黄冈市2016年高三9月质量检测理科数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知函数()f x =M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则()R MC N =（ ）A ．{|1}x x <B ．{|1}x x ≥C ．φD ．{|11}x x -<< 【答案】A .考点：1、集合及其基本运算. 2.给定下列两个命题：221:,,0p a b R a ab b ∃∈--<；2p ：在三角形ABC 中，A B >，则sin sin A B >.则下列命题中的真命题为（ ）A ．1pB ．12p p ∧C ．12()p p ∨⌝D ．12()p p ⌝∧ 【答案】D .【解析】试题分析：对于221:,,0p a b R a ab b ∃∈--<，因为0)(4)(22≥---=∆b b ，所以022≥--b ab a ，即命题1p 为假命题；对于2p ：在三角形ABC 中，A B >，则sin sin A B >，因为在三角形ABC 中，大角对大边可知b a >，由正弦定理可得BbA a sin sin =，所以sin sin A B >，即命题2p 为真命题，故应选D . 考点：1、命题及其关系.3.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（ ）A ．120B ．105C ．90D ．75 【答案】B .【解析】试题分析：设{}n a 的公差为d ，则由12315a a a ++=可得，1532=a 即52=a ，所以51=+d a ；所以1631=a a ，所以16)2(11=+d a a ，联立方程可得21=a 或81=a ，又因为其公差为正数，所以21=a ，所以3=d ，所以111213a a a ++=105)11(33112=+=d a a ，故应选B . 考点：等差数列.4.若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥ D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥ 【答案】C .考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、空间直线与平面的位置关系.5.设条件2:210p ax ax -+>的解集是实数集R ；条件:01q a <<，则条件p 是条件q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 【答案】C . 【解析】试题分析：因为条件2:210p ax ax -+>的解集是实数集R ，所以当0=a 时，显然满足条件；当0≠a 时，⎩⎨⎧<∆>00a 即10<<a ，所以条件p 是条件q 成立的充要条件，故应选C . 考点：1、充分条件；2、必要条件.6.函数()(1)ln ||f x x x =-的图象大致为（ ）【答案】A .考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、函数的图像.【思路点睛】本题主要考查了导数在研究函数的单调性中的应用和函数的图像，具有一定的综合性，属中 档题.其解题的一般思路为：首先观察函数的表达式的特征如0)1(=f ，然后运用导数在研究函数的单调性 和极值中的应用求出函数的单调区间，进而判断选项，最后将所选的选项进行验证得出答案即可. 其解题的 关键是合理地分段求出函数的单调性.7.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．3+B ．3+C ．1+D ．1+【答案】B .考点：1、三视图；2、空间几何体的体积、面积的计算. 8.函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>在3x π=处取得最小值，则（ ）A ．()3f x π+是奇函数B ．()3f x π+是偶函数 C ．()3f x π-是奇函数 D ．()3f x π-是偶函数 【答案】B .【解析】试题分析：因为函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>在3x π=处取得最小值，所以A A -=+)3sin(ϕπ，即1)3sin(-=+ϕπ，所以Z k k ∈+-=+,223ππϕπ，即Z k k ∈+-=,265ππϕ，所以()sin()(0)f x A x A ϕ=+>)65sin(π-=x A ，所以()3f x π+x A x A cos )653sin(-=-+=ππ为偶函数，所以应选B .考点：1、三角函数的图像与性质；2、函数的奇偶性.9.在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=，6AC BC ==，M 为斜边AB 的中点，N 为斜边AB 上一点，且MN =CM CN ∙的值为（ ）A ．B ．16C ．24D ．18【答案】D .考点：1、平面向量的应用.10.设12x <<，则ln x x ，2ln ()x x，22ln x x 的大小关系是（ ）A ．222ln ln ln ()x x x x x x <<B ．222ln ln ln ()x x x x x x <<C ．222ln ln ln ()x x x x x x <<D ．222ln ln ln ()x x x x x x<<【答案】A . 【解析】试题分析：令21,ln )(<<-=x x x x f ，则011)('>-=xx f ，所以函数21,ln )(<<-=x x x x f 为增函数，所以01)1(ln )(>=>-=f x x x f ，所以0ln >>x x ，即0ln 1>>x x ，所以x xx x ln ln 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛；又因为0ln ln 2ln ln 222>-=-xx x x x x x x ，所以222ln ln ln ()x x x x x x <<，故应选A . 考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.11..设12,F F 是双曲线2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +∙=（O 为坐标原点）且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．3 D ．13【答案】A .考点：1、双曲线的简单几何性质；2、双曲线的概念．【方法点睛】本题考查了双曲线的定义和双曲线的简单几何性质，考查学生综合知识能力和图形识别能力，属中档题.其解题方法为：首先设出点),41(2m m P +的坐标，然后运用已知平面向量的数量积的运算即可 求出参数m 的值，进而得出点P 的坐标，最后运用双曲线的第二定义即可求出2PF 的长度，进而得出1PF的长度，进而得出所求的结果.12.已知()||xf x x e =∙，又2()()()()g x f x t f x t R =+∙∈，若满足()1g x =-的x 有四个，则t 的取值范围为（ ）A ．21(,)e e ++∞B ．21(,)e e +-∞-C ．21(,2)e e +--D ．21(2,)e e+【答案】B . 【解析】考点：1、函数与方程；2、函数的图像与性质；3、导数的综合应用.【思路点睛】本题主要考查了函数与方程、分段函数的应用、函数的图像与性质和导数的综合应用，考查学生综合知识能力，属中高档题.其解题的一般思路为：首先将函数)(x f 用分段函数表示出来，然后分别利用导数判断其各段的函数的单调性，进而得出其极值，再结合函数的图像即可得出方程m x f =)(的解的情况.其解题的关键是数形结合在分段函数中的应用.第Ⅱ卷（共90分）（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知抛物线2:2(0)C y px p =>上一点(4,)A m 到其焦点的距离为174，则p 的值为 .【答案】21=p . 【解析】试题分析：由抛物线的定义可知，抛物线2:2(0)C y px p =>上一点(4,)A m 到其焦点的距离等于其到准线的距离，即17442+=p ，所以21=p . 考点： 1、抛物线.14.设函数24,0()3,0x x f x x x ⎧->=⎨--<⎩，若()(1)f a f >，则实数a 的取值范围是 .【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞). 【解析】试题分析：由题意知，242)1(-=-=f ，当0>a 时，42)(-=aa f ，由()(1)f a f >可得242->-a ，即1>a ；当0<a 时，3)(--=a a f ，由()(1)f a f >可得23->--a ，即1-<a ；所以实数a 的取值 范围是(-∞，-1)∪(1，+∞). 考点：1、分段函数的应用.15.已知向量,a b 满足||2a =，||1b =，a 与b 的夹角为3π，则a 与2a b +的夹角为 . 【答案】6π. 考点：1、平面向量的数量积的应用.【易错点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的应用，属中档题.其解题过程中最容易出现以下错误：其一是不能正确地运用平面向量的数量积计算出其数量积，进而导致出现错误；其二不能正确运用数量积的概念求解两向量的夹角的大小，进而导致出现错误.其解题的关键是正确运用平面向量的数量积在解题中的应用.16.对于函数sin ,[0,2]()1(2),(2,)2x x f x f x x π∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列3个命题：①任取12,[0,)x x ∈+∞，都有12|()()|2f x f x -≤恒成立； ②*()2(2)()f x kf x k k N =+∈，对于一切[0,)x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--在(1,)+∞上有3个零点； 则其中所有真命题的序号是 . 【答案】①③. 【解析】试题分析：函数sin ,[0,2]()1(2),(2,)2x x f x f x x π∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的图像如图所示：考点：1、分段函数；2、函数的图像及其性质.【思路点睛】本题主要考查了分段函数的应用和函数的图像及其性质，考查综合知识能力的应用，属高中档题.其解题的一般思路为：首先根据已知条件可画出函数)(x f 的图像，然后结合函数的图像得出函数)(x f 的最大值和最小值，并得出函数的零点问题，进而得出所求的结果即可.其解题的关键是正确地运用数形结合求解分段函数的问题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且sin cos c C c A =-.（1）求A ；（2）若1a =，ABC ∆，求,b c . 【答案】（1）A=3π；（2）b=c=1．【解析】试题分析：（1）结合已知条件并运用正弦定理即可得出21)6sin(=-πA ，再由三角形内角和为π即可得出角A 的大小即可；（2）由三角形的面积公式S=12bcsinA 即可求出bc 的值，然后结合（1）并运用余弦定理即可得出关于b,c 的另一个等式关系，再联立方程组即可求出b,c 的值即可.试题解析：（1）由已知结合正弦定理可得﹣sinCcosA ，∵sinC ≠0，∴sinA ﹣cosA=2sin （A ﹣6π），即sin （A ﹣6π）=12， 又∵A ∈（0，π），∴A ﹣6π∈（﹣6π，56π），∴A ﹣6π=6π，∴A=3π.（2）S=12bcsinA ，即34=12bc 32，∴bc=1，①又∵a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b +c ）2﹣2bc ﹣2bccos 3π，即1=（b +c ）2﹣3，且b ，c 为正数，∴b +c=2，②由①②两式解得b=c=1．考点：1、三角恒等变换；2、正弦定理在解三角中的应用；3、余弦定理在解三角中的应用.【方法点睛】本题主要考查了三角恒等变换、正弦定理在解三角中的应用和余弦定理在解三角中的应用，属中档题. 其解题方法是：首先运用正弦定理或余弦定理将已知条件进行转化，然后运用辅助角公式即可求出角A 的大小，再运用三角形的面积公式可得出关于b,c 的方程组，进而可求出答案即可. 其解题的关键是正确的运用三角恒等变换和正弦、余弦定理在实际问题中的应用. 18.（本小题满分12分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”. :()2x p f x m =+为定义在[1,1]-上的“局部奇函数”； :q 方程2(51)10x m x +++=有两个不等实根；若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求m 的取值范围. 【答案】54m <-或315m -<<-或15m >. 试题解析：若p 为真，则由于()2xf x m =+为[1,1]-的局部奇函数，从而()()0f x f x +-=，即2220x x m -++=在[1,1]-上有解，令12[,2]2x t =∈，则12m t t -=+，又1()g t t t =+在1[,1)2上递减，在[1,2]上递增，从而5()[2,]2g t ∈，得52[2,]2m -∈，故有514m -≤≤-. 若q 为真，则有2(51)40m ∆=+->，得35m <-或15m >. 又由“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则p 与q 一真一假；若p 真q 假，则5143155m m ⎧-≤≤-⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩，得无交集；若p 假q 真，则5141355m m m m ⎧>-<-⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或或，得54m <-或315m -<<-或15m >，综上知m 的取值范围为54m <-或315m -<<-或15m >.考点：1、命题及其关系；2、一元二次方程问题；3、指数函数问题.【方法点睛】本题主要考查了命题及其关系、一元二次方程问题和指数函数问题，考查学生综合运用知识的能力，属中档题. 其解题的一般方法为：首先运用二次函数在区间上的最值和一元二次方程根的情况分别求出命题p ，q 为真命题时所满足的m 的取值范围；然后运用补集的思想和命题间的基本关系即可求出满足题意的参数m 的取值范围. 19.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(3,3)A B ，点C 在第二象限，且ABC ∆是以BAC ∠为直角的等腰直角三角形，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域内（含边界）. （1）若0PA PB PC ++=，求||OP ；（2）设(,)OP mAB nAC m n R =+∈，求2m n +的最大值.【答案】（1）58||OP =（2）52. 试题解析：（1）A （1,1），B （3,3），ABC ∆是以BAC ∠为直角的等腰直角三角形且C 在第二象限，(1,3)C ∴- ，0PA PB PC ++=， P 是ABC ∆的重心，7(1,)3P ∴，58||OP =(2)(,)OP mAB nAC m n R =+∈,(2,2),(2,2)AB AC ==-， (,)(22,22)x y m n m n =-+，3,,2444x y y x y xm n m n +--==+=，有线性规划知3y x -的最大值为10，此时1,3x y =-=2m n +的最大值为52.考点：1、平面向量的坐标运算；2、平面向量的数量积的应用；3、线性规划问题.【方法点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积的应用和线性规划问题，属中档题.（1）直接运用平面向量的坐标运算即可求出点P 的坐标，进而得出向量的长度；（2）首先设出点P 的坐标，然后结合已知可求出关于n m ,与x,y 的关系式，最后运用线性规划即可求出所求的结果.其解题的关键是正确地运用平面向量的坐标运算求解实际问题. 20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量(,)n a S n =，(97,2)b n =-，且a 与b 共线. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)mm内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m T .【答案】（1）a n ＝9n －8(n ∈N *)；（2）299110980m m ⨯+-⨯.(2)对m ∈N *，若9m ＜a n ＜92m ，则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1.故得b m ＝92m －1－9m －1.于是T m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9(181)1918119m m-----＝299110980m m⨯+-⨯.考点：1、等差数列；2、等比数列的前n 项和. 21.（本小题满分12分） 已知函数2()28f x x x =--.（1）若对3x >，不等式()(2)15f x m x m >+--恒成立，求实数m 的取值范围； （2）记1()()42h x f x =--，那么当12k ≥时，是否存在区间[,]()m n m n <使得函数在区间[,]m n 上的值域恰好为[,]km kn ？若存在，请求出区间[,]m n ；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）(,2]-∞；（Ⅱ）当112k ≤<时，[,][0,22]m n k =-，当1k >时，[,][22,0]m n k =-，当1k =时，不存在区间.试题解析：(1) 2()28f x x x =--, 228(2)15x x m x m -->+--，即2(4)70x m x m -+++>对3x >恒成立，则①43293(4)70m m m +⎧≤⎪⎨⎪-+++≥⎩或②2(4)4(7)0m m ∆=+-+≤，解得①2m ≤或 ②62m -≤≤综合得m 的取值范围为(,2]-∞.（注：亦可分离变量2471x x m x -+<-对3x >恒成立，）（2）22111()(1)222h x x x x =-+=--+，max 1()2kn h x ≤=，,12n k ≤，又12k ≥，∴1n ≤，∴()h x 在[,]m n 上单调递增，()()h m km h n kn =⎧⎨=⎩，221212m m kmn n kn⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，m,n 是方程-12x 2+(1-k)x=0的两根，x 1=0,x 2=2-2k∴当112k ≤<时，[,][0,22]m n k =-，当1k >时，[,][22,0]m n k =-，当1k =时，不存在区间. 考点：1、二次函数的图像与性质；2、恒成立问题.【易错点睛】本题考查二次函数的图像与性质和恒成立问题，渗透着函数与方程、函数与不等式之间的转化关系，属中档题. 其解题过程中容易出现以下错误：其一是不能正确地将恒成立问题转化为一元二次方程或二次函数根的分布情况进行解题，导致无法求解；其二是不能正确地利用函数的单调性求解值域问题，导致解题错误.22.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,f x x ax x a R =+-∈.（1）若函数()f x 在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(0,]x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. （3）当(0,]x e ∈时，证明：225(1)ln 2e x x x x ->+. 【答案】（1）72a ≤-；（2）存在实数a=e 2，使得当x ∈（0，e ]时g （x ）有最小值3；（3）详见解析．试题解析：（1）2'121()20x ax f x x a x x +-=+-=≤在[1，2]上恒成立，令h （x ）=2x2+ax ﹣1，有(1)0(2)0h h ≤⎧⎨≤⎩得172a a ≤-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，得72a ≤-. （2）假设存在实数a ，使g （x ）=ax ﹣lnx （x ∈（0，e]）有最小值3，'11()ax g x a x x -=-=①当a≤0时，g （x ）在（0，e]上单调递减，g （x ）min=g （e ）=ae ﹣1=3，4a e =（舍去），②当10e a <<时，g （x ）在1(0,)a 上单调递减，在1(,]e a 上单调递增∴min1()()1ln3g x g aa==+=，a=e2，满足条件．③当1ea≥时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，4ae=（舍去），综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min=3．令ln5()2xxxφ=+，'21ln()xxxφ-=，当0＜x≤e时，ϕ'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上单调递增∴max1515 ()()3222x eeφφ==+<+=∴2ln5ln2xe x xx->+，即225(1)ln2e x x x x->+．考点：1、导数在研究函数的单调性与极值；2、构造函数法；：。
