2014.12.6《数学广角》_数与形_徐长青

第 1 页 共 7 页 第 12 课 数学广角——数与形 【 知识概述】 数与形是数学中的两个最古老、最基本的元素，是数学大厦的两块基石，所有数学问题都是围绕数与形的提炼、演变、发展而展开的。根据数与形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决问题的方法叫做数形结合，数形结合是解决数学问题常用的思想方法，著名数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。”使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。 【 例题精学】 例1 计算： 2719131

【同步精练】 1. 8112719131

2. 729124318112719131

3.24328122729232 【例题精学】 例2 按如下方式摆放餐桌和椅子。

第 2 页 共 7 页 填写下表：

【同步精练】 1.观察表中三角形个数的变化规律，填表。

2.下列图形都是由相同大小的正方形构成，依照图中的规律，第十个图形中有（ ）个相同大小的正方形。

第 3 页 共 7 页 3.下列各图形中的小正方形是按照一定的规律排列的，按照图中的规律，第十个图形中一共有（ ）个相同大小的小正方形。

【例题精学】 例3 有三堆棋子，每堆棋子数相等，第一堆中的黑子与第二堆的白子同样多，第三堆中的黑子占全部黑子的52，那么，三堆棋子中，白子总数占全部棋子的几分之几？

【同步精练】 1.有三堆围棋子，每堆有60枚，第一堆黑子与第二堆的白子同样多，第三堆有31是白子，这三堆棋子一共有白子多少枚？

2.有三堆围棋子，每堆有60枚，第一堆黑子与第二堆的白子同样多，第三堆有10枚白子。这三堆棋子中，白子比黑子少多少枚？

第 4 页 共 7 页 3. 有三堆围棋子，每堆棋子数相等，第一堆黑子与第二堆的白子同样多，第三堆中有10枚白子，占所有白子的41，这三堆棋子中，一共有黑子多少枚？

【例题精学】 例4 同学们做纸花，做了50朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总和还多12朵，红花比紫花多多少朵？

课题数与形课型新授课备课人李群春执教人教学目标知识目标让学生经历观察、操作、归纳等活动，帮助学生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系。

能力目标体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题。

情感目标培养学生通过数与形结合来分析思考问题，从而感悟数形结合的思想，提高解决问题的能力。

重点让学生经历观察、操作、归纳等活动，帮助学生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系。

难点体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题。

教学过程教学预设个性修改目标导学复习激趣目标导学自主合作汇报交流变式训练创境激疑一、复习（课件出示分数加法题）合作探究二、课件出示例1、1=（1 ）²1+3=（2 ）²1+3+5=（3 ）²利用以上规律学生写出：1+3+5+7=（）²1+3+5+7+9+11+13=（）²…………三、（一）沟通分数加减法的联系。

1．谈话：这个算式的结果是多少？算算看。

你是怎么想的?还有不同的想法吗？引出1-。

2．借助图形感受加法与减法的联系。

师：这个算式在图中表示什什么？（要求的结果就是涂色部分的面积）“1”和“”在图中表示什么？要求涂色部分的面积就是：1-=。

（二）渗透极限思想。

如果不停地加下去，课件呈现：1．猜一猜“和”是多少？（预设1—；1—；）。

2．请用“形”来解释这个结果。

学生操作。

展示。

3．反馈：（看大屏幕）减去的是什么呢？（剩下的空白部分。

）如果不停地加下去，空白部分会怎么样？（理解无穷小。

）那的结果怎样？（无限接近1。

）拓展应用完成课后做一做总结这节课你有什么收获？作业布置练习二十二3、4题板书设计数与形例1、1=（1 ）²1+3=（2 ）²1+3+5=（3 ）²利用以上规律学生写出：1+3+5+7=（）²1+3+5+7+9+11+13=（）²…………例2、计算=1…++++++教学反思。

【公开课一等奖】六年级数学上册《数学广角——数与形》优秀教学设计【教学目标】知识与技能：1．重视“数”“形”之间的联系，找到解题规律。

2.引导学生探究算式左边的加数与大正方形右上角的小正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数的关系，发现“数”“形”之间的联系，找到其中的规律，使学生在体验用形表示数的直观性的同时，学会应用规律解决问题。

过程与方法：1.借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题。

2.使学生在初步了解、运用“数形结合”思想方法的同时。

情感态度价值观：在巩固练习时，充分利用教材习题，引导学生在解决问题时能举一反三地运用所学，使学生的解题能力得到培养。

【教学重难点】重点：借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题。

难点：体验到数学的极限思想。

【教具准备】教具：PPT课件学具：完全相同的小正方形纸卡若干一、谈话导入1、师：同学们，我们学过了哪些数学知识？这是关于数的知识，这是关于形的知识，我们将以前学过的知识进行整理，都可以分为“数”和“形”两类。

2、图片欣赏师：让我们来看一幅图片，图片上有什么？说具体点师：在这句话中就既有数又有形。

今天这节课，我们就来研究数与形。

二、探究新知1、请继续来看图出示图：师：你能用数或算式表示出各图中小正方形的总个数吗？生：1+3=4 1+3+5=9（要求学生边指边说）师：如果老师继续往下摆，猜一猜，第4个图形至少再添上几个这样的小正方形呢？为什么会是7个呢？生：因为前面的加数都是1、3、5连续的奇数，所以接下来应该是7.师：我们来摆摆看，的确是这样，你们真善于观察。

你能像刚才一样用算式表示出这幅图中小正方形的总个数吗？等于多少呢？师：那如果继续往下摆呢？下一幅图一共需要多少个这样的小正方形呢？也能列个算式吗？（1+3+5+7+9）再下一个呢？再再下一个呢？这一列数，它们的和是多少？敢不敢和老师比一比，看谁算得快，好开始！为什么老师算得那么快呢？想不想知道为什么，直接告诉你们答案就没有神秘感了，给你一点提示我是根据数形结合的方法算出来的。

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 让数与形共舞于数学课堂 作者：陈春 来源：《理论与创新》2017年第32期

摘 要：在小学数学教学中，“数”与“形”是不可分割的。“数”与“形”相互转化，相互渗透，将抽象化的数学理论知识进行生动而形象的展示讲解，激发学生对数学的兴趣同时，也便于学生对数学的理解掌握，并在此基础上提升拓展自己思维能力和数学素养。

关键词：小学数学；数与形；徐长青；简约式教学 于2015年11月，本人有幸参加了“现代与经典”全国性教学观摩会，当代各教学领域的大师们倾尽全力给我们展现了一节节精彩绝伦的课堂教学，至今都令我久久难以忘怀。其中让我印象尤为深刻的是小学数学特级教师——徐长青老师的《数与形》一课不仅深深印入我的脑海，而且教学过程中深刻渗透了数与形结合的数学思想，对一名普通的数学教师的我而言，真是受益匪浅。

以形思数，激发学生学习兴趣 伟大的爱因斯坦曾经说过，兴趣是最好的老师。的确，兴趣是学生进行自主学习的最大最稳定的内部动机，是学生追求理论，获得新知的一种主观而强烈的发展渴望。在数学教学过程中，如果能够激发学生对数学知识的兴趣，让他们对知识学习学习能始终抱有好奇心，那么在数学学习过程中，学生便能积极主动地进行快乐学习。

小学生的思维处于形象思维为主导，抽象思维在发展的阶段，因而要想激发学生的学习“数与形”的兴趣，必然要从形象而生动的图形入手。徐长青老师在《数与形》课教学设计的第一环节——“猜”过程中，利用课件依次出示三幅图：一幅是35个大小相同的圆片（见图1），一幅是三个同样大的大圆片一个小圆片（见图2），还有一幅是三条同样长的小棒和一根一般长度的小棒的图片（见图3），并让学生猜一猜，可以想到哪个数？并说明理由。顿时，学生的学习兴趣和积极性一下子得以调动起来，踊跃地参与到课堂中来，其中不乏新奇有趣的回答，让人耳目一新。而在徐老师的反馈过程中，我们才彻底领会其用意，这个问题其实并没有唯一的标准答案，只要言之有理即可，主要在调节课堂气氛，激发学生的学习兴趣的同时，在参与互动思考中体会到由“形”可以联想到“数”，为领悟数形的结合关系奠定基础。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------六年级上册数学教案-数学广角--数与形-人教版（2014秋）(1)《鸡兔同笼》教学设计教学目标 1.通过学习使学生初步认识鸡兔同笼的数学趣题，能尝试用多种策略解答此类型的题目。

2.通过学习使学生在不断的试误中，运用列表举例假设法等方法解决鸡兔同笼问题，逐步形成良好的数学意识，体验尝试法解决数学问题的思想和方法。

3.在学习我国传统的数学文化的过程中，了解与此有关的数学史，对学生进行数学文化的熏陶和感染。

教学重点：探究用假设法解题的思路和算理。

教学难点：明确此类数学问题的解题思路中的算理。

教学过程一、谈话导入，揭示课题 1.鸡和兔大家都熟悉吗？谁能用数学语言来描述鸡和兔的特征吗？ 2.如果把鸡和兔关在一个笼子里，告诉你有 5 只鸡和 3 只兔，你能求出笼子里一共有多少只脚吗？鸡的只数 5 兔的只数 3 脚的只数 3.如果笼子里的 3 只兔全部学鸡走路，这时笼子里一共有多少只脚呢？如果笼子里的 5 只鸡全部都学兔走路，这时笼子里一共有多少只脚呢？4.如果既不知道鸡的只数也不知道兔的只数，只告诉我们笼子里的总头数和总只脚，你能求出有多少只鸡和多少只兔吗？5.揭示课题，1 / 4板书课题鸡兔同笼问题是我国古代数学名体之一，大约 1500 年前，我国古代数学名著《孙子算经》中就记载了这样的一道数学趣题。

今天老师将和大家一起来学习，同学们有没有信心把这节课的内容学好呢？二、展示情境，尝试探究 1.课件出示《孙子算经》鸡兔同笼问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？学生理解题意。

为了研究简便，我们可以先从简单的问题入手：笼子里有若干只鸡和兔.从上面数,有 8 个头,从下面数,有 26 只脚.鸡和兔各有几只? 2.你能猜测一下鸡和兔可能有多少只？（列表法）鸡的只数 8 7 6 5 4 3 2 1 0 兔的只数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 脚的只数 3.如果笼子里有很多很多鸡和兔，这个时候用列表法方便吗？ 4.讲解用假设法解题思路假设全是鸡：82=16（只） 26-16=10（条） 4-2=2 102=5（只）兔 8-5=3（只）鸡假设全是兔（方法同上） 5.讲解用方程解 6.现在你会解决《孙子算经》里的那道题了吗？笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有 35 个头，从下面数，有94 只脚。

六年级数学上册：《数学广角──数与形》教材分析数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观.数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中随处可见.有些情况下，是图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题.本单元的例1以及相关练习就属于这种情况.例如，第109页第2题（如下图），使学生通过观察，发现第2个图比第1个图增加2个小圆，第3个图比第2个图增加3个小圆，第4个图比第3个图增加4个小圆……这样依次下去，各个图形中的小圆个数分别是1，3，6，10，…，即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…如果是第个图，小圆的个数是.等学生将来学习了等差数列的有关知识，就知道第个图形中小圆的个数是.而有些情况下，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然.尤其是对于小学生，其思维的抽象程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解.例如，利用长方形模型来教学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理、乘法分配律、完全平方公式等.还有的时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可用“形”来解决“数”的问题.例如，解析几何中，函数图象与方程、方程组互为工具，互为解释，有机融合.小学中的正比例关系和反比例关系图象也很好地反映了这样的思想.本单元教材以“”“”为例，引导学生认识利用数和形的结合解决一些有趣的数学问题.一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》，下同）的主要区别新教材把《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》上册的“鸡兔同笼”问题移至四年级下册，新编“数形结合”的内容.本册的数学广角，编排了一个新的内容──数与形.二、教材例题分析例1：连续奇数的等差数列之和等于某平方数.本例让学生计算从1开始的连续若干奇数之和.在计算时，即使不借助图形，也可以通过，，…发现规律：从1开始，连续个奇数之和，就是的平方.但把图形与算式对应起来，更具直观性，更能让学生体会到数学之美.图中有的规律显而易见（每个图都是一个大的正方形，第个图形中，大正方形的每行、每列都有个小正方形，因此，小正方形的总数是）,有的规律相对比较隐蔽(从左下角到右上角，每个“┓”形的小正方形的个数分别是1，3，5，7，…).每个图中都“隐藏”着一个等式，如第个图中的等式就是.从图形的角度直观理解“正方形数”或“平方数”的特点，显然，使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点得到关于数的规律.例2：等比数列之和等于1.本例让学生计算的得数.学生在计算的过程中发现，，，…加数有规律，即后一个加数是前一个加数的；和也有规律，每次相加所得的和都等于1减去最后一个加数；加数的项数越多，和越接近1.这些加数无限地加下去，最后的和无限接近于1.但这个无限接近于1的数到底是多少呢？教材利用“分数的认识”中的面积模型和长度模型，在圆上和线段上表示出这些加数，使学生借助图理解：无限加下去，最终的得数为1.由此，教材借助图形解决了比较抽象的、复杂的、不好解决的问题.但在实际教学中，即使有了图形的直观支持，仍有学生对最终结果为1这一事实不能理解，这也是非常正常的.可以有两种解释的方法：第一种，如果学生认为和为，教师可以追问：如果再加上一项呢？加上，和就变成了.不管找到一个多么接近1的数，总还能再加一项，得到一个比它更接近1的和，这恰恰是极限思想的精髓所在.第二种，可以利用反推的方法来使学生明白其中的道理：……本单元的教学重点是自主探索图形中隐藏着的数的规律，会利用图形来解决一些有关数的问题，并学会应用所发现的规律.教学难点是体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想.基于上述内容和要求，教师在实际教学时需注意以下方面问题：（一）引导学生自主探索规律、应用规律，培养学生合作交流、抽象概括的能力“形”的问题中包含着“数”的规律，“数”的问题也可以用“形”来帮助解决.教师教学时，通过学生的自主探究、合作交流，既要让学生充分利用图形的直观、形象特点，用图形来表示数的规律性，感受化数为形的简捷性；同时，又要让学生寻找图形中所包含的数的规律，用数（或代数式）来表示图形，建立模式，感受用数或者代数式表示的概括性.总之，要让学生在解决问题的过程体会到数与形的完美结合，并逐步培养学生的抽象概括能力.（二）引导学生从多角度探索数与形的通用模式，培养学生的数学思想小学阶段，虽然不要求写出一个数列的通项公式，但可以通过数形结合的方式，利用图形的规律，从不同角度用自己的语言描述出数列的通用表达式，进而达到渗透数形结合、抽象概括等数学思想的教学目的.《数学广角──数与形》重难点突破一、自主探索图形中隐藏着的数的规律，会利用图形来解决一些有关数的问题，并学会应用所发现的规律突破建议：1．引导学生数形结合，从不同角度寻找规律.形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，要让学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合.既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律，也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律.通过数与形的对应关系，互相印证结果，感受数学的魅力.例如，教学例1时，可从形引入，先让学生说一说三幅图中分别有多少个小正方形？你是怎么发现的？通过学生的讨论，学生容易得出小正方形数为12，22，32，…的结论；也可以使学生看到三个图中的小正方形数还可以分别表示成1，1+3，1+3+5，…的结论.也可以从数引入，让学生通过计算，发现1+3=4，1+3+5=9，…有的学生可能很快发现4=22，9=32，…此时老师可以引导学生用正方形来表示这些算式，使学生通过数与形的比照，看到这些连续的奇数在图形中的什么地方，平方数代表的又是图形中的什么.从而对规律形成更为直观的认识.2．充分发挥教师的指导作用，让学生感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性.例2中，“无限”的概念非常抽象，学生不易理解.因此，在教学过程中，教师要积极发挥自身的主导作用，帮助学生深刻理解.比如说，教师可以出示一个圆或者一条线段或者一个正方形，让学生根据分数的意义表示出这些加数，使学生直观地看到最终的结果是“1”.从而进一步感受到“化数为形”的直观、形象、简捷特点.当然，如果学生还是有困难，教师也可以通过反推的方法帮助学生理解.二、体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想突破建议：1．在学生经历发现模式、应用模式的过程中渗透数形结合、归纳推理等数学思想.本单元教学通过数与形的比照，引导学生从不同角度探索规律.例如，通过观察与计算1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，…既能发现加数的规律，又能发现和的规律.在发现规律的基础上，通过推理，逐步抽象，形成模式，再引导学生把规律应用于一般的情形，解决问题.显然，这样的一个教学过程，既是学生自主探究获取知识的过程，更是有机渗透数学思想方法的过程，使学生在潜移默化的过程体会与领悟推理和数形结合的思想.2．在利用数形结合解决问题的过程中积累基本的数学经验，培养基本的数学思想.例如，在例2教学中，让学生通过计算，发现和越来越趋向于1，感受什么叫“无限接近”.虽然无法一一穷举所得的结果，但可以利用观察到的规律进行“无穷无尽”类推，使学生在这一过程中体会推理和极限的思想.。