量纲分析习题

[量纲分析]习题习题1、量纲是否就是单位，两者之间有什么关系？2、“Dimension”一词包含什么涵义？说说它的历史演变。

3、自由落体问题有哪几种提法？各有哪些基本量和导出量？4、从物理上分析摆锤质量与单摆周期无关的原因。

5、求谐振子的自振频率。

6、从量纲幂次式的讨论中得到的偏导数关系，求出量纲函数的最终表达式。

7、查阅基尔比契夫提出的“相似三定理”说的是什么？它与π定理的说法不同，哪种说法更为本质？8、从隐函数法证明π定理。

9、求盛水容器底侧的小孔出流速度。

10、若溢洪道的断面为三角形，讨论溢洪流量。

11、分析定常管流问题中的摩擦系数和总管阻；并问什么情况下可不考虑密度的影响？说明其物理原因。

12、能否用水洞做机翼的模型实验，或用风洞做潜艇的模型实验？如果可以，问尺寸和速度的缩比范围？13、作船舶润湿面积的量纲分析。

14、轴承问题中是否应该考虑惯性力的作用？说明理由。

15、用量纲分析法求小球在粘性流体中下落最终速度和粘性阻力（结果与Stokes公式对照）。

16、什么条件下可以不考虑表面张力对水波波速的影响，从物理上做简单分析。

17、讨论两端固定的梁在分布载荷作用下的挠度。

18、讨论悬臂梁在自重作用下的最大挠度与梁长的关系。

19、讨论方形空心简支梁的挠度分布，若用实心梁来模拟，要求符合什么条件？20、什么样的结构物质需要考虑重力的作用？21、调查一下国内做结构物的重力效应实验的离心机有多大，写出主要参数。

22、求有限弹性体的固有周期。

23、弹性体中体波的传播有无色散现象，说说物理原因？24、杆径对杆中弹性波波速起什么物理作用？25、求两块平板正面相撞引起的弹性波的波速（与有关弹性波书中的结果作对比）。

26、若硬度计的压头不是锥形而是球形，可否分析硬度和强度在什么条件下成正比？27、什么是几何相似？什么是几何相似率？举例说明。

28、相似率是否一定要求几何相似？为什么？29、估计和比较几种典型金属材料中弹性变形和热传导的传播时间。

流体力学（量纲分析和相似原理）历年真题试卷汇编1(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、判断题请判断下列各题正误(总题数：6，分数：12.00)1.(武汉大学2009年考研试题)雷诺相似准则其主要作用力是紊动阻力。

（分数：2.00）A.正确B.错误2.(武汉大学2008年考研试题)雷诺相似准则考虑的主要作用力是粘滞阻力。

（分数：2.00）A.正确B.错误3.(武汉大学2007年考研试题)佛洛德数F r可以反映液体的惯性力与重力之比。

（分数：2.00）A.正确B.错误4.(天津大学2003年考研试题)凡是正确反映客观规律的物理方程式，必然是一个齐次量纲式。

（分数：2.00）A.正确B.错误5.(河海大学2007年考研试题)如果两个液流中作用于相应点上的相同性质的力的大小成一定比例，且方向一致，则两个液流就是动力相似的。

（分数：2.00）A.正确B.错误6.(河海大学2006年考研试题)将物理量压强△p、密度ρ、流速V组成的无量纲数为△p／ρV。

（分数：2.00）A.正确B.错误二、解答题(总题数：3，分数：6.00)7.(东南大学2003年考研试题)试用开定理推导圆柱绕流阻力D的表达式。

已知圆柱直径为d，来流流速为U 0，流体的密度为ρ，流体的动力粘滞系数为μ。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 8.(湖南大学2007年考研试题)在风速为8m／s的条件下，在模型上测得建筑物模型背风面压强为一24N／m 2，迎风面压强为+40BN／m 2。

试估计在实际风速为10m／s的条件下，原建筑物背风面和迎风面的压强为多少?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 9.(中国石油大学2005年考研试题)通过汽轮机叶片的气流产生噪声，假设产生噪声的功率为P，它与旋转速度w，叶轮直径D，空气密度ρ，声速c有关，试证明汽轮机噪声功率满足：P=ρw 2D 5f(wD／c)。

5-2解一： 据题意拟定函数关系式：(),,,,0F R r r m u =选择,,r r u 为独立变量，则可建立2个无量纲π数：11122212R r r a b g a b gp r u mp r u==对1p ： [][][][]11111111223311MLT MLT M L T L ML LT b g b a b g g a ---+---éùéùëûëû==éùéùëûëû 11111:1:31:2M L T b a b g g =ìï-+=íï-=-î求解上述方程组可得：1112,1,2a b g ===所以 12222R Rr r p ru ru ==同理可得 2rm p ru =由2p 可得 22222r m ru rp =将各π数代入 12()f p p =得22Rf r r m ru ru æö=ç÷èø222222R r f f F r r r m m m m m ru ru rp ru r ru æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø解二：据题意拟定函数关系式：(),,,,0F R r r m u =选择,,r r m 为独立变量，则可建立2个无量纲π数：11122212R r r a b g a b gp r m mp r m ==对1p ： [][][][]1111111112233111MLT MLT M L T L ML ML T b g b g a b g g a --+------éùéùëûëû==éùéùëûëû 11111:1:31:2M L T b g a b g g +=ìï--=íï-=-î求解上述方程组可得：1110,1,2a b g ==-= 所以 112Rp r m -=同理可得 211rr uru p r mm--==将各π数代入 12()f p p =得12Rr f ru r m m -æö=ç÷èø 22r R f F r m ru m m r m r ru æöæö==ç÷ç÷èøèø5-3解一：据题意拟定函数关系式：(),,,,,0F Q D d p r m D =选择 D ，,r m 为独立变量，则可建立3个无量纲π数：111222333123dD PD QD a b g a b g a b g p r m p r mp r m=D ==对1p ： [][][][][][]11111111133111L L M L T L ML ML T b gb ga b g g a+------==éùéùëûëû111111:0:31:0M L T b g a b g g +=ìï--=íï-=î求解上述方程组可得：1111,0,0a b g === 所以 1d D p =同理可得 222122PD PD r p r m m--D D ==31QQ D D rp r m m-==将各π数代入 312(,)f p p p = 得22(.)Qd D Pf D D r r m m D = 22(.)D d D P Q f D mr r m D =解二：据题意拟定函数关系式：(),,,,,0F Q D d p r m D =选择 D ，Q ，ρ为独立变量，则可建立3个无量纲π数：111222333123dD Q PD Q D Q a b g a b g a b gp r p r mp r=D ==对1p ： [][][][][][]11111111333131L L M L T L L T ML bg ga b gba+----==éùéùëûëû11111:0:331:0M L T g a b g b =ìï+-=íï-=î求解上述方程组可得：1111,0,0a b g ===所以 1d D p =同理可得 422212PD PD Q Q p r r -D D ==31121Re44D Q D vD mm p pp rr--===×将各π数代入 123(,,)0f p p p = 得 4113121(,)(,)Re 4D P df f Q D p p prD ==×22(,Re)d PQ f D DrD =解三：据题意拟定函数关系式：(),,,,,0F Q D d p r m D =选择 D ，,p r D 为独立变量，则可建立3个无量纲π数：111222333123d D p D p Q D p a b g a b ga b g p r m p r p r =D =D =D 对1p ： [][][][][][]111111111323121L L M L T L ML ML T bg b ga b g g a+------==éùéùëûëû111111:0:31:20M L T b g a b g g +=ìï--=íï-=î求解上述方程组可得：1111,0,0a b g ===所以 1dD p =同理可得 211221Re D P D v Eu EuD Pmm m p r r r ====D D2pDrD 2)Re p Eu D rDprD n nm mu u nn n n u nn u )n n n n n u 3n mr 12p p rrn mg l lC C C 2l C C20C 22n m p p v v r r ++=，225010m v v+==´22n m p p v v r r --=，223010m p v v --==´。

量纲分析1，试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量q 的表达式。

已知q 与堰顶水头H 、水的密度ρ和重力加速度g 有关。

1. 分析影响因素，列出函数方程根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q 与堰顶水头H 、水的密度ρ和重力加速度g 有关，用函数关系式表示为2. 将q 写成H ，ρ，g 的指数乘积形式，即3. 写出量纲表达式4. 选L 、T 、M 作为基本量纲，表示各物理量的量纲为5. L ：2=a-3b+c T ：-1=-2c ⇒M ：0=b6. 代入指数乘积式，得即2求水泵输出功率的表达式。

已知水泵的输出功率N 与单位体积水的重量 、流量Q 、扬程H 有关。

1. 分析影响因素，列出函数方程根据题意可知，水泵的输出功率N 与单位体积水的重量 、流量Q 、扬程H 有关,用函数关系式表示为2. 将N 写成γ ，Q ，H 的指数乘积形式，即(,,)q f H g ρ=a b c q kH gρ=dim dim()a b c q H g ρ=2132[][][][]a b cL T L ML LT ---=3/201/23/2qkH g ρ==3/23/2q k ==g γρ=(,,,)0f N Q H γ=3. 写出量纲表达式4. 选L 、T 、M 作为基本量纲，表示各物理量的量纲为5.L ：2=-2a+3b+c T ：-3=-2a-b ⇒M ：1=a6. 代入指数乘积式，得其中，k 为无量纲系数，通过实验来确定相似准则【例4.10】汽车高h p ＝1.5m ，最大行速为108km/h ，拟在风洞中测定其阻力。

风洞的最大风速为45m/s ，问模型的最小高度为多少？若模型中测得阻力为1.50KN ，试求原型汽车所受得阻力。

解：把握两个方面：一是确定哪个是决定性相似准则；二是分清哪些量是模型上得量，哪些量是原型上得量。

对于分析气体阻力问题，可按雷诺相似准则计算。

雷诺准则为由于 故又因为阻力得比尺可写成：由于此a b cN k Q H γ=dim dim()a b c N Q H γ=232231[][][][]a b c L T M L T M LT L ----=N k QHγ=1l v υλλλ=1v λ=1m l p υυλλυ==1081.5145 3.6p p m p l m h h h m υλυ===⨯=⨯22P F l ρυλλλλλ==1,1/l ρυλλλ==22221l P l l υλλλλλ===1.50P m P P KN==【例4.9】长度比λL =50的船舶模型，在水池中以1m/s 的速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N 。

1-4-6、解：（1）当T=20℃时，=1.205kg/,=1.81Pa s=998.2kg/，=100.42Pa s 此为管内低速流动，流动的粘性起主要作用，即Re是决定性相似准数设空气的流动为“实物”，水的流动为“模型”，则：===1，===1.207，===0.018 考虑雷诺相似，有==14.913,所以，风速v==14.913 2.5=37.28m/s（2）由欧拉相似，得==0.268由=，得=3.73即通过空气时测得的压力损失应扩大3.73倍才是通过水的压降。

1-4-7、解：（1）当T=20℃时，=998.2kg/，=100.42Pa s 此为管内低速流动，流动的粘性起主要作用，即Re是决定性相似准数==10，===4.007，===0.036 考虑雷诺相似，有==8.984，所以，水速===0.89m/s（2）由欧拉相似，得==0.032所以===3.75kPa1-4-8、解：拟定函数关系式为f（d，v，，，，g）=0 取d，v，为基本物理量，由定理可得：F（1, 1, 1，，，）=0式中=，=，对以上三式可写出量纲方程式如下：=由=0 ，可解得所以=同理，可解得==，=所以f（，即= f（所以v=1-4-9、解：拟定函数关系式为f（D，v，，，，F）=0取D，v，为基本物理量，由定理可得：F（1, 1, 1，，）=0式中=，=所以==由=0 ，可解得所以==同理，可解得=所以f（）=0即= f（）所以F=f（）1-4-10、解：拟定函数关系式为f（d，v，，，，g）=0取d，v，为基本物理量，显然h f/L是一个π，因h f和L量纲都是长度由定理可得：F（1, 1, 1，，）=0式中=，=所以==由=0 ，可解得所以==同理，可解得=，=所以=f（1-4-11、解：拟定函数关系式为f（D，n，，，，P）=0取D，n，为基本物理量，由定理可得：F（1, 1, 1，，）=0式中=，=所以==由=0 ，可解得所以=同理，可解得=，所以f（）=0即= f（）所以P=f（）1-4-12、解：当T=10℃时，=999.7kg/，=1.306Pa s 此为管内低速流动，流动的粘性起主要作用，即Re是决定性相似准数由=2.78/s ，=4.5m 可解得=0.175m/s由=2.78/s ，=2.25m 可解得=0.670m/s考虑雷诺相似，有===v=0.018==3.15由=Q 可解得=3.46m同理，可解得=1.74m故用水做实验时，大口处的直径=3.46m ，小口处的直径=1.74m课外例题例1：用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式τ0。

量纲作业整理：夏伟光1、量纲是否就是单位？两者有何关系。

答:量纲不是单位。

量纲表示物理量的基本属性。

不同属性的物理量具有不同的量纲。

单位是用来对物理量度量的标准。

2、“Dimension”一词有什么涵义（从中看出其演变）“Dimension”开始有“维数”的意思；后有“长度，尺寸”的意思，指运动学、几何学上的概念；后来出现“量纲”的涵义，用来表示物理量的基本属性。

3、自由落体问题中，什么是基本量和导出量，单位系统如何选择，选法是否唯一？答：自由落体问题中含有三个变量：下落行程h，下落时间t，重力加速度g。

可以以h，g为基本量，t为导出量，以h，g为单位系统，也可以选t，g为基本量，h为导出量。

t，g为单位系统，选法不唯一。

4、从物理上分析摆锤质量为何与单摆周期无关。

答：对于一个单摆，当摆长l一定时，摆球的位置由摆角 确定，摆球的运动由重力加速度g决定，摆球的运动是一个纯运动学的问题，与摆球的质量无关，所以摆球的周期与摆球的质量无关。

5、什么是谐振子，求自然频率。

答：把振动物体看作不考虑体积的微粒，这个振动物体称作谐振子。

所谓谐振，在运动学就是简谐振动，该振动是物体在一个位置附近往复偏离该振动中心位置（叫平衡位置）进行运动，在这个振动形式下，物体受力的大小总是和他偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。

自频率f 与弹性系数k ，微粒质量m 有关。

所以2(,)1 Tf g m k M M T = 取m ，k 为基本量并作单位系统，所以(1,1)g Cf =≡∴=6、把π定理和有的书上说的相似三定理进行比较，分析说明哪个更本质？答：相似三定理：相似第一定理：彼此相似的现象其同名各相似准则数值相同。

相似第二定理：现象的各物理量之间的关系，可化为相似准则的关系。

相似第三定理：如两个现象单值条件相似，而且由单值组成的各相似准则数值相同，则两个现象相似。

相似三定理与π定理相比，显然π定理中各12,,,N k πππ- 表示由其单位组成的无量纲量，而这些无量纲量即是相似三定理中的“同名相似准则”，显然，对于同一个函数f ，f 内各无量纲量值相同后，f 值也必定唯一，即相似三定理中的“同一类现象、单值条件相似”等条件。

100考点最新模拟题千题精练17- 14第十七部分 物理思维方法十四、量纲法1.图示为一个半径为R 的均匀带电圆环，其单位长度带电量为η。

取环面中心O 为原点，以垂直于环面的轴线为x 轴。

设轴上任意点P 到O 点的距离为x ，以无限远处为零势，P 点电势的大小为Φ。

下面给出Φ的四个表达式（式中k 为静电力常量），其中只有一个是合理的。

你可能不会求解此处的电势Φ，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。

根据你的判断，Φ的合理表达式应为 （ ）A.222xR k R +=ηπφ B.222xR Rk +=πφC.222xR k R -=ηπφ D.x xR k R 222+=ηπφ【参考答案】A2．物理关系式不仅反映了物理量之间的关系，也确定了单位间的关系，则根据单位间的关系可以判断物理关系式是否可能正确。

某组同学在探究“声速v 与空气压强P 和空气密度ρ的关系”时，推导出四个空气中声速的关系式，式中k 为比例常数，无单位。

则可能正确的关系式是( )A ．v =B ．v =C ．v =D ．v =【参考答案】A 【名师解析】根据量纲分析可知，可能正确的关系式是A 。

3．“约瑟夫森结”由超导体和绝缘体制成，若在结两端加恒定电压U ，则它会辐射频率为v 的电磁波，且与U 成正比，即v =kU .已知比例系数k 仅与元电荷e 的2倍和普朗克常量h 有关。

你可能不了解此现象为机理，但仍可运用物理学中常用的方法。

在下列选项中，推理判断比例系数k 的值可能为( ) A ．eh2 B ．he2 C ．he 2 D ．he21 【参考答案】B4.（2013·福建）在国际单位制（简称SI ）中，力学和电学的基本单位有：m （米）、kg （千克）、s （秒）、A （安培）。

导出单位V （伏特）用上述基本单位可表示为 A ．m 2·kg·s -4·A -1B ．m 2·kg·s -3·A -1. C ．m 2·kg·s -2·A -1. D ．m 2·kg·s -1·A -1. 【参考答案】B【名师解析】由Fx=qU ，F=ma ，x=12at 2，q=It 可知，U=Fx/q =2mx 2/It 3，导出单位V （伏特）用上述基本单位可表示为m 2·kg·s -3·A -1.，选项B 正确。

水力学（量纲分析与相似原理）-试卷1(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、判断题请判断下列各题正误。

(总题数：2，分数：4.00)1.模型中测得闸孔收缩断面处的平均流速v m =1．5m／s，采用的长度比尺λi =25，则原型中收缩断面处的平均流速v p =7．5m／s。

( )（分数：2.00）A.正确√B.错误解析：2.沿程水头损失系数λ的量纲与谢才系数C的量纲相同。

( )（分数：2.00）A.正确B.错误√解析：二、单项选择题(总题数：4，分数：8.00)3.单项选择题下列各题的备选答案中，只有一个是符合题意的。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：4.水流在紊流粗糙区时，要做到模型与原型流动的重力和阻力相似，只要模型与原型的相对粗糙度相等，进行模型设计时就可用______。

( )（分数：2.00）A.雷诺相似准则B.佛汝德相似准则√C.欧拉相似准则D.韦伯相似准则解析：5.佛汝德相似准则考虑起主导作用的力是_______。

( )（分数：2.00）A.重力√B.表面张力C.黏滞阻力D.紊动阻力解析：6.雷诺相似准则考虑起主要作用的力是_______。

( )（分数：2.00）A.重力B.压力C.黏滞阻力√D.紊动阻力解析：三、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：8.某模型按雷诺相似准则设计，模型长度比尺λl =10，选用的模型液体与原型相同。

若测得模型某断面平均流速v m =100cm／s，则原型中相应的平均流速v p =_____。

流体力学（量纲分析和相似原理）历年真题试卷汇编1(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、判断题请判断下列各题正误(总题数：6，分数：12.00)1.(武汉大学2009年考研试题)雷诺相似准则其主要作用力是紊动阻力。

（分数：2.00）A.正确B.错误2.(武汉大学2008年考研试题)雷诺相似准则考虑的主要作用力是粘滞阻力。

（分数：2.00）A.正确B.错误3.(武汉大学2007年考研试题)佛洛德数F r可以反映液体的惯性力与重力之比。

（分数：2.00）A.正确B.错误4.(天津大学2003年考研试题)凡是正确反映客观规律的物理方程式，必然是一个齐次量纲式。

（分数：2.00）A.正确B.错误5.(河海大学2007年考研试题)如果两个液流中作用于相应点上的相同性质的力的大小成一定比例，且方向一致，则两个液流就是动力相似的。

（分数：2.00）A.正确B.错误6.(河海大学2006年考研试题)将物理量压强△p、密度ρ、流速V组成的无量纲数为△p／ρV。

（分数：2.00）A.正确B.错误二、解答题(总题数：3，分数：6.00)7.(东南大学2003年考研试题)试用开定理推导圆柱绕流阻力D的表达式。

已知圆柱直径为d，来流流速为U 0，流体的密度为ρ，流体的动力粘滞系数为μ。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 8.(湖南大学2007年考研试题)在风速为8m／s的条件下，在模型上测得建筑物模型背风面压强为一24N／m 2，迎风面压强为+40BN／m 2。

试估计在实际风速为10m／s的条件下，原建筑物背风面和迎风面的压强为多少?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 9.(中国石油大学2005年考研试题)通过汽轮机叶片的气流产生噪声，假设产生噪声的功率为P，它与旋转速度w，叶轮直径D，空气密度ρ，声速c有关，试证明汽轮机噪声功率满足：P=ρw 2D 5f(wD／c)。