高考天津市理科数学真题含答案解析超完美版

高考理科数学考试真题（天津卷）参考答案（1）．A 【解析】73472525134343425i i ii i ii i.（2）．B 【解析】作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点1,1时，z 取得最小值3.（3）．B 【解析】1i时，3T ，3S ；2i 时，5T ，15S ； 3i时，7T，105S，4i输出105S .（4）．D 【解析】240x，解得2x或2x .由复合函数的单调性知f x 的单调递增区间为,2.（5）．A 【解析】依题意得22225bacc a b ，所以25a，220b ，双曲线的方程为221520x y .（6）．D 【解析】由弦切角定理得FBDEAC BAE ，又BFD AFB ，所以BFD ∽AFB ，所以BFBDAF AB，即AF BD AB BF ，排除A 、C .又FBD EAC DBC ，排除B .（7）．C 【解析】设f xx x ，则220,0,x xx x f x ，所以f x 是R 上的增函数，“a b ”是“a ab b ”的充要条件.（8）．C 【解析】因为120BAD，所以cos1202AB AD AB AD .因为BEBC ，所以AEABAD ，AFABAD .因为1AE AF ，所以1ABAD AB AD ，即3222①同理可得23②，①+②得56. （9）．60【解析】应从一年级抽取4604556300名.（10）．203【解析】该几何体的体积为2120422333m . （11）．12【解析】依题意得2214S S S ，所以21112146a a a ，解得112a . （12）．14【解析】因为2sin 3sin B C ，所以23b c ，解得32c b ，2a c .所以2221cos 24b c a Abc. （13）．3【解析】圆的方程为2224x y ，直线为y a .因为AOB 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为,3a ，代入圆的方程可得3a.（14）．01a 或9a 【解析】解法一 显然0a .（ⅰ）当1ya x 与23yx x 相切时，1a ，此时10f x a x 恰有3个互异的实数根.（ⅱ）当直线1ya x 与函数23yx x 相 切时，9a ，此时10f x a x 恰有2个互异的实数根.结合图象可知01a 或9a.t解法二：显然1a，所以231x xax .令1t x ，则45a tt.因为,,444t t ， 所以45,19,tt.结合图象可得01a 或9a .（15）．【解析】（Ⅰ）由已知，有2133cos sin cos 3cos 22f xxx x x2133sin cos cos 2x x x133sin 21cos24x x13sin 2cos244x x1sin 223x .所以，f x 的最小正周期22T .（Ⅱ）因为f x 在区间,412上是减函数，在区间,124上是增函数.144f，1122f ，144f . 所以，函数f x 在闭区间,44上的最大值为14，最小值为12. （16）．【解析】（Ⅰ）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则120337373104960C C C C P AC . 所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960. 所以，f x 的最小正周期22T.（Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.346310k kC C P x kC 0,1,2,3k .所以，随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望1236210305E X . （17）．【解析】（方法一）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得1,0,0B ，2,2,0C ，0,2,0D ，0,0,2P .由E 为棱PC 的中点，得1,1,1E .（Ⅰ）向量0,1,1BE ，2,0,0DC ，故0BE DC . 所以，BE DC .（Ⅱ）向量1,2,0BD ，1,0,2PB.设,,nx y z 为平面PBD 的法向量，则0,0,n BD nPB即20,20.x y xz不妨令1y，可得2,1,1n 为平面PBD的一个法向量.于是有3cos ,62n BE n BEnBE. 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为3. （Ⅲ）向量1,2,0BC，2,2,2CP ，2,2,0AC，1,0,0AB .由点F 在棱PC 上，设CF CP ，01.故12,22,2BF BC CF BC CP.由BFAC ，得0BF AC，因此，2122220，解得34.即113,,222BF . 设1,,n x y z 为平面FAB 的法向量，则110,0,n AB n BF即0,1130.222xx y z不妨令1z，可得10,3,1n 为平面FAB 的一个法向量. 取平面ABP 的法向量20,1,0n ，则121211310cos ,101nn n n n n . 易知，二面角F AB P 是锐角，所以其余弦值为10. （方法二）（Ⅰ）如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM . 由于,E M 分别为,PC PD 的中点， 故//EM DC ，且12EMDC ，又由已知，可得//EM AB 且EMAB ，故四边形ABEM为平行四边形，所以//BE AM . 因为PA 底面ABCD ，故PACD ，而CDDA ，从而CD平面PAD ，因为AM平面PAD ，于是CD AM ，又//BE AM ，所以BE CD .（Ⅱ）连接BM ，由（Ⅰ）有CD 平面PAD ，得CD PD ，而//EM CD ，故PD EM .又因为AD AP ，M 为PD 的中点，故PDAM ，可得PD BE ，所以PD平面BEM ，故平面BEM平面PBD .所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ，可得EBM 为锐角，故EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角. 依题意，有22PD，而M 为PD 中点，可得2AM ，进而2BE .故在直角三角形BEM 中，tan 2EM AB EBMBE BE ，因此3in s EMB. 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为3. （Ⅲ）如图，在PAC 中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H .因为PA底面ABCD ，故FH底面ABCD ，从而FH AC .又BF AC ，得AC平面FHB ，因此AC BH . 在底面ABCD 内，可得3CHHA ，从而3CF FP .在平面PDC 内，作//FG DC交PD 于点G ，于是3DGGP .由于//DC AB ，故//GF AB ，所以,,,A B F G 四点共面. 由ABPA ，AB AD ，得AB平面PAD ，故AB AG .所以PAG 为二面角F ABP 的平面角.在PAG 中，2PA ，1242PG PD ，45APG ，由余弦定理可得10AG，3os 10c PAG . 所以，二面角F AB P .（18）．【解析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点2F 的坐标为,0c .由1232ABF F ， 可得2223abc ，又222bac ，则2212c a. 所以，椭圆的离心率22e. 3c ，所以22223a c c ，解得2a c ，22e. （Ⅱ）由（Ⅰ）知222a c ，22bc .故椭圆方程为222212x y cc .设00,P x y .由1,0F c ，0,B c ，有100,F P x c y ，1,F Bc c .由已知，有110FP FB ，即000x c cy c.又0c，故有000x y c . ①又因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c . ②由①和②可得200340x cx .而点P 不是椭圆的顶点，故043cx ，代入①得03cy ，即点P 的坐标为4,33c c . 设圆的圆心为11,T x y ，则1402323c x c ，12323c cy c ，进而圆的半径221150rx y cc . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx .由l 11y r 2223351c c kc k ， 整理得2810kk ，解得415k .所以，直线l 的斜率为415或415.（19）．【解析】（Ⅰ）当2q，3n 时，0,1M ，12324,,1,2,3iA x xx x x M x i .可得，0,1,2,3,4,5,6,7A.（Ⅱ）由,s t A ，112n n s a a qa q ，112n n tb b qb q ，,i ia b M ，1,2,,i n 及nn a b ，可得11222111nn nnnn a b q a b q s ta b a b q21111nn q q qq q q11111nn q q q q10.所以，s t .（20）．【解析】（Ⅰ）由x f xxae ，可得1x f xae .下面分两种情况讨论： （1）0a 时，0f x 在R 上恒成立，可得f x 在R 上单调递增，不合题意. （2）0a时，由0f x，得ln xa .当x 变化时，f x ，f x 的变化情况如下表：＋ x这时，f x 的单调递增区间是,ln a ；单调递减区间是ln ,a .于是，“函数y f x 有两个零点”等价于如下条件同时成立： 1°ln 0fa；2°存在1,ln a s ，满足10f s ；3°存在2ln ,a s ，满足20f s .由ln 0fa ，即ln 10a ，解得10ae ，而此时，取10s ，满足1,ln a s ，且10f s a ；取222ln s a a，满足2ln ,a s ，且22222ln 0aaf s eeaa.所以，a 的取值范围是10,e .（Ⅱ）由0xf x xae ，有x x a e. 设xxg xe ，由1xxg x e ，知g x 在,1上单调递增，在1,上单调递减. 并且，当,0x 时，0g x ；当0,x 时，0g x .由已知，12,x x 满足1ag x ，2ag x . 由10,ae，及g x 的单调性，可得10,1x ，21,x .对于任意的1120,,a a e，设12a a ，121gga ，其中1201；122g ga ，其中121.因为g x 在0,1上单调递增，故由12a a ，即11gg，可得11；类似可得22.又由11,0，得222111.所以，21x x 随着a 的减小而增大. （Ⅲ）由11x x ae ，22x x ae ，可得11ln ln x ax ，22ln ln x ax .故221211ln ln lnx x x x x x . 设21x t x ，则1t ，且2121,ln ,x tx x x t 解得1ln 1tx t ，2ln 1t tx t .所以，121ln 1t t x x t . ①令1ln 1xx h xx ，1,x，则212ln 1xxx h xx .令12ln u x x xx ，得21x u x x. 当1,x时，0u x .因此，u x 在1,上单调递增，故对于任意的1,x ，10u xu ，由此可得0h x ，故h x 在1,上单调递增.因此，由①可得12x x 随着t 的增大而增大.而由（Ⅱ），t 随着a 的减小而增大，所以12x x 随着a 的减小而增大.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：。

绝密★启用前201X 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么•如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+. ()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =.•圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积， h 表示圆柱的高.h 表示圆锥的高.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 学科.网（1）已知集合}{4,3,2,1=A ，}{A x x y y B ∈-==,23，则=B A （A ）}{1（B ）}{4（C ）}{3,1（D ）}{4,1 （2）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-++-.0923,0632,02y x y x y x 则目标函数y x z 52+=的最小值为（A ）4-（B ）6（C ）10（D ）17≥ ≥ ≤（3）在ABC ∆中，若13=AB ，3=BC ， 120=∠C ， 则=AC（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）2 （B ）4（C ）6（D ）8（5）设}{n a 是首项为正数的等比数列，学科&网公比为q ，则“0＜q ”是“对任意的正整数n ，0212＜n n a a +-”的（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）已知双曲线14222=-by x ）＞（0b ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，学科&网四边形ABCD 的面积为b 2，则双曲线的方程为（A ）143422=-y x （B ）134422=-y x （C ）144222=-y x （D ）112422=-y x （7）已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（A ）85-（B ）81 （C ）41（D ）811 （8）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+++-+=0,1)1(log 0,3)34()(2x x x a x a x x f a＜（0＞a ，学.科网且1≠a ）在R 上单调递减，且关于x 的方程x x f -=2)(恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（A ）]32,0(（B ）]43,32[ （C ） ]32,31[{43}（D ） )32,31[{43}≥ （第4题图）绝密★启用前201X 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. （9）已知a ，∈b R ，i 是虚数单位，若a b =-+)i 1)(i 1(，则ba的值为_____________. （10）82)1(xx -的展开式中7x 的系数为_____________.（用数字作答） （11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），学科.网则该四棱锥的体积 为_____________3m .（12）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，22==AE BE ，ED BD =，则线段CE 的长为_____________.（13）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增.若实数a 满足)2()2(1--f f a ＞，则a 的取值范围是_____________.（14）设抛物线⎩⎨⎧==pty pt x 2,22（t 为参数，0＞p ）的焦点F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设)0,27(p C ，AF 与BC 相交于点E .若AF CF 2=，且ACE ∆的面积为23，则p 的值为_____________.三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知函数3)3cos()2sin(tan 4)(---=ππx x x x f .（Ⅰ）求)(x f 的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论)(x f 在区间]4,4[ππ-上的单调性.（16）（本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分 别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列 和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面⊥OBEF 平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2==BE AB .（Ⅰ）求证：EG ∥平面ADF ； （Ⅱ）求二面角C EF O --的正弦值； （Ⅲ）设H 为线段AF 上的点，且HF AH 32=，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.（18）（本小题满分13分）已知}{n a 是各项均为正数的等差数列，学.科.网公差为d .对任意的*∈N n ，n b 是n a 和1+n a 的等比中项.（Ⅰ）设221n n n b b c -=+，*∈N n ，求证：数列}{n c 是等差数列；（Ⅱ）设d a =1，∑=-=nk kkn b T 212)1(，*∈N n ，求证21211d T nk k＜∑=.（19）（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x )3(＞a 的右焦点为F ，右顶点为A .已知FAeOA OF 311=+， 其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. 学.科.网（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若HF BF ⊥，且MOA ∠≤MAO ∠，求直线l 的斜率的取值范围.（20）（本小题满分14分）设函数b ax x x f ---=3)1()(，∈x R ，其中a ，∈b R . （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：3201=+x x ； （Ⅲ）设0＞a ，函数)()(x f x g =，求证：)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于．．．41201X 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）一、选择题： （1）【答案】D （2）【答案】B （3）【答案】A （4）【答案】B （5）【答案】C （6）【答案】D （7）【答案】B （8）【答案】C第Ⅱ卷二、填空题： （9）【答案】2 （10）【答案】56- （11）【答案】2 （12）【答案】233（13）【答案】13(,)22(14) 【答案】6 三、解答题 （15）【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 学科&网在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、学科&网周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间[,44ππ-]上单调性试题解析：()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 34sin cos 333f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213=4sin cos sin 32sin cos 23sin 322x x x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭()()=sin 231-cos 23sin 23cos 2=2sin 23x x x x x π+-=--.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== ()II 解：令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦学.科网时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 【结束】 (16) 【答案】（Ⅰ）13（Ⅱ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：210C ，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：112344C C C +，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为0,1,2.学.科网再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望试题解析：解：()I 由已知，有()1123442101,3C C C P A C +==所以，事件A 发生的概率为13. ()∏随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()2223342100C C C P X C ++==415=， ()111133342107115C C C C P X C +===， ()11342104215C C P X C ===. 所以，随机变量X 学.科网分布列为X 0 12 P415 715415随机变量X 的数学期望()4740121151515E X =⨯+⨯+⨯=.考点：概率，概率分布与数学期望 【结束】 (17)【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）33（Ⅲ）721【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值试题解析：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（I ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则110n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ .不妨设1z =，可得()10,2,1n =，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面.（II ）解：易证，()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量.依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-.设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量，则220n E F n C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩ .不妨设1x =，可得()21,1,1n =-.因此有2226cos ,3OA n OA n OA n ⋅<>==-⋅，于是23sin ,3OA n <>=，所以，二面角O EF C --的正弦值为33. （III ）解：由23AH HF =，学.科网得25AH AF =.因为()1,1,2AF =-，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫=⎪⎝⎭，因此2227cos ,21BH n BH n BH n ⋅<>==-⋅.所以，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.考点：利用空间向量解决立体几何问题 【结束】 (18)【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：21n n n b a a +=，从而22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此根据等差数列定义可证：()212122n n n n c c d a a d +++-=-=（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简()2211nnn n k T b ==-∑()()()2222221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+，再利用裂项相消法求和()222111111111111212121nn n k k k kT d k k d k k d n ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，易得结论. 试题解析：（I ）证明：由题意得21n n n b a a +=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.（II ）证明：()()()2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+()()()22224222212n n n a a d a a a d d n n +=+++=⋅=+所以()222211111111111112121212nn n k k k k T d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【结束】 （19）【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由113||||||c OF OA FA +=，得113()cc a a a c +=-，再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M再OA 中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（1）解：设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （2）（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k ky B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF .由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(MMMM y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ . 考点：学.科网椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 【结束】（20）【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：a x x f --=2)1(3)('，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当0a ≤时，有()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得3)1(20a x =-，计算可得00(32)()f x f x -=再由)()(01x f x f =及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数)(x g 最大值：主要比较(1),(1)f f -，33|(|,|()|33a a f f -的大小即可，分三种情况研究①当3a ≥时，33120331aa +≤<≤-，②当334a ≤<时，3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-，③当304a <<时，23313310<+<-<a a . 试题解析：（Ⅰ）解：由b ax x x f ---=3)1()(，可得a x x f --=2)1(3)('. 下面分两种情况讨论：（1）当0≤a 时，有0)1(3)('2≥--=a x x f 恒成立，所以)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. （2）当0>a 时，令0)('=x f ，解得331ax +=，或331a x -=.当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：x)331,(a --∞ 331a - )331,331(a a +- 331a+ ),331(+∞+a )('x f＋0 － 0 ＋ )(x f单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以)(x f 的单调递减区间为)331,331(a a +-，单调递增区间为)331,(a --∞，),331(+∞+a. （Ⅱ）证明：因为)(x f 存在极值点，所以由（Ⅰ）知0>a ，且10≠x ，由题意，得0)1(3)('200=--=a x x f ，即3)1(20ax =-，进而b ax a b ax x x f ---=---=332)1()(00300. 又b a ax x ab x a x x f --+-=----=-32)1(38)22()22()23(000300)(33200x f b a x a =---=，且0023x x ≠-，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 )()(01x f x f =，且01x x ≠，因此0123x x -=，所以3201=+x x ；（Ⅲ）证明：设)(x g 在区间]2,0[上的最大值为M ，},max{y x 表示y x ,两数的最大值.下面分三种情况同理：（1）当3≥a 时，33120331aa +≤<≤-，由（Ⅰ）知，)(x f 在区间]2,0[上单调递减，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]0(),2([f f ，因此|}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=⎩⎨⎧<++--≥+++-=0),(10),(1b a b a a b a b a a ，所以2||1≥++-=b a a M . （2）当343<≤a 时，3321233133103321aa a a +≤<+<-<≤-，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，)331()3321()0(a f a f f +=-≥，)331()3321()2(af a f f -=+≤，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]331(),331([a f a f -+，因此 |}392||,392max {||})331(||,)331(max {|b a a ab a a a a f a f M -----=-+= |})(392||,)(392max{|b a a a b a a a +-+--= 414334392||392=⨯⨯⨯≥++=b a a a . （3）当430<<a 时，23313310<+<-<aa ，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，)331()3321()0(a f a f f +=-<，)331()3321()2(af a f f -=+>， 学.科网所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]2(),0([f f ，因此|}21||,1max{||})2(||,)0(max{|b a b f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=41||1>++-=b a a . 综上所述，当0>a 时，)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于41. 考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【结束】。

高考理科数学考试真题（天津卷）参考答案1．【答案】B 【解析】73i i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i - 2．【答案】A【解析】∵=0ϕ⇒()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数，反之不成立，∴“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件. 3．【答案】C【解析】根据图给的算法程序可知：第一次=4x ，第二次=1x ，则输出=21+1=3x ⨯. 4．【答案】B【解析】解法1：因为(0)=1+02=1f --，3(1)=2+22=8f -，即(0)(1)<0f f ⋅且函数()f x 在(0,1)内连续不断，故()f x 在(0,1)内的零点个数是1.解法2：利用数形结合，画出1=2xy ，32=2y x -，在同一坐标系中作出两函数的图像，1=2xy 与32=2y x -在（0,1）内只有一个交点，可知B 正确. 5．【答案】D【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r rC x -，∴103=1r -，即=3r ，∴x 的系数为40-. 6．【答案】A【解析】∵8=5b c ，由正弦定理得8sin =5sin B C ，又∵=2C B ，∴8sin =5sin 2B B ，所以8sin =10sin cos B B B ，易知sin 0B ≠，∴4cos =5B ， 2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725. 7．【答案】A【解析】∵=BQ AQ AB -=(1)AC AB λ--，=CP AP AC -=AB AC λ-， 又∵3=2BQ CP ⋅-，且||=||=2AB AC ，0<,>=60AB AC ，0=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅，C∴3[(1)]()=2AC AB AB AC λλ----， 2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅-，所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---，解得1=2λ.8．【答案】D【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n +=++≤，设=t m n +，则21+14tt ≥，解得(,2[2+22,+)t ∈-∞-∞. 9．【答案】18，9【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所， 所以应从小学中抽取15030=18250⨯，中学中抽取7530=9250⨯. 10．【答案】18+9π【解析】由三视图可知该几何体为两个相切的球上放了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：343=361+2()32V π⨯⨯⨯⨯=18+9π3m . 11．【答案】1-，1【解析】∵={||+2|<3}A x R x ∈={||5<<1}x x -,又∵=(1,)AB n -，画数轴可知=1m -，=1n .12．【答案】2【解析】∵2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩可得抛物线的标准方程为2=2y px (>0)p ，∴焦点(,0)2p F ，∵点M 的横坐标是3，则(3,M，所以点(,2pE -， 222=()+(06)22p p EF p -，由抛物线得几何性质得=+32pMF ，∵=EF MF ，∴221+6=+3+94p p p p ，解得=2p .13．【答案】43【解析】∵=3AF ，=1FB ，3=2EF ，由相交弦定理得=AF FB EF FC ⋅⋅，所以=2FC ，又∵BD ∥CE ，∴=AF FC AB BD ，4==23AB BD FC AF ⋅⨯=83，设=CD x ，则=4AD x ，再由切割线定理得2=BD CD AD ⋅，即284=()3x x ⋅，解得4=3x ，故4=3CD .14．【答案】(0,1)(1,4)【解析】21,1,1|1|=11,11x x x x y x x x +><-⎧-⎪=⎨----<<⎪⎩ 函数=2y kx -的图像直线恒过定点B(0,2)-，画出两个函数的图像， 由图像可知(0,1)(1,4)k ∈.15．【解析】(1) x x x x x x f 2cos 3sin2cos 3cos2sin 3sin2cos 3cos2sin )(+-++=ππππ)42sin(22cos 2sin π+=+=x x x所以()f x 的最小正周期为ππ==22T . (2)因为()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡84-ππ，上是增函数,在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡48ππ，上是减函数,又1)4(,2)8(,1)4(==-=-πππf f f ,故函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值为2,最小值为-1.16．【解析】依题意这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为31,去参加乙游戏的概率为32. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件)4,3,2,1,0(=i A i ，则iii i C A P -⎪⎭⎫ ⎝⎛=44)32(31)(，（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率278)32(31)(22242=⎪⎭⎫ ⎝⎛=C A P （Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则43A A B =，由于3A 与4A 互斥，故91)31()32()31()()()(44433443=+=+=C C A P A P B P所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为91. （Ⅲ）ξ的所有可能值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,与0A 4A 互斥,故8140)()()2(,278)()0(312=+=====A P A P P A P P ξξ 8117)()()4(40=+==A P A P P ξ 所以ξ的分布列为ξ0 2 4p2788140 8117 随机变量ξ的数学期望81148814812270)(=⨯+⨯+⨯=ξE . 17．【解析】如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得)2,0,0(),0,21,21(),0,1,0(),0,0,2(),,0,0(P B C D A -（1）证明：易得）（），，（0,2,2AD 2-1,0PC == 于是0AD PC =⋅，所以CD PC ⊥ （2）），（），，（0,1-22-1,0==， 设平面PCD 的法向量),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00即⎩⎨⎧=-=-0202y x z y ，不妨设1=z可得)1,2,1(=可取平面PCD 的法向量)0,0,1(=于是66,cos =>=<，从而630,sin >=<n m 所以，二面角D PC A --的正弦值为630. (3)设点），（h ,0,0E ,其中[]2,0∈h ,由此得),21,21(h -= 由)0,1,2(-=CD ,故222010352123,cos hh +=⨯+=>=<所以2330cos 201032==+ h ,解得1010=h ,即1010=AE .18．【解析】(Ⅰ)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由211==b a得d S q b d a 68,2,324344+==+=，由条件得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++102682723233q d q d解得⎩⎨⎧==23q d ，所以*∈=-=N n b n a n n n ,2,13(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得112n 222T a a a nn n +++=- ……① 11132n 2222T a a a n n n +-+++= …………①②-①得2322)222(3)13(2++++++--=n n n n T10621026221)21(1221--⨯=+-+--=+-n n n n n 而10621012210)13(212102--⨯=-⨯+--=-+-n n b a nn n n故*∈+-=+N n b a T n n n ,1021219．【解析】（Ⅰ）解:设点),(00y x P ,由题意得 1220220=+by a x ①由)0,(),0,(a B a A -得ax y k a x y k BP AP -=+=0000, 由21-=⋅BP AP k k 可得202202y a x -=代入①并整理得 0)2(2022=-y b a ,由于00≠y ,故222b a =,于是212222=-=a b a e ,所以椭圆的离心率为22=e（Ⅱ）证明:依题意直线OP 的方程kx y =,设点),(00y x P ,有条件得⎪⎩⎪⎨⎧=+=122022000b y ax kx y 消去0y 并整理得 2222220ba kb a x +=② 由)0,(,a A OA AP -=及00kx y =得220220)(a x k a x =++整理得 02)1(02022=++ax x k 而00≠x ,于是2012kax +-=,代入②整理得 4)(412222+=+ab k k ）（,由0>>b a ,故441222+>+k k ）（ 即32>k ,所以3>k .20．【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为),(+∞-aax a x a x x f +-+=+-='111)(，由0)(='x f ，得a a x ->-=1 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的符号情况如下表：因此，)(x f 在a x -=1处取得最小值，故由题意,01)1(=-=-a a f 所以.1=a（Ⅱ）当0≤k 时，取1=x ，有02ln 1)1(>-=f ，故0≤k 不合题意. 当0>k 时,令2)()(kx x f x g -=,即2)1ln()(kx x x x g -+-=1)21(221)(2+-+-=-+='x xk kx kx x x x g令0)(='x g 得1221,021->-==kkx x ①当21≥k 时, 0)(,0221<'≤-x g kk 在),0(+∞上恒成立,因此)(x g 在),0[+∞上单调递减,从而对于任意的),0[+∞∈x ,总有0)0()(=≤g x g ,即2)(kx x f ≤在),0[+∞上恒成立.故21≥k 符合题意. ②当210<<k 时, 0221>-k k ,对于0)(),221,0(>'-∈x g k kx故)(x g 在)221,0(k k -内单调递增,因此,当取)221,0(0kkx -∈时,0)0()(0=>g x g ,即200)(kx x f ≤不成立.故210<<k 不合题意. （Ⅲ）证明:当1=n 时,不等式左边=<-=23ln 2右边,所以不等式成立. 当2≥n 时,∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=-ni ni i i i f 11)1221ln(122)122( []∑∑==--+--=ni ni i i i 11)12ln()12ln(122)12ln(1221+--=∑=n i ni 在（Ⅱ）中取21=k 得)0(2)(2≥≤x x x f ,从而)2,()12)(32(2)12(2)122(2≥*∈--<-≤-i N i i i i i f 所以有∑∑==-=+--ni ni i f n i 11)122()12ln(122 ∑∑==--+-<-+=ni ni i i i f f 22)12)(32(23ln 2)122()2( ∑=---+-=ni i i 2)121321(3ln 2 212113ln 2<--+-=i 综上∑=*∈<+--ni N n n i 1.2)12ln(122。

普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（天津卷，含答案）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 是虚数单位，复数131ii--= A.2i - B. 2i + C.12i -- D. 12i -+【答案】A2.设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的 A. 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】A3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B4.已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和,*n N ∈,则10S 的值为6.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,23,2AB CD AB BD BC BD ===， 则sin C 的值为（ ）A ．3B ．3C ．6D ．6 【答案】D7．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】C8.对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()22()2,.f x x x x x R =--∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 【答案】B311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭CE 与圆相切,则线段CE 的长为 . 【答案】7213．已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t⎧⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________【答案】{}|25x x -≤≤14.已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,90ADC ∠=,AD=2,BC=1,P 是腰DC 上的动点,则|3|PA PB +的最小值为 .【答案】5三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15.（本小题满分13分） 已知函数()tan(2),4f x x π=+，（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期； （Ⅱ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）12π17.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长．【答案】（Ⅰ）23；（Ⅱ）357；（Ⅲ）10418.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．【答案】（Ⅰ）12；（Ⅱ）218163150(0)x xy x --=>20.（本小题满分14分） 已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2n n n n n n n b a a b a b ++++-++==， *n ∈N ，且122,4a a ==．（Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；（Ⅲ）设*242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17()6nkk kS n N a=<∈∑． 【答案】（Ⅰ）3,5,4--。

绝密★启用前2024年天津市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A ={1,2,3,4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =( ) A. {1,2,3,4}B. {2,3,4}C. {2,4}D. {1}2.设a ，b ∈R ，则“a 3=b 3”是“3a =3b ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列图中，相关性系数最大的是( )A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是( )A. e x −x 2x 2+1B. cosx+x 2x 2+1C. e x −x x+1D.sinx+4xe |x|5.若a =4.2−0.3，b =4.20.3，c =log 4.20.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. b >c >a6.若m ，n 为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( ) A. 若m//α，n ⊂α，则m//n B. 若m//α，n//α，则m//n C. 若m//α，n ⊥α，则m ⊥nD. 若m//α，n ⊥α，则m 与n 相交7.已知函数f(x)=sin3(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π.则函数在[−π12,π6]的最小值是( ) A. −√ 32B. −32C. 0D. 328.双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2，△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( ) A.x 22−y 28=1 B.x 24−y 28=1 C.y 24−x 28=1 D.x 22−y 24=19.一个五面体ABC −DEF.已知AD//BE//CF ，且两两之间距离为1.并已知AD =1，BE =2，CF =3.则该五面体的体积为( ) A.√ 36B. 3√ 34+12 C. √ 32 D. 3√ 34−12第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}2,3,4 C.{}2,4 D.{}1【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B = ，2.设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3.下列图中，相关性系数最大的是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A4.下列函数是偶函数的是（）A.22e 1x x y x -=+ B.22cos 1x x y x +=+ C.e 1x xy x -=+ D.||sin 4e x x x y +=【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R ，因为()sin141e ϕ+=，()sin141eϕ---=，则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.故选：B.5.若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B6.若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（）A.若//m α，n ⊂α，则//m nB.若//,//m n αα，则//m nC.若//,αα⊥m n ，则m n ⊥D.若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m α，n ⊂α，则,m n 平行或异面，故A 错误.对于B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα= ，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，故C 正确.对于D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误.故选：C .7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（）A.32B.32-C.0D.32【答案】A 【解析】【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=，即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min π3sin 32f x =-=-故选：A8.双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A.22182y x -= B.22184x y -= C.22128x y -= D.22148x y -=【答案】C 【解析】【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得12sin 5θ=，因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin 5θ=121212::sin :sin :sin 902:1:5PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得2m =，。

高考理科数学考试真题（天津卷）参考答案1．D 【解析】{}|22A x x =-≤≤，[]2,1AB =-．选D ．2．A 【解析】由题意可知，目标函数经过可行域中的点()5,3时，z 取得最小值-7． 3．B 【解析】第一次循环，1S =，2x =； 第二次循环，9,4S x ==； 第三次循环，73S =，跳出循环．4．C 【解析】由球的体积公式可得，①正确；标准差不仅与平均数有关，还与各个数据有等于圆的半径③正确．5．C 【解析】由2e =，得b =，渐近线方程为：y =，准线方程2px =-，可求得,,,2222p p A p B p ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

∴122AOB pS ∆=⨯=，所以2p =．6．C 【解析】由余弦定理可得AC =sin 10A =． 7．B 【解析】令()0f x =，可得0.51log 2x x =，由图象法可知()f x 有两个零点． 8．A 【解析】解法一 由()()f x a f x +<，得()||1||||a x x a a x a ax x ++++<①当0a ≥，①⇔()||1||||x x a a x a x x ++++<，无解，即A =Φ，不符合，排除C ．取12a =-，①⇔111||1||||222x x x x x -+-->，符合11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，排除B 、D ．解法二 数形结合，∵()()1||f x x a x =+是奇函数．ⅰ）取1a =，()()1||f x x x =+，如图()()1f x f x +<，无解．排除C ．f (x )ⅱ）取12a =-，()11||2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()12y f x a f x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，满足11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，排除B 、D解法三 由题意0A ∈，即()()00f a f <=，所以()1||0a a a+<，当0a >时无解，所以0a <，此时210a -<，∴10a -<<．排除C 、D ．又111222<-<， ∴取12a =-，①⇔111||1||||222x x x x x -+-->，符合11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，排除B ． 9．12i +【解析】由题意101a a b-=⎧⎨+=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩，所以a + bi =12i +．10．15【解析】3662166((1)r rrr r rr TC x C x --+==-，3602r -=，解得4r =，常数项446(1)15C -=11．4cos ρθ=的直角坐标方程为224x y x +=，圆心()2,0C ，点P 的直角坐标为(2,，所以||CP =12．12【解析】()()1122AC BE AB AD BC CD AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221111||||1||||2242AD AD AB AB AB AB =+⋅-=+-∴2111||||42AB AB +-=1，解得1||2AB =．13．83【解析】由切割线定理有2EA EB ED =⋅，解得4EB =， 又 BAE ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠所以 //AE BC ，又//AC BD所以AEBC 是平行四边形，有6,4AE BC AC EB ==== 又CAFCBA ∆∆，所以CA CF CB CA =，得83CF =． 14．－2【解析】∵1||2||a a b +=||||4||4||4||a b a a b a a b a a b++=++13114||4||44a a a a +=+-+=≥≥ 当且仅当||,04||b a a a b=<，即2,4a b =-=时取等号 故1||2||a a b+取得最小值时，2a =-． 15．【解析】(1)f (x )＝sin 2x·ππcossin 44x ⋅＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x＝π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数．又f (0)＝－2，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故函数f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为，最小值为－2.16．【解析】 (Ⅰ)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则12222525476()7C C C C P A C +== 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67． (Ⅱ)随机变量X 的所有可能取值为l ，2，3，4．()()33344477141,23535C C P X P X C C ======()()33564477243,477C C P X P X C C ======所以随机变量x 的分布列是随机变量x 的数学期望1712343535775EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．17．【解析】解法一 如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)， B(0，0，2)，C(1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E(0，1，0)(I)易得11B C =（1，0，-1），CE =（-1，1，-1），于是110BC CE ⋅=，所以11B C CE ⊥． (Ⅱ)1B C =（1，-2，-1）．设平面B 1 CE 的 法向量(),,x y z =m ，则10B C CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即200x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩消去x ，得y+2z =0，不妨令z=1，可得一个法向量为m=（-3，-2，1）．由(I)知，11B C CE ⊥，又111CC B C ⊥，可得11B C ⊥平面1CEC ，故11B C =（1，0，-1）为平面1CEC 的一个法向量． 于是111111cos ,||||14B C B C B C ⋅<>===m m m从而1121sin ,7B C <>=m 所以二面角B 1－CE －C 1． （Ⅲ）AE =（0，1，0），1EC =(1，l ，1)，设()1,,EM EC λλλλ==，01λ≤≤， 有(),1,AM AE EM λλλ=+=+．可取AB =（0，0，2）为平面11ADD A 的一个法向量，设θ为直线AM 与平面11ADD A 所成的角，则sin cos ,3AM AB AM AB AMABθ⋅=<>==⋅6=，解得13λ=，所以AM =18．【解析】：(1)设F (－c,0)，由c a =，知a =.过点F 且与x轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有2222()1c y a b-+=， 解得y ==b =又a 2－c 2＝b 2，从而a ，c ＝1，所以椭圆的方程为22=132x y +. (2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.求解可得x 1＋x 2＝22623k k -+，x 1x 2＝223623k k -+.因为A (3-，0)，B (3，0)，所以AC ·DB ＋AD ·CB ＝(x 1y 1x 2，－y 2)＋(x 2y 2－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝22212623k k +++.由已知得22212623k k +++＝8，解得k ＝19．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5， 即4a 5＝a 3，于是25314a q a ==.又{a n }不是递减数列且132a =，所以12q =-. 故等比数列{a n }的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=-⋅⎪⎝⎭. (2)由(1)得11,121121,.2nn n n n S n ⎧⎫+⎪⎪⎪⎛⎫=--=⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎪⎪⎩⎭为奇数，为偶数当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32， 故11113250236n n S S S S <-≤-=-=. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1， 故221134704312n n S S S S >-≥-=-=-. 综上，对于n ∈N *，总有715126n n S S -≤-≤. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为712-. (20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间；(Ⅱ) 证明：对任意的t >0，存在唯一的s ，使()t f s =． (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =， 证明：当2>e t 时， 有2ln ()15ln 2g t t <<． 20．【解析】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x =当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f ′(x ) － 0 ＋f (x )极小值所以函数f (x )的单调递减区间是e ⎛ ⎝，单调递增区间是e ⎫+∞⎪⎭. (2)证明：当0＜x ≤1时，f (x )≤0.设t ＞0，令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)． 由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． h (1)＝－t ＜0，h (e t )＝e 2t ln e t －t ＝t (e 2t －1)＞0. 故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f (s )成立． (3)证明：因为s ＝g (t )，由(2)知，t ＝f (s )，且s ＞1，从而2ln ()ln ln ln ln ln ()ln(ln )2ln ln(ln )2ln g t s s s ut f s s s s s u u====++， 其中u ＝ln s . 要使2ln ()15ln 2g t t <<成立，只需0ln 2uu <<. 当t ＞e 2时，若s ＝g (t )≤e ，则由f (s )的单调性，有t ＝f (s )≤f (e)＝e 2，矛盾． 所以s ＞e ，即u ＞1，从而ln u ＞0成立． 另一方面，令F (u )＝ln 2u u -，u ＞1.F ′(u )＝112u -，令F ′(u )＝0，得u ＝2.当1＜u ＜2时，F ′(u )＞0；当u ＞2时，F ′(u )＜0. 故对u ＞1，F (u )≤F (2)＜0. 因此ln 2uu <成立． 综上，当t ＞e 2时，有2ln ()15ln 2g t t <<.。

普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞ 普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛ ⎝ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张,编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。