【全国百强校Word】河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学(理)试题
- 格式：docx
- 大小：1.29 MB
- 文档页数：18
19届（高三）上期入学摸底测试数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}6|24,,=|1,1x A x x N B x x Z x ⎧⎫=≤∈>∈⎨⎬+⎩⎭，则满足条件A C B ⊆⊆集合C 的个数为（ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ．1 2. 已知:p “2,33x R x ∀∈+≥”，则p ⌝是（ ） A ．2,33x R x ∀∈+< B ．2,33x R x ∃∈+≤ C ．2,33x R x ∃∈+< D ．2,33x R x ∃∈+≥ 3. 下列命题中正确命题的个数是（1）对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；（2）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变； （3）在残差图，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； （4）设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ； 若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=-（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 14. 《张丘建算经》卷上第22 题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（ ）A ． 18B ． 20 C. 21 D ．255. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体最长的一条棱长为（ ）A．．．6. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1111,n n n a a S S ++=-=，则10S =（ ） A ．110 B ． 110- C. 10 D ．-10 7.设0sin a xdx π=⎰，则()622x⎛+ ⎝的展开式中常数项是 （ ）A ． 332B ．-332 C. 320 D ．-3208. 设0sin 390a =，函数()0log 0x aa x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，则211log 108f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值等于（ ） A ． 9 B ． 10 C. 11 D ．129. 现有一个不透明的口袋中装有标号为1，2，2，3的四个小球，他们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为（ ）A ．16 B ．56 C. 38 D ．5810. 已知定义在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数()y f x =的图像关于直线4x π=对称，当4x π≥时，()sin f x x =，如果关于x 的方程()f x a =有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为（ ） A ．34π B ．2πC. π D ．2π 11. 已知直线l 与双曲线2214x y -=相切于点,P l 与双曲线两条渐近线交于,M N 两点，则OM ON =的值为（ ）A ．3B ． 4 C. 5 D ．与P 的位置有关 12.设()()210n n f x x x x x =++++>，其中,2n N n ∈≥，则函数()()2n n G x f x =-在1,12n ⎛⎫⎪⎝⎭内的零点个数是 （ ） A ． 0 B ． 1 C. 2 D ．与n 有关二、填空题：本大题共4题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知复数1z i =+，则221z zz -=- ． 14.从抛物线214y x =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5PM =.设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为 ．15.过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，当α最大时，点P 坐标为 ．16.设()3f x x x =-，过下列点()()()()0,0,0,2,2,1,,2,039A B C D E ⎛--- ⎝⎭分别作曲线()f x 的切线，其中存在三条直线与曲线()y f x =相切的点是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在平面直角坐标系xoy 中，已知向量sin ,cos ,cos ,sin 44m x x n x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()f x m n =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）在锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若0,12C f c ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值.18.郑州一中社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图：将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“围棋迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,19. 如图1，在直角梯形ABCD 中，090,//,2,1,ADC CD AB AB AD CD M ∠====为线段AB 的中点.将ADC ∆沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -，如图2所示.（1）求证：平面DBC ⊥平面ACD ； （2）求二面角B CD M --的余弦值.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=的离心率为121,2F F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且12PF F ∆的周长是6. （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆：()224:9T x t y -+=，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于E F 、两点，当圆心在x 轴上移动且()0,1t ∈时，求EF 的斜率的取值范围.21. 已知函数()ln f x x x =-. （1）证明：()ln xf x x>； （2）设0m n >>，比较()()()f m m f n n m n+-+-与22mm n+的大小，并说明理由. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程：1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线C 的参数方程：sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），且直线交曲线C 于,A B 两点.（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求3πθ=时，AB 的长度；（2）已知点()1,0P ，求当直线倾斜角θ变化时，PA PB 的范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知实数0,0a b >>，且228a b +=，若a b m +≤恒成立.（1）求实数m 的最小值；（2）若21x x a b -+≥+对任意的,a b 恒成立，求实数x 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACBCA 6-10:BBCDD 11、12：BB二、填空题13. 2i 14. 10 15. ()1,1-- 16. CE三、解答题17.（1）()sin cos sin cos sin cos sin cos 44442f x m n x x x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-+=+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 2sin 212sin cos sin sin sin 2x 44222x x x x x x πππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=---=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()fx 的最小正周期T π=； （2）1sin 022C f C ⎛⎫=-=⎪⎝⎭又三角形为锐角三角形，故11,sin 6264C S ab ab ππ===，(22212cos226c a b ab ab ab π==+-≥=，∴2ab ≤∴112sin 2644S ab ab π==≤. 18.解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：()()22111212212121210030104515100 3.0307525455533n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯，因为3.030 3.841<，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关；（2）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为14.由题意13,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而X 的分布列为()344E X np ==⨯=. 19.解：（1）在图1中，可得AC BC ==222AC BC AB +=，故AC BC ⊥， 取AC 中点O连结DO ,则DO AC⊥，又面ADE ⊥面ABC， 面ADE面,ABC AC DO =⊂面ACD ，从而OD ⊥平面ABC ，∴OD BC ⊥，又,AC BC AC OD O ⊥=，∴BC ⊥平面ACD ，故平面DBC ⊥平面ACD ；（2）建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，则0,,0,,0,0,222M C D ⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222,,0,,0,2222CM CD ⎛⎫⎛==⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 设()1,,n x y z =为面CDM 的法向量， 则1100n CM n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩即00+=+=，解得y xz x=-⎧⎨=-⎩，令1x =-，可得()11,1,1n =-，又()20,1,0n =为面ACD 的一个法向量，∴121212cos ,3nn n n n n ===，∴二面角B CD M --的余弦值为3-. 20.解：（1）由12e =，可知2a c =， 因为12PF F ∆的周长是6，所以226a c +=，所以2,1a c ==，所求椭圆方程为22143x y +=； （2）椭圆的上顶点为(M ，设过点M 与圆T 相切的直线方程为ykx =由直线1ykx =+与T ()222,942303t k =-++=， ∴12122223,9494k k k k t t +=-=--， 由122143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2211340k x x ++=，∴1E x =2F x = ((1212E F E F E F EFE F E F E Fk x k x y y k x k x kx x x x x x -+--===---， ()1221233410427kk k k t+=--， 当01t <<时，()f t =为增函数，故EF 的斜率的范围为0,77⎛ ⎝⎭. 21.解：（1）因为()1xf x x-'=，故()f x 在()0,1上是增加的，在()1,+∞上是减少的，()()()max min 1ln111,1f x f f x ==-=-=，设()ln x G x x =，则()21ln xG x x-'=，故()G x 在()0,e 上是增加的， 在(),e +∞上是减少的，故()()max 11G x G e e==<，()()max min G x f x <，所以()ln xf x x>对任意()0,x ∈+∞恒成立； （2）()()22lnln ln 111,1mf m f n m n m n m n m n m n n m n n n m n -+--==⨯=⨯--+-+， ∵0m n >>，∴10m n ->，故只需比较ln m n 与1m n n m m n-+的大小令()1mt t n =>，设()()211ln ln 11t t t G t t t t t t--=-=-++， ()()()()()3243222222111211111t t t t t t t t G t t t t t t t -+++--++'=-==+++，因为1t >，所以()0G t '>，所以函数()G t 在()1,+∞上是增加的， 故()()10G t G >=，所以()0G t >对任意1t >恒成立，即1ln mm n n mn m n->+，从而有()()()22f m m f n n m m n m n +-+>-+. 22.解析：（1）曲线C 的普通方程为2213x y +=； 当3πθ=时，直线l的参数方程：112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程代入2213x y +=，得220t t +-=，解得122,1t t =-=， 所以123AB t t =-=.（2）直线l 参数方程代入得()222cos 3sin 2cos 20t t θθθ++-=，1222221cos 3sin 12sin PA PB t t θθθ=-==++，210sin 1,13PA PB θ≤≤≤≤，所以PA PB 的范围是1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.23.解析：（1）∵222a b ab +≥，∴()22222a b a b +≥+，∴()216a b +≤，∴()4a b +≤故4m ≥；（2）由21x x a b -+≥+恒成立，故只需214x x -+≥， 解的实数x 的取值范围是2|23x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.。
