微积分课件1-2数列的极限

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在数学上如何来刻画与 1 无限接近这个现象呢？
答： 用 “距离” 来衡量
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xn 与 1 的距离
可见，n 越大，| xn1| 就越小，即 xn 与 1 就越接近. 给定 0.01,
即从第100项往后， xn与 1 间的距离就可以小于 0.01.
割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可 割，则与圆合体而无所失矣。
正24边形
正6边形
A1
正12边形
A2
基本思想是用内接正 6 2 n1 边形的面积 An 来近似圆 面积，而且随着 n 的无限增大，多边形的面积 An 将 无限接近圆面积 .
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前面两个古代事例都有一个共同点就是出现了“无 限接近”这个思想，这正是极限概念的原始面貌。极 限概念是由于求某些问题的精确答案而产生的。杖棰 问题和割圆术使用的都是极限论的方法。第一个是杖 棰剩余问题， 看作一系列变化着的剩余趋向于一个确 定量的问题。而第二个则是把一个固定不变的量看作 是一系列变化着的多边形面积的趋向，从而确定出面 积的大小。
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结束
对于一般的数列{ x n }，总会出现两种情形： 当 n 时，x n a ， 当 n 时，x n 不趋于任何确定的数。
例如：
n x n 1n 0 . 2 n x n n 1 . n 1
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
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例如：对数列
n
n
1及
,
并不0.是1, 所有的n都能使
n 1 1 0.1成立.
n1
n1
而只有当n增大到一定“程度”，比如n=9，从此之后
(n>9)的各项才能使 n 1成立0..1 n1
同样对于任意的数列an也不是对自变量n的所有取值都能
使 a A成 立而，是在自变量增大的过程中，当变化到某 n
a 1, 记 M max 1
a , a ,, a
1
2
N
,
取 M max{M1,| a | 1},
则对任意的n，都有
a n
M.
也就是说该数列是有界的.
对于无穷多项 |a1|, |a2|, …, |aN|, … 能找到它的一个界吗？
a
b
若
lim
n
xn
a, lim n
yn
b,
且b>a,能否比较 xn , yn
第一章 数列极限
第二节 数列的极限
一、概念的引入
二、极限的描述性定义
三、“函数值能变得‘无限趋近常数A’”的 描述 四、数列极限的定义 五、数列极限的性质
一、概念的引入
1、割圆术：
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
一般地，设有数列：
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
ai ai+1
aj aj+1
a a a a n1 n2 n3
n4
ans
ant
就得到一个新数列 a2,a3,a7 ,a9, ,ai ,

解： 设 n为不超过 x 的最大整数 n x n 1
则 a n1 a x a n , 且 lim a n1 0, lim a n 0 n n x lim a 0
例6
证明 lim x 4.
2 x2
证明： 对于 任给的 0 ， 要使
| x 4 || x 2 || x 2 |
2
| 首先限制， x 2 | 1
则：| x
2
则容易得出 | x 2 | 5
4 || x 2 || x 2 | 5 | x 2 |
4.（夹逼定理）
设在点 x0 的某一去心邻域内， 有
g ( x) f ( x) h( x)
lim lim lim 且 x x g ( x) x x h( x) A ，则有 x x f ( x) A
0 0
0
注：可以用来判别极限的存在性和求解极限。
x 例11、 证明当 0 a 1时 ， lim a 0 x
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小;
0 x x0 表示x x0的过程.


x0
点x0的去心邻域,
x0
x0
x
体现x接近x0程度.
1、定义：
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多 么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
2
证
函数在点x=1处没有定义.
任给 0,
x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A ,
只要取 ,
x 1 lim 2. x 1 x 1
2