【精品】2019届中考数学专题《二次函数和圆》综合检测试卷(含答案)

2019学年度九年级数学二次函数综合题题型归类之与圆有关问题（附答案详解）1．如图，抛物线y=ax2-x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-2），已知B点坐标为（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；（4）若点P是抛物线上一点，点E是直线y=-x+1上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线的图象经过点，对称轴为直线，一次函数的图象经过点，交轴于点，交抛物线于另一点，点、位于点的同侧．求抛物线的解析式；若，求一次函数的解析式；在的条件下，当时，抛物线的对称轴上是否存在点，使得同时与轴和直线都相切，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=-x 2+bx+c 与直线AB 交于A(-4，-4)，B(0，4)两点，直线AC ：y=-x-6交y 轴与点C ．点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F ，交抛物线于点G.（1）求抛物线y=-x 2+bx+c 的表达式；（2）连接GB 、EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；（3）①在y 轴上存在一点H ，连接EH 、HF ，当点E 运动到什么位置时，以A 、E 、F 、H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E 、H 的坐标；②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为⊙E 上一动点，求AM+CM 的最小值.4．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于y 轴对称且交y轴负半轴于点C ，与x 轴交于点A 、B ，已知AB=6，OC=4，⊙CP 为⊙C 上一动点．（1）求出二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使得△PBC 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB ，若E 为PB 的中点，连接OE ，则OE 的最大值是多少？5．如图，在平面直角坐标系xoy 中，O 为原点，▱ABCD 的边AB 在x 轴上，点D 在y 轴上，点A 的坐标为（﹣2，0），AB=6，∠BAD=60°，点E 是BC 边上一点，CE=3EB ，⊙P 过A 、O、D三点，抛物线y=ax2+bx+c过点A、B、D三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：DE是⊙P的切线；（3）若将△CDE绕点D顺时针旋转90°，点E的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，O是平面直角坐标系的原点．在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A（1，1），B（3，1），动点P从O点出发，沿x轴正方向以2个单位/秒的速度运动．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜2）．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；（2）过P作PD⊥OA于D，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，⊙P在点P的右侧与x轴交于点Q．①则P点的坐标为_____，Q点的坐标为_____；（用含t的代数式表示）②试求t为何值时，⊙P与四边形OABC的两边同时相切；③设△OPD与四边形OABC重叠的面积为S，请直接写出S与t的函数解析式．7．如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案详解：1．（1）；（2）外接圆的圆心为AB的中点，坐标为（，0）；（3）M（2，-3）；（4）,，（1）根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）令抛物线解析式中y=0得到关于x的一元二次方程，解方程求出x值，由此即可得出点A的坐标，根据两点间的距离公式即可求出AC、AB、BC，利用勾股定理得逆定理即可得出△ABC为直角三角形，由此即可得出△ABC的外接圆的圆心位置，再根据点A、B的坐标即可求出圆心坐标；（3）将直线AB往下平移得到直线l，直线l与抛物线只有一个交点M时，此时点M到直线AB的距离最远，根据点B、C的坐标利用待定系数法求出直线BC的解析式，设出直线l的解析式为y=x+m，将其代入抛物线解析式中令△=0，即可求出m值，再联立直线l和抛物线解析式成方程组，解方程组即可求出点M的坐标；（4）多种情况分类讨论：若AB线段为平行四边形的一条边；若AB线段为平行四边形的一条对角线，进而求解.解：(1)将B(4,0)、C(0,−2)代入y=a−x+c(a≠0)中，得：,解得：，∴抛物线的解析式为y=−x−2.(2)令y=−x−2中x=0,即−x−2=0，解得：=−1, =4，∴A(−1,0).∵B(4,0),C(0,−2)，∴AC=,BC=2，AB=5，∵，∴△ABC为直角三角形。

二次函数-综合题（二）一．解答题（共40小题）1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P 的纵坐标的取值范围．5．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x ﹣1交于A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．9．（2019•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．10．（2019•岳阳）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x 的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．12．（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．13．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M 作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．14．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．15．（2019•天水）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．16．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．17．（2019•乐山）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB＝．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．18．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x 轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．19．（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A 在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求C点坐标，并判断b的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．21．（2019•遂宁）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B 在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：∠BNM＝∠ONM．22．（2019•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．F A的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．23．（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A 的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．25．（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．26．（2019•绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A 在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+P A的最小值．27．（2019•武威）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？28．（2019•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S＝S△P AC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．△P AM29．（2019•攀枝花）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求b，c的值；（2）直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．30．（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．31．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q 分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．33．（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO ＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．34．（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．35．（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y 轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2019•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b 都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积最大时，求点P的坐标，并求△P AB面积的最大值．37．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN ⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD 于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B 三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．40．（2019•南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是．（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d （O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为36；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．【解答】解：（1）由点A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的边长为6，∴正方形面积为36；有四个交点时0＜k＜4或﹣8＜k＜0；故答案为36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，y Q＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，当m＝﹣1，y Q最大＝4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），当m＜﹣1时，y Q随m的增大而增大，当m＝﹣2时，y Q最小＝3，当m＞﹣1时，y Q随m的增大而减小，当m＝4时，y Q最小＝﹣21，∴3＞﹣21，∴y Q最小＝﹣21，点Q在最低位置时的坐标（4，﹣21），∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），最低位置时的坐标为（4，﹣21）；②当双曲线y＝经过点B（﹣2，﹣2）时，k＝4，∴N（4，1），∵顶点P（m，n）在边BC上，∴n＝﹣2，∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）与边AB、DC分别交于点E、F，∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2），∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2，∴＝﹣，∴a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1），∵AE＝NF，点F在点N下方，∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2，∴12a（m﹣1）＝3，∴a（m﹣1）＝，∴＝；③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2），∴y M＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4），即y M＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），∵a＞0，∴对应每一个a（a＞0）值，当m＝1时，y M最小＝﹣2，当m＝﹣2或4时，y M最大＝9a﹣2，当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2，∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2），∵点E在边AB上，且此时不与B重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，∴0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，同理m＝﹣2时，y＝y＝a（x+2）2﹣2，∴E（﹣2，﹣2），F（4，36a﹣2），∵点F在边CD上，且此时不与C重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，解得0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，综上所述，抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方；2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．∴，解得：，∴G（）．3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝18，∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），∴CD2＝12+12＝2∴AD2＝22+42＝20∴AC2+CD2＝AD2∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．∵，∴F为AD的中点，∴，∴．②在Rt△ACD中，tan，在Rt△OBC中，tan，∴∠ACD＝∠OCB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠F AO＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，∴OF∥BC，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，设直线AD的解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝2x+6，∴，解得：，∴F（﹣）．当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，∵∠CAB＝45°，∴OF⊥AC，∴直线OF的解析式为y＝﹣x，∴，解得：，∴F（﹣2，2）．综合以上可得F点的坐标为（﹣）或（﹣2，2）．4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P 的纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B＜y P＜y A∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜y P＜﹣3法二：整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0∴m＝＞0∵x＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵y P＝﹣x﹣2∴﹣4＜y P＜﹣35．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．【解答】解：（1）y＝﹣x+4…①，令x＝0，y＝4，令y＝0，则x＝4，故点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…②；（2）设点E（m，0），直线BC表达式中的k值为4，EF∥BC，则直线EF的表达式为：y＝4x+n，将点E坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：y＝4x﹣4m…③，联立①③并解得：x＝（m+1），则点F（，），S△BEF＝S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF＝×4×4﹣×4m﹣（4﹣m）×＝，解得：m＝，故点E（，0）、点F（2，2）；（3）△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，则点E′（，4），当x＝时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣（）2+3×+4≠4，故点E′不在抛物线上．6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x ﹣1交于A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1）∴顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1∵抛物线经过点C（0，3）∴4a﹣1＝3解得：a＝1∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3（2）解得：，∴A（1，0），B（4，3）∴AB＝设直线y＝x﹣1与y轴交于点E，则E（0，﹣1）∴OA＝OE＝1∴∠AEO＝45°∵S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S∴点Q、M、N到直线AB的距离相等如图，假设点M、N在直线AB上方，点Q在直线AB下方∴MN∥AB时，总有S△MAB＝S△NAB＝S要使只有一个点Q在直线AB下方满足S△QAB＝S，则Q到AB距离必须最大过点Q作QC∥y轴交AB于点C，QD⊥AB于点D∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45°∴△CDQ是等腰直角三角形∴DQ＝CQ设Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），则C（t，t﹣1）∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣）2+∴t＝时，CQ最大值为∴DQ最大值为∴S＝S△QAB＝AB•DQ＝（3）存在点P满足∠APB＝90°．∵∠APB＝90°，AB＝3∴AP2+BP2＝AB2设P（p，p2﹣4p+3）（1＜p＜4）∴AP2＝（p﹣1）2+（p2﹣4p+3）2＝p4﹣8p3+23p2﹣26p+10，BP2＝（p﹣4）2+（p2﹣4p+3﹣3）2＝p4﹣8p3+17p2﹣8p+16∴p4﹣8p3+23p2﹣26p+10+p4﹣8p3+17p2﹣8p+16＝（3）2整理得：p4﹣8p3+20p2﹣17p+4＝0p2（p2﹣8p+16）+4p2﹣17p+4＝0p2（p﹣4）2+（4p﹣1）（p﹣4）＝0（p﹣4）[p2（p﹣4）+（4p﹣1）]＝0∵p＜4∴p﹣4≠0∴p2（p﹣4）+（4p﹣1）＝0展开得：p3﹣4p2+4p﹣1＝0（p3﹣1）﹣（4p2﹣4p）＝0（p﹣1）（p2+p+1）﹣4p（p﹣1）＝0（p﹣1）（p2+p+1﹣4p）＝0∵p＞1∴p﹣1≠0∴p2+p+1﹣4p＝0解得：p1＝，p2＝（舍去）∴点P横坐标为时，满足∠APB＝90°．7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，∵A（0，3），∴B（﹣4，1）①当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC②当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，。

2019年九年级数学中考(圆二次函数实际问题压轴题)专项练习1.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB=BC=CD，AB∥CD，连接BD．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=10，cos∠BAC=0.6，求BD的长及⊙O的半径．2.如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．3.如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB(1) 求证：PB是⊙O的切线；(2) 若∠APC=3∠BPC，求PE:CE的值.4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：∠BDF=∠F；（2）如果CF=1，sinA=0.6，求⊙O的半径．5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．6.某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．(1)图中点P所表示的实际意义是；销售单价每提高1元时，销售量相应减少件；(2)请直接写出y与x之间的函数表达式：；自变量x的取值范围为；(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？7.商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最大，最大利润是多少元？8.某企业投资112万元引进一条农产品加工生产线，该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计．．共为y (万元),且y=ax2+bx，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年的维修、保养费用为4万元．（1）求a和b的值；（2）若不计维修、保养费用，预计该生产线投产后每年可创利33万元．那么该企业在扣掉投资成本和维修、保险费用后，从第几年开始才可以产生利润？9.某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69 m的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3 m的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：(1)设AB＝x(m)(x＞0)，试用含x的代数式表示BC的长；(2)请你判断谁的说法正确，为什么？10.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x﹣6）2，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式．（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？11.如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x=－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线y=mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x=－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x=－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形时点P的坐标.12.如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点（1，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）把﹣4＜x＜1时的函数图象记为H，求此时函数y的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象H的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=x+b与图象M有三个公共点，求b的取值范围．14.已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣0.5之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n 的取值范围．15.如图,抛物线y=ax2+bx-5(a≠0)经过点A(4,-5)，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为D；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标；参考答案1.2.解：3.4.解：5.解：6.解：(1)图中点P所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300件；第一个月的该商品的售价为20×(1＋50%)=30(元)，销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为(400－300)÷(35－30)=20(件)．(2)设y与x之间的函数表达式为y=kx＋b，将点(30，400)，(35，300)代入，得30k+b=400,35k+b=300解得k=-20,b=1000.∴y与x之间的函数表达式为y=－20x＋1 000.当y=0时，x=50，∴自变量x的取值范围为30≤x≤50.(3)设第二个月的利润为W元，由已知得:W=(x－20)y=(x－20)(－20x＋1 000)=－20x2＋1 400x－20 000=－20(x－35)2＋4 500，∵－20＜0，∴当x=35时，W取最大值4 500.答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4 500元．7.解：（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50﹣x）元，故答案为：2x，50﹣x；（2）设商场日盈利为y，则y=（50﹣x）（40+2x）=﹣2x2+60x+2000=﹣2（x﹣15）2+2450，∴当x=15时，y最大=2450，答：每件商品降价15元时，商场日盈利最大，最大利润是2450元.8.略9.解：(1)AB＝x(m)，可得BC＝69＋3－2x＝(72－2x)(m)．(2)小英说法正确，理由如下：矩形面积S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648，∵72－2x＞0，∴x＜36，∴0＜x＜36，∴当x＝18时，S取最大值，此时x≠72－2x，∴面积最大的不是正方形．10.11.解：(1)依题意得a=-1,b=-2,c=3∴抛物线解析式为y=－x2－2x＋3.∵对称轴为直线x=－1，且抛物线经过A(1，0)，∴点B的坐标为(－3，0).把B(－3，0)，C(0，3)分别代入直线y=mx＋n，得-3m+n=0,n=3解得m=1,n=3∴直线BC的解析式为y=x＋3；(2)设直线BC与对称轴x=－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小.把x=－1代入y=x＋3得y=2，∴点M的坐标为(－1，2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时点M的坐标为(－1，2)；(3)设点P的坐标为(－1，t).又∵点B的坐标为(－3，0)，点C的坐标为(0，3)，∴BC2=18，PB2=(－1＋3)2＋t2=4＋t2，PC2=(－1)2＋(t－3)2=t2－6t＋10.①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2=PC2，即18＋4＋t2=t2－6t＋10，解得t=－2；②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2=PB2，即18＋t2－6t＋10=4＋t2，解得t=4；③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2=BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10=18，解得t1=2173+，t2=2173-.综上所述，点P的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(-1,2173+)或(-1,2173-).12.解：13.解：（1）∵二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点（1，0），∴1+m+2m﹣7=0，解得m=2．∴抛物线的表达式为y=x2+2x﹣3；（2）y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4．∵当﹣4＜x＜﹣1时，y随x增大而减小；当﹣1≤x＜1时，y随x增大而增大，∴当x=﹣1，y最小=﹣4．当x=﹣4时，y=5．∴﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5；（3）y=x2+2x﹣3与x轴交于点（﹣3，0），（1，0）．新图象M如右图红色部分．把抛物线y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1），当直线y=x+b经过（﹣3，0）时，直线y=x+b与图象M有两个公共点，此时b=3；当直线y=x+b与抛物线y=﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1）相切时，直线y=x+b与图象M有两个公共点，即﹣（x+1）2+4=x+b有相等的实数解，整理得x2+3x+b﹣3=0，△=32﹣4（b﹣3）=0，解得b=．结合图象可得，直线y=x+b与图象M有三个公共点，b的取值范围是3＜b＜．14.（1）证明：由根的判别式，可得：△=（3m+1）2﹣4×m×3=（3m﹣1）2，∵（3m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴原方程有两个实数根；（2）解：令y=0，那么mx2+（3m+1）x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=﹣，∵抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数，∴m=1，∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3；（3）如图，∵当x=0时，y=3，∴C（0，3），∵当y=0时，x1=﹣3，x2=﹣1，又∵点A在点B的左侧，∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），∵点D与点B关于y轴对称，∴D（1，0），设直线CD的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线CD的表达式为：y=﹣3x+3，又∵当x=﹣时，y=，∴点E（﹣，），∴平移后，点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），当直线y=﹣3x+3经过点A′（﹣3+n，0）时，得：﹣3（﹣3+n）+3=0，解得：n=4，当直线y=﹣3x+3经过点E′（﹣+n，），时，得：﹣3（﹣+n）+3=，解得：n=，∴n的取值范围是≤n≤4．15.。

九上数学 -二次函数 -综合题（一）一．解答题（共40 小题）2 1．（2019?赤峰）如图，直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴、y 轴分别交于B、C 两点，抛物线 y＝﹣ x +bx+c 经过点 B、 C，与 x 轴另一交点为 A，极点为 D．（1）求抛物线的分析式；（2）在 x 轴上找一点 E，使 EC+ED 的值最小，求 EC+ED 的最小值；（3）在抛物线的对称轴上能否存在一点 P，使得∠ APB ＝∠ OCB？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明原因．2．（ 2019?通辽）已知，如图，抛物线2y＝ ax +bx+c（ a≠ 0）的极点为 M（ 1，9），经过抛物线上的两点 A（﹣ 3，﹣ 7）和 B（ 3， m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（ 1）求抛物线的分析式和直线AB 的分析式．（ 2）在抛物线上 A、 M 两点之间的部分（不包含A、 M 两点），能否存在点D，使得 S△DAC＝ 2S△DCM？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明原因．（ 3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点A，M，P，Q 为极点的四边形是平行四边形时，直接写出知足条件的点P 的坐标．3．（ 2019?吉林）如图，抛物线y＝（ x﹣1）2+k 与 x 轴订交于A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴订交于点C（ 0，﹣ 3）． P 为抛物线上一点，横坐标为m，且 m＞0．（1）求此抛物线的分析式；（2）当点 P 位于 x 轴下方时，求△ ABP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点 C 与点 P 之间部分（含点 C 和点 P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求 h 对于 m 的函数分析式，并写出自变量m 的取值范围；②当 h＝9 时，直接写出△BCP 的面积．4．（ 2019?绥化）已知抛物线2x＝，交 x 轴于点 A、 B，交 y y＝ax +bx+3 的对称轴为直线轴于点 C，且点 A 坐标为 A（﹣ 2， 0）．直线 y＝﹣ mx﹣ m（ m＞ 0）与抛物线交于点P、（1）求该抛物线的分析式；（2）若 n＝﹣ 5，且△ CPQ 的面积为 3，求 m 的值；（ 3）当 m≠1 时，若 n＝﹣ 3m，直线 AQ 交 y 轴于点 K ．设△ PQK 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数分析式．5．（ 2019?齐齐哈尔）综合与研究如图，抛物线y＝ x2+bx+c 与x 轴交于A、 B 两点，与y 轴交于 C 点， OA＝ 2， OC＝6，连结 AC 和 BC．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）点 D 在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，点 D 的坐标为．（ 3）点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连结CE 和 BE．求△ BCE 面积的最大值及此时点 E 的坐标；（ 4）若点 M 是 y 轴上的动点，在座标平面内能否存在点N，使以点A、 C、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明原因．6．（ 2019?襄阳）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+3 与 x 轴， y 轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝ 1 的抛物线过B， C 两点，且交x 轴于另一点A，连结 AC．（ 1）直接写出点A，点 B，点 C 的坐标和抛物线的分析式；（ 2）已知点 P 为第一象限内抛物线上一点，当点 P 到直线 BC 的距离最大时， 求点坐标；（ 3）抛物线上能否存在一点Q （点 C 除外），使以点 Q ，A ， B 为极点的三角形与△相像？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明原因．P 的ABC7．（ 2019?随州）如图 1，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线 2y ＝ ax +bx+c 与 y轴交于点 A （ 0， 6），与 x 轴交于点 B （﹣ 2， 0），C （ 6，0）．（ 1）直接写出抛物线的分析式及其对称轴；（ 2）如图 2，连结 AB ， AC ，设点 P （m ， n ）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右边，过点 P 作 PD ⊥ AC 于点 E ，交 x 轴于点 D ，过点 P 作 PG ∥ AB 交 AC 于点 F ，交 x 轴于点 G ．设线段 DG 的长为 d ，求 d 与 m 的函数关系式，并注明m 的取值范围；（ 3）在（ 2）的条件下，若△ PDG 的面积为，① 求点 P 的坐标；② 设 M 为直线 AP 上一动点，连结 OM 交直线 AC 于点 S ，则点 M 在运动过程中，在抛物线上能否存在点 R ，使得△ ARS 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 M 及其对应的点 R 的坐标；若不存在，请说明原因．8．（ 2019?梧州）如图，已知 ⊙A 的圆心为点 （3，0），抛物线 y ＝ ax 2﹣x+c 过点 A ，与⊙ A交于 B 、 C 两点，连结 AB 、 AC ，且 AB ⊥ AC ，B 、 C 两点的纵坐标分别是2、 1．（ 1）请直接写出点 B 的坐标，并求 a 、 c 的值；（ 2）直线 y ＝ kx+1 经过点 B ，与 x 轴交于点 D ．点 E （与点 D 不重合）在该直线上，且AD ＝ AE ，请判断点 E 能否在此抛物线上，并说明原因；（ 3）假如直线 y ＝ k 1x ﹣ 1 与 ⊙A 相切，请直接写出知足此条件的直线分析式．9．（ 2019?柳州）如图，直线 y ＝ x ﹣ 3 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 C ，点 B 的坐标为（ 1，0），抛物线 y ＝ ax 2+bx+c （a ≠ 0）经过 A ， B ， C 三点，抛物线的极点为点D ，对称轴与 x 轴的交点为点 E ，点 E 对于原点的对称点为F ，连结 CE ，以点 F 为圆心，CE 的长为半径作圆，点 P 为直线 y ＝x ﹣ 3 上的一个动点．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）求△ BDP 周长的最小值；（ 3）若动点 P 与点 C 不重合， 点 Q 为 ⊙F 上的随意一点， 当过 P ， Q 两点的直线与抛物线交于M ， N 两点（点 M 在点 N的面积．PQ 的最大值等于CE 时，的左边），求四边形 ABMN210．（ 2019?张家界）已知抛物线 y ＝ax +bx+c （ a ≠ 0）过点 A （ 1， 0）， B （3， 0）两点，与y 轴交于点 C ， OC ＝ 3．（ 1）求抛物线的分析式及极点D 的坐标；（ 2）过点 A 作 AM ⊥ BC ，垂足为 M ，求证：四边形 ADBM 为正方形；（ 3）点 P 为抛物线在直线 BC 下方图形上的一动点， 当△ PBC 面积最大时， 求点 P 的坐标；（4）若点 Q 为线段 OC 上的一动点，问： AQ+ QC 能否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明原因．211．（ 2019?贵阳）如图，二次函数y＝ x +bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点C，且对于直线 x＝ 1 对称，点 A 的坐标为（﹣ 1，0）．（ 1）求二次函数的表达式；（ 2）连结 BC，若点 P 在 y 轴上时， BP 和 BC 的夹角为15°，求线段 CP 的长度；（ 3）当 a≤ x≤ a+1 时，二次函数22a，求 a 的值．y＝ x +bx+c 的最小值为12．（ 2019?包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y＝ ax +bx+2（ a≠ 0）与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0）两点，与y 轴交于点 C，连结 BC．（1）求该抛物线的分析式，并写出它的对称轴；（2）点 D 为抛物线对称轴上一点，连结CD 、BD ，若∠ DCB ＝∠ CBD ，求点 D 的坐标；（ 3）已知 F（ 1， 1），若 E（ x，y）是抛物线上一个动点（此中1＜ x＜ 2），连结 CE、CF、EF，求△CEF 面积的最大值及此时点 E 的坐标．（ 4）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上能否存在点M，使得以B，C，M，N 为极点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出全部知足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明原因．213．（2019?烟台）如图，极点为M 的抛物线y＝ ax +bx+3 与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0），B 两点，与 y 轴交于点C，过点 C 作 CD⊥ y 轴交抛物线于另一点D，作 DE ⊥ x 轴，垂足为点E，双曲线 y＝（x＞0）经过点D，连结MD，BD．（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）点 N，F 分别是 x 轴， y 轴上的两点，当以M，D ， N， F 为极点的四边形周长最小时，求出点N， F 的坐标；（ 3）动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，当 t 为什么值时，∠BPD 的度数最大？（请直接写出结果）14．（ 2019?玉林）已知二次函数：y＝ ax2+（ 2a+1）x+2 （ a＜ 0）．（ 1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（ 2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 a 为负整数时，求 a 的值及二次函数的分析式并画出二次函数的图象（不用列表，只需求用其与x 轴的两个交点 A，B（ A 在 B 的左边），与 y 轴的交点 C 及其极点 D 这四点画出二次函数的大概图象，同时标出 A ，B ， C ， D 的地点）；（ 3）在（ 2）的条件下，二次函数的图象上能否存在一点求出点 P 的坐标；假如不存在，请说明原因．P 使∠ PCA ＝ 75°？假如存在，15．（2019?桂林）如图，抛物线 2轴交于点 A （﹣ 2，0）和 B （ l ，0），与 yy ＝﹣ x +bx+c 与 x 轴交于点 C ．（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）作射线 AC ，将射线 AC 绕点 A 顺时针旋转 90°交抛物线于另一点 D ，在射线 AD上能否存在一点 H ，使△ CHB 的周长最小．若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明原因；（ 3）在（ 2）的条件下，点 Q 为抛物线的极点，点 P 为射线 AD 上的一个动点，且点 P的横坐标为 t ，过点 P 作 x 轴的垂线 l ，垂足为 E ，点 P 从点 A 出发沿 AD 方向运动，直线 l 随之运动，当﹣ 2＜ t ＜1 时，直线 l 将四边形 ABCQ 切割成左右两部分，设在直线 l左边部分的面积为S ，求 S 对于 t 的函数表达式．16．（ 2019?河北）如图，若 b 是正数，直线 l ：y ＝ b 与 y 轴交于点 A ；直线 a ： y ＝ x ﹣b 与 y轴交于点 B ；抛物线 L ： y ＝﹣ x 2+bx 的极点为 C ，且 L 与 x 轴右交点为 D ．（ 1）若 AB ＝8，求 b 的值，并求此时 L 的对称轴与 a 的交点坐标； （ 2）当点 C 在 l 下方时，求点 C 与 l 距离的最大值；（ 3）设 x 0≠ 0，点（ x 0，y 1），（ x 0， y 2），（ x 0， y 3）分别在l ， a 和 L 上，且y 3是 y 1， y 2的均匀数，求点（ x 0， 0）与点D 间的距离；（4）在 L 和分别直接写出a 所围成的关闭图形的界限上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”b ＝ 2019 和 b ＝ 2019.5 时“美点”的个数．，217．（ 2019?常州）如图，二次函数 y ＝﹣ x +bx+3 的图象与 x 轴交于点 A 、B ，与 y 轴交于点C ，点 A 的坐标为（﹣ 1， 0），点 D 为 OC 的中点，点 P 在抛物线上．（ 1） b ＝；（ 2）若点 P 在第一象限， 过点 P 作 PH ⊥ x 轴，垂足为 H ，PH 与 BC 、BD 分别交于点 M 、N ．能否存在这样的点 P ，使得 PM ＝ MN ＝ NH ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因；（ 3）若点 P 的横坐标小于 3，过点 P 作 PQ ⊥ BD ，垂足为 Q ，直线 PQ 与 x 轴交于点 R ，且 S △PQB ＝ 2S △ QRB ，求点 P 的坐标．18．（ 2019?荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的极点 A ，C 的坐标分别为（ 6， 0），（ 4， 3），经过 B ， C 两点的抛物线与 x 轴的一个交点 D 的坐标为（ 1，0）．（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）若∠ AOC 的均分线交 BC 于点 E ，交抛物线的对称轴于点F ，点当 PE+PF 的值最小时，求点P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，过点 A 作 OE 的垂线交 BC 于点 H ，点 M ，N对称轴上的动点，能否存在这样的点M ， N ，使得以点 M ， N ，H ，EP 是 x 轴上一动点，分别为抛物线及其为极点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标，若不存在，说明原因．19．（ 2019?河南）如图，抛物线2两点，交 y 轴于点 C．直线 y y＝ ax + x+c 交 x 轴于 A， B＝﹣ x﹣ 2 经过点 A，C．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）点 P 是抛物线上一动点，过点P 作 x 轴的垂线，交直线AC 于点 M，设点 P 的横坐标为 m．①当△ PCM 是直角三角形时，求点P 的坐标；②作点 B 对于点 C 的对称点 B'，则平面内存在直线l，使点 M，B，B′到该直线的距离都相等．当点 P 在 y 轴右边的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l ：y＝ kx+b 的分析式．（ k，b 可用含 m 的式子表示）20．（ 2019?镇江）如图，二次函数2图象的极点为 D ，对称轴是直线1，一次y＝﹣ x +4x+5函数 y＝ x+1 的图象与 x 轴交于点 A，且与直线 DA 对于 l 的对称直线交于点B．（ 1）点 D 的坐标是；（ 2）直线 l 与直线 AB 交于点 C， N 是线段 DC 上一点（不与点D、 C 重合），点 N 的纵坐标为 n．过点 N 作直线与线段DA、DB 分别交于点P、Q，使得△ DPQ 与△ DAB 相像．①当 n＝时，求DP的长；②若对于每一个确立的n 的值，有且只有一个△DPQ 与△ DAB 相像，请直接写出n 的取值范围．21．（ 2019?湘西州）如图，抛物线2y＝ ax +bx（a＞ 0）过点 E（ 8，0），矩形 ABCD 的边 AB在线段 OE 上（点 A 在点 B 的左边），点 C、 D 在抛物线上，∠ BAD 的均分线 AM 交 BC 于点 M，点 N 是 CD 的中点，已知 OA＝2，且 OA：AD＝ 1： 3．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）F、 G 分别为 x 轴， y 轴上的动点，按序连结M、 N、 G、 F 组成四边形 MNGF ，求四边形 MNGF 周长的最小值；（ 3）在 x 轴下方且在抛物线上能否存在点P，使△ ODP 中 OD 边上的高为？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因；（ 4）矩形 ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K 、L，且直线 KL 均分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．222．（ 2019?邵阳）如图，二次函数y＝﹣x +bx+c 的图象过原点，与x 轴的另一个交点为（8， 0）（ 1）求该二次函数的分析式；（ 2）在 x 轴上方作 x 轴的平行线y 1＝ m ，交二次函数图象于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点D 、点 C ．当矩形 ABCD 为正方形时，求 m 的值；（ 3）在（ 2）的条件下，动点 P 从点 A 出发沿射线 AB 以每秒 1 个单位长度匀速运动， 同时动点 Q 以相同的速度从点A 出发沿线段 AD 匀速运动，抵达点D 时立刻原速返回， 当动点 Q 返回到点 A 时， P 、Q 两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒（ t ＞0）．过点 P向 x 轴作垂线，交抛物线于点E ，交直线 AC 于点F ，问：以 A 、E 、F 、Q 四点为极点构成的四边形可否是平行四边形．若能，恳求出t 的值；若不可以，请说明原因．23．（ 2019?广西）假如抛物线 C 1 的极点在拋物线 C 2 上，抛物线 C 2 的极点也在拋物线 C 1 上时，那么我们称抛物线C 1 与 C 2“互为关系”的抛物线．如图1，已知抛物线 C 1： y 1＝ x 2+x 与 C 2： y 2＝ax 2+x+c 是“互为关系”的拋物线，点A ，B 分别是抛物线C 1，C 2的极点，抛物线 C 2 经过点 D （ 6，﹣ 1）．（ 1）直接写出 A ， B 的坐标和抛物线 C 2 的分析式；（ 2）抛物线 C 2 上能否存在点 E ，使得△ ABE 是直角三角形？假如存在，恳求出点 E 的坐标；假如不存在，请说明原因；（ 3）如图 2，点 F （﹣ 6，3）在抛物线 C 1 上，点 M ， N 分别是抛物线 C 1，C 2 上的动点，且点 M ，N 的横坐标相同， 记△ AFM 面积为 S 1（当点 M 与点 A ，F 重合时 S 1＝ 0），△ ABN的面积为S 2（当点N 与点A ，B 重合时，S 2＝ 0），令S ＝ S 1+S 2，察看图象，当y 1 ≤y 2 时，写出x 的取值范围，并求出在此范围内S 的最大值．24．（ 2019?贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（﹣ 1， 0），且 OA＝ OC2＝ 4OB，抛物线y＝ ax +bx+c（ a≠0）图象经过A，B， C 三点．（ 1）求 A，C 两点的坐标；（ 2）求抛物线的分析式；（ 3）若点 P 是直线 AC 下方的抛物线上的一个动点，作 PD ⊥ AC 于点 D，当 PD 的值最大时，求此时点 P 的坐标及 PD 的最大值．25．（ 2019?黄冈）如图①，在平面直角坐标系（ 0，2），D（ 2，0）四点，动点 M 以每秒xOy 中，已知 A（﹣ 2， 2）， B（﹣ 2， 0），C 个单位长度的速度沿 B→ C→ D 运动（ M 不与点 B、点 D 重合），设运动时间为t（秒）．（ 1）求经过 A、 C、D 三点的抛物线的分析式；（ 2）点 P 在（ 1）中的抛物线上，当 M 为 BC 的中点时，若△ PAM≌△ PBM ，求点 P 的坐标；（ 3）当 M 在 CD 上运动时，如图② ．过点 M 作 MF ⊥x 轴，垂足为 F ， ME ⊥AB，垂足为E．设矩形 MEBF 与△ BCD 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值；（ 4）点 Q 为 x 轴上一点，直线AQ 与直线 BC 交于点 H，与 y 轴交于点K．能否存在点Q，使得△ HOK 为等腰三角形？若存在，直接写出切合条件的全部Q 点的坐标；若不存在，请说明原因．26．（ 2019?毕节市）已知抛物线2y＝ ax +bx+3 经过点 A（ 1，0）和点 B（﹣ 3，0），与 y 轴交于点 C，点 P 为第二象限内抛物线上的动点．（ 1）抛物线的分析式为，抛物线的极点坐标为；（ 2）如图 1，连结 OP 交 BC 于点 D ，当 S△CPD： S△BPD＝ 1： 2 时，恳求出点 D 的坐标；（ 3）如图 2，点 E 的坐标为（ 0，﹣ 1），点 G 为 x 轴负半轴上的一点，∠OGE ＝ 15°，连结 PE，若∠ PEG＝ 2∠ OGE ，恳求出点P 的坐标；（ 4）如图 3，能否存在点P，使四边形BOCP 的面积为8？若存在，恳求出点P 的坐标；若不存在，请说明原因．227．（ 2019?贵港）如图，已知抛物线y＝ ax +bx+c 的极点为A（ 4， 3），与 y 轴订交于点 B （0，﹣ 5），对称轴为直线 l ，点 M 是线段 AB 的中点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出点 M 的坐标并求直线 AB 的表达式；（3）设动点 P，Q 分别在抛物线和对称轴 l 上，当以 A，P，Q，M 为极点的四边形是平行四边形时，求 P， Q 两点的坐标．228．（ 2019?福建）已知抛物y＝ax +bx+c（ b＜0）与 x 轴只有一个公共点．（ 1）若抛物线与x 轴的公共点坐标为（2， 0），求 a、 c 知足的关系式；（ 2）设 A 为抛物线上的必定点，直线l：y＝ kx+1﹣ k 与抛物线交于点B、C，直线 BD 垂直于直线y＝﹣ 1，垂足为点D．当 k＝ 0 时，直线l 与抛物线的一个交点在y 轴上，且△ABC 为等腰直角三角形．①求点 A 的坐标和抛物线的分析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有 A、D 、 C 三点共线．29．（ 2019?淮安）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于 A、B 两点， D 为极点，此中点 B 的坐标为（ 5， 0），点 D 的坐标为（ 1， 3）．（ 1）求该二次函数的表达式；（ 2）点 E 是线段 BD 上的一点，过点 E 作 x 轴的垂线，垂足为 F ，且 ED ＝ EF，求点 E 的坐标．（ 3）试问在该二次函数图象上能否存在点G，使得△ ADG 的面积是△ BDG 的面积的？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明原因．30．（ 2019?黄石）如图，已知抛物线y＝2x +bx+c 经过点 A（﹣ 1，0）、 B（5， 0）．（ 1）求抛物线的分析式，并写出极点M 的坐标；（ 2）若点 C 在抛物线上，且点 C 的横坐标为 8，求四边形 AMBC 的面积；（ 3）定点 D （0， m）在 y 轴上，若将抛物线的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位获得一条新的抛物线，点P 在新的抛物线上运动，求定点 D 与动点 P 之间距离的最小值 d（用含 m 的代数式表示）31．（ 2019?广东）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x﹣与 x 轴交x +于点 A、 B（点 A 在点 B 右边），点 D 为抛物线的极点，点 C 在 y 轴的正半轴上， CD 交x 轴于点 F ，△ CAD 绕点 C 顺时针旋转获得△ CFE，点 A 恰巧旋转到点F，连结 BE．（ 1）求点 A、B、 D 的坐标；（ 2）求证：四边形 BFCE 是平行四边形；（ 3）如图 2，过极点 D 作 DD 1⊥ x 轴于点 D 1，点 P 是抛物线上一动点，过点P作 PM⊥x 轴，点 M 为垂足，使得△ PAM 与△ DD 1A 相像（不含全等）．① 求出一个知足以上条件的点P 的横坐标；②直接回答这样的点P 共有几个？232．（ 2019?海南）如图，已知抛物线y＝ ax +bx+5 经过 A（﹣ 5， 0）， B（﹣ 4，﹣ 3）两点，与 x 轴的另一个交点为 C，极点为 D ，连结CD．（ 1）求该抛物线的表达式；（2）点 P 为该抛物线上一动点（与点B、 C 不重合），设点 P 的横坐标为 t．①当点 P 在直线 BC 的下方运动时，求△ PBC 的面积的最大值；② 该抛物线上能否存在点P ，使得∠ PBC ＝∠ BCD ？若存在，求出全部点P 的坐标；若不存在，请说明原因．33．（ 2019?十堰）已知抛物线 y ＝ a （ x ﹣ 2）2 +c 经过点 A （﹣ 2， 0）和 C （ 0， ），与 x 轴交于另一点 B ，极点为 D ．（ 1）求抛物线的分析式，并写出D 点的坐标；（ 2）如图，点 E ， F 分别在线段 AB ，BD 上（ E 点不与 A ， B 重合），且∠ DEF ＝∠ A ，则△ DEF 可否为等腰三角形？若能，求出 BE 的长；若不可以，请说明原因；（ 3）若点 P 在抛物线上，且 ＝m ，试确立知足条件的点 P 的个数．34．（ 2019?山西）综合与研究如图，抛物线 y ＝ ax 2+bx+6 经过点 A （﹣ 2，0）， B （ 4，0）两点，与 y 轴交于点 C ，点 D 是抛物线上一个动点，设点 D 的横坐标为 m （1＜ m ＜ 4）．连结 AC ， BC ， DB ， DC ．（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）△ BCD 的面积等于△ AOC 的面积的时，求 m 的值；（ 3）在（ 2）的条件下，若点 M 是 x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断能否存在这样的点 M ，使得以点 B ， D ，M ，N 为极点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明原因．35．（ 2019?眉山）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣2x +bx+c 经过点 A（﹣ 5，0）和点 B（ 1， 0）．（ 1）求抛物线的分析式及极点 D 的坐标；（2）点 P 是抛物线上 A、D 之间的一点，过点线于点 G，过点 G 作 GF⊥ x 轴于点 F，当矩形P 作 PE⊥ x 轴于点 E，PG⊥ y 轴，交抛物PEFG 的周长最大时，求点 P 的横坐标；（ 3）如图 2，连结 AD 、BD，点 M 在线段MN 交线段 AD 于点 N，能否存在这样点 AN 的长；若不存在，请说明原因．AB 上（不与 A、B 重合），作∠ DMN ＝∠DBA ，M，使得△ DMN 为等腰三角形？若存在，求出236．（ 2019?新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax +bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）， C（ 0， 4）三点．（ 1）求抛物线的分析式及极点 D 的坐标；（ 2）将（ 1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h（ h＞ 0）个单位长度，获得新抛物线．若新抛物线的极点 D ′在△ ABC 内，求 h 的取值范围；（3）点 P 为线段 BC 上一动点（点 P 不与点 B， C 重合），过点 P 作 x 轴的垂线交（ 1）中的抛物线于点 Q，当△ PQC 与△ ABC 相像时，求△ PQC 的面积．37．（ 2019?呼和浩特）已知二次函数 y ＝ ax 2﹣ bx+c 且 a ＝ b ，若一次函数 y ＝kx+4 与二次函数的图象交于点 A （ 2，0）．（ 1）写出一次函数的分析式，并求出二次函数与x 轴交点坐标；（ 2）当 a ＞ c 时，求证：直线 y ＝ kx+4 与抛物线 y ＝ ax 2﹣ bx+c 必定还有另一个异于点A的交点；（ 3）当 c ＜ a ≤ c+3 时，求出直线 y ＝ kx+4 记抛物线极点为 M ，抛物线对称轴与直线与抛物线 y ＝ax 2﹣ bx+c 的另一个交点 B 的坐标；y ＝ kx+4 的交点为 N ，设 S ＝S △ AMN ﹣ S △BMN ，写出 S 对于 a 的函数，并判断 S 能否有最大值？假如有，求出最大值；假如没有，请说明原因．38．（ 2019?益阳）在平面直角坐标系xOy 中，极点为 A 的抛物线与 x 轴交于 B 、C 两点，与y 轴交于点 D ，已知 A （ 1， 4）， B （ 3， 0）．（ 1）求抛物线对应的二次函数表达式；（ 2）研究：如图 1，连结 OA ，作 DE ∥OA 交 BA 的延伸线于点E ，连结 OE 交 AD 于点F ， M 是 BE 的中点，则 OM 能否将四边形OBAD 分红面积相等的两部分？请说明原因；（ 3）应用：如图 2，P （m ，n ）是抛物线在第四象限的图象上的点，且 m+n ＝﹣ 1，连结PA 、 PC ，在线段 PC 上确立一点 M ，使 AN 均分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点 A 、B 的坐标分别为 （ x 1，y 1）、（ x 2，y 2），则线段 AB 的中点坐标为 （，）．39．（ 2019?孝感）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y ＝ ax2﹣ 2ax ﹣8a 与 x 轴订交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C （ 0，﹣ 4）．（ 1）点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为，线段 AC 的长为，抛物线的分析式为．（ 2）点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点．① 假如在 x 轴上存在点Q ，使得以点 B 、 C 、 P 、Q 为极点的四边形是平行四边形．求点Q 的坐标．② 如图 2，过点 P 作 PE ∥CA 交线段 BC 于点 E ，过点 P 作直线 x ＝ t 交 BC 于点 F ，交 x轴于点 G ，记 PE ＝ f ，求 f 对于 t 的函数分析式；当t 取 m 和 4﹣ m （ 0＜ m ＜ 2）时，试比较 f 的对应函数值 f 1 和 f 2 的大小．40．（ 2019?咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣ x+2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，抛物线 y ＝﹣x 2+bx+c 经过 A ，B 两点且与 x 轴的负半轴交于点C ．（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）若点 D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当∠ABD ＝ 2∠BAC 时，求点 D 的坐标；（ 3）已知E， F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B， O， E，F 为极点的四边形是平行四边形时，直接写出全部切合条件的 E 点的坐标．九上数学 -二次函数 -综合题（一）参照答案与试题分析一．解答题（共40 小题）2 1．（2019?赤峰）如图，直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴、y 轴分别交于B、C 两点，抛物线 y＝﹣ x +bx+c 经过点 B、 C，与 x 轴另一交点为 A，极点为 D．（1）求抛物线的分析式；（2）在 x 轴上找一点 E，使 EC+ED 的值最小，求 EC+ED 的最小值；（3）在抛物线的对称轴上能否存在一点 P，使得∠ APB ＝∠ OCB？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明原因．【解答】解：（ 1）直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于 B、C 两点，则点 B、C 的坐标分别为（ 3， 0）、（0， 3），将点 B、 C 的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣ x2+2x+3，令 y＝ 0，则x＝﹣ 1 或 3，故点 A（﹣ 1， 0）；（ 2）如图 1，作点 C 对于 x 轴的对称点 C′，连结 CD′交 x 轴于点 E，则此时 EC+ED 为最小，函数极点坐标为（ 1， 4），点 C ′（ 0，﹣ 3），将 CD 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线 CD 的表达式为： y ＝ 7x ﹣3，当 y ＝ 0 时， x ＝ ，故点 E （ ， x ）；（ 3）① 当点 P 在 x 轴上方时，以下列图2，∵ OB ＝ OC ＝3，则∠ OCB ＝ 45°＝∠ APB ，过点 B 作 BH ⊥ AP 于点 H ，设 PH ＝ BH ＝m ，则 PB ＝ PA ＝ m ，由勾股定理得： AB 2＝AH 2+BH 2，22 2，16＝ m +（ m ﹣m ） ，解得： m ＝ 8+4则 PB 2＝ 2m 2＝ 16+8则 y P ＝＝ 2+2；② 当点 P 在 x 轴下方时，则 y P ＝﹣（ 2）；故点 P 的坐标为（ 1， 2）或（1，﹣2﹣2）．22．（ 2019?通辽）已知，如图，抛物线y＝ ax +bx+c（ a≠ 0）的极点为M（ 1，9），经过抛物线上的两点A（﹣ 3，﹣ 7）和B（ 3， m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（ 1）求抛物线的分析式和直线AB 的分析式．（ 2）在抛物线上A、 M 两点之间的部分（不包含A、 M 两点），能否存在点D，使得S△DAC＝ 2S△DCM？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明原因．（ 3）若点 P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点A，M，P，Q 为极点的四边形是平行四边形时，直接写出知足条件的点P 的坐标．【解答】解：（ 1）二次函数表达式为：y＝ a（x﹣ 1）2+9，将点 A 的坐标代入上式并解得：a＝﹣ 1，2故抛物线的表达式为：y＝﹣ x +2x+8①，则点 B（ 3， 5），将点 A、 B 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线 AB 的表达式为： y＝ 2x﹣ 1；（ 2）存在，原因：二次函数对称轴为：x＝ 1，则点 C（ 1， 1），过点 D 作 y 轴的平行线交AB 于点 H，2设点 D （ x ，﹣ x +2x+8），点 H （ x ， 2x ﹣ 1），∵ S △DAC ＝ 2S △ DCM ，则 S △DAC ＝ DH （ x C ﹣x A ）＝ 2﹣ 2x+1 ）（ 1+3 ）＝ （ 9﹣ 1）（ 1﹣ x ）× 2， （﹣ x +2x+8解得： x ＝﹣ 1 或 5（舍去 5），故点 D （﹣ 1， 5）；（ 3）设点 Q （ m ， 0）、点 P （ s ， t ）， t ＝﹣ s 2+2s+8，① 当 AM 是平行四边形的一条边时，点 M 向左平移 4 个单位向下平移 16 个单位获得 A ，同理，点 Q （ m ，0）向左平移 4 个单位向下平移16 个单位为（ m ﹣ 4，﹣ 16），即为点 P ，即： m ﹣ 4＝s ，﹣ 6＝ t ，而 t ＝﹣ s 2+2s+8 ，解得： s ＝6 或﹣ 4，故点 P （ 6，﹣ 16）或（﹣ 4，﹣ 16）；② 当 AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得： m+s ＝﹣ 2， t ＝ 2，而 t ＝﹣ s 2+2s+8，解得： s ＝1，故点 P （ 1，2）或（ 1﹣综上，点 P （ 6，﹣ 16）或（﹣，2）；4，﹣ 16）或（ 1 ， 2）或（ 1﹣，2）．3．（ 2019?吉林）如图，抛物线 y ＝（ x ﹣1） 2+k 与 x 轴订交于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴订交于点 C （ 0，﹣ 3）． P 为抛物线上一点，横坐标为 m ，且 m ＞0．（ 1）求此抛物线的分析式；（ 2）当点 P 位于 x 轴下方时，求△ ABP 面积的最大值；（ 3）设此抛物线在点 C 与点 P 之间部分（含点 C 和点 P ）最高点与最低点的纵坐标之差为 h ．① 求 h 对于 m 的函数分析式，并写出自变量m 的取值范围；② 当 h ＝9 时，直接写出△ BCP 的面积．2【解答】 解：（ 1）将点 C （ 0，﹣ 3）代入 y ＝（ x ﹣ 1） +k ，得 k ＝﹣ 4，∴ y ＝（ x ﹣ 1） 2﹣ 4＝ x 2﹣ 2x ﹣ 3；（ 2）令 y ＝ 0， x ＝﹣ 1 或 x ＝ 3，∴ A （﹣ 1， 0）， B （ 3， 0），∴ AB ＝ 4；抛物线极点为（ 1，﹣ 4），当 P 位于抛物线极点时，△ ABP 的面积有最大值，S ＝＝8；22（ 3）① 当 0＜ m ≤ 1 时， h ＝﹣ 3﹣（ m ﹣ 2m ﹣ 3）＝﹣ m +2m ；当 1＜m ≤ 2 时， h ＝﹣ 1﹣（﹣ 4）＝ 1；当 m ＞ 2 时， h ＝ m 2﹣ 2m ﹣ 3﹣（﹣ 4）＝ m 2﹣ 2m+1；② 当 h ＝9 时2若﹣ m +2 m ＝ 9，此时△＜ 0， m 无解；若 m 2﹣ 2m+1＝ 9，则 m ＝ 4，∴ P （ 4， 5），∵ B （ 3， 0），C （ 0，﹣ 3），∴△ BCP 的面积＝8× 4﹣5×1﹣（ 4+1）× 3＝ 6；24．（ 2019?绥化）已知抛物线 y ＝ax +bx+3 的对称轴为直线 x ＝ ，交 x 轴于点 A 、 B ，交 y轴于点C ，且点 A 坐标为A （﹣ 2， 0）．直线 y ＝﹣ mx ﹣ m （ m ＞ 0）与抛物线交于点P 、Q （点P 在点Q 的右边），交y 轴于点H ．（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）若 n ＝﹣ 5，且△ CPQ 的面积为 3，求 m 的值；（ 3）当 m ≠1 时，若 n ＝﹣ 3m ，直线 AQ 交 y 轴于点 K ．设△ PQK 的面积为 S ，求 S 与 m之间的函数分析式．【解答】 解：（ 1）将点 A （﹣ 2，0）代入分析式，得 4a ﹣ 2b+3＝ 0，∵ x ＝﹣＝ ，∴ a ＝﹣ ， b ＝ ；∴ y ＝﹣ x 2+ x+3；（ 2）设点 Q 横坐标 x 1，点 P 的横坐标 x 2，则有 x 1＜x 2，把 n ＝﹣ 5 代入 y ＝﹣ mx ﹣ n ，∴ y ＝﹣ mx+5，联立 y ＝﹣ mx+5 ， y ＝﹣2x + x+3 得：﹣ mx+5＝﹣ x 2+ x+3，∴ x 2﹣（ 2m+1） x+4 ＝ 0，∴ x 1+x 2＝ 2m+1， x 1x 2＝ 4，∵△ CPQ 的面积为 3；∴ S △CPQ ＝ S △CHP ﹣ S △CHQ ，即 HC （ x 2﹣ x 1）＝ 3，∴ x 2﹣ x 1＝3，∴﹣ 4x 1x 2＝ 9，∴（ 2m+1 ）2＝ 25，∴ m ＝ 2 或 m ＝﹣ 3， ∵ m ＞ 0，∴ m ＝ 2；（ 3）当 n ＝﹣ 3m 时， PQ 分析式为 y ＝﹣ mx+3m ， ∴ H （ 0， 3m ），∵ y ＝﹣ mx+3m 与 y ＝﹣ x 2+ x+3 订交于点 P 与 Q ， ∴﹣ mx+3 m ＝﹣ x 2+ x+3，∴ x ＝ 3 或 x ＝ 2m ﹣ 2，当 2m ﹣ 2＜ 3 时，有 0＜ m ＜ ，∵点 P 在点 Q 的右边，2∴ P （ 3， 0），Q （ 2m ﹣ 2，﹣ 2m +5m ），∴ AQ 的直线分析式为 y ＝x+5﹣ 2m ，∴ K （ 0， 5﹣ 2m ），∴ HK ＝ |5m ﹣ 5|＝ 5|m ﹣ 1|，① 当 0＜m ＜ 1 时，如图 ① ， HK ＝ 5﹣5m ，∴ S △PQK ＝ S △PHK +S △ QHK ＝HK （ x P ﹣ x Q ）＝ （ 5﹣5m ）（ 5﹣ 2m ）＝5m 2﹣m+ ，② 当 1＜m ＜时，如图 ② ， HK ＝5m ﹣ 5，∴ S △PQK ＝﹣ 5m2，+ m ﹣③ 当 2m ﹣ 2＞3 时，如图 ③ ，有 m ＞，2∴ P （ 2m ﹣2，﹣ 2m +5m ）， Q （ 3，0）， K （ 0， 0），∴ S △PQK ＝ × KQ |y P |＝ （2m 2﹣ 5m ）＝ 3m 2﹣ m ，综上所述， S ＝；5．（ 2019?齐齐哈尔）综合与研究如图，抛物线 y ＝ x 2+bx+c 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点， OA ＝ 2， OC ＝6，连结 AC 和 BC ．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）点 D 在抛物线的对称轴上， 当△ ACD 的周长最小时， 点 D 的坐标为 （ ，﹣5） ．（ 3）点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连结CE 和 BE ．求△ BCE 面积的最大值及此时点 E 的坐标；（ 4）若点 M 是 y 轴上的动点，在座标平面内能否存在点N ，使以点 A 、 C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明原因．【解答】 解：（ 1）∵ OA ＝ 2，OC ＝ 6∴ A （﹣ 2， 0）， C （ 0，﹣ 6）2∵抛物线 y ＝ x +bx+c 过点 A 、 C∴解得：∴抛物线分析式为y ＝ x 2﹣ x ﹣6（ 2）∵当 y ＝ 0 时， x 2﹣ x ﹣ 6＝ 0，解得： x 1＝﹣ 2， x 2＝ 3∴ B （ 3， 0），抛物线对称轴为直线 x ＝∵点 D 在直线 x ＝上，点 A 、 B 对于直线 x ＝ 对称∴ x D ＝ ， AD ＝BD∴当点 B 、 D 、 C 在同向来线上时， C △ACD ＝ AC+AD+CD ＝ AC+BD +CD ＝ AC+BC 最小设直线 BC 分析式为 y ＝ kx ﹣ 6∴ 3k ﹣6＝ 0，解得： k ＝ 2∴直线 BC ：y ＝ 2x ﹣ 6∴y D＝2× ﹣ 6＝﹣ 5∴D（，﹣ 5）故答案为：（，﹣ 5）（ 3）过点 E 作 EG⊥ x 轴于点 G，交直线 BC 与点 F设 E（ t， t 2﹣t ﹣ 6）（ 0＜ t＜ 3），则 F （ t， 2t﹣ 6）∴ EF＝ 2t﹣ 6﹣（ t 2﹣t ﹣ 6）＝﹣ t2+3t∴ S△BCE＝ S△BEF+S△CEF＝EF?BG+ EF?OG＝EF（ BG+OG ）＝EF?OB ＝× 3（﹣2 2t +3t）＝﹣（t﹣）+∴当 t＝时，△ BCE面积最大∴ y E＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点 E 坐标为（，﹣）时，△ BCE面积最大，最大值为．（4）存在点 N，使以点 A、 C、 M、 N 为极点的四边形是菱形．∵ A（﹣ 2， 0）， C（ 0，﹣ 6）∴ AC＝①若 AC 为菱形的边长，如图3，则 MN∥AC 且， MN ＝AC＝ 2∴ N1（﹣ 2， 2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）②若 AC 为菱形的对角线，如图4，则 AN4∥ CM 4， AN4＝ CN4设 N4（﹣ 2，n）∴﹣ n＝解得： n＝﹣∴ N4（﹣ 2，﹣）综上所述，点N 坐标为（﹣ 2， 2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．。

二次函数综合专题东城区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342≠-+-=a a ax ax y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）． （1）当抛物线过原点时，求实数a 的值； （2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a 的代数式表示）； （3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．26.解：(1) ∵点()0,0O 在抛物线上，∴320a -=，23a =.--------------------2分 (2)①对称轴为直线2x =；②顶点的纵坐标为 2a --.--------------------4分 (3) （i ）当0a ＞时，依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＜，≥解得2.3a ≥（ii ）当0a ＜时， 依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＞，≤解得a ＜-2.综上，2a -＜，或23a ≥. --------------------7分西城区26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线：1(0)y mx m m =+-≠．（1）当1m =时，画出直线和抛物线G ，并直接写出直线被抛物线G 截得的线段长． （2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线上并说明理由．（3）若直线被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．x【解析】（1）当1m =时，抛物线G 的函数表达式为22y x x =+，直线的函数表达式为y x =，直线被抛物线Gx（2）∵抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0,1)C m -，∵2221(1)1y mx mx m m x =++-=+-， ∴抛物线G 的顶点D 的坐标为(1,1)--， 对于直线：1(0)y mx m m =+-≠， 当0x =时，1y m =-，当1x =-时，(1)11y m m =⨯-+-=-， ∴无论m 取何值，点C ，D 都在直线上． （3）m的取值范围是m ≤m海淀区26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x ax b =-+的顶点在 x 轴上，1(,)P x m ，2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点．（1）若1a =，①当m b =时，求1x ，2x 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值范围是 ．26．解：抛物线22y x ax b =-+的顶点在x 轴上，24(2)04b a --∴=.2b a ∴=. ………………1分（1）1a =，1b ∴=.∴抛物线的解析式为221y x x =-+.①1m b ==，2211x x ∴-+=，解得10x =，22x =. ………………2分②依题意，设平移后的抛物线为2(1)y x k =-+.抛物线的对称轴是1x =，平移后与x 轴的两个交点之间的距离是4， ∴(3,0)是平移后的抛物线与x 轴的一个交点.2(31)0k ∴-+=，即4k =-.∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位. ………………4分（2）16m ≥. ………………6分 丰台区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y ax ax a =-+的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G 2，图象G 1和G 2组成图象G ．过(0，b )作与y 轴垂直的直线l ，当直线l 和图象G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求b 的取值范围和x 1 + x 2的值．()22x a --，∴对称轴为x = 2．………………………………………1分 ∵抛物线最高点的纵坐标是2，∴a = -2． ………………………………………2分 ∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-. ……………3分（2）由图象可知，2b =或-6≤b <0. ………………6分由图象的对称性可得：x 1+x 2=2． (7)分石景山区26．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线21G y mx =+：（0m ≠个单位长度后得到抛物线2G ，点A 是抛物线2G 的顶点． （1）直接写出点A 的坐标；xy（2）过点0（且平行于x 轴的直线l 与抛物线2G 交于B ，C 两点． ①当=90BAC ∠°时，求抛物线2G 的表达式； ②若60120BAC <∠<°°，直接写出m 的取值范围．26．解:（1）()A. ………………………………… 2分（2）①设抛物线2G的表达式为2(y m x =+如图所示，由题意可得AD ==∵=90BAC ∠°，AB AC =， ∴=45ABD ∠︒.∴BD AD ==∴点B的坐标为. ∵点B 在抛物线2G 上，可得3m =.∴抛物线2G的表达式为23y x =+，即223y x =+………………… 5分②m <<-. ………………… 7分 朝阳区26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B . （1）求点A ，B 的坐标；（2）若方程()244=00ax ax a --≠有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围.26.解：（1）44)2(4422---=--=a x a ax ax y ．∴A （0，－4），B （2，0）．……………………………………2分 （2）当抛物线经过点（1，0）时，34-=a ．…………………… 4分 当抛物线经过点（2，0）时，1-=a ． …………………………6分 结合函数图象可知，a 的取值范围为134<≤-a ．……………… 7分 燕山区24．如图，在平面直角坐标系中，直线l : y=kx+k (k ≠0)与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点，且点B(0,2)，点P 在y 轴正半轴上运动，过点P 作平行于x 轴的直线y=t ． （1）求 k 的值和点A 的坐标；（2）当t=4时，直线y=t 与直线l 交于点M ，反比例函数xny =（n ≠0）的图象经过点M ，求反比例函数的解析式； (3)当t<4时，若直线y=t 与直线l 和（2）反比例函数的图象分别交于点C ，D ，当CD 间距离大于等于2时，求t 的取值范围.24.解：（1）∵直线l :y=kx+k 经过点B(0,2)，∴k=2∴ y=2x+2∴A(-1,0) ……………………….2′（2）当t=4时，将y=4代入y=2x+2得，x=1∴M(1,4)代入xny =得，n=4 ∴xy 4=……………………….2′ （3）当t=2时，B(0,2) 即C(0,2)，而D(2,2)如图，CD=2，当y=t 向下运动但是不超过x 轴时，符合要求∴ t 的取值范围是 0 <t ≤2 ……………………….5′ 门头沟区26.有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)； ②对称轴是3x =； ③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”， 平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点33(,)C x y 、44(,)D x y 、55(,)E x y （345x x x <<），结合画出的函数图象求345x x x ++的取值范围.26. （本小题满分7分）（1）解：有上述信息可知该函数图象的顶点坐标为: (3,2)- 设二次函数表达式为：2(3)2y a x =-- ……………1分 ∵该图象过(1,0)A∴20(13)2a =--，解得12a =……………2分 ∴表达式为21(3)22y x =-- （2）图象正确………………………………………………………3分 由已知条件可知直线与图形“G ”要有三个交点① 当直线与x 轴重合时，有2个交点,由二次函数的轴对称性可求 346x x += ……………………………………4分 ∴34511x x x ++＞ ……………………………………5分 ②当直线过21(3)22y x =--的图象顶点时，有2个交点， 由翻折可以得到翻折后的函数图象为21(3)22y x =--+ ∴令21(3)222x --+=-时，解得3x =±3x =-6分∴3459x x x +++＜综上所述345x x x ++11＜＜…………7分大兴区26. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22(31)2(0)y x m x m m m =-+++>，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 1(,0)x ,B 2(,0)x ，且12x x <.（1）求1223-+x x 的值；（2）当m=1223-+x x 时，将此抛物线沿对称轴向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边），求n 的取值范围（直接写出答案即可）． 26.（1） 解关于x 的一元二次方程，()223120x m x m m -+++=得x =2m +1, x =m ………………………………………………………2分 ∵m ＞0, x 1＜x 2∴x 1=m , x 2=2m+1. …………………………………………………… 3分 2x 1-x 2+3=2m -2m -1+3=2 …………………………………………… 4分（2）符合题意的n 的取值范围是. …………………………………7分平谷区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2． （1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点P （0，m ），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点A （x 1，y 1），B （x 2 ，y 2），其中 12x x <．①当213x x -=时，结合函数图象，求出m 的值；②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在0≤x ≤5 时，44y -≤≤，求m 的取值范围．26．解：（1）∵抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2，∴b =2． ················ 1 （2）①∴抛物线的表达式为243y x x =-+-． ∵A （x 1，y ），B （x 2 ，y ）， ∴直线AB 平行x 轴．∵213x x -=， ∴AB =3．∵对称轴为x =2， ∴AC =12． ·············· 2 ∴当12x =时，54y m ==-． ······ 3 ②当y =m =-4时，0≤x ≤5时，41y -≤≤； · 4当y =m =-2时，0≤x ≤5 时，24y -≤≤； 5 ∴m 的取值范围为42m -≤≤-． (6)怀柔区26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n ≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线顶点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为（0，3），AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线m x y +=21与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围． yx –1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O26.(1)M(2，-1)； ………………………………………………………………………………2分(2)B(4，3)； …………………………………………………………………………………3分(3)∵抛物线y=mx 2-4mx+4m-1(m ≠0)与y 轴交于点A （0,3）,∴4n-1=3.∴n=1. ……………………………………………………………………………………4分∴抛物线的表达式为342+-=x x y .由34212++=+x x m x . 由△=0，得: 161-=m ……………………………………………………………………5分 ∵抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点C 的坐标为（1,0），∴点C 关于y 轴的对称点C 1的坐标为（-1,0）.把（-1,0）代入m x y +=21，得：21=m .……………………………………………6分 把（-4,3）代入m x y +=21，得：5=m . ∴所求m 的取值范围是161-=m 或21＜m ≤ 5. …………………………………………7分延庆区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-4ax +3a (a ＞0)与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧）．（1）求抛物线的对称轴及点A ，B 的坐标；（2）点C （t ，3）是抛物线243(0)y ax ax a a =-+>上一点，（点C 在对称轴的右侧），过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．①当CD AD =时，求此时抛物线的表达式；②当CD AD >时，求t 的取值范围．26．（1）对称轴：x =2 ……1分A （1，0）或B （3，0） ……1分（2）①如图1，∵AD =CD∴AD =3∴C 点坐标为（4，3） ……3分将C （4，3）代入243y ax ax a =-+∴316163a a a =-+∴a =1∴抛物线的表达式为：243y x x =-+ ……4分②34t << ……6分过程略顺义区26．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是-1，且与y 轴交于点B （0，-1），点P 为抛物线上一点．（1）求抛物线的表达式；（2）若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q ．如果OP =OQ ，求点Q 的坐标．26．解：（1）依题意12-=-b ，b =2, 由B （0，-1），得c=-1,∴抛物线的表达式是221=+-y x x ．…………………… 2分4（2）向下平移4个单位得到225=+-y x x ，……………………… 3分 ∵OP =OQ ，∴P 、Q 两点横坐标相同，纵坐标互为相反数．∴2221250+-++-=x x x x ．∴13=-x ，21=x ．………………………………………………… 5分 把13=-x ，21=x 分别代入225=+-y x x ．得出Q 1（-3，-2），Q 2（1，-2）．………………………………… 7分。

2019 初三数学中考专题复习 二次函数和圆 专题综合检测1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A.y ＝18x 2 B.y ＝－x 2－1 C.y ＝1x 2 D.y ＝a 4x 42.抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2的共同性质是( )A.开口向上B.对称轴是y 轴C.都有最高点D.y 随x 的增大而增大 3.若二次函数y ＝(x －m)2－1，当x≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是( )A.m ＝1B.m ＞1C.m≥1D.m≤14.如图，AB 是⊙O 的直径.若∠BAC ＝35°，那么∠ADC ＝( )A.35°B.55°C.70°D.110°5.在同圆中，下列四个命题：①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等.其中真命题有( )A.4个B.3个C.2个D.1个6.如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，连接BC 、BD.下列结论错误的是( ) A.AE ＝BE B.C.OE ＝DED. .∠DBC ＝90°7.如图，AD 、AE 、CB 均为⊙O 的切线，D 、E 、F 分别是切点，AD ＝8，则△ABC 的周长为( )A.8B.12C.16D.不能确定8.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么一次函数y ＝bx ＋c 和反比例函数y ＝bx在同一坐标系中的图象大致是( )9.如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B.下列说法错误的是( )A.圆形铁片的半径是4cmB.四边形AOBC 为正方形C.弧AB 的长度为4πcmD.扇形OAB 的面积是4πcm 210.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b 2－4ac ＜0；②abc ＞0；③a －b ＋c ＜0；④m ＞－2，其中正确的个数有( )A.1B.2C.3D.411.如图，扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 (结果保留π).12.已知抛物线y ＝x 2－4x 上有两点P 1(3，y 1)、P 2(－12，y 2)，则y 1与y 2的大小关系为：y 1 y 2(填“＞”“＜”或“＝”).13.如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为三个切点，若∠DEF ＝52°，则∠A 的度数为 .14.某软件商店销售一种益智游戏软件，如果以每盘50元的售价销售，一个月能售出500盘，根据市场分析，若销售单价每涨价1元，月销售量就减少10盘，当每盘的售价涨x 元(x 取整数)时，该商店月销售额y(元)与x 的函数关系式为 ，自变量x 的取值范围是 .15.设A 、B 、C 三点依次分别是抛物线y ＝x 2－2x －5与y 轴的交点以及与x 轴的两个交点，则△ABC 的面积是 .16. 已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为 .17. 已知抛物线y ＝12x 2＋x －52.(1)用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；(2)若抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长.18. 如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长.19. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x …－1 0 1 2 3 4 …y …10 5 2 1 2 5 …(1)(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3)若A(m，y1)、B(m＋1，y2)两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小.20. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O 点作OE⊥AC，垂足为E.(1)求OE的长；(2)若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和围成的图形(阴影部分)的面积.21. 某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系为w＝－2x＋240，且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：(1)求y与x的函数关系式；(2)当x取何值时，y的值最大？(3)如果公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？22. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BC＝3，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长.23. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－3,0)、B(5,0)、C(0,5)三点，O为坐标原点.(1)求此抛物线的解析式；(2)若把抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)向下平移133个单位长度，再向右平移n(n ＞0)个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M 在△ABC 内，求n 的取值范围； (3)设点P 在y 轴上，且满足∠OPA ＋∠OCA ＝∠CBA ，求CP 的长.参考答案：1—10 ABCBB CCACB 11. 2π12. ＜ 13. 76°14. y ＝－10x 2＋25000 0≤x ≤50且x 为整数 15. 5 616. x 1＝－1，x 2＝317. 解：(1)y ＝12(x ＋1)2－3，它的顶点坐标为(－1，－3)，对称轴为x ＝－1；(2)令y ＝0，∴12(x ＋1)2－3＝0，∴x 1＝－1＋6，x 2＝－1－6，∴AB＝|－1＋6－(－1－6)|＝2 6.18. 解：(1)∵OD∥BC，∴∠DOA＝∠B＝70°，又∵OA＝OD ，∴∠DAO＝∠ADO＝55°，∵AB 是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝20°，∴∠CAD＝35°； (2)在Rt △ACB 中，BC ＝7，O 是AB 中点，OD ∥BC ，∴OE ＝BC 2＝72，∴DE ＝2－72.19. 解：(1)依题意设y ＝a(x －2)2＋1，把(3,2)代入得a ＝1，∴y＝(x －2)2＋1； (2)当x ＝2时，y 有最小值，最小值为1； (3)当m≥2时，y 2≥y 1，当m ＜1时，y 1＞y 2. 20. 解：(1)连接OC ，∵∠D 和∠AOC 分别是所对的圆周角和圆心角，∠D＝60°，∴∠AOC＝2∠D＝120°，∵OE⊥AC，∴∠AOE＝∠COE＝12∠AOC＝60°，∠OAE＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝6，∴OA＝3，∴OE＝12OA ＝32；(2)∵OE ＝12OA ，∴EF ＝OE.∵OE⊥AC ，∴∠AEF ＝∠CEO ＝90°，AE ＝CE.∴△AEF≌△CEO.∴S 阴影＝S 扇形COF ＝60·π·32360＝32π.21. 解：(1)y ＝(x －50)·w＝(x －50)·(－2x ＋240)＝－2x 2＋340x －12000，∴y与x 的关系式为：y ＝－2x 2＋340x －12000；(2)y ＝－2x 2＋340x －12000＝－2(x －85)2＋2450，∴当x ＝85时，y 的值最大； (3)当y ＝2250时，可得方程－2(x －85)2＋2450＝2250.解这个方程，得x 1＝75，x 2＝95，根据题意，x 2＝95不合题意，应舍去.∴当销售单价为75元/千克时，可获得销售利润2250元.22. 解：(1)如图，连接OB ，∵BD＝BC ，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD ＝∠EBD，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD＝90°，OA ＝BO ，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD ＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABD＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵点B 在⊙O 上，∴BE 是⊙O 的切线；(2)设圆的半径为R ，连接CD ，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD ，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD ，∴OF＝12AC ＝52，∵四边形ACBD 是圆内接四边形，∴∠BDE＝∠ACB，∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴35＝DE 3，∴DE＝35，∵∠OBE ＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴52R ＝RR ＋35，∵R＞0，∴R＝3，∵BE 是⊙O 的切线，∴BE＝DE×AE＝35×2×3＋35＝3115.23. 解：(1)把A 、B 、C 三点的坐标代入函数解析式可得，抛物线解析式为y ＝－13x 2＋23x ＋5； (2)∵抛物线顶点坐标为(1，163)，新抛物线的顶点M 坐标为(1＋n,1)，设直线BC解析式为y ＝kx ＋m ，把B 、C 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋m ＝0m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1m ＝5，∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋5，令y ＝1，代入可得1＝－x ＋5，解得x ＝4，∵新抛物线的顶点M 在△ABC 内，∴1＋n ＜4，且n ＞0，解得0＜n ＜3，即n 的取值范围为0＜n ＜3；(3)当点P 在y 轴负半轴上时，如图1，过P 作PD ⊥AC ，交AC 的延长线于点D ，由题意可知OB ＝OC ＝5，∴∠CBA ＝45°，∴∠PAD ＝∠OPA ＋∠OCA ＝∠CBA ＝45°，∴AD ＝PD ，在Rt △OAC 中，OA ＝3，OC ＝5，可求得AC ＝34，设PD ＝AD ＝m ，则CD ＝AC ＋AD ＝34＋m ，∵∠ACO ＝∠PCD ，∠COA ＝∠PDC ，∴△COA ∽△CDP ，∴CO CD ＝AO PD ＝AC PC ，即534＋m ＝3m ＝34PC ，由534＋m ＝3m 可求得m ＝3342，∴33342＝34PC ，解得PC ＝17；可求得PO ＝PC －OC ＝17－5＝12，如图2，在y 轴正半轴上截取OP ′＝OP ＝12，连接AP ′，则∠OP ′A ＝∠OPA ，∴∠OP ′A ＋∠OCA ＝∠OPA ＋∠OCA ＝∠CBA ，∴P ′也满足题目条件，此时P ′C ＝OP ′－OC ＝12－5＝7，综上可知PC的长为7或17.。

二次函数与圆的综合习题类型一圆的基本性质应用例1：如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-52）2+98与⊙M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，点C坐标为（0，-2）．（1）求a值及A，B两点坐标；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当∠CPD为锐角时，请求出m的取值范围；（3）点E是抛物线的顶点，⊙M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C′，D′，顺次连接A，C′，D′，E四点，四边形AC′D′E（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M′的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（1，0），B（4，0）．（2）m＜0或1＜m＜4或m＞5．（3）存在．M′（17582，-2）【解析】解：（1）∵抛物线y=a（x-52）2+98经过点C（0，-2），∴-2=a（0-52）2+98，∴a=-12，∴y=-12（x-52）2+98，当y=0时，-12（x-52）2+98=0，∴x1=4，x2=1，∵A、B在x轴上，∴A（1，0），B（4，0）．（2）由（1）可知抛物线解析式为y=-12（x-52）2+98，∴C、D关于对称轴x=52对称，∵C（0，-2），∴D（5，-2），如图1中，连接AD、AC、CD，则CD=5，∵A（1，0），C（0，-2），D（5，-2），∴AC=√5，AD=2√5，∴AC2+AD2=CD2，∴∠CAD=90°，∴CD为⊙M的直径，∴当点P在圆外部的抛物线上运动时，∠CPD为锐角，∴m＜0或1＜m＜4或m＞5．（3）存在．如图2中，将线段C′A平移至D′F，则AF=C′D′=CD=5，∵A（1，0），∴F（6，0），作点E关于直线CD的对称点E′，连接EE′正好经过点M，交x轴于点N，∵抛物线顶点（52，98），直线CD为y=-2，∴E′（52，-418），连接E′F交直线CD于H，∵AE，C′D′是定值，∴AC′+ED′最小时，四边形AC′D′E的周长最小，∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′D′≥E′F，则当点D′与点H重合时，四边形AC′D′E的周长最小，设直线E′F的解析式为y=kx+b，∵E′（52，-418），F （6，0），∴可得y=4128x -12314，当y=-2时，x=19041，∴H （19041，-2），∵M （52，-2），∴DD′=5-19041=1541，∵52-1541=17582，∴M′（17582，-2） 针对训练1．已知二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c(a ＜0)的图像与x 轴的负半轴和正半轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线BC 与它的对称轴交于点F ，且CF ：FB ＝1：3．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)若△COB 的内心I 在对称轴上，求这个二次函数的关系式；(3)在(2)的条件下，Q(m ，0)是x 轴上一点，过点Q 作y 轴的平行线，与直线BC 交于点M ，与抛物线交于点N ，连接CN ，将△CMN 沿直线CN 翻折，M 的对应点为M′，是否存在点Q ，使得M′恰好落在y 轴上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)B(4，0)，A(－2，0)；(2)y=−38x2+34x+3；(3)存在，Q(23，0)或Q(223，0)【解析】（1）如图所示：对称轴为：直线x =−−2a 2a =1，∴OE=1，∵OC ∥EF ，∴CF FB =OE EB =13，∴EB=3，由对称性得：BE=AE=3，∴A(−2,0),B(4,0)；(2)如图，⊙I 是△OBC 的内切圆，过点I 作ID ⊥OC 于点D ，∴OD =OE =1,设CD =x ，则OC =x +1,BC =x +3,在Rt △OCB 中，OB=4，OC 2+OB 2=BC 2,即(x +1)2+42=(x +3)2,解得x =2,∴OC =3,∴C(0,3)，∴c=3，把A(−2,0), C(0,3)代入抛物线y=ax2-2ax+c 中得：{c =34a +4a +c =0解得：{a =−38c =3,∴抛物线的解析式为：y=−38x2+34x+3；(3)如图,由题意∠M′CN=∠NCB ，∵MN∥OM′，∴∠M′CN=∠CNM,∴∠CNM =∠NCB，∴MN=CM，∵直线BC解析式为y=−34x+3，∴M(m,−34m+3),N(m,−38m2+34m+3)，作ME⊥OC于E，∵sin∠BCO=EMMC =BOBC，∴mCM =45，∴CM=54m，①当N在直线BC上方时,−38m2+34m+3−(−34m+3)=54m，解得：m=23或0(舍弃)，∴Q(23，0)，②当N在直线BC下方时, −34m+3−(−38m2+34m+3)=54m，解得m=223或0(舍弃)，∴Q(223，0)综上所述：点Q坐标为(23，0)或Q(223，0).2．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q和图形G，给出如下定义：点P，Q都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标互换后得到点Q，则称点P，Q是图形G的一对“关联点”．例如，点P（1，2）和点Q（2，1）是直线y＝﹣x+3的一对关联点．（1）请写出反比例函数y＝6x的图象上的一对关联点的坐标：；（2）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，﹣1）．点A，B是抛物线y＝x2+bx+c的一对关联点，直线AB与x轴交于点D（1，0）．求A，B两点坐标．（3）⊙T的半径为3，点M，N是⊙T的一对关联点，且点M的坐标为（1，m）（m＞1），请直接写出m的取值范围．【答案】（1）（2，3），（3，2）．（2）A ，B 两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）1＜m≤1+3√2．【解析】解：（1）∵2×3＝3×2＝6，∴点（2，3），（3，2）是反比例函数y ＝6x 的图象上的一对关联点．故答案为：（2，3），（3，2）．（2）∵抛物线y ＝x2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，∴﹣b 2＝1，解得：b ＝﹣2．∵抛物线y ＝x2＋bx ＋c 与y 轴交于点C （0，﹣1），∴c ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝x2﹣2x ﹣1．由关联点定义，可知：点A ，B 关于直线y ＝x 对称．又∵直线AB 与x 轴交于点D （1，0），∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x ＋1．联立直线AB 及抛物线解析式成方程组，得：{y ＝﹣x ＋1y ＝x 2﹣2x ﹣1 ， 解得：{x 1=−1y 1=2 ，{x 2=−1y 2=2， ∴A ，B 两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）由关联点定义，可知：点M ，N 关于直线y ＝x 对称，∴⊙T 的圆心在直线y ＝x 上．∵⊙T的半径为3，×2×3＝3√2，∴M1M2＝√22∴m的取值范围为1＜m≤1＋3√2．.类型二与圆有关的位置关系例2．如图，已知点A（2，0），以A为圆心作⊙A与y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A，抛物线与x轴的另一个交点为点C，抛物线的顶点为点E，如果CO=2BE，求此抛物线的解析式；（2）过点C作⊙A的切线CD，D为切点，求此切线长；（3）点F是切线CD上的一个动点，当△BFC与△CAD相似时，求出BF的长．【答案】（1）y=34（x-2）（x-6）；（2）CD=2√3；（3）BF的长为4√33或√3．【解析】（1）∵A（2，0），⊙A与y轴切于原点，∴⊙A的半径为2．∴点B的坐标为为（4，0）．∵点A、C关于x=4对称，∴C（6，0）．又CO=2BE，∴E（4，-3）设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），（a≠0）；∵抛物线经过点E（4，-3）∴-3=a（4-2）（4-6），解得：a=34．∴抛物线的解析式为y=3（x-2）（x-6）；4（2）如图1所示：连接AD，∵AD是⊙A的切线，∴∠ADC=90°，AD=2，由（1）知，C（6，0）．∵A（2，0），∴AC=4，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=42-22=12，∴CD=2√3．（3）如图2所示：当FB⊥AD时，连结AD．∵∠FBC=∠ADC=90°，∠FCB=∠ACD，∴△FBC∽△ADC，∴CFCA =BCDC，即CF4=2√3．解得：CF=4√33．如图3所示：当BF⊥CD时，连结AD、过点B作BF⊥CD，垂足为F．∵AD⊥CD，∴BF∥AD，∴△BFC ∽△ADC ，∴BC AC =CF CD ，即24=2√3． ∴CF=√3． 综上所述，BF 的长为4√33或√3． 针对训练1．如图，抛物线y=x 2﹣4x ﹣1顶点为D ，与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ． （1）求这条抛物线的顶点D 的坐标；（2）经过点（0，4）且与x 轴平行的直线与抛物线y=x 2﹣4x ﹣1相交于M 、N 两点（M在N 的左侧），以MN 为直径作⊙P ，过点D 作⊙P 的切线，切点为E ，求点DE 的长；（3）上下平移（2）中的直线MN ，以MN 为直径的⊙P 能否与x 轴相切？如果能够，求出⊙P 的半径；如果不能，请说明理由．【答案】（1）点D 的坐标为（2，-5）；（2）DE=6√2；（3）能够相切，理由见解析.【解析】（1）∵y=x2-4x -1=x2-4x+4-5=（x -2）2-5，∴点D 的坐标为（2，-5）；（2）∵当y=4时，x2-4x -1=4，解得x=-1或x=5，∴M 坐标为（-1，4），点N 坐标为（5，4），∴MN=6．P 的半径为3，点P 的坐标为（2，4），连接PE ，则PE ⊥DE ，∵PD=9，PE=3，根据勾股定理得DE=6√2；（3）能够相切．理由：设⊙P 的半径为r ，根据抛物线的对称性，抛物线过点（2+r ，r ）或（2+r ，-r ）， 代入抛物线解析式得：（2+r ）2-4（2+r ）-1=r ，解得r=√21+12或r=1−√212（舍去）， 把（2+r ，-r ）代入抛物线得：（2+r ）2-4（2+r ）-1=-r ，解得：r=−1+√212，或r=−1−√212（舍去）． 2．如图，⊙P 的圆心P （m ，n ）在抛物线y ＝12x 2上． （1）写出m 与n 之间的关系式；（2）当⊙P 与两坐标轴都相切时，求出⊙P 的半径；（3）若⊙P的半径是8，且它在x轴上截得的弦MN，满足0≤MN≤2√15时，求出m、n 的范围．m2；（2）⊙P的半径为2；（3）√14≤m≤4或﹣4≤m≤﹣√14；7≤n≤8．【答案】（1）n＝12【解析】x2上，解：（1）∵点P（m，n）在抛物线y＝12m2；∴n＝12m2）在第一象限时，（2）当点P（m，12m2，由⊙P与两坐标轴都相切知m＝12解得：m＝0（舍）或m＝2，∴⊙P的半径为2；m2）在第三象限时，当点P（m，12m2，由⊙P与两坐标轴都相切知﹣m＝12解得：m＝0或m＝﹣2，∴⊙P的半径为2；（3）如图，作PK⊥MN于点K，连接PM，MN＝√15，当MN＝2√15时，MK＝12∵PM＝8，则PK＝√PM2−MK2＝√82−(√15)2＝7，当MN＝0时，PK＝8，∴7≤PK≤8，即7≤n≤8，m2，∵n＝12m2≤8，∴7≤12解得：√14≤m≤4或﹣4≤m≤﹣√14．类型三构造圆与隐形圆例3：已知：如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C，点D为顶点．(1)求抛物线解析式及点D的坐标；(2)若直线l过点D，P为直线l上的动点，当以A、B、P为顶点所作的直角三角形有.且只有三个时，求直线l的解析式；(3)如图2，E为OB的中点，将线段OE绕点O顺时针旋转得到OE′，旋转角为α(0∘<α<E′C取得最小值时，求直线BE′与抛物线的交点坐标．90∘)，连接E′B、E′C，当E′B+12.【答案】（1）(1,−4)；（2）y=−√3x+√3−4或y=√3x−4−√3；（3）3√172【解析】(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，∴y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3．∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴抛物线的顶点坐标为(1,−4)．(2)过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点Q．以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点Q；如果圆与直线l相切，就只有1个点Q了．如图所示：以AB为直径作⊙G，作QD与⊙G相切，则QG⊥QD，过Q作QE⊥GD．∵A(−1,0)，B(3,0)，∴AB=4．∴QG=2．又∵DG=4，∴sin∠GDQ=12．∴sin∠GQE=12，∴GE=1，∴QE=√QG2−GE2=√3．∴点Q的坐标为(1−√3,−1)．设l的解析式为y=kx+b，则{k+b=−4(1−√3)k+b=−1，解得：k=−√3，b=−4+√3，∴直线l的解析式为y=−√3x+√3−4．由图形的对称性可知：当直线l经过点(1+√3,−1)时，直线l与⊙G相切，则{k+b=−4(1+√3)k+b=−1，解得：k=√3，b=−4−√3，∴直线l的解析式为y=√3x−4−√3．综上所述，直线l的解析式为y=−√3x+√3−4或y=√3x−4−√3．(3)如图所示：取M使OM=34，连接ME′．∵OC=3，OE′=32，OM34，∴OE′2=OC⋅OM，．又∵∠MOE′=∠E′OC，∴△OME′∽△OE′C，．∴ME′=12CE′．∴E′B+12E′C=BE′+ME′，∴当M、E′、B在一条直线上时，E′B+12E′C有最小值，∴E′B+12E′C的最小值=√OB2+OM2=√32+(34)2=3√172．针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣√3），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，求12PB+PD 的最小值；（3）M （x ，t ）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有 个；②连接MA ，MB ，若∠AMB 不小于60°，求t 的取值范围．【答案】（1）抛物线解析式为y=√32x2﹣√32x ﹣√3，顶点坐标（12，﹣9√38）；（2）12PB+PD 的最小值为3√34；（3）①5;②取值范围是−2√3−√396≤t ≤−2√3+√396【解析】（1）方法一：设二次函数的表达式为，B （0，-）代入解得∴∴顶点坐标为方法二：也可以用三点式设代入三点或者顶点式设代入两点求得。

专题16 巧解二次函数与圆综合题知识解读二次函数与圆结合的问题，是灵活运用数学思想方法解决类似以抛物线为主线，以圆为背景的函数综合题，这类题难度大，考查知识点多.对于在抛物线上架构圆的这类题型，不仅要求对抛物线和圆的相关知识能熟练掌握，还要挖掘其中隐含的等量关系，同时注意分类讨论所有可能的情况，避免遗漏；在抛物线中求圆问题时，要将点的坐标转化为所有图形边的长度.二次函数与圆的综合应用是初中阶段的重点题型，是知识覆盖面广、数学方法运用较多的试题，因而综合能力要求比较高，解决这类问题时应从多角度、多方面去分析，灵活运用多种数学方法和数学思想.解题中常用的数学思想方法有：方程和函数思想，数形结合思想，分类讨论思想.培优学案典例示范例1 如图161，抛物线2y ax bx c （,,a b c 是常数，0a）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1(,)16a 两点，点p 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的p 总经过定点(0,2)A .（1）求,,a b c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，p 始终与x 轴相交；（3）设p 与x 轴相交于1212(,0),(,0)()M x N x x x 两点，当AMN △为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标.【提示】（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出,,a b c 的值即可；（2）设(,)P x y ，表示出p 的半径r ，进而与214x 比较得出答案即可；（3）分别表示出,AM AN 的长，进而分别利用当AM AN 时，当AMMN 时，当1ANMN 时，求出x 的值，进而得出圆心P 的纵坐标即可。

第（2）题综合程度高，难度加大，主要考查了直线与圆的位置关系，解决的方法是利用函数、圆的性质及勾股定理的有关知识进行计算并比较圆心到直线的距离与半径的大小关系；第（3）题主要是运用分类讨论的数学思想进行探究，是动态问题，计算量大。

在探讨动态问题时，首先要对运动过程做一个全面的分析，弄清楚运动过程中的变量和常量，变量反映了运动变化关系，常量则是问题求解的重要依据.其次，要分清运动过程中不同的变化关系.【解答】跟踪训练如图16-2，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线c bx ax y ++=2(0≠a )过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为(10，0)和(524,518-)，以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直x 轴于B 点。

2019年中考数学专题复习卷: 二次函数一、选择题1.若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（）A. 1或－1 B. 1C. －1 D. 02.对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.把抛物线y＝- 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A. y＝-(x-1)2-3B. y＝-(x＋1)2-3 C. y＝-(x-1)2＋3 D. y＝-(x＋1)2＋34.已知抛物线（，，为常数，）经过点. ，，其对称轴在轴右侧，有下列结论：①抛物线经过点；②方程有两个不相等的实数根；③.，正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）A. -1B. 2C. 0或2 D. -1或26.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（）A. B. C. D.7.已知二次函数( 为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )A. 3或6B. 1或6 C. 1或3 D. 4或68.已知抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）经过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段BC有交点，其中点B（1，0），点C（3，0），则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．109.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A. 2.76米B. 6.76米C. 6米 D. 7米10.已知抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1<x<5的范围内有解，则t的取值范围是（）A. t＞-5B. -5＜t＜3 C. 3＜t≤4 D. -5＜t≤411.如图，已知二次函数图象与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x=2，下列结论：①abc>0；②4a+b=0；③若点A坐标为(−1，0)，则线段AB=5；④若点M(x1， y1)、N(x2， y2)在该函数图象上，且满足0<x1<1，2<x2<3，则y1<y2其中正确结论的序号为（）A. ①，②B. ②，③ C. ③，④ D. ②，④12.如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（）A. B. C.D.二、填空题13.抛物线y=2(x+2) +4的顶点坐标为________.14.将二次函数的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是________．15.已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的值是________．16.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若p、q(P是关于x的方程2-(x-a)(x-b)=0的两根且a则请用“<”来表示a、b、P、q的大小是________17.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是________．18.已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为________．19.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E 到洗手盆内侧的距离EH为________cm．20.如图，在中，，，，点是边上的动点（不与点重合），过作，垂足为，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为________．三、解答题21.已知：二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．请你根据图象提供的信息，求出这条抛物线的表达式．22.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%．经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件．（Ⅰ）求P与x的函数关系式；（Ⅱ）若该商场获得利润为y元，试写出利润y与销售单价x之间的关系式；（Ⅲ）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？23.如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）（x-9）经过A，B两点，四边形OABC矩形，已知点A坐标为（0，6）。

二次函数单元测评一、选择题(每题3分，共30分)1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )A. B. C. D.2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D. y轴上二、4. 抛物线的对称轴是( )A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是(A. ab>0，c>0B. ab>0，c<0C. ab<0，c>0D. ab<0，c<06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( ) A. 一B. 二C. 三 D. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是( )A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线 上的点，且-1<x 1<x 2，x 3<-1，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3 B. y 2<y 3<y 1 C. y 3<y 1<y 2 D. y 2<y 1<y 3 10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( ) A. B. C. D.二、填空题(每题4分，共32分)11. 二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是______________.12. 若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.(m/s)竖直向上抛物16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：=10m/s，则该物体在运(其中g是常数，通常取10m/s2).若v动过程中最高点距地面_________m.17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.的值是18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0) (1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标(2)求此二次函数的解析式；20.在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交 x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；.(2)求△MCB的面积S△MCB1.考点：二次函数概念.选A.2.考点：求二次函数的顶点坐标.解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选C.3. 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标.解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选C.4. 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为.解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B.5.考点：二次函数的图象特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，答案选C.6.考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方在第四象限，答案选D.7.考点：二次函数的图象特征.解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.8.考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状.解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴左侧，交坐标轴于(0，0)点.答案选C.9. 考点：一次函数、二次函数概念图象与性质.解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1<x1<x2，当x>-1时，由图象知，y随x的增大而减小，所以y2<y1；又因为x3<-1，此时点P3(x3，y3)在二次函数图象上方，所以y2<y1<y3.答案选D.10.考点：二次函数图象的变化.抛物线的图象向左平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到.答案选C.考点：二次函数性质.解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程.答案x=1.12.考点：利用配方法变形二次函数解析式.解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2.13. 考点：二次函数与一元二次方程关系.解析：二次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，求得x1=-1，x2=3，则AB=|x2-x1|=4.答案为4.14.考点：求二次函数解析式.解析：因为抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-3.15.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，.解析：需满足抛物线与x轴交于两点，与y轴有交点，与△ABC是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-1.16.考点：二次函数的性质，求最大值.解析：直接代入公式，答案：7.考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一.解析：如：y=x2-4x+3.18.考点：二次函数的概念性质，求值.答案：.19. 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20.考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式. 解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x 1+1)(x 2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x 1+x 2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5∴y=x 2-9为所求(2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5)，P(2，-9).21. 解：(1)依题意：。

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N （4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，t 的值为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线233(0)2y ax x a =-≠经过点3,3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为21332y x x =-;抛物线的对称轴为直线33x =;（Ⅱ）P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）将3,3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P点的坐标.（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解.【详解】（Ⅰ）∵2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -，∴23a -=⨯12a =， ∴抛物线的解析式为212y x x =，∵21222b x a -=-=-=⨯ ∴抛物线的对称轴为直线2x =. （Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为x =， ∴点O 关于对称轴的对称点B点坐标为.作点B 关于轴的对称点1B，得1(B -，设直线AB 1的解析式为y kx b =+，把点3)A -，点1(B -代入得30b b⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得494k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴944y x =--. ∴直线94y x =-与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4=-，∵P 点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A -，//AC x 轴，∴AC =3OC =，∴11322AOC S OC AC ∆=⋅=⋅=又∵13AOC AOQ S S ∆∆=，∴9332AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q 点坐标为2133(,)2m m m -， 如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ， ∵932AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴()2113311333332222m m m m ⎛⎫⋅+-+-⋅⋅- ⎪ ⎪⎭-⎝21339332m m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 化简整理得23180m m --=， 解得133m =，223m =-.如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ，∵932AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴2211331133(3m)3()2222m m m ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭393(3)2m m --+=，化简整理得23180m m -=，解得133m =223m =-∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-，∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.3．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，交x轴正半轴于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；（3）将点A绕原点旋转得点A′，连接CA′、BA′，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA′以每秒3个单位的速度运动到A′，再沿线段A′C以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S与m的函数表达式是S＝252m m--，S的最大值是25 8，此时动点M的坐标是（52，74）；（3）点M82秒．【解析】【分析】（1）首先求出B点的坐标，根据B点的坐标即可计算出二次函数的a值，进而即可计算出二次函数的解析式;（2）计算出C 点的坐标，设出M 点的坐标，再根据△ABM 的面积为S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB ，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可.（3）首先证明△OHA ′∽△OA ′B ，再结合A ′H +A ′C ≥HC 即可计算出t 的最小值.【详解】（1）将x ＝0代入y ＝﹣3x +3，得y ＝3，∴点B 的坐标为（0，3），∵抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ，∴3＝a +4，得a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）将y ＝0代入y ＝﹣x 2+2x +3，得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（3，0），∵点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，点M 的横坐标为m ， ∴0＜m ＜3，点M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），将y ＝0代入y ＝﹣3x +3，得x ＝1，∴点A 的坐标（1，0），∵△ABM 的面积为S ，∴S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB ＝()2123313222m m m ⨯-++⨯⨯+-， 化简，得S ＝252m m --＝21525228m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∴当m ＝52时，S 取得最大值，此时S ＝258，此时点M 的坐标为（52，74）， 即S 与m 的函数表达式是S ＝252m m --，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是（52，74）； （3）如右图所示，取点H 的坐标为（0，13），连接HA ′、OA ′， ∵∠HOA ′＝∠A ′OB ，13OH OA '=，13OA OB '=， ∴△OHA ′∽△OA ′B ， ∴3BA A H''=， 即3BA A H ''=，∵A ′H +A ′C ≥HC =，∴t≥823，即点M在整个运动过程中用时最少是82秒．【点睛】本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是（3）中利用代替法计算t的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.4．已知，抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A（-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM的面积．（3）若点（2，p)，（3，g），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r，求m的取值范围．【答案】（1）抛物线与x轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b2-4ac的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m的取值范围，综上所述，求出m的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m的式子表示出p,g,r，再代入 p<g<r 即可列出关于m的不等式组，求解即可。

二次函数与圆的综合习题类型一圆的基本性质应用例1：如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-）2+与⊙M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，点C坐标为（0，-2）．（1）求a值及A，B两点坐标；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当∠CPD为锐角时，请求出m的取值范围；（3）点E是抛物线的顶点，⊙M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C′，D′，顺次连接A，C′，D′，E四点，四边形AC′D′E（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M′的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（1，0），B（4，0）．（2）m＜0或1＜m＜4或m＞5．（3）存在．M′（，-2）【解析】解：（1）∵抛物线y=a（x-）2+经过点C（0，-2），∴-2=a（0-）2+，∴a=-，∴y=-（x-）2+，当y=0时，-（x-）2+=0，∴x1=4，x2=1，∵A、B在x轴上，∴A（1，0），B（4，0）．（2）由（1）可知抛物线解析式为y=-（x-）2+，∴C、D关于对称轴x=对称，∵C（0，-2），∴D（5，-2），如图1中，连接AD、AC、CD，则CD=5，∵A（1，0），C（0，-2），D（5，-2），∴AC=，AD=2，∴AC2+AD2=CD2，∴∠CAD=90°，∴CD为⊙M的直径，∴当点P在圆外部的抛物线上运动时，∠CPD为锐角，∴m＜0或1＜m＜4或m＞5．（3）存在．如图2中，将线段C′A平移至D′F，则AF=C′D′=CD=5，∵A（1，0），∴F（6，0），作点E关于直线CD的对称点E′，连接EE′正好经过点M，交x轴于点N，∵抛物线顶点（，），直线CD为y=-2，∴E′（，-），连接E′F交直线CD于H，∵AE，C′D′是定值，∴AC′+ED′最小时，四边形AC′D′E的周长最小，∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′D′≥E′F，则当点D′与点H重合时，四边形AC′D′E的周长最小，设直线E′F的解析式为y=kx+b，∵E′（，-），F（6，0），∴可得y=x-，当y=-2时，x=，∴H（，-2），∵M（，-2），∴DD′=5-=，∵-=，∴M′（，-2）针对训练1．已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＜0)的图像与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B 两点，与y轴交于点C，直线BC与它的对称轴交于点F，且CF：FB＝1：3．(1)求A、B两点的坐标；(2)若△COB的内心I在对称轴上，求这个二次函数的关系式；(3)在(2)的条件下，Q(m，0)是x轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，将△CMN沿直线CN翻折，M的对应点为M′，是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)B(4，0)，A(－2，0)；(2)y=x2+x+3；(3)存在，Q(，0)或Q(，0) 【解析】（1）如图所示：对称轴为：直线，∴OE=1，∵OC∥EF，∴，∴EB=3，由对称性得：BE=AE=3，∴A(−2,0),B(4,0)；(2)如图，是△的内切圆，过点I作于点D，∴设，则在Rt△OCB中，OB=4，即解得∴C(0,3)，∴c=3，把A(−2,0), C(0,3)代入抛物线y=ax2-2ax+c中得：解得：∴抛物线的解析式为：y=x2+x+3；(3)如图,由题意∠M′CN=∠NCB，∵MN∥OM′，∴∠M′CN=∠CNM,∴∠CNM =∠NCB，∴MN=CM，∵直线BC解析式为，∴,，作ME⊥OC于E，∵，∴，∴，①当N在直线BC上方时,，解得：m=或0(舍弃)，∴Q(，0)，②当N在直线BC下方时, ，解得m=或0(舍弃)，∴Q(，0)综上所述：点Q坐标为(，0)或Q(，0).2．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q和图形G，给出如下定义：点P，Q都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标互换后得到点Q，则称点P，Q是图形G的一对“关联点”．例如，点P（1，2）和点Q（2，1）是直线y＝﹣x+3的一对关联点．（1）请写出反比例函数y＝的图象上的一对关联点的坐标：；（2）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，﹣1）．点A，B是抛物线y＝x2+bx+c的一对关联点，直线AB与x轴交于点D（1，0）．求A，B两点坐标．（3）⊙T的半径为3，点M，N是⊙T的一对关联点，且点M的坐标为（1，m）（m＞1），请直接写出m的取值范围．【答案】（1）（2，3），（3，2）．（2）A，B两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）1＜m≤1+3．【解析】解：（1）∵2×3＝3×2＝6，∴点（2，3），（3，2）是反比例函数y＝的图象上的一对关联点．故答案为：（2，3），（3，2）．（2）∵抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，解得：b＝﹣2．∵抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点C（0，﹣1），∴c＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．由关联点定义，可知：点A，B关于直线y＝x对称．又∵直线AB与x轴交于点D（1，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣x＋1．联立直线AB及抛物线解析式成方程组，得：＝﹣＋＝﹣﹣，解得：，，∴A，B两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）由关联点定义，可知：点M，N关于直线y＝x对称，∴⊙T的圆心在直线y＝x上．∵⊙T的半径为3，∴M1M2＝×2×3＝3，∴m的取值范围为1＜m≤1＋3．.类型二与圆有关的位置关系例2．如图，已知点A（2，0），以A为圆心作⊙A与y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A，抛物线与x轴的另一个交点为点C，抛物线的顶点为点E，如果CO=2BE，求此抛物线的解析式；（2）过点C作⊙A的切线CD，D为切点，求此切线长；（3）点F是切线CD上的一个动点，当△BFC与△CAD相似时，求出BF的长．【答案】（1）y=（x-2）（x-6）；（2）CD=2；（3）BF的长为或．【解析】（1）∵A（2，0），⊙A与y轴切于原点，∴⊙A的半径为2．∴点B的坐标为为（4，0）．∵点A、C关于x=4对称，∴C（6，0）．又CO=2BE，∴E（4，-3）设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），（a≠0）；∵抛物线经过点E（4，-3）∴-3=a（4-2）（4-6），解得：a=．∴抛物线的解析式为y=（x-2）（x-6）；（2）如图1所示：连接AD，∵AD是⊙A的切线，∴∠ADC=90°，AD=2，由（1）知，C（6，0）．∵A（2，0），∴AC=4，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=42-22=12，∴CD=2．（3）如图2所示：当FB⊥AD时，连结AD．∵∠FBC=∠ADC=90°，∠FCB=∠ACD，∴△FBC∽△ADC，∴=，即=．解得：CF=．如图3所示：当BF⊥CD时，连结AD、过点B作BF⊥CD，垂足为F．∵AD⊥CD，∴BF∥AD，∴△BFC∽△ADC，∴=，即=．∴CF=．综上所述，BF的长为或．针对训练1．如图，抛物线y=x2﹣4x﹣1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的顶点D的坐标；（2）经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x2﹣4x﹣1相交于M、N两点（M 在N的左侧），以MN为直径作⊙P，过点D作⊙P的切线，切点为E，求点DE的长；（3）上下平移（2）中的直线MN，以MN为直径的⊙P能否与x轴相切？如果能够，求出⊙P的半径；如果不能，请说明理由．【答案】（1）点D的坐标为（2，-5）；（2）DE=6；（3）能够相切，理由见解析. 【解析】（1）∵y=x2-4x-1=x2-4x+4-5=（x-2）2-5，∴点D的坐标为（2，-5）；（2）∵当y=4时，x2-4x-1=4，解得x=-1或x=5，∴M坐标为（-1，4），点N坐标为（5，4），∴MN=6．P的半径为3，点P的坐标为（2，4），连接PE，则PE⊥DE，∵PD=9，PE=3，根据勾股定理得DE=6；（3）能够相切．理由：设⊙P的半径为r，根据抛物线的对称性，抛物线过点（2+r，r）或（2+r，-r），代入抛物线解析式得：（2+r）2-4（2+r）-1=r，解得r=或r=（舍去），把（2+r，-r）代入抛物线得：（2+r）2-4（2+r）-1=-r，解得：r=，或r=（舍去）．2．如图，⊙P的圆心P（m，n）在抛物线y＝上．（1）写出m与n之间的关系式；（2）当⊙P与两坐标轴都相切时，求出⊙P的半径；（3）若⊙P的半径是8，且它在x轴上截得的弦MN，满足0≤MN≤2时，求出m、n 的范围．【答案】（1）n＝m2；（2）⊙P的半径为2；（3）≤m≤4或﹣4≤m≤﹣；7≤ ≤8．【解析】解：（1）∵点P（m，n）在抛物线y＝上，∴n＝m2；（2）当点P（m，m2）在第一象限时，由⊙P与两坐标轴都相切知m＝m2，解得：m＝0（舍）或m＝2，∴⊙P的半径为2；当点P（m，m2）在第三象限时，由⊙P与两坐标轴都相切知﹣m＝m2，解得：m＝0或m＝﹣2，∴⊙P的半径为2；（3）如图，作PK⊥MN于点K，连接PM，当MN＝2时，MK＝MN＝，∵PM＝8，则PK＝＝＝7，当MN＝0时，PK＝8，∴7≤PK≤8，即7≤ ≤8，∵n＝m2，∴7≤m2≤8，解得：≤m≤4或﹣4≤m≤﹣．类型三构造圆与隐形圆例3：已知：如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y 轴交于点C，点D为顶点．求抛物线解析式及点D的坐标；若直线l过点D，P为直线l上的动点，当以A、B、P为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式；如图2，E为OB的中点，将线段OE绕点O顺时针旋转得到，旋转角为，连接、，当取得最小值时，求直线与抛物线的交点坐标．【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】抛物线与x轴交于，两点，．，抛物线的顶点坐标为．过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点Q．以AB为直径的如果与直线l相交，那么就有2个点Q；如果圆与直线l相切，就只有1个点Q了．如图所示：以AB为直径作，作QD与相切，则，过Q作．，，．．又，．，，．点Q的坐标为．设l的解析式为，则，解得：，，直线l的解析式为．由图形的对称性可知：当直线l经过点时，直线l与相切，则，解得：，，直线l的解析式为．综上所述，直线l的解析式为或．如图所示：取M使，连接．，，，，．又，△∽△，．．，当M、、B在一条直线上时，有最小值，的最小值．针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，顶点坐标（，﹣）；（2）PB+PD 的最小值为；（3）①5;②取值范围是【解析】（1）方法一：设二次函数的表达式为，B（0，-）代入解得∴∴顶点坐标为方法二：也可以用三点式设代入三点或者顶点式设代入两点求得。

二次函数综合专题东城区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342≠-+-=a a ax ax y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）． （1）当抛物线过原点时，求实数a 的值； （2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a 的代数式表示）； （3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．26.解：(1) ∵点()0,0O 在抛物线上，∴320a -=，23a =.--------------------2分 (2)①对称轴为直线2x =；②顶点的纵坐标为 2a --.--------------------4分 (3) （i ）当0a ＞时，依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＜，≥解得2.3a ≥（ii ）当0a ＜时， 依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＞，≤解得a ＜-2.综上，2a -＜，或23a ≥. --------------------7分西城区26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线：1(0)y mx m m =+-≠．（1）当1m =时，画出直线和抛物线G ，并直接写出直线被抛物线G 截得的线段长． （2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线上并说明理由．（3）若直线被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．【解析】（1）当1m =时，抛物线G 的函数表达式为22y x x =+，直线的函数表达式为y x =，直线被抛物线Gx（2）∵抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0,1)C m -，∵2221(1)1y mx mx m m x =++-=+-， ∴抛物线G 的顶点D 的坐标为(1,1)--， 对于直线：1(0)y mx m m =+-≠， 当0x =时，1y m =-，当1x =-时，(1)11y m m =⨯-+-=-， ∴无论m 取何值，点C ，D 都在直线上． （3）m的取值范围是m ≤m海淀区26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x ax b =-+的顶点在 x 轴上，1(,)P x m ，2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点．（1）若1a =，①当m b =时，求1x ，2x 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值范围是 ．26．解：抛物线22y x ax b =-+的顶点在x 轴上，24(2)04b a --∴=.2b a ∴=. ………………1分（1）1a =，1b ∴=.∴抛物线的解析式为221y x x =-+.①1m b ==，2211x x ∴-+=，解得10x =，22x =. ………………2分②依题意，设平移后的抛物线为2(1)y x k =-+.抛物线的对称轴是1x =，平移后与x 轴的两个交点之间的距离是4， ∴(3,0)是平移后的抛物线与x 轴的一个交点.2(31)0k ∴-+=，即4k =-.∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位. ………………4分（2）16m ≥. ………………6分 丰台区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y ax ax a =-+的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G 2，图象G 1和G 2组成图象G ．过(0，b )作与y 轴垂直的直线l ，当直线l 和图象G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求b 的取值范围和x 1 + x 2的值．()22x a --，∴对称轴为x = 2．………………………………………1分 ∵抛物线最高点的纵坐标是2，∴a = -2． ………………………………………2分 ∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-. ……………3分（2）由图象可知，2b =或-6≤b <0. ………………6分由图象的对称性可得：x 1+x 2=2． (7)分石景山区26．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线21G y mx =+：（0m ≠位长度后得到抛物线2G ，点A 是抛物线2G 的顶点． （1）直接写出点A 的坐标；xy（2）过点0（且平行于x 轴的直线l 与抛物线2G 交于B ，C 两点． ①当=90BAC ∠°时，求抛物线2G 的表达式； ②若60120BAC <∠<°°，直接写出m 的取值范围．26．解:（1）()A. ………………………………… 2分（2）①设抛物线2G的表达式为2(y m x =+，如图所示，由题意可得AD =∵=90BAC ∠°，AB AC =， ∴=45ABD ∠︒.∴BD AD ==∴点B的坐标为. ∵点B 在抛物线2G 上，可得3m =.∴抛物线2G的表达式为23y x =-+，即223y x x =-+………………… 5分②m <<-. ………………… 7分 朝阳区26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B . （1）求点A ，B 的坐标；（2）若方程()244=00ax ax a --≠有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围.26.解：（1）44)2(4422---=--=a x a ax ax y ．∴A （0，－4），B （2，0）．……………………………………2分 （2）当抛物线经过点（1，0）时，34-=a ．…………………… 4分 当抛物线经过点（2，0）时，1-=a ． …………………………6分 结合函数图象可知，a 的取值范围为134<≤-a ．……………… 7分 燕山区24．如图，在平面直角坐标系中，直线l : y=kx+k (k ≠0)与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点，且点B(0,2)，点P 在y 轴正半轴上运动，过点P 作平行于x 轴的直线y=t ． （1）求 k 的值和点A 的坐标；（2）当t=4时，直线y=t 与直线l 交于点M ，反比例函数xny =（n ≠0）的图象经过点M ，求反比例函数的解析式； (3)当t<4时，若直线y=t 与直线l 和（2）反比例函数的图象分别交于点C ，D ，当CD 间距离大于等于2时，求t 的取值范围.24.解：（1）∵直线l :y=kx+k 经过点B(0,2)，∴k=2∴ y=2x+2∴A(-1,0) ……………………….2′（2）当t=4时，将y=4代入y=2x+2得，x=1∴M(1,4)代入xny =得，n=4 ∴xy 4=……………………….2′ （3）当t=2时，B(0,2) 即C(0,2)，而D(2,2)如图，CD=2，当y=t 向下运动但是不超过x 轴时，符合要求∴ t 的取值范围是 0 <t ≤2 ……………………….5′ 门头沟区26.有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)； ②对称轴是3x =； ③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”， 平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点33(,)C x y 、44(,)D x y 、55(,)E x y （345x x x <<），结合画出的函数图象求345x x x ++的取值范围.26. （本小题满分7分）（1）解：有上述信息可知该函数图象的顶点坐标为: (3,2)- 设二次函数表达式为：2(3)2y a x =-- ……………1分 ∵该图象过(1,0)A∴20(13)2a =--，解得12a =……………2分 ∴表达式为21(3)22y x =-- （2）图象正确………………………………………………………3分 由已知条件可知直线与图形“G ”要有三个交点① 当直线与x 轴重合时，有2个交点,由二次函数的轴对称性可求346x x += ……………………………………4分 ∴34511x x x ++＞ ……………………………………5分 ②当直线过21(3)22y x =--的图象顶点时，有2个交点， 由翻折可以得到翻折后的函数图象为21(3)22y x =--+ ∴令21(3)222x --+=-时，解得3x =±3x =-舍去…………6分∴3459x x x +++＜综上所述345x x x ++11＜＜…………7分大兴区26. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22(31)2(0)y x m x m m m =-+++>，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 1(,0)x ,B 2(,0)x ，且12x x <.（1）求1223-+x x 的值；（2）当m=1223-+x x 时，将此抛物线沿对称轴向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边），求n 的取值范围（直接写出答案即可）． 26.（1） 解关于x 的一元二次方程，()223120x m x m m -+++=得x =2m +1, x =m ………………………………………………………2分 ∵m ＞0, x 1＜x 2∴x 1=m , x 2=2m+1. …………………………………………………… 3分 2x 1-x 2+3=2m -2m -1+3=2 …………………………………………… 4分（2）符合题意的n 的取值范围是. …………………………………7分平谷区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2． （1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点P （0，m ），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点A （x 1，y 1），B （x 2 ，y 2），其中 12x x <．①当213x x -=时，结合函数图象，求出m 的值；②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在0≤x ≤5 时，44y -≤≤，求m 的取值范围．26．解：（1）∵抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2，∴b =2． ················ 1 （2）①∴抛物线的表达式为243y x x =-+-． ∵A （x 1，y ），B （x 2 ，y ）， ∴直线AB 平行x 轴．∵213x x -=， ∴AB =3．∵对称轴为x =2， ∴AC =12． ·············· 2 ∴当12x =时，54y m ==-． ······ 3 ②当y =m =-4时，0≤x ≤5时，41y -≤≤； · 4当y =m =-2时，0≤x ≤5 时，24y -≤≤； 5 ∴m 的取值范围为42m -≤≤-． (6)怀柔区26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n ≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线顶点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为（0，3），AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线m x y +=21与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围． yx –1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O26.(1)M(2，-1)； ………………………………………………………………………………2分(2)B(4，3)； …………………………………………………………………………………3分(3)∵抛物线y=mx 2-4mx+4m-1(m ≠0)与y 轴交于点A （0,3）,∴4n-1=3.∴n=1. ……………………………………………………………………………………4分∴抛物线的表达式为342+-=x x y .由34212++=+x x m x . 由△=0，得: 161-=m ……………………………………………………………………5分 ∵抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点C 的坐标为（1,0），∴点C 关于y 轴的对称点C 1的坐标为（-1,0）.把（-1,0）代入m x y +=21，得：21=m .……………………………………………6分 把（-4,3）代入m x y +=21，得：5=m . ∴所求m 的取值范围是161-=m 或21＜m ≤ 5. …………………………………………7分延庆区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-4ax +3a (a ＞0)与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧）．（1）求抛物线的对称轴及点A ，B 的坐标；（2）点C （t ，3）是抛物线243(0)y ax ax a a =-+>上一点，（点C 在对称轴的右侧），过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．①当CD AD =时，求此时抛物线的表达式；②当CD AD >时，求t 的取值范围．26．（1）对称轴：x =2 ……1分A （1，0）或B （3，0） ……1分（2）①如图1，∵AD =CD∴AD =3∴C 点坐标为（4，3） ……3分将C （4，3）代入243y ax ax a =-+∴316163a a a =-+∴a =1∴抛物线的表达式为：243y x x =-+ ……4分②34t << ……6分过程略顺义区26．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是-1，且与y 轴交于点B （0，-1），点P 为抛物线上一点．（1）求抛物线的表达式；（2）若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q ．如果OP =OQ ，求点Q 的坐标．26．解：（1）依题意12-=-b ，b =2, 由B （0，-1），得c=-1,∴抛物线的表达式是221=+-y x x ．…………………… 2分4（2）向下平移4个单位得到225=+-y x x ，……………………… 3分 ∵OP =OQ ，∴P 、Q 两点横坐标相同，纵坐标互为相反数．∴2221250+-++-=x x x x ．∴13=-x ，21=x ．………………………………………………… 5分 把13=-x ，21=x 分别代入225=+-y x x ．得出Q 1（-3，-2），Q 2（1，-2）．………………………………… 7分。

2019年中考数学真题分类专项训练--二次函数综合题1．（2019广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y =23333848x x +-与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ． （1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（3）如图2，过顶点D 作DD 1⊥x 轴于点D 1，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM ⊥x 轴，点M 为垂足，使得△PAM 与△DD 1A 相似（不含全等）． ①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标； ②直接回答这样的点P 共有几个？解：（1）令2333848x x +-=0， 解得x 1=1，x 2=–7．∴A （1，0），B （–7，0）． 由y=2333848x x +-=233)38x +-得，D （–3，–3）；（2）∵DD 1⊥x 轴于点D 1，∴∠COF =∠DD 1F =90°， ∵∠D 1FD =∠CFO ，∴△DD 1F ∽△COF ，∴11D D COFD OF=，∵D （–3，–∴D 1D OD =3，∵AC =CF ，CO ⊥AF ，∴OF =OA =1， ∴D 1F =D 1O –OF =3–1=2231OC=， ∴OC CA =CF =FA =2，∴△ACF 是等边三角形，∴∠AFC =∠ACF ， ∵△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ， ∴∠ECF =∠AFC =60°，∴EC ∥BF ，∵EC =DC ， ∵BF =6，∴EC =BF ，∴四边形BFCE 是平行四边形； （3）∵点P 是抛物线上一动点， ∴设P 点（x ，23333848x x +-）， ①当点P 在B 点的左侧时， ∵△PAM 与△DD 1A 相似， ∴11DD D A PM MA =或11DD D AAM PM=，41x=-或1x=-，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–11或x1=1（不合题意舍去）x2=–373；当点P在A点的右侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴11DDPMAM D A=或11D APMMA DD=，∴273238481x xx+=-或233373848123x xx=-，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=–53（不合题意舍去）；当点P在AB之间时，∵△PAM与△DD1A相似，∴PMAM=11DDD A或PMMA=11D ADD，∴273238481x xx+-=-或233373848123x xx=-，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=–53；综上所述，点P的横坐标为–11或–373或–53；②由①得，这样的点P共有3个．2．（2019深圳）如图，抛物线经y=ax2+bx+c过点A（-1，0），点C（0，3），且OB=OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．解：（1）∵OB =OC ， ∴点B （3，0），则抛物线的表达式为：y =a （x +1）（x -3）=a （x 2-2x -3）=ax 2-2ax -3a ， 故-3a =3，解得：a =-1，故抛物线的表达式为：y =-x 2+2x +3，对称轴为x =1．（2）ACDE 的周长=AC +DE +CD +AE ，其中AC 10=DE =1是常数， 故CD +AE 最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点C （2，3），则CD =C ′D ， 取点A ′（-1，1），则A ′D =AE ，故：CD +AE =A ′D +DC ′，则当A ′、D 、C ′三点共线时，CD +AE =A ′D +DC ′最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值=AC +DE +CD +AE 101=+A ′D +DC ′101=+A ′C ′101=+ （3）如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分， 又∵S △PCB ∶S △PCA 12=EB ×（y C -y P ）∶12AE ×（y C -y P ）=BE ∶AE ， 则BE ∶AE =3∶5或5∶3， 则AE 52=或32， 即：点E 的坐标为（32，0）或（12，0）， 将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +3， 解得：k =-6或-2，故直线CP 的表达式为：y =-2x +3或y =-6x +3，联立22363y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩并解得：x =4或8（不合题意值已舍去），故点P 的坐标为（4，-5）或（8，-45）．3.（2019雅安） 已知二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象过点（2，-1），点P （P 与O 不重合）是图象上的一点，直线l 过点（0，1）且平行于x 轴。

2019年中考数学二次函数的综合运用专题卷（含答案）一、解答题（共2题；共15分）1.如图，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB．点C 在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB 于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+m (m为常数)的图像与x轴交于点A(－3,0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．(1)求m的值及抛物线的函数表达式；(2)若P是抛物线对称轴上一动点，△ACP周长最小时，求出P的坐标；(3)是否存在抛物在线一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；(4)在(2)的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x1,y1)，M2(x2,y2)两点，试问是否为定值，如果是，请直接写出结果，如果不是请说明理由．二、综合题（共20题；共310分）3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y= x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．5.如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．6.如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．7.已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．8.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．9.如图，抛物线y=﹣x2+ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．（1）试求A，B，C的坐标；（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．11.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．12.已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？13.抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．（1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）．①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．14.如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．15.（2016•泸州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3 ），B（4，0）两点．（1）求出抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．16.如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF= ，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．17.如图，直线y=﹣x+2 与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．18.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．20.已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．21.如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E．（1）直接写出点A，C，D的坐标；（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．22.如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、解答题1.（1）解：把点C（6，）代入抛物线得:=9++c.解得c=-3.当y=0时，x2+x-3=0.解得：x1=-4,x2=3.∴A(-4,0).设直线AC的函数表达式为：y=kx+b(k≠0）.把A(-4,0)，C（6，）代入得：解得：∴直线AC的函数表达式为：y=x+3.（2）①证明：∵在Rt△AOB中，tan∠OAB==.在Rt△AOB中，tan∠OAD==.∴∠OAB=∠OAD.∵在Rt△POQ中,M为PQ中点.∴OM=MP.∴∠MOP=∠MPO.又∵∠MOP=∠AON.∴∠APM=∠AON.∴△APM∽△AON.②解：如下图，过点M作ME⊥x轴于点E.∵OM=MP.∴OE=EP.又∵点M的横坐标为m.∴AE=m+4,AP=2m+4.∵tan∠OAD=.∴cos∠EAM=cos∠OAD=.∴AM=AE=.∵△APM∽△AON.∴=.∴AN==.2.解：（1）∵y=x+m经过点（-3，0），∴0=+m，解得m=，∴直线解析式为y=x+，C（0，）．∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（-3，0），∴另一交点为B（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），∵抛物线经过C（0，），∴=a•3（-5），解得a=，∴抛物线解析式为y=x2+x+；（2）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．如图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，∵x P=1，∴y P=3，即P（1，3）．(3) （3）存在设Q(x, x2+x+)①若C为直角顶点, 则由△ACO相似于△CQE，得x=5.2②若A为直角顶点，则由△ACO相似于△AQE，得x=8.2∴Q的横坐标为5.2 ，7.2(4)令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3-k，则直线的解析式是：y=kx+3-k，∵y=kx+3-k，y=x2+x+，联立化简得：x2+（4k-2）x-4k-3=0，∴x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．∵y1=kx1+3-k，y2=kx2+3-k，∴y1-y2=k（x1-x2）．根据两点间距离公式得到：==∴==4（1+k2）．又==；同理∴===4（1+k2）．∴M1P•M2P=M1M2，∴=1为定值．二、综合题3.（1）解：∵y= x2﹣x﹣，∴y= （x+1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）．当x=4时，y= ．∴E（4，）．设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k= ，b= ．∴直线AE的解析式为y= x+ ．（2）解：设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣= ，解得：m= ．∴直线CE的解析式为y= x﹣．过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）= x2+ x．∴△EPC的面积= ×（x2+ x）×4=﹣x2+ x．∴当x=2时，△EPC的面积最大．∴P（2，﹣）．如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．∵K是CB的中点，∴k（，﹣）．∵点H与点K关于CP对称，∴点H的坐标为（，﹣）．∵点G与点K关于CD对称，∴点G（0，0）．∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．∴GH= =3．∴KM+MN+NK的最小值为3．（3）解：如图3所示：∵y′经过点D，y′的顶点为点F，∴点F（3，﹣）．∵点G为CE的中点，∴G（2，）．∴FG= = ．∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．当GF=GQ时，点F与点Q″关于y= 对称，∴点Q″（3，2 ）．当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．由两点间的距离公式可知：a+ = ，解得：a=﹣．∴点Q1的坐标为（3，﹣）．综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2 ）或（3，﹣）．4.（1）解：将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+ x+4（2）解：设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n．∵B（﹣2，0），C（8，0），∴BC=10，在y=﹣x2+ x+4中令x=0，可解得y=4，∴点A（0，4），OA=4，∴S△ABN= BN•OA= （n+2）×4=2（n+2），∵MN∥AC，∴，∴= = ，∴，∵﹣＜0，∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大（3）解：当N（3，0）时，N为BC边中点，∵MN∥AC，∴M为AB边中点，∴OM= AB，∵AB= = =2 ，AC= = =4 ，∴AB= AC，∴OM= AC5.（1）解：在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，∴C（0，3a），∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；（2）解：在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD= ×2×a=a，如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得，∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x= ，∴E（，0），∴BE=3﹣=∴S△BCD=S△BEC+S△BED= × ×（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；（3）解：∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a= ，此时抛物线解析式为y= x2﹣2 x+ ；综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y= x2﹣2 x+ ．6.（1）解：∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3（2）解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC= = ，MP=|t+1|，PC= =2 ，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t= ，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2 ，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2 ，解得t=﹣1+2 或t=﹣1﹣2 ，此时M（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2 ）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2 ）或（2，﹣1﹣2 ）（3）解：如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB= EF•OD+ EF•BD= EF•OB= ×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+ ，∴当x= 时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，﹣），即当E点坐标为（，﹣）时，△CBE的面积最大7.（1）解：将点A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=ax2+bx中，，解得：，∴抛物线的解析式为y= x2﹣x．（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，将点A（﹣1，1）代入y=kx+m中，即﹣k+m=1，∴k=m﹣1，∴直线AF的解析式为y=（m﹣1）x+m．联立直线AF和抛物线解析式成方程组，，解得：，，∴点G的坐标为（2m，2m2﹣m）．∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为（2m，0）．∵抛物线的解析式为y= x2﹣x= x（x﹣1），∴点E的坐标为（1，0）．设直线AE的解析式为y=k1x+b1，将A（﹣1，1）、E（1，0）代入y=k1x+b1中，，解得：，∴直线AE的解析式为y=﹣x+ ．设直线FH的解析式为y=k2x+b2，将F（0，m）、H（2m，0）代入y=k2x+b2中，，解得：，∴直线FH的解析式为y=﹣x+m．∴FH∥AE．（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，将A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=k0x+b0中，，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+2．当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣2，t），点Q的坐标为（t，0）．当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示．∵QM=2PM，∴= = ，∴QM′= ，MM′= t，∴点M的坐标为（t﹣，t）．又∵点M在抛物线y= x2﹣x上，∴t= ×（t﹣）2﹣（t﹣），解得：t= ；当点M在线段QP的延长线上时，同理可得出点M的坐标为（t﹣4，2t），∵点M在抛物线y= x2﹣x上，∴2t= ×（t﹣4）2﹣（t﹣4），解得：t= ．综上所述：当运动时间为秒、秒、秒或秒时，QM=2PM．8.（1）解：∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，∴，∴，∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5（2）解：如图1，令x=0，则y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，BC=5 ，要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有或，①当时，CD=AB=6，∴D（0，1），②当时，∴，∴CD= ，∴D（0，），即：D的坐标为（0，1）或（0，）（3）解：设H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，∴E（4，﹣5），∴CE=4，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y=x﹣5，∴F（t，t﹣5），∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+ ，∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，= CE•HF=﹣2（t﹣）2+ ，∴S四边形CHEF当t= 时，四边形CHEF的面积最大为（4）解：如图2，∵K为抛物线的顶点，∴K（2，﹣9），∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），∵M（4，m）在抛物线上，∴M（4，﹣5），∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），∴直线K'M'的解析式为y= x﹣，∴P（，0），Q（0，﹣）．9.（1）解：当y=0时，0=﹣x2+ x+2，解得：x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），当x=0时，y=2，故C（0，2）（2）解：①过点D作DE⊥x轴于点E，∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，∴D（3，﹣2）；②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴AC=BD，AD=BC，∴四边形ADBC是平行四边形，∵AC= = ，BC= =2 ，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴四边形ADBC是矩形（3）解：由题意可得：BD= ，AD=2 ，则= ，当△BMP∽△ADB时，= = ，可得：BM=2.5，则PM=1.25，故P（1.5，1.25），当△BMP1∽△ABD时，P1（1.5，﹣1.25），当△BMP2∽△BDA时，可得：P2（1.5，5），当△BMP3∽△BDA时，可得：P3（1.5，﹣5），综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）10.（1）解：∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0=﹣2+c，解得c=2，∴B（0，2），∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+ x+2（2）解：①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+ m+2），∴PM=﹣m+2，PA=3﹣m，PN=﹣m2+ m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，∴BN=OM=m，∴= ，即= ，解得m=0（舍去）或m=2，∴M（2，0）；当∠NBP=90°时，则有= ，∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），∴BP= = m，AP= = （3﹣m），∴= ，解得m=0（舍去）或m= ，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+ m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+ m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m= ；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+ m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+ m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣11.（1）解：由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+ x+2；（2）解：当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，∴四边形ABDC为等腰梯形，∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，∴D（3，2）；当点D在x轴下方时，∵∠DBA=∠CAO，∴BD∥AC，∵C（0，2），∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2，∴直线AC解析式为y=2x+2，∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8，∴直线BD解析式为y=2x﹣8，联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，∴D（﹣5，﹣18）；综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；（3）解：过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，设P（t，﹣t2+ t+2），由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+2，∴H（t，﹣t+2），∴PH=y P﹣y H=﹣t2+ t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+2t，设直线AP的解析式为y=px+q，∴，解得，∴直线AP的解析式为y=（﹣t+2）（x+1），令x=0可得y=2﹣t，∴F（0，2﹣t），∴CF=2﹣（2﹣t）= t，联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x= ，即E点的横坐标为，∴S1= PH（x B﹣x E）= （﹣t2+2t）（5﹣），S2= • • ，∴S1﹣S2= （﹣t2+2t）（5﹣）﹣• • =﹣t2+5t=﹣（t﹣）2+ ，∴当t= 时，有S1﹣S2有最大值，最大值为．12.（1）解：∵y=a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y=﹣x+b经过点A，∴b=﹣3 ，∴y=﹣x﹣3 ，当x=2时，y=﹣5 ，则点D的坐标为（2，﹣5 ），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5 ，解得，a=﹣，则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2 x+3 （2）解：作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，∴tan∠BAC=tan∠PBA，即，∴，即n=﹣a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣4时，n=5a，∵△BPA∽△ABC，∴，即AB2=AC•PB，∴42= • ，解得，a1= （不合题意，舍去），a2=﹣，则n=5a=﹣，∴点P的坐标为（﹣4，﹣）；当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，∴tan∠CBA=tan∠PBA，即，∴，即n=﹣3a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣6时，n=21a，∵△PBA∽△ABC，∴，即AB2=BC•PB，∴42= • ，解得，a1= （不合题意，舍去），a2=﹣，则点P的坐标为（﹣6，﹣），综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）（3）解：作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN= = ，∴∠DAN=60°，∴∠EDF=60°，∴DE= EF，∴Q的运动时间t= =BE+EF，∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，y=﹣4 ．13.（1）解：①将P（1，﹣3），B（4，0）代入y=ax2+c，得，解得，抛物线的解析式为y= x2﹣；②如图1，由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，D与P关于y轴对称，P（1，﹣3），得D（﹣1，﹣3）；（2）解：点P运动时，是定值，设P点坐标为（m，m2﹣），A（﹣4，0），B（4，0），设AP的解析式为y=kx+b，将A、P点坐标代入，得，解得b= ，即E（0，），设BP的解析式为y=k1x+b1，将B、P点坐标代入，得，解得b2= ，即F（0，），OF+OE= + = = ，= =2．14.（1）解：把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，得解得：，∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x；（2）解：点C的坐标为（3，3），又∵点B的坐标为（1，3），∴BC=2，∴S△ABC= ×2×3=3；（3）解：过P点作PD⊥BH交BH于点D，设点P（m，﹣m2+4m），根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，6= ×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣4m），∴3m2﹣15m=0，m1=0（舍去），m2=5，∴点P坐标为（5，﹣5）．（4）解：以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，则△CBM≌△MHN，∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，∴M（1，2），N（2，0），由勾股定理得：MC= = ，∴S△CMN= × × = ；②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM 和Rt△MDC，得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴EM=CD=5，MD=ME=2，由勾股定理得：CM= = ，∴S△CMN= × × = ；③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，同理得：CN= = ，∴S△CMN= × × =17；④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN= = ，∴S△CMN= × × =5；⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上所述：△CMN的面积为：或或17或5．15.（1）解：∵A（1，3 ），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4 x（2）解：存在三个点满足题意，理由如下：当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，∵A（1，3 ），∴D坐标为（1，0）；当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3 ﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+（3 ）2=36，∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，∴AD2+BD2=AB2，即1+（3 ﹣d）2+42+d2=36，解得d= ，∴D点坐标为（0，）或（0，）；综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；（3）解：如图2，过P作PF⊥CM于点F，∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，∴=3 ，∴MF=3 PF，在Rt△ABD中，BD=3，AD=3 ，∴tan∠ABD= ，∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN= a，在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，∴tan∠PNF= = ，∴FN= PF，∴MN=MF+FN=4 PF，∵S△BCN=2S△PMN，∴a2=2× ×4 PF2，∴a=2 PF，∴NC= a=2 PF，∴= ，∴MN= NC= × a= a，∴MC=MN+NC=（+ ）a，∴M点坐标为（4﹣a，（+ ）a），又M点在抛物线上，代入可得﹣（4﹣a）2+4 （4﹣a）=（+ ）a，解得a=3﹣或a=0（舍去），OC=4﹣a= +1，MC=2 + ，∴点M的坐标为（+1，2 + ）．16.（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（﹣5，0），B（3，0），∴可以假设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入得到a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．（2）解：）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG= （m+5），FM= = ，∵sin∠AMF= ，∴= ，∴= ，整理得到2m2+19m+44=0，∴（m+4）（2m+11）=0，∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），∴点Q坐标（﹣4，）（3）解：①当MN是对角线时，设点F（m，0）．∵直线AC解析式为y=x+5，∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），∵QN=PM，∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]，解得m=﹣3± ，∴点M坐标（﹣2+ ，3+ ）或（﹣2﹣，3﹣）．②当MN为边时，MN=PQ= ，设点Q（m，﹣m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣m2﹣m+6），∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5，解得m=﹣3．∴点M坐标（﹣2，3），综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+ ，3+ ）或（﹣2﹣，3﹣）．17.（1）解：在直线y=﹣x+2 中，令y=0可得0=﹣x+2 ，解得x=2，令x=0可得y=2 ，∴A为（2，0），B为（0，2 ）；（2）解：由（1）可知OA=2，OB=2 ，∴tan∠ABO= = ，∴∠ABO=30°，∵运动时间为t秒，∴BE= t，∵EF∥x轴，∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO= BE=t，BF=2EF=2t，在Rt△ABO中，OA=2，OB=2 ，∴AB=4，∴AF=4﹣2t；（3）解：相似．理由如下：当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，即t=4﹣2t，解得t= ，∴AF=4﹣2t=4﹣= ，OE=OB﹣BE=2 ﹣× = ，如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，则四边形OEGH为矩形，∴GH=OE= ，又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，∴OA=AH=2，在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22= ，又AF•AB= ×4= ，∴AF•AB=AG2，即，且∠FAG=∠GAB，∴△AFG∽△AGB；（4）解：存在，∵EG∥x轴，∴∠GFA=∠BAO=60°，又G点不能在抛物线的对称轴上，∴∠FGA≠90°，∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，∴FG=2AF，∵EF=t，EG=4，∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，∴4﹣t=2（4﹣2t），解得t= ，即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣BE=2 ﹣t=2 ﹣× = ，∴E点坐标为（0，），∵抛物线的顶点为A，∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2，把E点坐标代入可得=4a，解得a= ，∴抛物线解析式为y= （x﹣2）2，即y= x2﹣x+ ．18.（1）解：∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，∴∴，∴抛物线解析式为y=﹣x2+ x﹣2=﹣（x﹣2）2+ ；（2）解：如图1，过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，由（1）有，C（0，﹣2），∵B（0，3），∴直线BC解析式为y= x﹣2，∵H（1，y）在直线BC上，∴y=﹣，∴H（1，﹣），∵B（3，0），E（0，﹣1），∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1，∴G（1，﹣），∴GH= ，∵直线BE：y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+ x﹣2相较于F，B，∴F（，﹣），∴S△FHB= GH×|x G﹣x F|+ GH×|x B﹣x G|= GH×|x B﹣x F|= × ×（3﹣）= ．（3）解：如图2，由（1）有y=﹣x2+ x﹣2，∵D为抛物线的顶点，∴D（2，），∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴设M（2，m），（m＞），∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，∵∠OMB=90°，∴OM2+BM2=AB2，∴m2+4+m2+1=9，∴m= 或m=﹣（舍），∴M（0，），∴MD= ﹣，∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴t= ﹣；（4）解：存在点P，使∠PBF被BA平分，如图3，∴∠PBO=∠EBO，∵E（0，﹣1），∴在y轴上取一点N（0，1），∵B（3，0），∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①，∵点P在抛物线y=﹣x2+ x﹣2②上，联立①②得，或（舍），∴P（，），即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）．19.（1）解：由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，则MA=MB=MC=ME=2，又∵CO⊥MB，∴MO=BO=1，∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2），设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0）把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，解得：a= ，故二次函数解析式为：y= （x+1）2﹣2；（2）证明：连接DM，∵△MBC为等边三角形，∴∠CMB=60°，∴∠AMC=120°，∵点D平分弧AC，∴∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，∵MD=MC=MA，∴△MCD，△MDA是等边三角形，∴DC=CM=MA=AD，∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；（3）解：存在．理由如下：设点P的坐标为（m，n）∵S△ABP= AB|n|，AB=4∴×4×|n|=5，即2|n|=5，解得：n=± ，当时，（m+1）2﹣2= ，解此方程得：m1=2，m2=﹣4即点P的坐标为（2，），（﹣4，），当n=﹣时，（m+1）2﹣2=﹣，此方程无解，故所求点P坐标为（2，），（﹣4，）．20.（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），∴，解得：a=﹣，b=﹣，c=3，∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3（2）解：在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，∴点P的坐标为（5，3），当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形．（3）解：设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（1，0），P（5，3），∴，解得：k= ，b=﹣，∴直线PA的解析式为y= x﹣，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，解方程组，得或，∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣）时，|PM﹣AM|的值最大，此时|PM﹣AM|的最大值为5．21.（1）解：由题意得：将A（m，1）代入y1=ax2﹣2ax+1得：am2﹣2am+1=1，解得：m1=2，m2=0（舍），∴A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）；（2）解：如图1，由（1）知：B（1，1﹣a），过点B作BM⊥y轴，若四边形ABDE为矩形，则BC=CD，∴BM2+CM2=BC2=CD2，∴12+（﹣a）2=22，∴a= ，∵y1抛物线开口向下，∴a=﹣，∵y2由y1绕点C旋转180°得到，则顶点E（﹣1，1﹣），∴设y2=a（x+1）2+1﹣，则a= ，∴y2= x2+2 x+1；（3）解：如图2，当0≤t≤1时，则DP=t，构建直角△BQD，得BQ= ，DQ=3，则BD=2 ，∴∠BDQ=30°，∴PH= t，PG= t，∴S= （PE+PF）×DP= t2，如图2，当1＜t≤2时，EG=E′G= （t﹣1），E′F=2（t﹣1），S不重合= （t﹣1）2，S=S1+S2﹣S不重合= + （t﹣1）﹣（t﹣1）2，=﹣综上所述：S= t2（0≤t≤1）或S=﹣（1＜t≤2）．22.（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣；（2）解：∵抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y= x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）解：存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC= ，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣= ，解得x=2+ 或x=2﹣，∴N2（2+ ，），N3（2﹣，）．。

2019全国各地中考数学压轴大题函数综合十、二次函数与圆综合问题1.（2019•潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4时，求点P的坐标．解：（1）点B（0，4），则点C（0，2），∵点A（4，0），则点M（2，1）；（2）∵⊙P与直线AD，则∠CAD＝90°，设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO＝＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，AC＝，则CD＝＝10，则点D（0，﹣8），将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，将点B坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH＝EF＝2，cos∠PEH＝，解得：PE＝5，设点P（x，x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），则PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，解得x＝或2，则点P（，）或（2，1）．2.（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．解：（1）令ax2+6ax＝0，ax（x+6）＝0，∴A（﹣6，0）；（2）①证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，∵⊙P过O、A、B三点，B为顶点，∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°，又∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵CE为切线，∴∠PCB+∠ECD＝90°，又∵∠BDP＝∠CDE，∴∠ECD＝∠COE，∴CE＝DE．②解：设OE＝m，即E（m，0），由切割线定理得：CE2＝OE•AE，∴（m﹣t）2＝m•（m+6），∴①，∵∠CAE＝∠CBD，∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO，由角平分线定理：，即：，∴②，由①②得，整理得：t2+18t+36＝0，∴t2＝﹣18t﹣36，∴．3.（2019•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2；（2）如图1，过点P作直线l，使l∥EF，过点O作OP'⊥l，当直线l与抛物线只有一个交点时，PH最大，等于OP'，∵直线EF的解析式为y＝﹣x，设直线l的解析式为y＝﹣x+m①，∵抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2②，联立①②化简得，x2+x﹣2﹣m＝0，∴△＝﹣4××（﹣2﹣m）＝0，∴m＝﹣，∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣，令y＝0，则x＝﹣，∴M（﹣，0），∴OM＝，在Rt△OP'M中，OP'＝＝，∴PH最大＝．（3）①当∠CMB＝90°时，如图2，∴BM是⊙O的切线，∵⊙C半径为1，B（1，0），∴BM2∥y轴，∴∠CBM2＝∠BCO，M2（1，﹣2），∴BM2＝2，∵BM1与BM2是⊙C的切线，∴BM1＝BM2＝2，∠CBM1＝∠CBM2，∴∠CBM1＝∠BCO，∴BD＝CD，在Rt△BOD中，OD2+OB2＝BD2，∴OD2+1＝（2﹣OD）2，∴OD＝，∴BD＝，∴DM1＝过点M1作M1Q⊥y轴，∴M1Q∥x轴，∴△BOD∽△M1QD，∴，∴，∴M1Q＝，DQ＝，∴OQ＝+＝，∴M1（﹣，﹣），②当∠BCM＝90°时，如图3，∴∠OCM3+∠OCB＝90°，∵∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠OCM3＝∠OBC，在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝2，∴tan∠OBC＝＝2，∴tan∠OCM3＝2，过点M3作M3H⊥y轴于H，在Rt△CHM3中，CM3＝1，设CH＝m，则M3H＝2m，根据勾股定理得，m2+（2m）2＝1，∴m＝，∴M3H＝2m＝，OH＝OC﹣CH＝2﹣，∴M3（﹣，﹣2），而点M4与M3关于点C对称，∴M4（，﹣﹣2），即：满足条件的点M的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣2）或（﹣，﹣2）或（，﹣﹣2）．4.（2019•雅安）已知二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（2，﹣1），点P（P与O不重合）是图象上的一点，直线l过点（0，1）且平行于x轴．PM⊥l于点M，点F（0，﹣1）．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：点P在线段MF的中垂线上；（3）设直线PF交二次函数的图象于另一点Q，QN⊥l于点N，线段MF的中垂线交l于点R，求的值；（4）试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系．解：（1）∵y＝ax2（a≠0）的图象过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22，即a＝﹣，∴y＝﹣x2；（2）设二次函数的图象上的点P（x1，y1），则M（x1，1），y1＝﹣x12，即x12＝﹣4y1，PM＝|1﹣y1|，又PF＝＝＝|y1﹣1|＝PM，即PF＝PM，∴点P在线段MF的中垂线上；（3）连接RF，∵R在线段MF的中垂线上，∴MR＝FR，又∵PM＝PF，PR＝PR，∴△PMR≌△PFR（SSS），∴∠PFR＝∠PMR＝90°，∴RF⊥PF，连接RQ，又在Rt△RFQ和Rt△RNQ中，∵Q在y＝﹣x2的图象上，由（2）结论知∴QF＝QN，∵RQ＝RQ，∴Rt△RFQ≌Rt△RNQ（HL），即RN＝FR，即MR＝FR＝RN，∴＝1；（4）在△PQR中，由（3）知PR平分∠MRF，QR平分∠FRN，∴∠PRQ＝（∠MRF+∠FRN）＝90°，∴点R在以线段PQ为直径的圆上．5.（2019•梧州）如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣x+c过点A，与⊙A交于B、C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．解：（1）过点B、C分别作x轴的垂线交于点R、S，∵∠BAR+∠RAB＝90°，∠RAB+∠CAS＝90°，∴∠RAB＝∠CAR，又AB＝AC，∴RtBRA△≌Rt△ASC（AAS），∴AS＝BR＝2，AR＝CS＝1，故点B、C的坐标分别为（2，2）、（5，1），将点B、C坐标代入抛物线y＝ax2﹣x+c并解得：a＝，c＝11，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+11；（2）将点B坐标代入y＝kx+1并解得：y＝x+1，则点D（﹣2，0），点A、B、C、D的坐标分别为（3，0）、（2，2）、（5，1）、（﹣2，0），则AB＝，AD＝5，点E在直线BD上，则设E的坐标为（x，x+1），∵AD＝AE，则52＝（3﹣x）2+（x+1）2，解得：x＝﹣2或6（舍去﹣2），故点E（6，4），把x＝6代入y＝x2﹣x+11＝4，故点E在抛物线上；（3）①当切点在x轴下方时，设直线y＝k1x﹣1与⊙A相切于点H，直线与x轴、y轴分别交于点K、G（0，﹣1），连接GA，AH＝AB＝，GA＝，∵∠AHK＝∠KOG＝90°，∠HKA＝∠HKA，∴△KOG∽△KHA，∴，即：，解得：KO＝2或﹣（舍去﹣），故点K（﹣2，0），把点K、G坐标代入y＝k1x﹣1并解得：直线的表达式为：y＝﹣x﹣1；②当切点在x轴上方时，直线的表达式为：y＝2x﹣1；故满足条件的直线解析式为：y＝﹣x﹣1或y＝2x﹣1．6.（2019•柳州）如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，CE的长为半径作圆，点P为直线y＝x﹣3上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BDP周长的最小值；（3）若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），求四边形ABMN的面积．解：（1）直线y＝x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝3，故点A、C的坐标为（3，0）、（0，﹣3），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x﹣1）＝a（x2﹣4x+3），则3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3…①；（2）连接DB′交于直线于P；此时三角形BDP周长＝BD+PB+PD＝BD+DB′为最小值，D（2，1），则点G（2，﹣1），即：BG＝EG，即点G是BB′的中点，过点B′（3，﹣2），△BDP周长最小值＝BD+B′D＝；（3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，点A、B、C、E、F的坐标为（3，0）、（1，0）、（0，﹣3）、（2，0）、（﹣2，0），则CE＝，FQ＝CE，则PF＝CE﹣CE＝，设点P（m，m﹣3），点F（﹣2，0），PF2＝13＝（m﹣2）2+（m﹣3）2，解得：m＝1，故点P（1，﹣2），将点P、F坐标代入一次函数表达式并解得：直线PF的表达式为：y＝﹣x﹣…②，联立①②并解得：x＝，故点M、N的坐标分别为：（，）、（，），过点M、N分别作x轴的垂线交于点S、R，则S四边形ABMN＝S梯形NRSM﹣S△ARN﹣S△SBM＝．。