- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直的条件，有
1g 1g 1g 0,
解得 : 1: 1，于是经过直线 l 且与平面 垂直的平
面方程为
y z 1 0,
所求的射影直线方程为
x y z 0,
y
z
1
0.
• 重点、难点 • 2-4
（三）常见的曲面
柱面方程 锥面方程 旋转曲面方程 直纹曲面 曲线族生成的曲面
柱面方程
重点
柱面方程 锥面方程 旋转曲面方程 直纹曲面 曲线族生成的曲面 五种常见的二次曲面
（四）二次曲面的一般理论
坐标变换 利用旋转变换和平移（绕轴旋转）化简 二次曲面的方程
坐标变换
c11 c12 c13
i,
j,
k
i,
j,
k
c21
c22
c23
,
c31 c32 c33
x c11x + c12 y + c13z x0 ,
1 2
,
1 4
,
4
.
1 3 1 2 4 0,
24 4
于是
x 2 y 1 z 2 1 1
是所求的一条直母线.
同法可求出属于 族的另一条直母线为
x4 y2 z
2
12
(此时 2).
曲线族生成曲面
例3.4.7 求与两直线 y , z c 与 x , z c(c ) 均 相交，且与双曲线xy c , z 也相交的动直线所产生 的曲面方程.
直线的参数方程
平面与直线位置关系
• 直线与平面平行 • 平面与平面平行 • 两直线异面的判定
平面束
• 定理2.3.1 设两个平面
1 : A1x B1 y C1z D1 0, 2 : A2x B2 y C2z D2 0
交于一条直线 ，则以l 为轴的共轴平面束方 程是
A1x B1y C1z D1 A2x B2y C2z D2 0,
c的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a
b
(a ybz
azby )i (azbx
axbz ) j
(axby aybx )k
i jk
a
b
ax
ay
az
bx by bz
a//
b
6、混合积
ax ay az bx by bz
[abc]
(a
b)
c
ax bx
解 在已知二直线上分别取点 (,,c)和 (, , c)
其中 , 是参数，于是动直线方程为
x y zc. c
(3.4.8)
因直线(3.4.8)与已知双曲线相交，令 z 0 ,有
x
y
,
故得 x , y ，代入 xy c 中得
c .
(3.4.9)
消去参数即得所求曲面方程为 z xy c.
1
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 y2 z 2 p 2q
x2 y2 z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
直纹曲面
习题4
x2 y2 =z 上, 试求平行于平
16 4
面 3x 2y 4z 1=0 的直母线方程.
解 依题意,
族直母线
x 4
y ,
2
x 4
y 2
z的方向向量为
依公式(2.4.9)，直线 l 与平面 的夹角 满足
ngv
sin
6.
nv 3
所以 arcsin 6 .
3
下面求直线 l 在平面 上的射影直线方程.
以直线 l为轴的平面束方程为
x y z 1 x y z 1 0,
即
x y z 0,
在平面束中找一个平面与平面 垂直，那么依两平面垂
图2.10
l1
2
l2
公垂线方程
例2.4.5 试求直线 x y z 1 0,
l
:
x
y
z
1
0
在平面 : x y z 0 上的射影直线方程，并求 l与
的夹角.
解 直线 l的方向向量为1,1,11,1,1 20,1,1 为简单起见，取为v 1,1,1. 又平面 的法向量n 1,1,1.
向量模长的坐标表示式 | a| ax2 a y2 az2
向量方向余弦的坐标表示式
cos cos
ax
ax2 ay2 az2
ay
ax2
a
2 y
az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
4、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a||
b|
cos
ay by
az bz
cx cy cz
• 重点 • 1-2，1-4，1-5
（二）直线和平面方程
平面方程 直线方程 平面与直线位置关系
平面束 距离、夹角 异面直线
平面的点位式方程
x x0 y y0 z z0
X1
Y1
Z1 0
X2
Y2
Z2
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
已知一个平面过空间中的一点 M 0 x0, y0, z0
且其法向量为 n X ,Y , Z 则平面的点法式方程为：
X x x0 Y y y0 Zz z0 0
空间直线的一般方程
A1 x B1 y C1z D1 0
A2
x
B2
y
C2z
D2
0
x x0 y y0 z z0
m
n
p
直线的对称式方程
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
柱面由它的准线和母线方向所确定
x x
l
y y m
z z n
,
F x, y, z ,
G x, y, z .
图3.1
锥面方程
.
锥面由它的准线和顶点所确定
设点 Px, y, z 不是顶点P0 ,则点P 在锥面上当且仅当由
点P0 与P 所确定的直线必与准线 相交于某点P x, y, z ,
其中 为a与b的夹角
数量积的坐标表达式
a
b
axbx
a yby
azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
axbx a yby azbz 0
5、向量积 (叉积、外积)
|
c||
a||
b|
sin
其中 为a与b的夹角
因此
x x
F
x x
x, y,
y y y y
z ,Βιβλιοθήκη z z z z,G x, y, z .
(3.2.3)
.
旋转曲面方程
点 P x,y,zS 当且仅当存在点 P1 x1,y1,z1 ,使得点 P
位于过点 P1 的纬圆上, 因此有
x
x0
2
y
y0
2
z
z0
2
x1
x0
2
y1
y0
2
z1
z0
2
,
l
x
x1
m
y
y1
n
z
z1
0,
F x1, y1,z1 0,
G x1, y1,z1 0.
(3.3.1)
从上述方程组中消去 x1, y1, z1 ,便得到旋转曲面S 的一般 方程.
Z
P1
P0
Y
O
X
五种常见的二次曲面
x2
y2
z2
1
a2 b2 C2
x2 a2
y2 b2
z2 c2
y
c21x
+
c22
y
+
c23 z
y0 ,
z
c31x
+
c32
y
+
c33 z
z0.
课后作业： P122 1,3,5
选做：9
4-2 课件、作业
。。。
• 两异面直线之间的距离
uuuuuur
M1M 2 , v1, v2
d
.
v1 v2
M2 v2
l2
P2
d
P1 M1
v1
l1
异面直线
x x1 y y1 z z1
1
X1
Y1
Z1 0
XYZ
x x2 X2 X
y y2 Y2 Y
z z2 Z2 0 Z
l M•1 v1
v1 v2 M•2
v2
（一）向量代数
向量的表示 方向余弦 内积 外积 混合积
3、向量的表示法
向量的分解式：
a
a
x
i
a
y
j
az
k
在三个坐标轴上的分向量：axi , ay j , azk
向量的坐标表示式： a {ax , a y , az }
向量的坐标： ax , a y , az
其中 ax,ay ,az 分别为向量在 x, y, z 轴上的投影.
其中 , 是不全为零的任意实数.
适用于求过已知直线的平面方程
距离、夹角
点到直线的距离
uuuuuur d M0M v .
v
M d
M0
v
l
推论 2 ：点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 与平面 图2.8
Ax By Cz D 0之间的距离为
Ax By Cz D d
A2 B2 C 2
