第二讲 证明不等式的基本方法
课题：第01课时 不等式的证明方法之一：比较法
一．教学目标
（一）知识目标
（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；
（2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；
（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。
（二）能力目标
（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；
（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；
（3）训练学生思维的灵活性。
（三）德育目标
（1）激发学习的内在动机；
（2）养成良好的学习习惯。
二．教学的重难点及教学设计
（一）教学重点
不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的
（二）教学难点
借助与0或1比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途
（三）教学设计要点
1.情境设计
用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。
2.教学内容的处理
（1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。
（2）补充一组证明不等式的变式练习。
（3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。
3.教学方法
独立探究，合作交流与教师引导相结合。
三．教具准备
水杯、水、白糖、调羹、粉笔等
四．教学过程
(一)、新课学习：
1.作差比较法的依据：
0baba
0baba
0baba
作差比较法的步骤：作差—变形（化简）—定号（差值的符号）—得出结论
2.作商比较法的原理和步骤： ,111abRaabbaabbaabb
作商比较法的步骤：作商—变形（化简）—判断（商值与实数1的关系）—得出结论
(二)、典型例题：
例1、已知ba,都是正数，且ba，求证：2233abbaba.
放缩法证明数列不等式
一、基础知识：
1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：
2、放缩的技巧与方法：
（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：
① 等差数列求和公式：12nnaaSn，naknm（关于n的一次函数或常值函数）
② 等比数列求和公式：1111nnaqSqq，nnakq（关于n的指数类函数）
③ 错位相减：通项公式为“等差等比”的形式
④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项
（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：
① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手
② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）
③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：
3、常见的放缩变形：
二、典型例题：
例1：已知数列na的前n项和为nS，若14211nnSna，且11a
（1）求证：数列na是等差数列，并求出na的通项公式
（2）设1nnnbaS，数列nb的前n项和为nT，求证：32nT
例2：设数列na满足：111,3,nnaaanN，设nS为数列nb的前n项和，已知10b，112,nnbbSSnN
（1）求数列,nnab的通项公式
（2）求证：对任意的nN且2n，有223311132nnababab
例3：已知正项数列na的前n项和为nS，且12,nnnaSnNa
（1）求证：数列2nS是等差数列
（2）记数列3121112,nnnnbSTbbb，证明：131121nTnn
西舅 §毫爱 中学数学杂志２０１４年第３期
利用分离函数法证明函数不等式
湖北省广水市第一中学４３２７００ 聂文喜
在近年的高考试题中，经常会出现以ｅ 与ｌｎｘ为 背景的函数不等式证明问题，直接应用导数证明这些 不等式有时很复杂，有时需要多次求导，甚至思维受 阻，此时若能从含有ｅ 与Ｉｎｘ的函数不等式中分离出ｅ 或ｌｎｘ，再利用导数证明，则可避免繁冗的求导运算，从 而化难为易，化繁为简，起到事半功倍之效，下面举例 说明． １ 分离］ｎｘ ‘ 例１ （２０１３年高考北京卷理ｌ８题）设ｚ为曲线ｃ：
ｙ＝ 在点（１，０）处的切线．
（１）求Ｚ的方程； （２）证明：除切点（１，０）之处，曲线ｃ在直线ｚ的下 方． 解 （１）Ｚ的方程为Ｙ＝ 一１（过程略）．
（２）由题意，只需证明 ≠１时， ＜ 一１．
因为ｘ＞０，只须证明ｌｎｘ＜ 一 ．
令 （ ）：ｌｎ 一（ 一ｘ），贝４厂（ ）＝ 一２ｘ＋１＝
一（ 一１）（２ ＋１） ——— ＿一， 当０＜ ＜１时 （ ）＞０ ）单调递增， 所以，（ ）＜ １）：０，即ｌｎｘ＜ 一 当 ＞１时 （ ）＜０ ）单调递减，所以 ） ＜－厂（１）＝０，且口ｌｎｘ＜ 一 ． 综上所述，除切点之处，ｌｎｘ＜ 一 ．
所以当 ≠１时， ＜ 一１，即除切点（１，Ｏ）之
外，曲线ｃ在直线ｚ的下方． 例２（２０１１年高考新课标全国卷文科第２ｌ题） 已知函数 ）：—ａｌ ｎｘ＋一ｂ，曲线Ｙ＝ ）在点（１， 十ｌ Ｉ厂（１））处的切线方程为 ＋２ｙ一３＝０． （Ｉ）求ｎ，ｂ的值；
（Ⅱ）当 ＞０，且 ≠１时，求证，（ ）＞ ．
审视１ （直接构造函数）本题ｏ＝１，ｂ＝１．是否可 以直接对函 ＋÷一 ＝ ＋÷ 十ｌ 一ｌ 一Ｉ
４６ 求导，从而求出其最小值呢？ 令ｇ（ ）＝ ｌｎ ｘ＋ １一 ＝ ＋ １，则
ｇ （ ）＝ 一 （ 一１）＋（２ｌ ）．２
２ 擘 ，至此，解题思路受阻． （ 一１ ’ “ ’ 审视２（局部构造函数） 加 ＋÷一 ＝ ＋÷＝
第1页 共2页 总 课 题 6.3不等式的证明 总课时 6 第 1课时
课 题 不等式的证明（比较法） 课 型 新授课
教学目标 熟悉用比较法证明不等式的理论依据
掌握用比较法证明不等式的一般步骤
培养分析问题、解决问题的能力
教学重点 比较法证明不等式
教学难点 比较法证明不等式
教学过程 教学内容 备课札记
一、复习回顾：
二、新知讲授：
比较法分为：比差法、比商法
例1、 求证：x2+3>3x
例2、 已知a,b,m都是正数，并且a 例3、 已知a,b是正数，并且a≠b，求证：a3+b3>a2b+ab2 课堂练习：书P14 T1,2,3,4,5 1、 求证：222233cbacba 2、 已知：a+b+c=1,求证：a2+b2+c2≥31 例4、 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n,问甲、乙两人谁先到达指定地点。 例5、 已知a,b∈R+,求证：2baabbaba 课堂小结：比较法：作差、作商 重点：作差比较法的步骤：作差、变形、判断符号 布置作业：另附 a>ba-b>0 a=ba-b=0 第2页 共2页
