九年级数学上册4.4第1课时利用两角判定三角形相似(小册子)课件(新版)北师大版

4.4 探索三角形相似的条件
w
第1课时 两角分别相等的判定方法
观察一下:这些图片有什么特点?
不错！这些图片都是相似的。 形状相同、大小不同！
它们有什么 相同点？
相似形定 义：我们 把形状相 同的两个 图形称为 相似形。
这
w
两个是 什么三 角形？
那这 样变化一 下呢？
相似三角形定义：我们把对应角相等 、对应边成比例的两个三角形叫做相
似三角形。
对应角……？
对应边……？
它们 就是相似 三角形！
△ABC与△ A'B'C'相似
C
表示为：
△ABC∽△ A'B'C'
A
读作：
△ABC相似于△ A'B'C'
C’
在写两个
三角形相似时
应把表示对应
B
顶点的字母写 在对应的位置
上。
A’
B’
C
∵ ∠A= ∠ A' 、∠B= ∠ B'、 ∠C= ∠ C'
啊
ΔABC与ΔDEF 相似（“相似”或
ห้องสมุดไป่ตู้
“不相似”）。
D
A
40°
80° ？
B
C
80° 60°
E
F
练习2
有一个锐角相等的两直角三 角 形是否为相似 三角形？
相似三角形的复习 相似三角形的判定定理1
△ABC与△ A'B'C'是否相似?
单说成： 两角对应 相等，两三角形相
似。
B' C'
用数学符号表示：
A
A'
B

(1)平行线型：如图①，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. (2)相交线型：如图②，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC. (3)“子母”型：如图③，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC. (4)“K”型：如图④，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，则△ACB∽△DEC，整体
像一个横放的字母K，可以称为“K”型相似．
B.△CDE∽△BCDC.△ADE∽△ACD D.△ADE∽△DBC
D
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当堂小练
3.如图,在△ABC中,CF⊥AB于点F,ED⊥AB于点D,∠1=∠2,求证
:△AFG∽△ABC.
证明 :∵CF⊥AB,ED⊥AB,∴∠EDB=∠CFA=
90°,∴∠1+∠B=∠2+∠AFG=90°.又
AB BC AC k AB BC AC
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新课讲解
分析：
(1)判定两个三角形相似的必备条件：三角分别相等，
三边成比例；
(2)两个三角形相似又为解题提供了条件；
(3)相似三角形具有传递性，即若 △ABC∽△A′B′C′，
△A′B′C′∽△A″B″C″，则 △ABC∽△A″B″C″；
(4)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个 全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形．
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新课讲解
3．易错警示：
(1)表示两个三角形相似时，要注意对应性，即要把
对应顶点写在对应位置上．
(2)求两个相似三角形的相似比，要注意顺序性．若
当△ABC∽△A′B′C′时，
则当△A′B′C′∽△ABC时，
∵∠1=∠2,∴∠AFG=∠B.又 ∵∠FAG=∠BAC,∴△AFG∽△ABC.
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知识讲解
例1：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，
DE∥BC,AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
A
解：∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
D
∴△ADE∽△ABC
B
(两角分别相等的两个三角形相似).
∴ AD DE .
AB BC
∴BC=14.
E C
知识讲解
知识拓展
解：
AB
AO，DB
AB A B
ACO
BCD
ΔAOC
∽
ΔBDC
AO AC AO 120 AO 100m. BD BC 50 60
16
课堂小结
定义：三角分别相等、三边成比例的两 个三角形叫做相似三角形
三角形相似的条 件（1）
定理：两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理1的运用
14
随堂训练
3.如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC.
证明： ∵ DE∥BC，EF∥AB.
A
∴∠AED＝∠C， ∠A＝∠FEC.
D
E
∴ △ADE∽△EFC.
B
C F
（两角分别相等的两个三角形相似．）
15
随堂训练
4.如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上 观察到一个明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A，B，D，使 得AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C．测得AC=120m，CB=60m， BD=50m，你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
2.利用角的关系判定两个三角形相似
三角形全等的性质和判定方法有哪些？
定义

求正方形的边长.
∵∠ADE=∠ACB=90°，∠AED=∠ABC， ∴△AED∽△ABC，
AD ED ， AC BC
AC DC ED , 7.5 DC DC ，
AC BC 7.5
5
随堂即练
3.如图，在等边△ABC中，边长为10，点D在BC上， BD=6，∠ADE=60°，DE交AC于点E. （1）求证：△ABD∽△DCE.
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=180 °－40 °－80 °=60 °.
∵ 在ΔDEF中，∠E=80 °，∠F=60 °，
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F，
∴ △ABC∽△DEF（两角对应相等，两三角形相似）.
随堂即练
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，正方形EFCD的三个顶
点E、F、D分别在边AB、BC、AC上.已知AC=7.5，BC=5，
∴CE=2.4.
随堂即练
10 64
课堂总结
定理：两角分别相等的两个三角形相似 利用两角判定三
角形相似 相似三角形的判定定理1的运用
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►冲冠一怒为红颜，英雄难过美人关。只愿博得美人笑，烽火戏侯弃江山。 宁负天下不负你，尽管世人唾千年。容颜迟暮仍为伴，倾尽温柔共缠绵。 ►蜜蜂深深地迷恋着花儿，临走时留下定情之吻，啄木鸟暗恋起参天大树， 转来转去想到主意，便经常给大树清理肌肤。你还在等待什么呢？真爱是 靠追的，不是等来的！
新课讲解
问题2： 相似多边形的定义是什么？根据相似多边形的定义， 你能说说什么叫相似三角形吗？
对应角……？ 对应边……？
全等是一种特 殊的相似
相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成比例的
两个三角形叫做相似三角形.

个三角形相似.
判定相似 看已知条件
选方法
找出判定方法 中所需的条件
课堂检测（独立完成）
如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BF＝ 1 BC， 那么图中有与△ADE相似的三角形吗？ 4 若有，写考
如果△ABC与△A’B’C’两边成比例，且其中 一边所对的角相等，那么这两个三角形一 定相似吗？由此你能得到什么结论？
想一想：
观察上面图形， 如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等，
那么，这两个三角形一定相似吗？
得出结论：
两边对应成比例且其中一边所对的角 对应相等的两个三角形不一定相似。 注意：两边对应成比例并且必须是夹角对应相等 两三角形才一定相似哦．
抢答：
3 要求：先独立思考1分钟，然后抢答并说明理由
实际问题
如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B 两点间的距离，在池塘边任选一点C，连 接AC，BC，并延长AC到D，使CD= 1 AC，延 长BC到E，使CE= 1 BC，连接DE，如2 果测量 DE=20m，那么AB的2 长度是多少？
要求： 先独立完成（2分钟） 然后小组讨论，小组代表在黑板讲解（2分
三角形相似的判定定理:
两边成比例且夹角相等的 两个三角形
相似
C
A
B
∵ A' B' B' C' ∠B’＝∠B
C'
AB BC
∴ △A’B’C’ ∽△ABC A'
B
'
学以致用
A 4 cm
B 6 cm
∠B ' ＝∠B
A'
2 cm
C
B' 3 cm C'
? △A ' B ' C ' ∽△ABC

九年级北师上册
4. 探索三角形相似的条件
第1课时 用角的关系判定两三
角形相似
学习目标
1.通过复习相似多边形的定义，学生可以理解相似三角形的定义，
掌握定义中的两个条件，培养学生的抽象能力；
2.通过自主学习和合作交流，学生能理解相似三角形的判定定理 1，
培养学生的几何直观能力；
3.通过教师讲评，学生会利用相似三角形的判定定理 1 证明及解决

边成比例，即

=


=

。在判定三角形全等时，我们并不

是验证六个条件，而是利用了几个简便的判定定理，那么三角
形相似的判定我们又能找到哪些简便的方法呢？
观察下面两个三角形，它们有什么关系？
判断两个三角形全等的方法有哪些呢？
观察下面这两个三角形有什么关系？
知识讲解
自主探究
1.请同学们阅读课本89-90页.
∴∠BPG+∠CPF=135°,∠BPG+∠BGP=135°,
∴∠BGP=∠CPF,又∵∠B=∠C,∴△PBG∽△FCP.
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
教师讲评
知识点1：相似三角形
根据相似多边形的定义，三角分别相等、三边成比例的两个
三角形叫做相似三角形.例如△ABC∽△DEF，则对应边成比
∴∠C=∠C'.又∵∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.

例3：如图，△ABC的高AD，BE相交于点F，求证：

=
证明:由题意得 BE⊥AC,AD⊥BC,∴∠AEF=∠B
DF=90°.又∵∠AFE=∠BFD,∴△AFE∽△BFD,

: AC. ∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原 三角形全等.
A′ A
B
C
B′ B″
C′
结论：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角 不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相 似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
典例精析
例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相 似，并说明理由： ∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
( )D
A
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD ·BC
B
D. AB2 = BD ·BC → AB BC BD AB
DC
3. 如图 △AEB 和 △FEC 相似 (填 “相似” 或 “不相似”) .
B
45
1 E 36 F
A
54
2 30
C
4. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边
D B'
B
A'
E C' A
C
归纳： 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． A'
符号语言：
∵ AB AC ，∠A=∠A′， B' A' B' A' C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
C' A
B
C
思考： 对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′
AE=1.5，AC=2，BC=3，且

y x
O
4.
已知反比例函数 y
k x
(k为常数，k≠0)的图象
经过点A(2，3)．
(1)求这个函数的表达式；
解：∵反比例函数 y
k x
(k为常数，k≠0)的
图象经过点 A(2，3)，
∴把点A的坐标代入表达式，得 3 k ，
2 解得k=6，
∴这个函数的表达式为 y 6 ．
x
(2)判断点B(-1，6)，C(3，2)是否在这个函数的
图象上，并说明理由. 解：∵反比例函数的表达式为 y 6 ，
x
∴ 6=xy 分别把点B，C的坐标代入， 得(－1)×6=－6≠6， 则点B不在该函数图象上； 3×2=6，则点C在该函数图象上．
连线
应注意 1.自变量x需要取 多少值?为什么? 2.取值时要注意
什么?
x -8 -4 -3 -2 -1 1 1 1 2 3 4 8
2
2
y
1 2
-1
4 3
-2 -4 -8 8 4 2
4 3
1
1 2
描点、连线：
y
8●
7
6
5
4●
3
2
●
1
●●
●
-●8 –7 –6 –5 –4 –3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
请大家用同样的方法作反比例函数 y
4 x
的图象.
x
-8
-4
-3
-2
-1
1 2
1 2
1
2
34
8
y 4 x
1 2
1
4 3
24
8
-8 -4
-2
4 3

几何语言：
如图，在△ABC 和△DEF 中，∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF．
注意：表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
例1.如图, D, E分别是△ABC的边AB, AC上的点，DE∥BC, AB=7, AD=5, DE=10, 求BC的长.
解：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC， (两角分别相等的两个三角形相似). ∴∴BC=14.
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
C
2.下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（ ）A.△ABC中，∠A＝42 o，∠B＝118 o，△A' B' C' 中，∠A' ＝118 o，∠B' ＝15 oB.△ABC中，AB=8，AC=4, ∠A＝105 o，△A' B' C' 中，A' B' ＝16，B' C' ＝8，∠A`＝100oC.△ABC中，AB=18，BC＝20，CA＝35，△A' B' C' 中，A' B' ＝36，B' C' ＝40，C' A' ＝70D.△ABC和△A' B' C' 中，有，∠C＝∠C' 。
本节课你学到了什么？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
根据上述思考2，可以得出如下结论：
(1) 这样的两个三角形不一定全等；(2) 两个三角形三个角都对应相等；(3) 通过度量后计算，得到三边对应成比例；(4) 通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似．