平面向量的正交分解及坐标表示教学方案
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环节二 平面向量的正交分解及坐标表示
【引入新课】
情境：回顾平面向量基本定理，为学习向量的坐标表示作铺垫．
问题1：回顾所学习过的平面向量基本定理，回答下列问题：
（1）什么是平面向量基本定理？
（2）已知向量1e，2e（如下图所示），分别作出向量a在1e，2e方向上的分解．
【课堂探究】
情境：动画演示，重力G分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力，垂直于斜面的压力，帮助学生理解正交分解的概念．
1．正交分解
问题2：阅读教科书6.3.2节第一、第二段，回答问题：
（1）什么是正交分解？
（2）举一个正交分解的例子．
答案：（1）正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量．
（2）如图6.3-8，重力G可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力1F，垂直于斜面的压力2F．
（重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．）
2．坐标表示
情境：类比在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，思考直角坐标平面内的一个向量的表示方法．
问题3：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？
答案：如图6.3-9，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．
对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj．
3．提炼概念：向量a的坐标表示
平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作
a＝（x，y）． ①
其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做向量a的坐标表示．
追问1：你能写出向量i，j，0的坐标表示吗？ 答案： i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0)．
情境：课堂展示讲解，理解向量的坐标与点的坐标之间的联系．
问题4：向量的坐标与点的坐标之间有何区别与联系？
答案：（1）设OAxiyj，则向量OA的坐标(,)xy就是终点A的坐标；
（2）反过来，终点A的坐标(,)xy也就是向量OA的坐标；
（3）因为OAa，所以终点A的坐标(,)xy就是向量a的坐标．
（4）若向量的起点不是原点，则终点A的坐标（x，y）就不是向量a的坐标．
注意：实数对“（2，3）”如果不作说明，可以表示区间，点，也可以表示向量．
【知识应用】
情境：结合实例，加深对向量的坐标表示的理解．
例3：如图6.3-11，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，你能求出它们的坐标吗？
解：由图6.3-11可知，a＝12AAAA＝2i＋3j，
所以a＝（2，3）．
同理，
b＝－2i＋3j＝（－2，3），
c＝－2i－3j＝（－2，－3），
d＝2i－3j＝（2，－3）． 【归纳小结】
问题5：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．
总结要点如下：
（1）内容：正交分解，平面向量的坐标表示．
➢ 类比重力在斜坡的分解，理解向量的正交分解．
➢ 对给定的向量，写出其坐标表示．
➢ 向量的坐标表示与点的坐标的区别与联系．
（2）思想方法：以数的运算处理形的思想方法．
