高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数自主训练北师大版4讲解

3.3 二倍角的三角函数5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.已知θ是第二象限角，sin θ=53，那么cos 2θ的值为（ ） A.55 B.±55 C.1010 D.±1010解析：θ为第二象限角，2θ为第一或第三象限角. sin θ=53，则cos θ=54-. 10102cos 12cos±=+±=θθ. 答案：D2.求下列各式的值：（1）21-cos 28π=_______________；（2）︒-︒5.22tan 15.22tan 2=_________________. 解析：（1）原式=21-(2cos 28π-1)=424cos 21-=-π. （2）原式=2145tan 21=︒. 答案:(1)42- (2)213.计算：cos12πcos 3πcos 125π. 解：原式=.816sin 4112sin 12cos21==πππ 4.已知cos 2α=1312-,α∈(π,2π),求sin α,cos α,tan α.解:∵α∈(π,2π),∴2π<2α<π.又cos 2α=1312-,∴sin2α=135)1312(12cos 122=--=-α. ∴sin α=2sin2αcos 2α=2³135³(1312-)=169120-,cos α=2cos22α-1=2(1312-)2-1=169119.∴tan α=119120cos sin -=a α. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.已知2sin θ=1+cos θ，则tan 2θ的值是（ ） A.21 B.2 C.21或不存在 D.不存在 解析：2sin θ=1+cos θ，当2sin θ≠0，1+cos θ≠0，得出2tan 21cos 1sin θθθ==+， 当sin θ=0时，cos θ=-1，θ=2k π+π，2tan θ不存在. 答案：C 2.已知cos(α+4π)=53,2π≤α＜23π，则cos(2α+4π)的值为____________________.解析：cos(2α+4π)=cos2αcos 4π-sin2αsin 4π=22(cos2α-sin2α). ∵2π≤α<23π，∴43π≤α+474ππ<.又∵cos (α+4π)>0，∴23π<α+474ππ<.∴sin(α+4π)=54)4(cos 12-=+--πα. ∴cos2α=sin(2α+2π)=2sin(α+4π). cos(α+4π)=2524-,sin2α=-cos(2π+2α)=1-2cos 2(α+4π)=257.∴原式=22³(2572524--)=50231-. 答案:50231-3.当x∈［2π-,2π］时，求f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的周期、最大值及此时x 的值.解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=2sin(2x+4π)+2,周期T=π. 当x∈［2,2ππ-］时，2x+4π∈［45,43ππ-］,sin(2x+4π)∈［-1,1］. ∴f(x)∈［22,22+-］. ∴f(x)max =22+.由2x+224πππ+=k ,得x=8ππ+k .又∵x∈［2,2ππ-］，∴x=8π, 即当x=8π时，f(x)的最大值为22+.4.求值:cos 275°+cos 215°+cos75°cos15°.解:原式=230cos 12150cos 1︒++︒++sin15°²cos15°=21(1-cos30°)+21(1+cos30°)+21sin30°=21+21+41=45. 5.设sin(4π-x)=135,0＜x ＜4π,求)4cos(2cos x x+π的值.解法一:∵0<x<4π,∴0<4π-x<4π. ∴cos(4π-x)=)4(sin 12x --π.=1312)135(12=-. 又cos(4π+x)=sin(4π-x)=135,∴原式=)4sin()4cos()4sin(2)4sin()]4(2sin[x x x x x ---=--πππππ =2cos(4π-x)=1324.解法二:cos2x=cos 2x-sin 2x=（cosx+sinx)(cosx-sinx)=2sin(x+4π)²2cos(x+4π) =2sin(x+4π)cos(x+4π),∴原式=)4cos()4cos()4sin(2ππ++∙+x x x =2sin(x+4π)=2cos(4π-x).后面同解法一. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.已知450°＜α＜540°,则α2cos 21212121++等于（ ） A.-sin 2α B.cos 2α C.sin 2α D.-cos 2α 解析:利用公式αααα22sin 22cos 1,cos 22cos 1=-=+, 原式=α2cos 2121+,∵450°<α<540°, ∴cos α<0. ∴原式=2sin cos 21212αα=-. ∵450°<α<540°,∴225°<2α<270°. ∴sin2α<0. ∴原式=2sin 2α=-sin2α. 答案:A2.已知θ为第三象限角，sin 4θ+cos 4θ=95，那么sin2θ等于（ ） A.322-B.322 C.32 D.32-解析：sin 4θ+cos 4θ=（sin 2θ+cos 2θ）2-2sin 2θ²cos 2θ=95， ∴2sin 2θ²cos 2θ=94，sin 22θ=98.θ为第三象限角，sin θ＜0，cos θ＜0，sin2θ＞0, ∴sin2θ=322. 答案：B3.设5π＜θ＜6π，cos2θ=a,则sin 4θ的值等于（ ）A.21a +-B.21a -C.21a +D.21a--解析：∵5π＜θ＜6π， ∴25π＜2θ＜3π，45π＜4θ＜23π. ∴2122cos 14sina --=--=θθ.故D 正确.答案：D4.tan5°+cot5°-︒80cos 2=_____________.解析:原式=︒-︒︒+︒︒10sin 25sin 5cos 5cos 5sin =010sin 210sin 21110sin 25cos 5sin 5cos 5sin 22=︒-︒=︒-︒︒︒+︒. 答案:05.已知tan2θ=22-，2π＜2θ＜π，求)4sin(21sin 2cos 22θθθ+--的值.解：tan2θ=22-，22tan 1tan 22-=-θθ, ∵2tan θ=22-（1-tan 2θ）， 则2tan 2θ-tan θ-2=0，∴（tan θ-2）（2tan θ+1）=0. ∴tan θ=2或tan θ=22-（舍）. （∵2π＜2θ＜π，∴4π＜θ＜2π） 原式=223tan 1tan 1sin cos sin cos )4sin(2sin 12cos 22+-=+-=+-=+--θθθθθθθπθθ.6.在△ABC 中，tanA+tanB+33=tanAtanB 且sinAcosA=43，试判断三角形的形状.解：由sinAcosA=43,得 21sin2A=43,即sin2A=23， ∴2A=60°或120°. ∴A=30°或60°.又由tanA+tanB=3-(1-tanAtanB),得tan(A+B)=3tan tan 1)tan tan 1(3-=---BA B A .∴A+B=120°.当A=30°时，B=90°,tanB 无意义， ∴A=60°,B=60°,即三角形为等边三角形.7.(2005高考天津卷,文17)已知sin(α-4π)=1027，cos2α=257，求sin α及tan(α+3π).解：由sin(α4π-)=1027,得22 (sin α-cos α)=1027， 即sin α-cos α=57.①又由cos2α=257得cos 2α-sin 2α=257， 即(cos α+sin α)(cos α-sin α)=257.∴cos α+sin α=51-.②由①②得sin α=53,cos α=54-. ∴tan α=43-. tan(α+3π)=tan α+11325483343344331433tan 313tan -=+-=+-=-+αα. 8.已知f(x)=2sin(x+2θ)cos(x+2θ)+32cos 2(x+2θ)-3.(1)化简f(x)的解析式；(2)若0≤θ≤π，求使函数f(x)为奇函数的θ值；(3)在(2)的条件下，求满足f(x)=1,x∈［-π,π］的x 的取值集合. 解：（1）f(x)=sin(2x+θ)+3［1+cos(2x+θ)］-3 =sin(2x+θ)+3cos(2x+θ) =2sin(2x+θ+3π). （2）若f(x)为奇函数，则当x=0时，f(x)=0,即θ+3π=k π(k ∈Z ).∴θ=3ππ-k .又∵0≤θ≤π，∴θ=32π.（3）此时f(x)=2sin(2x+π)=-2sin2x ， 由f(x)=1得sin2x=21-. 当x∈［-π,π］时，2x∈［-2π,2π］，∴2x=611,67,65,6ππππ--.∴x 的取值集合为{1211,127,125,12ππππ--}. 9.有一块半径为R 、中心角为45°的扇形铁皮材料，为了截取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常将矩形的一边放在扇形的半径上，然后作其最大的内接矩形．你能帮工人师傅设计一方案，选出矩形的四点吗?解：如图,设∠POA=θ，则PN=Rsin θ.OM=QM=PN=Rsin θ,ON=Rcos θ. MN=ON-OM=Rcos θ-Rsin θ. 则S 矩形PQMN =MN²PN=R(cos θ-sin θ)²Rsin θ =R 2(sin θcos θ-sin 2θ) =221R (sin2θ-1+cos2θ) =222R ［sin(2θ+4π)22-］.当2θ+24ππ=,即θ=8π时，S 矩形PQMN 最大且最大值为2212R -.因此可以这样选点，以扇形一半径OA 为一边在扇形上作∠AOP=8,P 为边OP 与扇形的交点，自P 作PN⊥OA 于N,PQ∥OA 交OB 于Q ，若作QM⊥OA 于M ，则矩形MNPQ 为所求的面积最大的矩形.。

§3 二倍角的三角函数1．掌握倍角公式与半角公式及公式的推导方法．(重点)2．能利用倍角公式与半角公式进行三角函数的求值、化简、证明．(重点) 3．能利用倍角公式与半角公式解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理 二倍角公式与半角公式阅读教材P 124～P 127练习2以上部分，完成下列问题． 1．二倍角公式2．半角公式 (1)sin α2＝±1－cos α2； (2)cos α2＝±1＋cos α2； (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意α∈R ，总有sin 2α＝2sin α.( ) (2)对任意α∈R ，总有cos 2α＝1－2cos 2α.( ) (3)对任意α∈R ，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( )(4)sin 22°30′cos 22°30′＝24.( ) 【解析】 (1)sin 2α＝2sin αcos α，所以(1)错． (2)cos 2α＝2cos 2α－1，所以(2)错．(3)α≠π4＋k π2(k ∈Z )时，有tan 2α＝2tan α1－tan 2α，所以(3)错． (4)sin 22°30′cos 22°30′＝12×2sin 22°30′cos 22°30′＝12sin 45°＝24，所以(4)对．【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]已知cos α＝33，α为第四象限的角，求tan α2的值． 【精彩点拨】 根据条件求出sin α，然后求出cos α，利用半角公式求tan α2.【自主解答】 ∵α为第四象限的角，cos α＝33， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－63. ∴tan α＝sin αcos α＝－ 2.∵α为第四象限角，∴α2是第二或第四象限的角， ∴tan α2<0.由tan α＝2tanα21－tan2α2，得tan α2＝2－62.在求半角的正切tan α2时，用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理，要由α所在的象限确定α2所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan α2＝1－cos αsin α或tan α2＝sin α1＋cos α来处理，可以避免这些问题，尤其是tan α2＝1－cos αsin α，分母是单项式，容易计算．因此常用tan α2＝1－cos αsin α求半角的正切值．[再练一题]1．已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.【导学号：66470073】【解】 ∵sin α＋cos α＝13，∴sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，∴sin 2α＝19－1＝－89，且sin αcos α＝－49<0.又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝1－sin 2α＝1＋89＝173， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝－173×13＝－179，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－89－179＝81717.化简：(1)＋3cos 70°·1＋cos 40°；(2)1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α，其中π<α<3π2.【精彩点拨】 (1)先把切化弦，再用二倍角公式化简． (2)用半角公式脱去根号，根据角的取值范围化简．【自主解答】 (1)原式＝cos 10°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10 °sin 20°·2cos 20°＝cos 10°＋3sin 10°22sin 40°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°22sin 40°＝22sin 40°sin 40°＝2 2.(2)∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2，1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2，∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝1＋sin α－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋1－sin α2⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－2cos α2.已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．[再练一题] 2．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，化简：12＋1212＋12cos 2α. 【解】 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴cos α>0，cos α2<0.故原式＝12＋12cos 2α ＝12＋12cos α ＝cos 2 α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.[探究共研型]探究1 【提示】 由任意角的三角函数的定义可知，S 2α，C 2α中的角α是任意的，但要使T 2α有意义，需要α≠π4＋k π2(k ∈Z )．探究2 半角公式适用条件是什么？ 【提示】 cos α2＝±1＋cos α2，sin α2＝ ±1－cos α2，α∈R . tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α中，α≠2k π＋π，k ∈Z ，tan α2＝1－cos αsin α中，α≠k π，k ∈Z .探究3 在什么条件下，sin 2α＝2sin α成立？【提示】 一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当α＝2k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α才成立．探究4 怎样把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式？【提示】 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及相应的x 值． 【精彩点拨】 把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究其性质． 【自主解答】 f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (1)令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可得π6≤2x ＋π6≤7π6.所以，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取最大值，最大值为2.首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将f (x )转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究f (x )的有关性质，注意使用整体代换的思想将ωx ＋φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题．[再练一题] 3．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【解】 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.又ω>0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，因此－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.1．tan 15°等于( ) A ．2＋ 3 B ．2－ 3 C.3＋1D ．3－1【解析】 由tan α2＝sin α1＋cos α，得tan 15°＝sin 30°1＋cos 30°＝2－ 3.【答案】 B2．若sin α2＝33，则cos α＝( )【导学号：66470074】A ．－13B ．－23C.13D ．23【解析】 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13. 【答案】 C3．已知cos α＝23，270°<α<360°，则cos α2的值为________．【解析】 因为270°<α<360°，所以135°<α2<180°，所以cos α2<0.又cos α＝2cos2α2－1，所以cos α2＝－1＋cos α2＝－306. 【答案】 －3064.已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ＝________.【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118.【答案】11185．求证：sin 2θ＋sin θ2cos 2θ＋cos θ＝tan θ. 【证明】 左边＝2sin θcos θ＋sin θ2cos 2θ＋cos θ＝sin θ2cos θ＋cos θ2cos θ＋＝sin θcos θ＝tan θ＝右边．原式得证．我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。

3.3 二倍角三角函数典题精讲例1化简︒+98sin 1=__________________.思路分析：︒+98sin 1=2)49cos 49(sin ︒+︒=|sin49°+cos49°| =sin49°+cos49°=2sin(49°+45°)=2sin94°=2cos4°. 答案：2cos4°变式训练(湖北高考卷，理3)假设△ABC 内角A 满足sin2A=32，那么sinA+cosA 值为〔 〕 A.315315 C.35 35 思路分析：∵sin2A=2sinAcosA＞0，∴cosA＞0.∴sinA+cosA＞0.∴1+sin2A=(sinA+cosA)2.∴1+32=(sinA+cosA)2.∴(sinA+cosA)2=35. ∴sinA+cosA=. 答案：A例2求以下各式值.〔1〕cos12πcos 125π； 〔2〕〔cos 12π-sin 12π〕〔cos 12π+sin 12π〕；〔3〕21-cos 28π；〔4〕-32+34cos 215°.思路分析：〔1〕题添加系数2，即可逆用倍角公式；〔2〕题利用平方差公式之后再逆用倍角公式；〔3〕中提取系数2后产生倍角公式形式；〔4〕那么需提取系数32. 解：〔1〕cos 12πcos 125π=cos 12πsin 12π=21×2cos 12πsin 12π=21sin 6π=41. 〔2〕〔cos12π-sin 12π〕〔cos 12π+sin 12π〕=cos 212π-sin 212π=cos 6π=23.〔3〕21-cos 28π=-21〔2cos 28π-1〕=-21cos 4π=-42.〔4〕-32+34cos 215°=32〔2cos 215°-1〕=32cos30°=33. 绿色通道：根据式子本身特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子值，在变形中一定要整体考虑式子特征. 变式训练求sin10°sin30°sin50°sin70°值.思路分析：由si n30°=21，原式可化为21sin10°sin50°sin70°，再转化为21cos20°cos40°cos80°，产生成倍数角，增加一项sin20°，即可依次逆用倍角公式；也可使用三角中对偶式，设而不求，到达变形目. 解法一：sin10°sin30°sin50°sin70°=21cos20°cos40°cos80° 解法二：令M=sin10°sin30°sin50°sin70°，N=cos10°cos30°cos50°cos70°， 那么MN=(sin10°cos10°)(sin30°cos30°)(sin50°cos50°)(sin70°cos70°) =421sin20°sin60°sin100°sin140°=421cos10°cos30°cos50°cos70°=421N. ∴M=161，即sin10°sin30°sin50°sin70°=161.例3(2005江苏高考卷，10)假设sin 〔6π-α〕=31，那么cos 〔32π+2α〕值为〔 〕A.97- 31 C.31 D.97思路分析：观察发现32π+2α=2(3π+α)，而(3π+α)+( 6π-α)= 2π，那么cos(3π+α)=sin(6π-α),cos 〔32π+2α〕=2cos 2(3π+α)-1=2sin 2(6π-α)-1=97-.答案：A绿色通道：通过角形式变化，生成所求角或再变形即得所求角，是三角变换重要方式，求解时应当对所给角有敏锐感觉，这种感觉养成要靠平时经历积累.变式训练1sin 〔4π+α〕sin 〔4π-α〕=61，且α∈〔2π，π〕，求sin4α值.思路分析：发现4π+α与4π-α是互余关系，将其中一个角三角函数变为另一个余名三角函数，即可产生倍角公式形式，逆用倍角公式可得2α三角函数值，进一步可求4α正弦值.解：∵〔4π+α〕+〔4π-α〕=2π，∴ sin〔4π-α〕=cos 〔4π+α〕.∵ sin〔4π+α〕sin 〔4π-α〕=61，∴ 2sin〔4π+α〕cos 〔4π+α〕=31.∴sin〔2π+2α〕=31.∴cos2α=31.又∵α∈〔2π，π〕，∴2α∈〔π，2π〕. ∴ sin2α=3222cos 12-=--α. ∴ sin4α=2sin2αcos2α=.变式训练2设5π＜θ＜6π，cos 2θ=a ，那么sin 4θ值等于〔 〕 A. B. C. D.思路分析：4θ显然是2θ一半，可以直接应用公式.∵5π＜θ＜6π，∴25π＜2θ＜3π, 45π＜4θ＜23π.∴sin 4θ=2122cos1a --=--θ. 答案：D例4(2006全国高考卷Ⅱ,理2)函数y=sin2xcos2x 最小正周期是〔 〕C.4π D.2π 思路分析：将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)形式. y=sin2xcos2x=21sin4x ，那么T=. 答案：D绿色通道：讨论三角函数周期性时，先化简解析式再求周期.化简手段是：利用与差、倍角、半角等三角公式；化简结果是：将三角函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)形式，再利用公式T=ωπ2得周期.变式训练(2006陕西高考卷，理17)函数f(x)=3sin(2x-6π)+2sin 2(x-12π)(x∈R ). 〔1〕求函数f(x)最小正周期；〔2〕求使函数f(x)取得最大值x 集合.思路分析：将三角函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)+b 形式,再讨论周期与最值.解：(1)f(x)=3sin(2x-6π)+1-cos 2(x-12π) =2[23sin 2(x-12π)-21cos 2(x-12π)]+1 =2sin[2(x-12π)-6π]+1 = 2sin(2x-3π)+1,∴T=2π2=π.(2)当f(x)取最大值时，sin(2x-3π)=1，有2x-3π=2k π+2π (k∈Z). ∴x=kπ+125π. 即使函数f(x)取得最大值x 集合为{x∈R|x= kπ+125π，k∈Z }. 问题探究问题试用tan 2α表示sinα,cosα,tanα.导思：看到α与2α，联想到α=2(2α)，因此从二倍角公式角度来探讨. 探究：可以由倍角公式直接获得tanα=；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos 22α可得sin α=2sin 2αcos 2α=2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 212cos 2sin 2222αααααααα+=+=，cos α=cos 22α-sin 22α=2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 12sin 2cos 22222222αααααααα+-=+-=-. 用tan 2α来表示sinα、cosα与tanα关系式如下： sinα=tanα=.这三个公式统称为“万能公式〞.其优点是用正切函数来求二倍角三角函数值会特别方便，也为一类三角函数求值提供了一座方便可行桥梁.如要计算cosα或sin(α+β)值，可以先设法求得tan 2α或tan 值.由于公式中涉及角正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.所谓“万能〞是指：不管角α哪一种三角函数，都可以表示成tan2α2α为变量“一元有理函数〞，即如果令tan 2α=t ，那么sinα、cosα与tanα均可表达为关于t 分式函数，这就实现了三角问题向代数问题转化，为三角问题用代数方法来处理提供了一条途径.如下面例题很好地表达了这一方法作用。

解析：θ为第二象限角， 为第一或第三象限角.
sinθ= ，则cosθ= .
.
答案：D
2.求下列各式的值：
（1） -cos2 =_______________；（2） =_________________.
解析：（1）原式= (2cos2 -1)
= .
（2）原式= .
答案:(1) (2)
3.计算：cos cos cos .
∴sin <0.
∴原式= =-sin .
答案:A
2.已知θ为第三象限角，sin4θ+cos4θ= ，那么sin2θ等于（ ）
A. B. C. D.
解析：sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θ·cos2θ= ，
∴2sin2θ·cos2θ= ，sin22θ= .θ为第三象限角，sinθ＜0，cosθ＜0，sin2θ＞0,
解：tan2θ= ， ,
∵2tanθ= （1-tan2θ），
则 tan2θ-tanθ- =0，
∴（tanθ- ）（ tanθ+1）=0.
∴tanθ= 或tanθ= （舍）.
（∵ ＜2θ＜π，∴ ＜θ＜ ）
原式= .
6.在△ABC中，tanA+tanB+ tanAtanB且sinAcosA= ，试判断三角形的形状.
由①②得sinα= ,cosα= .
∴tanα= .
tan(α+ )=tanα+ .
8.已知f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+ cos2(x+ )- .
(1)化简f(x)的解析式；
(2)若0≤θ≤π，求使函数f(x)为奇函数的θ值；