垂径定理+圆中的角(修改)
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∙第2题图 G
F O
E D
C
B A ∙第1题图 E D
C B
A 垂径定理+圆中的角
垂径定理推论一：对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个：
①垂直于弦，②过圆心，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧。
（当以①、③为题设时，“弦”不能是直径。
）
【例】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则22CD AB +＝（ ） A 、28 B 、26 C 、18 D 、35
练习:1、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 、AD 的长。
2、如图，⊙O 的半径为10cm ，G 是直径AB 上一点，弦CD 经过点G ，CD ＝16cm ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，求AE －BF 的值。
3、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，且AC ＝6，AB ＝8，求CE 的长。
例 图 E
O
D C
B A
∙
第3题图
O
E
D
C
B
A
4. 圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ） A. 3≤OM ≤5 B. 4≤OM ≤5 C. 3＜OM ＜5 D. 4＜OM ＜5
圆中的角度问题
例.如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝1000，点P 在△ABC 的外部，并且PC ＝BC ，求∠APB 的度数。
一、选择题：
1、已知AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C ，∠A ＝500，点P 是⊙O 上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是（ ）
A 、650
B 、1150
C 、650或1150
D 、1300或500
2、如图，AB 是⊙O 的直径，DB 、DC 分别切⊙O 于B 、C ，若∠ACE ＝250，则∠D 为（ ）
A 、500
B 、550
C 、600
D 、650
P ' ∙
例 图 P C B A
3、如图，⊙O 经过⊙O 1的圆心O 1，∠ADB ＝α，∠ACB ＝β，则α与β之间的关系是（ ）
A 、β＝α
B 、αβ21800
-=
C 、
)90(210αβ-=
D 、)180(210αβ-=
二、填空题：
4、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则x ＝ 。
5、如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，当BC 平分∠ABO 时，能得出结 论 （任写一个）。
6、如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是⊙O 上的点，则∠1＋∠2＝ 。
7、如图，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于C ，延长PO 交⊙O 于点B ，PA ＝AB ，PD 平分∠APB 交AB 于点D ，则∠ADP ＝ 。
∙
第 2 题图
E
O D
C
B
A 1
O
∙ ∙
第 3 题图
O
D
C
B
A
∙
第 5 题图 O
C B
A
∙
第 6 题图
2 1 D
E
O
C
B A
∙
第 7 题图
P
D
O
C
B
A
0 70 x ∙ 第 4 题图 O
D
C
B A
8、如图，⊙O1与⊙O2为两个等圆，O1在⊙O2上，O2在⊙O1上，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，过B的直线交⊙O1于C，交⊙O2于D，过C作⊙O1的切线CE与过D作⊙O2的切线DE交于E，则∠E＝。
三、计算题或证明题：
9、如图，已知P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，OP与AB相交
于点M，C为
⋂
AB上一点。
求证：∠OPC＝∠OCM。
2
O
1
O∙
∙
第8 题图
E
D
C
B
A
∙
第9题图
O
M
P
C
B
A
10、如图，⊙O的直径AB＝6，P为AB上一点，过P作⊙O的弦CD，连结AC、
BC，设∠BCD＝m∠ACD，当
3
4
7+
=
AP
BP
时，是否存在正实数m，使弦CD
最短？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。
∴
∙
第10 题图
P O
D
C
B A。
