专题2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义-2018-2019学年高一数学人教A版必修四导学案Word版含解析

2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.二．教学目标1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

三、教学重点难点重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。

难点：平面向量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。

有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。

2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1．学生的学习准备：预习学案。

2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。

创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180（2）两向量共线的判定（3）练习1.若a=(2，3，b=(4，-1+y，且a∥b，则y=（C ）A.6B.5C.7D.82.若A(x，-1，B(1，3，C(2，5三点共线，则x的值为（B ）A.-3B.-1C.1D.3（4）力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角.二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0，则ab=bc a=c.但是ab = bc a = c如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|ab = bc 但a c(5在实数中，有(abc = a(bc，但是(abc a(bc显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c 不共线.2．“投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.3．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1、ab ab = 02、当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|.特别的aa = |a|2或|ab| ≤ |a||b| cos =探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：a b = b a证：设a，b夹角为，则a b = |a||b|cos，b a = |b||a|cos ∴a b = b a2．数乘结合律：(ab =(ab = a( b证：若> 0，(ab =|a||b|cos，(ab =|a||b|cos，a( b =|a||b|cos，若< 0，(ab =|a||b|cos( = |a||b|(cos =|a||b|cos，(ab =|a||b|cos，a( b =|a||b|cos( = |a||b|(cos =|a||b|cos.3．分配律：(a + bc = ac + bc在平面内取一点O，作= a，= b，= c，∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2，∴c(a + b = ca + cb 即：(a + bc = ac + bc说明：（1）一般地，(ａ·ｂс≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解范例：例1．证明：(ａ＋ｂ２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２例2．已知|a|=12， |b|=9，，求与的夹角。

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒（2）力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）. 并规定0向量与任何向量的数量积为0.⋅探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？2．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值； 当θ为直角时投影为0； 当θ = 0︒时投影为 |b |； 当θ = 180︒时投影为 -|b |.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，1、a ⊥b ⇔ a ⋅b = 02、当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |； 当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |.特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| |a ⋅b | ≤ |a ||b | cos θ =||||b a b a ⋅ 探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解范例：例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２例2．已知|a |=12， |b |=9，254-=•b a ，求a 与b 的夹角。

备课资料一、向量的向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下:两个向量a与b的向量积是一个新的向量c:(1)c的模等于以a及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积;(2)c垂直于平行四边形所在的平面;(3)其指向使a、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a与b时,a按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b.图5向量a与b的向量积记作a×b.设a与b两个向量的夹角为θ,则|a×b|=|a||b|sinθ.在上面的定义中已默认了a、b为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则a×b=0.向量的向量积服从以下运算律:(1)a×b=-b×a;(2)a×(b+c)=a×b+a×c;(3)(m a)×b=m(a×b).二、备用习题1.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( )①|a·b|=|a||b|⇔a∥b②a与b反向⇔a·b=-|a||b|③a⊥b⇔|a+b|=|a-b| ④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|A.1B.2C.3D.42.有下列四个命题:①在△ABC中,若AB·BC>0,则△ABC是锐角三角形;②在△ABC中,若AB·BC>0,则△ABC为钝角三角形;③△ABC为直角三角形的充要条件是AB·BC=0;④△ABC为斜三角形的充要条件是AB·BC≠0.其中为真命题的是( )A.①B.②C.③D.④3.设|a|=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为( )3A.43B.4C.42D.8+24.设a,b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a·b)c-(c·a)b=0; ②|a|-|b|<|a-b|;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直; ④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④5.在△ABC 中,设AB =b ,AC =c ,则22)(|)|(|c b c b ∙-等于( ) A.0 B.21S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC6.设i ,j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________.7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·b+c ·a =_________.8.设|a |=3,|b |=4,a 与b 的夹角为150°,求:(1)(a -3b )·(2a +b );(2)|3a -4b |.9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值.解答:1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-138.(1)-30+303;(2)3114337+.9.{λ|λ<68511--或λ>68511+-. 10.由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos 3π=1.∵m =2a +b ,∴m 2=4a 2+b 2+4a ·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21.又∵n =a -4b ,∴n 2=a 2+16b 2-8a ·b =4+16-8=12.∴|n |=23.设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |cos θ. ①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m |=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23cos θ,∴cos θ=147-,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为147-.。

§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标：⒈掌握平面向量数量积的概念及其几何意义．⒉掌握平面向量数量积的性质和运算律．⒊会根据定义计算平面向量的数量积．教学重点：平面向量数量积的概念．教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解．教学方法：讲授、讨论式．教具准备：用《几何画板》演示向量的数量积对加法的分配律、向量的数量积不满足结合律．教学过程：（Ⅰ）新课引入：师：前面我们学习了平面向量的线性运算，即向量的加法、减法和数乘运算．它们的运算结果有什么共同的特征呢？生：向量线性运算的结果仍然是向量．师：除了我们学过的线性运算以外，向量是不是还有其它的运算呢？如果有的话，其运算结果仍然是向量吗？我们来看物理学中的例子．我们知道，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W ＝|F ||s |cos θ，其中θ是F 与s 的夹角.功是一个标量，它由力和位移两个向量根据某种法则来确定，也就是说，“功”是两个向量的一种运算结果．这是一种我们没有见过的新的运算，我们称之为向量的“数量积”．这就是我们本节课要学习的新内容．（Ⅱ）讲授新课：⒈向量数量积的概念师：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(0)θπ≤≤，其中θ是向量a与b的夹角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫向量a在b方向上（b在a 方向上）的投影．说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0；⑵符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.师：向量数量积的运算结果还是向量吗？为什么？生：向量的数量积是一些实数的运算，所以其运算结果仍是实数．θ=，求a·b．例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角120解：略．⒉数量积的几何意义师：由向量投影的定义，我们可以得到a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.⒊数量积的性质师：互相垂直的两个向量的数量积等于什么？为什么？生：互相垂直的两个向量的数量积等于零．因为两个向量的夹角为90时称为互相垂直，而cos900=，由数量积的定义知它们的数量积为零．师：用符号表示这个结论就是①a⊥b⇔a·b＝0．平面向量的数量积与向量的夹角有关，你能讨论一下向量a与b的夹角和a·b数量积的关系吗？生：②当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|．师：当a与b为相等向量时，a·a＝|a|2或|a|＝2aa=⋅．a请同学们比较|a·b|和|a||b|的大小．生：由数量积的定义和三角函数的性质可以得到③|a·b|＝|a||b|cosθ≤|a||b|师：以上我们得到的数量积的性质，在今后的学习中是经常要用到的.⒋数量积的运算律师：已知向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a (交换律)②（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb） (数乘结合律)③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (数乘对加法的分配律)（用《几何画板》演示）说明：⑴一般地，向量的数量积不满足结合律，即(a ·b )c ≠a (b ·с) （用《几何画板》演示）；⑵由a ·c ＝b ·c ，c ≠0不能得到a ＝b ；⑶向量的数量积还有如下常用性质：（a ＋b ）（c ＋d ）＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d ；(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2．例2见课本116P ．解：略．例3见课本116P ．解：略．例4见课本116P ．解：略．（Ⅲ）课后练习：课本117P 练习（Ⅳ）课时小结:⑴两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量．它的值为两个向量的模与两个向量的夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．并且规定，零向量与任一向量的数量积为0．⑵向量a 与b 的数量积a ·b 与代数中数a 、b 的乘积ab （或a ·b ）不同，书写时要严格区分．（Ⅴ）课后作业：⒈课本119P 习题2.4 A 组 ⒈⒉⒊⒋⒉预习课本117P ～118P ，思考下列问题：⑴怎样用平面向量的坐标表示它们的数量积？⑵怎样用平面向量的坐标表示它的模？⑶怎样用平面向量的坐标判定两个向量互相垂直？⑷怎样计算两个向量的夹角？板书设计：略．教学后记:。

2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标核心素养1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. (重点)3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．(难点)4. 向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点) 1.通过学习平面向量数量积及其物理背景的学习，培养学生的数学抽象素养. 2.通过数量积的应用，提升学生的数学运算素养.1．平面向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.特别地，零向量与任一向量的数量积等于0.思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？[提示]数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①b在a的方向上的投影为|b|cos θ；②a在b的方向上的投影为|a|cos θ.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．思考：投影一定是正数吗？[提示]投影可正、可负也可以为零．3．向量数量积的性质垂直向量a·b＝0平行向量同向a·b＝|a||b|反向a·b＝－|a||b|向量的模a·a＝|a|2或|a|＝a·a求夹角cos θ＝a·b |a||b|不等关系a·b≤|a||b|4.(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考：a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？[提示](a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．1．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝()A.12 B.32C．1 D．－1 2A[a·b＝1×1×cos 60°＝1 2.]2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()A.π6 B.π4C.π3 D.π2C[由条件可知，cos θ＝a·b|a||b|＝21×4＝12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π3.]3．已知单位向量a，b夹角为π3，则|a－b|＝________.1 [单位向量a ，b 夹角为π3，则|a －b |＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×1×1×12＋1＝1.]4．己知|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，则a·b ＝________.－1 [|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，可得：a 2＋a·b ＝0，∴a·b ＝－1.]向量数量积的计算及其几何意义【例1】 (1)已知单位向量e 1，e 2的夹角为π3，a ＝2e 1－e 2，则a 在e 1上的投影是________．(2)已知向量a 与b 满足|a |＝10，|b |＝3，且向量a 与b 的夹角为120°.求： ①(a －b )·(a －b )； ②(2a ＋b )·(a －b )．思路点拨：根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答． (1)32 [设a 与e 1的夹角为θ，则a 在e 1上的投影为|a |cos θ＝a ·e 1|e 1|＝a ·e 1＝(2e 1－e 2)·e 1＝2e 21－e 1·e 2＝2－1×1×cos π3＝32.] (2)[解] ①(a －b )·(a －b ) ＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝100－9＝91.②因为|a |＝10，|b |＝3，且向量a 与b 的夹角为120°， 所以a·b ＝10×3×cos 120°＝－15， 所以(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a·b －b 2 ＝200＋15－9＝206.求平面向量数量积的步骤(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a |和|b |；(3)求数量积，即a·b ＝|a ||b |cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.求投影的两种方法：(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.(2)b 在a 方向上的投影为，a 在b 方向上的投影为[跟进训练]1．(1)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角θ为60°，求： ①a ·b ；②(2a －b )·(a ＋3b )．(2)设正三角形ABC 的边长为2，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .[解] (1)①a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×3×cos 60°＝3. ②(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5a ·b －3|b |2＝2×22＋5×3－3×32＝－4.(2)∵|a |＝|b |＝|c |＝2，且a 与b ，b 与c ，c 与a 的夹角均为120°，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3.与向量模有关的问题【例2】 b |＝________. (2)已知向量a 与b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，求|b |. 思路点拨：灵活应用a 2＝|a |2求向量的模．(1)23 [|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2·|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a ＋2b |＝12＝2 3.](2)[解] 因为|2a ＋b |＝10，所以(2a ＋b )2＝10， 所以4a 2＋4a·b ＋b 2＝10.又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2＝10，整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)．求向量的模的常见思路及方(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方.(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等.[跟进训练]2．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为π3，求|a＋b|，|a－b|.[解]∵|a|＝|b|＝5且夹角θ为π3，∴ |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝52＋2×5×5×cos π3＋52＝75，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝52－2×5×5×cos π3＋52＝25，∴|a＋b|＝53，|a－b|＝5.与向量垂直、夹角有关的问题[1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？提示：a⊥b⇔a·b＝0.2．|a ·b |与|a ||b |的大小关系如何？为什么？对于向量a ，b ，如何求它们的夹角θ？提示：|a ·b |≤|a ||b |，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ. 两边取绝对值得： |a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |. 当且仅当|cos θ|＝1，即cos θ＝±1，θ＝0°或π时，取“＝”， 所以|a ·b |≤|a ||b |，cos θ＝a ·b |a ||b |.【例3】 (1)已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角，则k 的取值范围为________．(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．思路点拨：(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同．(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a |与|b |的关系，再求a 与b 的夹角．(1)(0,1)∪(1，＋∞) [∵e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角， ∴(e 1＋k e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋k e 22＋(k 2＋1)e 1·e 2 ＝2k ＞0，∴k ＞0.当k ＝1时，e 1＋k e 2＝k e 1＋e 2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去． 综上，k 的取值范围为k ＞0且k ≠1.] (2)[解] 由已知条件得 ⎩⎨⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0， 即⎩⎨⎧7a 2＋16a·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a·b ＋8b 2＝0， ②②－①得23b 2－46a·b ＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cos θ＝a·b|a||b|＝12b2|b|2＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．[解]∵e1＋k e2与k e1＋e2的夹角为钝角，∴(e1＋k e2)·(k e1＋e2)＝k e21＋k e22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0.当k＝－1时，e1＋k e2与k e1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1.2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“π3”，求k的值．[解]由已知得|e1＋k e2|＝e21＋2k e1·e2＋k2e22＝1＋k2，|k e1＋e2|＝k2e21＋2k e1·e2＋e22＝k2＋1，(e1＋k e2)·(k e1＋e2)＝k e21＋k e22＋(k2＋1)e1·e2＝2k，则cosπ3＝(e1＋k e2)(k e1＋e2)|e1＋k e2||k e1＋e2|＝2k1＋k2，即2k1＋k2＝12，整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝4±122＝2±3.1．求向量夹角的方法(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝a·b|a||b|求解．(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ＞0时，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2；当cos θ＜0时，θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当cos θ＝0时，θ＝π2.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2. 3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab ＝0，则a 与b 中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a ·b ＝0推出a ＝0或b ＝0.实际上由a ·b ＝0可推出以下四种结论：①a ＝0，b ＝0；②a ＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b . (2)在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |·|b |，但对于向量a ，b ，却有|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，而|cos θ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则向量c ，b 在向量a 方向上的投影相同，因此由a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得到b ＝c .(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．1．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝cB [A 错，当a 与b 夹角为π2时，a ·b ＝0；C 错，a 2＝b 2即|a |＝|b |；D 错，数量积不能约分；只有B对．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝() A．4B．3C．2D．0B[因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B.]3．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为________．125[设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，所以|a|cos θ＝12 5，即a在b方向上的投影为12 5.]4．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3，求|a＋b|，|a－b|.[解]a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×12＝252.|a＋b|＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a－b|＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝25－2×252＋25＝5.。

2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：已知条件 向量a ，b 是非零向量，它们的夹角为θ 定义 a 与b 的数量积(或内积)是数量|a ||b |cos θ记法a ·b ＝|a ||b |cos θ(2)规定：零向量与任一向量的数量积均为0.[点睛] (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．(2)两个向量的数量积记作a·b ，千万不能写成a ×b 的形式． 2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念：①向量b 在a 的方向上的投影为|b |cos θ. ②向量a 在b 的方向上的投影为|a |cos θ. (2)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． [点睛] (1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)，也可以写成a·b |a |.(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零． 3．向量数量积的性质设a 与b 都是非零向量， θ为a 与b 的夹角． (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |， 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. (3)a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ＝a 2. (4)cos θ＝a ·b |a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.[点睛] 对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．[点睛] (1)向量的数量积不满足消去律：若a ，b ，c 均为非零向量，且a·c ＝b·c ，但得不到a ＝b .(2)(a·b )·c ≠a ·(b·c )，因为a·b ，b·c 是数量积，是实数，不是向量，所以(a ·b )·c 与向量c 共线，a ·(b·c )与向量a 共线，因此，(a·b )·c ＝a ·(b·c )在一般情况下不成立．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量．( ) (2)若a·b ＝b·c ，则一定有a ＝c .( ) (3)若a ，b 反向，则a·b ＝－|a ||b |.( ) (4)若a ·b ＝0，则a ⊥b .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．若|a |＝2，|b |＝12，a 与b 的夹角为60°，则a·b ＝( )A ．2 B.12 C ．1 D.14答案：B3．已知|a |＝10，|b |＝12，且(3a )·⎝⎛⎭⎫15b ＝－36，则a 与b 的夹角为( ) A ．60° B ．120° C ．135° D ．150°答案：B4．已知a ，b 的夹角为θ，|a |＝2，|b |＝3. (1)若θ＝135°，则a·b ＝________； (2)若a ∥b ，则a·b ＝________； (3)若a ⊥b ，则a·b ＝________. 答案：(1)－32 (2)6或－6 (3)0向量数量积的运算[典例] (1)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：①a ·b; ②(a ＋b )· (a －2b )．(2)如图，正三角形ABC 的边长为2，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .[解] (1)①由已知得a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. ②(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a |＝|b |＝|c |＝2，且a 与b ，b 与c ，c 与a 的夹角均为120°， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法 运算．[活学活用]已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a·b ；(2)a 2－b 2； (3)(2a －b )·(a ＋3b )．解：(1)a·b ＝|a ||b |cos 120°＝3×4×⎝⎛⎭⎫－12＝－6. (2)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7. (3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2 ＝2|a |2＋5|a ||b |·cos 120°－3|b |2＝2×32＋5×3×4×⎝⎛⎭⎫－12－3×42＝－60. 与向量的模有关的问题[典例] (1)(浙江高考)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.(2)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. [解析] (1)令e 1与e 2的夹角为θ， ∴e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos θ＝cos θ＝12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. ∵b ·(e 1－e 2)＝0，∴b 与e 1，e 2的夹角均为30°， ∴b ·e 1＝|b ||e 1|cos 30°＝1， 从而|b |＝1cos 30°＝233.(2)∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a·b ＝|a ||b |cos 45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. [答案] (1)233(2)3 2求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [活学活用]已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝5，且a 与b 的夹角为60°，求|a ＋b |，|a －b |，|2a ＋b |.解：∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝(a ＋b )(a ＋b ) ＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝25＋25＋2|a ||b |cos 60° ＝50＋2×5×5×12＝75，∴|a ＋b |＝5 3.∵|a －b |2＝(a －b )2＝(a －b )(a －b ) ＝|a |2＋|b |2－2a ·b＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |cos 60°＝25， ∴|a －b |＝5.∵|2a ＋b |2＝(2a ＋b )(2a ＋b ) ＝4|a |2＋|b |2＋4a ·b＝4|a |2＋|b |2＋4|a ||b |cos 60°＝175， ∴|2a ＋b |＝57.两个向量的夹角和垂直1．(重庆高考)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.5π6解析：选C ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.题点二：证明两向量垂直2．已知向量a ，b 不共线，且|2a ＋b |＝|a ＋2b |，求证：(a ＋b )⊥(a －b )． 证明：∵|2a ＋b |＝|a ＋2b |，∴(2a ＋b )2＝(a ＋2b )2.即4a 2＋4a ·b ＋b 2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2， ∴a 2＝b 2.∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.又a 与b 不共线，a ＋b ≠0，a －b ≠0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．题点三：利用夹角和垂直求参数3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为( ) A ．－32B.32 C ．±32D ．1解析：选B ∵3a ＋2b 与ka －b 互相垂直， ∴(3a ＋2b )·(ka －b )＝0， ∴3ka 2＋(2k －3)a ·b －2b 2＝0. ∵a ⊥b ，∴a·b ＝0， 又|a |＝2，|b |＝3， ∴12k －18＝0，k ＝32.求向量a 与b 夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算a·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a·b |a ||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值． (2)在个别含有|a |，|b |与a·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．层级一 学业水平达标1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 由题意，知a·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为32，则a·b 等于( )A ．3 B.92 C ．2D.12解析：选B 设a 与b 的夹角为θ.∵|a |cos θ＝32，∴a·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝92.3．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝ka －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B ∵c·d ＝0， ∴(2a ＋3b )·(ka －4b )＝0， ∴2ka 2－8a·b ＋3ka·b －12b 2＝0， ∴2k ＝12，∴k ＝6.4．已知a ，b 满足|a |＝4，|b |＝3，夹角为60°，则|a ＋b |＝( ) A ．37 B ．13 C.37D.13 解析：选C |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2 ＝42＋2×4×3cos 60°＋32＝37.5．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形解析：选B ∵AB ＝DC ，即一组对边BD 平行且相等，AC ·BD ＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD 为菱形．6．给出以下命题：①若a ≠0，则对任一非零向量b 都有a·b ≠0； ②若a·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0； ③a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2. 其中，正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a |＝|b |＝1，所以a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，故a 2＝b 2.当非零向量a ，b 垂直时，有a·b ＝0，显然①②错误．答案：③7．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________. 解析：(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋7e 1·e 2－2e 22＝－6＋7×cos 60°－2＝－92. 答案：－928．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________． 解析：∵c ⊥a ，∴c ·a ＝0， ∴(a ＋b )·a ＝0，即a 2＋a ·b ＝0.∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝120°. 答案：120°9．已知e 1与e 2是两个夹角为60°的单位向量，a ＝2e 1＋e 2，b ＝2e 2－3e 1，求a 与b 的 夹角．解：因为|e 1|＝|e 2|＝1，所以e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12，|a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4＋1＋4e 1·e 2＝7，故|a |＝7， |b |2＝(2e 2－3e 1)2＝4＋9－12e 1·e 2＝7，故|b |＝7， 且a·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－727×7＝－12，所以a 与b 的夹角为120°.10．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 解：(1)∵|a |＝2|b |＝2， ∴|a |＝2，|b |＝1.又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， ∴a·b ＝|a ||b |cos θ＝－1. ∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.(2)(a －2b )·b ＝a·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直， ∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.层级二 应试能力达标1．已知|a |＝2，|b |＝1，且a 与b 的夹角为π3，则向量m ＝a －4b 的模为( )A ．2B ．2 3C ．6D ．12解析：选B |m |2＝|a －4b |2＝a 2－8a ·b ＋16b 2＝4－8×2×1×12＋16＝12，所以|m |＝2 3.2．在Rt △ABC 中，C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC 等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16解析：选D 法一：因为cos A ＝ACAB ，故AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos A ＝|AC |2＝16，故选D.法二：AB 在 AC 上的投影为|AB |cos A ＝|AC |，故AB ·AC ＝|AC ||AB |cos A ＝|AC |2＝16，故选D.3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则|a －b |＝( )A ．1 B. 3 C. 5D ．3解析：选C 由于投影相等，故有|a |cos 〈a ，b 〉＝|b |cos 〈a ，b 〉，因为|a |＝1，|b | ＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝0，即a ⊥b ，则|a －b |＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝ 5.4.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则AE ·BD ＝( )A ．－3B ．0C ．－1D ．1解析：选C AE ·BD ＝⎝⎛⎭⎫AB ―→＋12AD ―→ ·(AD －AB ) ＝12AB ·AD －|AB |2＋12|AD |2 ＝12×2×2×cos 60°－22＋12×22＝－1. 5．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．解析：法一：由a ＋b ＋c ＝0得c ＝－a －b . 又(a －b )·c ＝0，∴(a －b )·(－a －b )＝0，即a 2＝b 2. 则c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2＝2， ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.法二：如图，作AB ＝BD ＝a ，BC ＝b ，则CA ＝c .∵a ⊥b ，∴AB ⊥BC ，又∵a －b ＝BD －BC ＝CD ， (a －b )⊥c ，∴CD ⊥CA ，所以△ABC 是等腰直角三角形，∵|a |＝1，∴|b |＝1，|c |＝2，∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.答案：46．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝4，⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝12，则|b |＝________；b 在a 方向上的投影等于________．解析：⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝a 2＋12a·b －3b 2＝12，即3|b |2－2|b |－4＝0，解得|b |＝2(舍负)，b 在a 方向上的投影是|b |cos 45°＝2×22＝1. 答案：2 17．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12. (1)求向量a ，b 的夹角；(2)求|a －b |.解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12， ∴a 2－b 2＝12， 即|a |2－|b |2＝12. 又|a |＝1，∴|b |＝22. ∵a·b ＝12， ∴|a |·|b |cos θ＝12， ∴cos θ＝22， ∴向量a ，b 的夹角为45°.(2)∵|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2|a ||b |cos θ＋|b |2＝12， ∴|a －b |＝22.8．设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角， 得(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)|2te 1＋7e 2|·|e 1＋te 2|<0.即 (2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12. 当夹角为π时，也有(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0， 但此时夹角不是钝角， 设2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2)，λ<0，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－14，t ＝－142.∴所求实数t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12.。

§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．知识点一 平面向量数量积的定义非零向量a ，b 的夹角为θ，数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，特别地，零向量与任意向量的数量积等于0.思考 若a ≠0，且a ·b ＝0，是否能推出b ＝0.答案 在实数中，若a ≠0，且a ·b ＝0，则b ＝0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ·b ＝0，不能推出b ＝0.因为其中cos θ有可能为0.知识点二 平面向量数量积的几何意义1．条件：向量a 与b 的夹角为θ.2．投影 向量b 在a 方向上的投影|b |cos θ 向量a 在b 方向上的投影|a |cos θ3.a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．思考 向量a 在b 方向上的投影是向量吗？答案 a 在b 方向上的投影是一个数量(可正，可为0，可负)，不是向量．知识点三 平面向量数量积的性质设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ.1．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.2．当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向. 3．a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .4．cos θ＝a ·b |a ||b |. 5．|a ·b |≤|a ||b |.知识点四 平面向量数量积的运算律1．a ·b ＝b ·a (交换律)．2．(λa )·b ＝λ·(a ·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)．3．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．思考 若a ·b ＝b ·c ，是否可以得出结论a ＝c?答案 不可以．已知实数a ，b ，c (b ≠0)，则ab ＝bc ⇒a ＝c ，但是a ·b ＝b ·c 推不出a ＝c .理由如下：如图，a ·b ＝|a ||b |cos β＝|b ||OA |，b ·c ＝|b ||c |cos α＝|b ||OA |.所以a ·b ＝b ·c ，但是a ≠c .1．向量a 在向量b 上的投影一定是正数．( × )2．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．( × )3．向量的数量积运算满足(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × )4．已知a ≠0，且a ·c ＝a ·b ，则b ＝c .( × )题型一 求两向量的数量积例1 已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.反思感悟 求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b ＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b .跟踪训练1 已知|a |＝4，|b |＝7，且向量a 与b 的夹角为120°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )．题型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |. 引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |.反思感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方．跟踪训练2 已知|a |＝1，|b |＝3，且|a －b |＝2，求|a ＋b |.题型三 求向量的夹角例3 (1)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．(2)已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，求a 与a ＋b 的夹角及a 与a －b 的夹角．反思感悟 (1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝a·b |a||b|求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b 的值及|a |，|b |的值，然后代入求解，也可以寻找|a |，|b |，a·b 三者之间的关系，然后代入求解．(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解．(3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，求a 与b 的夹角．向量的夹角与垂直问题典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．(2)已知向量a ，b ，且|a |＝1，|b |＝2，(a ＋2b )⊥(3a －b )，①求向量a 与b 夹角的大小；②求|a －2b |的值．1．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，则a·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．在等腰直角三角形ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝2，则BA →·BC →的值等于( )A ．－2B ．2C ．－2 2D ．2 23．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－24．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( )A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 25．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，若c ＝2a －b ，d ＝a ＋2b ， 求：(1)c ·d ；(2)|c ＋2d |.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3．求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.(2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a|，a 在b 方向上的投影为a ·b |b |. 4．对于两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0.5．求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.一、选择题1．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角θ为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( )A ．－6B ．6C ．－6 3D ．6 33．已知a ，b 方向相同，且|a |＝2，|b |＝4，则|2a ＋3b |等于( )A ．16B ．256C ．8D ．644．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．25．已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )A ．－7B ．7C ．25D ．－256．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．57．在△ABC 中，AB ＝6，O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →等于( )A. 6 B ．6 C ．12 D ．188．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －b －a |＝1，则|c |的取值范围为( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]二、填空题9．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.10．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________.11．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________．12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.则向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为________．三、解答题13．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，求AB 的长．14．(2018·吉林长春调研)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求： (1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．。