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1.1.2 弧度制1.了解弧度制.2.会进行弧度与角度的互化.(重点、难点)3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式.(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1弧度制的概念阅读教材P7的有关内容，完成下列问题.1.角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.2.弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大.()(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等.()(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度.()【★答案★】(1)×(2)×(3)×教材整理2角度制与弧度制的换算阅读教材P8的全部内容，完成下列问题.1.角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2π rad＝360°180°＝πradπ rad＝180°角度0°1°30°45°60°90°弧度0π180π6π4π3π2角度120°135°150°180°270°360°弧度2π33π45π6π3π22π正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(1)3π5＝________；(2)－π6＝________；(3)－120°＝________rad；(4)210°＝________rad.【解析】(1)3π5＝35×180°＝108°；(2)－π6＝－16×180°＝－30°；(3)－120°＝－120×π180＝－23π；(4)210°＝210×π180＝7π6.【★答案★】(1)108°(2)－30°(3)－2π3(4)7π6教材整理3扇形的弧长公式及面积公式阅读教材P9的全部内容，完成下列问题.1.弧度制下的弧长公式：如图1-1-7，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr ，弧长l ＝|α|r .特别地，当r ＝1时，弧长l ＝|α|.图1-1-72.扇形面积公式：在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r ，圆心角为α的扇形的面积为S ＝|α|2π·πr 2＝12lr .若扇形的圆心角为π6，半径r ＝1，则该扇形的弧长为________，面积为________.【解析】 ∵α＝π6，r ＝1， ∴弧长l ＝α·r ＝π6×1＝π6， 面积S ＝12lr ＝12×π6×1＝π12. 【★答案★】 π6 π12[小组合作型]角度制与弧度制的互化(1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.【精彩点拨】 利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化. 【自主解答】 (1)－450°＝－450×π180 rad ＝－5π2 rad ；(2)π10rad＝π10×180°π＝18°；(3)－4π3rad＝－4π3×180°π＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180rad＝5π8rad.[再练一题]1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.【解】(1)72°＝72×π180rad＝2π5rad；(2)－300°＝－300×π180rad＝－5π3rad；(3)2 rad＝2×180°π＝360°π≈114.60°；(4)－2π9rad＝－2π9×180°π＝－40°.用弧度制表示角的集合阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图1-1-8所示). 【导学号：48582006】图1-1-8【精彩点拨】 先写出边界角的集合，再借助图形写区间角的集合. 【自主解答】 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2k π(k ∈Z )”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k ·360°，(k ∈Z )”中，α必须是用角度制表示的角.[再练一题]2.如图1-1-9，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).① ②图1-1-9【解】 (1)如题图①，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )，所以阴影部分内的角的集合为(2)如题图②，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为2π3＋2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，所以阴影部分内的角的集合为[探究共研型]扇形的弧长及面积问题探究1公式l＝|α|r中，“α”可以为角度制角吗？【提示】公式l＝|α|r中，“α”必须为弧度制角.探究2在扇形的弧长l，半径r，圆心角α，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明.【提示】已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r，可利用l＝|α|r，求l，进而求S＝12lr；又如已知S，α，可利用S＝12|α|r2，求r，进而求l＝|α|r.一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？【自主解答】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝20－2rr.由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，∴S扇形＝12αr2＝12·20－2rr·r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0<r<10).∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大.灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.[再练一题]3.已知扇形OAB的圆心角为120°，半径为6，求扇形的弧长和面积.【解】∵α＝120×π180＝2π3.又r＝6，∴弧长l＝αr＝2π3×6＝4π.面积S＝12lr＝12×4π×6＝12π.1.将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)：(1)2π15＝________；(2)－6π5＝________；(3)920°＝________；(4)－72°＝________.【解析】(1)2π15＝215×180°＝24°.(2)－6π5＝－65×180°＝－216°.(3)920°＝920×π180＝469π rad.(4)－72°＝－72×π180＝－2π5rad.【★答案★】 (1)24° (2)－216° (3)469π rad (4)－2π5 rad2.半径长为2的圆中，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的面积为________. 【解析】 S ＝12lr ＝12r 2·α＝12×4×2＝4. 【★答案★】 43.圆的半径变为原来的3倍，而所对的弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍.【解析】 设圆最初半径为r 1，圆心角为α1，弧长为l ，圆变化后的半径为r 2，圆心角为α2，则α1＝l r 1，α2＝l r 2.又r 2＝3r 1，∴α2α1＝r 1r 2＝r 13r 1＝13.【★答案★】 134.用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为______. 【解析】 若角α的终边落在x 轴的上方， 则2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z . 【★答案★】{}α| 2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z5.设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角.【导学号：48582007】【解】 (1)∵180°＝π rad ， ∴α1＝－570°＝－570×π180＝－19π6 ＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750×π180＝25π6＝2×2π＋π6. ∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限. (2)β1＝3π5＝3π5×180°π＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ＜0°， 即－720°≤108°＋k ·360°＜0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°＜0°，得k ＝－1，或k ＝0.故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°.。
高中数学1.1.2 弧度制互动课堂学案苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学1.1.2 弧度制互动课堂学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高中数学 1.1。
2 弧度制互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.度量角的单位制：角度制、弧度制 （1)角度制初中学过角度制，它是一种重要的度量角的制度，规定周角的3601为1度角,记作1°，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
（2)弧度制规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下，1弧度记作1 rad. (3)弧度数 如下图1，的长等于半径r,所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即rl=1。
图1 图2在图2中，圆心角∠AOC 所对的的长l=2r ，那么∠AOC 的弧度数就是22==rrr l如果圆心角所对的弧长l=2πr （即弧长是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数是rrr l π2==2π.如果圆心角表示一个负数，且它所对的弧的长l=4πr，那么这个角的弧度数的绝对值是rrr l π4==4π，即这个角的弧度数是—4π。
一般地，正确的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是零。
2。
弧长公式与 扇形面积公式（1）设l 是以角α作为圆心角时所对的弧的长，r 是圆的半径，则有l=｜α|·r,其中α是角的弧度数.（2)扇形面积公式S=21lr=21α·r 2. 3。
1．1.2弧度制预习课本P7～10，思考并完成下列问题1．如何用角度制、弧度制来分别度量角？2．如何将角从弧度化为角度，从角度化为弧度？3．在弧度制下，扇形的弧长公式和面积公式分别是什么？[新知初探]1．角的单位制(1)角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写．(3)角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝l r.[点睛](1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写．(2)不能忽略角的正、负．2．角度与弧度的换算(1)换算公式(2)一些特殊角的度数与弧度的换算3．扇形的弧长与面积公式[点睛](1)由扇形的弧长及面积公式可知，对于α，r，l，S可以“知二求二”．(2)弧度制下的弧长公式和扇形面积公式有很多优越性，但要注意角必须化为弧度后再计算．[小试身手]1．弧度和角度互化：(1)－2π3＝________；(2)－270°＝________.★答案★：(1)－120°(2)－3π22．半径为1 cm，圆心角为5π6的弧长为________ cm.★答案★：5π63．若α＝－4，则α所在的象限为________． ★答案★：第二象限4．把角－690°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z)的形式为________． ★答案★：－4π＋π6角度与弧度的互化[典例] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9. [解] (1)72°＝72×π180 rad ＝2π5 rad. (2)－300°＝－300×π180 rad ＝－5π3rad. (3)2 rad ＝2×180π°＝360°π≈114.59°.(4)－2π9 rad ＝－2π9×180π°＝－40°.(1)关系式π＝180°是关键，角度数乘以π180即为弧度数，弧度数乘以180°π即为角度数．(2)角的正、负不随互化而改变． 把下列弧度化成角度或角度化成弧度： (1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.解：(1)－450°＝－450×π180 rad ＝－5π2rad. (2)π10 rad ＝π10×180°π＝18°. (3)－4π3 rad ＝－4π3×180°π＝－240°. (4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8rad. 用弧度制表示角的集合[典例] (1)(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β. [解] (1)∵－1 480°＝－1 480π180 rad＝－74π9 rad ＝－10π＋16π9.∴－1 480°＝－10π＋16π9. (2)由(1)可知α＝16π9. ∵β与α终边相同， ∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z. 又∵β∈[－4π，0]， ∴－4π≤2k π＋16π9≤0，k ∈Z ， 即－269≤k ≤－89，k ∈Z ，故k ＝－1或k ＝－2， 当k ＝－1时，β＝－2π9； 当k ＝－2时，β＝－20π9， ∴β的值是－2π9，－20π9.(1)表示角的集合，要注意统一单位，不能既含有角度又含有弧度；(2)用弧度制表示与α角终边相同的角记为2k π＋α(k ∈Z)时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，条件k ∈Z 不能少．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)如题图①，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z)；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k∈Z)．所以阴影部分内的角的集合为 ⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫－2π3＋2k π＜α＜π6＋2k π，k ∈Z .(2)如题图②，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z)；以OB 为终边的角为2π3＋2k π(k ∈Z)．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2，则M 1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2k π＜α＜π3＋2k π，k ∈Z ，M 2＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z . 所以阴影部分内的角的集合为M 1∪M 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2k π＜α＜π3＋2k π，或2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .扇形的弧长公式及面积公式1．已知扇形的半径为2 cm ，圆心角为80°，求扇形的弧长和面积． 解：已知扇形的圆心角α＝80°＝4π9，半径r ＝2 cm ，则弧长l ＝α·r ＝4π9×2＝8π9(cm)，所以面积S ＝12lr ＝12×8π9×2＝8π9(cm 2)．题点二：利用公式求半径和弧度数2．扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求扇形的半径和圆心角． 解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为r cm ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝4， ①12l ·r ＝1， ②由①②，得r ＝1，∴l ＝4－2r ＝2，θ＝lr ＝2. 故所求扇形的半径为1 cm 、圆心角为2 rad. 题点三：利用公式求扇形面积的最值3．已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则l ＋2r ＝30，故l ＝30－2r ，从而S ＝12lr ＝12(30－2r )r＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254⎝⎛⎭⎫15π＋1<r <15， 所以，当r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.(1)使用面积公式或弧长公式，首先应尽可能将角化为弧度．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，往往需要通过列方程(组)求解．层级一 学业水平达标1．将5π12化为角度是________．解析：5π12＝5π12×180°π＝75°. ★答案★：75°2．－2 0154π是第________象限角．解析：－2015π4＝－504π＋π4，故－2015π4与π4是终边相同的角，即－2015π4是第一象限角． ★答案★：一3．－330°化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z)的形式，则α＝________. 解析：－330°＝－330×π180＝－11π6＝－2π＋π6，故α＝π6.★答案★：π64．半径为π cm ，圆心角为120°的弧长为________ cm. 解析：弧长l ＝2π3×π＝2π23 cm.★答案★：2π235．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是________．解析：因为－11π4＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－3π4，所以θ＝－3π4. ★答案★：－3π46．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为__________． 解析：若角α的终边落在x 轴上方，则2k π＜α＜2k π＋π(k ∈Z)．★答案★：{α|2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z}7．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k ·π2，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k ·π±π2，k ∈Z ，则M ，N 之间的关系为____________．解析：因为k ·π±π2＝(2k ±1)·π2是π2的奇数倍，所以N ⊆M .★答案★：N ⊆M8．下列命题中，正确的序号是________． ①1弧度是长度为半径的弧；②大圆中1弧度角比小圆中1弧度的角大； ③1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角； ④圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 ； ⑤长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．解析：由弧度的概念知，①⑤错误，③正确；角的大小与圆的半径无关，所以②不正确；因为弧长l ＝α·r ，所以当α＝1时，l ＝r (半径)．所以④不正确．★答案★：③9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．解：(1)如题图①，以OA 为终边的角为5π12＋2k π，k ∈Z ，以OB 为终边的角为－π6＋2k π，k ∈Z ，所以阴影部分的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如题图②，以OA 为终边的角为π6＋2k π，k ∈Z ，以OB 为终边的角为7π6＋2k π，k ∈Z ，故阴影部分的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|π6＋2k π≤α≤π2＋2k π，k ∈Z ∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|7π6＋2k π≤α≤3π2＋2k π，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z .10．已知α是第三象限的角，指出α2所在的象限；若α同时满足条件|α＋2|≤4，求α的取值区间．解：依题意，2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z)， ①k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z)，若k 为偶数，则α2是第二象限的角；若k 为奇数，则α2是第四象限的角．②因为|α＋2|≤4，所以－6≤α≤2， 即α∈⎝⎛⎭⎫2k π＋π，2k π＋3π2∩[－6,2]， 结合数轴不难知道，α∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2. 层级二 应试能力达标1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________． 解析：由题意r ＝1sin 1，故l ＝2×1sin 1＝2sin 1. ★答案★：2sin 12．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________.解析：如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]． ★答案★：[－4，－π]∪[0，π]3．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________________.解析：与α终边相同的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝2k π＋π3，k ∈Z . ∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2k π＋π3＜4π(k ∈Z)，化简得：－136＜k ＜116(k ∈Z)．∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1，∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π3.★答案★：－11π3，－5π3，π3，7π34．扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________．解析：如图，设扇形内切圆的半径为r ，由扇形的圆心角为π3，知扇形的半径为3r ，故内切圆的面积与扇形面积之比为πr 2：12×π3×9r 2＝2∶3.★答案★：2∶35．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为________． 解析：由题意，这条弦所对的圆心角为π3，故圆周角为π6.★答案★：π66.如图所示，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB 为120°，半径长为6，则阴影部分的面积是________．解析：因为120°＝2π3，所以S 扇形OAB ＝12×2π3×62＝12π，如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点， 于是有S △OAB ＝12AB ·OD ＝12×(2×6cos 30°)×3＝9 3.所以S 阴影＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ★答案★：12π－9 37．若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角．解：因为θ＝6π7＋2k π(k ∈Z)，所以θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z)． 依题意0≤2π7＋2k π3<2π(k ∈Z)，解得－37≤k <187(k ∈Z)， 所以k ＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.8.如图，P ，Q 是以O 为圆心，4为半径长的圆周上的动点，现点P ，Q 从点A (4，0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒转π3弧度，点Q按顺时针方向每秒转π6弧度，(1)求P ，Q 第一次相遇时所用的时间； (2)求P ，Q 第一次相遇时各自走过的弧长． 解：(1)设点P 与Q 第一次相遇时所用的时间是t s ， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4. 所以P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s.(2)点P 走过的弧长为π3×4×4＝16π3，点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪－π6×4×4＝8π3.。
弧度制教学设计江苏省太湖高级中学〔214125〕翟洪亮1创设情景，引入新制师：上一课，我们学习任意角，通过旋转将角的范围由初中所学的到，推广到任意角，知道角不但可以推广到大于的任意正角，还可以推广到零角、负角，第一次颠覆了我们对角的已有认识,今天将在此根底上再次颠覆大家对角的认识请大家看投影中姚明的简介，结合表格，联系生活，在常用的度量衡有国际公制、英制和中国市制，你能想到长度、质量的单位有哪些？生：毫米〔mm〕、厘米〔cm〕、米〔m〕、千米〔m〕，中国市制有：寸、尺、丈等生：在度量质量的国际公制中常用的单位有：克〔g〕、千克〔g〕等，英制由磅，中国市制有：钱、两、斤等师：这说明在不同地域内不同的单位进制会给人们解决生活问题带来方便，对于角你知道它的单位有哪些？单位之间又是如何进行换算的？生：角的单位有度、分、秒，1度=60分，1分=60秒师：我们知道周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，那么角是否还有其他换算进制呢？生：也应该有！设计意图通过对长度和质量在不同的区域都有不同换算进制，从而引导学生想到角也应该有不同的换算进制，旨在激发学生去探索新知2探究比值，以旧促新师：在初中学了弧长公式，哪位同学能表达一下？生：在半径为的圆中，圆心角为度的扇形所对的弧长为，所以圆心角为度的扇形所对的弧长为师：很好！在弧长公式中当圆心角确定后，如图1，改变图1半径的大小，你能发现什么？生：发现半径越小，扇形的弧长越短；半径越大，扇形的弧长越长师：请大家计算，，你能发现什么？生：发现为定值，当角不变，的值被唯一确定〔教师用几何画板演示〕师：由此发现：弧长与半径的比值也能确定圆心角的大小再看= 度？生：要将除以60得，所以师：要先除以60，再转化为十进制，因此有人提出，角度制给十进制的运算带来不便，需要创立新的度量角的单位，你认为如何定义最合理呢？生：可以用圆的半径去度量弧师：你的想法与数学家欧拉的想法不谋而合，瑞士数学家欧拉在他1748年出版的?无穷小分析概论?第八章引入弧度概念但是弧度的名字——radian首次出现在正式印刷物上是在1875年 ,由爱尔兰的詹姆斯•汤姆森将半径〔radiu〕和角〔ange〕两个英语单词组合而成欧拉提出：用圆的半径作单位去度量弧规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作用弧度作为单位来度量角的单位制叫弧度制设计意图两大原因：〔1〕弧长与半径的比值可刻画角的大小；〔2〕60进制给十进制换算带来不便让学生感受到要创立新的进制与十进制接轨的迫切性，从而让学生意识到最合理的方法就是用半径去刻画角的大小，说明弧度制产生的合理性3动手操作，强化概念师：请大家用圆规和纸条或棉线〕作出的角生：如图2，在平面上以点为圆心，以长为半径作圆，Array在圆周上用纸条截取，那么为的角〔几何画板演示〕师：请大家再用圆规和纸条作出的角生：在圆周上用纸条截取，那么为的角〔几何画板演示〕师：请大家再用圆规和纸条作出的角生：在圆周上用纸条顺时针截取，那么为的角〔几何画板演示〕师：从上面作法可知，用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，可以省略单位，例如，，可分别写成，，为了便于国际交流，不同进制的度量单位之间，可以互相换算如在长度单位中有：1米=3尺；在质量单位中有：1斤=500克那么角的角度制与弧度制之间又该如何进行换算呢？先请大家用量角器度量一下角约为多少度？生：大约是57度设计意图通过动手作图去理解弧度制概念，用量角器测量1弧度的角，既让学生感受1弧度角的大小，也为引出角度制与弧度制的换算做好准备5两制互化，发现规律师：为什么呢？生：由公式可知，当时，其中圆心角度师：由此可见，度，那么1度等于多少弧度呢？生：师：对此，如何理解更好呢？生：半径为圆的圆的周长，由弧度制定义得，所以，即，度师：通过整个圆周角来理解，既直观，又形象这符合我们思维的习惯，在角度制中，整个圆周角是，因此角为圆周角的360分之一；同样，在弧度制中，整个圆周对应的角是，所以，所以，度设计意图先从学生熟悉的弧长公式中寻找新知的生长点，后利用弧度制定义，从特殊情形圆周角整体入手，利用直观加深学生理解，便于学生接受师：把以下角从弧度化为度：〔1〕；〔2〕3生：〔1〕；〔2〕师：我们既要能将角从弧度化为度，也要能将角从度化为弧度请把以下各角从度化为弧度：〔1〕；〔2〕；〔3〕生：〔1〕；〔2〕；〔3〕师：请大家完成下表：上述问题中，大家能发现什么？生：随着角的范围推广到任意角，发现正角对应正实数；零角对应实数0；负角对应负实数同样任给一个实数，也对应惟一的一个角师：这说明，在弧度制下角的集合与实数集之间构成图3一一对应关系：每一个角都对应惟一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应惟一的一个角〔如图3〕这是不是再一次颠覆我们对角的认识生：是！真的想不到啊！设计意图通过角度制与弧度制的互化，强化所学新知，利用表格中所填数值的对称性，就象设置在数轴上一样，便于学生直观感受到在弧度制下角的集合与实数集之间的对应关系6公式优化，追根溯源师：因为角有正负，而，所以角所对的弧之间关系应为如图4图4，能用哪些方法求出的弧度数？生1：用量角器量出角度，由计算弧长，计算可得弧度数生2：用量角器量出角度，通过可得弧度数生3：用圆规，以点为圆心，以为半径作圆弧，分别交于点，交于点计算师：既然同一个圆心角所对的弧长与它所在圆的半径的比值是一个常数，与圆半径的大小无关，那么作圆时，取时，那么，此时弧长即为的弧度数，可简化计算设计意图通过对公式的两次优化，首先说明加绝对值得必要性，然后要求学生用不同方法得到的弧度，旨在拓展学生思维，提升学生能力取半径为单位长度，既可简化计算，也为用单位圆作为工具去研究任意角的三角函数、诱导公式，以及三角函数图象和性质奠定根底师：在初中时，我们已经学习弧长公式为，扇形的面积公式为学习弧度制后，弧长公式变为，很简洁那么扇形的面积公式又是什么呢？生：扇形的面积公式为师：怎么理解呢？生：按扇形所占圆的比例来理解前者占圆面积的，是角度值的比；后者占圆面积的，是弧度值的比师：很好！还能怎么理解呢？生：扇形的面积公式，可以把扇形视为三角形，把视为三角形的底边，半径视为高，很容易记忆师：你是怎么想到的？图5生：从公式形式想到的，如果扇形很小，也可以当作三角形！师：这就是数学直觉！如图5，我们把扇形分成份，当趋向无穷大时，每一份所对应的扇形可以近似地看成一个以半径为腰，弧长为底的等腰三角形，它们的高都为半径，所以扇形的面积，这是极限分割的数学思想因此，可把扇形直观地视为三角形来记忆它的面积．下面请大家思考例题：扇形的周长为，圆心角为，求该扇形的面积．生：设扇形的半径为，弧长，那么解得故扇形的面积为．设计意图将角度制下扇形的面积公式与弧度制下扇形的面积公式进行比照，再次体会弧度制的优越性．然后由扇形的面积公式启发学生联想到三角形的面积公式，从而探究出极限分割的思想是两者面积公式形式上一致的根源所在．师：本节课我们共同学习了哪些内容，谁来总结一下？生：1弧度概念；2弧度制与角度制相互转化；3弧长公式与扇形面积公式在弧度制下的优化．从中体会到化归与转化，数形结合和分论讨论等数学思想．师：课后作业完成相应练习，下课，谢谢大家，再见！。
