2.1花边有多宽(第1课时)

2.1花边有多宽方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，随着数学应用的日趋广泛，方程的工具作用显得愈发重要.一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位．本节“花边有多宽”是一元二次方程的基础，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念，进而通过夹逼思想估算方程的解．本节的重、难点是一元二次方程的概念及其近似解．2.1花边有多宽(一)教学目标(一)教学知识点1．一元二次方程的概念2．一元二次方程的有关概念．(二)能力训练要求1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．2．理解一元二次方程的概念(三)情感与价值观要求从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．教学重点一元二次方程的概念a≠0教学难点一元二次方程的概念:a≠0教学方法启发诱导式教具准备投影片四张第一张：花边有多宽(记作投影片§2．1．1 A)第二张：数学问题(记作投影片§2．1．1 B)第三张：实际问题(记作投影片§2．1．1 C)第四张：想一想(记作投影片§2．1．1 D)教学过程Ⅰ．创设现实情景、引入新课[师]前面我们学过黄金分割，知道黄金比是多少吗?[生]黄金比是0.618．[师]很好，你知道黄金比为什么是0．618吗?……[师]好，经济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?……从今天开始，我们来学习能解决这些问题的知识：第二章：一元二次方程．与一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型．下面我们来学习第一节：花边有多宽．Ⅱ．讲授新课[师]我们来看一个实际问题 (出示投影片§2．1．1 A)；大家来讨论讨论．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?[生]我们可以利用列方程来求解．[师]很好，那如何列方程来求解实际问题呢?想一想，前面我们学习的列一元一次方程的思路和方法．[生]要从题中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系．这个题已知：这块地毯的长为8 m，宽为5 m，它中央长方形图案的面积为18m2．这个题所要求的是；地毯的花边有多宽．本题是以面积为等量关系．[师]这位同学分析得很好，下面我们共同来利用这些数量关系列出方程．[师生共析]如果设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m，根据题意，可得方程(8-2x)(5-2x)＝18注意：1．利用列方程解实际问题时，关键是要找到等量关系，如本题中的面积等于长乘以宽． 2．用一个含有未知数的代数式表示一个量，并且这个量有单位时，需要把这个代数式用括号括起来，如本题中的地毯中央长方形图案的长、宽等．[师]好，下面我们来看一个数学问题(出示投影片§ 2．1．1 B)：观察下面等式102+112+122＝132+142．你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?[生]这个题我们也可以利用数量关系列方程．[师]很好，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面的四个数该如何表示呢? [生甲]因为任何两个连续整数的差为1.所以，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1，x+2，x+3，x+4．[生乙]根据题意，则可得到方程x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2．[生丙]老师，我觉得这个题也可以设中间的那个数为x，那么其余四个数依次为x-2，x-1，x+1，x+2，由此也可得方程(x-2)2+(x-1)2+x2＝(x+1)2+(x+2)2．这样行吗?[师]丙同学的思路很好，这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可灵活设未知数，即可设这五个数中的任意一个，其他四个数可随之变化．下面我们来看一个实际问题(出示投影片§2．1．1 C)：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?[师]同学们分组讨论，列出方程．[生甲]墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形．已知梯子的长为10 m，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6 m．[生乙]设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程．(x+6)2+(8-1)2＝102，即(x+6)2+72＝102．[师]同学们讨论得很完整，接下来想一想，议一议(出示投影片§ 2．1．1 D)：由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8-2x)(5-2x)＝18，x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2，(x+6)2+72＝102．这三个方程有什么共同特点?[生甲]这三个方程的每个方程的左、右两边都是整式．[生乙]我把这三个方程进行了化简，即(1)(8-2x)(5-2x)＝18，40-26x+4x2＝18，4x2-26x+22＝0．(2)x2+(x+1)2+(x+2)2＝(x+3)2+(x+4)2，x2+x2+2x+1+x2+4x+4=x2+6x+9+x2+8x+16，x2-8x-20＝0．(3)(x+6)2+72=102，x2+12x+36+49=100，x2+12x-15=0．由此可以知道：这三个方程可以化简为三项的和．[生丙]把这三个方程经过化简后，最高次数是二次．[生丁]这三个方程的每一个方程中只含有一个未知数．[师]同学们总结得很好．上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程．这三个方程还都可以化为ax2+bx+c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程(quadrat ic equatton wit h one unknown)，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．注意：1．一元二次方程必须同时满足以下三点；(1)方程是整式方程．(2)它只含有一个未知数．(3)未知数的最高次数是2，即化简为ax2+bx+c=0时，a≠0．2．任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx++c=0(a≠0)的形式,其中a≠0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了．因为任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0《a≠0》的形式，所以我们把ax2+bx+c＝O(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．注意：(1)当a＝0，b≠0时，方程就是一元一次方程，当一个方程是一元二次方程时，则隐含了条件：a≠0.(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式．Ⅲ．应用、深化课本P43随堂练习1．从前有一天，二个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程．解：设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，根据题意，得x2＝(x-4)2+(x-2)2，即x2-12x+20=02．把方程(3x+2)2＝4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.解：方程(3x+2)2＝4(x-3)2的一般形式是5x2+36x-32＝0．方程的二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32．Ⅳ．课时小结本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念．1．一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的形式．2．一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝O(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．Ⅴ.课后作业(一)课本P44习题2．1 1、2(二)1．预习内容：P44-P462．预习提纲探索一元二次方程的解或近似解，Ⅵ．活动与探究1．当d、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元一次方程?[过程]让学生通过讨论、总结，知道：对于方程ax2+bx+c＝0，当a≠0时．是一元二次方程；当a＝0且b≠0时，方程为bx+c=0，是一元一次方程．[结果]当a≠1时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元二次方程，这时，方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b．当a=1且b≠0时，方程是一元一次方程．板书设计2.1花边有多宽(一)一、1．设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m．根据题意，可得(8-2x)(5-2x)＝18．2．设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1、x+2、x+3、x+4．根据题意，可得x2+(x+1)2+(x+2)2＝(x+3)2+(x+4)2．3．设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙(x+6)m．根据题意，可得(x+6)2+72＝102．二、议一议三个方程的共同特点：(1)只含有一个未知数．(2)整式方程．(3)可化为ax2+bx+c＝0．三、1．一元二次方程的定义．2．一元二次方程的一般形式；ax2+bx+c＝0(a≠0)ax2是二次项，a是系数bx是一次项，b是系数c是常数项四、练习五、小结六、课后作业。

九年级数学2.1花边有多宽（1）教学目标：1．通过具体问题，如“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题，引导学生列出方程，体会方程的模型思想，培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力.2．让学生观察、归纳出一元二次方程及其相关概念，并会识别一元二次方程及各部分名称，培养学生归纳分析的能力.教学方法及学法指导：学生已经学习了一元一次方程及相关概念，因此，本节课我主要采用启发式、类比法教学.教学中力求体现“问题情景---数学模型-----概念归纳”的模式.但是由于学生将实际问题转化为数学方程的能力有限，所以，本节课借助多媒体辅助教学，指导学生通过直观形象的观察与演示，从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破难点.同时学生在现实的生活情景中，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力.课前准备：多媒体、学案教学过程:一、温故知新引入新课师：同学们，数学与我们的生活息息相关，你是否还记得“你今年几岁了”、“我变胖了”、“打折销售”、“能追上小明吗”、“教育储蓄”、“谁的包裹多”、“鸡兔同笼”、“增收节支”这些问题吗？生：回忆师：这些问题你是借助什么知识解决的呢？生：（想起）方程.师：对，我们是根据题意设未知数，列方程、解方程来解决这些问题的.其实，还有好多问题需要列方程来解决，（出示课件）如，黄金比为什么是0.618？你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗？花边有多宽？等.所以，今天，我们走进第二章，学习关于方程的更多知识，一起解决更多的问题.今天先和大家一起学习第一节花边有多宽（板书课题）【设计意图】在七、八年级学生已经积累了一些利用方程解决实际问题的经验，初步感受了方程的模型作用，为新的内容的学习做好准备，从而确定本章所学，引入新课.二、问题情景探究交流出示问题一：（课件）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m.如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？（学生读题）师：你能找到图中的地毯、花边和中央长方形吗？生：指出对应的三部分.师：你能从实物图中抽象出几何图形，画出所对应的图形吗？生：画图，标出相应长度。

北师大版数学九年级上册2.1《花边有多宽》教案1一. 教材分析《花边有多宽》这一节是人教版九年级上册第二单元《几何图形》中的一节内容。

本节课主要让学生通过观察、操作、思考、交流等活动，掌握花边的宽度，发展学生的空间观念和几何思维能力。

教材通过生活中的实例，引出花边的宽度，然后让学生通过实际操作，探索求解花边宽度的方法，从而培养学生的实践能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对几何图形有一定的认识。

同时，学生的空间想象能力和动手操作能力也在逐步发展。

但是，对于一些复杂的花边图案，学生可能还比较难以理解和计算。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导学生通过实际操作，逐步理解和掌握花边的宽度求解方法。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握花边的宽度求解方法，能够运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间观念和几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。

四. 教学重难点1.重点：花边的宽度求解方法。

2.难点：对于复杂花边图案的理解和计算。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，探索花边的宽度求解方法。

2.运用多媒体辅助教学，展示花边图案，提高学生的空间想象力。

3.分组合作学习，培养学生的团队合作意识。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.花边图案实物或图片。

3.剪刀、直尺、彩笔等动手操作工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师展示一些花边图案实物或图片，引导学生观察并思考：如何才能知道这些花边的宽度呢？通过这个问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题。

2.呈现（10分钟）教师提出具体的问题：给定一个花边图案，如何求解其宽度？然后引导学生分组讨论，共同探索求解方法。

3.操练（10分钟）每组学生选取一个花边图案，使用剪刀、直尺、彩笔等工具，进行实际操作，尝试求解花边的宽度。

九年级数学上册-2.1花边有多宽第一课时教案-北师大版一、课程目标1.了解花边的概念和定义；2.掌握用尺量花边宽度的方法；3.学会解决实际问题并求解。

二、教学重难点1.花边的概念和定义；2.用尺量花边宽度的方法；3.实际问题的求解。

三、教学内容和方法1.教学内容：•引入花边的概念和定义；•介绍尺的用法和读法；•讲解如何测量花边宽度；•给学生提供实际问题进行练习；•本节课的内容。

2.教学方法：•课堂讲解；•学生讨论；•实际演示；•课后练习；•组织小组讨论。

四、教学过程1. 引入首先给学生展示不同宽度的花边，引导学生思考如何测量花边的宽度。

2. 讲解接着介绍尺的用法和读法，并告诉学生如何使用尺来测量花边宽度。

需要注意的是，要先摆好花边再进行测量，以确保测量结果准确。

3. 实操让学生自己拿起尺来实践测量花边的宽度，并帮助他们解决实际问题。

例如，让学生测量桌布的花边宽度，或者测量裙子的花边宽度等。

4. 练习在课堂结束前，分发一些练习题，让学生自主练习。

并在下节课开始前检查一下他们的答案。

5.最后一下本节课的内容，并让学生相互分享自己的体会。

五、教学评估通过前期引入和课堂演示，学生是否清楚花边宽度的概念与测量方法；学生实际操练是否准确，让学生完成练习题后检查并公布答案。

根据学生的表现，依据课程目标进行总体评估。

六、教学建议1.强调测量花边时必须要把花边摆平，否则会影响测量结果；2.指导学生如何正确使用尺，防止测量不准；3.鼓励学生积极思考，参与教学过程中的讨论，并主动提问。

七、教学资料和参考书目无。

2.1 花边有多宽（一）教学目标：1、经历探索一元二次方程概念的过程，理解一元二次方程中的二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。

2、经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；在探索过程中培养和发展学生学习数学的主动性，提高数学的应用能力。

教学重点：1、一元二次方程的有关概念；2、根据具体问题列一元二次方程教学难点：根据具体问题列一元二次方程一、课前导读1、只含有______未知数的整式方程,并且都可以化为____________________ (a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程。

2、方程(2x-1)x=3x-5化为一般形式为_________________，它的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是_______。

3、在一次聚会上，n个同学彼此都握手一次，若这次共握手45次，则可列方程为_____________________。

二、创设情景，引入新课1、艺术设计一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m。

如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？如果设花边的宽为x米，那么地毯中央长方形图案的长为米，宽为米。

根据题意，可得方程。

2、趣味数学：先观察下面等式：102＋112＋122＝132＋142你还能找到其它的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果设五个连续整数中的第一个数为x ，那么后面四个数依次可表示为 ， ， ， 。

根据题意，可得方程 。

你还有其他设法和列法吗?3、梯子移动如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m 。

如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米？由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m ，如果设梯子底端滑动x m ，那么滑动后梯子底端距墙_________m 。

教学目标：知识与技能目标：1．一元二次方程的概念2．一元二次方程的有关概念．过程与方法目标：1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．2．理解一元二次方程的概念情感态度与价值观目标：从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．重点、难点、关键：1．重点：（1）掌握一元二次方程的解法，特别是公式法。

（2）培养学生的数学意识及解决简单的实际问题的能力。

2．难点：（1）用配方法解一元二次方程。

（2）一元二次方程教学过程：生活实例1观察：挂图显示出生活中丰富多彩的花边图案：有长方形，有圆形，有正方形，有椭圆形等（课前收集）；在课本图2一二的长方形花边上．问：这块四周建有宽度相等的底边的地毯，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？通过上述丰富的实例，为学生归纳出一元二次方程的概念提供帮助。

问：连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和？问：上述三个生活实例、数学问题得出下列三个方程：1．（8一2x）（5一2x）=182．x2+(x+1)2+(x+2)2=（x+3）2+(x+4)23．(x+6)2+72=102议一议：上述三个方程有什么共同特点？问：有大小两个圆形花坛，小四花坛面积比大花坛面积少10m，小圆花坛的周长比大花坛的周长短10m，设大花坛周长为x，借你列出关于x的方程。

随堂练习：随堂练习1、2课堂小结：本节课首先通过丰富的实例。

观察、归纳出一元二次方程的有关概念，体会方程的模型思想。

要掌握的概念（二）一元二次方程定义（2）一元二次方程一般式：（3）二次项、一次项、常数项的有关概念。

注意：任何一个关于x的一元二次方程都可以化为一般式。

作业：课本习题2．11、2知识与技能目标：1．经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。

北师大版九年级上第二章第一节花边有多宽(一) 教案一、教学目标：（一）知识与技能1、一元二次方程的概念2、一元二次方程的有关概念（二）过程与方法1、经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。

2、理解一元二次方程的概念（三）情感态度与价值观让学生感受到方程时刻画显示世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识二、教学重点：一元二次方程的概念：a ≠0教学难点：一元二次方程的概念：a ≠0三、教学方法：启发诱导式四、教学过程：（一）创设情景，引入新课1、艺术设计一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m ，宽为5m 。

如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2，那么花边有多宽？如果设花边的宽为x 米，那么地毯中央长方形图案的长为 5m米，宽为 米。

根据题意，可得方程 。

答案：（8－2x ）(5－2x)=182、趣味数学 口算：365141312111022222++++ 这是俄罗斯画家别尔斯基的一幅题为《难题》的名画中写在教室黑板上的一道题，此画上面还画了拉钦斯基和他的作口算的学生们。

拉钦斯基（1836～1902）一度曾在大学中任自然科学教授，后来辞去大学的职务，成为一名普通的乡村教师，在这期间，对非标准习题的解法以及口算给予很大注意。

从惊奇与趣味中激发学生思考：这样的数组还有吗？如何求解？设未知数的技巧。

联想勾股定理中：222543=+，……如果设五个连续整数中的第一个数为x ，那么后面四个数依次可表示为 ， ， ， 。

根据题意，可得方程 。

答案：x 2＋(x ＋1) 2＋(x ＋2) 2=(x ＋3) 2＋(x ＋4)2 3、梯子移动如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m 。

如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米？及时教育学生，要学会用数学的眼光观察生活中的现象，培养自己发现问题与解决问题的能力。