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第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式三角函数的求值与化简 (1)和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． (2)二倍角的三角函数公式①能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式．②利用两角和的公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．公式的变形 公式T (α±β)的变形：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)． (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 易误提醒1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． [自测练习]1．化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A.12 B.32C ．－12D ．－32解析：cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝12.答案：A2．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 答案：C3．(2015·浙江金华十校联考)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4－11＋tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－34. 答案：－34知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin_αcos_α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2．公式C 2α的变形 (1)sin 2α＝12(1－cos 2α)．(2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)．3.公式的逆用(1)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. (2)sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 必备方法 二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2 α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．[自测练习]4．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13 B ．－23 C.13 D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22 ＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D5．已知α为第二象限角，cos α＝－35，则tan 2α的值为( )A.2425B.247 C ．－247 D ．－2425 解析：因为α为第二象限角， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45， 所以tan α＝sin αcos α＝－43，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2·⎝⎛⎭⎫－431－⎝⎛⎭⎫－432＝247.答案：B考点一 给角求值|1．(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32 C ．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D 2.2cos 10°sin 70°－tan 20°＝( )A. 3B.3－12 C ．1 D.32解析：利用三角函数公式求解.2cos 10°sin 70°－tan 20°＝2cos 10°cos 20°－sin 20°cos 20°＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝2⎝⎛⎭⎫32cos 20°＋12sin 20°－sin 20°cos 20°＝3，故选A.答案：A求解给角求值问题的三个注意点(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分． (2)观察名，尽可能使函数统一名称． (3)观察结构，利用公式，整体化简．考点二 给值求值问题|(1)(2015·高考重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.56[解析] tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋tan β1－13tan β＝12，解得tan β＝17.[答案] A(2)(2016·贵阳一模)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13 D ．－79[解析] 法一：∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79， ∴cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. 法二：∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13， ∴cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1＝29－1＝－79. [答案] D三角函数的给值求值，问题中把待求角用已知角表示的三个策略：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系． (3)在求值的过程中“拼凑角”对求值往往起到“峰回路转”的效果．通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β，α＝(α－β)＋β，π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α，15°＝45°－30°等．1．若锐角α满足2sin α＋23cos α＝3，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3的值是( ) A ．－37 B ．－377C ．37D.377解析：本题考查三角恒等变换．由2sin α＋23cos α＝3化简得4⎝⎛⎭⎫12sin α＋32cos α＝3，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝34. 由22<34<32且α是锐角得2π3<α＋π3<3π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1－⎝⎛⎭⎫342＝－74， 从而tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－37， 由二倍角公式得tan 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝2×⎝⎛⎭⎫－371－⎝⎛⎭⎫－372＝37，故选C. 答案：C考点三 给值求角|(2015·成都一诊)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4[解析] 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin 2α＝55，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，故cos 2α＝－255.又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010. 所以cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos 2α·cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22，且α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. [答案] A“给值求角”求解的三个步骤(1)求角的某一三角函数值． (2)讨论角的范围．(3)根据角的范围写出要求的角．2．(2015·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，又tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4 B.π3 C.π2D.3π4解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.答案：A6.忽视角的范围导致三角函数求值失误【典例】 已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为______．[解析] ∵0<β<π2<α<π，∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. [答案] －239729[易误点评] (1)由0<β<π2<α<π易错求出α－β2，α2－β的范围导致失误．(2)不会将α＋β2表示为⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β导致不会． [防范措施] (1)对于给值求值问题变角后一定要注意结合已知角的范围压缩为新求问题中角的范围，否则会多解．(2)牢记变角求值在给值求值中的应用这一方法．[跟踪练习] 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，试求角β的值．解：由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝3314， 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋ sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.又0<β<π2，所以β＝π3.A 组 考点能力演练1．已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－513，则sin 2x 的值为( ) A.50169 B.119169 C ．－50169D ．－119169解析：法一：由sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－513，可得sin x ＋cos x ＝－5213，所以(sin x ＋cos x )2＝1＋sin 2x ＝50169，所以sin 2x ＝－119169.法二：sin 2x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－1＝－119169，故选D. 答案：D2．若点P (cos θ，sin θ)在直线x ＋2y ＝0上，则cos 2θ＋sin 2θ＝( ) A ．－15B ．－12C.15D.12解析：由已知条件可得cos θ＋2sin θ＝0，解得tan θ＝－12，∴cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ＋2tan θtan 2θ＋1＝－15，故选A.答案：A3．(2015·云南一检)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝( ) A ．－18B ．－116C.116D.18解析：cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18.答案：A4．(2015·青岛一模)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40° cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，d ＝12(cos 80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．a >b >d >cB ．b >a >d >cC ．a >c >b >dD ．c >a >b >d解析：a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝sin 40°×cos 127°＋cos 40°sin 127°＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝cos 239°－sin 239°cos 239°cos 239°＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°，d ＝12(cos80°－2cos 250°＋1)＝12cos 80°－12cos 100°＝cos 80°＝sin 10°，故a >c >b >d ，选C.答案：C5．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α<π4<βB ．β<π4<αC.π4<α<β D.π4<β<α 解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.答案：B6．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝15，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35，∴cos αcos β＝cos (α－β)＋cos (α＋β)2＝25，sin αsin β＝cos (α－β)－cos (α＋β)2＝15，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝12.答案：127．已知sin α＋cos α＝12，则cos 4α＝________.解析：由sin α＋cos α＝12，得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，∴sin 2α＝－34，∴cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－342＝－18. 答案：－188．(2015·珠海一模)已知tan(α＋β)＝25，tan β＝13，则tan(α－β)的值为________．解析：∵tan(α＋β)＝25，tan β＝13，∴tan α＝tan [(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)·tan β＝25－131＋25×13＝117，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝117－131＋117×13＝－726. 答案：－7269．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43，且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 10．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos 2β＝－79，sin(α＋β)＝79. (1)求cos β的值；(2)求sin α的值．解：(1)cos 2β＝1＋cos 2β2＝1＋⎝⎛⎭⎫－792＝19， 又∵β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos β＝－13. (2)由(1)知sin β＝1－cos 2β＝ 1－⎝⎛⎭⎫－132＝223. 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得(α＋β)∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2. cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎫792＝－429. sin α＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝79×⎝⎛⎭⎫－13－⎝⎛⎭⎫－429×223＝13. B 组 高考题型专练1．(2015·高考重庆卷)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α－3π10＋π2sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sin π5cos π5cos π5＋sin π52·sin π5cos π5cos π5－sin π5＝3sin π5sin π5＝3，故选C.答案：C2．(2015·高考四川卷)sin 15°＋sin 75°的值是________．解析：sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin 45°cos 30°＝62. 答案：62 3．(2015·高考江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17＋21－27＝3. 答案：34．(2014·高考江苏卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．解：(1)由题意cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫552＝－255， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)得sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝2cos 2α－1＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－33＋410. 5．(2014·高考广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ. 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝322， ∴A ＝322·2＝3. (2)f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π3 ＝3⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫sin θcos π3＋cos θsin π3－⎝⎛ －sin θcos π3＋⎦⎤ ⎭⎫cos θsin π3＝6sin θcos π3＝3sin θ＝3， 所以sin θ＝33.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63， 所以f ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝3cos θ＝ 6.。
2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题4.5 三角恒等变换【考情分析】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。
2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换。
【重点知识梳理】知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式C (α－β) cos(α－β)＝cos α cos β＋sin α sin β C (α＋β) cos(α＋β)＝cos α cos β－sin α sin β S (α－β) sin(α－β)＝sin α cos β－cos α sin β S (α＋β)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos α sin β T (α－β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T (α＋β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)知识点二 二倍角公式S 2αsin 2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2C 2αcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；变形：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2T 2αtan 2α＝2tan α1－tan 2α【典型题分析】高频考点一 公式的直接应用【例1】 (2019·全国卷Ⅱ)已知α∈(0，π2)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15 B.55C.33D.255【答案】B【解析】由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos 2α. ∵α∈(0，π2)，∴cos α≠0，∴2sin α＝cos α，∴tan α＝12，∴sin α＝55，故选B 。
