2.3：不等式的证明(1)比较法

2.3 不等式的证明（1）比较法
【知识要点】 1．作差比较法：
理论依据：000a b a b
a b a b a b a b
->⇔>-=⇔=-<⇔<
证明步骤：（1）作差；（2）变形；（3）判断。

1．作商比较法：
理论依据：当,a b R +∈时，111
a a
b b a a b b a a b b >⇔
>=⇔
=<⇔
< 证明步骤：（1）判断（判断能否作商）；（2）作商；（3）变形；（4）判断。

【基础训练】
1． 已知,(0,)a b ∈+∞，设112,22A B a
b a b
=
+=
+，则A 、B 的大小关系为______________。

2． 已知,a b
是两个不相等的正数，2
M N ==
，则M 与N 的大小关系
为______________。

3． 若1x ³
的大小关系为______________。

4．若0,0a b >>，则a
b
a b 与()2
a b ab +的大小关系为____________。

【精选例题】
例1． 已知,a b R ∈，求证：222a b c ab bc ac ++≥++ 。

解法指导：对于二次型的不等式的证明，我们可考虑“作差法、配方法、∆判别式”。

方法一：()()()2
2
2
2222()2()0a b c ab bc ac a b a c c b ++-++=-+-+-≥ 所以222a b c ab bc ac ++≥++。

方法二：()()2
22
2
22
2
2
22
2
2
()223()024a
b c
ab bc ac a
b c a b c bc
b c b c a b c bc b c b c a ++-++=-+++-++⎛⎫⎛⎫=-++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+-⎛
⎫=-+≥ ⎪
⎝
⎭
所以222a b c ab bc ac ++≥++。

方法三：()()222222()a b c ab bc ac a b c a b c bc ++-++=-+++-
()2
2
2
4()0b c b c bc D +-=+-
所以()()2220a b c ab bc ac ++-++≥，所以222a b c ab bc ac ++≥++。

思考题：已知,a b R ∈，求证：221a b a b ab ++≥++。

方法一：作差整理成关于a 的二次式，再配方。

方法二：作差整理成关于a 的二次式，再用∆证明。

例2．（2000年上海春季高考题）设函数()|lg |f x x =，若0a b <<且()()f a f b >，证明：1ab <。

解法指导:利用等价命题证明。

证明：2222
()()|lg ||lg ||lg ||lg |lg lg 0f a f b a b a b a
b >???>
()()lg lg lg lg 0lg()lg
a a
b a b ab b ?->圩>，
因为0a b <<，所以01a b
<
<，所以lg
a b <，所以lg()0ab <，即得1a b <。

例3．某收购站分两个等级收购小麦，一等小麦a 元/kg ，二等小麦b 元/kg ()b a <。

现有一等品小麦xkg ，二等品小麦ykg 。

若以两种价格的平均数收购，是否公平合理？ 解：平均价格为
2
a b +元/kg 4。

如以此价格统一收购，则收购费用为
()
2
a b x y ++元；
而原定方案收购费用为（ax by +）元。

因为()()
()()2
2
a b a b x y ax by x y +--+-
+=。

又因为b a <，所以0a b ->，所以
（1）若x y >，则收购站得利；（2）当x y =时，两种方案费用一样；（3）当x y <时，则收购站吃亏。

例4．已知函数()log (0,1,)a f x x a a x R +=>≠∈，如12,x x R +∈，判断121
[()()]2
f x f x +与
12
()2x x f +的大小并加以证明。

解：121[()()]2
f x f x +—12
()2x x f +
=[]12
12
121
log log og log log 222
a a a
a a
x x x x x x l +++-=
因为12,x x R +∈，所以
12
2
x x +≥
12x x =时取等号。

（1） 当1a >时，
121[()()]2
f x f x +≤12
()2x x f +； （2） 当01a <<时，121
[()()]2
f x f x +≥12
(
)2
x x f +。

【能力训练】 一、选择题： 1．已知()2
2
0,1,log (1),log 1a a a a P a a Q a a >?-+=-+，则
P 与Q 的大小关系为
（ ）
（A ）P Q > （B ）P Q < （C ）P Q = （D ）不能确定 2．设,a b R Î,则“221a b +<”是“1ab a b +>+”的 （ ）
（A ）充分条件（B ）必要不充分条件（C ）充分不必要条件（D ）既不充分又不必要条件
3．现给出下列三个不等式：
2
2
2
3(1)12;(2)2();2
a a a
b a b +>+>--()()()2
2
2
2
2
(3)a b
c d
ac bd ++>+，其中恒成立
的不等式共有 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
4. 设复数12,z z 且12121122,M z z z z N z z z z =+=+,则M 、N 的大小关系为（ ） （A ）M N ³ （B ）M N > （C ）M N £ （D ）不能比较大小 二、填空题： 5．若*
0,1,,a a m n
N
>刮，则1_________m n m n a a a +++（比较大小）。

6．当0,2x p 骣
÷
çÎ÷ç÷
ç桫时，1cos ________sin x x -（比较大小）。

7．设()
2
,22
,sin cos x x
x R P
Q x x +-?+=+，则P 、Q 之间的大小关系为________。

8．设x R Î，则43212______2x x x ++（比较大小）。

三、解答题：
9．设,,,1a b c R ab bc ac +?+=，证明：a b c ++。

10．设0,0,a b >>证明下列不等式。

（1）22222a b a b ++?
（2
11．设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是其前n 项的和。

证明：
0.50.52
0.51log log log 2
n n n S S S +++>。