江苏省苏南四市(苏州、无锡、常州、镇江)2011届高三一模(数学)

江苏省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编 第5部分:三角函数 一、填空题：3．(2011年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)函数2()(sin cos )f x x x =-的最小正周期为 ； 3．π【解析】由题知()12sin cos 1sin 2f x x x x=-=-周期T π=.4. (江苏省苏州市2011年1月高三调研) 函数()()[)()sin 0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示，则ϕ= ▲ .4. 4π【解析】()2738,T =-=2,384A ππω===，()3sin4f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()13sin 04f πϕ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，.4πϕ= 8. (江苏省苏州市2011年1月高三调研)已知11tan ,tan 73αβ==，且(),0,αβπ∈， 则2αβ+= ▲ .8. 4π【解析】()11173tan ,.11236173παβαβ++==<+<-⨯1tan .336πββ=<< ()1123tan 21,2,2.1134123ππαβαβαβ++==+<+=-⨯8. (江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A c B b +=，则角A 的大小为 . 8．3π【解析】由tan 21tan A b B c +=，得sin()2sin cos sin sin A B C A B B +=，即1cos 2A =，故3A π= 13. (江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试)在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ⋅=,则△ABC 面积的最大值是 . 135．(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)已知α为锐角，cos α=，则tan()4απ+=▲ ．5．3-【解析】由cos 5α=，α为锐角，可得sin 5α=，则tan 2α=，所以1tan tan()341tan πααα++==--9．(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若sin A C ，30B =，2b =，则△ABC 的面积是 ▲ ．9．sin A C =，得a =，由余弦定理得2242cos a c ac B =+-，解得2c =，故a =1sin 2S ac B ==9. (江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)已知π3cos()45θ-=，π(,π)2θ∈，则cos θ=▲ ．9．【解析】运用整体思想将π()4θ-看成一个角，则所求角θ可以看作两个角的和π()44πθθ=-+。

苏北四市2011届高三第一次调研考试数学Ⅰ试题参考公式: 样本数据12,,,nx x x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11n ii x x n ==∑.一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1。

若复数11iz =-，224iz=+，其中i 是虚数单位，则复数12z z 的虚部是▲ .2。

已知集合(,0]A =-∞，{1,3,}B a =,若A B ≠∅，则实数a 的取值范围是 ▲ 。

3.若函数2()21x f x m =++4.若抛物线的焦点坐标为(2,0)是 ▲ ．5.从某项综合能力测试中抽取10 下表，则这10人成绩的方差为xy O(2,0)P()y f x =()y f x '=1（第10题图）数6。

如图是一个算法的流程图，则最后输出的S = ▲ 。

7。

已知直线1l ：310ax y ++=,2l ：2(1)10x a y +++=，若1l ∥2l ，则实数a 的值是 ▲ ．8.一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）玩具的四个面上分别标有1，2,3,4这四个数字。

若连续两次抛掷这个玩具,则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 ▲ 。

9。

已知π3cos()45θ-=，π(,π)2θ∈,则cos θ= ▲ ．10。

已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的图象如图所示， 则曲线()y f x =在点P 处的切线方程是 ▲ ． 11.在△ABC 中，点M 满足MA MB MC ++=0,若AB AC mAM ++=0，则实数m 的值为 ▲ ．12。

设m,n 是两条不同的直线，α，β,γ是三个不同的平面，给出下列命题:①若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥; ②若m//α,m β⊥，则αβ⊥; ③若αβ⊥，αγ⊥，则βγ⊥; ④若mαγ=，nβγ=，m//n ，则//αβ．上面命题中，真命题的序号是 ▲ （写出所有真命题的序号)．.w 。

南京市2011届高三第一次模拟考试试卷数学 2011.01参考公式： 1．样本数据12,,,n x x x 的方差2211()ni i s x x n==-∑，其中x 是这组数据的平均数。

2．柱体、椎体的体积公式：1,3V Sh V Sh ==柱体椎体，其中S 是柱（锥）体的底面面积，h 是高。

一、填空题：（5分×14=70分）1．函数22y x x =-的定义域是 ．2．已知复数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为 ．3．已知实数,x y 满足20,0,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最小值是 ．4．如图所示的流程图，若输入的9.5x =-，则输出的结果为 ．5．在集合{}2,3A =中随机取一个元素m ，在集合{}1,2,3B =中随机取一个元素n ，得到点(,)P m n ，则点P 在圆229x y +=内部的概率为 ．6．已知平面向量,a b 满足||1,||2a b ==，a 与b 的夹角为3π，以,a b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 ． 7．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 ．8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A cB b+=，则角A的大小为 ．9．已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 ． 10．已知正数数列{}n a 对任意,p q N *∈，都有p q p q a a a +=⋅，若24a =，则9a = ．11．已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面。

下列命题：①若,,||,||,l m l m ααββ⊂⊂则||αβ； ②若,||,,l l m αβαβ⊂=则||l m ；③若||,||,l αβα则||l β； ④若,||,||,l m l ααβ⊥则m β⊥. 其中真命题是 ▲ （写出所有真命题的序号）.12.已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n +的最小值是 ▲ .13. 在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ⋅=,则△ABC 面积的最大值是 ▲ . 14.若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()f x 的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数()f x 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）.已知函数2241,0,()2,0,x x x x f x x e⎧++<⎪=⎨≥⎪⎩则()f x 的“友好点对”有 个． 二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）. 15．（本题满分14分）已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且()24f π=.（1）求,ωϕ的值； （2）若6()(0)25f ααπ=-<<，求cos 2α的值。

江苏省苏州市2011届高三调研测试数学试题及答案
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江苏省扬州市第一中学2010-2011学年度第一学期高三期末试题一、填空题（每小题5分，共70分） 1．α是第一象限角，43tan =α，则=αsin ____________ 2．已知复数z=3-4i,则复数z 的实部和虚部之和为_____________3．已知集合A ＝{－1,3,m}，集合B ＝{3,4}。

若B ⊆A ，则实数m ＝___________ 4． 程序如下： 1←t 2←iWhile 4≤i i t t ⨯←1+←i i End While int Pr t以上程序输出的结果是5．在平面直角坐标系xOy 中，直线(1)2x m y m ++=-与直线28mx y +=-互相垂直的充要条件是m = ．6． 若实数对（x ，y ）满足约束条件0230x y x x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则x y 1+的最小值为 ．7． 设a>0，b>0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a +1b的最小值是______8．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y为整数的概率是 ．9．若ABC 的三边长分别为a, b, c ，其内切圆半径为r ，则S △ABC =12 (a+b+c ）·r ，类比这一结论到空间，写出三棱锥中的一个正确结论为10．若A 是锐角三角形的最小内角，则函数A A y sin 2cos -=的值域为 ． 11．设,αβ为互不重合的平面，,m n 为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,m n m n αα⊥⊂⊥则；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则α∥β； ③若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； ④若,,//,//m m n n ααββ⊥⊥则． 其中正确命题的序号为12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C 、D 的坐标分别是())0,0，则PD PC ⋅的最大值为 ．13． 在平面直角坐标系xOy 中，设直线2m y =+和圆222x y n +=相切，其中m ，*0||1n m n ∈<-≤N ，，若函数1()x f x m n +=- 的零点0(,1),x k k k ∈+∈Z ，则k = ．14．已知函数xx x x f 4341ln )(+-=,2()2 4.g x x bx =-+若对任意1(0,2)x ∈， 存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，则实数b 取值范围是 二、解答题（共6小题，共90分）15．（本小题满分14分）在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，58222bcb c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ；16．（本小题满分14分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==． （1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为F ABCD V -，F CBE V -， 求:F ABCD F CBE V V --如图：设工地有一个吊臂长15DF m =的吊车，吊车底座FG 高1.5m ，现准备把一个底半径为3m 高2m 的圆柱形工件吊起平放到6m 高的桥墩上，问能否将工件吊到桥墩上？（参考数据：30.20.58,0.660.81≈≈）18．（本小题共16分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围；（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222a b ONOM+为定值．C D BA EG H已知M （p, q ）为直线x+y-m=0与曲线y=-1x 的交点，且p<q ，若f （x ）=2x-mx 2+1 ，λ、μ为正实数。

2011年江苏省常州市某校高考数学模拟试卷（1）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答卷的相应位置上.1. 已知集合A ={0, 3, a 2}，B ={1, a}，若A ∪B ={0, 1, 2, 3, 4}，则实数a 的值为________．2. 已知复数z 1=m +2i ，z 2=3−4i ，若z1z 2为实数，则实数m 的值为________．3. 若关于x 的不等式ax 2−6x +a 2<0的解集为(1, m)，则实数m ＝________．4. 已知角α的终边经过点P(x, −6)，且tanα=−35，则x 的值________．5. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20−80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2010年3月15日至3 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为________． 6. 设α，β为互不重合的平面，m ，n 为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ；②若m ⊂α，n ⊂α，m // β，n // β，则α // β； ③若α⊥β，α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β； ④若m ⊥α，α⊥β，m // n ，则n // β． 其中正确命题的序号为________．7. 已知函数f(x)=mx 2+lnx −2x 在x =1处的切线与直线x −4y +1=0垂直，则函数f(x)的单调增区间为________．8. 右图是一个算法的流程图，最后输出的n =________．9. 连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a →=(m, n)与向量b →=(1, −1)的夹角为θ，则θ∈(0, π2]的概率是________．10. 矩形ABCD 中，AB ⊥x 轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数y =asinax(a ∈R, a ≠0)的一个完整周期图象，则当a 变化时，矩形ABCD 周长的最小值为________．11. 已知D 是由不等式组{x −2y ≥0x +3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2+y 2=4 围成的区域与区域D 的公共部分的面积为________．12.如图，已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为________．13. 已知f(x)=x 3−3x ，过A(1, m)可作曲线y =f(x)的三条切线，则m 的取值范围是________．14. 已知等差数列{a n }首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }首项为b ，公比为a ，其中a ，b 都是大于1的正整数，且a 1<b 1，b 2<a 3，对于任意的n ∈N ∗，总存在m ∈N ∗，使得a m +3=b n 成立，则a n =________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对边分别为a ，b ，c ．已知m →=(sinC,sinBcosA)，n →=(b,2c)且.m →⋅n →=0 （1）求∠A 大小．（2）若a =2√3，c =2，求△ABC 的面积S 的大小．16. 如图，△ABD 和△BCD 都是等边三角形，E 、F 、O 分别是AD 、BD 、AC 的中点，G 是OC 的中点； （1）求证：BD ⊥FG ；（2）求证：FG // 平面BOE ．17. 已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2⋅a 4=65，a 1+a 5=18． （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 值；（3）是否存在常数k ，使得数列{√S n +kn}为等差数列，若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．18. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点M(2, t)(t >0)在椭圆的准线上． （1）求椭圆的标准方程：（2）求以OM 为直径且被直线3x −4y −5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．19. 某园林公司计划在一块O 为圆心，R （R 为常数）为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC 区域用于观赏样板地，△OCD 区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售．已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元．（1）设∠COD =θ，CMD ̂=l ，分别用θ，l 表示弓形CMDC 的面积S 弓=f(θ)，S 弓=g(l)； （2）园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？（参考公式：扇形面积公式S =12R 2θ=Rl ）20. 已知函数f(x)＝lnx ，g(x)=12ax 2+bx(a ≠0)(Ⅰ)若a ＝−2时，函数ℎ(x)＝f(x)−g(x)在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下，设φ(x)＝e 2x +be x ，x ∈[0, ln2]，求函数φ(x)的最小值；(Ⅲ)设函数f(x)的图象C 1与函数g(x)的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．2011年江苏省常州市某校高考数学模拟试卷（1）答案1. 22. −323. 24. 10．5. 43206. ①③7. (0,13)8. 100 9. 712 10. 8√π 11. π2 12. √5313. (−3, −2)14. 5n−315. 解：（1）∵ m→⋅n→=0，∴ (sinC, sinBcosA)⋅(b, 2c)=0．∴ bsinC+2csinBcosA=0．根据正弦定理得：bsinB =csinC，∴ bc+2cbcosA=0．∵ b≠0，c≠0，∴ 1+2cosA=0．∴ cosA=−12．∵ 0<A<π，∴ A=2π3．（2）△ABC中，∵ a2=c2+b2−2cbcosA，∴ 12=4+b2−4bcos120∘．∴ b2+2b−8=0．∴ b=−4（舍），b=2．∴ △ABC的面积S=12bcsinA=12×2×2×√32=√3．16. 证明：（1）连接AF和CF，因为F为BD的中点，△ABD和△BCD都是等边三角形，所以BD⊥AF，BD⊥CF，又AF∩CF=F，所以BD⊥平面AFC，又FG⊂平面AFC，所以BD⊥FG．（2）设BE和AF交于点H，连接OH，在等边三角形△ABD中，E、F分别是AD、BD的中点，所以H为重心，AHAF =23，又O为AC中点，G是OC的中点，所以AOAG =23，在三角形AFG中，AHAF =23=AOAG，所以HO // FG，又FG∉平面BOE，HO⊂平面BOE，所以FG // 平面BOE ． 17. 解：（1）解：{a n }为等差数列， ∴ a 1+a 5=a 2+a 4=18，又a 2⋅a 4=65，∴ a 2，a 4是方程x 2−18x +65=0的两个根 又公差d >0，∴ a 2<a 4，∴ a 2=5，a 4=13． ∴ {a 1+d =5a 1+3d =13∴ a 1=1，d =4∴ a n =4n −3．（2）由1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，∴ a 1⋅a 21=a i 2， 即1×81=(4i −3)2， 解得i =3．（3）由（1）知，S n =n +n(n−1)2×4=2n 2−n ，假设存在常数k ，使数列{√S n +kn}为等差数列， 由√S 1+k +√S 3+3k =2√S 2+2K ， 得√1+k +√15+3k =2√6+2k ， 解得k =1．∴ √S n +kn =√2n 2=√2n 此时有√2n −√2(n −1)=√2，数列{√S n +kn}为等差数列． 所以存在常数k 使得数列{√S n +kn}为等差数列． 18. 解：（1）又由点M 在准线上，得a 2c=2故1+c 2c=2，∴ c =1，从而a =√2所以椭圆方程为x 22+y 2=1；（2）以OM 为直径的圆的方程为x(x −2)+y(y −t)=0 即(x −1)2+(y −t2)2=t 24+1，其圆心为(1, t2)，半径r =√t 24+1因为以OM 为直径的圆被直线3x −4y −5=0截得的弦长为2 所以圆心到直线3x −4y −5=0的距离d =√r 2−1=t2所以|3−2t−5|5=t2，解得t =4所求圆的方程为(x −1)2+(y −2)2=5（3）设N(x 0, y 0)，则FN →=(x 0−1, y 0)，OM →=(2, t)，MN →=(x 0−2, y 0−t)，ON →=(x 0, y 0)，∵ FN →⊥OM →，∴ 2(x 0−1)+ty 0=0，∴ 2x 0+ty 0=2， 又∵ MN →⊥ON →，∴ x 0(x 0−2)+y 0(y 0−t)=0，∴ x 02+y 02=2x 0+ty 0=2， 所以|ON →|=√x 02+y 02=√2为定值．19. 解：（1）∵ S 扇=12R 2θ，S △OCD =12R 2sinθ，∴ S弓=f(θ)=12R2(θ−sinθ)．又∵ S扇=12Rl，S△OCD=12R2sin lR，∴ S弓=g(l)=12R(l−Rsin lR)．（2）设总利润为y元，草皮利润为y1元，花木地利润为y2元，观赏样板地成本为y3元；则y1=3(12πR2−12lR)，y2=12R2sinθ⋅8，y3=12R(l−Rsinθ)⋅2，∴ y=y1+y2−y3=3(12πR2−12R2θ)+12R2sinθ⋅8−12R2(θ−sinθ)⋅2．=12R2[3π−(5θ−10sinθ)]．设g(θ)=5θ−10sinθ，θ∈(0, π)．g′(θ)=5−10cosθ，由g′(θ)<0，cosθ>12，g(θ)在θ∈(0,π3)上为减函数；由g′(θ)>0，cosθ<12，g(θ)在θ∈(π3,π)上为增函数．当θ=π3时，g(θ)取到最小值，此时总利润最大．所以当园林公司把扇形的圆心角设计成π3时，总利润最大．20. （I）依题意：ℎ(x)＝lnx+x2−bx．∵ ℎ(x)在(0, +∞)上是增函数，∴ ℎ(x)=1x+2x−b≥0对x∈(0, +∞)恒成立，∴ b≤1x +2x，∵ x>0，则1x+2x≥2√2．∴ b的取值范围是(−∞,2√2]．(II)设t＝e x，则函数化为y＝t2+bt，t∈[1, 2]．∵ y=(t+b2)2−b24．∴ 当−b2≤1，即−2≤b≤2√2时，函数y在[1, 2]上为增函数，当t＝1时，y min＝b+1；当1<−b2<2，即−4<b<−2时，当t=−b2时，y min=−b24；−b2≥2，即b≤−4时，函数y在[1, 2]上是减函数，当t＝2时，y min＝4+2b．综上所述：φ(x)={b+1−2≤b≤2√2−b24−4<b<−2 4+2b b≤−4(III)设点P、Q的坐标是(x1, y1)，(x2, y2)，且0<x1<x2．则点M、N的横坐标为x=x1+x22．C1在点M处的切线斜率为k1=1x |x=x1+x22=2x1+x2．C2在点N处的切线斜率为k2=ax+b|x=x1+x22=a(x1+x2)2+b．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1＝k2．即2x1+x2=a(x1+x2)2+b．则2(x2−x1)x1+x2=a(x22−x12)2+b(x2−x1)=(a2x22+bx2)−(a2x12+bx1)=y2−y1=lnx2−lnx1=ln x2x1，∴ ln x2x1=2(x2−x1)x1+x2=2(x2x1−1)1+x2x1设u=x2x1>1，则lnu=2(u−1)1+u,u>1，（1）令r(u)=lnu−2(u−1)1+u ,u>1，则r′(u)=1u−4(u+1)2=(u−1)2u(u+1)2，∵ u>1，∴ r′(u)>0，所以r(u)在[1, +∞)上单调递增，故r(u)>r(1)＝0，则lnu>2(u−1)u+1，与（1）矛盾！。

2010-2011学年第一学期江苏省13市高三数学期末考试题分类汇编---数列【南京市】10.已知正数数列{}n a 对任意,p q N *∈，都有p q p q a a a +=⋅，若24a =，则9a =答案 512【苏州市】2011年高三1月调研（数学）11题答案 100【苏州市2011年高三1月调研数学】12题答案 200 【无锡市】答案 8【常州市教育学会学生学业水平测试】7题答案【盐城市】13．已知{n a }是公差不为0的等差数列,{n b } 是等比数列,其中112242,1,,2a b a b a b====, 且存在常数α、β ,使得n a =log n b αβ+对每一个正整数n 都成立,则βα= ▲答案 4 【泰州市】答案215 【扬州市】答案23【扬州市】答案 2-或12-【镇江市】答案【南京市】19. 将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：123456789a a a a a a a aa已知表中的第一列数125,,,a a a 构成一个等差数列，记为{}n b ，且254,10b b ==.表中每一行正中间一个数137,,,a a a 构成数列{}n c ，其前n 项和为n S .（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若上表中，从第二行起，每一行．．．中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且131a =.①求n S ；②记{}|(1),n M n n c n N λ*=+≥∈，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围.【苏州市】19题【无锡市】【常州市】【扬州市】20．解：（Ⅰ）0A =时，n n a S B +=，当2n ≥时，由⎧⎨⎩11n n n n a S Ba S B--+=+=得，11()0n n n n a a S S ---+-=即112n n a a -=，所以，数列{}n a 是等比数列． ……………………………4分 （Ⅱ）设数列的公差为d ，分别令1,2,3n =得：⎧⎪⎨⎪⎩11223323a S A B a S A B a S A B +=++=++=+，即⎧⎪⎨⎪⎩2232543A B d A B d A B =++=++=+，解得⎧⎪⎨⎪⎩110A B d ===， 即等差数列{}n a 是常数列，所以n S n =； …………………………7分 又11111p q S S S +=，则11111p q +=， 11110pq p q --=，()()2111111p q --=，因p q <，所以21111111p q -=⎧⎨-=⎩，解得12132p q =⎧⎨=⎩． …………………………10分（Ⅲ）当1n =时，2A B =+，所以2B A =-所以(2)n n a S An A +=+-， 当1n ≥时，由⎧⎨⎩112(1)2n n n n a S An Aa S A n A+++=+-+=++-得，11()n n n n a a S S A ++-+-= 即11122n n a a A +=+ 所以11()2n n a A a A +-=-，又10a A -≠即数列{}n a A -是公比为12的等比数列， 所以111()()2n n a A a A --=-，即11(1)()2n n a A A -=-+， …………………12分12221121(21)1n n n nn a A A Aa A A A +-+-==+-+-+， ①当1A >时1111(21)1n n n a Aa A +-=+>-+ 且1n n a a +的值随n 的增大而减小，即312234a a aa a a >>>，所以，12a M a ≥，即M 的取值范围是2[,)1A +∞+；………………………14分 ②当01A <<时1111(21)1n n n a Aa A +-=+<-+ 且1n n a a +的值随n 的增大而增大，即312234a a aa a a <<<，所以，1M ≥，即M 的取值范围是[1,)+∞．………………………………16分【南京市】23.已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，n S 是它的前n 项和.求证：131n n S n S n++≤.镇江市【盐城市】19．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足12,a =前n 项和为n S ,11()2()n n npa n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数.（Ⅰ）若数列{}n b 满足221(1)n n n b a a n +=+≥,试求数列{}n b 前n 项和n T ； （Ⅱ）若数列{}n c 满足2n n c a =,试判断{}n c 是否为等比数列,并说明理由； （Ⅲ）当12p =时,问是否存在*n N ∈,使得212(10)1n n S c +-=,若存在,求出所有的n 的值； 若不存在，请说明理由.19．解：（Ⅰ）据题意得2214n n n b a a n +=+=-,所以{}n b 成等差数列,故222n T n n =-- 4分（Ⅱ）当12p =时,数列{}n c 成等比数列；当12p ≠时,数列{}n c 不为等比数列………5分 理由如下:因为122212n n n c a pa n +++==+2(4)2n p a n n =--+42n pc pn n =--+, 所以12(12)n n n c n p p c c +-=-+,故当12p =时,数列{}n c 是首项为1,公比为12-等比数列；当12p ≠时,数列{}n c 不成等比数列 …………………………………………………… 9分 （Ⅲ）当12p =时,121()2n n n a c -==-,121214()2n n n n a b a n -+=-=---………………10分 因为21112...n n S a b b b +=++++=2222n n --+(1n ≥) ……………………………12分212(10)1n n S c +-=，244164n n n ∴++=，设2()44416x f x x x =---(2)x ≥， 则()()4ln 484x g x f x x '==--，2()(ln 4)480x g x '∴=->(2)x ≥，且(2)(2g f '=>，()f x ∴在[2,)+∞递增，且(30f =），(1)0f ≠，∴仅存在惟一的3n =使得212(10)1n n S c +-=成立…………………………………16分【苏北四市】17.（本小题满分14分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知2123a a =+，且23a ，4a ，35a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3log n n b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S .17．（1）设{}n a 公比为q ，由题意得0q >，且2123423,352,a a a a a =+⎧⎨+=⎩即12(2)3,2530,a q q q -=⎧⎨--=⎩……………………………………………2分 解之得13,3,a q =⎧⎨=⎩或16,512a q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），…………………………………………………4分所以数列{}n a 的通项公式为1333n n n a -=⋅=，n *∈N .…………………………………6分（2）由（1）可得3log n n b a n ==，所以3n n n a b n =⋅.…………………………………8分 所以231323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅， 所以234131323333n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减得，23123(333)3n n n S n +=--++++⋅…………………………………10分 231(3333)3n n n +=-+++++⋅113(13)3(21)33132n n n n n ++-+-⋅=-+⋅=-所以数列{}n n a b 的前n 项和为13(21)34n n n S ++-⋅=. ………………………………14分【连云港市、徐州市、宿迁市】19.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S pa n =-，*n N ∈，其中常数2p >．（1）证明：数列{}1n a +为等比数列；（2）若23a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于（2）中数列{}n a ，若数列{}n b 满足2log (1)n n b a =+（*n N ∈），在k b 与1k b +之间插入12k -（*k ∈N ）个2，得到一个新的数列{}n c ，试问：是否存在正整数m ,使得数列{}n c 的前m 项的和2011m T =?如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由.19．解：（1）∵22n n S pa n =-，∴1122(1)n n S pa n ++=-+，∴1122n n n a pa pa ++=--， ∴1222n n p a a p p +=+--，∴11(1)2n n p a a p ++=+-， ……………………4分 ∵1122a pa =-，∴102p a p =>-，∴110a +> ∴11012n n a p a p ++=≠+-，∴数列{}1n a +为等比数列． （2）由（1）知1()2n n p a p +=-，∴()12n n p a p =-- ………………8分 又∵23a =，∴2()132p p -=-，∴4p =，∴21n n a =- …………………10分 （3）由（2）得2log 2n n b =，即*,()n b n n N =∈，数列{C }n 中，k b （含k b 项）前的所有项的和是：0122(1)123)(2222)2222k k k k k -++++++++++⨯=+-（…………………12分 当k=10 时，其和是10552210772011+-=<当k=11 时，其和是11662221122011+-=>又因为2011-1077=934=467⨯2，是2的倍数 ………………………………14分 所以当2810(1222)467988m =++++++=时，T 2011m =，所以存在m=988使得T 2011m = ……………………………………16分泰州市19. ⑴由题意1(3,0)A 、1(0,4)B 、2(5,0)A 、2(0,7)B . ∴11404033A B k -==--，22707055A B k -==--. …………………………………（2分） 1122A B A B k k ≠，∴11A B 与22A B 不平行. ……………………………………（4分） ⑵{}n a 、{}n b 为等差数列，设它们的公差分别为1d 和2d ，则111211112(1),(1),n n n n a a n d b b n d a a nd b b nd +=+-=+-=+=+，， 由题意11111()2n n n n n OA B OA B n n n n S S S a b a b ++∆∆++=-=-.……………………………（6分） ∴[]111211121()()((1))((1))2n S a nd b nd a n d b n d =++-+-+- 121211121(2)2d d n a d b d d d =++-，…………………………………………（8分） ∴1121211121(2)2n S d d n a d b d d d +=+++，∴112n n S S d d +-=是与n 无关的常数， ∴数列{}n S 是等差数列. ……………………………………………………………（10分）⑶(,0)n n A a 、(0,)n n B b ，∴n k =002n n n n n b b an b a a -+=-=--. 又数列{}n k 前8项依次递减，∴1n n k k +-=11(1)222n n n a n b an b an a b +++++-+-+=0<对17()n n Z ≤≤∈成立，即0an a b -+<对17()n n Z ≤≤∈成立.………………（12分） 又数列{}n b 是递增数列，∴0a >，只要7n =时，即760a a b a b -+=+<即可.又112b a b =+≥-，联立不等式60120,a b a b a a b Z+<⎧⎪+≥-⎪⎨>⎪⎪∈⎩，作出可行域（如右图所示），易得1a =或2.…………（14分）当1a =时，136b -≤<-，即13,12,11,10,9,8,7b =-------，有7解； 当2a =时，1412b -≤<-，即14,13b =--，有2解.∴数列{}n b 共有9个. …（16分）另解：也可直接由12,06-≥+<+b a b a 得5120<<a .又Z a ∈，则1a =或2.下同【南通市】20．（本题满分16分）已知数列{}n a 为各项均为正的等比数列，其公比为q ．（1）当q ＝32时，在数列{}n a 中： ①最多有几项在1～100之间？②最多有几项是1～100之间的整数？（2）当q ＞1时，在数列{}n a 中，最多有几项是100～1000之间的整数？（参考数据：lg3=0.477，lg2=0.301）．20．（本题满分16分）解：（1）①不妨设1a ≥1，设数列{}n a 有n 项在1和100之间，则113()2n a -⋅≤100．所以，13()2n -≤100． 两边同取对数，得 （n －1）（ lg3－lg2）≤2．解之，得 n ≤12.37． 故n 的最大值为12，即数列{}n a 中，最多有12项在1和100之间．…5分 ②不妨设1≤1a <132a ⋅<213()2a ⋅<…<113()2n a -⋅≤100，其中1a ，132a ⋅，213()2a ⋅，…， 113()2n a -⋅均为整数，所以1a 为21n -的倍数．所以31n -≤100，所以n ≤5．………8分又因为16，24，36，54，81是满足题设要求的5项．所以，当q ＝32时，最多有5项是1和100之间的整数．…………10分 （2）设等比数列{}1n aq -满足100≤a <aq <…<1n aq -≤1000，其中a ，aq ，…，1n aq -均为整数，*,1n q ∈>N ，显然，q 必为有理…11分 设q =t s，t ＞s ≥1，t 与s 互质， 因为 1n aq -=1()n t a s-为整数，所以a 是1n s -的倍数．……………………12分 令t =s +1，于是数列满足 100≤a ＜a ·1s s +＜…＜a ·11()n s s-+≤100． 如果s ≥3，则1000≥a ·11()n s s -+≥（q +1）n －1≥4n －1，所以n ≤5． 如果s =1，则1000≥a ·12n -≥100·12n -，所以，n ≤4．如果s =2，则1000≥a ·13()2n -≥100·13()2n -，所以n ≤6．………………13分 另一方面，数列128，192，288，432，648，972满足题设条件的6个数， 所以，当q ＞1时，最多有6项是100到1000之间的整数……………16分。

苏、锡、常、镇四市 2011届高三教学情况调研（一）数 学 试 题一、填空题（每小题5分，共70分 ）1．若集合U R =，{}20A x x =+>，{}1B x x =…，则U A B С＝ ；2．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2288kx ky -=的渐近线方程为 ；3．函数2()(sin cos )f x x x =-的最小正周期为 ；4．已知i 是虚数单位，计算2(2i)34i+-的结果是 ； 5．已知奇函数()fx 的图像关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()2f x x =，则(9)f -＝ ； 6．已知常数t 是负实数，则函数()f x =的定义域是 ；7．某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生人数之比为5：2：3，且已知初中生有800人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取一个容量为80的学生样本以了解学生对学校文体活动方面的评价，则每个高中生被抽到的概率是 ；8．右图给出的是计算11113519++++ 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i > ；9．已知圆O 的方程为222x y +=，圆M 的方程为22(1)(3)1x y -+-=，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线PA ，若直线PA 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线PA 的斜率是 ；10．已知结论：“在三边长都相等的ABC ∆中，若D 是BC 的中点，G是ABC ∆外接圆的圆心，则2AG GD=”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是BCD ∆的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AO OM= ”． 11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1≤5a ≤4，2≤6a ≤3，则6S 的取值范围是 ；12．已知过点O 的直线与函数3x y =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数9x y =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A 的横坐标是 ；13．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+ ，则λμ+的最小值为 ；14．设m N ∈，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则m 的取值集合为 ．15．（14分）设平面向量a ＝(cos ,sin )x x ，(cos )b x x =+ ，(sin ,cos )c αα= ，x R ∈，⑴若a c ⊥ ，求cos(22)x α+的值； ⑵若(0,)2x π∈，证明a 和b 不可能平行； ⑶若0α=，求函数()(2)f x a b c =- 的最大值，并求出相应的x 值． 16．（14分）在菱形ABCD 中，60A ∠= ，线段AB 的中点是E ，现将ADE ∆沿DE 折起到FDE ∆的位置，使平面FDE 和平面EBCD 垂直，线段FC 的中点是G ．⑴证明：直线BG ∥平面FDE ；⑵判断平面FEC 和平面EBCD 是否垂直，并证明你的结论．17．（14分）如图，ABC ∆为一个等腰三角形形状的空地，腰CA 的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为1S 和2S ． ⑴若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度；⑵求12S S 的最小值．18．（16分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点P ，设椭圆的右准线l 与x 轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为5⑴求椭圆E 的方程及圆O 的方程； ⑵若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，对于圆O 上任意一点N ，有MN NQ为定值；且当M 在直线l 上运动时，点Q 在一个定圆上．19．（16分）设函数2()(1)f x x x =-，0x >．⑴求()f x 的极值；⑵设0a <≤1，记()f x 在(]0,a 上的最大值为()F a ，求函数()()F a G a a =的最小值； ⑶设函数2()ln 24g x x x x t =-++（t 为常数），若使()g x ≤x m +≤()f x 在(0,)+∞上恒成立的实数m 有且只有一个，求实数m 和t 的值．20．（16分）设数列{}n a 是一个无穷数列，记2121311222n i n n i n i T a a a a +-++==+--∑，*n N ∈． ⑴若{}n a 是等差数列，证明：对于任意的*n N ∈，0n T =；⑵对任意的*n N ∈，若0n T =，证明：{}n a 是等差数列； ⑶若0n T =，且10a =，21a =，数列{}n b 满足2n an b =，由{}n b 构成一个新数列3，2b ，3b ，设这个新数列的前n 项和为n S ，若n S 可以写成b a ，(,,a b N ∈1,a >1)b >，则称n S 为“好和”．问1S ，2S ，3S ， 中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，说明理由．附加题21．选做题A ．平面几何选讲（10分） 过圆O 外一点A 作圆O 的两条切线AT 、AS ，切点分别为T 、S ，过点A 作圆O 的割线APN ，证明：22AT PT PS AN NT NS= ．B ．矩阵与变换（10分） 已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．C ．坐标系与参数方程（10分）已知A 是曲线12sin ρθ=上的动点，B 是曲线12cos()6πρθ=-上的动点，试求线段AB 长的最大值．D ．不等式选讲（10分）已知,m n 是正数，证明：33m n n m+≥22m n +．22. （10分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别在棱1AA 和1CC 上（含线段端点）．（10分）⑴如果1AE C F =,试证明1,,,B E D F 四点共面； ⑵在⑴的条件下，是否存在一点E ，使得直线1A B 和平面BFE 所成角等于6π？如果存在，确定E 的位置；如果不存在，试说明理由．23．（10分）⑴当*k N ∈时，求证：(1(1k k +是正整数；⑵试证明大于2(1n 的最小整数能被12n +整除（*n N ∈）简答：1．(2,1)- 2．y =± 3．π 4．724i 2525-+ 5．2- 6．[]3,4t t - 7．1508．10 9．1或7- 10．3 11．[]12,42- 12．3log 213．1214．{}0,3,14,30 15．⑴cos(22)1x α+= ⑵不平行 ⑶max ()5,2()6f x x k k Z ππ==-∈16．⑵垂直17．⑴E 为AC中点时，2⑵1125 18．⑴椭圆方程：22184x y +=圆的方程：224x y +=⑵定值为：2NM NQ =Q 在圆心1(,0)2，半径为12的定圆上 19．⑴1x =极小值(1)0f = ⑵min 4()27G a = ⑶5927t =-，3227m =-20．⑴错位相减⑵作差⑶逆用等比数列求和公式21．A ． B．22⎡⎢⎢⎢--⎢⎣⎦C ．18D ． 22．⑴共面⑵E 与A 重合时23．⑵最小整数为22(1(1n n +。