2013届高三数学二轮复习课后练习(教师版)：21-22

北京市顺义区2013届高三第二次统练数学试卷(理工类)一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}034,232≥+-∈=<<-∈=x x x B x x A R R ,则=⋂B AA.(]1,3-B.()1,3-C.[)2,1D.()[)+∞⋃∞-,32,【答案】A因为{}13B x R x x =∈≤≥或，所以{}31AB x R x =∈-<≤,选A.2.复数=+-i i123 A.i 2521+ B.i 2521- C.i 2521+-D.i 2521--【答案】B32(32)(1)15151(1)(1)222i i i i i i i i ----===-++-,选B. 3.在极坐标系中,直线l 的方程为224sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ,则点⎪⎭⎫⎝⎛43,2πA 到直线l 的距离为 A.2 B.22 C.222-D.222+【答案】B由224sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ得sin cos 1ρθρθ+=，即直线方程为1x y +=。

⎪⎭⎫ ⎝⎛43,2πA 中，对应的直角坐标为3cos 2cos 43sin 2sin 4x y πρθπρθ⎧===⎪⎪⎨⎪===⎪⎩ ，即直角坐标为(2=，选B.4.执行如图所示的程序框图,输出的sA.10-B.3-C.4D.5【答案】A第一次运行，满足条件循环211,2s k =-==。

第二次运行，满足条件循环2120,3s k =⨯-==。

第三次运行，满足条件循环2033,4s k =⨯-=-=。

第四次运行，满足条件循环2(3)410,5s k =⨯--=-=。

此时不满足条件，输出10s =-，选A.5.已知数列{}n a 中,54+-=n a n ,等比数列{}n b 的公比q 满足()21≥-=-n a a q n n ,且21a b =,则=+++n b b b 21 A.n41-B.14-nC.341n -D.314-n【答案】B因为14n n q a a -=-=-，123b a ==-，所以1113(4)n n n b b q --==-⋅-，所以113(4)34n n n b --=-⋅-=⋅，即{}nb 是公比为4的等比数列，所以12n b b b +++3(14)4114n n -==--，选B. 6.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+14,42,22y x y x y x 则yx -32的取值范围是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,42 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡64,21 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡64,42 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,641 【答案】C设3z x y=-，则3y x z =-。

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设cos 1sin ()x x x α-=⋅，()2x πα<，当0x →时，()x α（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 是等价无穷小 【答案】（C ）【考点】同阶无穷小 【难易度】★★【详解】解析：cos 1sin ()x x x α-=⋅Q ，21cos 12x x --: 21sin ()2x x x α∴⋅-:，即1sin ()2x x α-:∴当0x →时，()0x α→，sin ()()x x αα:1()2x x α∴-:，即()x α与x 同阶但不等价的无穷小，故选（C ）.2、已知()y f x =由方程cos()ln 1xy y x -+=确定，则2lim [()1]n n f n→∞-=（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 【答案】（A ）【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★【详解】解析：当0x =时，1y =.002()12(2)1(2)(0)lim [()1]lim lim 2lim 2(0)12n n x x f f x f x f n n f f n x xn→∞→∞→→---'-==== 方程cos()ln 1xy y x -+=两边同时对x 求导，得1sin()()10xy y xy y y''-++⋅-= 将0x =，1y =代入计算，得 (0)(0)1y f ''== 所以，2lim [()1]2n n f n→∞-=，选（A ）.3、设sin [0,)()2[,2]x f x πππ⎧=⎨⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π=为()F x 的跳跃间断点 （B ）x π=为()F x 的可去间断点 （C ）()F x 在x π=处连续不可导 （D ）()F x 在x π=处可导【答案】（C ）【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】★★【详解】解析：202(0)sin sin sin 2F tdt tdt tdt πππππ-==+=⎰⎰⎰Q ，(0)2F π+=，(0)(0)F F ππ∴-=+，()F x 在x π=处连续.()()()lim 0xx f t dt f t dtF x ππππ--→-'==-⎰⎰Q ，0()()()lim 2xx f t dt f t dtF x ππππ++→-'==-⎰⎰，()()F F ππ-+''≠，故()F x 在x π=处不可导.选（C ）.4、设函数1111(1)()1ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<<【答案】（D ）【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★★ 【详解】解析：11()()()e ef x dx f x dx f x dx +∞+∞=+⎰⎰⎰由1()f x dx +∞⎰收敛可知，1()ef x dx ⎰与()ef x dx +∞⎰均收敛.1111()(1)eef x dx dx x α-=-⎰⎰，1x =是瑕点，因为111(1)e dx x α--⎰收敛，所以112αα-<⇒< 111()(ln )ln eeef x dx dx x x x ααα+∞+∞+∞-+==-⎰⎰，要使其收敛，则0α>所以，02α<<，选D.5、设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- 【答案】（A ）【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★【详解】解析：22()()z y y f xy f xy x x x ∂'=-+∂，1()()z f xy yf xy y x ∂'=+∂ 221[()()][()()]x z z x y y f xy f xy f xy yf xy y x y y x x x∂∂''∴+=-+++∂∂ 11()()()()2()f xy yf xy f xy yf xy yf xy x x'''=-+++=，故选（A ）.6、设k D 是圆域{}22(,)1D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > 【答案】（B ）【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 【难易度】★★【详解】解析：根据对称性可知，130I I ==.22()0D I y x dxdy =->⎰⎰（Q 0y x ->），44()0D I y x dxdy =-<⎰⎰（Q 0y x -<） 因此，选B.7、设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ） （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】（B ）【考点】等价向量组 【难易度】★★【详解】解析：将矩阵A 、C 按列分块，1(,,)n A αα=L ，1(,,)n C γγ=L由于AB C =，故111111(,,)(,,)n n n n nn b b b b ααγγ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭L L M M L L 即1111111,,n n n n nn n b b b b γααγαα=++=++L L L 即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示.由于B 可逆，故1A CB -=，A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示，故选（B ）.8、矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件是（ ）（A ）0,2a b == （B ）0,a b =为任意常数 （C ）2,0a b == （D ）2,a b = 为任意常数【答案】（B ）【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】★★【详解】解析：题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.由20000000b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭的特征值为2，b ，0可知，矩阵1111a A a b a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值也是2，b ，0.因此，22111122022401120a a E A ab a b a a a aa-----=---=---=-=---0a ⇒= 将0a =代入可知，矩阵10100101A b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为2，b ，0.此时，两矩阵相似，与b 的取值无关，故选（B ）.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、10ln(1)lim(2)x x x x→+-= . 【答案】12e【考点】两个重要极限 【难易度】★★ 【详解】解析：011ln(1)1ln(1)1ln(1)1ln(1)1(1)(1)lim (1)000ln(1)ln(1)lim(2)lim[1(1)]lim x x x x x xx x xx xxxx x x x x eex x→++++-⋅-⋅-⋅-→→→++-=+-==其中，20000111ln(1)ln(1)11lim(1)lim lim lim 22(1)2x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+-++⋅-====+故原式=12e10、设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== .【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数 【难易度】★★【详解】解析：由题意可知，(1)0f -=1()y x dy dx dx dxf x dx dy dy dy==-'==⇒=⇒==.11、设封闭曲线L 的极坐标方程方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围平面图形的面积是 . 【答案】12π 【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★ 【详解】解析： 面积622666000611cos 61sin 6()cos 3()222612S r d d d πππππθθπθθθθθθ-+====+=⎰⎰⎰12、曲线arctan ,ln x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =点处的法线方程为 .【答案】ln 204y x π+--=【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】★★★【详解】解析：由题意可知，12//1dy dy dt t dx dx dtt-===+，故11t dy dx ==曲线对应于1t =点处的法线斜率为111k -==-. 当1t =时，4x π=，ln 2y =.法线方程为ln 2()4y x π-=--，即ln 204y x π+--=.13、已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件00x y ==，01x y ='=的解为y = . 【答案】32xx x y ee xe =--【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★【详解】解析：312x xy y e e -=-，23x y y e -=是对应齐次微分方程的解.由分析知，*2xy xe =-是非齐次微分方程的特解. 故原方程的通解为3212()xx x x y C ee C e xe =-+-，12,C C 为任意常数.由00x y ==，01x y ='=可得 11C =，20C =. 通解为32xx x y ee xe =--.14、设()ij A a =是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==，则A = .【答案】-1【考点】伴随矩阵 【难易度】★★★【详解】解析：**0T Tij ij ij ij a A A a A A AA AA A E +=⇒=-⇒=-⇒=-= 等式两边取行列式得230A A A -=⇒=或1A =- 当0A =时，00TAA A -=⇒=（与已知矛盾） 所以1A =-.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 和a 的值. 【考点】等价无穷小；洛必达法则 【难易度】★★★【详解】解析：00cos6cos 4cos 2111cos cos 2cos34lim lim n n x x x x x x x x ax ax→→+++--⋅⋅= 1003cos6cos 4cos 26sin 64sin 42sin 2lim lim 44n n x x x x x x x xax anx-→→---++== 2036cos 616cos 44cos 2lim4(1)n x x x xan n x -→++=-故20n -=，即2n =时，上式极限存在. 当2n =时，由题意得001cos cos 2cos336cos616cos 44cos 236164limlim 188n x x x x x x x x ax a a→→-⋅⋅++++==== 7a ⇒= 2,7n a ∴==16、（本题满分10分）设D 是由曲线13y x =，直线x a =(0)a >及x 轴所围成的平面图形，x V ，y V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值. 【考点】旋转体的体积 【难易度】★★【详解】解析：根据题意，15523330033()55a ax V x dx xa πππ===⎰ 177333066277aay V x x dx x a πππ=⋅==⎰.因10y x V V =，故7533631075a a a ππ=⨯⇒=17、（本题满分10分）设平面区域D 由直线3x y =，3y x =，8x y +=围成，求2Dx dxdy ⎰⎰【考点】利用直角坐标计算二重积分 【难易度】★★【详解】解析：根据题意 3286y x x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，16328x y x y x y ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩故2368222233xxx xDx dxdy dx x dy dx x dy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰264340228132416()12833333x x x =+-=+=18、（本题满分10分）设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =，证明： （Ⅰ）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=； （Ⅱ）存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+=. 【考点】罗尔定理 【难易度】★★★【详解】解析：（Ⅰ）由于()f x 在[1,1]-上为奇函数，故(0)0f =令()()F x f x x =-，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且(1)(1)10F f =-=，(0)(0)00F f =-=.由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()1f ξ'=.（Ⅱ）考虑()()1(()())(())xxxxf x f x e f x f x e e f x e ''''''''+=⇔+=⇔=[()]0x x e f x e ''⇔-=令()()xxg x e f x e '=-，由于()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，()()1f f ξξ''=-=，()()0g g ξξ⇒=-=.由罗尔定理可知，存在(1,1)η∈-，使得()0g η'=，即()()1f f ηη'''+=.19、（本题满分10分）求曲线331(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离和最短距离. 【考点】拉格朗日乘数法 【难易度】★★★【详解】解析：设(,)M x y为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为d =构造拉格朗日函数 2233(1)F x y x xy y λ=++-+-由22332(3)02(3)010x y F x x y F y y x F x xy y λλλ'⎧=+-=⎪'=+-=⎨⎪'=-+-=⎩ 得 11x y =⎧⎨=⎩点(1,1)到原点的距离为d ==，然后考虑边界点，即(1,0)，(0,1)，它们到原点的距离都是1.，最短距离为1. 20、（本题满分11分） 设函数1()ln f x x x=+（Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）设数列{}n x 满足11ln 1n n x x ++<，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.【考点】函数的极值；单调有界准则【难易度】★★★【详解】解析：（Ⅰ）由题意，1()ln f x x x =+，0x >22111()x f x x x x-'⇒=-= 令()0f x '=，得唯一驻点1x =当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.所以1x =是()f x 的极小值点，即最小值点，最小值为(1)1f =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知1ln 1n n x x +≥，又由已知11ln 1n n x x ++<，可知111n n x x +>，即1n n x x +> 故数列{}n x 单调递增.又由11ln 1n n x x ++<，故ln 10n n x x e <⇒<<，所以数列{}n x 有上界. 所以lim n n x →∞存在，设为A.在11ln 1n n x x ++<两边取极限得 1ln 1A A +≤ 在1ln 1n n x x +≥两边取极限得 1ln 1A A+≥ 所以1ln 11A A A+=⇒=即lim 1n n x →∞=.21、（本题满分11分） 设曲线L 的方程为211ln (1)42y x x x e =-≤≤满足 （Ⅰ）求L 的弧长；（Ⅱ）设D 是由曲线L ，直线1x =，x e =及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标. 【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心 【难易度】★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）设弧长为S ，由弧长的计算公式，得1111S ====⎰⎰⎰⎰221111111()(ln )22424eee x dx x x x +=+=+=⎰ （Ⅱ）由形心的计算公式，得22111ln 242100111ln 24210011(ln )4211(ln )42ex x D ex x D xdxdyx x x dx dx xdy x dxdy x x dx dx dy ---===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 422423311111()3(23)16164221114(7)12122e e e e e e e ---+--==---. 22、（本题满分11分）设110a A ⎛⎫=⎪⎝⎭，011B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★【详解】解析：由题意可知矩阵C 为2阶矩阵，故可设1234x x C x x ⎛⎫=⎪⎝⎭.由AC CA B -=可得 12123434101011011x x x x a x x x x b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 整理后可得方程组2312413423011x ax ax a ax x x x x ax b-+=⎧⎪-++=⎪⎨--=⎪⎪-=⎩ ① 由于矩阵C 存在，故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换：01001011110111101010001001011101010000101000a a a a aa a a ab b b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪---++⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组有解，故10a +=，0b =，即1a =-，0b =.当1a =-，0b =时，增广矩阵变为10111011000000000000--⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭34,x x 为自由变量，令341,0x x ==，代入相应齐次方程组，得211,1x x =-=令340,1x x ==，代入相应齐次方程组，得210,1x x ==故1(1,1,1,0)T ξ=-，2(1,0,0,1)T ξ=，令340,0x x ==，得特解(1,0,0,0)Tη= 方程组的通解为112212112(1,,,)Tx k k k k k k k ξξη=++=++-（12,k k 为任意常数）所以121121k k k C k k ++-⎛⎫=⎪⎝⎭.23、（本题满分11分）设二次型2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123b b b β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）证明二次型f 对应的矩阵为2T Tααββ+；（Ⅱ）若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22122y y +【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩 【难易度】★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）证明：2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++1111123212321232123233332(,,)(,,)(,,)(,,)a x b x x x x a a a a x x x x b b b b x a x b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112323(,,)(2)T T T x x x x x x Ax x ααββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，其中2T T A ααββ=+所以二次型f 对应的矩阵为2TTααββ+. （Ⅱ）由于,αβ正交，故0TT αβαβ== 因,αβ均为单位向量，故1α==，即1T αα=.同理1T ββ=2(2)22T T T T T T A A ααββαααββααααββαα=+⇒=+=+=由于0α≠，故A 有特征值12λ=.(2)T T A βααββββ=+=，由于0β≠，故A 有特征值21λ=又因为()(2)(2)()()()1123T T T T T Tr A r r r r r ααββααββααββ=+≤+=+=+=<， 所以0A =，故30λ=.三阶矩阵A 的特征值为2，1，0.因此，f 在正交变换下的标准形为22122y y +.。

2013北京市海淀区高三年级第二学期期末练习1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则AB =A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ． [1,2]D ．[1,)+∞2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为 A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3-3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005.在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为A. 32B. 36C. 42D. 487.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 A. 2 B.12+ C.13+ D.23+666左视图5俯视图主视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若34a =，则m 可以取3个不同的值 B. 若2m =，则数列{}n a 是周期为3的数列C.T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 在极坐标系中，极点到直线cos 2ρθ=的距离为_______.10.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 按照从大到小．．．．排列为______. 11.直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为____.12.在ABC ∆中，30,45,2A B a ∠=∠==，则_____;b = C _____.AB S ∆=13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅的取值范围是______________.14.在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W . (I) 给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12； 其中，所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为______.三、解答题:15. 已知函数cos2()1π2sin()4x f x x =--.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； (Ⅱ) 求函数()f x 的单调递增区间.16.（本小题满分13分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%.(I) 假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率； （II ）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p 的取值范围.17. （本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=，30CAB ∠=，2BC =，4AD =. 把DAC ∆沿对角线AC 折起到PAC ∆的位置,如图2所示,使得点P 在平面ABC上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ,点,E F 分别为线段,PA AB 的中点． (I) 求证：平面//EFH 平面PBC ；(II) 求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值；(III)在棱PA 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等？请说明理由.CDBA图1H E CPBAF图218. 已知函数()e x f x =,点(,0)A a 为一定点,直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记AMN ∆的面积为()S t . （I ）当0a =时,求函数()S t 的单调区间；（II ）当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.（I ）求椭圆M 的方程；（II ）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求A O B ∆（O 为原点）面积的最大值.。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2013.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{}0,1,3M =，集合{}3,N x x a a M ==∈，则MN =A.{}0B.{}0,3C. {}1,3,9D. {}0,1,3,9 【答案】D【KS5U 解析】{}3,{0,3,9}N x x a a M ==∈=，所以{0,1,3,9}MN =，选D.（2）若120()d 0x mx x +=⎰，则实数m 的值为A ．13-B ．23- C ．1- D ．2- 【答案】B【KS5U 解析】123211111()d ()03232x mx x x mx m +=+=+=⎰，解得23m =-，选B. （3）执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是A. 6n >？B. 7n ≥？C. 8n >？D. 9n >？ 【答案】C 【KS5U 解析】第一次循环，1,3S n ==，不满足条件，循环。

第二次循环，134,5S n =+==，不满足条件，循环。

第三次循环，459,7S n =+==，不满足条件，循环。

第四次循环，9716,9S n =+==，满足条件，输出。

所以判断框内的条件是8n >，选C.（4）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,3]D ．(1,3) 【答案】A【KS5U 解析】双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨取b y x a =，代入抛物线得22bx x a=+，即220b x x a -+=，要使渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则2()80b a∆=-≥，即228b a ≥，又22228b c a a =-≥，所以229c a ≥，所以29,3e e ≥≥。

2013年4月高三理科数学二轮复习试题(含答案)山东省济南一中2013届高三二轮复习质量检测数学试题（理工类）2013.4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则CU(A∪B)等于A．{6,8}B．{5,7}C．{4,6,7}D．{1,3,5,6,8}2．已知为虚数单位，复数z=，则复数的虚部是A．B．C．D．3．函数y=与y=图形的交点为（a，b），则a所在区间是A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4.已知F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为A．4＋23B.3－1C.3＋12D.3＋15.阅读右边的程序框图，若输出S的值为－14，则判断框内可填写A．iC．i6.函数f(x)=A．在上递增，在上递减B．在上递增，在上递减C．在上递增，在上递减D．在上递增，在上递减7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．13B．23C.1D.28.已知点是边长为1的等边的中心，则等于A．B．C．D．9．从6名同学中选4人分别到A、B、C、D四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D 城市游览，则不同的选择方案共有A．96种B．144种C．240种D．300种10．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是A．95B．91C．88D．7511.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于A．3B.4C.D.12.设函数f(x)=x-,对任意恒成立，则实数m的取值范围是A．(-1,1)B.C.D.或（第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是________________.14.已知向量则的值为.15.在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为。

2013年高三理科数学二模试题(惠州有答案)骞夸笢鐪佹儬宸炲競2013悊绉戯級2013.4 85鍒嗭紝婊″垎40€椤规槸绗﹀悎棰樼洰瑕佹眰鐨勶紟1鐨勫畾涔夊煙涓洪泦鍚圡锛岄泦鍚圢锛?锛屽垯锛?锛夛紟A锛?B锛嶯C锛?D锛嶮2銆佸凡鐭ユき鍦鍊嶏紝鍒欐き鍦嗙殑绂诲績鐜囩瓑浜庯紙锛夛紟A锛?B锛?C锛?D锛?3猴級锛岄偅涔堣緭鍑虹殑锛?锛夛紟锛★紟2450 2500 锛ｏ紟2550 锛わ紟2652 4銆佽嫢鏇茬嚎鐨勪竴鏉″垏绾?涓庣洿绾?鍨傜洿锛屽垯鍒囩嚎鐨勬柟绋嬩负锛?锛夛紟A銆?銆€B銆?C銆?D銆?5銆佹柟绋?鏈夊疄鏍圭殑姒傜巼涓猴紙锛夛紟A銆?B銆?C銆?D銆?6銆佸凡鐭?锛夛紟A銆佽嫢鈭?锛屽垯銆€B 銆佽嫢鈭?锛屽垯鈭?C銆佽嫢锛屽垯鈭?銆€D銆佽嫢锛屽垯7銆佷竴寮犳?鈥濆浘妗堬紝?銆?锛屽壀鍘婚儴鍒嗙殑闈㈢Н涓?锛?鑻?锛屽垯鐨勫浘璞℃槸锛?锛夛紟8銆佸皢鍑芥暟鐨勫浘璞″厛鍚戝乏骞崇Щ锛岀劧鍚庡皢鎵€寰楀浘璞′笂鎵€鏈夌偣鐨勬í鍧愭爣鍙樹负鍘熸潵鐨?鍊嶏紙绾靛潗鏍囦笉鍙橈級锛屽垯鎵?锛夛紟A锛?B锛?C锛?D 锛??10鍒嗭級浜屻€佸～绌洪ч??3锝?5锛屼笁棰樺叏绛旂殑锛屽彧璁＄畻鍓嶄袱棰樺緱鍒嗭紟姣忓皬棰?鍒嗭紝婊″垎30鍒嗭紟9銆佸凡鐭ュ悜閲?锛?锛岃嫢锛屽垯瀹炴暟鐨勫€肩瓑浜?锛?10銆佸凡鐭?锛屽垯= 锛?11銆??锛?12銆佸嚱鏁?鐢变笅琛ㄥ畾涔夛細鑻?锛?锛?锛屽垯锛?13銆?鍧愭爣绯讳笌鍙傛暟鏂圭▼閫夊仛棰?鏇茬嚎锛?涓婄殑鐐瑰埌鏇茬嚎锛?锛?14銆?涓嶇瓑寮忛€?宸茬煡瀹炴暟婊¤冻锛屽垯鐨勬渶澶у€间负锛?15銆?鍑犱?濡傚浘锛屽钩琛屽洓杈瑰舰锛岃嫢鐨勯潰?cm , 鍒??cm 锛?涓夈€佽Вч??0鍒嗭紟瑙ｇ瓟椤诲啓鍑烘?16?2?鐨勫墠椤瑰拰涓?, 宸茬煡锛?锛?锛堚厾锛夋眰棣栭」鍜屽叕姣?鐨勫€硷紱锛堚叀锛夎嫢锛屾眰鐨勫€硷紟17?2鍒嗭級璁惧嚱鏁?锛?锛堚厾锛夋眰鍑芥暟鐨勬渶?锛堚叀锛夊綋鏃讹紝鐨勬渶澶у€间负2锛屾眰鐨勫€硷紝骞舵眰鍑??18樻弧鍒?4у皬鐩稿悓鐨?4粦鐞冿紟锛堚厾锛夐噰鍙栨斁鍥炴娊鏍锋柟寮忥紝浠庝腑鎽稿嚭涓や釜鐞冿紝?锛堚叀锛夐噰鍙栦笉鏀惧洖鎶芥牱屾柟宸? 锛?19?4鍒嗭級濡傚浘锛屽凡鐭ュ洓妫遍敟鐨?搴曢潰鏄骞抽潰, 锛?鐐?涓?鐨勪腑鐐癸紟锛堚厾锛夋眰璇侊細骞抽潰锛?锛堚叀锛夋眰浜岄潰瑙?20?4鍒嗭級缁欏畾鍦哖: 鍙婃姏鐗?绾縎: ,杩囧渾蹇?浣滅洿绾?,姝ょ洿绾夸笌涓婅堪涓ゆ洸绾??璁颁负,濡傛灉绾?娈??姹傜洿绾?鐨勬柟绋? 21?4欢鐨勫嚱鏁?鏋勬垚鐨勯泦鍚堬細鈥溾憼鏂圭▼鏈夊疄鏁版牴锛涒憽鍑芥暟鐨?婊¤冻鈥濓紟?礌锛屽苟璇存槑鐞嗙敱锛?鍏锋湁涓嬮潰鐨勬€ц川锛氳嫢鐨勫畾涔夊煙涓篋锛屽垯瀵逛簬浠绘剰[m锛宯] D锛岄兘瀛樺湪[m锛宯]锛屼娇寰楃瓑寮?鎴愮珛鈥濓紝璇曠敤杩欎竴鎬ц川璇佹槑锛氭柟绋?鍙??鐨勫疄鏁版牴锛屾眰璇侊細瀵逛簬瀹氫箟鍩熶腑浠绘剰鐨?锛屽綋锛屼笖鏃讹紝锛?骞夸笢鐪佹儬宸炲競2013冪瓟妗?007.11 涓€銆侀€夋嫨棰橈細棰樺彿1銆佽В鏋愶細锛孨锛?锛?鍗?锛庣瓟妗堬細锛?2銆佽В锛屽張锛??锛?3銆佽В鏋愶細绋嬪簭鐨勮繍琛岀粨鏋滄槸锛庣瓟妗堬細锛?4銆佽В鏋愶細涓庣洿绾?鍨傜洿鐨勫垏绾?鐨勬枩鐜囧繀涓?锛岃€?锛屾墍浠ワ紝鍒囩偣涓?锛庡垏绾夸负锛屽嵆锛岀瓟妗堬細锛?5銆佽В鏋愶細鐢变竴鍏冧簩娆℃柟绋嬫湁瀹炴牴鐨勬潯浠?锛岃€?锛岀敱鍑犱綍姒傜巼寰楁锛庣瓟妗堬細锛?6銆佽В鏋愶細濡傛灉涓ゆ??姝ｇ‘锛?锛屾墍浠?锛?7銆佽В鏋愶?锛岀瓟妗堬細锛?8銆佽В鏋愶細鐨勫浘璞″厛鍚戝乏骞崇Щ锛屾í鍧愭爣鍙樹负鍘熸潵鐨?鍊?锛庣瓟妗堬細锛??棰樺彿9銆佽В鏋愶細鑻?锛屽垯锛岃В寰?锛?10銆佽В?锛?11銆佽В鏋愶細12銆佽В鏋愶細浠?锛屽垯锛屼护锛屽垯锛?浠?锛屽垯锛屼护锛屽垯锛?浠?锛屽垯锛屼护锛屽垯锛?鈥︼紝鎵€浠?锛?13銆佽В鏋愶細锛?锛涘垯鍦嗗績鍧愭爣涓?锛?锛?蹇冨埌鐩寸嚎鐨勮窛绂讳负锛?14銆佽В鏋愶細鐢辨煰瑗夸笉绛夊紡锛岀瓟妗堬細锛?15銆佽В鏋愶細鏄剧劧涓?涓虹浉浼间笁瑙掑舰锛屽張锛屾墍浠??cm 锛?涓夈€佽Вч??0鍒嗭紟瑙ｇ瓟椤诲啓鍑烘?16銆佽В: (鈪? , 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?2鍒?鈭?锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?4鍒?瑙ｅ緱锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?6鍒?(鈪?鐢?,寰楋細, 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?8鍒?鈭?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?10鍒?鈭?锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?12鍒?17銆佽В锛氾紙1锛?鈥?2鍒?鍒?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?涓斿綋鏃??鍗?涓?愬紑鍖洪棿涓嶆墸鍒嗭級锛庘€︹€︹€?鍒?锛?锛夊綋鏃?锛屽綋锛屽嵆鏃?锛?鎵€浠?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?涓?酱锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€?2鍒?18銆佽В锛?锛堚厾锛夎В娉曚竴锛氣€滄湁鏀惧洖鎽镐袱娆★紝棰滆壊涓嶅悓鈥濇寚鈥滃厛鐧藉啀榛戔€濇垨鈥滃厛榛戝啀鐧解€濓紝蹭笉鍚屸€濅负浜嬩欢锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鈭碘€绉嶅彲鑳斤紝鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鈭?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?瑙ｆ硶浜岋細鈥滄湁鏀惧洖鎽稿彇?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鈭粹€滄湁鏀惧洖鎽镐袱娆★紝棰滆壊涓嶅悓鈥濈殑姒傜巼涓?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?锛屼緷棰樻剰寰楋細锛?锛?锛庘€︹€︹€︹€?0鍒?鈭?锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?2鍒?锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?4鍒?19銆?鈪?璇佹槑:杩炵粨锛?涓?浜や簬鐐?锛岃繛缁?.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?? 鈭?鏄?鐨勪腑鐐? 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鐐?涓?鐨勪腑鐐? 鈭?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?骞抽潰骞抽潰, 鈭?骞抽潰. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€?6鍒?(鈪?瑙ｆ硶涓€: 骞抽潰, 骞抽潰,鈭?. 锛屸埓. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?7鍒?? 鈭?. 锛?鈭?骞抽潰. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?浣?锛屽瀭瓒充负锛岃繛鎺?锛屽垯, 鎵€浠?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?10鍒?,鈭?锛?. 鍦≧t鈻?涓? = 锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?12鍒?鈭?.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?13鍒?鈭翠簩闈. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?14鍒?瑙ｆ硶浜岋細濡傚浘锛屼互鐐?鐨勫瀭鐩村钩鍒嗙嚎鎵€鍦ㄧ洿绾夸负杞达紝鎵€鍦ㄧ洿绾夸负杞达紝鎵€鍦ㄧ洿绾夸负杞达紝寤?锛屸€︹€︹€︹€︹€?鍒?鍒?锛?, 锛?鈭?锛?鈥︹€︹€︹€︹€?鍒?璁惧钩闈??, 鐢?锛屽緱锛?浠?锛屽垯锛屸埓. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?骞抽潰, 骞抽潰, 鈭?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?8鍒?锛屸埓. ?鈭?. 锛屸埓骞抽潰.鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?9鍒?鈭??, 锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?10鍒?鈭?锛?鈭?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?12鍒?鈭?锛庘€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?13鍒?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?14鍒?20銆佽В:鍦?鐨勬柟绋嬩负,鍒欏叾鐩村緞闀?,鍦嗗績涓?,璁?鐨勬柟绋嬩负,鍗?,浠ｅ叆鎶涚墿绾挎柟绋嬪緱: ,璁?锛?鏈?, 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鍒?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鏁?鈥?鍒?, 鈥︹€︹€︹€?7鍒?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?8鍒?? , 鈥︹€︹€︹€︹€?10鍒?鎵€浠?锛屽嵆, 锛屸€︹€︹€︹€︹€?12鍒?鍗筹細鏂圭▼涓?鎴?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€?4鍒?21銆佽В锛?锛?锛夊洜涓?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鎵€浠?锛屾弧瓒虫潯浠?. 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鍙堝洜涓哄綋鏃讹紝锛屾墍浠ユ柟绋?鏈夊疄鏁版牴锛?鎵€浠ュ嚱鏁?冪礌锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?锛?锛夊亣璁炬柟绋?瀛樺湪涓や釜瀹炴暟鏍?锛夛紝鍒?锛屸€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?涓嶅Θ璁?浣垮緱绛夊紡鎴愮珛锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鍥犱负锛屾墍浠?锛屼笌宸茬煡鐭涚浘锛?鎵€浠ユ柟绋?︹€︹€︹€︹€︹€?0鍒?锛?锛屽洜涓?鎵€浠?锛屾墍浠?锛?鍙堝洜涓?锛屾墍浠ュ嚱鏁?涓哄噺鍑芥暟锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?1鍒?鎵€浠?锛?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?2鍒?鎵€浠?锛屽嵆锛?鈥︹€︹€︹€?3鍒?鎵€浠?锛?鈥?4鍒?。

江苏省2013届高三数学二轮专题训练：解答题（30）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．(本小题满分14分)设函数f (x )=a b ⋅，其中向量a =(2cos x ,1),b =(cos x ,3sin2x ),x ∈R .(1) 若f (x )=0且x ∈(－π2,0), 求tan2x ；(2) 设△ABC 的三边a ,b ,c 依次成等比数列，试求f (B )的取值范围．2．(本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面3．（本小题满分14分）某商店经销一种青奥会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a 元（a 为常数，2≤a ≤5）的税收.设每件产品的日售价为x 元（35≤x ≤41），根据市场调查，日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件.(1)求该商店的日利润L(x )元与每件产品的日售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x )最大，并求出L(x )的最大值.4．(本小题满分16分)已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x >0)在x = 1处取得极值c --3，其中a ,b ,c 为常数。

（1）试确定a ,b 的值； （2）求函数f (x )的单调增区间；（3）若对任意x >0，不等式f (x )≥－(c －1)4+(c －1)2－c +9恒成立，求c 的取值范围.（第16题）5．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，A (2a ，0)，B(a ，0)，a 为非零常数，动点P 满足PA ＝2PB ，记点P 的轨迹曲线为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）曲线C 上不同两点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)满足→AR ＝λ→AQ ，点S 为R 关于x 轴的对称点．①试用λ表示x 1，x 2，并求λ的取值范围；②当λ变化时，x 轴上是否存在定点T ，使S ，T ，Q 三点共线，证明你的结论．6．(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，S n = ta n+1 (n ∈N +,t ∈R)． （1）求数列{S n }的通项公式； 2）求数列{na n }的前n 项和为T n .1. 解：f (x )=a b ⋅=(2cos x ,1) (cos x , 3si n 2x )=2cos 2x +3si n 2x =3si n 2x +cos2x +1=2si n (2x +6π)+1(1) ∵f (x )= 0,∴si n (2x +6π)=-12,x ∈(－π2,0) ∴2x +6π∈(-5π6,π6) ∴2x +6π=-π6,∴x =-π6,tan2x=- 3 (2)∵a,b,c成等比数列, ∴b 2=ac 由余弦定理得∴cosB=ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+≥ac ac ac 22-=21∴0<B ≤3π∴6π<2B +6π≤65π∴21≤si n (2B +6π)≤1，∴2≤f (B )≤3 2.证明：（1）方法一：取线段PD 的中点M ，连结FM ，AM因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD ． 因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， 所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD ． 所以FM ∥EA ，且FM ＝EA ． 所以四边形AEFM 为平行四边形．所以EF ∥AM ． ……………………… 5分又AM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． 方法二：连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ， 所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE ．又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA ．所以CE ＝NE ． 又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP ．………… 5分又NP ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． …………… 2分方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD．………………2分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD．又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD．……………3分因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD．………………………………2分（2）设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点.所以DAAE＝CDDA＝2．又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC．………………………2分因为平面PAC⊥平面ABCD因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，……………………………………3分又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．…………………………2分说明：第一问，方法1和2，下结论时：不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行，一律扣2分；方法3，直接由线线平行→面面平行，扣3分；第二问，不用平几证明DE⊥AC，扣2分；3.4．解：（1）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-． 又对()f x 求导得()34341ln 4'bx xax x ax x f +⋅+=3(4ln 4)x a x a b =++． 由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．（2）由（1）知3()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '>，解得1x >． 因此()f x 的单调递增区间为(1)+，∞．（3）由（2）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值， 要使f (x )≥－(c －1)4+(c －1)2－c+9（0x >）恒成立， 即－3－c （≥－(c －1)4+(c －1)2－c+9（0x >）恒成立， 解得c ∈(－∞，－1]∪[3，＋∞).5.解 （1）设点P 坐标为(x ，y )．由PA ＝2PB ，得(x －2a )2＋y 2＝2(x －a )2＋y 2，平方整理，得x 2＋y 2＝2a 2． 所以曲线C 的方程为x 2＋y 2＝2a 2．（2）①→AQ ＝(x 1－2a ，y 1)，→AR ＝(x 2－2a ，y 2)，因为→AQ ＝λ→AR ，且⎩⎨⎧x 2－2a ＝λ(x 1－2a ) y 2＝λy 1．，即⎩⎨⎧x 2－λx 1＝2a (1－λ)…① y 2＝λy 1．…② 因为Q ，R 在曲线C 上，所以⎩⎨⎧x 12＋y 12＝2a 2，…③x 22＋y 22＝2a 2．…④消去y 1，y 2，得x 2＋λx 1＝a (1＋λ)，…⑤ 由①，⑤得x 1＝3－λ2a ，x 2＝3λ－12λa ．因为－2a ≤x 1，x 2≤2a ，所以－2a ≤3－λ2a ≤2a ，－2a ≤3λ－12λa ≤2a ，且λ＞0 解得3－22≤λ≤3＋22． 又Q ，R 不重合，所以λ≠1．故λ的取值范围为[3－22，1）∪（1，3＋22]． ②存在符合题意的点T （a ，0），证明如下： →TS ＝(x 2－a ，－y 2)，→TQ ＝(x 1－a ，y 1)，要证明S ，T ，Q 三点共线，只要证明→TQ ∥→TS ，即(x 2－a ) y 1－(x 1－a )(－y 2)＝0 因为y 2＝λy 1．又只要(x 2－a ) y 1＋λ(x 1－a )y 1＝0， 若y 1＝0，则y 2＝0，成立，若y 1≠0，只要x 2＋λx 1－a (1＋λ)＝0，由⑤知，此式成立． 所以存在点T （a ，0），使S ，T ，Q 三点共线．探究方法：假设存在符合题意的点T （m ，0）．则→TS ＝(x 2－m ，－y 2)，→TQ ＝(x 1－m ，y 1)，由S ，T ，Q 三点共线，得→TQ ∥→TS ， 从而(x 2－m ) y 1＝－y 2(x 1－m )，即(x 2－m ) y 1＋λy 1(x 1－m )＝0， 若y 1＝0，则y 2＝0，成立，若y 1≠0，则(x 2－m )＋λ(x 1－m )＝0，即x 2＋λx 1－m (1＋λ)＝0，又x 2＋λx 1＝a (1＋λ)，所以(a －m )(1＋λ)＝0，因为A 在圆C 之外，所以λ＞0，所以m ＝a ．6．(1)∵S n = ta n+1，∴S 1= a 1 =ta 2＝1，∴t ≠0. ∴S n = t (S n+1－S n ) ，∴S n+1=t+1t S n ， ∴当t=－1时，S n+1＝0，S 1= a 1＝1，当t ≠－1时，{S n }为等比数列，S n =(t+1t )n-1，综上 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n =1，(t+1t)n-1 n ≥2．(2)∵T n ＝a 1+ 2a 2+3a 3+……+na n . (1)∴T 1=1n ≥2时，又由(1)知a n+1＝t+1t a n ，a 2＝1t∴t+1t T n ＝t+1t a 1+ 2a 3+3a 4+……+(n-1)a n +na n +1 (2) (1)-(2)得－ 1t T n ＝－1t +2a 2+a 3+……+a n － na n +1＝－1t －a 1+a 2+(a 1+a 2+a 3+……+a n )－na n +1＝－1+S n － n (S n+1－S n )=－1+S n － n t S n＝t －n t S n －1＝t －n t (t+1t )n-1－1∴T n ＝(n －t )(t+1t )n-1+t当t ≠－1时，T 1=1也适合上式，故T n ＝(n －t )(t+1t )n-1+t (n ∈N +). 当t=－1时，T 1=1，T n+1＝－1. 解毕.也可综合为：T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n =1，(n －t )(t+1t )n-1+t n ≥2．另解：先求出a n 再求S n分t=－1和t ≠－1情形，再综合a n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n =1，1t n ≥2，1t (t+1t )n-2n ≥3．再回到S n 和T n。

福州2013年高考数学二轮复习专题训练：立体几何本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的是( )A ．①②B ． ①C ．③④D ． ①②③④【答案】B2．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，现用基向量,,OA OB OC 表示向量，设OG xOA yOB zOC =++，则x 、y 、z 的值分别是( )A ． x ＝31，y ＝31，z ＝31B ． x ＝31，y ＝31，z ＝61C ． x ＝31，y ＝61，z ＝31D ． x ＝61，y ＝31，z ＝31【答案】D3．在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为( )A ．()R 26-B ．()R 12-C ．R 41D ．R 31【答案】A4．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中E 、F 分别为棱DD 1、BB 1上的动点，且BF=D 1E ，设EF 与AB 所成角为α，EF 与BC 所成的角为β，则βα+的最小值为( )A ．︒45B ．︒60C ．︒90D ．无法确定【答案】C5．若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积是( )A ．πB ．πC ．πD ．π【答案】C6．有下列命题：①有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行, 其 余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④ 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。

2013高考数学二轮复习精品资料专题03 数列教学案（教师版） 【知识网络构建】【重点知识整合】 一、等差数列与等比数列 1．S n 与a n 的关系在数列{a n }中，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，从而a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列性质如果数列{a n }是公差为d 的等差数列，则 (1)a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －12d ＝n a 1＋a n 2.(2)对正整数m ，n ，p ，q ，a m ＋a n ＝a p ＋a q ⇔m ＋n ＝p ＋q ，a m ＋a n ＝2a p ⇔m ＋n ＝2p .3．等比数列性质如果数列{a n }是公比为q 的等比数列，则(1)a n ＝a 1q n －1，S n ＝⎩⎨⎧a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.(2)对正整数m ，n ，p ，q ，a m a n ＝a p a q ⇔m ＋n ＝p ＋q ，a m a n ＝a 2p ⇔m ＋n ＝2p . 4．等差、等比数列S n 的性质若等差数列的前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…为等差数列；等比数列的前n 项和为S n ，则在公比不等于－1时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列．5．等差、等比数列单调性等差数列的单调性由公差d 的范围确定，等比数列的单调性由首项和公比的范围确定．二、数列求和及数列应用 1．常用公式等差数列的前n 项和，等比数列的前n 项和， 1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，12＋22＋32＋…＋n 2＝n n ＋12n ＋16，13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122.3．数学求和的基本方法公式法、分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法． 4．数列的应用等差数列模型、等比数列模型、递推数列模型． 【高频考点突破】考点一 等差数列和等比数列的基本运算例1、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ·已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n · 解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎨⎧ a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎨⎧a 1＝3，q ＝2，或⎩⎨⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3时，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n －1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1.【变式探究】S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6， a 4＝1，则a 5＝________.考点二 等差、等比数列的判定和证明数列{a n }是等差或等比数列的证明方法： (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为常数； ②利用中项性质，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； ②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)．例2、已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝m ，a n ＋1＝λa n ＋n ，b n ＝a n －2n 3＋49.(1)当m ＝1时，求证：对于任意的实数λ，数列{a n }一定不是等差数列； (2)当λ＝－12时，试判断数列{b n }是否为等比数列．(2)当λ＝－12时，a n ＋1＝－12a n ＋n ，b n ＝a n －2n 3＋49.b n ＋1＝a n ＋1－2n ＋13＋49考点三 等差、等比数列的性质例3、等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >|a 1|”是“S n 的最小值为S 1，且S n 无最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点四数列求和数列求和的方法技巧：(1)转化法：有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法：这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}，{b n}分别是等差数列和等比数列．(3)裂项相消法：利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．例4、等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前2n项和S2n·【变式探究】等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n，求数列{1bn}的前n项和．解：(1)设数列{a n}的公比为q.由a23＝9a2a6得a23＝9a24，所以q2＝1 9 .由条件可知q＞0，故q＝1 3 .考点五数列与函数、不等式例5、设b＞0，数列{a n}满足a1＝b，a n＝nban－1an－1＋n－1(n≥2)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2a n≤b n＋1＋1.②当b≠1时，c n＋11－b＝1b(c n－1＋11－b)，且c1＋11－b＝1b＋11－b＝1b1－b，{c n＋11－b}是首项为1b1－b，公比为1b的等比数列，∴c n＋11－b＝1b1－b·(1b)n－1，由nan＋11－b＝11－b b n得a n＝n1－b b n1－b n，∴a n＝⎩⎨⎧1， b ＝1n 1－b b n1－bn，b ≠1.【难点探究】难点一 等差数列的通项、求和的性质例1、(1)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110(2)设数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 5，a 13成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n3 C.n 22＋3n4D ．n 2＋n【点评】 在等差数列问题中其最基本的量是其首项和公差，在解题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也就随之解决了，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用．难点二 等比数列的通项、求和的性质例2 (1)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15(2)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 1·a 2·…·a 9＝________.【点评】 等比数列中有关系式a na m＝q n －m (m ，n ∈N *)，其中q 为公比，这个关系式可以看做推广的等比数列的通项公式，即a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N *)，当m ＝1时就是等比数列的通项公式．难点三 等差、等比数列的综合问题例3 、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋54是等比数列．【分析】 (1)由条件可以先求得数列{b n }的第三项，进而借助等比数列的通项公式求出b n ，(2)充分结合等比数列的定义不难证明．【解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15.解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2. 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n 1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．难点四 数列求和及其应用例4、在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .【点评】本题考查等比数列的性质、三角函数等知识．本题两问中的方法都是值得注意的，在第一问中采用的是倒序相乘法，这类似数列求和中的倒序相加法；第二问采用的裂项相消法和两角差的正切公式结合在一起，这在近年来的高考试题中是不多见的，这与我们平时见到的裂项相消法有较大的不同，但基本思想是把不能使用公式直接求和的问题转化为可以逐项相消的问题，基本思想就是裂项．难点五数列应用题的解法例5、某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2010年1月的产值都为a万元，甲企业每个月的产值比前一个月的产值增加的数值相等，乙企业每个月的产值比前一个月的产值增加的百分数相等，到2011年1月两个企业的产值又相等．(1)到2010年7月，试比较甲、乙两个企业的产值的大小，并说明理由；(2)甲企业为了提高产能，决定用3.2万元买一台仪器．从2011年2月1日投放使用，从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为n＋4910元(n∈N*)，求前n天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最小时使用了多少天？(2)设一共用了n 天，则n 天的平均耗资为P (n )，则P (n )＝3.2×104＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n ＋4910n2n＝3.2×104n＋n 20＋9.92， 当且仅当3.2×104n＝n 20时P (n )取得最小值，此时n ＝800，故日平均耗资最小时使用了800天．【点评】 本题考查等比数列模型、等差数列模型的实际应用，并与基本不等式进行交汇．数列在实际问题中有着极为广泛的应用，数列的应用问题在高考中虽然不是主流，但并不排除在高考中考查数列实际应用问题的可能。

高三数学寒假作业(二十一)统计、统计案例一、选择题1.(2012·济南模拟)在样本的频率分布直方图中，一共有m(m ≥3)个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m-1个小矩形面积和的14,且样本容量为100,则第3组的频数是( )(A)10 (B)25 (C)20 (D)402.某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a 即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a 的估计值是( )(A)130 (B)140 (C)134 (D)1373.通过随机询问100名性别不同的大学生 是否爱好踢毽子运动，得到如下的列联表：附表：随机变量()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，经计算，统计量K 2的观测值k ≈4.762，参照附表，得到的正确结论是( )(A)在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” (B)在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” (C)在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“爱好该项运动与性别有关” (D)在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“爱好该项运动与性别无关” 4.设(x1,y 1)，(x 2,y 2),…,(x n ,y n )是变量x 和y 的n 个样本点， 直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线 (如图)，以下结论中正确的是 ( ) (A)x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 (B)x 和y 的相关系数在0到l 之间(C)当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 (D)直线l 过点(x ,y )5.已知茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )(A)25 (B)710(C)45(D)9106.(2012·江西高考)样本(x1,x2,…,x n)的平均数为x,样本(y1,y2,…,y m)的平均数为y(x y)≠.若样本(x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y m)的平均数z x(1)y=α+-α，其中0＜α＜12，则n,m的大小关系为( )(A)n＜m (B)n＞m (C)n=m (D)不能确定二、填空题7.(2012·广东高考)由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________(从小到大排列).8.为了解某校高三学生身体状况，用分层抽样的方法抽取部分男生和女生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组频率之比为1∶2∶3，第二小组频数为12，若全校男、女生比例为3∶2，则全校抽取学生数为____________.9.(2012·烟台模拟)如图是一组数据的频率分布直方图，则这组数据的平均数为_________.三、解答题10.有A，B，C，D，E五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据如下：(1)现要从A，B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适?请说明理由；(2)若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A，B两人中至少有一人参加技能竞赛的概率．11.我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准，用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费).为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位:吨)，制作了频率分布直方图.(1)由于某种原因，频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(2)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨，请说明理由；(3)从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的平均数(同一组中的数据用该区间的中点值代表).12.(2012·德州模拟)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为23.(1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程);(2)你是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由.(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X,求X的分布列与期望.下面的临界值表供参考:(参考公式：()211221221211122122 1212n n n n n,n n n n n n n n n++++-χ==+++其中)高三数学寒假作业(二十一)1.C.2. C.3. A.4. D.5. C.6. A.7. 1,1,3,38.809.10.32 10.【解析】(1)派B 参加比较合适.理由如下：A 1x 8=×(75+80+80+83+85+90+92+95)=85，B 1x 8=×(78+79+81+82+84+88+93+95)=85，s B 2＝18×［(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+ (95-85)2］=35.5, s A 2＝18×［(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+ (95-85)2］=41.∵A B x x =,s B 2＜s A 2,∴B 的成绩较稳定，派B 参加比较合适.(2)任派两个有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)共10种情况；A,B 两人都不参加有(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)3种情况．A ，B 两人中至少有一人参加的对立事件是A ，B 两人都不参加，所以P=1-371010=.11.解： (1)(2)月均用水量的最低标准应定为 2.5吨.样本中月均用水量不低于 2.5吨的居民有20位，占样本总 体的20%，由样本估计总体，要保 证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨. (3)这100位居民的月均用水量的平均数为1357911130.5(0.100.200.300.400.600.300.10) 1.8754444444⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= (吨).12.解：(1)列联表补充如下：(2)由2248(2210106)X 4.28632162820⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,∵4.286＞3.841.∴有95%的把握认为喜爱打篮球与 性别有关.(3)喜爱打篮球的女生人数X 的可能取值为0,1,2. 其概率分别为P(X=0)=21010220938C C C=, P(X=1)=1110102201019C C C=,P(X=2)=201010220938C CC=. 故X的分布列为：所以，E(X)=9109012381938⨯+⨯+⨯ =1.。

高三二轮复习专题加强版练习数列一、选择题1．已知为{}na 等比数列，S n 是它的前n 项和。

若35114a aa =35114a a a = ，且a 4与a 7的等差中项为98，则5S 的值（ ）A ．35B ．33C ．31D ．292．设nS 是公差不为0的等差数列{}na 的前n 项和，且421,,S S S 成等比数列,等于（ ）A 、4B 、6C 、8D 、10 3．已知等差数列{}na 中15,652==a a，若n n a b 2=，则数列{}n b 的前5项和等于（ ）A ．186B ．90C ．45D ．304．已知等比数列}{na 的公比为正数,且39a a =252a ,2a =1，则1a = ( )A 。

12B D 。

25．（文科)若{}na 为等差数列，nS 是其前n 项的和，且π32211=S ,则6tan a =（ ）B 。

C.D.6．在各项都为正数的等比数列{}na 中，首项31=a,前三项和为21，则543a a a ++=（)A ．33B ．72C ．84D ．1897．在∆ABC 中，c b a ,,为C B A ∠∠∠,,的对边，且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ,则（ ）A ．c b a ,,成等差数列B ．b c a ,,成等差数列C ．b c a ,,成等比数列D ．c b a ,,成等比数列 8．已知数列1-，1a ,2a ,4-成等差数列,1-，1b ，2b ，3b ，4-成等比数列，则212b a a-的值为( ）A ．21 B ．12- C ．21或12- D ．419．等差数列}{na 中，已知前15项的和9015=S，则8a 等于（ ）A ．245 B ．12 C ．445 D ．610．数列{}na 满足321+=+n n a a ,其中294=a , 则这个数列的首项是（ ）A.1 B 。

2 C.3 D 。

411．在函数)(x f y =的图象上有点列（x n ，y n )，若数列{x n ｝是等差数列,数列{y n }是等比数 列，则函数)(x f y =的解析式可能为 A ．12)(+=x x f B ．24)(x x f =C ．x x f 3log )(= D ．xx f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=43)(12．（满分6分)设x R ∈,记不超过x 的最大整数为[]x ，如[]2.52=,[]2.53-=-，令{}[]x x x =-，则12⎫⎪⎬⎪⎪⎩⎭,12⎤⎥⎣⎦,12，三个数构成的数列（ )A 。

江苏省2013届高三数学二轮专题训练：解答题（22）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．已知11(,sin )22a x x =+，(1,)b y =，且a // b ．设函数()y f x =．（1）求函数()y f x =的解析式．（2）若在锐角ABC ∆中，()3f A π-=BC =，求ABC ∆周长的最大值．2.已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ． （1）求函数g (x )的解析式；（2）解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；（3)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．3. 已知数列{a n }的首项12,a =且对任意的*n N ∈都有1n n a ba c +=+成立，其中,b c 是常数。

（1）若数列{a n }等差数列，且=2c ，求数列{a n }的通项公式。

（2）若数列{a n }等比数列，1,b <且当从数列{a n }中任取相邻．．的三项，按某种顺序重新排列后成等差数列，求使数列{a n }的前n 项和是341256n S <的n 的取值集合。

4.某隧道长2150m ，通过隧道的车速不能超过20m/s 。

一列有55辆车身长都为10m 的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为40m/s ），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s ，根据安全和车流的需要，当100≤<x 时，相邻两车之间保持20m 的距离；当0210≤<x 时，相邻两车之间保持)31612x x +（m 的距离。

自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为)(s y 。

（1）将y 表示为x 的函数。

（2）求y 的最小值及此时车队的速度。

5. 已知d cx bx x x f +++=23)(()x R ∈（在)0,(-∞上是增函数，在[]2,0上是减函数，且方程0)(=x f 有三个根，它们分别为α，2，β.(1)求c 的值；(2)求证：2)1(≥f ；（3)求βα-的取值范围.6. 已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a ，其中a ，b 都是大于1的正整数．．．，且1123,a b b a <<． 求（1）求a 的值； （2）若对于任意的n +∈N ，总存在m +∈N ，使得3m n a b +=成立，求b 的值； （3）令1n n n C a b +=+，问数列{}n C 中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．1．解：(1) 因为a // b，所以11sin 22y x x =+， ………3分 所以()2sin()3f x x π=+ ………6分(2)∵()2sin()2sin 333f A A A πππ-=-+==∴sin A =．∵(0,)2A π∈，∴3A π=． ………8分又BC =，解法一：由正弦定理知，2sin BC R A =得22R ==，∴2sin AC B =，2sin AB C =，∴ABC ∆22sin 2sin 2sin 2sin()3B C B B π+=++- ………10分12sin sin )2B B B =++)6B π=+． ………12分 ∵022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62B ππ<<，则2363B πππ<+<，所以sin()16B π+≤，∴ABC ∆周长的最大值为 ………14分解法二：由余弦定理知，2222cos a b c bc A =+-，23()3b c bc =+-， ………10分22()3()334b c bc b c +=+-≤⋅，2()12b c +≤， ………13分∴b c +≤a b c a ++≤+，∴ABC ∆周长的最大值为 ………14分2.设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故……………………5分(或利用奇函数关于原点对称求解，参照给分） (Ⅱ)由()()21210g x f x x x x ≥----≤， 可得当1x ≥时，2210x x -+≤，此时不等式无解 当1x <时，2210x x +-≤，解得112x -≤≤因此，原不等式的解集为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦………………………………………………10分（Ⅲ）(文20)()()()21211h x x x λλ=-++-+①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数，1λ∴=- ②11.1x λλλ-≠-=+当时，对称轴的方程为 ⅰ）111, 1.1λλλλ-<-≤-<-+当时,解得 ⅱ）111,10.1λλλλ->-≥--<≤+当时,解得 0.λ≤综上，……………………………………18、（1）解：当100≤<x 时，xx y 3780)155(2055102150=-⨯+⨯+=当2010≤<x 时，xx x y )155()3161(551021502-⨯++⨯+=1892700++=x x所以，⎪⎩⎪⎨⎧≤<++≤<=)2010(1892700)100(3780x x xx x y（1） 当]10,0(∈x 时，在10=x 时，)(378103780min s y ==当]20,10(∈x 时，318018270092181892700+=⋅⨯+≥++=xx x x y )(4.329s ≈ 当且仅当xx 27009=，即：)/(3.17s m x ≈时取等号。

2。

1—2。

2课后练习1、从集合A 到B 的映射中,下列说法正确的是（A ）B 中某一元素b 的原象可能不只一个 （B)A 中某一元素a 的象可能不只一个（C) A 中两个不同元素的象必不相同 （D)B 中两个不同元素的原象可能相同2已知集合A={}40≤≤x x ， B={}20≤≤y y ，下列从A 到B 的对应f 不是映射的是(A)x y x f 21:=→ （B ）x y x f 31:=→ （C ）x y x f 32:=→ (D ） 281:x y x f =→ 3、下列四组中的),(),(x g x f 表示同一个函数的是(A ）0)(,1)(x x g x f == （B ） 1)(,1)(2-=-=xx x g x x f (C ） 42)()(,)(x x g x x f == (D) 393)(,)(x x g x x f ==4。

设A 、B 都是自然数集N,映射f ：A →B 把集合A 的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 （A ）2（B ）3（C ）4（D)55、给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)4(),1()4(,)21()(x x f x x f x ，则=)3(log 2f （A ）823- (B) 111 （C) 191 (D ） 2411下列各函数解析式中，满足)(21)1(x f x f =+的是（A)2x （B ）21+x （C x -2D ）x 21log2已知32)121(+=-x x f ，且 6)(=m f ，则m 等于(A 41- （B)41 C)23(D ）23- 3、若2)(,2)(x x x x e e x g e e x f --+=-=,则)2(x f 等于 (A) )(2x f （B ） )]()([2x g x f +（C ） )(2x g (D ）)()(2x g x f ⋅4。

函数()log (1)x a f x a x =++在[0，1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为(A ）41 （B ）21 （C ）2 (D ）4 5.设f (x ）＝｜x －1|－|x ｜,则f [f （21)］＝( )(A ） －21 (B)0 (C ）21 (D) 1 6设函数11)(+=x x f 的图象为1C ,若函数)(x g 的图象2C 与1C 关于x 轴对称，则)(x g 的解析式为________________.。

4、1 课后测试1. 已知正方形ABCD 的边长为1,AB = a ,=c ,则|a +b +c |=( ) C. 2 D. 222. 设四边形ABCD ，有DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则此四边形是( ) A. 等腰梯形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 长方形3. 设a ，b 是任意的两个向量，λ∈R ，给出下面四个结论：①若a 与b 共线，则b ＝λa ;②若b ＝-λa ,则a 与b 共线; ③若a ＝λb ,则a 与b 共线;④当b ≠0时, a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1,使得a ＝λ1b .其中正确的结论有( ) A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③④4. (2011·广州模拟）已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA |=|OB |=|OC |，NA +NB +NC =0,则点O ，N 依次是△ABC 的（ ）A. 重心 外心B. 重心 内心C. 外心 重心D. 外心 内心5. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC +BA =2BP ,则( )A. P 、A 、B 三点共线B. P 、A 、C 三点共线C. P 、B 、C 三点共线D. 以上均不正确6. (2011·东莞模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中心，且AB = a ,AD =b 则BE =( ) A. b -12a B. b +12a C. a +12b D. a-12b7. 设x 为未知向量，a 、b 为已知向量，解方程2x -(5a +3x -4b )+12a -3b =0 得x =___________a +b8. 设1e ,2e 是不共线的向量,已知向量AB =21e +k 2e ,CB =1e +32e ,CD =21e -2e , 若A,B,D 三点共线,则实数k 的值为. ___________-89. 在△ABC 所在的平面上有一点P ，满足PA +PB +PC =AB ,则△PBC 与△ABC 的面积之比是___________. 解：由PA +PB +PC =AB ,得PA +PB +BA +PC =0,得PC =-2AP ,PBC ABC S S =10. (2010·全国改编)△ABC 中，上，CD 平分∠ACB,若 CB =a ,CA =b ,|a|=1,| b |=2,则CD =___________a +1b 11. (创新题)如图所示,点E 、F ABCD 的对角线AC 、BD 的中点,设DA =a , BC =b ,试用a 、b 表示EF .在△ABC 中,EP 是与BC 平行的中位线∴11PE BC a ==.∴112PF AD b ==-. , EF =11EP PF PE PF a b +=-+=-- 1a b =-+（）4、2课后测试1. 若向量a =（1，1），b =（-1,0），c =（6，4），则c =( ) A. 4a -2b B. 4a +2b C. -2 a +4b D. 2 a +4b2. 若平面向量a ，b 满足|a +b |=1, a +b 平行于x 轴，b =(2,-1)，则a =( ) A. (-1,1) B. (-3,1) C. (-1,1)或(-3,1) D. (1,-1)或(-3,1)3. （2011·东莞模拟）已知向量a =(1,1), b =(2,x),若a +b 与4b -2a 平行，则实数x 的值是( )A. -2B. 0C. 1D. 24. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |=|b |=|c |，a +b =c ,则〈a ,b 〉=( ) A. 150° B.120° C. 60° D.30°5. (2011·天津模拟)如图所示，向量OA ,OB ,OC 的终点A,B,C 在一条直线上且AC =-3CB ,设OA =p , OB =q , OC =r ,则下列等式成立的是( )A. r =-p +2qB. r =32p -12qC. r =-1p +3qD. r =2p +q 6. 下列各组向量中，能作为基底的组数为( )①a =(-1,2), b =(5,7);②a =(2,-3), b =(4,-6);③a =(2,-3), b =12,-34. A. 0 B. 1 C. 2 D. 37. 在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)， B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________.(0,-2)8. 设1e 、2e 是平面内一组基向量，且a ＝1e ＋22e ，b ＝1e ＋2e ，则向量1e ＋2e 可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即1e ＋2e ＝___________a ＋___________b .2 -19. （2011·厦门模拟）如图所示的平行四边形ABCD 中，点M 是AB的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD ，若AB =a ,AD =b , 试用向量a ,b 表示MN 为___________a +13b 10. 已知向量a =(sin θ,cos θ -2sin θ),b =(1,2),若a ∥b ,则2sin 3cos sin 2cos θθθθ-+的值为11. (2011·徐州模拟)已知A,B,C,D 四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2), 证明：∵AB =(4,3)-(1,0)=(3,3),CD =(0,2)-(2,4)=(-2,-2),∴AB =-32CD . ∴AB ∥CD 且|AB |≠|CD |，即12. △ABC 的三内角A, B,C 所对边的长分别为a,b,c,设向量p =(a+c,b), q =(b-a,c-a),若p∥q ,求角C 的大小. 解：∵p ∥q ,∴(a+c)(c-a)=b(b-a),4、3课后测试 1.（2011·南京模拟）已知向量a =(1,2)，b =(2,-3). 若向量c 满足(c +a )∥b ，c ⊥(a +b )，则c = ( ) A. (79,73) B. (-73,79) C. (73,79 2. （2010·湖南） 若非零向量a ，b 满足|a |=|b |，(2a +b )·b =0,则a 与b 的夹角为( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°3. 已知下列命题中： （1）若k ∈R ，且k b =0，则k=0或b =0;（2）若a ·b =0，则a =0或b =0;（3）若不平行的两个非零向量a ,b ，满足|a |=|b |，则(a +b )·(a -b )=0;（4）若a 与b 平行，则a ·b =|a |·|b |.其中真命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 34. 定义运算|a ⊗b |=|a |·|b |·sin θ,其中θ是向量a , b 的夹角，若|x |=2,|y |=5，x ·y =-6,则|x ⊗y |=（ ） A. 8 B. -8 C. 8或-8 D. 6 5. （2010·河北衡水中学仿真试卷）已知向量a =(1,1), b =(2,n)，若|a +b |=a ·b ,则n 为 ( ) A. -3 B. -1 C. 1 D. 36. 已知a =(2,1)与b =(1,2)，要使|a +t b |最小，则实数t 的值为___________57. （2010·浙江）已知平面向量α,β,|α|=1,| β|=2, α⊥(α-2β)，则|2α+β|的值是___________8. 已知i 、j 为互相垂直的单位向量, a =i -2j j ，b =i +λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是___________9. 已知向量a ＝(sin θ ，1)，b ＝(1，cos θ)，-2π＜θ＜2π. （1）若a ⊥b ，则θ=___________; （2）｜a ＋b ｜的最大值为. ___________ :(1) a ⊥b ⇒a ·b =0sin θ(2)| a +b |=|(sin θ+1, cos 2sin (2sin θ=|a +b |有最大值，最大值为10. (2011·大连模拟)已知a ,b ,c 是单位向量，且a ·b =0,求(a -c )·(b -c )的最小值. A=(a -c )·(b -c ),则A=a ·b -c (a +b )+2c .∵a ,b ,c 为单位向量，∴|a |=|b |=|c |=1,又a ·b =0,∴a ⊥b . |a +b |=2.∴A=1-c ·(a +b )=1-|c |·|a +b |cos 〈c , a +b 〉=1-2〈c , a +b 〉.∵〈c , a +b 〉∈ [0,π∴当〈c , a +b 〉=0时，A min =1-2.11.（2010江苏改）在直角坐标系xOy 中，已知点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；t 满足(AB -t OC 2）由题设知AB =(3,5), AC =(-1,1),则|AB +AC |=(2,6),AB-AC=(4,4).|AB +AC |=2,|AB -AC |=4故所求的两条对角线的长分别为42, 2由题设知：OC =(-2,-1), AB -t OC =(3+2t,5+t).(AB -t OC )·OC ＜t 2-5,+5t+6＞0,-3或t ＞-2.4.4课后测试一、选择题1. 若A （2，-1），B （-1，3），则的坐标是( )A.（1，2）B.（-3，4）C. （3，-4）D. 以上都不对2.与a=（4，5）垂直的向量是( )A.（-5k,4k ）B. (-10，2） D.（5k, -4k ）3. △ABC 中,=a, =b,则等于( )A.a+bB. -(a+b)C.a -bD.b -a4.化简52(a －b)－31(2a+4b)+152(2a+13b)的结果是( ) A.51a ±51b B.0 C. 51a+51b D. 51a －51b 5.已知|p|=22,|q|=3, p 与q 的夹角为4π,则以a=5p+2q,b=p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为( ) A.15 B.15 C. 16 D.14 6.已知A(2,-2),B(4,3),向量p 的坐标为(2k -∥,则k 的值为( )A.109-B.109C.1019- 7. 已知△ABC 的三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与△ABC 的关系是 ( )A. P 在△ABC 的内部B. P 在△ABC 的外部C. P 是AB 边上的一个三等分点D. P 是AC 边上的一个三等分点8.已知△ABC 的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M 是BC 边上一点,且△ABM 的面积是△ABC面积的41,则线段AM 的长度是( ) A.5 C.25 9.设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a=e 1则|a+b|的值 ( )A.23B.9C.2918+10.若⊥a,则a 与b 的夹角为( )A.300 C.600 D.75011.把一个函数的图象按向量a=(3π,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y=sin(x+6π)-2,则原函数的解析式为( ) A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx12.在△ABC 中，AB =c, BC = a, CA =b,则下列推导中错误的是 ( )A.若a·b<0,则△ABC 为钝角三角形B. 若a·b=0,则△ABC 为直角三角形C. 若a·b=b·c,则△ABC 为等腰三角形D. 若c·( a+b+c)=0,则△ABC 为等腰三角形二、填空题13.在△ABC ,4==且,8=⋅AC AB 14.一艘船从A 点出发以h km /32h km /2，15. 若向量)4,7(),1,2(),2,3(-=-=-=c b a 16.给出下列命题:①若a 2+b 2=0,则②已知A ),,(11y x B ),(22y x ,则);2,2(212121y y x x ++= ③已知a,b,c 是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c| ④已知0,021>>λλ,e 1,e 2是一组基底,a=λ1e 1+λ2e 2则a 与e 不共线,a 与e 2也不共线;⑤若a 与b 共线,则a·b=|a|·|b|.三、解答题17.如图,ABCD 是一个梯形,//=, M 、N 分别是,的中点,已知=a,=b,M D C试用a、b表示,DC BC和.MN18.设两个非零向量e1、e2不共线.如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2)⑴求证:A、B、D共线;⑵试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.解：⑴∵BD BC CD=+=5e1+5e2=AB5, ∴BDAB//又有公共点B,∴A、B、D共线⑵设存在实数λ使ke1+e2=λ(e1+ke2) ∴k=λ且kλ=1 ∴k=1±19.已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D与向量的20.已知△ABC的三个顶点为A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB边上的中线CM的长;⑵在AB上取一点求P点的坐标.）2 APQBPQCSAP AB S∆=∴=,3(32)2-=。

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专题一函数与导数【知识络构建】【高频考点突破】考点一、函数及其表示函数的三要素：定义域、值域、对应关系.两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．1．求函数定义域的类型和相应方法（1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组)即可．（2）对于复合函数求定义域问题，若已知f(x）的定义域[a，b]，其复合函数f(g（x））的定义域应由不等式a≤g(x）≤b解出．(3）实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．2．求f（g(x)）类型的函数值应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值、图像、解不等式等问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性.例1、函数f（x）＝错误!＋lg（1＋x）的定义域是( C ）A．（－∞，－1）B．(1,＋∞) C．（－1,1）∪（1，＋∞) D．（－∞，＋∞）考点二、函数的图像作函数图像有两种基本方法：一是描点法；二是图像变换法，其中图像变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．例2、函数y＝错误!－2sin x的图像大致是 ( C ）【变式探究】函数y＝x ln（－x)与y＝x ln x的图像关于 ( D ）A．直线y＝x对称B．x轴对称C．y轴对称D．原点对称考点三、函数的性质1．单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判定函数的单调性常用定义法、图像法及导数法．对于选择题和填空题,也可用一些命题，如两个增(减)函数的和函数仍为增(减)函数等．2．函数的奇偶性反映了函数图像的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半）区间上，是简化问题的一种途径．例3、对于函数f（x）＝asinx＋bx＋c（其中,a，b∈R，c∈Z），选取a,b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是（ D ) A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2考点四二次函数的图像与性质：（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0）的图像是抛物线①过定点(0,c）；②对称轴为x＝－错误!，顶点坐标为（－错误!，错误!)．（2)当a＞0时，图像开口向上，在（－∞，－错误!]上单调递减，在［－错误!，＋∞）上单调递增，有最小值错误!；例 4、已知函数f(x）＝x2＋2ax＋2，x∈［－5，5］．(1)当a＝－1时，求函数f(x）的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－5，5]上是单调函数．解：(1）当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝（x－1)2＋1，x∈［－5,5］，∴x＝1时，f(x）取得最小值1；x＝－5时，f（x)取得最大值37。

目录专题01 函数的性质及应用(Ⅰ) (1)专题02 函数的性质及应用(Ⅱ) (9)专题03 导数(Ⅰ) (21)专题04 导数(Ⅱ) (32)专题05 函数的综合应用 (42)专题06 三角函数的图象与性质 (53)专题07 三角恒等变换与解三角形 (61)专题08 向量与复数 (68)专题09 数列(Ⅰ) (75)专题10 数列(Ⅱ) (82)专题11 不等式与推理证明 (89)专题12 空间平行与垂直 (97)专题13 直线与圆 (105)专题14 圆锥曲线 (112)专题15 解析几何中的综合问题 (122)专题16 附加题 (132)专题17 附加题 (136)专题18 附加题 (144)专题1函数的性质及应用(Ⅰ)回顾2008～2012年的高考题，在填空题中主要考查了函数的基本性质(单调性、奇偶性)以及导数的几何意义，即切线问题，基础题、中档题、难题都有涉及.在解答题中，有关函数模型的应用题的考查在2009年和2011年都有涉及，在压轴题中2008年和2009年考查了函数的基本性质，在2010年、2011年和2012年考查了用导数研究函数的性质，在这些问题的考查中都有涉及数学思想方法的考查.值得注意的是在2008～2012年的高考题中没有单独考查：指数和对数的运算、幂函数、函数与方程、导数的概念.这些考试说明中出现的知识要点在复习时要兼顾.预测在2013年的高考题中：(1)填空题依然是对函数的性质、函数的值域和函数图象的运用的相关考查，难度不一.(2)在解答题中，函数模型的实际运用依然会是考查热点，函数综合性质的考查依然是考查的难点，数形结合思想和分类讨论思想是考查的重点.真题再现1．(2009·江苏高考)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为___ 解析：a ＝5－12∈(0,1)，函数f (x )＝a x 在R 上递减．由f (m )>f (n )得m <n .答案：m <n 2．(2010·江苏高考)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为_____解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.答案：－13．(2010·江苏高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是____答案：(－1，2－1) 解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，2x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞2x ，2x ≥0，解得－1＜x ＜0或0≤x ＜2－1，∴x 的取值范围为(－1，2－1)．4．(2011·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为___解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意．综上所述，a ＝－34.答案：－345．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：由题意f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24.因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a24＝0，即a 2＝4b .因为x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a 24－c ，解得c ＝9.答案：9 典例精析：1．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域是[m ，n ](m ≠n )，求实数a 的取值范围．析：(1)当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x . 则f ′(x )＝1x2>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，即a <2x ＋1x 在(1，＋∞)上恒成立．设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2＝2x 2－1x2.又x >1，∴h ′(x )>0. ∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．∴h (x )>h (1)＝3，故a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]． (3)∵f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，∴mn >0.当n >m >0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴m ＝f (m )，n ＝f (n )． 故x 2－ax ＋1＝0有两个不相等的正根m ，n . ∴⎩⎪⎨⎪⎧－－a 2>0，Δ＝a 2－4>0，解得a >2. 当m <n <0时，可证f (x )＝a ＋1x在(－∞，0)上是减函数．∴m ＝f (n )，n ＝f (m )，即x ∈(0，＋∞)时，⎩⎨⎧a ＋1m ＝n ， ①a ＋1n ＝m ， ②①－②得1m －1n ＝n －m ，∴n －m mn＝n －m ，而m ≠n ，故mn ＝1，代入①，得a ＝0.综上所述，a 的取值范围为{0}∪(2，＋∞)．本题综合考查反比例函数、绝对值等内容，对等价转换的要求比较高，第一问很常规，可以通过定义法和导数法解决，入手比较简单；第二问方向发散，分离参数是较好的方法；第三问要求较高，既考查知识点的转化能力，又考查对方程组数据的处理能力，本问就凸显出两种处理方程组的方法：作差和转化成二次方程的根，而这正是这几年江苏高考的一大特色．借题发挥1 (2012·南通学科基地)函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[－b ，－a ]，那么y ＝f (x )叫做对称函数，现有f (x )＝2－x －k 是对称函数，求k 的取值范围．解：由于f (x )＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，所以⎩⎨⎧2－a －k ＝－a2－b －k ＝－b⇒关于x 的方程2－x －k ＝－x在(－∞，2]上有两个不同实根，且k －x ≥0在(－∞，2]上恒成立，通过换元结合图象可得k ∈⎣⎡⎭⎫2，94.2.(2012·苏州调研)已知函数f (x )＝|x －m |和函数g (x )＝x |x －m |＋m 2－7m .(1)若方程f (x )＝|m |在[4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；(2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f (x 1)>g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．解： (1)由题意可知，|x －m |＝|m |在[4，＋∞)上有两个不同的解，而方程|x －m |＝|m |在R 上的解集为x ＝0或x ＝2m ，所以2m ≥－4且2m ≠0.所以m 的取值范围为[－2,0)∪(0，＋∞)．(2)原命题等价于“f (x )的最小值大于g (x )的最大值”对任意x 1∈(－∞，4]，f (x 1)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，m ≤4，m －4，m >4.对任意x 2∈[3，＋∞)，g (x 2)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧m 2－10m ＋9，m <3，m 2－7m ，m ≥3.①当m <3时，0>m 2－10m ＋9，解得1<m <3； ②当3≤m ≤4时，0>m 2－7m ，解得3≤m ≤4； ③当m >4时，m －4>m 2－7m ，解得4<m <4＋2 3. 综上所述，m 的取值范围为()1，4＋23.本题综合考查一次函数、二次函数、绝对值符号等知识，对思维的要求很高，要理解“若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f (x 1)>g (x 2)成立”的意义，即f (x )的最小值大于g (x )的最大值．借题发挥2设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0，其中b >0，c ∈R .当且仅当x ＝－2时，函数f (x )取得最小值－2.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合． 解：(1)∵当且仅当x ＝－2时，函数f (x )取得最小值－2.∴二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b2＝－2.且有f (－2)＝(－2)2－2b ＋c ＝－2，即2b －c ＝6.∴b ＝4，c ＝2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0.(2)记方程①：2＝x ＋a (x >0)， 方程②：x 2＋4x ＋2＝x ＋a (x ≤0)． 分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根⇒a <2，方程①没有实数根⇒a ≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4(2－a )>02－a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >－14a ≤2⇒－14<a ≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根． ∴2－a <0或Δ＝0， 即a >2或a ＝－14.综上可知，当方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )有三个不相同的实数根时，－14<a <2；当方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－14或a ＝2.∴符合题意的实数a 取值的集合为⎣⎡⎦⎤－14，2.3.已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1(a 为实常数)．(1)若a ＝1，作函数f (x )的图象；(2)设f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式；(3)设h (x )＝f (x )x，若函数h (x )在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．解(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1，x <0，x 2－x ＋1，x ≥0.作图(如右图所示)． (2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数，g (a )＝f (2)＝－3. 若a ≠0，则f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12a 2＋2a －14a －1，f (x )图象的对称轴是直线x ＝12a . 当a <0时，f (x )在区间[1,2]上是减函数，g (a )＝f (2)＝6a －3.当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数，g (a )＝f (1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫12a ＝2a －14a －1. 当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上是减函数，g (a )＝f (2)＝6a －3.综上可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3， a <14，2a －14a －1， 14≤a ≤12，3a －2， a >12.(3)当x ∈[1,2]时，h (x )＝ax ＋2a －1x－1，在区间[1,2]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， 则h (x 2)－h (x 1)＝⎝⎛⎭⎫ax 2＋2a －1x 2－1－⎝⎛⎭⎫ax 1＋2a －1x 1－1＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫a －2a －1x 1x 2＝(x 2－x 1)·ax 1x 2－(2a －1)x 1x 2. 因为h (x )在区间[1,2]上是增函数，所以h (x 2)－h (x 1)>0.因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2－(2a －1)>0，即ax 1x 2>2a －1. 当a ＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a ＝0时结论成立． 当a >0时，x 1x 2>2a －1a ，由1<x 1x 2<4得，2a －1a≤1，解得0＜a ≤1.当a <0时，x 1x 2<2a －1a ，由1<x 1x 2<4得，2a －1a ≥4，解得－12≤a ＜0.所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，1. 本题主要考查二次函数的性质，结合绝对值考查分类讨论思想，第一问主要是画图；第二问二次函数属于轴动区间定的题型，主要考查分类讨论，细心一点即可完成；第三问比较发散，除了用定义法来解决还可以等价转化成h ′(x )≥0对于任意的x ∈[1,2]恒成立来解决．借题发挥3(2012·苏锡常镇调研)已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为________．解析：因为a ，b 为正实数，所以函数f (x )是单调递增的．所以f (1)＝a ＋b ＋2＝4得到a ＋b ＝2.所以f (x )在[－1,0]上的最小值为f (－1)＝－(a ＋b )＋12＝－32.答案：－32[专题技法归纳](1)解决函数问题重点是挖掘出函数性质，利用性质解题，特别是奇偶性和单调性． (2)研究单调区间问题时一定要注意在函数的定义域内进行．(3)研究函数最值问题时，要注意函数的定义域，特别是分段函数，要分别求出最值再比较． 经典训练：1．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 013)＝______解析：f (x )是周期函数，周期为6，f (2 013)＝f (3)＝－f (0)＝0.答案：02．已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝________.解析：若f (0)＝2得到t ＝±2，经检验t ＝±2都不成立；若f (1)＝2得到t ＝－3,1，经检验t ＝－3不成立；若f (3)＝2得到t ＝5,1，经检验t ＝5不成立．综上得t ＝1.答案：13．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －4)＝f (－x )．由f (x )为奇函数，得函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示．那么方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8. 4．已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)，(1)若a >0，则f (x )的定义域是________； (2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：(1)由3－ax ≥0得定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，3a . (2)当a >1时，y ＝3－ax 递减并且3－ax ≥0对于任意的x ∈(0,1]恒成立，求得a ∈(1,3]；当a <1时，y ＝3－ax 递增并且3－ax ≥0对于任意的x ∈(0,1]恒成立，得到a <0.综上得a <0或1<a ≤3.5．已知函数f (x )＝2x2x ＋1，则f (－5)＋f (－4)＋…＋f (4)＋f (5)＝________.解析：∵f (x )＋f (－x )＝1.∴f (－5)＋f (5)＝f (－4)＋f (4)＝f (－3)＋f (3)＝f (－2)＋f (2)＝f (－1)＋f (1)＝1. 又f (0)＝12，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (4)＋f (5)＝112.答案：1126．若函数y ＝3＋x 2ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12的最大值与最小值分别为M ，m ，则M ＋m ＝___解析：函数的图象关于(0,3)对称，并且具有中心对称的函数在对称区间上的最大值与最小值之和为对称中心纵坐标的2倍，故答案为6.答案：67．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99=解析：y ＝x n＋1的导函数为y ′＝(n ＋1)x n ⇒y ′| x ＝1＝n ＋1.∴切线是y －1＝(n ＋1)(x －1)．令y ＝0得切点的横坐标x n ＝n n ＋1.∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg (x 1x 2…x 99)＝lg ⎝⎛⎭⎫12·23·…·9899·99100＝lg 1100＝－2. 8．函数f (x )＝log 2x －1log 2x ＋1，若f (x 1)＋f (2x 2)＝1(其中x 1，x 2均大于2)，则f (x 1x 2)的最小值为_____解析：由f (x 1)＋f (2x 2)＝1，得log 2x 1－1log 2x 1＋1＋log 2(2x 2)－1log 2(2x 2)＋1＝1，即log 2x 2＝4log 2x 1－1.于是log 2(x 1x 2)＝log 2x 1＋log 2x 2＝log 2x 1＋4log 2x 1－1≥5，当且仅当log 2x 1＝3时等号成立．所以f (x 1x 2)＝log 2(x 1x 2)－1log 2(x 1x 2)＋1＝1－2log 2(x 1x 2)＋1≥23.答案：239．已知函数f (x )＝e |x |，m >1，对任意的x ∈[1，m ]，都有f (x －2)≤e x ，则最大的正整数m 为________． 解析：作出函数y ＝e |x －2|和y 2＝e x 的图象，如图可知x ＝1时y 1＝y 2，又x ＝4时y 1＝e 2＜y 2＝4e ，x ＝5时y 1＝e 3＞y 2＝5e ，故m ＜5，即m 的最大整数值为4.答案：410．已知以T ＝4为周期的函数f (x )，当x ∈(－1,3]时f (x )＝⎩⎨⎧m 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，其中m >0.若方程3f (x )＝x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为________解析：因为当x ∈(－1,1]时，将函数化为方程x 2＋y 2m2＝1(y ≥0)，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x ∈(1,3]的图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线y ＝x3与第二个半椭圆(x－4)2＋y 2m2＝1(y ≥0)相交，而与第三个半椭圆(x －8)2＋y 2m 2＝1(y ≥0)无公共点时，方程恰有5个实数解．将y ＝x3代入(x －4)2＋y 2m2＝1(y ≥0)得(9m 2＋1)x 2－72m 2x ＋135m 2＝0，令t ＝9m 2(t >0)则(t ＋1)x 2－8tx ＋15t ＝0.由Δ＝(8t )2－4×15t (t ＋1)>0，得t >15.由9m 2>15，且m >0得m >153.同样将y ＝x 3代入第三个椭圆(x －8)2＋y 2m2＝1(y ≥0)．由Δ<0可计算得m <7. 综上知m ∈⎝⎛⎭⎫153，7.答案：⎝⎛⎭⎫153，711．设函数f (x )＝x 2＋|2x －a |(x ∈R ，a 为实数)．(1)若f (x )为偶函数，求实数a 的值；(2)设a >2，求函数f (x )的最小值．解：(1)由已知f (－x )＝f (x )，即|2x －a |＝|2x ＋a |，解得a ＝0.(2)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x <12a ，当x ≥12a 时，f (x )＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a >2，x ≥12a ，得x >1，从而x >－1，故f (x )在x ≥12a 时单调递增，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24；当x <12a 时，f (x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，则x ＝1时f (x )取最小值为f (1)＝a －1.由a 24－(a －1)＝(a －2)24>0知，f (x )的最小值为a －1. 12．函数f (x )对任意的m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2. 解：(1)证明：设x 1<x 2，∴x 2－x 1>0.∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在R 上为增函数． (2)∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1， f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4，∴f (1)＝2.∴f (a 2＋a －5)<2＝f (1)．∵f (x )在R 上为增函数，∴a 2＋a －5<1⇒－3<a <2，即a ∈(－3,2)．专题2 函数的性质及应用(Ⅱ)高考中考查函数性质的形式不一，时而填空题，时而解答题，时而与其他章节综合，在解决问题的某一步骤中出现.在二轮复习中要注重知识点之间的联系，同时还要注意结合函数图象解决问题.,此外，函数的对称性、周期性常与函数的奇偶性、单调性综合起来考查；函数的零点问题是近年来新增的一个考点，也要引起足够的重视. 经典再现：1．已知函数F (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________.解析：由题意知F (－x )＝－F (x )，即f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12－1＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12＝2. 令t ＝x ＋12，则f (t )＋f (1－t )＝2.分别令t ＝0，1n ，2n ，…，n －1n ，n n ，得f (0)＋f (1)＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＝…＝2.∵a n＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)， ∴由倒序相加法得2a n ＝2(n ＋1)，故a n ＝n ＋1.答案：n ＋1 2．(2012·徐州期末)设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题①当c ＝0，y ＝f (x )是奇函数；②当b ＝0，c <0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ③y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称； ④方程f (x )＝0至多有两个实数根． 其中命题正确的是________．解析：当c ＝0时f (－x )＝－x |x |－bx ＝－f (x )，①正确；当b ＝0，c <0时由f (x )＝0得x |x |＋c ＝0，只有一个正根，②正确；若P (x ，y )是y ＝f (x )图象上的任意一点，则f (－x )＝－x |x |－bx ＋c ＝2c －(x |x |＋bx ＋c )＝2c －y ，即P ′(－x,2c －y )也在y ＝f (x )的图象上，③正确；④不正确，如b ＝－2，c ＝0时，f (x )＝0有3个实数根．答案：①②③3．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )．给出下列命题：①f (x )必是偶函数；②当f (0)＝f (2)时，f (x )的图象必关于直线x ＝1对称； ③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数； ④f (x )有最大值|a 2－b |. 其中正确的序号是________．解析：①显然是错的；②由于函数加了绝对值，所以对于一个函数值可能对应的x 值有4个，故不一定得到对称轴是x ＝1；由于a 2－4≤0时，f (x )＝x 2－2ax ＋b ，故③正确；④结合函数图象，可以判定函数无最大值．答案：③4．(2012·淮阴联考)给出下列四个结论：①函数y ＝k ·3x (k 为非零常数)的图象可由函数y ＝3x 的图象经过平移得到； ②不等式⎪⎪⎪⎪ax －1x >a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫14，＋∞； ③定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)·f (x )＝－1，则f (x )是周期函数；④已知f (x )满足对x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝7. 其中正确结论的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 解析：由|k |·3x ＝3x ＋log 3|k |(k ≠0)知①正确；由2∉M 得⎪⎪⎪⎪2a －12≤a ，即a ≥14，故②不正确；由f (x ＋1)＝－1f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，故③正确；由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2得f (x )＋f (1－x )＝2且f ⎝⎛⎭⎫12＝1，故f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝7正确．答案：①③④5．给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题： ①函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎣⎡⎦⎤0，12； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k2(k ∈Z )对称；③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期是1； ④函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上是增函数． 则其中真命题是________．解析：由m －12＜x ≤m ＋12解得－12≤x －m ≤12，故命题①正确；由f (k －x )＝|k －x －{k －x }|＝|k －x －(k －{x })|＝|－x ＋{x }|＝f (x )知②正确，④不正确；同理③正确．答案：①②③典例精析：1 (2012·泰兴中学调研)设n 为正整数，规定：f n (x )＝f {f […f (x )]}n 个f ，已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1， 1＜x ≤2.(1)解不等式f (x )≤x ；(2)设集合A ＝{0,1,2}，对任意x ∈A ，证明：f 3(x )＝x ； (3)探求f 2 012⎝⎛⎭⎫89；(4)若集合B ＝{x |f 12(x )＝x ，x ∈[0,2]}，证明：B 中至少包含有8个元素． 解(1)①当0≤x ≤1时，由2(1－x )≤x 得，x ≥23.∴23≤x ≤1.②当1＜x ≤2时，∵x －1≤x 恒成立，∴1＜x ≤2.由①，②得，f (x )≤x 的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫23≤x ≤2. (2)证明：∵f (0)＝2，f (1)＝0，f (2)＝1，∴当x ＝0时，f 3(0)＝f (f (f (0)))＝f (f (2))＝f (1)＝0；当x ＝1时，f 3(1)＝f (f (f (1)))＝f (f (0))＝f (2)＝1；当x ＝2时，f 3(2)＝f (f (f (2)))＝f (f (1))＝f (0)＝2. 即对任意x ∈A ，恒有f 3(x )＝x .(3)f 1⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫89＝2⎝⎛⎭⎫1－89＝29，f 2⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫29＝149， f 3⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f 2⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫149＝149－1＝59，f 4⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f 3⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫59＝2⎝⎛⎭⎫1－59＝89. 一般地，f 4k ＋r ⎝⎛⎭⎫89＝f r⎝⎛⎭⎫89(k ∈N ，r ∈N *)．∴f 2 012⎝⎛⎭⎫89＝f 4⎝⎛⎭⎫89＝89. (4)由(1)知，f ⎝⎛⎭⎫23＝23，∴f n ⎝⎛⎭⎫23＝23.则f 12⎝⎛⎭⎫23＝23.∴23∈B . 由(2)知，对x ＝0，或1，或2，恒有f 3(x )＝x ，∴f 12(x )＝f 4×3(x )＝x .则0,1,2∈B . 由(3)知，对x ＝89，29，149，59，恒有f 12(x )＝f 4×3(x )＝x ，∴89，29，149，59∈B .综上所述23，0,1,2，89，29，149，59∈B .∴B 中至少含有8个元素． 本题给出新定义内容，第一问就是解不等式，第二问实际就是对定义的认识直接套用，第三问就需要对定义进行更深一步的认识，探究函数值之间存在的规律．借题发挥1对于定义在D 上的函数y ＝f (x )，若同时满足(1)存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使得任取x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c (c 是常数)； (2)对于D 内任意x 2，当x 2∉[a ，b ]时总有f (x 2)>c . 称f (x )为“平底型”函数．判断f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|，f 2(x )＝x ＋|x －2|是否是“平底型”函数？简要说明理由． 解：f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|是“平底型”函数， 存在区间[1,2]使得x ∈[1,2]时，f (x )＝1， 当x <1和x >2时，f (x )>1恒成立； f 2(x )＝x ＋|x －2|不是“平底型”函数，不存在[a ，b ]⊆R 使得任取x ∈[a ，b ]，都有f (x )＝常数．2.(2012·南京一模)对于函数f (x )，若存在实数对(a ，b )，使得等式f (a ＋x )·f (a －x )＝b 对定义域中的每一个x 都成立，则称函数f (x )是“(a ，b )型函数”．(1)判断函数f (x )＝4x 是否为“(a ，b )型函数”，并说明理由；(2)已知函数g (x )是“(1,4)型函数”，当x ∈[0,2]时，都有1≤g (x )≤3成立，且当x ∈[0,1]时，g (x )＝x 2－m (x－1)＋1(m >0)，试求m 的取值范围．解(1)函数f (x )＝4x 是“(a ，b )型函数”，因为由f (a ＋x )·f (a －x )＝b ，得16a ＝b ，所以存在这样的实数对，如a ＝1，b ＝16. (2)由题意得，g (1＋x )·g (1－x )＝4，所以当x ∈[1,2]时，g (x )＝4g (2－x )，其中2－x ∈[0,1]．而x ∈[0,1]时，g (x )＝x 2＋m (1－x )＋1＝x 2－mx ＋m ＋1>0，且其对称轴方程为x ＝m2.①当m2>1，即m >2时，g (x )在[0,1]上的值域为[g (1)，g (0)]，即[2，m ＋1]．则g (x )在[0,2]上的值域为[2，m ＋1]∪⎣⎡⎦⎤4m ＋1，2＝⎣⎡⎦⎤4m ＋1，m ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤3，4m ＋1≥1，此时无解；②当12≤m 2≤1，即1≤m ≤2时，g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫m 2，g (0)，即⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，m ＋1， 所以g (x )在[0,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，m ＋1∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m ＋1，4m ＋1－m 24，由题意得⎩⎨⎧4m ＋1－m24≤3，m ＋1≤3，且⎩⎨⎧m ＋1－m 24≥1，4m ＋1≥1，解得1≤m ≤2；③当0＜m 2≤12，即0＜m ≤1时，g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫m 2，g (1)，即⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，2，则g (x )在[0,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，4m ＋1－m 24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋1－m 24，4m ＋1－m 24，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1－m 24≥1，4m ＋1－m24≤3，解得2－263≤m ≤1.综上所述，所求m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2－263，2. 本题主要考查函数的综合性质，分类讨论思想，第一问比较容易，好入手，第二问转化有点困难，应先把函数在[1,2]上的解析式求出来，然后求值域并转化为子集关系解题．求值域实质就是二次函数中轴动区间定的类型，并且同时研究两个二次函数，要进行比较．借题发挥2(2012·金陵中学期末)已知函数f (x )的图象在[a ，b ]上连续不断，定义：f 1(x )＝min{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])， f 2(x )＝max{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])．其中，min{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间上的最小值，max{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间上的最大值．若存在最小正整数k ，使得f 2(x )－f 1(x )≤k (x －a )对任意的x ∈[a ，b ]成立，则称函数为区间[a ，b ]上的“k 阶收缩函数”．(1)若f (x )＝cos x ，x ∈[0，π]，试写出f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2)已知函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,4]，试判断f (x )是否为[－1,4]上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出相应的k ；如果不是，请说明理由；(3)已知b >0，函数f (x )＝－x 3＋3x 2是[0，b ]上的2阶收缩函数，求b 的取值范围． 解：(1)f 1(x )＝cos x ，x ∈[0，π]，f 2(x )＝1，x ∈[0，π]．(2)∵f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ∈[－1，0)，0，x ∈[0，4]，f 2(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈[－1，1)，x 2，x ∈[1，4]，∴f 2(x )－f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0)，1，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，4].当x ∈[－1,0]时，1－x 2≤k (x ＋1)，∴k ≥1－x ，即k ≥2； 当x ∈(0,1)时，1≤k (x ＋1)，∴k ≥1x ＋1，即k ≥1；当x ∈[1,4]时，x 2≤k (x ＋1)，∴k ≥x 2x ＋1，即k ≥165.综上，存在k ＝4，使得f (x )是[－1,4]上的4阶收缩函数．(3)∵f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)，∴在(0,2)上f ′(x )>0，f (x )递增，在(2，＋∞)上f ′(x )<0，f (x )递减． ①当0<b ≤2时，f (x )在[0，b ]上递增，∴f 2(x )＝f (x )＝－x 3＋3x 2，f 1(x )＝f (0)＝0.∵f (x )＝－x 3＋3x 2是[0，b ]上的2阶收缩函数，∴(ⅰ)f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)对x ∈[0，b ]恒成立， 即－x 3＋3x 2≤2x 对x ∈[0，b ]恒成立，即0≤x ≤1或x ≥2.∴0＜b ≤1.(ⅱ)存在x ∈[0，b ]，使得f 2(x )－f 1(x )>(x －0)成立．即存在x ∈[0，b ]，使得x (x 2－3x ＋1)<0成立． 即x <0或3－52<x <3＋52，∴只需b >3－52.综上3－52<b ≤1.②当2＜b ≤3时，f (x )在[0,2]上递增，在[2，b ]上递减，∴f 2(x )＝f (2)＝4，f 1(x )＝f (0)＝0，f 2(x )－f 1(x )＝4，x －0＝x .∴当x ＝0时，f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)不成立． ③当b >3时，f (x )在[0,2]上递增，在[2，b ]上递减，∴f 2(x )＝f (2)＝4，f 1(x )＝f (b )<0，f 2(x )－f 1(x )＝4－f (b )>4，x －0＝x . ∴当x ＝0时，f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)也不成立．综上3－52＜b ≤1.3.(2012·栟茶模拟)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)．(1)当a >1时，求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，求t 的值；(3)若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围． 解(1)证明：f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)·ln a ， 由于a >1，故当x ∈(0，＋∞)时，ln a >0，a x －1>0， 所以f ′(x )>0.故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)当a >0，a ≠1时，因为f ′(0)＝0，且f ′(x )在R 上单调递增， 故f ′(x )＝0有惟一解x ＝0.所以x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：又函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，所以方程 f (x )＝t ±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝(f (x ))min ＝f (0)＝1，解得t ＝2.(3)因为存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1,1]时，|f (x )max －f (x )min |＝f (x )max －f (x )min ≥e －1.由(2)知，f (x )在[－1,0]上递减，在[0,1]上递增，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (0)＝1， f (x )max ＝max{f (－1)，f (1)}．而f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a －2ln a ， 记g (t )＝t －1t －2ln t (t >0)，因为g ′(t )＝1＋1t 2－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t －12≥0(当且仅当t ＝1时取等号)， 所以g (t )＝t －1t－2ln t 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g (1)＝0，所以当t >1时，g (t )>0；当0<t <1时，g (t )<0，也就是当a >1时，f (1)>f (－1)；当0<a <1时，f (1)<f (－1)． ①当a >1时，由f (1)－f (0)≥e －1⇒a －ln a ≥e －1⇒a ≥e ， ②当0<a <1时，由f (－1)－f (0)≥e －1⇒1a ＋ln a ≥e －1⇒0＜a ≤1e ，综上知，所求a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[e ，＋∞)． 本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，一二两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第三问要将“若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1”转化成|f (x )max －f (x )min |＝f (x )max －f (x )min ≥e －1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负．借题发挥3(2012·无锡期中)已知二次函数g (x )对任意实数x 都满足g (x －1)＋g (1－x )＝x 2－2x －1，且g (1)＝－1.令f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋m ln x ＋98(m ∈R ，x >0)．(1)求g (x )的表达式； (2)若∃x >0使f (x )≤0成立，求实数m 的取值范围；(3)设1＜m ≤e ，H (x )＝f (x )－(m ＋1)x ，证明：对∀x 1，x 2∈[1，m ]，恒有|H (x 1)－H (x 2)|<1.解：(1)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c ，于是g (x －1)＋g (1－x )＝2a (x －1)2＋2c ＝(x －1)2－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，c ＝－1.又g (1)＝－1，则b ＝－12.所以g (x )＝12x 2－12x －1.(2)f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋m ln x ＋98＝12x 2＋m ln x (m ∈R ，x >0)． 当m >0时，由对数函数性质，f (x )的值域为R ； 当m ＝0时，f (x )＝x 22>0对∀x >0，f (x )>0恒成立；当m <0时，由f ′(x )＝x ＋mx＝0⇒x ＝－m ，列表：这时，f (x )min ＝f (－m )＝－m2＋m ln －m . f (x )min >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋m ln －m >0，m <0⇒－e<m <0.所以若∀x >0，f (x )>0恒成立，则实数m 的取值范围是(－e,0]．故∃x >0，使f (x )≤0成立，实数m 的取值范围(－∞，－e]∪(0，＋∞)．(3)证明：因为对∀x ∈[1，m ]，H ′(x )＝(x －1)(x －m )x ≤0，所以H (x )在[1，m ]内单调递减．于是|H (x 1)－H (x 2)|≤H (1)－H (m )＝12m 2－m ln m －12.|H (x 1)－H (x 2)|<1⇔12m 2－m ln m －12<1⇔12m －ln m －32m<0.记h (m )＝12m －ln m －32m (1＜m ≤e)，则h ′(m )＝12－1m ＋32m 2＝32⎝⎛⎭⎫1m －132＋13>0， 所以函数h (m )＝12m －ln m －32m 在(1，e]上是单调增函数．所以h (m )≤h (e)＝e 2－1－32e ＝(e －3)(e ＋1)2e<0，故命题成立．[专题技法归纳] (1)对复杂函数的对称性应注意利用最根本的定义解决，奇偶性只是对称性中最特殊的一种． (2)对于形如：∀x 1，x 2∈[1，m ]，恒有|H (x 1)－H (x 2)|<1的问题，要注意转化成最值问题处理．同时在利用导数的正负探究函数的单调性时，为判断导函数的正负，有时还需要设计成研究导函数的最值问题． 经典回顾：1．定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg|x －2||，x ≠2，1， x ＝2，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有5个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，求f (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＝________.解析：作出函数f (x )的图象可以得到x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝9.f (9)＝|lg 7|＝lg 7.答案：lg 72．若函数f (x )满足：f (x ＋3)＝f (5－x )且方程f (x )＝0恰有5个不同实根，求这些实根之和为________．解析：由题意可得到图象关于x ＝4对称，所以和为20.答案：203．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，则b ＋c 的最大值是________．解析：由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在区间[－1,2]上满足f ′(x )≤0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)≤0，f ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2b －c －3≥0，4b ＋c ＋12≤0，此问题相当于在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥0，4b ＋c ＋12≤0，下求目标函数z ＝b ＋c 的最大值．作出可行域(图略)，由图可知，当直线l ：b ＋c ＝z 过2b －c －3＝0与4b ＋c ＋12＝0的交点M ⎝⎛⎭⎫－32，－6时，z 最大，∴z max ＝－32－6＝－152.答案：－1524．某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，分别给出下面几个结论： ①等式f (－x )＋f (x )＝0在x ∈R 时恒成立； ②函数f (x )的值域为(－1,1)； ③若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)； ④函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点．其中正确结论的序号有________(请将你认为正确的结论的序号都填上) 解析：①显然正确；由|f (x )|＝|x |1＋|x |<1＋|x |1＋|x |＝1知②正确；可以证明f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，故③正确；由f (x )－x ＝0得x1＋|x |＝x ，此方程只有一根x ＝0，故④不正确．答案：①②③5．若关于x 的方程x 2＝2－|x －t |至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是________．解析：方程等价于|x －t |＝2－x 2，结合y ＝|x －t |与y ＝2－x 2图象，如图，找出两边临界值，可得－94≤t ＜2.答案：⎣⎡⎭⎫－94，2 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是___解析：f (x )＝2x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f (x )＝(x －1)3(x <2)单调递增且值域为(－∞，1)，f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)7．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b ，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程为f (x )＝m (m∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析：由定义运算“*”可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)，2x －1≤x －1，(x －1)2－(2x －1)(x －1)，2x －1>x －1， ＝⎩⎨⎧2⎝⎛⎭⎫x －142－18，x ≤0，－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x >0，画出该函数图象可知满足条件的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0.8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝________.解析：由f (x ＋6)＝f (x )，可知函数的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝335＋3＝338.9．(2012·南师附中)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2，对于任意x ∈[t －2，t ]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是________．解析：f (x ＋t )≥2f (x )等价于f (x ＋t )≥f (2x )根据奇偶性得到函数在定义域上是单调递减函数，所以x ＋t ≤2x 恒成立，解得t ≤－ 2.答案：(－∞，－ 2 ]10．(2012·北京高考)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0. 则m 的取值范围是________．解析：当x ＜1时，g (x )＜0，当x ＞1时，g (x )＞0，当x ＝1时，g (x )＝0.m ＝0不符合要求；当m ＞0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m ＞0时，不符合第①条的要求；当m ＜0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4.函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，2m ＜－(m ＋3)，2m ＜－4，－(m ＋3)＜1或者⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－(m ＋3)＜2m ，2m ＜1，－(m ＋3)＜－4，解第一个不等式组得－4＜m ＜－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)． 11．(2012·栟茶一模)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，是否存在m ∈R ，使得f (m )＝－a 成立时，f (m ＋3)为正数？若存在，证明你的结论；若不存在，说明理由；(2)若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有2个不等实根，证明必有一个根属于(x 1，x 2)；(3)若f (0)＝0，是否存在b 的值使{x |f (x )＝x }＝{x |f [f (x )]＝x }成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)因为f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ，所以a >0且c <0. ∵f (1)＝0，∴1是f (x )＝0的一个根，由韦达定理知另一根为ca .∵a >0且c <0，∴c a <0<1.又a >b >c ，b ＝－a －c ，∴－2<c a <－12.假设存在这样的m ，由题意，则a ⎝⎛⎭⎫m －c a (m －1)＝－a <0，∴c a <m <1.∴m ＋3>ca ＋3>－2＋3＝1. ∵f (x )在(1，＋∞)单调递增，∴f (m ＋3)>f (1)＝0，即存在这样的m 使f (m ＋3)>0.(2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x )是二次函数．∵g (x 1)·g (x 2)＝⎣⎡⎦⎤f (x 1)－f (x 1)＋f (x 2)2⎣⎡⎦⎤f (x 2)－f (x 1)＋f (x 2)2＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2≤0，又∵f (x 1)≠f (x 2)，g (x 1)·g (x 2)<0，∴g (x )＝0有两个不等实根，且方程g (x )＝0的根必有一个属于(x 1，x 2)． (3)由f (0)＝0得c ＝0，∴f (x )＝ax 2＋bx .由f (x )＝x ，得方程ax 2＋(b －1)x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝1－ba ，又由f [f (x )]＝x 得a [f (x )]2＋bf (x )＝x .∴a [f (x )－x ＋x ]2＋b [f (x )－x ＋x ]＝x .∴a [f (x )－x ]2＋2ax [f (x )－x ]＋ax 2＋b [f (x )－x ]＋bx －x ＝0. ∴[f (x )－x ][af (x )－ax ＋2ax ＋b ＋1]＝0， 即[f (x )－x ][a 2x 2＋a (b ＋1)x ＋b ＋1]＝0. ∴f (x )－x ＝0或a 2x 2＋a (b ＋1)x ＋b ＋1＝0. (*) 由题意(*)式的解为0或1－ba或无解，当(*)式的解为0时，可解得b ＝－1，经检验符合题意； 当(*)式的解为1－ba时，可解得b ＝3，经检验符合题意；当(*)式无解时，Δ＝a 2(b ＋1)2－4a 2(b ＋1)<0，即a 2(b ＋1)(b －3)<0，∴－1<b <3. 综上可知，当－1≤b ≤3时满足题意． 12．已知函数f 1(x )＝e |x－2a ＋1|，f 2(x )＝e |x－a |＋1，x ∈R ，1≤a ≤6.(1)若a ＝2，求f (x )＝f 1(x )＋f 2(x )在[2,3]上的最小值；(2)若|f 1(x )－f 2(x )|＝f 2(x )－f 1(x )对于任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围； (3)求函数g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )2－|f 1(x )－f 2(x )|2在[1,6]上的最小值．解：(1)对于a ＝2，x ∈[2,3]，f (x )＝e |x －3|＋e |x－2|＋1＝e 3－x ＋e x －1≥2e 3－x ·e x －1＝2e ，当且仅当e 3－x ＝e x －1，即x ＝2时等号成立，∴f (x )min ＝2e.(2)|f 1(x )－f 2(x )|＝f 2(x )－f 1(x )对于任意的实数x 恒成立，即f 1(x )≤f 2(x )对于任意的实数x 恒成立，亦即e |x－2a ＋1|≤e |x－a |＋1对于任意的实数x 恒成立，∴|x －2a ＋1|≤|x －a |＋1，即|x －2a ＋1|－|x －a |≤1对于任意的实数x 恒成立． 又|x －2a ＋1|－|x －a |≤|(x －2a ＋1)－(x －a )|＝|－a ＋1|对于任意的实数x 恒成立，故只需|－a ＋1|≤1，解得0≤a ≤2. 又1≤a ≤6，∴a 的取值范围为1≤a ≤2.(3)g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )2－|f 1(x )－f 2(x )|2＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，f 1(x )≤f 2(x )，f 2(x )，f 1(x )>f 2(x )，①当1≤a ≤2时，由(2)知f 1(x )≤f 2(x )，g (x )＝f 1(x )＝e |x－2a ＋1|，图象关于直线x ＝2a －1对称，如右图，又此时1≤2a －1≤3，故对x ∈[1,6]，g (x )min ＝f 1(2a －1)＝1.②当2＜a ≤6时，(2a －1)－a ＝a －1>0，故2a －1>a . x ≤a 时，f 1(x )＝e －x ＋(2a －1)>e－x ＋a ＋1＝f 2(x )，g (x )＝f 2(x )＝e |x－a |＋1；x ≥2a －1时，f 1(x )＝e x －(2a －1)<e x－a ＋1＝f 2(x )，g (x )＝f 1(x )＝e |x－2a ＋1|；a <x <2a －1时，由f 1(x )＝e－x ＋(2a －1)≤e x－a ＋1＝f 2(x )，得x ≥3a －22，其中a <3a －22<2a －1，故3a －22≤x ＜2a －1时，g (x )＝f 1(x )＝e |x －2a ＋1|，a <x <3a －22时，g (x )＝f 2(x )＝e |x －a |＋1.因此，2＜a ≤6时，g (x )＝⎩⎨⎧f 1(x )，x ≥3a －22，f 2(x )，x <3a －22.令f 1(x )＝e |x－2a ＋1|＝e ，得x 1＝2a －2，x 2＝2a ，且3a －22<2a －2，如右图．(ⅰ)当a ≤6≤2a －2，即4≤a ≤6时，g (x )min ＝f 2(a )＝e ； (ⅱ)当2a －2＜6≤2a －1，即72≤a ＜4时，g (x )min ＝f 1(6)＝e |6－2a＋1|＝e 2a －7；(ⅲ)当2a －1<6，即2<a <72时，g (x )min ＝f 1(2a －1)＝1， g (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≤a <72，e 2a －7，72≤a ＜4，e ，4≤a ≤6.专题3 导 数(Ⅰ)导数作为研究函数的重要工具，同时也是学习高等数学的基础，一直受到命题者的青睐.2008年考了2小题，并在17题中进行了考查(运用导数求三角函数的最值)；2009年考了2小题，都是考查三次函数的导数，显然重复；2010年第8题和压轴题都考查了导数；2011年12题和19题；2012年14题和18题.可以看出江苏高考每年都会出现两题考查导数的几何意义或者导数的四则运算以及利用导数研究极值、单调性等.预测在2013年的高考题中： (1)导数的几何意义；(2)利用导数研究函数的单调性或者极值、最值. 真题再现：1．(2009·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为_______解析：y ′＝3x 2－10＝2⇒x ＝±2，又点P 在第二象限内，故x ＝－2.点P 的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)2．(2010·江苏高考)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝_____解析：在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝a k 2，所以a k ＋1＝a k 2.则a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案：213．若函数f (x )＝e x －2x －a 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是______解析：当直线y ＝2x ＋a 和y ＝e x 相切时，仅有一个公共点，这时切点是(ln 2,2)，直线方程是y ＝2x ＋2－2ln 2，将直线y ＝2x ＋2－2ln 2向上平移，这时两曲线必有两个不同的交点．答案：(2－2ln 2，＋∞)4．(2010·江苏高考)将边长为1 m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是______解析：设剪成的小正三角形的边长为x ，则S ＝(3－x )212(x ＋1)·32(1－x )＝43·(3－x )21－x 2(0<x <1)．法一：利用导数求函数最小值．S (x )＝43·(3－x )21－x 2，S ′(x )＝43·(2x －6)·(1－x 2)－(3－x )2·(－2x )(1－x 2)2＝43·－2(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令S ′(x )＝0，又0<x <1，所以x ＝13.当x ∈⎝⎛⎦⎤0，13时，S ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈⎣⎡⎭⎫13，1时，S ′(x )>0，函数单调递增； 故当x ＝13时，S 取最小值为32 33.法二：利用函数的方法求最小值．令3－x ＝t ，t ∈(2,3)，1t ∈⎝⎛⎭⎫13，12，则S ＝4 3·t 2－t 2＋6t －8＝4 3·1－8t 2＋6t －1.故当1t ＝38，x ＝13时，S 取最小值为32 33.答案：32 335．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是____解析：设P (x 0，e x 0)，则l ：y －e x 0＝e x 0 (x －x 0)，所以M (0，(1－x 0)e x 0)．过点P 作l 的垂线其方程为 y －e x 0＝－e －x 0 (x －x 0)，N (0，e x 0＋x 0e －x 0)，所以t ＝12[(1－x 0)e x 0＋e x 0＋x 0e －x 0]＝e x 0＋12x 0(e －x 0－e x 0)．t ′＝12(e x 0＋e －x 0)(1－x 0)，所以t 在(0,1)上单调增，在(1，＋∞)上单调减，所以当x 0＝1时，t 取最大值t max。