利用函数图象判断方程(组)实数解的个数

第三部分函数专题09二次函数的图象与性质（6大考点）核心考点核心考点一二次函数的图象与性质核心考点二与二次函数图象有关的判断核心考点三与系数a、b、c有关的判断核心考点四二次函数与一元二次方程的关系核心考点五二次函数图象与性质综合应用核心考点六二次函数图象的变换新题速递核心考点一二次函数的图象与性质（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（）A．m>2B．32m>C．1m<D．322m<<（2021·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数2(1)y a x=-，当0x>时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（）A．a>B．1a>C．1a≠D．1a<（2022·江苏徐州·统考中考真题）若二次函数2=23y x x--的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．知识点：二次函数的概念及表达式1.一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：()()12y a x x x x =--，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．知识点：二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2ba，244ac b a -）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2b a 时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2b a 时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小【变式1】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式2】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式3】（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图1，对于平面内的点A 、P ，如果将线段P A 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PB ，就称点B 是点A 关于点P 的“放垂点”．如图2，已知点()4,0A ，点P 是y 轴上一点，点B 是点A 关于点P 的“放垂点”，连接AB 、OB ，则OB 的最小值是______．【变式4】（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()0,2A ，点()2,0C ，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有公共点时m 的最大值是__________．【变式5】（2021·湖北随州·一模）如图，抛物线2(0,0)y ax k a k =+><与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且14PC OC =．过点P 作DE AB ∥，分别交抛物线于D ，E 两点(点E 在点D 的右侧)，连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；(用含a ，k 的式子表示)(2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若90ODC ∠=︒，4k =-，求a 的值．核心考点二与二次函数图象有关的判断（2021·广西河池·统考中考真题）点()()1122,,,x y x y 均在抛物线21y x =-上，下列说法正确的是（）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >（2021·湖南娄底·统考中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数22y x =+的图象与反比例函数2y x=的图象的交点的横坐标0x 所在的范围是（）A ．0104x <≤B ．01142x <≤C ．01324x <≤D ．0314x <≤（2020·广西贵港·中考真题）如图，对于抛物线211y x x =-++，2221y x x =-++，2331y x x =-++，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点()0,1C ；②抛物线3y 的对称轴可由抛物线1y 的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．知识点、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.知识点、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是，（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★知识点、直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y nkx y 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121【变式1】（2022·四川泸州·校考模拟预测）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x…1-01234…2y ax bx c =++…8301-03…则这个函数图像的顶点坐标是（）A ．()2,1-B ．()12-，C ．()1,8-D ．()4,3【变式2】（2022·山东日照·校考一模）设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线()212y x =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>【变式3】（2021·陕西西安·校考模拟预测）在同一坐标系中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如图，则1a ，2a ，3a 的大小关系为______.（用“>”连接）【变式4】（2022·广西·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则a 的取值范围是______．【变式5】（2022·河南南阳·统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线242y ax ax =-+．(1)抛物线的对称轴为直线_______，抛物线与y 轴的交点坐标为_______；(2)若当x 满足15x ≤≤时，y 的最小值为6-，求此时y 的最大值．核心考点三与系数a、b、c 有关的判断（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x -，有以下结论：①<0abc ；②若t 为任意实数，则有2a bt at b -≤+；③当图象经过点(1,3)时，方程230ax bx c ++-=的两根为1x ，2x （12x x <），则1230x x +=，其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3（2022·山东日照·统考中考真题）已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为32x =，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a +b =0；②若点11,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，（3，y 2）是抛物线上的两点，则y 1<y 2；③10b -3c =0；④若y ≤c ，则0≤x ≤3．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2021·贵州遵义·统考中考真题）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有___（填写序号）．①4a +b ＝0；②5a +3b +2c ＞0；③若该抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣3有交点，则a 的取值范围是a 34≥；④对于a 的每一个确定值，如果一元二次方程ax 2+bx +c ﹣t ＝0（t 为常数，t ≤0）的根为整数，则t 的值只有3个．知识点、二次函数图象的特征与a，b，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式c bx ax y ++=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=顶点式()kh x a y +-=2()k h ,h x =交点式()()12y a x x x x =--()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+4,222121x x a x x 221x x x +=（2）韦达定理：若二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0），则a b x x -=+21，acx x =⋅21。

高二数学函数与方程试题答案及解析1.已知函数有零点，则的取值范围是．【答案】【解析】由题意知有解，即方程有解，可转化为直线与方程所表示的曲线有交点，用数形结合思想可得的取值范围。

【考点】函数的零点与相应的方程根的关系及数形结合思想的应用。

2.已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是．【答案】【解析】由于函数在区间上有10个零点（互不相同），因此与函数有10个不同的交点，由于函数周期为3，所以与函数在一个周期内交点个数为4，对于函数，当时，，为翻折之后抛物线的顶点，由于恒成立，要使在一个周期内的交点为4，满足，此时，函数在区间上有10个零点（互不相同）．【考点】函数的交点．3.下列图象表示的函数能用二分法求零点的是（）【答案】C【解析】函数在区间上存在零点，满足两条：一是函数在区间连续，二是，满足这两条的是【考点】函数的零点.4.函数的零点所在区间为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，；则，所以函数的零点所在区间为.【考点】零点存在定理.5.已知符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，有且仅有3个零点，则方程在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且 a＞0．∵x＞0，∴[x]≥0；若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，∴＜＜1，∴＜a≤1，且随着[x]的增大而增大．故不同的[x]对应不同的a值，故有[x]=1，2，3,4．若[x]=1，则有＜≤1；若[x]=2，则有＜≤1；若[x]=3，则有＜≤1；若[x]=4,则有＜≤1；综上所述，＜a≤，故选C．考点:函数零点，对新概念的理解，分类整合思想6.函数的零点个数为 ( )A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】在同一个直角坐标系中画出的图像，易知两图像的交点只有一个，故选B。

【考点】利用函数图像判断函数零点的个数。

序号：初中数学备课组 教师： 班级：初三 日期 上课时间 学生：主课题:利用函数图像判定方程根的个数及函数最值第一部分 利用函数图像判定方程根的个数基本结论：判断方程根的个数问题，常常运用图像法。

当函数图像并不容易作出时，可以再次进行转化，如：()()f x g x =的根的个数，可以构造函数()()()F x f x g x =-，于是将问题转化为函数()y F x =的图像与x 轴交点个数问题，再依据()F x 的单调性和特殊点的位置来判断 例题1：若关于x 的方程|||1|0x a --=有四个解，求实数a 的取值范围例题2：已知关于x 的方程2230(03)x x a x ---=≤≤，根据下列条件，求出a 的取值范围（1）方程没有实数解 （2）方程有一解 （3）方程没有解例题3：若关于x 的方程2|23|0x x m ---=有四个解，求实数m 的取值范围例题4：若关于x 的方程22||30x x m ---=有三个解，求实数m 的取值范围针对练习：1.已知关于x 的方程2|43|0x x m -++=有四个实数根，求实数m 的取值范围2.已知关于x 的方程|3||1|0x x m -+--=，试就m 的值讨论方程根的个数3.已知方程10||a x +=，有两个实数根，求实数a 的取值范围4.已知方程2|2|30x x a ---=，就实数a 的取值范围讨论方程根的个数5.已知方程2|3|20x x a ---=，就实数a 的取值范围讨论方程根的个数6.已知函数222,31024,3x x x y x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩且使得y k =成立的x 的值恰好有3个，求实数k 的值第二部分 函数的最值1.基本公示（1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 当0a >时，当2min 4,24b ac b x y a a-=-= 当0a <时，当2max 4,24b ac b x y a a-=-= (2)若0,0a b >>，则2a b ab +≥（当且仅当a b =时，等号成立） 当a b +为定值时，2max ()()2a b ab += 当ab 为定值时，min ()2a b ab +=2.基本结论：一次函数12()(0)()f x kx b k x x x =+≠≤≤当0k >时，min 1max 2()();()()f x f x f x f x ==当0k <时，min 2max 1()();()()f x f x f x f x ==例题1：若0x >，求函数21y x x x=-+的最小值（直观法）例题 2.已知函数()|||15||15|f x x P x x p =-+-+--（其中15P x ≤≤，015P <<），求函数的最小值例题3.若关于x 的方程22(2)(35)0()x k x k k k R --+++=∈的两个实数根分别为12,x x ，求2212x x +的最小值（配方法）例题4.已知a b >，且2a b +=，求22a b a b+-的最小值（换元法）例题5.求函数2223221x x y x x --=++的最大值，最小值（判别式法）针对练习：1.求函数11(1)y x x =--的最大值2.求函数|1||3|y x x =-+-的最小值3.函数2()23f x x x =-+在[0,]a 上的最大值为3，最小值为2，求实数a 的取值范围4.求函数22()1(4)4f x x x =++-+的最小值5.求函数226121022x x y x x ++=++最小值课后作业：1.若方程|3|0x a --=有一个根，求实数a 的值2.判断方程||21||3x x -+=的解的个数3.已知关于x 的方程2|23|0x x a ---=有两个解，求实数a 的取值范围4.已知05x ≤≤，求函数2()43f x x x =-+的最值5.求函数2365y x x =--+-的最小值6.设a 为实数，求函数2()||1f x x x a =+-+的最小值7.已知关于正整数n 的二次式22y n an =+（a 为实数）若当且仅当5n =时，函数有最小值，求实数a 的取值范围。

集合求参数的取值范围技巧在数学和物理等学科中，我们经常遇到需要求解参数的取值范围的问题。

这些问题包括方程的解集、不等式的解集等等。

本文将介绍一些集合求参数取值范围的常见技巧，希望对读者有所帮助。

一、方程的解集在求解方程的解集时，我们常常需要确定参数的取值范围。

以一元二次方程为例，假设方程为 ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b、c均为已知常数，x为未知数。

我们可以利用二次函数图像的性质来求解方程的解集。

当且仅当二次函数图像与x轴有交点时，方程才有实数解。

首先，我们可以根据二次函数的开口方向和对称轴的位置来判断方程是否有解。

如果a>0，二次函数图像开口向上，对称轴在图像下方，方程有两个实数解。

如果a<0，二次函数图像开口向下，对称轴在图像上方，方程没有实数解。

其次，如果方程有解，则对称轴必定在x轴的上方或下方。

以二次函数的顶点坐标（h，k）为中心，向上画一条与x轴平行的直线。

如果该直线与二次函数图像有交点，说明方程有解；如果该直线与二次函数图像没有交点，说明方程无解。

因此，我们可以通过求解方程f(x) = k来确定参数的取值范围。

二、不等式的解集当求解不等式的解集时，我们也常常需要确定参数的取值范围。

不同类型的不等式有不同的解法，下面我们以一些常见的不等式类型进行讨论。

1. 一元一次不等式对于一元一次不等式，我们可以通过移项变换和分析函数的正负性来求解。

假设不等式为ax + b > 0。

首先，我们可以通过移项变换将不等式转化为等价的形式，即 ax > -b。

然后，我们根据a的正负来确定解集。

如果a>0，则x > -b/a，解集为(-b/a, +∞)；如果a<0，则x < -b/a，解集为(-∞, -b/a)。

2. 一元二次不等式对于一元二次不等式，我们可以通过求解二次函数的解集和分析函数的正负性来求解。

假设不等式为 ax^2 + bx + c > 0。

方程有解问题的常用处理办法方程0)(=x f 有解的问题实际上是求函数)(x f y =零点的问题，判断方程0)(=x f 有几个解的问题实际上就是判断函数)(x f y =有几个零点的问题，这类问题通常有以下处理办法： 一、直接法通过因式分解或求根公式直接求方程0)(=x f 的根，此法一般适合于含有一元二次（三次）的整式函数，或由此组合的分式函数。

例1（2010年福建理4）函数⎩⎨⎧>+-≤-+=)0(ln 2)0(32)(2x xx x x x f 的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3解：当0≤x 时，由32)(2-+=x x x f 得1=x （舍去），3-=x ；当0>x 时，由x x f ln 2)(+-=0=得2e x =，所以函数)(x f 的零点个数为2，故选C 。

二、图象法对于不能用因式分解或求根公式直接求解的方程0)()(=-x g x f ，能够先转化为方程)()(x g x f =，再在同一坐标系中分别画出函数)(x f y =和)(x g y =的图象，两个图象交点的横坐标就是原函数的零点，有几个交点原函数就有几个零点。

次法一般适合于函数解析式中既含有二次（三次）函数，又含有指数函数、对数函数或三角函数的函数类型。

例2（2008年湖北高考题）方程322=+-x x的实数解的个数是解析：在同一坐标系中分别作出函数xx f -=2)(和3)(2+-=x x g的图象，从图中可得它们有两个交点，即方程有两个实数解。

三、导数法在考查函数零点时，需要结合函数的单调性，并且适合用求导来求的函数，常用导数法来判定有无零点。

例3（2009年天津高考题）设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ ） A. 在区间),1(),1,1(e e 内均有零点B. 在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C. 在区间)1,1(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点D. 在区间)1,1(e内无零点，在区间),1(e 内有零点解析：令3033131)(>⇒>-=-='x x x x x f ，令30033)(<<⇒<-='x xx x f 所以函数)(x f 在区间)3,0(上是减函数，在区间),3(+∞上是增函数，在3=x 处取得极小值03ln 1<-，又0131)1(,013)(,031)1(>+=<-=>=ee f e e f f ，故选D 。

函数图像九年级知识点归纳函数图像是中学数学中的一个重要知识点，它描述了函数在平面直角坐标系中的图像特征。

下面将对九年级学生需要了解的函数图像知识点进行归纳介绍。

一、函数的定义函数是一种特殊的关系，通常用符号y=f(x)表示，其中x为自变量，y为因变量。

函数图像是描述函数关系的可视化工具，通过绘制自变量和因变量的对应关系，可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质。

二、常见函数的图像1. 线性函数图像线性函数的图像是一条直线，表现为一次函数的关系。

例如，y=2x+1是一条斜率为2，截距为1的直线。

2. 平方函数图像平方函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

例如，y=x^2的图像是一条开口向上的抛物线。

3. 开方函数图像开方函数的图像是一条曲线，具有非线性关系。

例如，y=sqrt(x)的图像是一条单侧的开口向右的曲线。

4. 绝对值函数图像绝对值函数的图像通常是一条V型的曲线。

例如，y=|x|的图像是一条关于y轴对称的曲线。

5. 正弦函数和余弦函数图像正弦函数和余弦函数的图像是一条连续的波浪线。

它们的波峰和波谷交替出现，呈周期性变化。

三、函数图像的特征通过观察函数图像，我们可以得到一些关于函数特征的信息。

1. 函数的取值范围函数图像的上下界限可以帮助我们确定函数的取值范围。

例如，对于一个开口向上的抛物线，它的最低点即为函数的最小值。

2. 函数的单调性函数图像的斜率变化可以帮助我们确定函数的单调性。

如果函数图像在某个区间上递增，那么函数在该区间上是递增的；如果函数图像在某个区间上递减，那么函数在该区间上是递减的。

3. 函数的对称性函数图像的对称性可以帮助我们确定函数的对称轴和对称中心。

例如，对于绝对值函数的图像，它关于y轴对称。

四、利用函数图像解题函数图像在解题过程中起着重要的作用。

1. 判断函数解的个数和范围通过观察函数图像的交点、最值点等信息，可以判断函数解的个数和范围。

例如，求解二次方程y=x^2+2x+1=0，可以通过观察函数y=x^2+2x+1的图像，判断是否有实数解。

用图像法掌握方程根的问题 二、例题讲解：例1：（实根的个数问题）求方程03222=-+xx 的实根个数。

步骤：利用数形结合的思想，作图判断交点的个数。

1）整理方程：3222+-=x x2）设两个函数：32,22+-==x y y x3）在同一直角坐标系内，作出函数图像：如右图。

4）两函数交于两点，则方程有两根。

例2：方程021=---m x 有两个不同的解，求m 的取值范围。

例3：已知关于x 的方程012332121=---∙----m m x x 有实数解，求实数m 的范围。

例4：（对数方程解的个数问题）求方程8018lg 2-+-=x x x 的解的个数。

分析：利用函数图像的交点个数判断方程解的个数，可类比指数方程的相关解法。

例5：若集合(){}R x x A x∈==,8132，集合(){}R x x x B ∈==,1log 23，则求B A 。

例6：若βα,是方程()03lg 2lg lg 3lg 2lg lg 2=∙+++x x 的两根，则求βα∙。

例7：若方程02lg lg 22=--x x 有两根βα,，则求αββαlog log +的值。

例8：已知关于x 的方程()0log 6lg 52222=+-a a x x 有实根，其中仅有一个较小的根在区间()2,1内，求a 的取值范围。

三、课堂练习：1、（化底数解方程） （1）求方程xx ⎪⎭⎫⎝⎛=-21412的解。

（2）求方程x x 351=-的解。

步骤：1）方程两边化为同底：()x x --=22122 步骤：1）利用换底公式，取对数。

2）令指数相同：x x -=-24 方法：换为以5或以3为底的对数式：x x 3log 5log 515=-3）解方程：得52=x 2）根据对数运算性质进行运算：3log 15x x =-()13log 15=-x()13log 5log 55=-x135log 5=⎪⎭⎫ ⎝⎛x 35log 15=x 35log 5log 55=x 得：5log 35=x2、（换元法解方程（组）） （1）求方程80334=-+xx 的解 （2）解方程组⎩⎨⎧=+=+12333yxy x 解：设相同项为t ，如：设t x=3，0>t 步骤：1）借助化归思想，化方程组为方程。