圆的垂径定理

初中九年级圆垂径定理

初中九年级圆垂径定理是初中数学中的一条重要定理，它指出：如果一条直线垂直于圆的一条弦，那么这条直线就称为这条弦的垂径。下面我们来总结一下这个定理的具体内容和证明方法。

一、圆垂径定理的具体内容：

对于任意一个圆，如果有一条直线垂直于圆上的一条弦，那么这条直线就称为这条弦的垂径。垂径与弦的关系是：垂径通过弦的中点，并且垂径两端与圆相交的点与该弦两端与圆相交的点构成的四个点构成一个矩形。

二、圆垂径定理的证明方法：

1. 首先，连接圆心和垂足，将圆垂径问题转化成一个三角形和一个圆交点的问题。

2. 然后，通过割圆等分弧的方法，证明垂线与弦长度相等。

3. 最后，根据直角三角形的性质，证明垂足在弦的中点上。

三、圆垂径定理的应用：

圆垂径定理在数学中有广泛的应用，例如：

1. 计算圆弧长度和面积，特别是在环形的测量问题中应用。

2. 解决不同形式的分割问题，例如分割圆弧使其长度达到所需大小的问题。

3. 通过圆垂径定理，证明圆心角定理，从而推出其他的几何定理。

综上所述，初中九年级圆垂径定理是数学中的重要定理之一。通过学习和掌握这个定理，我们可以更好地理解和应用各种形式的几何问题。

初中数学中，垂径定理是一个常见且重要的命题和定理，它在解决相关几何问题中起到了关键的作用。下文将从垂径定理的概念入手，深入解析其原理和应用，并列举一些相关的例题，以便读者更加深入地理解和掌握这一重要定理。

一、垂径定理的概念

垂径定理是指：如果在一个圆上，直径的两端连接圆上任意一点，那么这两条线段所夹的角都是直角。简而言之，垂径定理可以理解为描述直径和圆上一点所构成的角是直角的规律。

二、垂径定理的证明

1. 引理：直径是任意一点的最短距离。这是基本的几何定理，无需证明。

2. 证明：设在圆上有直径AB，圆上的一点C。连接AC和BC两条线段。假设∠ACB不是直角，而是锐角或钝角。那么，以AC为直径作圆，由于ACB不是直角，必定有另一个点D在圆上，使得∠ADB是锐角或钝角。根据引理，AD+DB要小于或等于AE+EB，而AE+EB等于AB，所以AD+DB小于或等于AB，这与AD+DB等于AB矛盾。由此可知，∠ACB必须是直角。

三、垂径定理的应用

垂径定理在实际问题中有着广泛的应用。通过运用垂径定理，我们可以解决许多与圆相关的问题，如圆的切线问题、直线与圆的位置关系问题等。

1. 圆的切线问题

由垂径定理可知，连接圆上点和圆心构成的线段为直径，因此连接切点和圆心的线段垂直于切线。这一性质是圆的切线问题得以解决的基础。

2. 直线与圆的位置关系问题

利用垂径定理，可以判断直线与圆的位置关系。当直线与圆相切时，由于切点和圆心连线垂直于切线，可根据垂径定理得出直线与圆相切的结论。

四、垂径定理的例题

1. 已知AB是⊙O的直径，C,D是圆周上的两点，AC与BD相交于E，割⊙O的弦AE与BE的关系为（ ）

A. AE=BE B. AE>BE C. AE

解析：根据垂径定理可知，连接圆上点和圆心构成的线段为直径，因此以AE为直径的⊙O必定经过B点，以BE为直径的⊙O必定经过A点，所以EA=EB。

2. 如图，在直径AB上取一点C，过点C作弦CD，与⊙O交于点E，连接AE、EB，若CD与AB垂直，求证：AC=CB。

垂径定理十个推论及证明

一、垂径定理回顾。

垂径定理是圆这一章节中相当重要的定理哦。简单来说就是垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。就像是圆里面的一种特殊的对称关系，直径就像对称轴一样，把弦和它所对的弧都给平分啦。

二、推论一。

1. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧。

- 证明：设圆O，直径AB平分弦CD（CD不是直径），交点为E。连接OC、OD。因为OC = OD（都是圆的半径），CE = DE（已知AB平分CD），OE = OE（公共边），所以三角形OCE全等于三角形ODE（SSS）。那么∠OEC = ∠OED，又因为∠OEC+∠OED

= 180°，所以∠OEC = ∠OED = 90°，即AB垂直于CD，同时也能证明它平分弦CD所对的两条弧。

三、推论二。

1. 弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧。

- 证明：设弦AB，它的垂直平分线为MN，交点为E。在圆O中，任取一点P（不在AB上），连接PA、PB、OA、OB。因为MN是AB的垂直平分线，所以AE = BE。又因为OA = OB（半径），OE = OE（公共边），所以三角形OAE全等于三角形OBE（SSS）。所以∠AOE = ∠BOE，这就说明MN经过圆心O，并且平分弦AB所对的两条弧。

四、推论三。

1. 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。

- 证明：设圆O，直径CD平分弦AB所对的劣弧AB，交点为M。连接OA、OB。因为CD平分弧AB，所以∠AOD = ∠BOD。又因为OA = OB（半径），OD = OD（公共边），所以三角形AOD全等于三角形BOD（SAS）。所以AM = BM，∠OMA = ∠OMB，又因为∠OMA+∠OMB = 180°，所以∠OMA = ∠OMB = 90°，即CD垂直平分AB，同时也平分弦AB所对的优弧。

五、推论四。

1. 在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理

1.弦心距：

（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

2.垂径定理及推论：

（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（3）弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。

（4）平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦

（5）平行弦夹的弧相等。

1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。

2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求（1）求半圆的半径长；（2）BE的长度。

3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径

1、（2011年北京四中中考模拟18）已知：如图1，AB是⊙O的弦，半径OC图1 ⊥AB于点D，且AB=8m，OC=5m，则DC的长为（ ）

A 3cm B 2.5cm C 2cm D 1cm

2、（2011年北京四中中考模拟20）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是( )

A、1.5 B、2 C、2.5 D、3

3、（2011年浙江杭州五模）如图，圆O过点Ｂ、Ｃ，圆心Ｏ在等腰直角ABC的内部，090,1,6BACOABC，则圆O的半径为（

）

Ａ、13 Ｂ、１３ Ｃ、６ Ｄ、213

A