运筹学第3章对偶理论和灵敏度分析(2017.11.6)

原问题目标函数的系数是其对偶问题约束条件 的右端项。
可用如下表格来表示：
对 b1 y1
偶 问 题
b2 y2 ..
（..
求 ..
极 bm ym 小） 右端项
原问题（求极大）
c1
c2
…
cnΒιβλιοθήκη x1x2…
xn
a11
a12
…
a1n
a21
a22
… a2n
.
.
.
.
.
…
.
.
.
.
am1
am2
…
amn
≥ c1
≥ c2
解：当λ1=λ2=0时，上述LP问题的最终单纯形表如 上表所示。 （i）对基变量x1的目标函数系数进行灵敏度分析： 将λ1的变化反映到最终单纯形表中：
设产品Ⅰ的计划产量为x1，产品Ⅱ的计划产 量为x2， 则有线性规划问题LP1：
目标函数： max
约束条件：
s.t.
z 50x1 100x2
x1 x2 300 2x2x12x520 400 x1, x2 0
现假定有另一八卦机器厂，该厂的规模较小一些， 想租用阴阳厂的设备进行生产。那么阴阳厂的领导应 该给自己的设备制定一个怎样的出租价格呢？
(B, N ) ( X B , X N )T X S b
即： Z CB X B CN X N
(4)
BXB NX N X s b
(5)
式（5）两端左乘B-1得：
X B B1NX N B1X s B1b
由式（6）得：
X B B1b B1NX N B1X s
A (B, N)
(6)
s.t. 3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30 x1 0, x2无约束, x3 0

目标函数取值 变量 目标函数系数 常数 约束条件系数 变量 - 约束 约束 - 变量
例2：将下述线性规划作为原问题，请转换为 对偶问题 max z=5x1+3x2+2x3+4x4 5x1+x2+x3+8x4≤8 2x1+4x2+3x3+2x4=10 x1≥0,x2≥0,x3任意,x4任意
1 对偶理论
对偶问题的提出 原问题与对偶问题的数学模型 原问题与对偶问题的对应关系 对偶问题的基本性质 影子价格 对偶单纯形法
对偶问题的提出
例1：某厂利用现有资源(设备A、设备B、 调试工序)生产两种产品(产品Ⅰ、产品Ⅱ)，有 关数据如下表。问如何安排生产，使厂家利润 最大？ 产品Ⅰ 产品Ⅱ 资源限量 0 5 15 6 2 24 1 1 5 2 1
CX*=bTY*
从弱对偶性可得到以下重要结论： (1)极大化问题(原问题)的任一可行解所对应的目 标函数值是对偶问题最优目标函数值的下界。 (2)极小化问题(对偶问题)的任一可行解所对应的 目标函数值是原问题最优目标函数值的上界。 (3)若原问题可行，但其目标函数值无界，则对偶 问题无可行解。 (4)若对偶问题可行，但其目标函数值无界，则原 问题无可行解。 (5)若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则 原问题目标函数值无界。 (6)对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对 偶问题的目标函数值无界。
原问题与对偶问题的数学模型
原问题 max z=2x1+x2 5x2≤15 6x1+2x2≤24 x1+x2≤5 x1,x2≥0 互为对偶问题 厂 家 对偶问题 min w=15y1+24y2+5y3 6y2+y3≥2 5y1+2y2+y3≥1 y1,y2,y3≥0

x2 3x3 4x4 5
2x1 3x2 7x3 4x4 2
x1 0，x2 0, x3、x4无约束
答案： 1. max W 2 y1 3 y2 5 y3
2y1 3y2 y3 2
35yy11
y2 7y2
4y3 6y3
2 4
y1 0,y2 .y3 0
2. max W 3 y1 5 y2 2 y3
对偶理论与灵敏度分析
❖ 线性规划的对偶问题 ❖ 对偶问题的基本性质 ❖ 影子价格 ❖ 对偶单纯形法 ❖ 灵敏度分析
3.1 线性规划的对偶问题
一、问题的提出 回顾例题1
例1 某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品（假定产
品畅销）。已知生产单位产品的利润与所需的劳动力、设备
台时及原材料的消耗，如表1.1所示
y3
2 3 5 1 无约束
课堂练习
1. min Z 2x1 2x2 4x3
2x1 3x2 5x3 2
3x1 x2 7 x3 3
x1 4x2 6x3 5
x1, x2 , x3 0
2. min Z 3x1 2x2 3x3 4x4
x1 2x2 3x3 4x4 0
CB XB b
0 x4 60 0 x5 10 0 x6 20
检验数j
CB XB b
0 x4 2 x1 -1 x2
检验数j
课堂练习
2 -1 1
x1
x2
x3
311 2 -1 2 1 1 -1
2 -1 1
x1
x2
x3
000 x4 x5 x6 100 010 001
00 0 x4 x5 x6 1 -1 -2 0 1/2 1/2 0 -1/2 1/2

对偶理论和灵敏度分析
1.单纯形的矩阵描述
用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的 表达式,设线性规划的标准型为 maxz=CX AX=b X≥0
C=(CB,CN)，X=(XB,XN)’，A=(B,N)
由约束条件AX=(B,N)(XB,XN)=BXB+NXN=b，可以得 到用非基变量表示基变量的表达式:
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
' ' - a 1k / alk ' ' - a 2k / alk ... ' 1 / alk ... ' ' - a mk / alk
3对偶理论
某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间生产，最 后都需在C车间装配，相关数据如表所示： 问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 工时单耗 生产能力 产品 甲 乙 车间 A 1 0 8 B 0 2 12 C 3 4 36 单位产品获利 3 5 • maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
(4)影子价格在资源采购决策中的应用。
当资源的市场价格低于影子价格，企业买进该资源，扩 大生产，当资源的市场价格高于影子价格，企业应设法转让 该资源。
(5)利用影子价格分析工艺改变后对资源节约的收益。 例如设工厂现有钢材100吨，其影子价格为3/4，采用新 工艺后，钢材可以节约2%，则由此带来的经济收益为：
(3)影子价格在新产品开发决策中的应用。 产品 资源 A B 影子价格(万元)
钢材 煤 机时
单位利润(万元)