2014年3月兰州市教科所高三诊断考试数学(理)答案及评分标准

甘肃省兰州市2015届高三数学3月诊断考试试题 理注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。

2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。

答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|||1}A x x =<，{|21}x B x =>，则A B =I A ．(1,0)- B ．(1,1)- C ．)21,0(D ．(0,1) 2（i 是虚数单位）的虚部是 A ．1 B ．i C ．12 D ．12i 3．设||1a =r ，||2b =r ，且a r ，b r 夹角3π，则|2|a b +=r rA ．2B ．4C ．12D．4．从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为 A ．15B ．25 C ．35 D ．455．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = A ．18 B ．36 C ．54D ．726．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则 正视图中的x 的值是A ．2B ．92C ．32D ．37．如图，程序输出的结果132S =, 则判断框中应填 A ．10?i ≥ B ．11?i ≥ C ．11?i ≤D ．12?i ≥正视图 侧视图x8．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a α⊂，b β⊥，则α∥β是 a b ⊥的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件9．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为是 A ．[3,3]-B ．11(,][,)33-∞-+∞ C ．(,3][3,)-∞-+∞D ．11[,]33-10．在直角坐标系xoy 中，设P 是曲线C ：)0(1>=x xy 上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l交坐标轴于A ,B 两点，则以下结论正确的是 A ．OAB ∆的面积为定值2 B ．OAB ∆的面积有最小值为3 C ．OAB ∆的面积有最大值为4D ．OAB ∆的面积的取值范围是[3,4]11．已知抛物线1C ：y x 22=的焦点为F ，以F 为圆心的圆2C 交1C 于,A B 两点，交1C 的准线于,C D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆2C 的标准方程为A ．221()42x y +-=B ．221()42x y -+=C ．221()22x y +-=D ．221()22x y -+=12．己知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为A ．(2,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2013年高三诊断考试 数 学 注意事项： 1．题题2．本卷满分150分，考试用时120分钟。

3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（文）若全集则集合等于A. B. C. D. （理）设全集，已知的子集、满足集，，，则 A. B. C. D. 2.（文）设为虚数单位，若，则实数满足 A. B. C. D. （理）设为虚数单位，复数为纯虚数，则实数为 A. B. C. D. 3.曲线在点P(1，2)处的切线与轴是A.75 B. C. 27 D. 4.若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 5.（文）下列命题中的真命题是 A.对于实数、、，若，则 B.不等式的解集是 C. ，使得成立 D.，成立 （理）已知命题： ：函数的最小值为； ：不等式的解集是; ： ，使得成立; ：，成立. 其中的真命题是 A. B. ， C. ， D. ，， 6.（文）已知数列为等差数列，若，则 A. B. C. D. （理）数列满足，且，则 A. B. C. D. 7. 执行右面的程序框图，若输入的, 那么输出的是 A.120 B.240 C.360 D.720 8. 有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.16 B.20 C.24 D.32 9.(文) 在半径为的圆内任取一点，以该点为中点作弦，则所做弦的长度超过的概率是 A. B. C. D. （理）已知动点到两定点、的距离和为8，且，线段的的中点为，过点的所有直线与点的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有A.条B.条C.条D.条 10.(文) 已知动点到两定点、的距离和为8，且，线段的的中点为，过点的所有直线与点的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有A.条B.条C.条D.条 （理）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．若在[]上为增函数，则的最大值为 A．4 B．3 C．2 D．1 11.（文）数列的前项和为，若，，则 A． B．C． D． 已知函数是上的偶函数，且满足，在[0,5]上有且只有，则在[201,2013]上的零点个数为 A．808 B．806 C．805 D．804已知函数是上的偶函数，且满足，在[0,5]上有且只有，则在[201,2013]上的零点个数为 A．808 B．806 C．805 D．804.在区域内任取一点，则、 满足的概率为 A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（文）已知变量满足，则的最大值为__________. （理）已知向量，，为非零向量，若，则 . 14．（文）已知向量，，为非零向量，若，则 . （理）三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有种. 15.已知三棱锥的所有顶点都在为球心的球面上，是边长为的正三角形为球的直径,三棱锥，则球 16．（文）定义一种运算.令.当时，函数的最大值是______. （理）已知各项为正的数列中，（），则 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 在中，角、、的对边分别为、、，. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，，求的值． 18．（本小题满分12分） （文）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，． (Ⅰ)求证：平面； （Ⅱ）若，求棱锥的高. （理）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，求二面角的余弦值. 19．（本小题满分12分） （文） 某售报亭每天以每元的价格从购进若干，然后以每1元的价格出售当天卖不完，剩下的以每1元的价格（）一天购进，求当天的利润(单位：元)关于当天（单位：，）的函数解析式 日需求量240250260270280290300 频数10201616151310（1）假设售报亭在这100天内每天购进，求利润（单位：元）； 若一天购进，每天以每元的价格从购进若干，然后以每1元的价格出售当天卖不完，剩下的以每1元的价格（）一天购进，求当天的利润(单位：元)关于当天（单位：，）的函数解析式 日需求量240250260270280290300 频数10201616151310以100天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率. （1）若售报亭一天购进270份报纸，表示当天的利润（单位：元），求的数学期望； （2）若售报亭计划每天应购进270份或280份报纸，你认为购进270份报纸好，还是购进280份报纸好? 说明理由. 20．（本小题满分12分） 已知点为轴上的动点，点为轴上的动点，点为定点，且满足，. （Ⅰ）求动点的轨迹的方程； （Ⅱ）过点且斜率为的直线与曲线交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得成立，请说明理由. 21．（本小题满分12分） （文）已知函数，（，为常数，），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同. （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若时，证明：恒成立. （理）已知函数，（，为常数，），且这两函数的图像有公共点，并在该公共点处的切线相同. （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围. 请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号. 22．（本小题满分10分）选修4-1：《几何证明选讲》 已知：如图,为的外接圆，直线为的切线，切点为，直线∥，交于、交于，为上一点，且. 求证：（Ⅰ）； （Ⅱ）点、、、共圆. 23．（本小题满分10分)选修4—4：《坐标系与参数方程》 在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为(为参数) （I）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系； （II）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：《不等式选讲》 已知函数． （I）证明：； （II）求不等式的解集． 2013高三诊断考试 数学参考答案及评分标准（理） 一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分。

甘肃省2014年高考数学一模试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合{5}{20}A x Z x B x xA B =∈=≥⋂＜，﹣，则等于（ ） A ．25（，） B ．[25，） C ．{}234，， D ．{}345，，解析 A={x ∈Z||x|＜5}={x ∈Z|﹣5＜x ＜5}={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B={x|x ﹣2≥0}，∴A ∩B={2，3，4}，故选：C ．2．（5分）（2014•甘肃一模）复数21()1i i -+（i 是虚数单位）化简的结果是（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i - 解析==（）2=（﹣i ）2=﹣1． 故选：B ．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．92C ．32D ．3 解析 由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x 的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C ．4．（5分）从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M x y （，），则点M 取自阴影部分的概率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．16解析 可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S （Ω）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A ）==．所以P （A ）=．故选：B ．5．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a ﹣，则8S =（）A ．72B ．68C ．54D ．90解析 在等差数列{a n }中，∵a 4=18﹣a 5，∴a 4+a 5=18，则S 8=4（a 1+a 8）=4（a 4+a 5）=72故选：A6．（5分）阅读如图程序框图，输出的结果i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．9解析 由程序框图可看出：S=1×23×25×…×22n+1=23+5+…+（2n+1）==， 由判断框的条件可知：当满足≥100时，应跳出循环结构，此时n 2+2n ＞6，解得n=3，∴i=2n+1=7．故应输出i 的值是7．故选：C ．7．（5分）设lg lg 2a e b e c ===，（）， ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>解析 ∵1＜e ＜3＜， ∴0＜lge ＜1，∴lge ＞lge ＞（lge ）2．∴a ＞c ＞b ．故选：C ．8．（5分）（2014•甘肃一模）已知点P x y （，）满足线性约束条件21x x y ≤⎧⎪⎨⎪-⎩y ＋x ≥≤1，点31M O （，），为坐标原点，则OM OP ∙的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．3D ．1- 解析 设z=•，则z=3x+y ，即y=﹣3x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣3x+z ，由图象可知当直线y=﹣3x+z 经过点A 时，直线y=﹣3x+z 的截距最大，此时z 最大，由，解得，即A （3，2），此时z=3x+y=3×3+2=11，故•的最大值为11，故选：B ．9．（5分）若21()nx x -展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（ ）A ．84-B ．84C ．36-D ．36 解析 展开式中所有二项式系数和为512，即2n =512，则n=9，T r+1=（﹣1）r C 9r x 18﹣3r 令18﹣3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故选：B ．10．（5分）（2014•西藏一模）已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的两条渐近线均和圆C ：22650x y x ++=﹣相切，则该双曲线离心率等于（ ）A BC ．32D 解析 双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±，即bx ±ay=0 圆C ：x 2+y 2﹣6x+5=0化为标准方程（x ﹣3）2+y 2=4∴C （3，0），半径为2∵双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2﹣6x+5=0相切∴∴9b 2=4b 2+4a 2∴5b 2=4a 2∵b 2=c 2﹣a 2∴5（c 2﹣a 2）=4a 2∴9a 2=5c 2∴=∴双曲线离心率等于故选：A ．11．（5分）定义在R 上的偶函数f x （）满足120f x f x f x +=≠（）（）﹣（（），且在区间20132014（，）上单调递增，已知αβ，是锐角三角形的两个内角，则sin cos f f αβ（）、（）的大小关系是（ ） A ．sin cos f f αβ（）<（） B ．sin cos f f αβ（）＞（）C ．sin cos f f αβ=（）（）D ．以上情况均有可能 解析 ∵定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+1）f （x ）=﹣2，∴f （x ）===f （x+2），∴f （x ）是周期为2的偶函数．∵函数f （x ）在区间（2013，2014）上单调递增，故函数在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减．∵α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∴1＞sin α＞sin （﹣β）=cos β＞0． 则f （sin α）＜f （cos β），故选：A ．12．（5分）（2014•甘肃一模）设f x （）是定义在R 上的函数，x R ∀∈，都有22f x f x =+（﹣）（），f x f x =（﹣）（），且当[02]x ∈，时，22x f x =（）﹣，若函数log 10,1)g x f x a x a a =+≠（）（）﹣（）(＞在区间12014]（﹣，内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11(,)(3,7)95B ．1(0,)(7,)9+∞C ．1(,1)(1,3)9D ．11(,)(3,7)73解析 由f （2﹣x ）=f （2+x ），得到函数f （x ）关于x=2对称，由f （﹣x ）=f （x ）得函数f （x ）是偶函数，且f （2﹣x ）=f （2+x ）=f （x ﹣2），即f （x+4）=f （x ），即函数的周期是4．当x ∈[﹣2，0]时，﹣x ∈[0，2]，此时f （x ）=f （﹣x ）=2﹣x ﹣2，由g （x ）=f （x ）﹣log a （x+1）=0得f （x ）=log a （x+1），（a ＞0，a ≠1）作出函数f （x ）的图象如图：①若a ＞1，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点A （2，2）时，两个图象有两个交点，此时g （2）=log a 3=2，解得a=，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点B （6，2）时，两个图象有四个交点， 此时g （6）=log a 7=2，解得a=，此时要使两个函数有3个不同的零点，则， ②若0＜a ＜1，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点C （4，﹣1）时，两个图象有两个交点， 此时g （4）=log a 5=﹣1，解得a=，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点D （8，﹣1）时，两个图象有四个交点， 此时g （6）=log a 9=﹣1解得a=，此时要使两个函数有3个不同的零点，则， 综上：实数a 的取值范围是（，）∪（，）， 故选：A ．二、填空題：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数211()log ()1x f x x x -=++，则11()()20142014f f +-= ．解析 ∵函数， ∴＞0且x ≠0，解得：﹣1＜x ＜0 或 0＜x ＜1．∴定义域为{x|﹣1＜x ＜0 或 0＜x ＜1}，∴==﹣f （x ），∴函数是奇函数，∴==0． 故答案为：0 14．（5分）设随机变量ξ服从正态分布29N （，），若(1)(1)P c P c ξξ+=＞＜﹣，则c = ． 解析 ∵N （2，32）⇒， ，∴，解得c=2，故答案为：2．15．（5分）已知数列{}n a 满足110012n n a a a n =+=，﹣，则n a n的最小值 ． 解析 a 2﹣a 1=2，a 3﹣a 2=4，…a n+1﹣a n =2n ，这n 个式子相加，就有a n+1=100+n （n+1），即a n =n （n ﹣1）+100=n 2﹣n+100，∴=n+﹣1≥2﹣1=19， 当且仅当n=，即n=10时，取最小值19．故答案为：19．16．（5分）若三棱锥SABC ﹣的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =，12AB AC ==，，60BAC ︒∠=，则球O 的表面积为 ．解析 如图，三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，∵SA ⊥平面ABC ，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°， ∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC 截球O 所得的圆O ′的半径r=AC=1， ∴球O 的半径R==2， ∴球O 的表面积S=4πR 2=16π．故答案为：16π．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.17．（12分）在ABC 中，三个内角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若1cos 1cos 3a C c A b +++=（）（）， （1）求证：a b c ，，成等差数列；（2）若604B b ∠=︒=，，求ABC 的面积．解析 （1）∵a （1+cosC ）+c （1+cosA ）=3b ，由正弦定理得，sinA （1+cosC ）+sinC （1+cosA ）=3sinB ，即sinA+sinC+sin （A+C ）=3sinB ，∴sinA+sinC=2sinB ，由正弦定理得，a+c=2b ，则a ，b ，c 成等差数列；（2）∵∠B=60°，b=4，∴由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB 得4=a 2+c 2﹣2accos60°，即（a+c ）2﹣3ac=16， 又a+c=2b=8，解得，ac=16（或者解得a=c=4），则S △ABC =acsinB=4．18．（12分）如图，在四棱锥PABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，且90AD BC ABC PAD ∠=∠=︒，，侧面PAD ABCD ⊥底面．若12PA AB BC AD ===． （Ⅰ）求证：CD PC ⊥； （Ⅱ）求二面角APD C ﹣﹣的余弦值．解析（Ⅰ）证明：∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD，又∵侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD，又∵∠BAD=90°，∴AB、AD、AP两两垂直，分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=2，则由题意得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），∴，，∴=0，∴CD⊥PC．（Ⅱ）解：∵AB、AD、AP两两垂直，∴AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的一个法向量，设平面PCD的法向量，∵，∴，取x=1，得到=（1，1，2），设二面角A﹣PD﹣C的大小为θ，由图形知θ为锐角，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值为．19．（12分）某高中社团进行社会实践，对[2555]，岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如下统计表和如图所示各年龄段人数频率分布直方图请完成以下问题：（1）补全频率直方图，并求n a p ，，的值（2）从[4045，）岁和[4550，）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[4045，）岁得人数为X ，求X 的分布列和数学期望E X （）解析 （1）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为=0.06．频率直方图如下：第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n==1000，所以第二组的人数为1000×0.3=300，p==0.65，第四组的频率为0.03×5=0.15，第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．（2）因为[40，45）岁与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==所以随机变量X的分布列为∴数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=2﹣共线．20．（12分）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且AB与n=1)（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，O 为坐标原点，总使0OP OQ ∙<，求实数m 的取值范围．解析 （Ⅰ）解：设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），则∵A （a ，0）、B （0，b ）， ∴=（﹣a ，b ）， ∵与=（，﹣1）共线，∴a=b ，∵焦距为2， ∴c=1， ∴a 2﹣b 2=1， ∴a 2=2，b 2=1， ∴椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），把直线方程y=kx+m 代入椭圆方程，消去y 可得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m 2﹣2=0， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，△=16k 2m 2﹣4×（2k 2+1）（2m 2﹣2）=16k 2﹣8m 2+8＞0（*） ∵•＜0，∴x 1x 2+y 1y 2＜0，∵y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=，∴+＜0，∴m 2＜，∴m 2＜且满足（*） 故实数m 的取值范围是（﹣，）．21．（12分）已知函数2ln f x x a x x =+（）（）﹣﹣在0x =处取得极值． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程52f x x b =+（）﹣在区间[]02，上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）证明：对任意的正整数n ，不等式23412ln(1)49n n n++++⋯++＞都成立． 解析 （Ⅰ）函数f （x ）=ln （x+a ）﹣x 2﹣x f ′（x ）=﹣2x ﹣1当x=0时，f （x ）取得极值，∴f ′（0）=0 故，解得a=1，经检验a=1符合题意， 则实数a 的值为1；（Ⅱ）由a=1知f （x ）=ln （x+1）﹣x 2﹣x 由f （x ）=﹣x+b ，得ln （x+1）﹣x 2+x ﹣b=0 令φ（x ）=ln （x+1）﹣x 2+x ﹣b ，则f （x ）=﹣x+b 在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ（x ）=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根． φ′（x ）=﹣2x+=，当x ∈[0，1]时，φ′（x ）＞0，于是φ（x ）在[0，1）上单调递增；当x∈（1，2]时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上单调递减，依题意有φ（0）=﹣b≤0，φ（1）=ln（1+1）﹣1+﹣b＞0，φ（2）=ln（1+2）﹣4+3﹣b≤0解得，ln3﹣1≤b＜ln2+，故实数b的取值范围为：[ln3﹣1，ln2+）；（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x的定义域为{x|x＞﹣1}，由（1）知f（x）=，令f′（x）=0得，x=0或x=﹣（舍去），∴当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴f（0）为f（x）在（﹣1，+∞）上的最大值．∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）﹣x2﹣x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）对任意正整数n，取x=＞0得，ln（+1）＜+∴ln（）＜，故2+++…+＞ln2+ln+ln+…+ln=ln（n+1）．四、请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．（选修4-1：几何证明选讲）22．（10分）如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：2•=；PM PA PC（Ⅱ）若O的半径为OA=，求MN的长．解析 （Ⅰ）证明：连接ON ，因为PN 切⊙O 于N ， ∴∠ONP=90°， ∴∠ONB+∠BNP=90° ∵OB=ON ， ∴∠OBN=∠ONB 因为OB ⊥AC 于O ， ∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN ，PM=PN ∴PM 2=PN 2=PA •PC （Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4 ∵BM •MN=CM •MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，∴MN=2选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极值为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：x m ty t=+⎧⎨=⎩，（t 是参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且|||AB ，试求实数m 的值． 解析 （Ⅰ）∵ρ=4cos θ，∴ρ2=4ρcos θ，化为直角坐标方程x 2+y 2=4x ． 由直线l 的参数方程：，（t 是参数），消去t 可得x ﹣y ﹣m=0．（Ⅱ）由圆C 的方程（x ﹣2）2+y 2=4可得圆心C （2，0），半径r=2． ∴圆心C 到直线l 的距离d==．∵，|AB|=∴，化为|m ﹣2|=1，解得m=1或3．选修4-5：不等式选讲24．已知函数()lg(12)f x x x a =+++﹣．（Ⅰ）当5a =﹣时，求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解析 （Ⅰ）当a=﹣5时，要使函数有意义，则|x+1|+|x ﹣2|﹣5＞0，即|x+1|+|x ﹣2|＞5， 在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x ﹣2|与y=5的图象如图：则由图象可知不等式的解为x ＜﹣2或x ＞3，即函数f（x）的定义域为{x|x＜﹣2或x＞3}．（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，|x+1|+|x﹣2|+a＞0恒成立，即|x+1|+|x﹣2|＞﹣a恒成立，由图象可知|x+1|+|x﹣2|≥3，即﹣a＜3，解得a＞﹣3．。

兰州一中高三年级诊断考试试卷高三数学注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{2,4}U C M =，则（ ）A ．1M⊆B ．4M⊆C ．5M∈D ．3M∉2．“22(1)4x y -+…”是“221x y +…”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知向量(1,2),(2,2),(1,)a b c λ==-= ，若(2)c a b ⊥+，则实数λ=（ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2-4．若复数z 满足20242025(23i)i 8i z +=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知函数()y f x =的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（）图1图2A ．2()x f x B ．2()f x x C ．()xf x D ．2()xf x 6．若0.320.70.7,log ,log 0.3a b a c ===，则（ ）A ．c a b>>B ．b c a>>C ．a b c>>D ．a c b>>7．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，且数列{}n a 为递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(,3)-∞-B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．(3,)-+∞8．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的右焦点为F ，过点F 作直线l 与渐近线0bx ay -=垂直，垂足为点P ，延长PF 交E 于点Q ．若3FQ PF =，则E 的离心率为（ ）A ．65B ．54C ．43D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9．在下列函数中，最小值是2的是（ ）A ．246y x x =-+B ．y =C ．15,2,22y x x ⎛⎤=∈ ⎥-⎝⎦D ．1y x x=+10．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若,m m n α⊥⊥，则n α∥B ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥C ．若,,m n αβαβ∥∥∥，则m n∥D ．若,,m n αβαβ⊥⊥∥，则m n∥11．台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD ，其中35AD AB =，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为（）A ．95B ．15C ．16D ．32第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．若命题“()22,1(1)10x a x a x ∃∈-+--R …”为假命题，则a 的取值范围为．13．若圆221:430C x y x +-+=与圆222:(2)(3)C x y m +++=有且仅有一条公切线，则m =．14．一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22224,12ABC b c a S +-== ．（1）求tan A ；（2）若D 在边BC 上且2,BD DC AC ==AD 的长．16．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =-+．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()g x f x m =+在R 上有三个零点，求m 的取值范围．17．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，,AD BC AD DC ⊥∥，若2,PA AD DC ===，点M 为PD 的中点，点N 为PC 的四等分点（靠近点P ）．（1）求证：平面AMN ⊥平面PCD ；（2）求点P 到平面AMN 的距离．18．甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“胜者i ”，负者称为“负者i ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为34，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；（2）求甲获得冠军的概率．19．已知抛物线2:E y x =，过点(1,2)T 的直线与E 交于,A B 两点，设E 在点,A B 处的切线分别为1l 和21,l l 与2l 的交点为P ．（1）若点A 的坐标为(1,1) ，求OAB 的面积（O 为坐标原点）；（2）证明：点P 在定直线上．兰州一中高三年级诊断考试试卷高三数学答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号12345678答案CBDDCADB二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABCBDAB三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦13．3614．13四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．解析：（1）因为22224,12ABC b c a S +-== ，所以2222sin ABC b c a S bc A +-== ．所以2221sin 22b c a A bc +-=，得2cos sin A A =即tan2A =．（2）因为tan 2A =，所以22sin 2cos sin cos 1AA A A⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin A =，因为tan 20A =>，且A 为三角形的内角，所以sin A A ==又因为11sin 1222ABC S bc A ==⨯= ，所以6c =．因为122,33BD DC AD AB AC ∴=+=．所以22221212122||||cos 333333AD AB AC AB AC AB AC A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以280161644939AD =++= ，所以AD =16．解析：（1）令0x <，则0x ->，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以可得22()()()2()2f x f x x x x x ⎡⎤=--=---+-=+⎣⎦，又(0)0f =，故函数()f x 的解析式为222,0,()2,0.x x x f x x x x ⎧-+=⎨+<⎩…（2）根据题意作出()f x 的图象如下图所示：(1)1(1)1f f -=-=，，若函数()()g x f x m =+在R 上有三个零点，即方程()0f x m +=有三个不等的实数根，所以函数()f x 与y m =-有三个不同的交点由图可知当11m -<-<，即11m -<<时，函数()f x 与y m =-有三个不同的交点，即函数()g x 有三个零点．故m 的取值范围是(1,1)-．17．解析：（1）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD CD ⊂平面ABCD ，则PA CD ⊥，又AD CD ⊥，因为,,PA AD A PA AD =⊂ 平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为AM ⊂平面PAD ，所以AM CD ⊥，因为AP AD =，点M 为PD 中点，所以AM PD ⊥，因为,,CD PD D CD PD =⊂ 平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD ，因为AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PCD（2）由（1）知CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，则CD PD ⊥，因为,2,PA AD PA AD DC ⊥===，点M 为PD 的中点，所以,,4PD PM PC =====，因为点N 为PC 的四等分点（靠近点P ）．所以1PN =，因为,PD CD CD PD =⊥，所以45CPM ∠=︒所以由余弦定理得MN ==1=，所以222PN MN PM +=，所以PN MN ⊥，因为AM ⊥平面PCD ，所以AM MN ⊥设点P 到平面AMN 的距离为h ，所以三棱锥P AMN -的体积11111113232P AMN A V V PMN -=-⇒⨯⨯⨯=⨯⨯．所以1h =．18．解析：（1）乙连负两场，即乙在第1场、第4场均负，∴乙连负两场的概率为1313428P =⨯=；（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，∴甲获得冠军的概率为：332331812444128P ⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．19．解析：（1）直线AB 的斜率12111(1)2k -==--．直线AB 的方程为11(1)2y x -=+，即230x y -+=．联立方程2230x y y x-+=⎧⎨=⎩，整理得：2230x x --=．设()()221122,,,A x x B x x ，则121213,22x x x x +==-．设直线AB 与y 轴的交点为D ，则30,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭．12211313322224OAB OAD OBD S S S x x x x =+=⨯⨯+⨯⨯=-158==．（2）由2y x =，得2y x '=．1l 的方程为：()21112y x x x x =-+，整理得2112y x x x =-．同理可得2l 的方程为2222y x x x =-．设(),P P P x y ，联立方程21122222y x x x y x x x ⎧=-⎨=-⎩，解得12122P P x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩．因为点(1,2)T 在抛物线内部，可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)2y k x =-+，与抛物线方程联立得：220x kx k -+-=，故12x x k +=，122x x k =-．所以,22P P k x y k ==-，可得22P P y x =-，所以点P 在定直线22y x =-上．。

2024年兰州市高三诊断考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．D2．A 3．C4．A 5．B6．C7．B8．D8．【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数(0)0f ∴=且图象关于原点对称(1)(1)0f x f x ++-= (1)(1)(1)f x f x f x ∴+=--=-(4)[1(3)](2)(1(1)]()()f x f x f x f x f x f x ∴+=-+=-+=--+=--=(1)(3)[1(2)](1)f x f x f x f x ∴-+=+=-+=--(2)(2)(2)f x f x f x +=-+=--因此函数的周期为4，且函数图象关于12()x k k =+∈Z 和(2,0)()k k ∈Z 对称可画出函数在区间[2,2]-内的简图则图可知，在[2,2]-内要满足[ln(e )](1ln )(ln )f a f a f a =+>，只需31ln 22a -<<，即3122e e a -<<再根据函数的周期性可知314422e e ()k k a k -+<<∈Z ，故选D ．二､多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分)9．BCD10．AC11．BD11．【解析】若记车轮运动时着地点为P ，则t 秒时π2t AOP ∠=，因此，π()1cos 2th f t ==-(0t ≥)，并满足(4)()f t f t +=对于任意0t ≥成立，在区间[]4,42()k k k +∈N 上为增函数，在区间[2,4]内图象关于点(3,1)对称，15π22(7.5)1cos42f =-=，故选B ，D ．三､填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12．1ey =13．2114-14．第一空：分别取棱''C D 及'CC 的中点M 、N ，取线段MN 上任意一点P均可(2分)，第二空：3,5⎡⎤⎣⎦(3分)14．【解析】第一空：因为点P 在侧面''CDD C 内（包括边界）且三棱锥P BEF -的体积与三棱锥'B BEF -的体积相等，即在侧面''CDD C 内确定一点P ，使'B P P 平面BEF ．又因为E 、F 分别为棱'DD 及CD 的中点，故分别取棱''C D 及'CC 的中点M 、N ，易知'B M BF P ，M N EF P ，且'B M 交MN 于点M ，BF 交EF 于点F ，所以平面'B M N P 平面BEF ，故当点P 在线段MN 上时，点P 到平面BEF 的距离与点'B 到平面BEF 的距离相等，所以三棱锥P BEF -的体积与三棱锥'B BEF -的体积相等．第二空：因为二面角'A AB C --的大小为θ，所以过C 作CH AB ⊥于H ，过H 作'KH BB P ，则KHC ∠为二面角'A AB C --的平面角θ，易知'3B BC πθ≤∠=．当θ取最大值时，即=3πθ时，此时CB AB ⊥即底面ABCD 为正方形，在''B C N ∆中'22B C CN ==，'3B CN π∠=，所以'3B N =，在''BC M ∆中'22B C CM ==，'2B CM π∠=，'5B M =，又因为2MN EF ==，所以'B NM ∆中，'3B N =，2MN =，'5B M =，所以'B NM∆为直角三角形，当点P 在线段MN 上运动时，线段'B P 长度的取值范围是3,5⎡⎤⎣⎦．四､解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤)15．【解析】(1)()22*333()2n n n na Cn n ++=-+=∈N ………………5分(2)因为数列{}n b 满足：1112n n n a n b a a n -=⎧=⎨-≥⎩，，即2112n n b n n =⎧=⎨+≥⎩，，又因为12=1+1b =符合1n +当1n =时的值，所以数列{}n b 的通项公式为1n b n n *=+∈N （）．因为112()2nb n -+=，所以11(1)1142=(1)12212n n n S -=--，121=02n n S --<．………………13分16．【解析】(1)如图所示：以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD所在直线为y 轴，以AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．则(003)P ，，，(400)B ，，，(450)C ，，HKxzy设()E x y z ，，，由BE BP =λ，可得()()4403x y z -=-，，，，λ，则(4403)E -，，λλ，PB ⊥底面AEFD 可得PB ⊥AE ，(403)PB =- ，，，(4403)AE -=，，λλ，0PB AE ⋅= 解得1625=λ………………6分(1)设平面EAD 的法向量为n ，(4403)AE -=，，λλ，(030)AD = ，，由AE ⊥uuu r n ，AD ⊥uuu r n ，得(44)30,30,x z y -+=⎧⎨=⎩λλ令3x =λ得()=3044-，，λλn ，平面ABD 的法向量为m ，则(001)，，m =，二面角E AD B --的余弦值为45则4cos 5=，m n 解得12=λ………………11分(453)PC =，，-，()=30,4-，n 若直线PC 与平面AEFD 所成角为θ，则122sin 25PC PC⋅==⋅θuuu ruuu r n n 所以直线PC 与平面AEFD所成角的正弦值25………………15分17．【解析】(1)(i)因为1~44X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以334133(3)((4464P X C ===…………3分(ii)因为4413()()(0....444k k k P X k C k -===，．4115444113441313((()(),44441313((()(),4444k k k k k k k k k k k k C C C C -----++-⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得1544k ≤≤所以k =1时，()P X k =最大…………7分(2)由题知，BD 选项不能同时选择，该同学可以选择单选、双选和三选．正确答案是两选项的可能情况为AB ，AC ，AD ，BC ，CD ，每种情况出现的概率均1112510⨯=；正确答案是三选项的可能情况为ABC ，ACD ，每种情况出现的概率为111224⨯=；若该同学做出的决策是单选，则得分的期望如下：1112()33231045E A =⨯⨯+⨯⨯=分，1127()231310420E B =⨯⨯+⨯⨯=分，1112()33231045E C =⨯⨯+⨯⨯=分，1127()231310420E D =⨯⨯+⨯⨯=分．若该同学做出的决策是双选，则得分的期望如下：1127()6310420E AB =⨯+⨯=分，1121()62310410E AC =⨯+⨯⨯=分，1127()6310420E AD =⨯+⨯=分，1127()6310420E BC =⨯+⨯=分，1127()6310420E CD =⨯+⨯=分．若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下：13()642E ABC =⨯=分，13()642E ACD =⨯=分．经比较，该同学选择单选A 或单选C 的得分期望最大，最大值为125分…………15分18．【解析】(1)圆C 过点()41P ，，(2,3)M 和(2,1)N -，因此可以知道圆心在直线1y =上，故可设圆心(,1)C a ，又由于圆C 过点(4,1)P ，所以2a =，2r =，故圆的方程为22(2)(1)4x y -+-=，可得点(0,1)F ，因此，抛物线E 的方程为24x y =．…………7分(2)由条件可知，直线AB 的斜率必存在，不妨设为k ，则直线AB 的方程为：1(4)y k x -=-即41y kx k =-+，由2441x yy kx k ⎧=⎨=-+⎩得241640x kx k -+-=，其中22Δ16641616(41)0k k k k =-+=-+>，即2k <或2k >，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，过A ，B 点的抛物线的切线的斜率分别为1k ，2k ，则124x x k +=，12164x x k =-，112x k =，222x k =，过A 点的抛物线的切线方程为2111()42x x y x x -=-，即21124x x y x =-，同理，过B 点的抛物线的切线方程为22224x x y x =-由2112222424x x y x x xy x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得121222414x x x k x x y k +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即(2,41)Q k k -，所以点Q 在直线21y x =-上，而点M 也在直线21y x =-上，故直线QM 与圆C 的另一个交点就是直线21y x =-与圆C 的交点，由22(2)(1)421x y y x ⎧-+-=⎨=-⎩得2515xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或23x y =⎧⎨=⎩，故直线QM 与圆C 的另一个交点为定点2155-（…………17分19．【解析】(1)法一：132,0,211(,)|||2||||2|2,04,2232,4,2x x d M N x y x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=+-=+-=+≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩则1(,)2d M N ≥，即1(,)d M N 的最小值是2223,0,(,)|||2||||22|2,01,32,1,x x d M N x y x x x x x x -<⎧⎪=+-=+-=-≤<⎨⎪-≥⎩则2(,)1d M N ≥，即2(,)d M N 的最小值为1…………5分法二：1N 在直线20x y -=上，如图所示1()d M N ，的最小值即为1MN ，此时1(02)(00)M N ，，，，12MN =，即1(,)d M N 的最小值是22N 在直线20x y -=上，如图所示2()d M N ，的最小值即为2MN ，此时2(02)(12)M N ，，，，21MN =，即2(,)d M N 的最小值为1(2)解析：法一：当21k ≥时：(,)=2d M N x y +-，点,)x y （为直线2210x k y k +++=(0)k >上一动点，则当21k ≥时222222212121(,)=222x x x d M N x k k k k k k k k k ++++≥++++≥++，即221()=2f k k k ++当21k <时，222221(,)=2212221x d M N x x x k k k k k k k ++++≥++++≥++，2()=221f k k k ++N 2Ｍ.yOxN 1xＭ.Oy所以221221,()=221,01,k k k f k k k k ⎧++≥⎪⎨⎪++<<⎩,又因为当1k ≥时21225k k ++≤，当01k <<时22215k k ++<，所以()f k 的最大值为5.…………9分法二：根据(1)直线2210x k y k +++=(0)k >的斜率是21k-，当211k -<-，即01k <<时，如图所示()d M N ，的最小值即为MN ，此时2(02)(2212)M N k k ---，，，，220(221)221(01)MN k k k k k =----=++<<当211k-≥-，即1k ≥时，如图所示()d M N ，的最小值即为MN ，此时212(02)(0)M N k k --，，，，2212122()2(1)MN k k k k k =---=++≥所以22221,01,()=122,1,k k k f k k kk ⎧++<<⎪⎨++≥⎪⎩所以()f k 的最大值为5(3)法一：令e k x =，则e ln k k x x =，0ex <≤()|e ||e |max{|ln |,|ln |}k k d M N m k n x x x m n x x x m n =-+-=+----+，(max{,}a b 表示a 、b 中的较大者)令()ln (0e)g x x x x x =+<≤，则()2ln 0g x x '=+>在区间2(e ,e]-内成立，()g x 在区间2(e ,e]-内为增函数，因此221(e )()(e)2e eg g x g --=≤≤=，令()ln (0e)h x x x x x =-<≤，则()ln 0h x x '=-<在区间(1,e]内成立，()h x 在区间(1,e]内为减函数，因此0(e)()(1)1h h x g =≤≤=，所以21()max{||,|2e |,||,|1|}ef m n m n m n m n m n =------+-+，所以221|2e ()||10|1e (,)max{}e 222e f m n ---≥=+，当21+=e 2e m n -且211e 2e 2n -<<-时，取最小值．…………17分yOxN Ｍ.Ｍ.xyO N法二：令e k x =，则e ln k k x x =，0ex <≤(,)d M N 可视为点(,ln )P x x x 到点(,)N m n 的曼哈顿距离，其中点P 在曲线段ln (0e)y x x x =<≤上作曲线两条斜率为1±的切线，再作过点(e e)D ,且斜率为1±的直线，这四条直线恰好形成把曲线段包围住的矩形ABCD ，再分别以边长较长的边AD ，BC 为边，作曼哈顿正方形ADFE ，BCHG 计算可得曼哈顿正方形半径为21e +2e ，即(,)f m n 的最小值是21e +2e，此时两正方形的中心分别为21(e 2e -,，2111(,e )22e 2--.当21=e 2e m+n -且211e 2e 2n -<<-时，取最小值…………17分。

2014年兰州市九年级诊断考试数学一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题意的.1.下图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（）2.下列叙述正确的是（）A.某种彩票的中奖概率为1100，是指买100张彩票一定有一张中奖B.有两边及一角对应相等的两个三角形全等是必然事件C.为了解一批节能灯的使用寿命，采用普查的调查方式比较合适D.“某班45位同学中恰有2位同学的生日是同一天”是随机事件3.半径分别为5cm和8cm的两圆相交，则它们的圆心距可能是（）A.1㎝B.3㎝C.8㎝D.13㎝4.抛物线y=(x-4)(x+2)的对称轴方程为（）A.直线x=-2B.直线x=1C.直线x=-4D.直线x=45.若函数y = m+1x的图象分别位于第二、四象限，则m的取值范围是（）A.m＞0B.m＜0C.m＞-1D.m＜-16.下列命题中真命题的是（）A.一组对边平行的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的平行四边形是矩形C.有一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形7.方程x2-2=0的根是（）A. x=2B. x1=2，x2=-2C. x= 2D. x1= 2，x2= 28.2014年春节期间兰州市持续好天气，监测数据显示，1月30日至2月6日期间，兰州市空气质A.80,76B.81,76C.80,78D.81,789.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知点A（3,3）和点B（7,0），则tan∠ABO的值等于（）A.34 B.35C.43D.5410.据兰州市旅游局最新统计，2014年春节黄金周期间，兰州市旅游收入约为11.3亿元，而2012年春节黄金周期间，兰州市旅游收入约为8.2亿元，假设这两年兰州市旅游收入的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（）A.11.3（1-x﹪）2 =8.2B.11.3（1-x）2 =8.2C.8.2（1+x﹪）2 =11.3D.8.2（1+x）2 =11.311.如图，菱形OABC中，∠AOC=60°，双曲线y = kx经过B点，则k的值为（）A. 52B.3 3 错误！未定义书签。

2014年高三双基考试数学答案解析注意事项：本试卷满分150分，考试用时120分。

答题全部在“答题纸”上完成，试卷上答题无效。

试题前标有（理）的试题理科考生作答，标注有（文）的试题文科作答，没有标注的试题文理科考生、均作答。

第I 卷 (选择题，共60分)选择题（本大题共12小题.每小题5分，共60分.每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（文）设集合 {2}M x x =>- ，{41}N x x =-≤≤，则M N =∩ （ D ）.[4,)A -+∞ .(2,)B -+∞ .[4,1]C - .(2,1]D - （理）已知全集{1,2,3,4}U = ，集合{1,2},{2,3},M N ==则U ()M N =∪饀 （ D ） {}.1,3,4A {}.3,4B {}.3C {}.4D 2.（文）复数11z i =- 的模为 （ B ） 1.2A 2.2B .2C .2D解析：11121122z i i ====-- （理）若复数z 满足(34)43i z i +=+，则z 的虚部为 （ D ） .4A - 4.5B - .4C 4.5D 解析：435(34)34342555i i z i i ++===+- ，所以虚部为453.（文）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行诘查，其中从丙车间的产品中国取了3件，则n= （ D ）. 9A . 10B . 12C . 13D 解析： 6031208060n ⨯=++∵， 13n =∴ （理）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ C ）33. 3A A 333. 3(A )B 343. (A )C 99. A D 解析：每家人看成一个整体的全排列共有33A 种，每家的三人的不同排法分别有33A ，所以共有343(A )种不同排法.否是开始 输入f 0(x)i=0 i=i+1 1()()i i f x f x -'= i=2013 ()i f x 输出结束4.已双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b +=>> 的离心率为 52，则C 的渐近线方程为（ C ）1. 4A y =x ± 1. 3B y =x ± 1. 2C y =x ± .D y =x ± 解析：22225511, , , 2442c c b y x a a a ====±∵∴∴∴渐近线为 5.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为 1V ，直径为4的球的体积为2V ，则 12:V V = 有 （ B ） A ．1：4 B. 1：2C ．1：1 D. 2：1解析： 1216833V ππ=⨯= ，2432833V ππ=⨯=所以12:1:2V V =6.（文）已知点 (,)P x y 满足1x y +≤ ，则2z x y =-+ 的取值范围是： （ D ）.[1,1]A - .[1.2]B - .[2,1]C - .[2,2]D - 解析：如图当直线2z x y =-+过（-1，0）时值最大，过（1，0）时值最小，所以 22z -≤≤ 故选D.（理）在如右程序框图中，若0()x f x xe = ，则输出的是（ C ） A ．2014x x e xe + B ．2012x x e xe + C ．2013x x e xe + D ．2013x e x + 解析：进入循环体后1i = 时，10()()x x f x f x e xe '==+2i =时，21()()2xxf x f x e xe '==+ 3i =时，31()()3x x f x f x e xe '==+…………………………………….当2013i =时，20132012()()2013x x f x f x e xe '==+ 此时输出20132012()()2013x x f x f x e xe '==+,故选C 7.（文）在如右程序框图中，若0()x f x xe = ，则输出的是（ C ）42侧视图主视图俯视图否是开始 输入f 0(x)i=0 i=i+1 1()()i i f x f x -'= i=2013 ()i f x 输出结束A ．2014x x e xe +B ．2012x x e xe +C ．2013x x e xe +D ．2013x e x + 解析：进入循环体后1i = 时，10()()x x f x f x e xe '==+2i =时，21()()2xxf x f x e xe '==+ 3i =时，31()()3x x f x f x e xe '==+…………………………………….当2013i =时，20132012()()2013x x f x f x e xe '==+ 此时输出20132012()()2013x x f x f x e xe '==+,故选C （理）已知 0,,a x y <，满足约束条件0(3)3x y a x x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≤≤ ,若 2z y x =-的最大值为3，则a=（A ）.1A - .2B - .3C - .4D - 解析：如图，当直线2z y x =-经过 (0,3)a - 点时， z 取最大值，所以33a -= ，所以 1a =-8.（文）设m 、n 表示不同直线，α、β 表示不同平面，则下列结论中正确的是 （ B ） A ．若αβ⊥ ，m α⊥，n β∥，则m n ⊥ B ．若αβ⊥ ，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥ C ．若m α∥ ，m n ∥，，则n α∥ D ．若m α⊂ ，n β⊂，m β∥n α∥，则αβ∥ （理）设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{}(2)0x f x ->=（ B ） A. {}24x x x <->或 B. {}04x x x <>或 C. {}06x x x <>或 D. {}22x x x <->或 解析：因为函数是偶函数，所以函数的零点为了-2和2，所以(2)0f x ->时，2222x x ->-<-或, 故40xx ><或，故选B9.（文）已知命题：1p ：函数 1()(1)1f x x x x =+>- 的最小值是3; {}21:1 1p x x x><不等式的解集是3:,,sin()sin sin p αβαβαβ∃+=+使得成立4t a n t a n:,,t a n ()1t a n t a np αβαβαβαβ+∀+=-使得成立其中的真命题是：（ A ）13:,A p p 14:,B p p 24:,C p p 23:,D p p 解析：1111,(1)13,11x x x p x x >+=-++--因为所以≥为真 {}221: 1 01,p x x p x><<不等式的解集是为假 因为3:0,0,sin(00)sin0sin0p αβ∃==+=+使得成立，所以3p 真4tan tan :,tan()41tan tan p παβαβαβαβ+∃==+=-因为时不成立，所以4p 假(理)已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>> 的离心率为32.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为：（ B ）22.1126x y A += 22.1205x y B += 22.1164x y C += 22.182x y D += 解析：设第一象限的交点为(,),0m m m >，则2416,2m m ==∴,2231, , 2,5,2022c b e a b b a a a ======∵∴∴∴，所以椭圆方程为：221205x y += 10.（文）在区间[3,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足x m ≤的概率为57，则m =（ C ）5.4A 5.6B 5.2C .5D解析：2()7m p x m =∵≤，57p =又∵，2577m =∴，52m =∴ （文）在区间[4,4]-上随机取一个数x ，使得121x x +--≥成立的概率为 （ D ）1.2A2.3B3.4C 3.8D解析：解不等式121x x +--≥得1x ≥，413(121)88p x x -+-==∴-≥11.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，底面是边长为3的正三角形，六个顶点均在体积为776π的球面上．若P 为底面111A B C 所在平面截该球所得圆的圆的心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ A ）.3A π .4B π .6C π.12D π解析：如图233132AQ =⨯⨯=，347736R ππ=∵ 362377, 44R ==∴R ∴，又2221PQ OQ R ==-2tan 213PQPAQ R AQ∠==-=∴，3PAQ π∠=∴12.若函数()3sin2cos2f x x x m =+-在[0,]2π上有两个零点12,x x ，则12tan 2x x +的值为（ A ）3.3A 2.2B .1C .3D 解析：因为()3sin 2cos22sin(2)6f x x x m x m π=+-=+-，又因为在[0,]2π上有两个零点12,x x所以12()2x x f x +在取最大什值，所以1226x x x π+==，所以123tan tan 263x x π+== 第II 卷 (选择题，共90分)二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）13.已知a 与b 的夹角为23π，且2a =，5b =，则(2)_____________a b a -⋅=解析：22(2)2810cos 133a b a a a b π-⋅=-=-= 14（文）O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C 上一点，若42PF =，则点P 的横坐标为______________.解析：设(,)P m n ，则242m +=，所以32m =，故P 点的横坐标为32 （理）在ABC △中，4ABC π∠=，2AB =，BC =3，则___________BAC ∠=sin解析：因为在ABC △中，4ABC π∠=，2AB =，BC =3，所以QPOC 1B 1A 1CB A222cos 5AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠==, s i n s i nB CA CA B =∵ 3310sin 1010BAC ∠== ∴ 15.（文）在锐角ABC △中，角,A B 所对的边长分别为a ，b ，.若2sin 3a B b =,则____A ∠= 解析：因为2sin 3a B b =，所以2sin sin 3sin A B B =，因为sin 0B ≠，所以3sin 2A = 又因为三角形为锐角三角形，所以3A π=（理）4cos50tan40____________-=4s i n 40c o s 40s i n 402s i n 80s i n 404c o s 50t a n 40c o s 40c o s 4033cos10sin102cos10sin(1030)22cos40cos40313(cos10sin10)3cos40223cos40cos40---==--+==-===解析： 16.已知函数()log (01)a f x x x b a a =+->≠且,且234a b <<<<.若函数()f x 的零点0(,1)x n n ∈+，*n N ∈，则______________n =解析：因为(1)10f b =-<，(2)log 22a f b =+-，又因234a b <<<<，所以0log 21a << 所以(2)log 220a f b =+-<，又log 31a >，所以(3)log 330a f b =+->，又因为()f x 是增函数，所以零点0(2,3)x ∈，故2n =三、解答题（本大题共6小题，计70分.）17.(本小题满分12分)（文）等差数{}n a 中，74a =，1992a a =. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S 解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,则1(1)n a a n d =+-因为719942a a a =⎧⎨=⎩,所以11164182(8)a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩. 解得,111,2a d ==.所以{}n a 的通项公式为12n n a +=. ……………6分 (Ⅱ)1222(1)1n n b na n n n n ===-++, 所以2222222()()()122311n n S n n n =-+-++-=++ ……………12分 （理）等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =. (Ⅰ) 求{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 若32log (1)nn a b n n =-+，求数列{}n b 的前n 项和n S 解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公比为q ，依题意可得∴ 11223423=19a a q a a +⎧⎨=⎩ 219q = ∵数列{}n a 的各项均为正数 ∴13q = 113a = ∴111111()333n n n n a a q --==⨯= (6)分(Ⅱ) ∵3322log 11111log (1)(1)3(1)1n n n a b n n n n n n n n =-=-⨯==-++++ ∴11111112231n S n n =-+-++-+ 1111nn n =-=++ ……………12分18.（本小题满分12分）（文）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]得到如图的频率分布直方图. (Ⅰ)求图实数a 的值；(Ⅱ)若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高年级在这次考试中成绩不低于 60分的人数； (III)若从样本中数学在绩在[40,50)与[90,100] 两个分数段内的不生中随机选取两名学生， 试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的 绝对值不大于10的频率.解: （Ⅰ）由(0.0050.010.020.0250.01)10101a ++++⨯+=，可得 ……………2分003.a =0.0050.010 0.0200.025 a O40 50 60 70 80 90 100分数频率/组距（Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为:0.20.250.30.10.85+++=数学成绩不低于60分的人数为5000.85425⨯=人 ……………6分 （Ⅲ）数学成绩在[40,50)的学生人数:400.052⨯=人数学成绩在[90,100]的学生人数: 400.14⨯=人设数学成绩在[40,50)的学生为1A ，, 数学成绩在[90,100]的学生为3A ，4A ，5A ，6A 选取的两名学生的结果为：1213141516{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ,23242526343536454656{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 共15种.其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有：12343536454656{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A 共7种,因此,抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为715.……………12分 （理）某电视台为了烘托2014元旦联欢晚会气氛，决定举行抽奖活动.该电视台设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品. （Ⅰ）若嘉宾M 选择方案甲抽奖，嘉宾N 选择方案乙抽奖，记她们累计得分为X ，求3X ≤的概率；（Ⅱ）若嘉宾M 和嘉宾N 两人都选择同一方案抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解： (Ⅰ)由已知得: 嘉宾M 中奖的概率为23,嘉宾N 中奖的概率为25,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分3X ≤”的事件为A解法一：则A 事件的对立事件为“5X =” ∵224(5)3515P X ==⨯=∴11()1(5)15P A P X =-== ∴这两人的累计得分3X ≤的概率为1115.………6分解法二：则事件A 包括：嘉宾M 中奖而嘉宾N 不中奖、嘉宾M 不中奖而嘉宾N 中奖、两人都不中奖三种情况∴22222211()(1)(1)(1)(1)35353515P A =⨯-+-⨯+-⨯-=(Ⅱ)设嘉宾M 和嘉宾N 两人都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X ，由已知:12(2,)3X B ，22(2,)5X B∴124()233E X =⨯=，224()255E X =⨯= ∴118(2)2()3E X E X ==，2212(3)3()5E X E X ==∴ 12(2)(3)E X E X >所以他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大. ……………12分19.（本小题12分）（文）在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，1AD A BC ⊥平面，其垂足D 在1A B 上. （Ⅰ）求证：1BC A B ⊥(Ⅱ) 若3AD =，2AB BC ==，P 为AC 的中点，求三棱锥1P A BC -的体积. 解:（Ｉ）证明：三棱柱111ABC A B C -中侧棱与地面垂直∴平面， 又平面，∴平面，且平面，∴又 平面,平面,， ∴平面， 又平面，∴ ……………6分 （Ⅱ）在中，，2AB =, ∴ ∴ 在中，由（Ｉ）知平面，平面，从而， ∴1122222ABC S AB BC ∆=⋅=⨯⨯= ∴为的中点，112BCP ABC S S ∆∆== ∴1111123123333P A BC A BCP BCP V V S A A --∆==⋅=⨯⨯= ……………12分（理）在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，1AD A BC ⊥平面，其垂足D 在1A B 上.（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥(Ⅱ) 若3AD =，2AB BC ==，P 为AC 的中点，求二面角1A PB A --的正切值.⊥A A 1ABC ⊂BC ABC BC A A ⊥1AD ⊥1A BC ⊂BC 1A BC BC AD ⊥⊂1AA AB A 1⊂AD AB A 1A AD A A =⋂1BC ⊥1A AB ⊂B A 1BC A 1B A BC 1⊥Rt ABD ∠∆3AD =3sin 2AD ABD AB ∠==060ABD ∠=1Rt ABA ∠∆tan AA AB =⋅=016023BC ⊥1A AB ⊂AB AB A 1AB BC ⊥P AC A 1B 1C 1ABCDPA 1B 1C 1AB CD P解:（Ｉ）证明：∵三棱柱111ABC A B C -中侧棱与地面垂直∴平面， 又平面，∴ ∵平面，且平面，∴ 又 平面,平面，， ∴平面， 又平面，∴ ……………6分（Ⅱ）在中，，2AB =∴ ∴ 在中，∵ 2AB BC ==，P 为AC 的中点 ∴ BP AC ⊥ 由（Ｉ）知，平面 ∴1AA BP ⊥ 而1A A AC A =∴BP ⊥平面1A AC ∴1BP A P ⊥，BP AP ⊥∴1A PA ∠是二面角1A PB A --的平面角，又平面1A AB ，2AB BC ==∴2AP = ∴1123tan 62AA A PA AP ∠=== ……………12分 20.（本小题12分）已知动点(,)M x y 到直线:8l x =-的距离是它到点(2,0)N -的距离的2倍. （Ｉ）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程;（Ⅱ）是否存在直线m 过点(0,6)P -与动点M 的轨迹交于A 、B 两点,且A 是PB 的中点?若不存在,请说明理由;若存在求出直线的斜率. 解: (Ⅰ)依题意有22|8|2(2)x x y +=++ 化简得：2211612x y +=∴动点M 的轨迹C 的方程2211612x y += ……………5分 ⊥A A 1ABC ⊂BC ABC BC A A ⊥1AD ⊥1A BC ⊂BC 1A BC BC AD ⊥⊂1AA AB A 1⊂AD AB A 1A AD A A =⋂1BC ⊥1A AB ⊂B A 1BC A 1B A BC 1⊥Rt ABD ∠∆3AD =3sin 2AD ABD AB ∠==060ABD ∠=1Rt ABA ∠∆tan AA AB =⋅=016023⊥A A 1ABC BC ⊥(Ⅱ)∵C 上下顶点坐标分别为(0,23)和(0,23)-且有236232-≠- ∴直线m 不经过C 的上、下顶点，即不与x 轴垂直 ……………6分假设存在斜率为k 的直线m 满足条件，其方程为6y kx =-，设11(,)A x y 、22(,)B x y ， 则： 2102x x +=，2162y y -= 由22116126x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：22(34)48960k x kx +-+= ……………8分 ∴1224834k x x k +=+，1229634x x k ⋅=+ ∴1248334k x k =+，21296234x k =+ ∴2221648()3434k k k =++ 解得：32k =± 由于222(48)496(34)230k k k ∆=--⨯+=->时，有62k <-或62k > ∴存在直线m 满足条件，其斜率为32± ……………12分 21. （本小题12分）已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+.(Ⅰ)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处有切线,求,a b 的值. (Ⅱ)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-的最大值 解: (Ⅰ) ∵曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线∴2311a b a c b c =+⎧⎪+=⎨⎪+=⎩∴3a b == ……………6分(Ⅱ)设()()()h x f x g x =+24a b = ∴3221()14h x x ax a x =+++ ∴221()324h x x ax a '=++ 令()0h x '=解得：12a x =-，26a x =-0a > ∴26a a -<- ∴ 函数()h x 在(,)2a -∞-单调递增,在(,)26a a --单调递减,在上(,)6a -+∞单调递增 ……………8分①若12a -<-,即2a <时,最大值为21(1)4h a a -=-； ②若126a a -≤-<-,即26a <<时,最大值为()12a h -=；因为()(1)2a h h ->- ③若16a -≥-时,即6a ≥时,最大值为()12a h -=. 综上所述:当(0,2)a ∈时,最大值为21(1)4h a a -=-； 当[2,)a ∈+∞时,最大值为()12a h -=.……………12分 请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号.22. （本小题12分）选修4-1:几何证明选讲如图，AB 是O ⊙的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是O ⊙的割线， 已知AC AB =.(Ⅰ)求证: FG AC ∥（Ⅱ）若1CG =,4CD =,求DE GF 的值. 解：(Ⅰ)因为AB 为切线，AE 为割线，所以2AB AD AE =⋅，又因为，所以2AC AD AE =⋅． 所以AD AC AC AE =，又因为， 所以∽，所以，又因为，所以，所以． ……………5分 (Ⅱ)由题意可得：四点共圆，∴CGF CDE ∠=∠，CFG CED ∠=∠∴CGF ∆∽CDE ∆ ∴DE CD GF CG = ∵1CG =，4CD =∴4DE GF=……………10分 23. （本小题12分）选修4-4：极坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以直角坐标系xoy 中原点为极点,以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中.圆C 的方程为25sin ρθ=(Ⅰ)求圆C 的直角坐标方程;AC AB =EAC DAC ∠=∠ADC △ACE △ADC ACE ∠=∠ADC EGF ∠=∠EGF ACE ∠=∠AC FG //F D E G ,,, A BC D E F G ·O(Ⅱ)已知点(3,5)P ,圆C 与直线l 交于,A B 两点,求PA PB +. 解：(Ⅰ)由25sin ρθ=，得22250x y y +-= 即22(5)5x y +-= ……………5分(Ⅱ)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得2222(3)()522t t -+= 即23240t t -+= 由于2(32)4420∆=-⨯=>，故可设1t ，2t 是上述方程的两实根，则有 1232t t +=， 124t t ⋅= 又直线l 过点(3,5)P∴ 12||||||||32PA PB t t +=+= ……………10分24. （本小题10分）选修4-5：不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉. (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求函数()2f x x a x =++-的最小值. 解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122a -≥ 解得1322a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = ……………5分 (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为3……………10分。

2013年高三诊断考试数 学注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

试题前标注有（理）的试题理科考生作答，试题前标注有（文）的试题文科考生作答，没有标注的试题文理科考生均作答。

2．本卷满分150分，考试用时120分钟。

3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（文）若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===，则集合()U N M ⋂ð等于 A.{1,2,3,4}B.{1,4,5,6}C.{1,4,5}D.{1,4}（理）设全集{1,2,3,4,5}U =，已知U 的子集M 、N 满足集{1,4}M =，{1}M N =，(){3,5}U NM =ð，则N =A.{1,3}B. {3,5}C. {1,3,5}D. {1,2,3,5}2.（文）设i 为虚数单位，若()(1)x i i y +-=，则实数,x y 满足A. 1,1x y =-=B. 1,2x y =-=C. 1,2x y ==D. 1,1x y == （理）设i 为虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为 A. 12- B. 2- C. 12D. 23.曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是 A.75 B.752C. 27D.2724.若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>则该双曲线的离心率为C.D.5.（文）下列命题中的真命题是A.对于实数a 、b 、c ，若a b >，则22ac bc >B.不等式11x>的解集是{|1}x x < C.,R αβ∃∈ ，使得sin()sin sin αβαβ+=+成立 D.,R αβ∀∈，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅成立（理）已知命题：1p ：函数1()(1)1f x x x x =+>-的最小值为3； 2p ：不等式11x>的解集是{|1}x x <; 3p ：,R αβ∃∈ ，使得sin()sin sin αβαβ+=+成立; 4p ：,R αβ∀∈，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅成立.其中的真命题是 A. 1pB. 1p ，3pC. 2p ，4pD. 1p ，3p ，4p6.（文）已知数列{}n a 为等差数列，若17134a a a π++=，则212tan()a a +=A.D.（理）数列{}n a 满足11a =，223a =，且11112(2)n n nn a a a -++=≥，则n a = A.21n + B.22n + C.2()3n D. 12()3n -7. 执行右面的程序框图，若输入的6n =,4m = 那么输出的p 是 A.120 B.240C.360D.7208. 有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.16B.20C.24D.329.(文) 在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，A.15 B.14C.13 D.12（理）已知动点P 到两定点A 、B 的距离和为8，且||4AB =线段AB 的的中点为O ，过点O 的所有直线与点P 的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有 A.5条B.6条C.7条D.8条10.(文) 已知动点P 到两定点A 、B 的距离和为8，且||AB =，线段AB 的的中点为O ，过点O 的所有直线与点P 的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有A.5条B.6条C.7条D.8条（理）将函数)0)(3sin(2)(>-=ωπωx x f 的图象向左平移3πω个单位，得到函数)(x g y =的图象．若)(x g y =在[0,4π]上为增函数，则ω的最大值为A ．4B ．3C ．2D ．111.（文）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，13n n a S +=，则6a =A ．434⨯ B ．4341⨯+ C ．44 D ．441+（理）已知函数()f x 是R 上的偶函数，且满足)5()5(x f x f -=+，在[0,5]上有且只有0)1(=f ，则)(x f 在[–2013,2013]上的零点个数为A ．808B ．806C ．805D ．80412.（文）已知函数()f x 是R 上的偶函数，且满足)5()5(x f x f -=+，在[0,5]上有且只有0)1(=f ，则)(x f 在[–2013,2013]上的零点个数为A ．808B ．806C ．805D ．804（理）定义：, min{,}, a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩.在区域0206x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，则x 、y 满足22min{2,4}2x x y x y x x y ++++=++的概率为 A. 59B.49C.13D.29第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（文）已知变量,x y 满足350200,0x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪>> ⎩，则2z x y =+的最大值为__________.（理）已知向量(,2)a k =-r ，(2,2)b =r ，a b +r r 为非零向量，若()a a b ⊥+rr r ，则k = . 14．（文）已知向量(,2)a k =-r ，(2,2)b =r ，a b +r r 为非零向量，若()a a b ⊥+r r r ，则k = . （理）三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有 种.15.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在以O 为球心的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径,若三棱锥S ABC -的体积为6，则球O 的表面积为 . 16．（文）定义一种运算 a a b a b b a b≤⎧⊗=⎨>⎩.令25()(cos sin )4f x x x =+⊗.当[0,]2x π∈时，函数()2f x π-的最大值是______.（理）已知各项为正的数列{}n a 中，122121,2,log log n n a a a a n +==+=（n N *∈），则10081220132a a a +++-= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，222a b c bc =++. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =2b =，求c 的值．18．（本小题满分12分）（文）如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2=AB ，︒=∠60BAD ．(Ⅰ)求证：BD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若AB PA =，求棱锥C PBD -的高.（理）如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2=AB ，︒=∠60BAD ．（Ⅰ）求证：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AB PA =，求二面角A PD B --的余弦值.19．（本小题满分12分）（文） 某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站.（Ⅰ）若售报亭一天购进280份报纸，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量x （单位：份，x N ∈）的函数解析式.（Ⅱ）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：PABDCPABDC（1）假设售报亭在这100天内每天购进280份报纸，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（2）若售报亭一天购进280份报纸，以100天记录的各需求量的频率作为各销售量发生的概率，求当天的利润不超过150元的概率.（理）某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站.（Ⅰ）若售报亭一天购进270份报纸，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量x （单位：份，x N ∈）的函数解析式.（Ⅱ）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：以100天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率.（1）若售报亭一天购进270份报纸，ξ表示当天的利润（单位：元），求ξ的数学期望； （2）若售报亭计划每天应购进270份或280份报纸，你认为购进270份报纸好，还是购进280份报纸好? 说明理由.20．（本小题满分12分）已知点P 为y 轴上的动点，点M 为x 轴上的动点，点(1,0)F 为定点，且满足12PN NM +=0uuu r uuur ，0PM PF ⋅=uuu r uu u r.（Ⅰ）求动点N 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率为k 的直线l 与曲线E 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点C ，使得222||||||CA CB AB +=成立，请说明理由.21．（本小题满分12分）（文）已知函数21()22f x x ex =+，2()3ln g x e x b =+（x R +∈，e 为常数，2.71828e =），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同.（Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若(0,1]x ∈时，证明：2212[()2][2()]433f x ex g x e x e-++≤-恒成立.（理）已知函数21()22f x x ex =+，2()3ln g x e x b =+（x R +∈，e 为常数，2.71828e =），且这两函数的图像有公共点，并在该公共点处的切线相同.（Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若1x e ≤≤时，222[()2][2()](2)6af x exg x e a x e-++≤+恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22,23,24题中任选一题．．．．做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4-1：《几何证明选讲》已知：如图,O 为ABC ∆的外接圆，直线l 为O 的切线，切点为B ，直线AD ∥l ，交BC 于D 、交O 于E ，F 为AC 上一点，且EDC FDC ∠=∠.求证：（Ⅰ）2AB BD BC =⋅；（Ⅱ）点A 、B 、D 、F 共圆.23．（本小题满分10分)选修4—4：《坐标系与参数方程》在直接坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数) （I ）已知在极坐标（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2π），判断点P 与直线l 的位置关系； （II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．24．（本小题满分10分）选修4—5：《不等式选讲》已知函数52)(---=x x x f ．ABCD EF Ogl（I ）证明：3)(3≤≤-x f ；（II ）求不等式158)(2+-≥x x x f 的解集．2013高三诊断考试数学参考答案及评分标准（理）一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分。

2024年兰州市高三诊断考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后。

用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{ln(1)}A xy x ==-∣，{1,2,3,4}B =，则A B = （）A ．(1,)+∞B ．{}2,3,4C ．(]1,4D ．[1,)+∞2．在复平面内，若复数z 对应的点Z 在第二象限，则复数2i z 对应的点1Z 所在象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．某校为了提高学生的安全意识，组织高一年级全体学生进行安全知识竞赛答题活动，随机抽取8人的得分作为样本，分数从低到高依次为:84，85，87，87，90，a ，b ，99，若这组数据的第75百分位数为94，则利用样本估计此次竞赛的平均分约为（）A ．85B ．86C ．90D ．954．已知0απ<<，cos 2sin2αα=，则sin 2α=（）A ．312-B 1C ．32D ．3125．已知双曲线1E :22221(0,0)x y a b a b -=>>与双曲线2E :221169x y -=的离心率相同，双曲线1E 的顶点是双曲线2E 的焦点，则双曲线1E 的虚轴长为（）A ．154B ．152C ．245D ．106．球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于北纬45︒西经60︒，则甲、乙两地的球面距离为（）A ．26R B ．23R C ．2R πD ．22R7．数列{}n a 满足101112a =，131,1, 2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数则2004a =（）A ．5B ．4C ．2D ．18．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且对于任意x 均有()()110f x f x ++-=，当01x <≤时，()21x f x =-，若[ln()](ln )f ea f a >（e 是自然对数的底），则实数a 的取值范围是（）A ．1212ee ()k k a k -++<<∈Z B ．31222e e ()k k a k -++<<∈Z C ．314422e e ()k k a k -+-<<∈Z D ．1414e e ()k k a k -++<<∈Z 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分）9．某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有A ．在水平地面上任意寻找两点A ，B ，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A ，B 两点间距离B ．在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为h ，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和βC ．在地面上任意寻找一点A ，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A 到旗杆底部的距离D ．在旗杆的正前方A 处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5m 到达B 处，再次测量旗杆顶端的仰角β10．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A ，B 存在如下关系:()()()()P A P B A P A B P B =∣∣．对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡、支付宝或微信进行支付．已知使用信用卡支付的用户占总用户的20%，使用支付宝支付的用户占总用户的40%，其余的用户使用微信支付．平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是0.06，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为13，则以下说法正确的是（）A ．使用信用卡支付的用户中有10%的人遇到支付问题B ．使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率不同C ．要将出现支付问题的概率降到0.05，可以将信用卡支付通道关闭D ．减少微信支付的人数有可能降低出现支付问题的概率11．半径长为1米的车轮匀速在水平地面上向前滚动（无滑动），轮轴每秒前进2π米．运动前车轮着地点为A ，若车轮滚动时点A 距离地面的高度h （米）关于时间t （秒）的函数记为()()0h f t t =≥，则以下判断正确的是（）A ．对于0t ∀≥，都有()()2f t f t +=B ．()h f t =在区间[4,42]()k k k +∈N 上为增函数C ．22(7.5)2f +=D ．对于[2,4]t ∀∈，都有(6)()2f t f t -+=三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．函数()e xf x x -=（e 是自然对数的底）在1x =处的切线方程是________．13．等边三角形ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BC 上靠近点C 的三等分点，cos ,AE BD 〈>= ________．14．如图在四棱柱ABCD A B C D ''''-中，侧面ABB A ''为正方形，侧面BCC B ''为菱形，2B C BC '==，E 、F 分别为棱DD '及CD 的中点，在侧面CDD C ''内（包括边界）找到一个点P ，使三棱锥P BEF -与三棱锥B BEF '-的体积相等，则点P 可以是________（答案不唯一），若二面角A AB C '--的大小为θ，当θ取最大值时，线段B P '长度的取值范围是________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）若一个平面多边形任意一边所在的直线都不能分割这个多边形，则称这样的多边形为凸多边形，凸多边形不相邻两个顶点的连线段称为凸多边形的对角线．用n a 表示凸3n +边形()n *∈N 对角线的条数．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n a ，求数列{}2n b -的前n 项和n S ，并证明210n S -<．16．（15分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，AB AD ⊥，3PA AD ==，4AB =，5BC =，E ，F 分别为PB ，PC 上一点，BE BP λ= ，EF BC ∥．（1）当PB ⊥平面AEFD 时，求λ的值；（2）当二面角E AD B --的余弦值为45时，求PC 与平面AEFD 所成角的正弦值．17．（15分）2024年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有错误选择或不选择得0分．（1）已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量X ．（i ）求()3P X =；（ii ）求使得()P X k =取最大值时的整数k ；（2）若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B ，D 选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为12，求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．18．（17分）已知圆C 过点()4,1P ，()2,3M 和()2,1N -，且圆C 与y 轴交于点F ，点F 是抛物线E :()220x n p =>的焦点。

兰州市高三诊断性测试数 学 试 题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份，共150分．考试时刻120分钟.参考公式：si ｎＡ＋ｓｉｎＢ＝２ｓｉｎ2B A +ｃｏｓ2B A - ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ＝２ｃｏｓ2B A +ｓｉｎ2B A - ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＝２ｃｏｓ2B A +ｃｏｓ2B A - ｃｏｓＡ－ｃｏｓＢ＝－２ｓｉｎ2B A +ｓｉｎ2B A - 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集为R ，Ａ＝｛ｘ｜ｘ＜－２，或ｘ＞５}，Ｂ＝｛ｘ｜－２＜ｘ＜２}，则A.R =B AB.Ａ∪B ＝RC.B A ＝ＲD.Ａ∪Ｂ＝Ｒ2.若A ＝｛３，４，５｝，Ｂ＝｛１，２｝，ｆ为集合A 到集合B 的映射，则如此的映射f 的个数为 个 个 个 个3.若｜z 1｜＝｜z 2｜＝｜z 1－z 2｜＝２，则｜z 1＋z 2｜为C.3 34.长方体的全面积为１１，十二条棱长之和为24，则那个长方体的一条对角线长为3 B. 145.函数ｙ＝｜ｘ｜－31的图象是6.(理)函数ｙ＝ａｒｃｃｏｓ（ｘ－ｘ2）的值域为A.［０，π］B.［ａｒｃｃｏｓ41，π］C.［０，ａｒｃｃｏｓ41］D.［ａｒｃｃｏｓ41，2π］ (文)函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ的最小值是A.－21－2B.－１C. 21－2D.－21 7.已知椭圆21)(1222t y x -+＝１的一条准线的方程为ｙ＝８，则实数t 的值为 和-7 和12 和158.已知圆台上、下底面的半径别离为1和2，侧面积等于上、下底面积之和，则此圆台的高为A.43B.34C.34π D.43 9.命题甲：ｓｉｎｘ＝ｃｏｓｘ；命题乙：ｘ＝２ｎπ＋4π（ｎ是整数）则 A.甲是乙的充分条件，但不是必要条件B.甲是乙的必要条件，但不是充分条件C.甲是乙的充分必要条件D.甲不是乙的充分条件也不是必要条件10.给出以下四个命题：①若直线ａ∥ｂ，且ｂ⊂平面α，则ａ∥α②一条直线和一 个平面所成角的范围是(0，2π）③和两条异面直线都相交的直线是异面直线④若直线a 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么ａ⊥α以上四个命题中，正确的命题是A.①②③B.②③④C.③D.④11.为适应社会进展的需要，国家决定降低某种存款利息.现有四种降息方案：方案Ⅰ：先降息ｐ％后降息ｑ％(其中p 、ｑ＞０，ｐ≠ｑ下同)；方案Ⅱ：先降息q %，后降息p %；方案Ⅲ：先降2q p +％，再降2q p +％；方案Ⅳ：一次降息(ｐ＋ｑ）％，在上述四种方案中降息最小的是A.方案ⅠB.方案ⅡC.方案ⅢD.方案Ⅳ12.已知数列｛ａn ｝知足ａ2n ＝ａn-1·ａn+1，且ａ1＋ａ2＝１２，ａ2＋ａ3＝６，记S n ＝ａ1＋ａ2＋ａ3＋…＋ａn ，那么n n S lim ∞→等于第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.(1－ｘ3)·（１＋ｘ）10的展开式中ｘ5的系数是 .14.由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，百位数字最大，万位数字比千位数字小，个位数字比十位数字小，如此的五位数的个数为 .15.如图所示，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若A Ａ1＝ＡＤ则BD 1与B 1Ｃ所成的角为 .16.设z 1，z 2是复数，给出下列命题：①｜z 1｜＋｜z 2｜＝０⇔z 1＝z 2＝０；②z 1·z 2∈Ｒ⇔z 1、z 2为共轭复数；③12z z ＝ｔｉ（ｔ∈Ｒ，ｔ≠０）⇔非零复数z 1、z 2对应的向量相互垂直； ④ａｒｇz 1＝α，ａｒｇz 2＝β⇒α＋β＝ａｒｇ（z 1·z 2）则上列命题成立的序号是 (注：把你以为正确的命题序号都填上)三、解答题(本大题共6小题，共74分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知复数z 1＝ｓｉｎα＋ｉｃｏｓα，z 2＝－ｓｉｎβ＋ｉｃｏｓβ且z 1－z 2＝54－ 53ｉ，求z 1·z 2的模和辐角主值. 18.(本小题满分12分)2a ax -＜ｘ－３设集合A ＝｛ｘ｜ｌｏｇ21（６＋ｘ－ｘ2）＞－２｝，Ｂ＝｛ｘ｜ａ，ａ＜０}，求使A ∩Ｂ＝∅的a 的取值范围.19. (本小题满分12分)已知四棱锥P —ABCD 的底面是边长为4的正方形，PD ⊥底面ABCD ，若ＰＤ＝６，Ｍ、Ｎ别离是PB 、AB 的中点.(1)求证：MN ⊥ＣＤ；（２）求三棱锥Ｐ—ＤＭＮ的体积；(3)求二面角M —DN —C 的平面角的正切值.(文科考生做(1)、(2)；理科考生做(1)、(2)、(3))20.(本小题满分12分)已知数列｛ａn ｝的前n 项之和Ｓn ＝12π（２ｎ2＋ｎ）（ｎ∈Ｎ，ｎ≥１） (1) 求证｛ａn ｝是等差数列；(2) 记ｂn ＝ｓｉｎａn ·ｓｉｎａn +1·ｓｉｎａn +2，求数列｛ｂn ｝的通项公式.21.(本小题满分12分)某地域打算今年用通过处置的工业废渣填河造池.(1)若该地域以每一年1%的速度减少填河面积，并为维持生态平稳，使填河总面积永久不超过现有水面面积的41，问今年所填面积最多只能占现有水面面积的百分之几? (2)水面减少必然会使地域蓄水能力降低，为了维持其防洪能力不下降，就要增加排水设备，设其经费为y (元)与昔时所填土地面积x (亩)的平方成正比，比例系数为a ，又设每亩水面平均经济收入为b (元)，所填的每亩土地年平均收入为c (元)，那么要使每一年的收入很多于支出，试求昔时所填面积x 的最大值.(其中a ,b ,c 为常数)22.(本小题满分14分)如图，已知∠ＡＯＢ＝４５°，Ｆ为OA 边上必然点，点P在OA 边上的射影是D ，而且知足：P 与D 的距离是极点O 到F 的距离的4倍和到D 的距离的等比中项. (1)求点P 的轨迹在OB 边上截得线段的长度；(2)求证：任意两条相互垂直(斜率不为零)且与所得轨迹相切的两条直线的交点在一条定直线上，并求出该直线方程.(文科考生做(1)；理科考生做(1)；(2))。

2014年高三诊断考试数学参考答案（理科）11.解析：抛物线的焦点为(,0)2F ，且2c =，所以2p c =.根据对称性可知公共弦AB x ⊥轴，且AB 的方程为2p x =，当2px =时，A y p =，所以(,)2p A p .所以1(,0)2p F -，即1,AF AF p ===，所以2p a -=，即1)22c a ⨯=，所以1c a == 12.解析：函数的导数为1'()e ax f x a b =-⋅，所以01'(0)e af a b b=-⋅=-，即在0x =处的切线斜率为a k b =-，又011(0)e f b b =-=-，所以切点为1(0,)b-，所以切线方程为1ay xb b +=-，即10ax by ++=，圆心到直线10ax by ++=的距离1d ==，即221a b +=，所以2212a b ab +=≥，即102ab <≤.又222()21a b a b ab +=+-=，所以2()21112a b ab +=+≤+=，即a b +≤a b +二、填空题 13. 5 14. 2315. 8π16. 1∶2解析：由椭圆的定义可知，122PF PF a +=，又1223PF PF a -=，所以解得143PF a =，223PF a =。

因C ，所以在12PF F ∆中222112212112cos 2PF F F PF PF F PF F F +-∠==由于12(0,)PF F π∠∈，所以126PF F π∠=，由正弦定理得：122112sin sin PF PF PF F PF F =∠∠ 所以21sin 1PF F ∠=，即212PF F π∠=，所以点M 为1PF 的中点，所以||OM ∶2||F P =1∶2 三、解答题17. 解：(Ⅰ) 设等差数列{}n a 的公差为d ,，则有11(61)22(31)1a d a d +-=+-+，即11a d -=-∵11a = ∴2d =∴21n a n =- …………6分 (Ⅱ)由于144111(1)(1)(211)(211)(1)1n n n b a a n n n n n n +====-++-+++++∴1211111112231n n S b b b n n =+++=-+-++-+ 1111nn n =-=++ …………12分 18. 解：(Ⅰ)证明：∵PA ⊥平面ABC∴AB PA ⊥在ABC ∆中AC AB ==BC =∴ AB AC ⊥而 PA AC A = ∴AB ⊥平面PAC 又DF ⊂平面PAC∴ AB ⊥DF …………6分(Ⅱ) 依题意有PAB PAC ∆≅∆，AC AB ⊥∵3PBA π∠=∴PB PC ==3PA =以A 为坐标原点，以AC 为x 轴、AB 为y 轴、AP 为z 轴建立空间直角坐标系 ，则(0,0,0)A、C、B 、(0,0,3)P∵PE ∶PB =PF ∶PC =1∶3∴3PB PE = 3PC PF =设000(,,)E x y z，则有00003333(3)x y z =⎧=-=-⎩解得：0000,2x y z ===即2)E ，同理解得2)F ，由已知(0,0,3)AP = 为平面ABC 的一个法向量，设(,,)n x y z =为平面AEF 的一个法向量，则有0n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，令x =，解得y =，12z =-∴1)2n =-∴1|cos ||cos ,|||5||||n AP n AP n AP θ⋅=<>==⋅…………12分 19. 解：（Ⅰ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ，依题意 0,1,2,,9a = ，共有10种可能.1272(889292)33v =++=甲 …………3分 当 0a =时，1271[9091(900)]33v v =+++=<乙甲当 1a =时，1272[9091(901)]=33v v =+++=乙甲所以当2,3,4,,9a = 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能． 所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． …………6分 （Ⅱ）当2a =时，分别从甲、乙两观测点记录的数据中各随机抽取一天的观测值，所有可能的结果有339⨯=种， 它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，则X 的所有取值为0,1,2,3,4.…………8分所以2(0)9P X ==，2(1)9P X ==，1(2)3P X ==，1(3)9P X ==，1(4)9P X ==. 所以随机变量X 的分布列为：所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分 20. 解： (Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =代入椭圆方程得2b y a=±∴221b a=,即22a b =又2c e a ==∴2a = 1b =∴椭圆方程为2214x y +=…………5分(Ⅱ) 由题意知，||1m ≥ 当1m =±时，易得：3||=AB当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-= 设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则有：2122814k m x x k +=+，221224414k m x x k -=+∵l 与圆221x y +=相切1=，即2221m k k =+∵212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242k m k k m k k +--++=2=2|233||||m m m m ==≤++当且仅当3±=m（||1m =>）时，||2AB =∴||AB 有最大值为2，此时3±=m……………12分21. 解：(Ⅰ)证明：当0a =时，()2x f x e x =-，()2xf x e '=-，设()0f x '=，解得ln 2x =当(,ln 2)x ∈-∞时，()0f x '<，当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x '>∴当(,ln 2)x ∈-∞时，函数为减函数，当(ln 2,)x ∈+∞时，函数为增函数 ∴函数有极小值（最小值）(ln 2)2(1ln 2)f =- ∵ln 2ln 1e <=∴min 0y > ∴()0f x >恒成立……………6分(Ⅱ)当0a >时，()2x f x e ax '=--，()xf x e a ''=-，令()0f x ''=得ln x a =故当(,ln )x a ∈-∞时，函数()0f x ''<，当(ln ,)x a ∈+∞时，函数()0f x ''> ∴点(ln ,(ln ))a f a 为函数的唯一拐点∴函数()f x 在拐点处的切线斜率为(ln )ln 2(0)k f a a a a a '==--> 令()ln 2(0)g x x x x x =--> 则()1ln 1ln g x x x '=--=-∴(0,1)x ∈时()0g x '>，函数()g x 为增函数；(1,)x ∈+∞时()0g x '<，函数()g x 为减函数∴1x =时，max ()(1)1g x g ==- ，∴(ln )1f a '≤- ∴tan (ln )1f a α'=≤-∴函数在拐点处切线的倾斜角3(,]24ππα∈，而53(,]624πππ∉∴不存在实数a 使得函数在拐点处的切线的倾斜角为56π. ……………12分22. 解：(Ⅰ)证明：连接BE . ∵BC 为⊙O 的切线∴90ABC ∠=，CBE A AEO CED ∠=∠=∠=∠在CDE ∆与CBE ∆中，CBE CED ∠=∠，C C ∠=∠ ∴CDE ∆∽CBE ∆ ∴CE CDCB CE=∴2CE CD CB =⋅ …………5分(Ⅱ)依题意OC =∴1CE OC OE =-= 由(Ⅰ)得2CE CD CB =⋅∴21)2CD =∴3CD = …………10分23. 解：(Ⅰ)∵曲线C 的极坐标方程是4sin ρθ=∴24sin ρρθ= ∴224x y y +=∴曲线C 的标准方程是22(2)4x y +-=参数方程是2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数） …………5分(Ⅱ)设(2cos ,22sin )Q θθ+，则|22cos ||4(22sin )|4)4πδθθθ=-+-+=-+所以[4δ∈-+ …………10分 24. 证明：（Ⅰ）664224422422()()a b a b a b a a b b a b +--=--- 224422222()()()()a b a b a b a b =--=-+∵a b ≠∴22222()()0a b a b -+>∴664224a b a b a b +>+ …………5分>⇔>0a b ⇔->(0a b ⇔->∵a b ≠∴a b -∴(0a b ->成立>…………10分。

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甘肃省2014届高三下学期一诊考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的。

1. 已知集合A={|<5}x Z x ∈ ，B=|20}{x x -≥ ，A ∩B 等于A. (2, 5） B 。

［2， 5) C. {2, 3， 4} D 。

｛3， 4, 5｝2。

复数21()1i i -+（i 是虚数单位）化简的结果是A. 1B. -1C 。

i D. –i3. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是错误! ，则正视图中的x 值是A. 2 B 。

92C. 错误! D 。

34。

从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M (,)x y ，则点M 取自阴影部分的概率为A. 错误! B 。

错误!C 。

错误! D. 错误!5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ， 若4518a a =-，则S 8=A.72B. 68C 。

54 D. 906。

阅读右侧程序框图，输出结果i 的值为A. 5B. 6C.7D. 9 7。

设2lg ,(lg ),lg a e b e c e === ，则A. a b c >>B. c a b >>C. a c b >> D 。