全维观测器

2. 渐近状态观测器
Asymptotic state observer 前面讨论的开环状态观测器没有利用被控系统的可直接测量 得到的输出变量来对状态估计值进行修正，估计效果不佳
ˆ (t ) 将会因为矩阵A 具有在 s 平面 其估计误差 x (t ) x 右半闭平面的特征值，导致不趋于零而趋于无穷或 产生等幅振荡。
A11 0 A A 21 A 22
B1 B B 2
C [C1 0]
其中(A11, C1)可观测，A22的特征值具负实部。现构造如下的
动态系统
ˆ Ax ˆ Bu G(y Cx ˆ) x
根据前面的分析：
(A GC)x x
因此，状态观测器的设计问题归结为求反馈矩阵G，使 A-GC 的所有特征值具有负实部及所期望的衰减速度
即状态观测器的极点是否可任意配置问题。
对此有如下定理。
定理10-3（P255）
定理 渐近状态观测器的极点可以任意配置, 即通过矩阵G 任意配置A-GC的特征值的充要条件为矩阵对(A,C)可观。
对于存在噪声干扰时的状态观测或估计问题，则可
用卡尔曼(Kalman)滤波理论来分析讨论(最优估计)。
本节主要讨论状态观测器理论。
重点掌握:
状态观测器的结构、误差分析、设计方法
带状态观测器的状态反馈闭环系统的分析
10.3.1 全维状态观测器及其设计
Full-dimensional state observer 下面分别介绍
问题，对期望的极点的选择应注意下列问题:
1. 对于n阶系统，可以而且必须给出 n 个期望的极点。 2. 期望极点必须是实数或成对出现的共轭复数。

第 ６期
＼
Ａ
Ｐ
： 巾 ＋ 一，１ ０ Ｑ ， ／ ＜
（ ５ ）
定理 ２ 定理 １ 的条件等价于存在正定对称矩阵 Ｘ∈Ｒ 和矩阵 Ｙ∈Ｒ …） ， … （ Ｘ Ｑ∈Ｒ 使得下列线 ｎ … 性矩阵不等式可解 ：
＼
肌
Ｖ ）Ａ＋ ｙ ￣
，
Ｔ ＋ Ｑ
、
Ｂ （ Ｅ＋ ｙ Ｘ Ｅ ）
ｌ （ ， Ｍ （ ， ， ）ｌ ｌ ｔ ， ）一 ｔ允 Ｍ ｌ≤ ｌ 一允 ｌ ｌ Ｆ（ ）ｌ （） ２
其中， Ｆ是 适维 矩 阵 。
２ 全 维 观 测 器 的 设计
考虑 下列 全维 观测 器 ： Ｅ曼 ＝４ 允＋Ｂ （， Ｍ ｔ ， ）一Ｌ Ｙ—Ｃ ） （ Ｙ （） ３
Ｙ＝ （ ． ５ —０ ９ ７５ ０ ０ ９９ ．７ ）
Ｑ ＝ （ ． ２ ０ １ ６６ 一１ ２ ７８ ． １ ）
那么存在 Ｌ ＝（ Ｅ＋Ｅ ）Ｔ Ｉ 的全维观测器。 Ｘ Ｙ Ｉ Ｔ Ｑ 我们在此主要给出求解 （ ） ６ 式的程序 ； 同时给出全维观测器的仿真结果与程序。 求解线性矩阵不等式的程序如下 ： Ｅ＝［ ００ ； １ ０； ］ Ａ＝［ ； ］ ２ｌ ０Ｉ ； Ｂ＝［． ． ； ． ． ］ ０ ５ ２ ０３０６ ； ０ Ｃ＝［ ］ ２１ ； Ｆ＝［ ０１ ； １ ０； ］ Ｍ ＝［ ］ ０１ ；
３ 实 例 仿 真 】
Ｅ（ ， （ ， （ ｃ ｃ・ ＝ ＝ Ａ ）＝：三， ２ （ ）＝ 日 ３ ： ＝ ， ） ； ） Ｆ
取Ｅ ＝（ １ ， ０ ）解线性矩阵不等式（ ） ６ 可得
， ． １ ０ ０ ００、 ０ ７ ４９ ．０
Ａ ＝ Ｉ Ｉ
、 ． ０ １ １ １８ ０ ０ ００ ． ６ ，

第五章 状态反馈和状态观测器3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。

(1)写出系统状态空间表达式；(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j 53±-上。

)(t y题3-5-1图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：[]x y u x x 10112101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 23111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c U rank U系统能控，可以设计状态反馈阵。

设状态反馈阵为][21k k K = 状态反馈控制规律为：Kx r u -= 求希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求加入反馈后的系统特征多项式：)22()3()(1212k s k k s bK A sI s f ++-++=+-=依据极点配置的定义求反馈矩阵：]1316[131634)22(6)3(21112=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+-K k k k k k 方法二：[][][]1316)346(311110)(*10211=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--I A A A f U K c方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发）求系统传递函数写出能控标准型：2321)111()()(2++-=+-+=s s ss s s U s Y []xy u x x 10103210-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 求系统希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求状态反馈矩阵K ~：[][][]33236234~21=--==k k K [][][][]5.05.031111010111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--Ab bP⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=105.05.011A P P P []1316~==P K K依据系统传递函数写出能控标准型ss s s s s s U s Y 2310)2)(1(10)()(23++=++= []x y u x x 0010100320100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=求系统希望特征多项式：464]1)1)[(2()(*232+++=+++=s s s s s s f求状态反馈矩阵：[][][]144342604321=---==k k k K 。

Signal input single output SISO 单输入单输出Dynamic system 动态系统Multivariable control 多变量控制Multi input and multi output 多输入多输出Root locus method 根轨迹方法Time domain 时域Disturbance 干扰Frequency domain 频域Stochastic system 随机系统Phase 相位Uncertainty 不确定性Distributed parameter system 分布参数系统Discrete system 离散系统Robust control 鲁棒控制System identification 系统辨识Adaptive control 自适应控制Simulation 仿真Nonlinear 非线性Symbolic computation 符号计算Toolbox 工具箱Numerical computation 数值计算Diagonal canonical form 对角线规范形Jordan canonical form 约当规范形Controlled system 受控系统、被控系统Ordinary differential equation 常微分方程Derivative 导数Time-invariant system 定常系统、时不变系统Matrix 矩阵Continuous-time system 连续系统、连续时间系统Time-varying system 时变系统、非定常系统Output equation 输出方程Mathematic model 数学模型Linear system 线性系统Vector 向量State 状态State equation 状态方程State trace 状态轨迹State space model 状态空间模型Transfer function 传递函数Inverted pendulum 倒立摆Diagonal matrix 对角线矩阵Fourier transformation 傅里叶变换Inertial element 惯性环节Block diagonal matrix 块对角矩阵Linearization 线性化Phase variable 相变量Strictly proper rational function 严格真有理函数Companior matrix 友矩阵Jordan matrix 约当矩阵Adjoint matrix 伴随矩阵Non-singurler matrix 非奇异矩阵、可逆矩阵Generality eigenvector 广义特征向量Canonical form 规范形、标准形、典范形Geometric multiple number 几何重数Algebraic multiple number 代数重数Characteristic polynomial 特征多项式Characteristic equation 特征方程Eigenvecto 特征向量rLinear transformation 线性变换Rank 秩Parallel connection 并行联接Transfer function matrix 传递函数矩阵Series connection 串联联接Feedback connection 反馈联接Laplace transformation 拉普拉斯变换Rational matrix function 有理矩阵函数Composition system 组合系统Analog to Digital converter A/D 转换、数模转换Digital to Analog converter D/A 转换、数模转换z transformation z变换sampled system 采样系统difference equation 差分方程discrete-time system 离散系统、离散时间系统delay 延迟initial time 初始时间initial state 初始状态polynomial 多项式non-homogenerous state equation 非齐次状态方程step signal 阶跃信号matrix exponent function 矩阵指数函数convolution 卷积zero-input response 零输入响应zero-state response 零状态响应impulse response 脉冲响应impulse signal 脉冲信号homogenerous 齐次性homogenerous state equation 齐次状态方程output response 输出响应state transistion matrix 状态转移矩阵Cayley-Hamilton Theorem 凯莱-哈密顿定理Momic polynomial 首一多项式Minimal polynomial 最小多项式Recursive algorithm 递推算法Gram matrix 格拉姆矩阵Functional linear independence 函数线性无关Functional linear denpendence 函数线性相关Modality criterion 模态判据Controllability 能控性、可控性Controllability Matrix 能控性矩阵Output controllability 输出能控性Rank criterion 秩判据State controllability 状态能控性Observability 能观测性、可观测性Observability matrix 能观性矩阵Observability criterion 能观性判据Reachability 能达性、可达性Duality 对偶性Structural decomposition 结构分解Zero 零点Zero-pole cancel 零极点相消Subspace 子空间Subsystem 子系统Luenberger controllability canonical form 龙伯格能控规范形Observability canonical form 能观规范形controllability canonical form 能控规范形controllability index 能控性指数Wonham controllability canonical form 旺纳姆能控规范形System realization 系统实现Minimal realization 最小实现Definite sign 定号性Norm 范数Non-positive definite matrix 非正定矩阵Euclidean norm 2-norm 欧几里德范数、2范数Equilibrium state 平衡点Input-output stability 输入输出稳定性Stability 稳定性Consistent stability 一致稳定Bounded-input bounded-output stability BIBO stability 有界输入有界输出稳定性State stability 状态稳定性Algebraic equation 代数方程Symmetry matrix 对称矩阵Quadratic function 二次型函数Non-negative definite matrix 非负定矩阵Negative definite matrix 负定矩阵Asymptotic stability 渐进稳定Sylvester Theorem 赛尔维斯特定理Stability criterion 稳定判据Jacobi matrix 雅可比矩阵Positive-definite matrix 正定矩阵Output feedback 输出反馈State feedback 状态反馈Pole assignment 极点配置System synthesis 系统综合Stable control 镇定控制Compensator decouple 补偿器解耦Decouple 解耦Observer 观测器Reduction-dimension observer 降维观测器Full-dimension observer 全维观测器State estimation 状态观测器State observating error 状态观测器误差State observatory 状态观测器。