(新课标)2014届中考数学查漏补缺第一轮基础复习 第21讲 直角三角形与勾股定理课件 北师大版

题型一 直角三角形的性
质与判定
题型分类·深度剖析
(2)证明：∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AD，CB＝CE，∠CBE＝∠CEB＝45°，
∵AD∥NE，∴∠DAE＋∠NEA＝180°，
∵∠DAE＝90°，∴∠NEA＝90°，
∴∠NEC＝90°＋45°＝135°.
∵A、B、E三点在同一直线上，
那么 a2+b2=c2
若D为斜边AB的中点呢？
C
B 直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半.
若∠A=30°呢？
直角三角形中，30°角所对的 直角边等于斜边的一半.
基础过关
1．已知菱形的对角线长分别为6cm和8cm，
则菱形的边长为 A．10cm
( C) B．8cm
C. 5cm
D. 14cm
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝
6cm，点D为AB的中点，则CD5 ＝______cm,高4C.8E=
cm.
E
面积转化 的思想
基础过关
3. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带 边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与 纸带的一边成30°角，如图，则三角板的最大边的长为 (D )
A．3 cm C．3 2 cm
在△MAN 和△EAN 中， A∠MM＝ANAE＝，∠EAN， AN＝AN，
∴△MAN≌△EAN(SAS)，∴MN＝EN.
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2＋NC2，
∴MN2＝BM2＋NC2，∵BM＝1，CN＝3，∴MN＝ 12＋32＝ 10. 2＋NC2，∵BM＝1，CN＝3，∴MN＝ 12＋32＝ 10.

图 22－6
第22讲┃ 回归教材
2． [2012· 北京 ] 如图 22－ 7，小明同学用自制的直角三角形 纸板 DEF测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE与点 B在同一直线上，已知纸板的两条直 角边 DE＝ 40 cm， EF＝ 20 cm，测得边 DF离地面的高度 AC＝ 1.5 5.5 m， CD＝ 8 m，则树高 AB＝ ________m.
第22讲┃ 归类示例
5 1 10 1 5 10 [解析] 因为 ＝ ， ＝ ，所以 ＝ ，则长度为5 cm、 10 2 20 2 10 20 10 cm、10 cm、20 cm的四条线段成比例．
第22讲┃ 归类示例
(1)四条线段 a、 b、 c、d只要其中两条线段的比值等于另 外两条线段的比值，则这四条线段就是成比例线段； (2)比例 的性质要注意根据条件和所要得的结论灵活运用．
பைடு நூலகம் 第22讲┃ 考点聚焦 考点2 成比例线段
四条线段 a、 b、 c、 d，如果 a ∶b＝ c ∶ d， 那么这四条线段叫做成比例线段；特别 成比例线段 地，如果 a ∶ b＝ b ∶ c， b叫做 a、 c的 ________ ． 比例中项 比例的 基本性质 防错提醒 如果 a ∶b＝ c ∶d，那么 ad＝bc 求两条线段的比时，对这两条线段要用同 一长度单位
第22讲┃ 考点聚焦
以坐标原 点为中心 的位似变换 位似 作图
在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位 似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的 坐标的比等于 ________ k或－k (1)确定位似中心 O； (2)连结图形各顶点与位似中心 O的线段(或延长 线 )； (3)按照相似比取点； (4)顺次连结各点，所得图形就是所求的图形

解：如图，连接 AB，取 AB 中点 D，连接 CD. ∵AC＝BC，点 D 为 AB 中点. ∴中线 CD 为△ABC 的角平分线，
CD⊥AB，AD＝BD＝12AB. ∴∠ACD＝∠BCD＝21∠ACB＝50°.
在Rt△ACD中， sin∠ACD＝AADC， ∴sin 50°＝A1D0 . ∴AD＝10×sin 50°≈7.66. ∴AB＝2AD≈15.3(m). ∴A，B 两点间的距离大约是 15.3 m.
仰角与俯角
1.如图，小丽为了测旗杆 AB 的高度，小丽眼睛距地面 1.5 米， 小丽站在 C 点，测出旗杆 A 的仰角为 30°，小丽向前走了10米到 达点 E，此时的仰角为 60°，求旗杆的高度.
解：由题意，∠ADG＝30°，∠AFG＝60°，DF＝10， ∴∠DAF＝∠AFG－∠ADG＝30°. ∴∠FAD ＝∠FDA.∴DF＝AF＝10.
∴tan∠B＝CBFF， ∴BF＝tanC∠F B＝4.35＝92 3.
3
∵AD 的坡度 i＝1∶1.2，
∴tan∠A＝DAEE＝56， ∴AE＝tanD∠E A＝tanC∠F A＝45.5＝257，
6 ∴AB＝AE＋EF＋BF＝257＋2.5＋92 3＝79＋1405 ∴坝底 AB 的长约为 15.7 m.
(1)求 BC 的长. (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件， 求旗杆 AB 的高度. 条件①：CE＝1.0 m；条件②：从 D 处看旗杆顶部 A 的仰角α 为 54.46°. (参考数据：sin 54.46°≈0.81，cos 54.46°≈0.58， tan 54.46°≈1.40)
h _(_坡__比__)_，记作 i，即 i＝____l ____.
h 4.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α，tan α＝___l_____＝ ____i____.坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.

第21讲解直角三角形基础知识：一、锐角三角函数：在直角三角形ABC中，∠C是直角，1、正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作2、余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作3、正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作4、锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数说明：锐角三角函数都不能取负值。

0＜ sinA＜ l； 0＜cosA＜l；5、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

即sinA＝cos（90°一 A）＝cosB；cosA＝sin（90°一A）＝sinB6、三角函数值的变化规律（1）当角度在0°— 90°间变化时，正弦值（正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）当角度在0°—90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

7、同角三角函数关系公式（1）；（2） tanA＝8．一些特殊角的三角函数值二、解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

若直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么A、B、C，a，b，c中除∠C＝90°外，其余5个元素之间有关系：（l）；（2）∠A十∠B＝90°；（3）；；；所以，只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余3个未知数。

说明： 1、解直角三角形的基本方法：当已知或求解中有斜边时，常选用正弦或余弦；无斜边时常选用正切或余切；当所求的元素即可用乘法也可用除法时，宜用乘法；即可用已知数据也可用中间量时，宜用原始数据。

2、非基本类型的解直角三角形，可通过解方程组转化为基本类型求解；通过作高可把斜三角形分解成两个直角三角形。

【典型例题】1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则AC的长是（）A． B．3 C． D．2．RtABC中，∠C=，∠A∶∠B=1∶2，则sinA的值3. 在△ABC中，∠C ＝90°，tan A ＝，则sin B ＝4．若，则下列结论正确的为（）A．0°<∠A <30° B．30°<∠A <45° C．45°<∠A < 60° D．60°<∠A < 90°5. 在中，，，，则．6.计算的值是 . 已知．6．△ABC中，若（sinA－）2＋|－cosB|＝0，求∠C的大小．7. 矩形ABCD中AB＝10，BC＝8， E为AD边上一点，沿BE将△BDE对折，点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．8.如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45)9．建于明洪武七年（1374年），高度33米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在30米高的光岳楼顶楼P处，利用自制测角仪测得正南方向商店A点的俯角为60，又测得其正前方的海源阁宾馆B点的俯角为30（如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离（结果保留根号）．10．如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4.（1）求证:～；(2) 求的值；（3）延长BC至F，连接FD，使的面积等于，求的度数.11．小明在某风景区的观景台O处观测到北偏东的P处有一艘货船,该船正向南匀速航行,30分钟后再观察时,该船已航行到O的南偏东40,且与O相距2km的Q处.如图所示. 求: (1)∠OPQ和∠OQP的度数;(2)货船的航行速度是多少km=cos=0.7660,cos=sin=0.6428, tan=1.1918, tan=0.8391, 供选用.)。