空间向量正交分解及坐标表示,及运算

空间向量基本定理、正交分解及坐标表示1.空间向量基本定理如果三个向量W，b，7不共面，那么对空间任一向量V存在一个唯一的有序实数组X，—> —•TTy，z,使p=xa+yb+za任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a，b，W都叫做基向量.2.单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底，常用｛£,最，£｝表示.3.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底｛£,二｝,以点。

为原点，分别以3，荒，工的正方向建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系0-孙Z.其中，点。

叫做原点，向量司，司，司都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.4.空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量总一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量而=P，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组｛斯- z},使得P=+ye2+223.把x,y,z称作向量p在单位正交基底最，£卜的坐标，记作p=(x,y,z).【解题方法点拨】1.基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断,假设不能作为一个基底, 看是否存在一对实数入、四使得G+W)+w(W+W),若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立.2.空间向量的坐标表示用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：（1）观察图形：充分观察图形特征；（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；（4）确定结果：将所求向量用己知的基向量表示出来.3.用基底表示向量用基底表示向量时，（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行.（2）若没给定基底时，首先选择基底.选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.。

空间向量的正交分解及其坐标表示、运算教学要求：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．教学难点：理解空间向量基本定理．自学导引1. 空间向量的正交分解设,,i j k 是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p ，存在一个___________,使得___________，我们称___________为向量p 在,,i j k 上的分向量.2.空间向量基本定理：____________________________________________________________3. 基底，基向量如果三个向量,,a b c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p |p =x a +y b + z c , x 、y 、z ∈R}.这个集合可看作是由向量,,a b c 生成的，我们把___________叫做空间的一个基底，___________都叫做基向量.空间任何___________都可构成空间的一个基底.4. 单位正交基底：设123,,e e e 为______________________的单位向量，称它们为___________.5. 空间向量的坐标表示：在空间选定一个___________{123,,e e e }，以123,,e e e 的公共起点O 为___________，分别以123,,e e e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的___________建立空间直角坐标系O —xyz.那么对于空间任意一个向量p ,一定可以把它平行移动，使它的起点___________，得到一个向量___________.由空间向量分解定理可知，_________________________________.我们把___________称作向量p (在单位正交基底123,,e e e 下)的坐标，记作___________.此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系O —xyz 中的坐标___________.6.空间向量的坐标表示向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝___________________________，AB ＝__________________________7. 向量的直角坐标运算：设 a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a b +＝______________________； ⑵a b -＝______________________；⑶λa ＝______________________； ⑷a b ∙______________________8. 两个向量共线或垂直的判定： a ∥b _______________________; a ⊥b _____________________.9.向量的模长及夹角的坐标公式设a ＝123(,,)a a a ,b ＝123(,,)b b b ,则 |a a a ⋅ =___________; cos 〈a , b 〉=||||a b a b ⋅ =______________________. 基础练习：1.已知,,i j k 是空间直角坐标系O —xyz 的坐标向量，并且=-i+j-k ,则B 点的坐标为( )A.(-1，1，-1)B.(-i,j,-k )C.(1,-1,-1)D.不确定 2.在空间直角坐标系O —xyz 中，已知点A 的坐标为(-1，2，1)，点B 的坐标为(1，3，4)，则( )A. =(-1，2，1 )B.=(1，3，4)C.=(2，1，3)D.=(-2，-1，-3)3.已知a =（2，-3，5），b =（-3，1，-4），则a b ∙的值为______________.4.已知A (3，3，3),B (6，6，6)，O 为原点，则OA 与BO 的夹角是( ) B.π C. 23π D.2π5.已知a =(1，0，1)，b =(-2，-1，1)，c =(3，1，0)，则|a -b +2c |等于( ) A.103 102 10 D.5例1如图，M,N 分别是四面体OABC 的边OA,BC 的中点，P,Q 是MN 的三等分点。

3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。

2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。

重、难点1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。

2．坐标判断两个空间向量平行。

教学过程1．情景创设：平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？ 2．建构数学：如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j kr r r作为基向量，对于空间任一向量a r，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++r r r r ；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a r 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a r＝（x ，y ，z ）。

在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA u u u r是确定的，容易得到OA =u u u rxi y j zk ++r r r 。

因此，向量OA u u u r 的坐标为OA =u u u r （x ，y ，z ）。

这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。

类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。

设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则 a +b ＝（112233,,a b a b a b +++）， a －b ＝（112233,,a b a b a b ---），λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。

空间向量平行的坐标表示为a ∥b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ⇔===∈R 。

例题分析：例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。

例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。