第十一讲 实数
【中考要求】
基本要求：了解无理数概念，了解实数的概念。
略高要求：会用有理数估计一个无理数的大致范围，会进行简单的实数运算
【基础知识】
1、 无理数应满足三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循环。
三者缺一不
可。
带根号的数不一定是无理数，开方开不尽的数一定是无理数 2、 有理数和无理数统称实数 3、 实数的分类
（1）按定义分类：
正有理数
有理数 零 有限小数或
负有理数 无限循环小数
实数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
实数还可按大小分类如下：
正实数
实数 零
负实数
4、 实数和数轴上的点一一对应，即任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，数轴
上的任何一个点都表示惟一确定的实数。
实数范围内，倒数、相反数、绝对值等概念与在有理数范围内一样。
5、 实数在数轴上的表示
每个有理数，都可以用数轴上的点来表示。
但是数轴上的点并不都表示有理数，每个无理数也都可以用数轴上的点来表示。
我们可以运用几何作图的办法，在数轴上表示某些无理数。
如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，那么根据勾股定理，以数轴的原点为圆心，正方形对角线为半径画弧与数轴正半轴的交点就表示2。
－3 －2 －1 0 1
2 2
反过来，数轴上的每个点都表示一个实数，我们就说实数和数轴上的点一一对应. 6、 实数的大小比较 （1） 实数的大小比较法则与有理数相同；如102->>
（2） 被开方数越大，则算术平方根也越大；如23,23-<->
（3） 利用数轴比较实数的大小：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
【例题讲解】
例1、（1）下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？
22
,
7
π∙
-
（2）下列实数中，无理数有个。
,π∙∙
答案：（1
22
,3.1415926,0.3
7
∙
是有理数，π-
（2）两个。
π
例2、比较下列各数的大小
（1）
2
2
3
（22和
3
-（3）3和
1
3
+（4）
1
2
和
1
2
答案：（1）同时平方
2
2
3
>（22
3
>-
（3）同时减去
1
3
再平方
1
3
3
>+（4）同时加上
1
2
1
2
>
例3、化简计算：
（1）||
++（2）
答案：（1（2）57
-
例4、已知1
n=，求n的值
答案：2000
n=
例5、
证明：
m
n
=（,m n是互质的自然数）∴
2
2
2
m
n
=，∴22
2
m n
=，故2
m是偶数，从而m必是偶数。
设2
m p
=，则2222
42,2
p n n p
==。
∴n为偶数，∴,m n有公约数2，这与假设,m n互质相矛盾
例6、 设a
为实数，试比较|a
与|a 的大小
解：数形结合法，本题实质上是问a
综上所述：当0a <
时，||a a > 当0a =时，
||a a = 当0a >
时，||a a <
例7、 已知∆A B C 中，∠=∠
A C
B R t ，
C DA B ⊥于点
D ，B C A B ==33，，求CD 的长。
解： ∆ABC 中，∠=∠A C BR t 所以由勾股定理得BC 2+AC 2=AB 2。
2
22
23,33)36
06BC AB AC AC AC AC ACB Rt ==∴+=
∴=>∴=∠=∠
∴=⨯=⨯⨯=
S B C A C
A B C
∆1212363
2
2 又C DA B
⊥，11322ABC S CD AB CD CD ∆∴=⨯=⨯⨯=∴=
例8、 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的
3
1
，则梯子比较稳定。
现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？
解：设梯子稳定摆放时的高度为x 米，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的
3
1
，根据勾股定理，有2
22
1(6)63
x +⨯=,即232,
x x =。
因为5.62=31.36<32. 所以32＞5.6. 因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6米高的墙头。
例9、
设5a ，小数部分为b ，求23a b -的值 答案：3,223a b a b ==-=
A
例10、 （1
）如图，数轴上表示,A B ，点B 关于A 的对称点为C ，
则点C 所表示的数是
（答案：2
（2）实数p 在数轴上的位置如图所示，= （答案：1）
p
2
例11、 （1）观察下边的图形，点A 、B 所表示的实数分别是________.（答案：
（2）在数轴上作出10-对应的点。
例12、设x 、y 都是有理数，且满足方程11()()402332
x y ππ
π+
++--=，求x y -的值。
解：将等式整理成有理数、无理数两部分，因为有理数不等于无理数，找出隐藏的x 、y 的
关系。
原方程可化为11114(1)2332x y x y π+-=--。
11423
1113
2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得x y -=18
【家庭作业】
1、 把下列各数填入相应的集合内：
17,0.769
π∙∙--
（1）有理数集合：{ } （2）无理数集合：{ } （3）正实数集合：{ } （4）负实数集合：{ }
2、 化简
(2
(3)1(2(4).
+
3、 把a -（根号外面的因式移到根号内，则结果为
答案：
4、 已知1515,a b ，求345ab a b -+-的值 答案：5-
5、 2
(0a b +-=，求ab 的值
答案：1-
6、 已知实数a 满足|1992|a a -=，那么，2
1992a -= 答案：1993
7、 证明循环小数1.2345454545 1.2345∙∙
=是有理数
证明：设 1.2345
x ∙∙
=①，则100123.45x ∙∙
=②，-②①得：
6111
99122.22,4950
x x == 即：1.2345∙∙
是有理数。
