加了，即逸出金属的光电子数会增加1倍；（2）若入射光频率v增加1倍，则电子作用的每个光子的能量会增加1倍．因为入射光强度不变，根据（对同一金属，U0为恒量，K为不随金属性质类别而改变的普适恒量）可知，逸出金属后的光电子的最大初动能增大．13-2-2 已知一些材料的逸出功如下：钽4.12 eV，钨4.50 eV，铝4.20 eV，钡2.50 eV，锂2.30 eV．试问：如果制造在可见光下工作的光电管，应取哪种材料？答：可见光的波长范围在（400～760）nm之间，由可知，对应的光子能量范围在（1.64～3.11）eV之间．因为光电管的工作原理是光电效应，所以要使电子能够从金属中逸出，则必须满足光子的能量hv大于电子从金属表面逸出时所需的逸出功A，根据这一条件进行筛选可知，制造在可见光下工作的光电管，应取的材料为钡和锂．13-2-3 光子在哪些方面与其他粒子（譬如电子）相似？在哪些方面不同？答：（1）相似点①光子和其他实物粒子（譬如电子）都是微观粒子，具有波粒二象性，即都具有一定的动量、质量和能量，同时能够表现出经典波的折射、干涉、衍射等性质；②都遵循量子力学规律．（2）不同点①光子没有自旋,电子有自旋；②光子是不带电的（电中性），电子带电荷（正电荷或负电荷）；③光子的静止质量为零，电子的静止质量不为零；④光子的频率一般比较高,能量比较大，而电子的能量相对而言比较小．13-2-4 用频率为v1的单色光照射某光电管阴极时，测得饱和电流为I1；用频率为v2的单色光以与v1的单色光相等强度照射时，测得饱和电流为I2．若I2＞I1,v1和v2的关系如何？答：当两种单色光的光强相同时，因I＝Nhv，则有N1h1v1＝N2h2v2．又因为入射光光强正比于饱和光电流，所以饱和电流I与光子数N的关系为，所以v1＞v2．13-2-5 用频率为v 1的单色光照射某光电管阴极时，测得光电子的最大动能为；用频率为v2的单色光照射时，测得光电子的最大动能为，若＞，v1和v2哪一个大？答：因为对于同一个光电管的阴极材料而言，其逸出功是个常数，与入射光的频率等无关．所以由爱因斯坦光电效应方程，有又，所以v1＞v2．§13-3 康普顿效应13-3-1 用可见光能否观察到康普顿散射现象？答：不能．康普顿效应是指散射光中除了有原波长λ0的X光外，还产生了波长λ＞λ0的X光，其。

1900年，普朗克为了解释黑体辐射问题，提出振荡偶极子的能量是不连续的假设，得到与实验结果相符合的黑体辐射公式；爱因斯坦、康普顿进一步提出光子学说，揭示了光的波粒二象性；1913年，玻尔根据卢瑟福的原子有核模型，提出氢原子的量子论；1924年，德布罗意提出实物粒子的波粒二象性，提出了物质波的假说，并为电子衍射实验证实；1925－1932，薛定谔、海森堡、玻恩、狄拉克提出描写微观粒子运动的新理论－量子力学； 量子力学、相对论成为近代物理学的两块理论基石。

热辐射现象:任何固体、液体，在任何温度下都在发射各种波长的电磁波－热辐射；辐射能:热辐射具有连续的辐射能谱－远红外到紫外；同一物体在一定温度下辐射的能量在不同光谱区域分布不均匀，温度越高，能量最大的辐射对应的波长越短；温度越高，辐射的总能量越大；基尔霍夫辐射定律(1)单色辐出度的辐射能－发射的，波长在间、物体单位面积：一定温度下，单位时λλλλλλd d d d M M M =(2)辐出度：一定温度下，单位时间、物体单位面积发射的各种波长的总能量λλd )()(0⎰∞=T M T M同一温度下，不同物体辐出度不同；范围的反射比；－：在波长单色反射比范围的吸收比；－：在波长单色吸收比λλλλλλd )(d )(T r T a。

比可以得到单色辐出度体，由物体的单色吸收好吸收体也是好的辐射的单色辐出度。

长该温度下黑体对同一波并等于色吸收比的比值相等，波长的单色辐出度与单温度下，不同物体相同基尔霍夫定律：在同样－绝对黑体，黑体；的吸收比等于，任何温度、任何波长)(...)()()()(11)(1)()(012121111T M T a T M T a T M T a T r T a λλλλλλλλ=====+斯特藩－玻尔兹曼定律 对黑体维恩位移定律 对黑体用于高温测量、遥感、红外追踪等，P319。

普朗克量子假说维恩在1893年假设黑体辐射能谱分布与麦克斯韦速率分布类似得出维恩公式，短波长符合很好，长波长相差较大。