《一题可破万题山——二次函数压轴题常见模型小结》--学生用

——二次函数压轴题常见模型小结DBO AxyC问题1：求抛物线解析式和顶点D 坐标12()()y a x x x x =--2y ax bx c=++2()y a x h k=-+十字相乘配方法（★）12轴交点(，0)、(，0)x x x 轴交点（0，c ）y 顶点（h,k ）原始三角形：重视四点围成的三角形（边、角关系）函数 点形2223(3)(1)(1)4y x x y x x y x =+-=+-=+-问题2：判断△ACD 的形状，并说明理由DBOAxyCD （-1，-4）BOA （-3,0）xyC （0，-3）问题3：E是y轴上一动点，若BE=CE,求点E的坐标DB OA xyCB（1,0）O xyC（0，-3）B（1,0）O xyC（0，-3）问题4：抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AC与点N，在线段PM、MN中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P的坐标。

DB OA xyC最大值及此时点P 的坐标DBO Ax yC PH DB O Ax yC PHEFDB O AxyC PHE F于G ，PH 为邻边作矩形PEGH ，求矩形PEGH 周长的最大值。

DBO Ax yCDB O AxyC PHEG问题7：在对称轴上找一点P，使得△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BCP的周长DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题8：在对称轴上找一点P，使得∣PA-PC∣最大，求出P点坐标DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题9：线段MN=1，在对称轴上运动（M 点在N 点上方），求四边形BMNC 周长的最小值及此时M 点坐标DBOAxyC已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA=OC=3,顶点为D 2y x bx c =++B （1,0）OA （-3,0）xyC （0，-3）.x=1NB ’ B ’’M将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。

中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。

4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。

举例如下：已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。

解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032≥-=∆m ，()m m x 213∆±-=，mx 321-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122；∴ ⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

中考数学倒计时30：二次函数压轴的十几种问题方法思路总结二次函数压轴题当中，同学们会遇到各种各样的解答问题，那么最常见的那些，今天就带同学们一块总结一下，方便大家记忆解题方法。

我们只说一下方法，过程就不再详细说了，在以前的题目中都有过程。

1.首先是最简单的一种问题，给定两个固定点，然后在对称轴或者抛物线上找一点，使得该点和两个固定点组成的两个线段之和最小，即线段和最小值问题，遇到该种问题，一般直接找某个固定点关于某直线的对称点，然后寻找三点共线时的动点；2.线段和基础上延续而来的三角形或四边形周长最小值问题，同样会出现固定的点，那么就会有固定的边长，所以只需要找到另外的边长之和最小，同样使用找对称点的方法；3.垂直于x轴的一条直线，被抛物线和直线截取的两端线段之间的关系，如最大差值，或者相等、2倍关系。

最大差值问题需要找到该垂线与抛物线和直线的两个交点的纵坐标，利用纵坐标表示的线段来进行线段差的计算，将会得到另一种二次函数，那么进行配方变顶点式，得到差值的最大值；而线段倍数关系则相对更简单，只需要表示出两线段的长度，利用倍数关系建立方程即可；（注意纵坐标的正负未知，所以表示出的线段加上绝对值符号，如此就能避免遗漏一些情况）4.动点和两固定点组成的三角形面积最大值问题，该问题一般会在一段局限的图像上找一点，和其他两个固定点组成三角形，求三角形面积最大，只需要对固定点所在的直线进行平移，使平移后的直线与抛物线只要一个交点，利用判别式=0求出平移距离，从而解出交点坐标；如果要求三角形面积，一般利用面积分割法进行计算，如果有一边在轴上就会更简单；5.四边形面积最大值问题：和三角形面积类似，一般会有三个已定的点，那么就有一个固定的三角形，所以只需要动点和其中相邻的两个定点组成的三角形面积最大即可，同样使用直线平移法求出点的坐标即可；而面积同样利用面积分割法求取；6.直角三角形的存在性：一个动点和两个定点的情况，可以直接利用勾股定理求出动点的坐标；如果是两个动点，一个定点，则可利用直线垂直法，注意利用三角函数去推；同时还要注意情况讨论，三个角可能有不同情况的直角；7.等腰三角形的存在性：和直角三角形类似，包含情况讨论，如果是两个定点和一个动点，那么利用线段长相等解得动点坐标即可；如果是两个动点和一个定点，利用底边中线和底边垂直的性质，使用直线垂直法解得；8.平行四边形存在性：平行四边形对边相等，这本就是一个有利条件，所以一般利用平行且相等的两个线段来寻找；如果是菱形，只需要在平行四边形基础上加上临边相等或者对角线垂直来求解；9.正方形的存在性：一般来说正方形就比较特殊了，所以相对的有利条件也比较多，所以求解会更容易些；10.整数坐标点的存在性：该问题并不是很常见，一般在较难的压轴题中才会出现，在一个范围内寻找符合条件的动点，但前提是坐标需要是整数，所以需要找到横纵坐标的范围，在范围内去求解；11.由动点形成的整数面积问题：例如一个动点和两个定点组成的三角形面积，要求面积为整数，需要先利用平移法找到最大面积的值，然后在范围内寻找面积取整时的动点位置或者个数有多少，需要注意的是只有最大面积时的动点是一个，若无限定条件，其他整数面积时的动点则会同时出现两个，所以同学们不要忽略了；12.全等、相似三角形问题：二次函数中的全等、相似问题有时候简单有时候较难，所以要看运气如何，如果给定了对应点则还好点，如果题中只是说让两个三角形全等或相似，并未给出△∽/≌△这种形式，那么就要考虑多种情况存在了，尤其是在相似问题中，情况讨论较多，所以寻找角是很重要的，但一般又不会出现度数，所以这个时候同学们千万不要忘记三角函数；13.特殊点的存在性：类似什么共谐点、好点，遇到这类问题，一般会直接让写出答案，所以同学们在草纸上可以利用各种技巧性方法进行计算，类似一些高中的可用知识“直线垂直”“点到直线的距离”“两直线的夹角”等，没事可以先看看这些知识点的用法，反正上了高中都要学，所以不如先提前看一下，在遇到直接写答案的题目时如果用上了绝对是优势；14.至于其他的，老师一下子也想不起来，常见的就是上面这十几个种类，如果大家需要分享其他类型可以在留言中给出，方便其他人能够看到。

二次函数压轴题命题规律总结：二次函数压轴题是近10年必考题型，考查题位均在第23题，分值均为11分：其中7次是二次函数与一次函数、几何图形的综合题，3次是二次函数单独与几何图形的综合题，且涉及的图形多为三角形和特殊四边形，未涉及到圆；考查类型有：线段问题、面积问题，等腰三角形问题，直角三角形问题，平行四边形问题，三角形相似问题和角度问题，除2017、2012、2011和2009年是两问，且第二问里有两小问，其他年份均为3问；第一小问多以待定系数法求二次函数解析式；线段问题包括线段的数量关系，线段长的关系式及最值和周长的关系式及最值；面积问题包括三角形面积的关系式及最值；此类题题目多涉及数形结合和分类讨论思想。

类型一 线 段 问 题●典例精析◇例题1◇.如图，抛物线y=21x 2－bx ＋c 与直线l ：y=43x －1交与A （4， 2）、B （0，-1）。

（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为直线l 下方的抛物线上的动点，过点D 作DE ∥y 轴交l于点E，作DF⊥l于点F，设点D的横坐标为t。

①用含t的代数式表示DE的长②求DE的最大值，DF的最大值③设RT△DEF的周长为p，求p与t的函数关系式，并求出p的最大值及此时点D的坐标。

总结：1.用点坐标表示线段长度：先在图中找到对应线段，分清已知点和未知点，再联系二次函数和一次函数，设出未知点坐标，使其只含有一个未知数；继而表示出线段长度，如果该线段与坐标轴平行则利用横纵坐标相加减确定，如果与坐标轴不平行的话，先转化到有边与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或者三角形相似确定。

2.一条线段的最值问题，根据前面所得的点坐标表示线段长度，通过运用配方法或运用二次函数的性质求最值，从而得到线段的最值。

3.线段数量关系问题：根据前面所得的用点坐标表示线段长度，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程即可。

4.两条线段和的最小值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，最常见的图形就是“将军饮马模型”。

二次函数的压轴题分类复习一、抛物线关于三角形面积问题例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象,其顶点坐标为M1,4-. 1求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标； 2在二次函数的图象上是否存在点P,使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在,求出P 点的坐标；若不存在,请说明理由；3将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时,b 的取值范围. 练习：1. 如图．平面直角坐标系xOy 中,点A 的坐标为－2,2,点B 的坐标为6,6,抛物线经过A 、O 、B 三点,线段AB 交y 轴与点E ． 1求点E 的坐标； 2求抛物线的函数解析式；3点F 为线段OB 上的一个动点不与O 、B 重合,直线EF 与抛物线交与M 、N 两点点N 在y 轴右侧,连结ON 、BN ,当点F 在线段OB 上运动时,求∆BON 的面积的最大值,并求出此时点N 的坐标；2. 如图,已知抛物线4212++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ,交y 轴于点B ．1求A 、B 两点的坐标,并求直线AB 的解析式；2设),(y x P 0>x 是直线x y =上的一点,Q 是OP 的中点O 是原点,以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点,求x 的取值范围； 3在2的条件下,记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ,求S 关于x 的函数解析式,并探究S 的最大值．二、抛物线中线段长度最小问题例题 如图,对称轴为直线x ＝－1的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋ca ≠0与x 轴相交于A 、B 两点,其中点A的坐标为－3,0． 1求点B 的坐标；2已知a =1,C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上,且S △POC ＝4S △BOC ,求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点,作QD ⊥x 轴,QD 交抛物线于点D ,求y xOBNAME F OAB P EQFxy线段QD 长度的最大值． 练习：1. 如图, Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上,O 为坐标原点,A 、B 两点的坐标分别为3-,0、0,4,抛物线223y x bx c =++经过B 点,且顶点在直线52x =上． 1求抛物线对应的函数关系式；2若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的,当四边形ABCD 是菱形时,试判断点C 和点D 是否在该抛物线上,并说明理由；3若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ,MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式,并求l 取最大值时,点M 的坐标．三、抛物线与线段和最小的问题例题 如图,已知抛物线()()()120y x x a a a =-+>与x C 的左侧．1若抛物线过点M ﹣2,﹣2,求实数a 的值；2在1的条件下,解答下列问题； ①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H,使CH+EH 的值最小,直接写出点H 的坐标． 练习：1. 如图,已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A -1, 0和点B 0,-5． 1求该二次函数的解析式；2已知该函数图象的对称轴上存在一点P ,使得△ABP2. 如图,抛物线y = ax 2+ bx + 4与x 轴的两个交点分别为A －D ．E 1,2为线段BC 的中点,BC 的垂直平分线与x 轴、y 1求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标；2在直线EF 上求一点H ,使△CDH 的周长最小,并求出H 3若点K 在x 轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时,△四、抛物线与等腰三角形例题：已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A －1,0、B 3,0、C 0,3三点,1求抛物线的函数关系式；2设点P 是直线l 上的一个动点,当△P AC 的周长最小时,求点P3在直线l 上是否存在点M ,使△MAC 为等腰三角形若存在,直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在,请说明理由． 练习：1. .如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交C 点,点A 的坐标为2,0,点C 的坐标为0,3它的对称轴是直线12x =-1求抛物线的解析式；2M 是线段AB 上的任意一点,当△MBC 为等腰三角形时,求M 点的坐标．2. 如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为m,m,点B 的坐标为n,﹣n,抛物线经过A 、O 、B 三点,连接OA 、OB 、AB,线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、nm ＜n 分别是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根． 1求抛物线的解析式；2若点P 为线段OB 上的一个动点不与点O 、B 重合,直线PC 与抛物线交于D 、E 两点点D 在y 轴右侧,连接OD 、BD ．①当△OPC 为等腰三角形时,求点P 的坐标； ②求△BOD 面积的最大值,并写出此时点D 的坐标．3. 如图,已知抛物线于x 轴交于A －1,0、B 3,0两点,与y 轴交于点C 0,3. 1求抛物线的解析式；2设抛物线的顶点为D ,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ,使得△PDC 是等腰三角形,若存在,求出符合条件的点P 的坐标；若不存在,请说明理由：3若点M 是抛物线上一点,以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M 的坐标; 五、抛物线与直角三角形例题 如图,抛物线2y ax bx c =++经过点A ﹣3,0,B,C0,﹣3． 1求抛物线的解析式；2若点P 为第三象限内抛物线上的一点,设△PAC 的面积为S,求S 的最大值并求出此时点P 的坐标； 3设抛物线的顶点为D,DE ⊥x 轴于点E,在y 轴上是否存在点M,使得△ADM 是直角三角形若存在,请直接写出点M 的坐标；若不存在,请说明理由． 练习：1. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x 2+bx+c 经过A,B 两点,抛物线的顶点为D ． 1求b,c 的值；2点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点点A 、B 除外,过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF 的长度最大时,求点E 的坐标；3在2的条件下：①求以点E 、B 、F 、D 为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形若存在,求出所有点P 的坐标；若不存在,说明理由．2 如图,抛物线y ＝mx 2―2mx ―3mm ＞0与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴交于C 点. 1请求抛物线顶点M 的坐标用含m 的代数式表示,A ,B 两点的坐标； 2经探究可知,△BCM 与△ABC 的面积比不变,试求出这个比值；3是否存在使△BCM 为直角三角形的抛物线若存在,请求出；如果不存在,请说明由.六、抛物线与四边形例题 1. 如图,抛物线经过A －1,0,B 5,0,C 0,－52三点． 1求抛物线的解析式；2在抛物线的对称轴上有一点P,使PA ＋PC 的值最小,求点P 的坐标；3点M 为x 轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N 四点构成的四边形为平行四边形若存在,求点N 的坐标；若不存在,请说明理由．2. 如图,已知二次函数图像的顶点坐标为2,0,直线1+=x y 与二次函数的图像交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上.1二次函数的解析式为y = ；2证明点(,21)m m --不在1中所求的二次函数的图像上；3若C 为线段AB 的中点,过C 点作x CE ⊥轴于E 点,CE 与二次函数的图像交于D 点.① y 轴上存在点K,使以K 、A 、D 、C 为顶点的四边形是平行四边形,则K 点的坐标是 ； ②二次函数的图像上是否存在点P,使得ABD POE S S ∆∆=2若存在,求出P 点坐标；若不存在,请说明理由. 练习：1. 如图,抛物线1417452++-=x x y 与y 轴交于A 点,过点A 的直线与抛物线交于另一点B ,过点B 作BC ⊥x 轴,垂足为点C 3,0. 1求直线AB 的函数关系式；2动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动,过点P 作PN ⊥x 轴,交直线ABxMA B CyO yxOA BC于点M,交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒,MN的长度为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围；3设在2的条件下不考虑点P与点O,点C重合的情况,连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平行四边形对于所求的t值,平行四边形BCMN是否菱形请说明理由.2.如图所示,在平面直角坐标系x O y中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线2y ax bx c=++经过点A、B和D4,2 3 -.1求抛物线的表达式.2如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设S=2PQ2cm.①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围；②当S取54时,在抛物线上是否存在点R,使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形如果存在,求出R点的坐标；如果不存在,请说明理由.3在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标.3. 如图,已知抛物线与x轴交于A﹣1,0,B3,0两点,与y轴交于点C0,3．1求抛物线的解析式；2设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形若存在,求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由；3点M是抛物线上一点,以B,C,D,M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标．。

——二次函数压轴题常见模型小结【特别说明】：本次培训内容并非原创根据王勇战老师《2019中考数学模型教学研讨会》分享内容学习整理王勇战：郑州市名师，挑战压轴题郑州教研基地理事长。

编写有《冲刺十招》、《突围》、《春季攻势》、《沙场秋点兵》等书籍DBO AxyC问题1：求抛物线解析式和顶点D 坐标12()()y a x x x x =--2y ax bx c=++2()y a x h k=-+十字相乘配方法（★）12轴交点(，0)、(，0)x x x 轴交点（0，c ）y 顶点（h,k ）原始三角形：重视四点围成的三角形（边、角关系）函数 点形2223(3)(1)(1)4y x x y x x y x =+-=+-=+-问题2：判断△ACD 的形状，并说明理由DBOAxyCD （-1，-4）BOA （-3,0）xyC （0，-3）问题3：E是y轴上一动点，若BE=CE,求点E的坐标DB OA xyCB（1,0）O xyC（0，-3）B（1,0）O xyC（0，-3）问题4：抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AC与点N，在线段PM、MN中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P的坐标。

DB OA xyC最大值及此时点P 的坐标DBO Ax yC PH DB O Ax yC PHEFDB O AxyC PHE F于G ，PH 为邻边作矩形PEGH ，求矩形PEGH 周长的最大值。

DBO Ax yCDB O AxyC PHEG问题7：在对称轴上找一点P，使得△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BCP的周长DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题8：在对称轴上找一点P，使得∣PA-PC∣最大，求出P点坐标DB OA xyCB（1,0）OA（-3,0）xyC（0，-3）.x=1P问题9：线段MN=1，在对称轴上运动（M 点在N 点上方），求四边形BMNC 周长的最小值及此时M 点坐标DBOAxyC已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA=OC=3,顶点为D 2y x bx c =++B （1,0）OA （-3,0）xyC （0，-3）.x=1NB ’ B ’’M将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。

学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲课题函数的综合压轴题型归类1、 要学会利用特别图形的性质去剖析二次函数与特别图形的关系 教课目的2、 掌握特别图形面积的各样求法1、 利用图形的性质找点 要点、难点2、 分解图形求面积教课内容一、二次函数和特别多边形形状 二、二次函数和特别多边形面积 三、函数动点惹起的最值问题 四、常考点汇总1、两点间的距离公式 ： ABy A 2x A x B 2y B2、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为：x A x B y A y B2 ，2直线 y k 1 x b 1 （ k 1 0 ）与 yk 2 x b 2 （ k 20 ）的地点关系：（ 1）两直线平行k 1k 2 且 b 1 b 2（ 2）两直线订交k 1 k 2（ 3）两直线重合k 1 k 2 且 b 1 b 2（ 4）两直线垂直k 1k 213、一元二次方程有整数根问题，解题步骤以下：① 用 和参数的其余要求确立参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根； （两种形式：分式、二次根式）③ 剖析求解：假如分式，分母是分子的因数；假如二次根式，被开方式是完整平方式。

例：对于 x 的一元二次方程 x 2－2 m 1 x m 2＝0 有两个整数根， m ＜5 且 m 为整数，求 m 的值。

4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。

（方法同上）例：若抛物线ymx 23m1 x3 与 x 轴交于两个不一样的整数点，且m 为正整数，试确立此抛物线的分析式。

5、方程总有固定根问题，能够经过解方程的方法求出该固定根。

举比以下：已知对于 x 的方程 mx 2 3(m 1)x 2m 3 0 （ m 为实数），求证：不论 m 为什么值，方程总有一个固定的根。

解：当 m 0 时， x1；当 m 0时，m 3 20 ， x 3 m 1， x 1 23、 x 2 1 ；2mm综上所述：不论m 为什么值，方程总有一个固定的根是1。