正交分解与坐标表示学案

平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算（学案）平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算（共2课时）一、学习目标1．掌握平面向量的正交分解及其坐标的意义与运算2．会根据向量的坐标，判断向量是否共线，掌握两向量平行时坐标表示. 二、学习过程（一）预习案1.温故知新平面向量基本定理： . 2.新知导学（1）平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j作为基底，对于一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝x i ＋y j．我们把(x 、y)叫做向量a 的直角坐标，记作．（2）向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系．（3）平面向量的坐标运算：若a ＝(x 1、y 1)，b＝(x 2、y 2)，R λ∈，则： a ＋b ＝，a －b ＝，a λ＝ .（4）已知A(x 1、y 1)，B(x 2、y 2)，则A B＝．（5）两向量a ＝(x 1、y 1)和b＝(x 2、y 2)共线的条件是当且仅当．3.预习自测(1)已知向量a 、b 的坐标，求a b + 、a b -的坐标：(2,4)a =- ,(5,2)b = ，则a b + = ，a b -= ； (4,3)a = ,(3,8)b =- ，则a b + = ，a b -= ； (2,3)a = ,(2,3)b =-- ，则a b + = ，a b -= ； (3,0)a = ,(0,4)b = ，则a b + = ，a b -= ； (2) 已知(3,2)a = ，(0,1)b =- ，求24a b -+ ，43a b +的坐标.(3)已知A 、B 两点坐标，求A B 、BA的坐标：①(3,5)A ，(6,9)B ②(3,4)A -，(6,3)B③(0,3)A ，(0,5)B ④(3,0)A ，(8,0)B（二）探究案例1 .已知O 为坐标原点，A （-1，3），B （1，-3），C （4，1），D （3，4），求OA ,OB ,A O ,CD的坐标.思考：四边形OCDA 是平行四边形吗？例2 .已知点A （2，3），B （－1，5），且AC ＝31AB，求点C 的坐标．变式训练：若(2,8)O A =，(7,2)O B =-，则31AB= .例3．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D 的坐标.变式训练：在平行四边形ABCD 中，A(1，1)，＝(6，0)，若AD ＝(3，5)，求点C 的坐标；例4.已知a －2b ＝(－3，1)，2a ＋b ＝(－1，2)，求a b +.例5 .已知向量a =（1，2），b =（x ，1），1e =a +2b ，2e=2a -b且1e ∥2e ，求x ．三、总结提升1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．四、检测与反馈1.若)4,3(),1,2(-==→→b a ，则→→+b a 43的坐标为__________；2.设点A 的坐标为（2，1），点B 的坐标为（1，-2）则向量→-BA 的坐标为； 3.已知)2,1(),3,2(+=-=→→y b x a ，若→→=b a ，则X= ；y= ； 4.下列说法正确的有个（1）向量的坐标即此向量终点的坐标 . （2）位置不同的向量其坐标可能相同.（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标. （4）相等的向量坐标一定相同.5.作用于原点的两力)3,2(),1,1(21==→→F F ，为使它们平衡(即合力为0)，需加力→3F =______.6.设a =(4，－3)，b =(x ，5)，c =(－1，y)，若a +b =c，则（x ，y ）= ．7.若a =(-1，x)与b=(－x ，2)共线且方向相同，则x= ．8.若A(－1，－1)， B(1，3)， C(x ，5) 三点共线，则x= ． 9.已知a=(3， 2)，b=(－2，1)，若λa b +与a b λ+(R λ∈）平行，则λ= ．10.若向量a =(－1，x)，b =(－x ，2)，且a 与b 同向，则a －2b= ．11.已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =(2，5)，A B=(-2，3)，则CD 坐标为，D O 坐标为，C O的坐标为．12.已知平行四边形ABCD 中，A （0，0）、B （5，0）、D （2，4），对角线AC 、BD交于点M ，则DM的坐标是 .13.已知点B 的坐标为（m ，n ），A B的坐标为（i ，j ），则点A 的坐标为 . 14.若A （2，3）、B （x ，4）、C （3，y ），且2AB AC = ，则X= ；y= . 15.已知向量a =(3,-2), b =(-2,1), c =(7,-4),若c a b λμ=+,则λ= . μ＝ ______.16.已知OA =(x 1，y 1)，OB =(x 2，y 2)，线段AB 中点为C ，求O C的坐标17.已知→a =（x+y+1，2x-y ），→b =（x-y ，x+2y-2），若2→a =3→b ，求x 、y 的值；。

《网络数据的正交分解及其坐标表示》教学设计网络数据的正交分解及其坐标表示教学设计一、教学背景随着互联网的飞速发展，网络数据的处理和分析变得越来越重要。

正交分解是一种常用的数据分析技术，能够将复杂的数据转化为简洁的表示形式，方便进一步分析和理解。

本教学设计旨在介绍网络数据的正交分解及其坐标表示方法，培养学生的数据分析和解释能力。

二、教学目标1. 了解正交分解的基本概念和原理；2. 掌握网络数据的正交分解方法；3. 理解正交分解结果的坐标表示意义；4. 能够应用正交分解技术进行网络数据分析。

三、教学内容与方法1. 正交分解的基本概念和原理（20分钟）- 介绍正交分解的定义，包括主成分分析、奇异值分解等；- 解释正交分解的基本原理和数学推导过程；- 通过实例演示正交分解方法的应用。

2. 网络数据的正交分解方法（30分钟）- 介绍将网络数据转化为矩阵形式的方法；- 讲解如何应用正交分解技术对网络数据进行分解；- 演示如何使用编程工具进行正交分解的实践。

3. 正交分解结果的坐标表示意义（20分钟）- 解释正交分解结果中的坐标表示的含义；- 分析坐标表示在网络数据分析中的应用价值；- 给出具体案例，让学生通过分析坐标表示研究网络数据。

4. 正交分解技术在网络数据分析中的应用（30分钟）- 介绍正交分解技术在网络数据分析中的常见应用场景；- 引导学生思考如何应用正交分解技术解决真实问题；- 进行小组讨论和案例分析。

四、教学评价与反馈本教学设计将通过以下方式进行教学评价和反馈：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度；2. 作业与实践：布置相关作业和实践任务，分析学生的应用能力；3. 研究成果展示：要求学生展示他们对正交分解技术的理解和应用；4. 反馈问卷调查：向学生提供反馈问卷，收集他们对本课程的评价和建议。

五、教学资源- 教材：网络数据分析教材；- 演示文稿：正交分解方法的演示文稿；- 编程工具：提供相关编程工具的安装指导和示例代码；- 案例分析：提供网络数据分析的案例和实例。

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示【学习目标】1.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2.掌握空间向量的坐标运算的规律；【要点难点】空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示【学习过程】一、自主预习（预习教材P92-96找出迷惑之处）复习 1：平面向量基本定理：对平面上的随意一个向量a,b是平面上两个向量，老是存在实数对x, y ，P ，使得向量 P 能够用 a,b 来表示，表达式为，此中 a ,b 叫做. 若a b ，则称向量 P 正交分解 .复习 2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和 y 轴上的向量i, j作为基底，对平面上随意愿量 a ，有且只有一对实数x，y，使得 a xi y j ，，则称有序对x, y 为向量 a 的，即a＝.二、合作研究概括展现研究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的随意愿量 a ，可否用空间的几个向量独一表示？假如能，那需要几个向量？这几个向量有何地点关系？三、议论沟通点拨提高新知：⑴空间向量的正交分解：空间的随意愿量 a ，均可分解为不共面的三个向量 1 a1、 2 a2、3 a3 ，使a 1 a1 2 a2 3 a3. 假如 a1 , a2 , a3两两，这类分解就是空间向量的正交分解 .(2) 空间向量基本定理：假如三个向量 a ,b, c，对空间任一直量p ，存在有序实数组{ x, y, z} ，使得 p xa yb zc . 把的一个基底， a, b, c 都叫做基向量 .反省：空间随意一个向量的基底有个.⑶单位正交分解：假如空间一个基底的三个基向量相互，长度都为做单位正交基底，往常用｛i,j,k｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz 和向量a，且设轴、 z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{ x, y, z} ，使得 a xi y j 数组 { x, y, z} 为向量a的坐标，记住p.，则这个基底叫i、j、 k 为x轴、y zk ，则称有序实⑸设 A (x1 , y1 , z1 ) ， B ( x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ＝.⑹向量的直角坐标运算：设 a＝(a1,a2, a3)， b＝(b1,b2,b3)，则⑴a＋ b＝(a1b1, a2b2 ,a3b3 ) ；⑵a－ b＝(a1b1 , a2b2 , a3b3 ) ；⑶λa＝( a1,a2 , a3 ) (R) ；⑷a· b＝a1b1a2 b2a3 b3 .试一试：1.设 a 2i j3k ，则向量 a 的坐标为.2.若 A (1,0,2) ， B (3,1, 1)，则AB＝.3.已知 a＝(2,3,5) ，b＝( 3,1, 4) ，求a＋b，a－b， 8a，a·b四、学能展现讲堂闯关例 1 已知向量 a ,b, c 是空间的一个基底，从向量 a ,b, c 中选哪一个向量，必定能够与向量p a b, q a b 组成空间的另一个基底？变式：已知 O,A,B,C 为空间四点，且向量 OA, OB,OC 不组成空间的一个基底，那么点 O,A,B,C 能否共面？小结：判断空间三个向量能否组成空间的一个基底的方法是：这三个向量必定不共面.例 2 如图，M,N分别是四周体QABC 的边OA,BC 的中点， P,Q 是 MN 的三平分点，用OA,OB,OC表示 OP和OQ.变式：已知平行六面体ABCD A' B' C' D'，点G 是侧面 BB'C 'C 的中心，且OA a ，OC b,OO ' c ，试用向量 a,b, c 表示以下向量 :⑴ OB', BA' ,CA' ;⑵ OG.※ 着手试一试练 1.已知a2, 3,1 , b2,0,3, c0,0,2 ，求：⑴ a b c；⑵ a6b8c .练 2. 正方体ABCD A 'B 'C ' D ' 的棱长为2，以 A 为坐标原点，以 AB,AD,AA '为 x 轴、y 轴、z轴正方向成立空间直角坐标系，则点D1，AC,AC'的坐标分别是，，.五、学后反省1.空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2.空间向量坐标表示及其运算※ 知识拓展成立空间直角坐标系前，必定要考证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则依据已知条件，经过作协助线来创建建系的图形.【课后作业】：1. 已知 A3,5, 7 , B2,4,3 ,求 AB, BA, 线段 AB 的中点坐标及线段AB 的长度 .2. 已知a,b, c 是空间的一个正交基底，向量 a b,a b,c 是另一组基底，若 p 在 a,b, c 的坐标是 1,2,3，求 p 在 a b,a b,c 的坐标 .。

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1.了解空间向量的正交分解的含义.2.掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理解决一些简单问题.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．学习重点：空间向量基本定理的应用．学习难点：应用空间向量基本定理解决问题．要点整合细读课本知识点一空间向量基本定理[填一填]1．定理：条件：三个向量a，b，c．结论：对空间任一向量p，存在有序实数组，使得p＝x a＋y b＋z c.2．基底：空间中任何的三个向量a，b，c都可以构成空间的一个基底，即{a，b，c}．3．基向量：空间的一个基底{a，b，c}中的向量a，b，c都叫做基向量．[答一答]1．(1)空间中怎样的向量能构成基底？(2)基底与基向量的概念有什么不同？2．空间的基底唯一吗？3．为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？知识点二空间向量的正交分解及其坐标表示[填一填]1．单位正交基底：有公共起点O的三个的单位向量e1，e2，e3称为．2．空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.3．空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量p ，一定可以把它 ，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.把 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )，即点P 的坐标为 ．[答一答]4．与坐标轴或坐标平面垂直的向量坐标有何特点？5．向量可以平移，向量p 在坐标系中的坐标唯一吗？特别关注1．空间向量基本定理注意点空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．我们在用选定的基向量表示指定的向量时．要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．2．空间向量与平面向量的坐标运算的联系类比平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达形式不同而已，空间向量多了个竖坐标．典例讲破类型一 空间向量基本定理的理解例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底？通法提炼判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断. 针对训练1已知a 、b 、c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一组基底的一组向量是( ) A ．2a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c类型二 用基底表示向量例2 如图所示，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .通法提炼在几何体中，根据图形的特点，选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为基底，或选择有公共起点且关系最明确如夹角或线段长度的三个不共面的向量作为基底，这样更利于解题. 针对训练2已知平行六面体OABC ­O ′A ′B ′C ′，OA →＝a ，OC →＝c ，OO ′→＝b ，D 是四边形OABC 的对角线交点，则( ) A.O ′D →＝－a ＋b ＋c B.O ′D →＝－b －12a －12cC.O ′D →＝12a －b －12cD.O ′D →＝12a －b ＋12c类型三 求向量的坐标例3 如图所示，已知点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，且P A ＝AD ，求向量MN →的坐标．通法提炼用坐标进行向量的运算，关键之一是把相关的向量以坐标形式表示出来.这里有两个方面的问题：一是如何恰当地建系，一定要分析空间几何体的构造特征，选合适的点作原点、合适的直线和方向作坐标轴，一般来说，有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系.二是在给定的空间直角坐标系中如何表示向量的坐标，这里又有两种方法，其一是运用基底法，把空间向量进行正交分解；其二是运用投影法，求出起点和终点的坐标. 针对训练3在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝1，CC 1＝2，M 为A 1B 1的中点．以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CC 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则AB 1→的坐标为 ，MB →的坐标为(－12，12，－2)．课堂达标1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以和向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．a B ．b C ．a ＋2bD ．a ＋2c3．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，则向量a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k 的坐标分别是 ． 【答案】(3,2，－1)，(－2,4,2)【解析】∵i ，j ，k 是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知a ＝(3,2，－1)， b ＝(－2,4,2)．4．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ的值是 . 5．如图，四棱锥P ­OABC 的底面为一矩形，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E 、F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示BF →、BE →、AE →、EF →.参考答案要点整合 细读课本知识点一 空间向量基本定理[填一填]1．不共面 {x ，y ，z }2．不共面[答一答]1．提示：(1)空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．(2)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．2．提示：不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底． 3．提示：平移向量a ，b ，c ，p 使它们共起点，如图所示，以p 为体对角线，在a ，b ，c 方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，因此p 在a ，b ，c 方向上的分解是唯一的，即x ，y ，z 是唯一的．知识点二 空间向量的正交分解及其坐标表示[填一填]1．两两垂直 单位正交基底 3．平移 x ，y ，z (x ，y ，z )[答一答]4．提示：xOy 平面上的点的坐标为(x ，y,0)，xOz 平面上的点的坐标为(x,0，z )，yOz 平面上的点的坐标为(0，y ，z )，x 轴上的点的坐标为(x,0,0)，y 轴上的点的坐标为(0，y,0)，z 轴上的点的坐标为(0,0，z )．另外还要注意向量OP →的坐标与点P 的坐标相同．5．提示：唯一．在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解不变，故其坐标也不变．典例讲破类型一 空间向量基本定理的理解例1 解：假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →成立．∴OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底． 针对训练1 【答案】C【解析】因为a ，b ，c 不共面，易知a,2b ，b －c 不共面．故应选C. 类型二 用基底表示向量例2 (1)证明：∵AC 1→＝AE →＋EC 1→，又EC 1→＝EB 1→＋B 1C 1→＝23BB 1→＋B 1C 1→＝23AA 1→＋AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋23DD 1→＝AD →＋23AA 1→，∴EC 1→＝AF →，∴AC 1→＝AE →＋AF →，∴A ，E ，C 1，F 四点共面． (2)解：∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝13.针对训练2 【答案】D【解析】O ′D →＝O ′O →＋OD →＝O ′O →＋12OA →＋12OC →＝－b ＋12a ＋12c .类型三 求向量的坐标例3 解：设正方形的边长为a ，∵P A ＝AD ＝AB ， 且P A ，AD ，AB 两两互相垂直，故可设DA →＝a i ，AB →＝a j ，AP →＝a k .以i ，j ，k 为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系．方法一：∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝－12AB →＋AP →＋12PC →＝－12AB →＋AP →＋12(AD →＋AB →－AP →)＝－12a j ＋a k ＋12(－a i ＋a j －a k )＝－12a i ＋12a k ，∴MN →＝(－12a,0，12a )．方法二：∵P (0,0，a )，C (－a ，a,0)， ∴N 点的坐标为(－12a ，12a ，12a )．∵M 点的坐标为(0，12a,0)，∴MN →＝(－12a,0，12a )．针对训练3 【答案】(－1,1,2)【解析】A (1,0,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,2)，M (12，12，2)，AB 1→＝CB 1→－CA →＝(－1,1,2)，MB →＝(－12，12，－2). 课堂达标1．【答案】B【解析】当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底，当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量． 2．【答案】D【解析】能与p ，q 构成基底，则与p ，q 不共面．∵a ＝p ＋q 2，b ＝p －q 2，a ＋2b ＝3p －q 2，∴A 、B 、C 都不合题意，由于{a ，b ，c }构成基底，∴a ＋2c 与p ，q 不共面，可构成基底． 3．【答案】(3,2，－1)，(－2,4,2)【解析】∵i ，j ，k 是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知a ＝(3,2，－1)， b ＝(－2,4,2)． 4．【答案】3【解析】如图，G 为△ABC 重心，E 为AB 中点，∴OE →＝12(OA →＋OB →)，CG →＝23CE →＝23(OE →－OC →)，∴OG →＝OC →＋CG →＝OC →＋23(OE →－OC →)＝13(OA →＋OB →＋OC →)，∴λ＝3.5．解：BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .。