湖南省长沙市长郡教育集团2018届九年级第一次模拟考试数学试题(含答案)

2018-2019 学年湖南省长沙市九年级（上）期末数学模拟试卷含答案一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）1.已知m，n（m＜n）是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）＝2的两根，若a＜b，则下列判断正确的是（）A．a＜m＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜n＜d D．m＜a＜b＜n 2．一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0 用配方法可变形为（）A．（x+1）2＝8B．（x+2）2＝11C．（x﹣1）2＝8D．（x﹣2）2＝11 3．从生产的一批螺钉中抽取 1000 个进行质量检查，结果发现有 5 个是次品，那么从中任取1 个是次品概率约为（）A．B．C．D．4.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．则k的取值范围为（）A．k＞﹣B．k＞4 C．k＜﹣1 D．k＜45.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A 的大小为（）A．40°B．50°C．80°D．100°6.如图，△BC 的边A C 与⊙O 相交于C、D 两点，且经过圆心O，边A B 与⊙O相切，切点为B，如果∠C＝26°，那么∠A 等于（）A．26°B．38°C．48°D．52°7.如图，在R t△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4 ，BC 的中点为D．将△ABC 绕点C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF 的中点为G，连接DG．在旋转过程中，DG 的最大值是（）A．4 B．6 C．2+2 D．88.下列关于抛物线y＝﹣（x﹣5）2+2 有关性质的说法，错误的是（）A．对称轴是直线x＝5 B．开口向下C．与x轴有交点D．最小值是29.对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（）A．图象经过点（2，﹣1）B．图象位于第二、四象限C．图象是中心对称图形D．当x＜0 时，y 随x 的增大而增大10.小兰和小潭分别用掷A、B 两枚骰子的方法来确定P（x，y）的位置，她们规定：小兰掷得的点数为x，小谭掷得的点数为y，那么，她们各掷一次所确定的点落在已知直线y＝﹣2x+6 上的概率为（）A．B．C．D．11．当k＜0，x＞0 时，反比例函数y＝的图象在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．如图为二次函数y＝ax2+bx+c 的图象，则a x2+bx+c＞0 的解集为（）A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜1 C．x＞2 D．x＞1二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）13.已知反比例函数y＝（k≠0），在其图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，那么它的图象所在的象限是第象限．14.在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2+4x+1 的图象沿x轴方向向右平移2 个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的解析式是．15.如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝1，那么△ABC 的周长为．16.在半径为12 的⊙O 中，150°的圆心角所对的弧长等于．17.将一副扑克牌中的两张牌红桃A和黑桃2都从中间剪开，分成四块，这四块背面完全一样，将它们洗匀后，背面朝上，任取两张，恰好能拼成一张牌的概率是．三．解答题（共 7 小题，满分 66 分）18.已知关于x 的一元二次方程（a+1）x2﹣x+a2﹣3a﹣3＝0 有一根是 1．（1）求a 的值；（2）求方程的另一根．19.如图是一副扑克牌中的三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中，牌面上的数字都是偶数的概率．20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，﹣3）、C（4，﹣4），（1）作出△ABC 关于原点O 对称的△A1B1C1；（2）写出点A1、B1、C1 的坐标．21.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克 50 元．（1）连续两次降价后每千克 32 元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；（2）这种水果进价为每千克 40 元，若在销售等各个过程中每千克损耗或开支 2.5 元，经一次降价销售后商场不亏本，求一次下降的百分率的最大值．22.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC 交抛物线的对称轴于点E，O 是原点，D 是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出点C 和点D 的坐标；（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，连结OE，且S△ABP＝2S△BOE，求P 点坐标．23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y1＝﹣2x 的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，a），B两点．（1）求出反比例函数的解析式及点B 的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足y≤2 的取值范围；（3）点P 是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB 的面积为 1，请直接写出点P的横坐标．24.如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D，过点D 作⊙O 的切线交CB 的延长线于点E，交AC 于点F．（1）求证：点F 是AC 中点；（2）若∠A＝30°，AF＝，求图中阴影部分的面积．参考答案一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题3 分）1．【解答】解：∵（x﹣a）（x﹣b）＝2，∴m、n可看作抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）与直线y＝2的两交点的横坐标，∵抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴的两交点坐标为（a，0），（b，0），如图，∴m＜a＜b＜n．故选：D．2.【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0 用配方法可变形为（x﹣1）2＝8，故选：C．3.【解答】解：∵从生产的一批螺钉中抽取 1000 个进行质量检查，结果发现有 5个是次品，∴从中任取1个是次品概率约为：＝．故选：B．4.【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0 有两个不相等的实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4×1×k2＝4k+1＞0，∴k＞﹣．故选：A．5.【解答】解：∵OB＝OC∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°故选：B．6.【解答】解：如图，连接OB，∵AB 与⊙O 相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵OB＝OC，∠C＝26°，∴∠OBC＝∠C＝26°，∴∠COB＝180°﹣26°﹣26°＝128°，∴∠A＝128°﹣90°＝38°，故选：B．7．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝AC÷cos30°＝4 ÷＝8，BC＝AC•tan30°＝4 ×＝4，∵BC 的中点为D，∴CD＝BC＝×4＝2，连接CG，∵△ABC 绕点C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF 的中点为G，∴CG＝EF＝AB＝×8＝4，由三角形的三边关系得，CD+CG＞DG，∴D、C、G 三点共线时DG 有最大值，此时DG＝CD+CG＝2+4＝6．故选：B．8．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣5）2+2，∴抛物线对称轴为直线x＝5，开口向下，顶点坐标为（5，2），∴抛物线与x 轴有两个交点，有最大值 2，∴最小值是2，故选：D．9.【解答】解：∵当x＝2 时，可得y＝1≠﹣1，∴图象不经过点（2，﹣1），故A不正确；∵在y＝中，k＝2＞0，∴图象位于第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小，故B、D不正确；又双曲线为中心对称图形，故C 正确，故选：C．10【解答】解：列表得：∴一共有36种情况，她们各掷一次所确定的点落在已知直线y＝﹣2x+6上的有（1，4），（2，2）．∴她们各掷一次所确定的点落在已知直线y＝﹣2x+6 上的概率为＝．故选：B．11【解答】解：∵在反比例函数y＝中，k＜0，∴函数图象分别在二、四象限，又∵x＞0，∴函数图象在第四象限．故选：D．12【解答】解：由题意二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两点为：（﹣3，0）、（1，0），∴由图象可知：当﹣3＜x＜1 时，y＞0，因此ax2+bx+c＞0 的解集为：﹣3＜x＜1．故选：B．二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）13【解答】解：满足二次项系数不为 1，有一个根为﹣2 的一元二次方程可为2x2﹣8＝0．故答案为 2x2﹣8＝0．14【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0），在其图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，∴它的图象所在的象限是第一、三象限．故答案为：一、三．15．【解答】解：y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1，∵图象沿x 轴方向向右平移 2 个单位长度后再沿y 轴向下平移 1 个单位长度，∴所得新的抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣2，故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣2．16【解答】解：∵⊙O 是等边△ABC 的外接圆，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，∴M、N 分别是AC、AB 的中点，∴MN 是等边△ABC 的中位线，∵MN＝1，∴AB＝AC＝BC＝2MN＝2，∴△ABC 的周长为：3AB＝6．故答案是：6．17【解答】解：根据弧长的公式l＝得到：＝10π．故答案是：10π．18【解答】解：将剪开的红桃A 记为A、A′，剪开的黑桃 2 记为 2、2′，画树状图如下：由树状图知，共有12 种等可能结果，其中恰好能拼成一张牌的有4种结果，所以恰好能拼成一张牌的概率为＝，故答案为：．三．解答题（共 7 小题，满分 66 分）19．【解答】解：（1）将x＝1代入方程（a+1）x2﹣x+a2﹣3a﹣3＝0可得（a+1）﹣1+a2﹣3a﹣3＝0，解可得：a＝﹣1，a＝3；a＝﹣1 时，原方程是一元一次方程，故舍去；则a＝3；（2）由（1）得：a＝3，则原方程为 4x2﹣x﹣3＝0，且其中有一根为 1，设另一根是m，则m•1＝m＝﹣，故m＝﹣．20【解答】解：画树状图为：共有 9 种等可能的结果数，其中两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数为 2，所以两次抽取的牌上的数字都是偶数的概率＝＝．21【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）由图知点A1的坐标为（﹣2，1）、B1的坐标为（﹣1，3）、C1的坐标为（﹣4，4）．22【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：50（1﹣a）2＝32，解得：a＝1.8（不合题意，舍去）或a＝0.2．答：每次下降的百分率为20%；（2）设一次下降的百分率为b，根据题意，得：50（1﹣b）﹣2.5≥40，解得b≤0.15．答：一次下降的百分率的最大值为 15%．23．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）当x＝0 时，y＝﹣x2+2x+3＝3，∴点C的坐标为（0，3）；∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴顶点D的坐标为（1，4）．（3）设点P的坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），设直线BC 的解析式为：y＝∴解得： ，kx +b ，∵B （3，0），C （0，3），∴直线 BC 的解析式为：y ＝﹣x +3，∵点 E 在对称轴上，∴E （1，2），∴S △BOE ＝ ×2×3＝3，S △ABP ＝ 4n ＝2n ，∵S △ABP ＝2S △BOE ，∴2n ＝2×3，∴n ＝3，∴﹣m 2+2m +3＝3，解得：m 1＝0（不合题意，舍去），m 2＝2，∴点 P 的坐标为（2，3）．24．【解答】解：（1）把 A （﹣1，a ）代入 y ＝﹣2x ，可得 a ＝2，∴A （﹣1，2），把 A （﹣1，2）代入 y ＝，可得 k ＝﹣2，∴反比例函数的表达式为 y ＝﹣，∵点 B 与点 A 关于原点对称，∴B （1，﹣2）．（2）∵A （﹣1，2），∴y ≤2 的取值范围是 x ＜﹣1 或 x ＞0；（3）作 BM ⊥x 轴于 M ，PN ⊥x 轴于 N ，∵S 梯形 MBPN ＝S △POB ＝1，设 P （m，﹣），则（2+）（m ﹣1）＝1 或（2+）（1﹣m ）＝1整理得，m 2﹣m ﹣1＝0 或 m 2+m +1＝0，解得 m ＝ ∴P 点的横坐标25．【解答】（1）证明：连接 O D 、CD ，如图，∵BC 为直径，∴∠BDC ＝90°，∵∠ACB ＝90°，或 m ＝ ，为 ．∴AC 为⊙O 的切线，∵EF 为⊙O 的切线，∴FD＝FC，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠A＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠3＝∠A，∴FD＝FA，∴FC＝FA，∴点F 是AC 中点；（2）解：在R t△ACB 中，AC＝2AF＝2，而∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AC＝2，∵OB＝OD，∴△OBD 为等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵EF 为切线，∴OD⊥EF，在R t△ODE 中，DE ＝OD＝，∴S 阴影部分＝S△ODE﹣S 扇形BOD＝×1×﹣＝﹣π．2122。

长郡教育集团初中课程中心2018学年度初三第一次限时检测数学满分120分 时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）1.直线2y x =-与y 轴交点的坐标为（ ）A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(2,0)-D ．(0,2)-【答案】D【考点】一次函数图象上点的坐标特征2.下列各点在函数6y x=-图像上的是（ ） A ．()2,3-- B ．()3,2 C ．()1,6- D ．()6,1--【答案】C【考点】反比例函数图象上点的坐标特征3.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的截面圆半径5OB =,截面圆圆心O 到水面的距离OC 是3,则水面宽AB 是（ ）A ．6 B. 4 C.10 D.8【答案】D【考点】勾股定理、垂径定理的应用【解析】解：4.如图，已知AB CD EF ，那么下列结论正确的是（ ） A.AD BC DF CE = B. BC DF CE AD = C.C D B C E F B E = D. CD AD EF AF= 5,3OB OC ==222253428BC OB OC OC ABAB BC ∴=-=-=⊥∴==【答案】A【考点】平行线分线段成比例；5.下列两个图形一定相似的是（ ）A. 任意两个等边三角形B. 任意两个直角三角形C. 任意两个等腰三角形D. 两个等腰梯形【答案】A【考点】相似的判定6.一次函数y kx k =-与反比例函数(0)k y k x=≠在同一个坐标系中的图象可能是（ ）A B C D【答案】B【考点】一次函数的图象与系数的关系；反比例函数的图象【解析】当0k ＞时，一次函数y kx k =-的图象过一、三、四象限，反比例函数k y x =的图象在一、三象限， ∴A 、C 不符合题意，B 符合题意；当0k ＜时，一次函数y kx k =-的图象过一、二、四象限，反比例函数k y x =的图象在二、四象限， ∴D 不符合题意．故选：B7.O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为6，则直线l 与O 的位置关系是（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定。

2018年初三一诊考试数学试题答案及解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣的相反数是（）A．5B．C．﹣D．﹣52．（3分）已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3，则用科学记数法表示该数为（）A．1.239×10﹣3g/cm3B．1.239×10﹣2g/cm3C．0.1239×10﹣2g/cm3D．12.39×10﹣4g/cm33．（3分）如图，立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为（）A．πB．πC．πD．π5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的度数为（）A．40°B．36°C．50°D．45°（6．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5D．47．3分）使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是（）A．﹣1B．2C．﹣7D．08．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为△x，AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）因式分解：9a3b﹣ab=．10．（3分）如图，直线a∥b，∠P=75°，∠2=30°，则∠1=．11．（3分）已知一组数据：3，3，4，5，5，则它的方差为．12．（3分）今年“五一”节，A、B两人到商场购物，A购3件甲商品和2件乙商F （品共支付 16 元，B 购 5 件甲商品和 3 件乙商品共支付 25 元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价 x 元/件，乙商品售价 y 元/件，则可列出方程组．13．（3 分）如图，在 Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2 ，以直角边 AC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D ，则图中阴影部分的面积是．14．（3 分）已知 x 1，x 2 是关于 x 的方程 x 2+ax ﹣2b=0 的两实数根，且 x 1+x 2=﹣2， x 1•x 2=1，则 b a 的值是．15．（3 分）对于实数 a ，b ，我们定义符号 max {a ，b }的意义为：当 a ≥b 时， max {a ，b }=a ；当 a ＜b 时，max {a ，b ]=b ；如：max {4，﹣2}=4，max {3，3}=3，若关于 x 的函数为 y=max {x +3，﹣x +1}，则该函数的最小值是．16．（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，E 为 AB 上一点，过点 E 作EF ∥AD ，与 AC 、DC 分别交于点 G ， ，H 为 CG 的中点，连接 DE ，EH ，DH ，FH ．下列结论：①EG=DF ；②∠AEH +∠ADH=180°；③△EHF ≌△DHC ；④若，其中结论正确的有 ．△DHC= ，则 3S △EDH =13S三、解答题（本大题共 8 个题，共 72 分）17．（10 分）（1）计算：|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（ ）﹣2﹣2sin60°+；（2）先化简，再求值：÷（2+ ），其中 a=．18． 6 分）如图，分别过点C 、B 作△ABC 的 BC 边上的中线 AD 及其延长线的垂线，垂足分别为 E 、F ．求证：BF=CE ．（19．8分）“热爱劳动，勤俭节约”是中华民族的光荣传统，某小学校为了解本校3至6年级的3000名学生帮助父母做家务的情况，以便做好引导和教育工作，随机抽取了200名学生进行调查，按年级人数和做家务程度，分别绘制了条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．（1）四个年级被调查人数的中位数是多少？（2）如果把“天天做”、“经常做”、“偶尔做”都统计成帮助父母做家务，那么该校3至6年级学生帮助父母做家务的人数大约是多少？（3）在这次调查中，六年级共有甲、乙、丙、丁四人“天天帮助父母做家务”，现准备从四人中随机抽取两人进行座谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是甲和乙的概率．20．（8分）某商城销售A，B两种自行车．A型自行车售价为2100元/辆，B型自行车售价为1750元/辆，每辆A型自行车的进价比每辆B型自行车的进价多400元，商城用80000元购进A型自行车的数量与用64000元购进B型自行车的数量相等．（1）求每辆A，B两种自行车的进价分别是多少？（2）现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车m辆，这100辆自行车的销售总利润为y元，要求购进B型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍，总利润不低于13000元，求获利最大的方案以及最大利润．21．（8分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）22．（10分）如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象都经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．23．（10分）如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连结PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若tan∠BAD=，且OC=4，求BD的长．24．（12分）如图，已知抛物线y=+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A （0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q 为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1-8．B A C B B A CA二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）9． ab （3a +1）（3a ﹣1） ．10. 45° ．11．12．13．14．．．﹣ π ．．15． 2 ．16． ①②③④ ．三、解答题（本大题共 8 个题，共 72 分）17．（1）|﹣2|﹣（π﹣2015）0+（ ）﹣﹣2sin60°+=2﹣1+4﹣2×+2=2﹣1+4﹣+2=5+ ；（2）==÷（2+ ）=，当 a=时，原式= = ﹣1．（ （18．证明：根据题意，知 CE ⊥AF ，BF ⊥AF ，∴∠CED=∠BFD=90°，又∵AD 是边 BC 上的中线，∴BD=DC ；在 Rt △BDF 和 Rt △CDE 中，∠BDF=∠CDE （对顶角相等），BD=CD ，∠CED=∠BFD ，∴△BDF ≌△CDE （AAS ），∴BF=CE （全等三角形的对应边相等）．19．解：（1）四个年级被抽出的人数由小到大排列为 30，45，55，70，∴中位数为 50；（2）根据题意得：3000×（1﹣25%）=2250 人，则该校帮助父母做家务的学生大约有 2250 人；（3）画树状图，如图所示：所有等可能的情况有 12 种，其中恰好是甲与乙的情况有 2 种，则 P== ．20、解：1）设每辆 B 型自行车的进价为 x 元，则每辆 A 型自行车的进价为（x +400）元，根据题意，得= ，解得 x=1600，经检验，x=1600 是原方程的解，x +400=1 600+400=2 000，答：每辆 A 型自行车的进价为 2 000 元，每辆 B 型自行车的进价为 1 600 元；（2）由题意，得 y=（2100﹣2000）m +（1750﹣1600） 100﹣m ）=﹣50m +15000，根据题意，得，解得：33≤m≤40，∵m为正整数，∴m=34，35，36，37，38，39，40．∵y=﹣50m+15000，k=﹣50＜0，∴y随x的增大而减小，∴当m=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元）．答：当购进A型自行车34辆，B型自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元．21．解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在Rt△ADF中，AF=AB﹣BF=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在Rt△CDE中，DE=10m，∠DCE=30°，∴CE===10（m），∴BC=BE﹣CE=（70﹣10）m．答：障碍物B，C两点间的距离为（70﹣10）m．22．解：（1）根据题意，将点A（2，﹣2）代入y=kx，得：﹣2=2k，解得：k=﹣1，∴正比例函数的解析式为：y=﹣x，将点A（2，﹣2）代入y=，得：﹣2=，解得：m=﹣4；∴反比例函数的解析式为：y=﹣；（2）直线OA：y=﹣x向上平移3个单位后解析式为：y=﹣x+3，则点B的坐标为（0，3），联立两函数解析式，解得：或，∴第四象限内的交点C的坐标为（4，﹣1），∵OA∥BC，∴S△ABC=S △OBC=×BO×xC=×3×4=6．23．解：（1）连结OB，则OA=OB．如图1，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB．在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS），∴∠PBO=∠PAO．∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连结BE．如图2，∵在Rt△AOC中，tan∠BAD=tan∠CAO==，且OC=4，∴AC=6，则 BC=6．在 Rt △APO 中，∵AC ⊥OP ，∴△PAC ∽△AOC ，∴AC 2=OC•PC ，解得 PC=9，∴OP=PC +OC=13．在 Rt △ PBC 中 ， 由 勾 股 定 理 ， 得PB==3，∵AC=BC ，OA=OE ，即 OC 为△ABE 的中位线．∴OC= BE ，OC ∥BE ，∴BE=2OC=8．∵BE ∥OP ，∴△DBE ∽△DPO ，∴=，即=，解得 BD=．24．解：（1）将 A （0，1），B （﹣ 9，10）代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式 y=+2x +1；（2 分）（2）∵AC ∥x 轴，A （0，1），∴ x 2+2x +1=1，解得 x 1=﹣6，x 2=0（舍），即 C 点坐标为（﹣6，1），∵点 A （ 0，1），点 B （﹣9，10），∴直线 AB 的解析式为 y=﹣x +1，设 P （m ，m 2+2m +1），∴E （m ，﹣m +1），∴PE=﹣m +1﹣（ m 2+2m +1）=﹣ m 2﹣3m ，∵AC⊥PE，AC=6，（4分）∴S四边形AECP =S△AEC+S△APC=AC•EF+AC•PF，=AC•（EF+PF）=AC•EP=×6（﹣m2﹣3m）=﹣m2﹣9m=﹣（m+）2+，∵﹣6＜m＜0，∴当m=﹣时，四边形AECP的面积最大值是，此时P（﹣，﹣）；（6分）（3）∵y=x2+2x+1=（x+3）2﹣2，∴顶点P（﹣3，﹣2）．∴PF=2+1=3，CF=6﹣3=3，∴PF=CF，PC=3，∴∠PCF=45°，同理可得∠EAF=45°，∴∠PCF=∠EAF，∵A（0，1），B（﹣9，10），∴AB==9，∴在直线AC上存在满足条件得点Q，设Q（t，1），∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，，CQ=2，（7分）∴Q（﹣4，1）；（8分）②当△CPQ∽△ACB时，则=，，∴=，CQ=9，（9分）∴Q（3，1）；综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C、P、Q 为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为（﹣4，1）或（3，1）．（10分）11/11。

2018年湖南省长沙市九年级（上）第一次适应性测试数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分．）1．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（）A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图，在质地和颜色都相同的三张卡片的正面分别写有﹣2，﹣1，1，将三张卡片背面朝上洗匀，从中抽出一张，并记为x，然后从余下的两张中再抽出一张，记为y，则点（x，y）在直线y=﹣x﹣1上方的概率为（）A．B．C．D．13．已知A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则y1、y2、y3的大小关系的是（）A．y2＞y1＞y3B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y1＞y3＞y24．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（）A．y=B．y=﹣C．y=3x+2 D．y=x2﹣35．如图，若DC∥FE∥AB，则有（）A． B． C． D．6．如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，则点P 的坐标为（）A．（﹣1，0） B．（﹣1，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，0）7．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（k ≠0）上，则k的值为（）A．4 B．﹣2 C．D．﹣8．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3，现将△ABC绕点B逆时针旋转一定角度，点C′恰落在边BC上的高所在的直线上，则边BC在旋转过程中所扫过的面积为（）A．πB．2π C．3π D．4π9．反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON=2，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣410．如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．411．在同一直角坐标系中，函数与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．12．已知△ABC的面积是1，A1、B1、C1分别是△ABC三边上的中点，△A1B1C1的面积记为S1；A2、B2、C2分别是△A1B1C1三边上的中点，△A2B2C2的面积记为S2；以此类推，则△A4B4C4的面积S4是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分．）13．一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是______边形．14．已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的弧长为______（结果保留π）．15．把分母中的根号去掉，得到的最简结果是______（结果保留根号）．16．分式方程的解为______．17．如图，已知AB切⊙O于点B，OA与⊙O交于点C，点P在⊙O上，若∠BPC=25°，则∠BAC的度数为______．18．某校八年级一班40名学生进行体能达标测试，根据测试结果绘制了如图所示的统计图，则从这40名学生中任取一人，其测试结果是“良好”等级的概率为______．三、解答题（本大题共8小题，共66分．）19．计算：|﹣3|+（﹣）﹣2﹣（+1）0﹣2tan60°．20．先化简，再求值：（+），其中a，b满足+|b﹣|=0．21．从某校参加科普知识竞赛的学生试卷中，抽取一个样本了解竞赛成绩的分布情况，将样本分成A、B、C、D、E五个组，绘制成如图所示的频数分布直方图，图中A、B、C、D、E各小组的长方形的高的比是l：4：6：3：2，且A组的频数是5，请结合直方图提供的信息，解答下列问题．（1）通过计算说明，样本数据中，中位数落在哪个组？并求该小组的频率；（2）估计该校在这次竞赛中，成绩高于80分的学生人数占参赛人数的百分比．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是线段AB、BC的中点，连接DE，将△DBE沿直线BC翻折得△FBE，连接FC、DC．（1）求证：四边形BFCD为菱形；（2）若AB=12，sinA=，求四边形ABFC的面积．23．长沙市市政绿化工程中有一块面积为160m2的矩形空地，已知该矩形空地的长比宽多6m．（1）请算出该矩形空地的长与宽；（2）规划要求在矩形空地的中间留有两条互相垂直且宽度均为1m的人行甬道（其中两条人行甬道分别平行于矩形空地的长和宽），其余部分种上草．如果人行甬道的造价为260元/m2，种草区域的造价为220元/m2，那么这项工程的总造价为多少元？24．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上的一个动点（不与B 点重合）．（1）过动点D作射线DE交线段AB于点E，使∠BDE=∠A．设BD=x，AE=y，求y 与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）以点D为圆心，DC长为半径作⊙D，当⊙D与AB边相切时，求线段BD的长．25．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称为“好点”．（1）求直线y=﹣x+2与两坐标轴围成的平面图形中（含边界），所有“好点”的坐标；（2）求证：函数y=（k为正整数）的图象上必定含有偶数个“好点”；（3）若二次函数y=kx2+（2k+1）x+2k﹣1的图象与x轴相交得到两个不同的“好点”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“好点”？26．若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞1，a、b、c是常数）与x轴交于两个不同的点A（c，0），B（x，0），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点，且当0＜x＜c时，总有y＞0．（1）求常数b的取值范围；（2）当x1=c时，对于任意给定的常数a、b、c，若点Q（+c，y）在对应的二次函数的图象上，过点Q作QK⊥x轴于点K，试问△AQK与△BPO全等吗？证明你的结论；（3）当x＞0时，求证：ax（x+1）+bx（x+2）+c（x+1）（x+2）＞0．2018年湖南省长沙市九年级（上）第一次适应性测试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分．）1．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（）A．120°B．90°C．60°D．30°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】利用旋转的性质计算．【解答】解：∵∠ABC=60°，∴旋转角∠CBC1=180°﹣60°=120°．∴这个旋转角度等于120°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的定义，明确三角尺的度数的常识并熟记旋转角的定义是解题的关键．2．如图，在质地和颜色都相同的三张卡片的正面分别写有﹣2，﹣1，1，将三张卡片背面朝上洗匀，从中抽出一张，并记为x，然后从余下的两张中再抽出一张，记为y，则点（x，y）在直线y=﹣x﹣1上方的概率为（）A．B．C．D．1【考点】列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（x，y）在直线y=﹣x﹣1上方的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，点（x，y）在直线y=﹣x﹣1上方的有：（﹣2，1），（﹣1，1），（1，﹣1），∴点（x，y）在直线y=﹣x﹣1上方的概率为： =．故选A．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3．已知A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则y1、y2、y3的大小关系的是（）A．y2＞y1＞y3B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y1＞y3＞y2【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征分别计算出y1、y2、y3的值，然后比较大小即可．【解答】解：∵A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数y=的图象上，∴y1=2，y2=1，y3=﹣，∴y1＞y2＞y3．故选B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．4．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（）A．y=B．y=﹣C．y=3x+2 D．y=x2﹣3【考点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数的性质．【分析】分别利用反比例函数、一次函数及二次函数的性质判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、∵k＞0，∴在第一象限内y随x的增大而减小；B、∵k＜0，∴在第四象限内y随x的增大而增大；C、∵k＞0，∴y随着x的增大而增大；D、∵y=x2﹣3，∴对称轴x=0，当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小．故选A．【点评】本题综合考查二次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．5．如图，若DC∥FE∥AB，则有（）A． B． C． D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理，根据题意直接列出比例等式，对比选项即可得出答案．【解答】解：∵DC∥FE∥AB，∴OD：OE=OC：OF（A错误）；OF：OE=OC：OD（B错误）；OA：OC=OB：OD（C错误）；CD：EF=OD：OE（D正确）．故选D．【点评】考查了平行线分线段成比例定理，要明确线段之间的对应关系．6．如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，则点P 的坐标为（）A．（﹣1，0） B．（﹣1，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，0）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】首先找出两个三角形的对应点，然后连接任意两组对应点，两条线段的交点即为点P的位置．【解答】解：连接AD，CF交点为P．根据图形可知点P的坐标为（﹣1，﹣1），∴旋转中心P点的坐标为（﹣1，﹣1），故选B．【点评】本题主要考查的是旋转图形的性质，明确中心对称图形的对应点的连线经过对称中心是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（k ≠0）上，则k的值为（）A．4 B．﹣2 C．D．﹣【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求反比例函数解析式．【分析】设点C的坐标为（x，y），过点C作CD⊥x轴，作CE⊥y轴，由折叠的性质易得∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°，用锐角三角函数的定义得CD，CE，得点C的坐标，易得k．【解答】解：设点C的坐标为（x，y），过点C作CD⊥x轴，作CE⊥y轴，∵将△ABO沿直线AB翻折，∴∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°，∴CD=y=AC•sin60°=2×=，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=∠ACD=30°，∵BC=BO=AO•tan30°=2×=，CE=|x|=BC•cos30°==1，∵点C在第二象限，∴x=﹣1，∵点C恰好落在双曲线y=（k≠0）上，∴k=x•y=﹣1×=﹣，故选D．【点评】本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点C的坐标是解答此题的关键．8．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3，现将△ABC绕点B逆时针旋转一定角度，点C′恰落在边BC上的高所在的直线上，则边BC在旋转过程中所扫过的面积为（）A．πB．2π C．3π D．4π【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．【专题】计算题．【分析】利用∠A=90°，AB=AC=3可判断△ABC为等腰直角三角形，则BC=AB=3，BD=CD，再根据旋转的性质得BC′=BC=3，所以BD=BC′，利用含30度的直角三角形三边的关系得到∠BC′D=30°，则∠DBC′=60°，由于边BC在旋转过程中所扫过的部分为扇形，于是根据扇形的面积公式可计算出边BC在旋转过程中所扫过的面积．【解答】解：作高AD，则C′点在AD的反向延长线上，如图，∵∠A=90°，AB=AC=3，∴△ABC为等腰直角三角形，∴BC=AB=3，BD=CD，∵△ABC绕点B逆时针旋转一定角度，点C′恰落在边BC上的高所在的直线上，∴BC′=BC=3，∴BD=BC′，∴∠BC′D=30°，∴∠DBC′=60°，∴边BC在旋转过程中所扫过的面积==3π．故选C．【点评】本题考查了扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）．也考查了旋转的性质．9．反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON=2，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积即可解答．【解答】解：由图象上的点所构成的三角形面积为可知，该点的横纵坐标的乘积绝对值为4，又因为点M在第二象限内，所以可知反比例函数的系数为k=﹣4．故选D．【点评】本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系，即S=|k|．10．如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断．【解答】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线y=上，∴四边形AEOD的面积为1，∵点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3，∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3﹣1=2．故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．11．在同一直角坐标系中，函数与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】本题可先由反比例函数y=﹣图象得到字母a的正负，再与一次函数y=ax+1的图象相比较看是否一致即可解决问题．【解答】解：A、由函数的图象可知a＞0，由y=ax+1（a≠0）的图象可知a＜0故选项A错误．B、由函数的图象可知a＞0，由y=ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，且交于y轴于正半轴，故选项A正确．C、y=ax+1（a≠0）的图象应该交于y轴于正半轴，故选项C错误．D、由函数的图象可知a＜0，由y=ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，故选项D错误．故选B．【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．12．已知△ABC的面积是1，A1、B1、C1分别是△ABC三边上的中点，△A1B1C1的面积记为S1；A2、B2、C2分别是△A1B1C1三边上的中点，△A2B2C2的面积记为S2；以此类推，则△A4B4C4的面积S4是（）A．B．C．D．【考点】三角形中位线定理．【专题】规律型．【分析】由于A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A1B1C1∽△ABC，且相似比为，就可求出S=s△ABC=×1=，同样地方法得出S=，即可得出答案．【解答】解：∵A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，∴A1B1、A1C1、B1C1是△ABC的中位线，∴△A1B1C1∽△ABC，且相似比为，∴S△A1B1C1：S△ABC=1：4，且S△ABC=1，∴S△A1B1C1=，∵A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，∴△A1B1C1的∽△A2B2C2且相似比为，∴S△A2B2C2=，依此类推：S=，故选D．【点评】本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，能根据求出的数得出规律是解此题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分．）13．一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是六边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【解答】解：这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=720°，解得：n=6．则这个正多边形的边数是六，故答案为：六．14．已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的弧长为π（结果保留π）．【考点】弧长的计算．【分析】已知扇形的圆心角为60°，半径为2，代入弧长公式计算．【解答】解：依题意，n=60，r=2，∴扇形的弧长===π．故答案为π．15．把分母中的根号去掉，得到的最简结果是+1 （结果保留根号）．【考点】分母有理化．【分析】原式分子分母乘以有理化因式，化简即可得到结果．【解答】解：原式==+1，故答案为： +116．分式方程的解为x=2 ．【考点】解分式方程．【分析】观察可得最简公分母是（2x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘（2x﹣3），得1=2x﹣3，解得x=2．检验：把x=2代入（2x﹣3）=1≠0．∴原方程的解为：x=2．故答案为x=2．17．如图，已知AB切⊙O于点B，OA与⊙O交于点C，点P在⊙O上，若∠BPC=25°，则∠BAC的度数为40°．【考点】切线的性质．【分析】连接OB，得直角△ABO，再由圆周角∠BPC=25°，得同弧所对的圆心角∠BOC=50°，所以∠BAC为40°．【解答】解：连接OB，∵AB为⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∵∠BPC=25°，∴∠BOC=2∠BPC=50°，∴∠BAC=90°﹣50°=40°，故答案为：40°．18．某校八年级一班40名学生进行体能达标测试，根据测试结果绘制了如图所示的统计图，则从这40名学生中任取一人，其测试结果是“良好”等级的概率为0.45 ．【考点】概率公式．【分析】直接利用扇形统计图得出“合格”的所占比例，进而得出“良好”所占比例即可得出答案．【解答】解：由图形可得，“合格”的所占比例为：×100%=10%，则“良好”所占比例为：1﹣45%﹣10%=45%，故测试结果是“良好”等级的概率为：0.45．故答案为：0.45．三、解答题（本大题共8小题，共66分．）19．计算：|﹣3|+（﹣）﹣2﹣（+1）0﹣2tan60°．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】此题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值的运算，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：|﹣3|+（﹣）﹣2﹣（+1）0﹣2tan60°=3+4﹣1﹣2=6﹣220．先化简，再求值：（+），其中a，b满足+|b ﹣|=0．【考点】分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】先化简，再求出a，b的值代入求解即可．【解答】解：（+）=[﹣]•，=•，=，∵a，b满足+|b﹣|=0．∴a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，把a=﹣1，b=，代入原式==﹣．21．从某校参加科普知识竞赛的学生试卷中，抽取一个样本了解竞赛成绩的分布情况，将样本分成A、B、C、D、E五个组，绘制成如图所示的频数分布直方图，图中A、B、C、D、E各小组的长方形的高的比是l：4：6：3：2，且A组的频数是5，请结合直方图提供的信息，解答下列问题．（1）通过计算说明，样本数据中，中位数落在哪个组？并求该小组的频率；（2）估计该校在这次竞赛中，成绩高于80分的学生人数占参赛人数的百分比．【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；中位数．【分析】（1）根据E组的频数是10，以及各小组的长方形的高的比求出即可；利用样本容量以及长方形的高求出各组频数即可；（2）利用样本容量得出成绩高于70分的学生人数占参赛人数的百分率．【解答】解：（1）设样本容量为x，由题意得，解得：x=80，所以样本容量是80．B、C、D、E各组的频数分别为：B：，C：，D：，E：．由以上频数知：中位数落在C组；C组的频数为30，频率为0.375．（2）样本中成绩高于80分的人数为15+10=25（人），估计学校在这次竞赛中成绩高于80分的人数占参赛人数的百分比为=31.25%．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是线段AB、BC的中点，连接DE，将△DBE沿直线BC翻折得△FBE，连接FC、DC．（1）求证：四边形BFCD为菱形；（2）若AB=12，sinA=，求四边形ABFC的面积．【考点】菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形即可证明．（2）先证明S四边形ABFC =3S△ADC=S△ABC，然后求出△ABC的面积即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，BD=AD，∴CD=DB=DA，∵△BEF是由△BED翻折，∴BF=BD，BC是DF的垂直平分线，∴CF=CD，∴BF=FC=CD=DB，∴四边形BDCF是菱形．（2）解：在RT△ABC中，AB=12，sinA=，∴BC=AB•sinA=8，AC==4∵四边形BDCF是菱形，BD=AD，∴S△BCF =S△BCD=S△ACD，∴S四边形ABFC =3S△ADC=S△ABC=×××8=24．23．长沙市市政绿化工程中有一块面积为160m2的矩形空地，已知该矩形空地的长比宽多6m．（1）请算出该矩形空地的长与宽；（2）规划要求在矩形空地的中间留有两条互相垂直且宽度均为1m的人行甬道（其中两条人行甬道分别平行于矩形空地的长和宽），其余部分种上草．如果人行甬道的造价为260元/m2，种草区域的造价为220元/m2，那么这项工程的总造价为多少元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）直接利用已知假设出矩形的长与宽，进而得出方程求出答案；（2）首先表示出人行甬道和草区域的面积进而得出答案．【解答】解：（1）设该矩形空地的长为x m，则宽为（x﹣6）m，由题意可得：x（x﹣6）=160．化简得：x2﹣6x﹣160=0，解得x1=16，x2=﹣10（不合题意，舍去）当x=16时，x﹣6=16﹣6=10（m）．答：该矩形空地的长为16 m，宽为10 m；（2）由题意可得：（16﹣1）（10﹣1）=135（m2），160﹣135=25（m2），135×220+25×260=29700+6500=36200（元），答：这项工程的总造价为36200元．24．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上的一个动点（不与B 点重合）．（1）过动点D作射线DE交线段AB于点E，使∠BDE=∠A．设BD=x，AE=y，求y 与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）以点D为圆心，DC长为半径作⊙D，当⊙D与AB边相切时，求线段BD的长．【考点】切线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）证明△ABC∽△DBE，得，代入即可得出y与x的函数关系式，再由x＞0，y＞0列不等式组求出x的取值；（2）作辅助线，构建直角三角形，利用∠B的正弦列式，与勾股定理求出AM的长结合得：，求出x的值，就是BD．【解答】解：（1）如图1，在△ABC与△DBE中，∠B=∠B，∠BDE=∠A，∴△ABC∽△DBE，∴，∵BD=x，AE=y，∴，即，∴8x=50﹣5y，∴，∵，∴，∴0＜x＜；（2）如图2，设以D为圆心，CD长为半径的⊙D与AB相切于点F，连接DF，则DF⊥AB于点F，设CD=x，∴在Rt△BDF中，，又过点A作AM⊥BC于点M，∵AB=AC，AM⊥BC，∴，∴，在Rt△ABM中，，∴，∴5x=48﹣3x，∴，则BD=10．25．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称为“好点”．（1）求直线y=﹣x+2与两坐标轴围成的平面图形中（含边界），所有“好点”的坐标；（2）求证：函数y=（k为正整数）的图象上必定含有偶数个“好点”；（3）若二次函数y=kx2+（2k+1）x+2k﹣1的图象与x轴相交得到两个不同的“好点”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“好点”？【考点】二次函数综合题．【分析】（1）画出直线y=﹣x+2的图象，直接由图象得出“好点”的坐标；（2）根据反比例函数关于原点对称，直接得出结论；（3）由题意利用根与系数的关系得出得=求出x 1，x2，进而求出k，验证满足△=（2k+1）2﹣4k（2k﹣1）=﹣4k2+8k+1＞0，最后分两种情况讨论计算．【解答】解：（1）如图，由直线y=﹣2+2的图象得出它与两坐标轴围成的平面图形中（含边界），所有“好点”的坐标为（0，0），（1，0），（2，0），（0，1），（0，2），（1，1），（2）∵k为正整数，k=xy，∴k至少能够分解成一组两个正整数的乘积，∴在位于第一象限的图象上至少有一个“好点”，∵双曲线的图象关于原点对称，∴函数y=（k为正整数）的图象上必定含有偶数个“好点”，（3）∵二次函数y=kx2+（2k+1）x+2k﹣1的图象与x轴相交得到两个不同的“好点”，∴当k≠0时，关于x的二次方程kx2+（2k+1）x+2k﹣1=0有两个不等的整数根x 1，x2，∴△=（2k+1）2﹣4k（2k﹣1）=﹣4k2+8k+1＞0，①根据根与系数的关系得， =②消去k得，（x2﹣1）（x1﹣1）=5，∵x2，x1是整数，∴或或或，∴或或或，∴k=﹣或k=，而k=﹣或k=时，均满足△＞0，①当时，此时．由其图象可以得到：其图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有5个“好点”．②当时，此时．由其图象可以得到：其图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有9个“好点”．26．若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞1，a、b、c是常数）与x轴交于两个不同的点A（c，0），B（x，0），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点，且当0＜x＜c时，总有y＞0．（1）求常数b的取值范围；（2）当x1=c时，对于任意给定的常数a、b、c，若点Q（+c，y）在对应的二次函数的图象上，过点Q作QK⊥x轴于点K，试问△AQK与△BPO全等吗？证明你的结论；（3）当x＞0时，求证：ax（x+1）+bx（x+2）+c（x+1）（x+2）＞0．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据当0＜x＜c时，总有y＞0，建立不等式求出b的范围；（2）当x1=c时，对于任意给定的常数a、b、c，若点Q（+c，y）在对应的二次函数的图象上，直接确定出AK=BO，QK=PO，即可；（3）有条件直接得到0＜＜1，进而当自变量取时，必有函数值y＞0，化简即可．【解答】解：（1）由题意可得c、x是方程ax2+bx+c=0的两个根，所以，所以．因为当0＜x＜c时，总有y＞0，所以根据图象必有＞c＞0，所以0＜ac＜1．又因为ac2+bc+c=0（a＞0，c＞0），所以b=﹣ac﹣1．常数b的取值范围为﹣2＜b＜﹣1．（2）△AQK与△BPO全等．AK=BO，QK=PO，方法一：因为ac2+bc+c=0，b=﹣ac﹣1，所以．从而△AQK≌△BPO．方法二：根据对称性可得：点P与点Q关于此抛物线的对称轴对称，所以y=c．从而△AQK≌△BPO．（3）∵当0＜x＜1时，总有y＞0．显然0＜＜1，∴当自变量取时，必有函数值y＞0．即有0＜，所以0＜＜．故当x＞0时，ax（x+1）+bx（x+2）+c（x+1）（x+2）＞0．。

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．人教版初中数学教科书共六册，总字数是978000，用科学记数法可将978000表示为（）A．978×103B．97.8×104C．9.78×105D．0.978×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：978000用科学记数法表示为：9.78×105，故选：C．2．下列四个几何体中，主视图与俯视图不同的几何体是（）A．B．C．D．【分析】正方体的主视图与俯视图都是正方形，圆柱横着放置时，主视图与俯视图都是长方形，球体的主视图与俯视图都是圆形，只有圆锥的主视图与俯视图不同．【解答】解：圆锥的主视图与俯视图分别为圆形、三角形，故选：C．3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，也是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故选：A．4．下列事件为必然事件的是（）A．打开电视机，它正在播广告B．a取任一个实数，代数式a2+1的值都大于0C．明天太阳从西方升起D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、打开电视机，它正在播广告是随机事件；B、∵a2≥0，∴a2+1≥1，∴a取任一个实数，代数式a2+1的值都大于0是必然事件；C、明天太阳从西方升起是不可能事件；D、抛掷一枚硬币，一定正面朝上是随机事件；故选：B．5．反比例函数y＝﹣的图象在（）A．第二、四象限B．第一、三象限C．第一、二象限D．第三、四象限【分析】直接利用反比例函数图象分布象限规律进而分析得出答案．【解答】解：反比例函数y＝﹣的图形在：第二、四象限．故选：A．6．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．26【分析】由平行四边形的性质得出OA＝OC＝3，OB＝OD＝6，BC＝AD＝8，即可求出△OBC 的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝6，BC＝AD＝8，∴△OBC的周长＝OB+OC+AD＝3+6+8＝17．故选：B．7．对于二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x＝﹣1C．与x轴有两个交点D．顶点坐标是（1，2）【分析】从y＝2（x﹣1）2+2均可以直接确定函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等．【解答】解：y＝2（x﹣1）2+2，（1）函数的对称轴为x＝1；（2）a＝2＞0，故函数开口向上；（3）函数顶点坐标为（1，2），开口向上，故函数与x轴没有交点；故选：D．8．如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°【分析】根据平行线的性质可证∠D＝∠AOD＝50°，又根据三角形外角与内角的关系可证∠ACO＝∠OAC＝∠AOD＝25°．【解答】解：∵OA∥DE，∴∠D＝∠AOD＝50°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC＝∠AOD＝25°．故选：D．9．下列一元二次方程中，两个实数根之和为2的是（）A．2x2+x﹣2＝0 B．x2+2x﹣2＝0 C．2x2﹣x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0 【分析】利用根与系数的关系进行判断．【解答】解：方程2x2+x﹣2＝0的两个实数根之和为﹣；方程x2+2x﹣2＝0的两个实数根之和为﹣2；方程2x2﹣x﹣1＝0的两个实数根之和为；方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根之和为2．故选：D．10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，＝，DE＝6，则BC 的长为（）A．8 B．9 C．10 D．12【分析】根据相似三角形的性质可得＝，再根据＝，DE＝6，即可得出＝，进而得到BC长．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，又∵＝，DE＝6，∴＝，∴BC＝10，故选：C．二．填空题（共6小题）11．计算：＝﹣1 ．【分析】根据负整数指数幂和零指数幂的定义求解即可．【解答】解：原式＝1﹣2＝﹣1．故答案为﹣1．12．正八边形的每个外角的度数和是360°．【分析】利用正多边形的外角和等于360度即可得出答案．【解答】解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，所以正八边形的每个外角的度数和是360°．故答案为：360°．13．分解因式：a2b﹣b3＝b（a+b）（a﹣b）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝b（a2﹣b2）＝b（a+b）（a﹣b），故答案为：b（a+b）（a﹣b）14．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE＝100°．【分析】根据旋转角可得∠CAE＝40°，然后根据∠BAE＝∠BAC+∠CAE，代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，∴∠CAE＝40°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝60°+40°＝100°．故答案为：100°．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB＝8，则EF＝ 2 ．【分析】利用直角三角形斜边中线定理以及三角形的中位线定理即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AD＝BD＝4，∴CD＝AB＝4，∵AF＝DF，AE＝EC，∴EF＝CD＝2．故答案为216．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，已知关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的一个解为x1＝1，则该方程的另一个解为x2＝﹣3 ．【分析】函数的对称轴为：x＝﹣1，其中一个交点坐标为（1，0），由函数的对称轴即可求解另外一个交点坐标．【解答】解：函数的对称轴为：x＝﹣1，其中一个交点坐标为（1，0），则另外一个交点坐标为（﹣3，0），故答案为﹣3．三．解答题（共9小题）17．解方程：x2﹣4x﹣21＝0．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣4x﹣21＝0，（x﹣7）（x+3）＝0，x﹣7＝0，x+3＝0，x1＝7，x2＝﹣3．18．先化简，后求值：，其中x＝﹣1．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝•＝x﹣2，当x＝﹣1时，原式＝﹣1﹣2＝﹣3．19．如图，E、F分别为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD，AE＝CF．求证：BF＝DE．【分析】根据DE⊥AC，BF⊥AC可以证明∠DEC＝∠BFA＝90°，由“HL”可证Rt△ABF≌Rt△CDE可得BF＝DE．【解答】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°．∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE；20．如图，△ABC．（1）尺规作图：①作出底边的中线AD；②在AB上取点E，使BE＝BD；（2）在（1）的基础上，若AB＝AC，∠BAC＝120°，求∠ADE的度数．【分析】（1）①作线段BC的垂直平分线可得BC的中点D，连接AD即可．②以B为圆心，BD为半径画弧交AB于E，点E即为所求．（2）利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：（1）如图，线段AD，点E即为所求．（2）如图，连接DE．∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣30°）＝75°，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．21．甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．【分析】（1）由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平．【解答】解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：；（2）这个游戏不公平．画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，∴P（甲胜）＝，P（乙胜）＝．∴P（甲胜）≠P（乙胜），故这个游戏不公平．22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）若设该种品脚玩具上x元（0＜x＜60）元，销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式；（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．【分析】（1）利用销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，再结合每件玩具的利润乘以销量＝总利润进而求出即可；（2）利用每件玩具的利润乘以销量＝总利润得出函数关系式，进而求出最值即可．【解答】解：（1）根据题意得：w＝[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000；（2）w＝[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，∵a＝﹣10＜0，∴对称轴为x＝65，∴当x＝65时，W最大值＝12250（元）答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元，此时玩具的销售单价应定为65元．23．如图，直线y＝2x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（4，n），AB⊥x轴，垂足为B．（1）求k的值；（2）点C在AB上，若OC＝AC，求AC的长；（3）点D为x轴正半轴上一点，在（2）的条件下，若S△OCD＝S△ACD，求点D的坐标．【分析】（1）把点A坐标代入两个函数解析式即可解决问题．（2）设AC＝x，利用勾股定理列方程可得AC的长；（3）分类讨论D的位置，根据已知三角形的面积相等列等式可得结论．【解答】解（1）∵直线y＝2x与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象交于点A（4，n），∴n＝2×4＝8，∴A（4，8），∴k＝4×8＝32；（2）设AC＝x，则OC＝x，BC＝8﹣x，由勾股定理得：OC2＝OB2+BC2，∴x2＝42+（8﹣x）2，x＝5，∴AC＝5；（3）设点D的坐标为（x，0）分两种情况：①当x＞4时，如图1，∵S△OCD＝S△ACD，∴OD•BC＝AC•BD，3x＝5（x﹣4），x＝10，②当0＜x＜4时，如图2，同理得：3x＝5（4﹣x），x＝，∴点D的坐标为（10，0）或（，0）．24．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线；（3）若AB＝12，AD＝6，连接OD，求扇形BOD的面积．【分析】（1）连接AD，根据中垂线定理不难求得AB＝AC；（2）要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE＝90°即可；（3）根据三角函数的定义得到sin B＝＝＝，求得∠B＝60°，得到∠BOD＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】证明：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴DC＝BD；（2）连接半径OD，∵OA＝OB，CD＝BD，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线；（3）∵AB＝12，AD＝6，∴sin B＝＝＝，∴∠B＝60°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形BOD＝＝6π．25．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）连接EF，若运动时间t＝秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；（2）连接EP，当△EPC的面积为3cm2时，求t的值；（3）在运动过程中，当t取何值时，△EPQ与△ADC相似．【分析】（1）通过计算发现EQ＝FQ＝6，由此即可证明；（2）利用三角形的面积建立方程即可得出结论；（3）先判断出EQ＝CQ，进而得出CE＝2CQ，建立方程即可得出结论．【解答】（1）证明：若运动时间t＝秒，则BE＝2×＝（cm），DF＝（cm），∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝8（cm），AB＝DC＝6（cm），∠D＝∠BCD＝90°∵∠D＝∠FQC＝∠QCD＝90°，∴四边形CDFQ也是矩形，∴CQ＝DF，CD＝QF＝6（cm），∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝8﹣﹣＝6（cm），∴EQ＝QF＝6（cm），又∵FQ⊥BC，∴△EQF是等腰直角三角形；（2）解：由（1）知，CE＝8﹣2t，CQ＝t，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，在Rt△CPQ中，tan∠ACB＝＝＝，∴PQ＝t，∵△EPC的面积为3cm2，∴S△EPC＝CE×PQ＝×（8﹣2t）×t＝3，∴t＝2秒，即：t的值为2秒；（3）解：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，∵△EQP∽△ADC，∴∠CAD＝∠QEP，∴∠ACB＝∠QEP，∴EQ＝CQ，∴CE＝2CQ，由（1）知，CQ＝t，CE＝8﹣2t，∴8﹣2t＝2t，∴t＝2秒．即：t的值为2秒．。

2018-2019湖南长沙长郡集团期中考试九年级 数学试卷总分：120 分时量：120 分钟.一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分. 在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2018的倒数是（）A. 2018B. - 2018 1C.2018D. -1 2018 2. 若(2x -1)0= 1，则（）11 11 A. x ≥ -2B. x ≠ - 2C. x ≤ -2D. x ≠23. 用代数式表示“ a 的3倍与b 的平方的差”，正确的是（ ）A. (3a - b )2B. 3(a - b )2C. (a - 3b )2D. 3a - b24. 如图，已知 AB // CD ， ∠A = 80︒，则∠1的度数是（）A. 100︒ C. 80︒B. 110︒ D. 120︒5. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A. 三条中线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三条高的交点6. 若关于 x 的一元二次方程 m 2 x 2- (2m -1)x +1 = 0有两个实数根，则 m 的取值范围是（）A.m <1 4B.m ≤1 4C.m ≥1 4D. m ≤ 1且 m ≠ 047. 现给出四个命题：①等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②相似三角形的面积比等于它们的相似比；③菱形的面积等于两条对角线的积；④三角形的三个内角中至少有一内角不小于60︒. 其中不正确的命题的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4 个3 18. 一个不透明布袋里装有1个白球、 2个黑球、3个红球，它们除颜色外均相同，从中任意摸出一个球， 则是红球的概率为（ ） 1 1 A. B.631 2 C.D.239.二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图象如图所示，则一次函数 y = bx + b 2- 4ac 与反比例函数 y =a +b + cx在同一坐标系内的图象大致为（）A B CD10. 圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（）A. 36B. 48C. 72D. 14411. 如图，点 P (3a , a )是反比例函数 y = k (k > 0)与ΘO 的一个交点，图中阴影部分的面积为10，则反x比例函数的解析式为（ ）12. 如图，正∆ABC 的边长为 2，过点 B 的直线l ⊥ AB ，且∆ABC 与∆A 'BC '关于直线l 对称， D 为线段BC '上一动点，则 AD + CD 的最小值是（）A. 4B. 3C. 2D. 2 +二、填空题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分. 不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）13. 函数 y = ，当 x = 2时没有意义，则 a = ； x - 2a14. 因式分解： m 2- mn + mx - nx =；15. 已知有理数 m ， n 满足⎛m + ⎝n ⎫2⎪ ⎭ + n 2 - 4 = 0，则 m 3n 3的值为；23416.如图，在∆ABC中，∠C = 90︒，∠B = 24︒，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP，射线AP交BC 于点D，则∠ADB =；17.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的度数分别为86︒、30︒，则∠ACB的大小为；18.在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45︒，再作出旋转后的点关于原点的对称点，这称为一次变换，已知点A的坐标为(-1,0)，则点A经过连续2018次这样的变换得到的点A2018的坐标是.三、解答题（本大题共8 小题，第19、20 题每题6 分，第21、22 题每题8 分，第23、24 题每题9 分，第25、26 题每题10 分）⎧2x - 6 ≤ 3x - 5，并把解集表示在数轴上.19.（6 分）解不等式组⎨⎩6x - 3 < 6 - 3x20. （6 分）已知x = 2017，y = 2018，求代数式21.（8 分）湖南省博物馆自2017年11月29日重新开放以来，收到市民的广泛关注，十月初，八年级（1）班学生小颖对全班同学这十个多月来去省博物馆的次数做了调查统计，并制成了如图不完整的统计图表.八年级（1）班学生去省博物馆的次数统计表请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）填空： a =，b =；（2）求扇形统计图中“ 0次”的扇形所占圆心角的度数；（3）从全班去过省博物馆的同学中随机抽取1人，谈谈对博物馆的印象和感受，求恰好抽中去过“ 4次及以上”的同学的概率.22.（8 分）如图，平行四边形 ABCD 中， BD ⊥ AD ， ∠A = 45︒， E 、 F 分别是 AB 、CD 上的点， 且 BE = DF ，连接 EF 交 BD 于O . （1）求证： BO = DO ；（2） 若 EF ⊥ AB ，延长 EF 交 AD 的延长线于G ，当 FG = 1时，求 AE 的长.去省博物馆的次数0 次1 次2 次3 次4 次 及以上 人数812a10423.（9 分）如图 1，已知在⊙O 中，点C 为劣弧 AB 上的中点，连接 AC 并延长至 D ，使CD C A ，连接 DB 并延长交⊙O 于点 E ，连接 AE . （1）求证： AE 是⊙O 的直径；（2）如图 2，连接 EC ， ⊙O 的半径为5， AC 的长为4，求阴影部分的面积之和.图 1图 224.（9 分）随着生活水平的提高，人们越来越注重营养健康，有一种有机水果 A 在市场上特别受欢迎，某大型超市以10元/千克的价格在产地收购了6000千克 A 水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题：①水果 A 的市场价每天每千克上涨0.1元； ②平均每天有10千克的该水果损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为300元； ④该水果最多保存110天；（1）若将这批 A 水果存放 x 天后一次性出售，则 x 天后这批水果的销售单价为 元； （2）将这批 A 水果存放多少天后一次性出售所得利润为9600元？（3） 将这批 A 水果存放多少天后一次性出售可获得最大利润？最大利润是多少？1 25.（10 分）已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P(t, t )，则称点P为函数图象上的“郡点”，例如：y = 2x -1上存在“郡点” P(1,1).（1）直线（填写直线解析式）上的每一个点都是“郡点”，双曲线y = 上的“郡点”x是；重合）的坐标为A(x , y )、B(x , y )，求x2 +x2的最小值.1 12 2 1 2（3）若函数y =1x2 +(n -k +1)x +m +k -1的图象上存在唯一的一个“郡点”，且当- 2 ≤n ≤1时，4m的最小值为k，求k的值.26.（10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线y =-x + 3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y =-x2 +bx +c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A.（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设P(x, y)是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l ⊥x轴于点M，交直线BC于点N.①若点P在第一象限内，试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值，若不存在，请说明理由；②求以BC为底边的等腰∆BPC的面积.。

2018-2019学年初三中考第一次模测试数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列说法正确的是（）A．立方根是它本身的数只能是0和1B．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根C．16的平方根是4D．﹣2是4的一个平方根2．下列因式分解正确的是（）A．6x+9y+3＝3（2x+3y）B．x2+2x+1＝（x+1）2C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y）2D．x2+4＝（x+2）23．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD的值为（）A．20°B．30°C．40°D．70°4．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为（）A．1B．C．D．5．长江三峡工程电站的总装机容量用科学记数法表示为1.82×107千瓦，把它写成原数是（）A．182000千瓦B．182000000千瓦C．18200000千瓦D．1820000千瓦6．在平面直角坐标系中，已知A（，1），O（0，0），C（，0）三点，AE平分∠OAC，交OC于E，则直线AE对应的函数表达式是（）A．y＝x﹣B．y＝x﹣2C．y＝x﹣1D．y＝x﹣27．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°8．某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成任务，而且还多生产60件，设原计划每小时生产x个零件，则所列方程为（）A．13x＝12（x+10）+60B．12（x+10）＝13x+60C．D．9．若数据x1，x2，…，x n的众数为a，方差为b，则数据x1+2，x2+2，…，x n+2的众数，方差分别是（）A．a，b B．a，b+2C．a+2，b D．a+2，b+210．若正方形的边长为6，则其外接圆的半径为（）A．3B．3C．6D．6二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．﹣3的绝对值的倒数的相反数是．12．设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则a2+3a+b＝．13．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA＝．14．如图，▱OABC中顶点A在x轴负半轴上，B、C在第二象限，对角线交于点D，若C、D两点在反比例函数的图象上，且▱OABC的面积等于12，则k的值是．15．某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如图扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为度．16．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为，当x时，kx+b＜0．17．如果点（m，﹣2m）在双曲线上，那么双曲线在象限．18．如图，已知在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2014个内接正方形的边长为．三．解答题（共8小题）19．（1）计算：（）﹣1+2（π﹣3.14）0﹣2sin60°﹣+|1﹣3|；（2）解方程：＝1﹣．20．如图，AB＝AC＝AD．（1）如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论；（2）如果∠C＝2∠D，那么你能得到什么结论？证明你的结论．21．先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（20xy3﹣8x2y2）÷4xy，其中x＝2018，y＝2019．22．某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：（1）该超市“元旦”期间共销售个绿色鸡蛋，A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是度；（2）补全条形统计图；（3）如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个，请你估计这个分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋的个数？23．潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批凤凰茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用68000元购进第二批凤凰茶叶，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克凤凰茶叶进价多了10元．（1）该凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？（2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每千克售价至少是多少元？24．如图△ABC中∠A＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O 的切线．25．已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F．求证：四边形AECF是平行四边形．26．已知AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，垂足为点N，弦CD交AM于点E，连按AB和BE．（1）如图1，若CD⊥AB，垂足为点F，求证：∠BED＝2∠BAM；（2）如图2，在（1）的条件下，连接BD，若∠ABE＝∠BDC，求证：AE＝2CN；（3）如图3，AB＝CD，BE：CD＝4：7，AE＝11，求EM的长．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）DBCBC BCBCB11．﹣．12．5．13．36°．14．﹣4解：如图所示：∵▱OABC 的面积等于12，∴△AOC 的面积为6，∵点D 是线段AC 的中点，CE ∥DF ，∴DF 是△ACE 的中位线，∴CE ＝2DF ，AF ＝EF ，又∵S △OCE ＝S △ODF ＝， ∴OF ＝2OE ，S △ADF ＝，S △ACE ＝|k |，∴S △ACE +S △OCE ＝S △AOC ＝6，即＝6， 又∵k ＜0（反比例函数在第二象限），∴k ＝﹣4．15．90．16．x ＝﹣3，x ＜﹣3．17．第二、四．18．．解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝，∴∠B ＝∠C ＝45°，BC ＝， ∵在△ABC 内作第一个内接正方形DEFG ；∴EF ＝EC ＝DG ＝BD ，∴DE ＝BC∴DE＝2，∵取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，∴，∴EI＝KI＝HI，∵DH＝EI，∴HI＝DE＝，则第n个内接正方形的边长为：2×，∴则第2014个内接正方形的边长为2×＝2×＝．19．解：（1）原式＝2016+2﹣﹣2+3﹣1＝2017；（2）去分母得：3＝2x+2﹣2，解得：x＝1.5，经检验x＝1.5是分式方程的解．20．解：（1）∠C＝2∠D，证明：∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC，又∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，∴∠ABC＝2∠D，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2∠D；（2）AD∥BC，（6分）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠D，又∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠D，∴∠DBC＝∠D，∴AD∥BC．21．解：原式＝x2﹣4y2+5y2﹣2xy＝x2﹣2xy+y2，＝（x﹣y）2，当x＝2018，y＝2019时，原式＝（2018﹣2019）2＝（﹣1）2＝1．22．解：（1）共销售绿色鸡蛋：1200÷50%＝2400个，A品牌所占的圆心角：×360°＝60°；（2）B品牌鸡蛋的数量为：2400﹣400﹣1200＝800个，补全统计图如图；（3）分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋为：×1500＝500个．23．解：（1）设凤凰茶叶公司公司第一次购x千克茶叶，则第二次购进2x千克茶叶，根据题意得：﹣＝10，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意，∴2x+x＝2×200+200＝600．答：凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶600千克．（2）设每千克茶叶售价y元，根据题意得：600y﹣32000﹣68000≥（32000+68000）×20%，解得：y≥200．答：每千克茶叶的售价至少是200元．24．证明：连接AD、DO；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵E是AC的中点，∴DE＝AE（直角三角形中斜边中线等于斜边一半），∴∠EAD＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝∠EAD+∠DAO＝∠CAB＝90°．∴OD⊥DE．DE是⊙O的切线．25．证明：∵平行四边形ABCD中AB∥CD，∴∠OAE＝∠OCF，又∵OA＝OC，∠COF＝∠AOE，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．26．解：（1）∵BC⊥AM，CD⊥AB，∴∠ENC＝∠EFA＝90°．∵∠AEF＝∠CEN，∴∠BAM＝∠BCD．∵AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，∴BN＝CN，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠BCD，∴∠BED＝2∠BCD＝2∠BAM；（2）连接AC，如图2，∵AM是⊙O直径，弦BC⊥AM，∴＝，∴∠BAM＝∠CAM，∴∠BDC＝∠BAC＝2∠BAM＝∠BED，∴BD＝BE．在△ABE和△CDB中，，∴△ABE≌△CDB，∴AE＝CB．∵BN＝CN，∴AE＝CB＝2CN；（3）过点O作OP⊥AB于P，作OH⊥BE于H，作OQ⊥CD于Q，连接OC，如图3，则有AP＝BP＝AB，CQ＝DQ＝CD．∵AB＝CD，∴AP＝CQ，∴OP＝＝＝OQ．∵AM垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠BEA＝∠CEA．∵OH⊥BE，OQ⊥CD，∴OH＝OQ，∴OP＝OQ＝OH，∴＝＝＝＝．又∵＝，∴＝．设AO＝7k，则EO＝4k，∴AE＝AO+EO＝11k＝11，∴k＝1，∴AO＝7，EO＝4，∴AM＝2AO＝14，∴EM＝AM﹣AE＝14﹣11＝3．。

数学试题 第1页（共6页） 数学试题 第2页（共6页）………………内…………………………外………… 学校：__绝密★启用前|学科网试题命制中心2018届九年级第一次模拟大联考【湖南卷】数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

5．考试范围：中考全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．|-2018|等于 A ．-2018 B ．2018 C ．±2018D ．-120182．下列计算正确的是 AB ．x 2+y 2=（x +y ）2C ．a 3•a 2=a 5D ．a 3•a 2=a 63．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是A ．B ．C ．D ．4．2017年11月14日上午，中央文明委发布第五届全国文明城市名单，湖州市、长兴县榜上有名，短短半年时间，城中村完成拆迁改造382.4万平方米，建设项目遗留问题清零全面完成，用科学计数法表示382.4万平方米应表示为 A ．382.4×104B ．0.3824×107C ．3.824×106D ．3.824×1055．如图，已知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C =A ．30°B ．20°C ．130°D ．90°6．一元一次不等式组101102x x -≤⎧⎪⎨+>⎪⎩的解集在数轴上表示出来，正确的A ．B ．C ．D ．7．某校初三5名学生中考体育测试成绩如下（单位：分）：12、13、14、15、14，这组数据的众数和平均数分别为A ．13，14B ．14，13.5C ．14，13D ．14，13.68．下列事件中，必然事件是A ．6月14日晚上能看到月亮B ．早晨的太阳从东方升起C ．打开初三数学书本，正好翻到第21页D ．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上9．如图，在长方形ABCD 中，点E 在AB 边上，将长方形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处．若AE =5，BF =3，则CF 的长为A ．9B ．10。

2018年长沙市中考长郡集团数学模拟试卷(一)数学时量：120分钟满分：120分一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）1．﹣3的相反数是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣2．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（）A．3.386×108B．0.3386×109C．33.86×107D．3.386×1093．若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣4|+=0，则c的值可以为（）A．5 B．6 C．7 D．84．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．35．下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5B．2a（a+1）=2a2+2aC．（ab3）2=a2b5D．（y﹣2x）（y+2x）=y2﹣2x26．某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，5，x，6，7，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．4，5 B．4，4 C．5，4 D．5，57．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．68．下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是（）A．B．C．D．9．如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．10．下列命题是假命题的是（）A．经过两点有且只有一条直线B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半C．平行四边形的对角线相等D．圆的切线垂直于经过切点的半径11．如图，CD是⊙O的直径，已知∠1=30°，则∠2=（）A．30°B．45°C．60°D．70°12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y 轴于C．则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上；④若a=1，则OA•OB=OC2．以上说法正确的有（）A．①②③④B．②③④ C．①②④D．①②③第4题图第11题图第17题图第18题图二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分）13．分解因式：a3﹣4a=___ ___．14．的平方根是___ ___．15．圆外一点与圆上各点的距离中，最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为_______ cm．16．一个扇形的半径为8cm，弧长为πcm，则扇形的圆心角为___ ___．17．如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了___ ___米．18．如图，点A、B是双曲线y=上的点，分别过点A、B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为__ ____．三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）19．计算：．20．先化简，再求值：，其中a是方程2x2+x﹣3=0的解．21．某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．22．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．（1）求证：∠HEA=∠CGF；（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形．23．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A在x正半轴，以点A为圆心作⊙A，点M（4，4）在⊙A上，直线y=﹣x+b与圆相切于点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．（1）直接写出b的值和点B的坐标；（2）求点A的坐标和圆的半径；（3）若EF切⊙A于点F分别交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求的值．25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为（1，0），OB=OC ，抛物线的顶点为D ．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB=∠ACB ，求点P 的坐标；（3）在（1）的条件下，对于实数c 、d ，我们可用min{ c ，d }表示c 、d 两数中较小的数，如min{3，1-}=1-.若关于x 的函数y = min{c a ax ax ++-442，1)(2--t x m )0(>m }的图象关于直线3x =对称，试讨论其与动直线n x y +=21交点的个数。

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）第一次限时检测数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）．1．（3分）直线y=x﹣2与y轴的交点坐标是（）A．（2，0） B．（﹣2，0）C．（0，2） D．（0，﹣2）2．（3分）下列各点在函数y=﹣图象上的是（）A．（﹣2，﹣3）B．（3，2） C．（﹣1，6）D．（﹣6，﹣1）3．（3分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB=5，截面圆圆心O到水面的距离OC是3，则水面宽AB是（）A．8 B．5 C．4 D．34．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．=B．=C．=D．=5．（3分）下列两个图形一定相似的是（）A．任意两个等边三角形B．任意两个直角三角形C．任意两个等腰三角形D．两个等腰梯形6．（3分）一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=（k≠0）在同一个坐标系中的图象可能是（）A．B． C．D．7．（3分）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定8．（3分）历史上，雅各布．伯努利等人通过大量投掷硬币的实验，验证了“正面向上的频率在0.5左右摆动，那么投掷一枚硬币10次，下列说法正确的是（）A．“正面向上”必会出现5次B．“反面向上”必会出现5次C．“正面向上”可能不出现D．“正面向上”与“反面向上”出现的次数必定一样，但不一定是5次9．（3分）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y310．（3分）“服务他人，提升自我”，某学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男2女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（）A．B．C．D．11．（3分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B． C． D．12．（3分）如图，点A1、A2依次在y=（x＞0）的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为（）A．（2，0）B．（2，0）C．（3+2，0）D．（3，0）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）有5张大小、背面都相同的卡片，正面上的数字分别是﹣2，﹣1，0，1，2，若将这5张卡片的背面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为非负数的概率是．14．（3分）一个扇形的圆心角为100°，面积为15π cm2，则此扇形的半径长为．15．（3分）如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A，点A的纵坐标为3，k 的值为．16．（3分）有四张扑克牌，分别为红桃3，红桃4，红桃5，黑桃6，背面朝上洗匀后放在桌面上，从中任取一张后记下数字和颜色，再背面朝上洗匀，然后再从中随机取一张，两次都为红桃，并且数字之和不小于8的概率为．17．（3分）如图所示，△ABC中，D为△ABC的边AC上一点，若∠ABD=∠ACB，AD=3，DC=1，则AB=．18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在y轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y=的图象过点B、E．则AB的长为．三、解答题（共66分）19．（6分）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（﹣2，6）（1）求这个反比例函数的关系式；（2）判断点B（3，﹣4）是否在这个反比例函数的图象上？20．（8分）某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为；（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．21．（8分）如图，已知反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象相交于A（4，1）、B（a，2）两点，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为E、C．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若点D的坐标为（1，0），求△ABD的面积．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．23．（8分）△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于BC的中点处．①如图甲，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；②如图乙，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N．求证：△ECN∽△MEN．24．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠BCP=∠BAN（2）求证：=．25．（10分）月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．26．（10分）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x 轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b 与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）第一次限时检测数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）．1．（3分）直线y=x﹣2与y轴的交点坐标是（）A．（2，0） B．（﹣2，0）C．（0，2） D．（0，﹣2）【分析】函数与y轴的交点的横坐标为0，代入求值即可．【解答】解：当x=0时，y=﹣2，则与y轴的交点坐标为（0，﹣2）．故选D．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要知道，y轴上的点的横坐标为0．2．（3分）下列各点在函数y=﹣图象上的是（）A．（﹣2，﹣3）B．（3，2） C．（﹣1，6）D．（﹣6，﹣1）【分析】根据函数y=﹣，得到xy=﹣6，只要将选项中的点的坐标代入上式验证即可．【解答】解：∵函数y=﹣中，k=6，∴只需把各选项的横纵坐标相乘，结果为6的即在函数图象上．四个选项中只有C：﹣1×6=﹣6．故选C．【点评】此题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断是解此题的关键．3．（3分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB=5，截面圆圆心O到水面的距离OC是3，则水面宽AB是（）A．8 B．5 C．4 D．3【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由垂径定理得出AB=2BC，进而可得出结论．【解答】解：∵OB=5，OC=3，∴BC===4，∵OC⊥AB，∴AB=2BC=2×4=8．故选A．【点评】本题考查的是垂径定理在实际生活中的应用，有利于培养学生理论联系实际的能力．4．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．=B．=C．=D．=【分析】根据平行线分线段成比例确定出对应线段，进行判断即可．【解答】解：由平行线分线段成比例可知是被平行线所截的线段才有可能是对应线段，∴CD、EF不是对应线段，故C、D不正确；∵BC和AD对应，CE和DF对应，∴=，故A正确；故选A．【点评】本题主要考查平行线段成比例定理，确定出对应线段是解题的关键．5．（3分）下列两个图形一定相似的是（）A．任意两个等边三角形B．任意两个直角三角形C．任意两个等腰三角形D．两个等腰梯形【分析】根据图形相似的判定判断，如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似，依次判定从而得出答案．【解答】解：A、任意两个等边三角形一定相似，故本选项正确，B、任意两个直角三角形不一定相似，故本选项错误，C、任意两个等腰三角形不一定相似，故本选项错误，D、两个等腰梯形不一定相似，故本选项错误，故选A．【点评】本题考查了相似图形的判定，严格根据定义，可以得出答案，难度适中．6．（3分）一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=（k≠0）在同一个坐标系中的图象可能是（）A．B． C．D．【分析】分k＞0及k＜0两种情况考虑，根据一次函数图象与系数的关系、反比例函数的图象对照四个选项即可得出结论．【解答】解：当k＞0时，一次函数y=kx﹣k的图象过一、三、四象限，反比例函数y=的图象在一、三象限，∴A、C不符合题意，B符合题意；当k＜0时，一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限，反比例函数y=的图象在二、四象限，∴D不符合题意．故选B．【点评】本题考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，分k＞0及k＜0两种情况考虑是解题的关键．7．（3分）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，5＜6，∴直线l与⊙O相离．故选C．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＞r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．8．（3分）历史上，雅各布．伯努利等人通过大量投掷硬币的实验，验证了“正面向上的频率在0.5左右摆动，那么投掷一枚硬币10次，下列说法正确的是（）A．“正面向上”必会出现5次B．“反面向上”必会出现5次C．“正面向上”可能不出现D．“正面向上”与“反面向上”出现的次数必定一样，但不一定是5次【分析】利用频率估计概率时，只有做大量试验，才能用频率会计概率，但少数实验不能确定一定会出现和概率相符的结果．【解答】解：A、“正面向上”不一定会出现5次，故本选项错误；B、“反面向上”不一定会出现5次，故本选项错误；C、“正面向上”可能不出现，只是几率不太大，故本选项正确；D、“正面向上”与“反面向上”出现的次数可能不一样，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，概率=所求情况数与总情况数之比，难度一般，要注意理解定义．9．（3分）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3【分析】直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案．【解答】解：∵点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，每个图象上y随x的增大减小，∴y3一定最大，y1＞y2，∴y2＜y1＜y3．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数增减性是解题关键．10．（3分）“服务他人，提升自我”，某学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男2女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（）A．B．C．D．【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：根据题意画出树状图如下：一共有20种情况，恰好是一男一女的有12种情况，所以，P（恰好是一男一女）==．故选：D．【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11．（3分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B． C． D．【分析】利用△ABC中，∠ACB=135°，AC=2，BC=，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=135°，AC=2，BC=，在A、C、D选项中的三角形都没有135°，而在B选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和，因为=，所以B选项中的三角形与△ABC相似．故选B．【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．12．（3分）如图，点A1、A2依次在y=（x＞0）的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为（）A．（2，0）B．（2，0）C．（3+2，0）D．（3，0）【分析】由于△A1OB1等边三角形，作A1C⊥OB1，垂足为C，由等边三角形的性质求出A1C=OC，设A1的坐标为（m，m），根据点A1是反比例函数y=（x＞0）的图象上的一点，求出BO的长度；作A2D⊥B1B2，垂足为D．设B1D=a，由于，△A2B1B2为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点A2的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出B2点的坐标．【解答】解：作A1C⊥OB1，垂足为C，∵△A1OB1为等边三角形，∴∠A1OB1=60°，∴tan60°==，∴A1C=OC，设A1的坐标为（m，m），∵点A1在y=（x＞0）的图象上，∴m•m=3，解得m=，∴OC=，∴OB1=2，作A2D⊥B1B2，垂足为D．设B1D=a，则OD=2+a，A2D=a，∴A2（2+a，a）．∵A2（2+a，a）在反比例函数的图象上，∴（2+a）•a=3，化简得a2+2a﹣3=0解得：a=﹣±．∵a＞0，∴a=﹣+．∴B1B2=﹣2+2，∴OB2=OB1+B1B2=2﹣2+2=2，所以点B2的坐标为（2，0）．故选B．【点评】此题综合考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）有5张大小、背面都相同的卡片，正面上的数字分别是﹣2，﹣1，0，1，2，若将这5张卡片的背面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为非负数的概率是．【分析】先求出卡片正面上的数字为非负数的有几种情况，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵卡片正面上的数字为非负数的有0，1，2，共三种情况，∴从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为非负数的概率是；故答案为：．【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（3分）一个扇形的圆心角为100°，面积为15π cm2，则此扇形的半径长为3cm．【分析】根据扇形的面积公式S=即可求得半径．【解答】解：设该扇形的半径为R，则=15π，解得R=3．即该扇形的半径为3cm．故答案是：3cm．【点评】本题考查了扇形面积的计算．正确理解公式是关键．15．（3分）如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A，点A的纵坐标为3，k 的值为3．【分析】由于点A位于两函数图象的交点上，故将y=3代入函数y=x+2，即可求出A的横坐标，从而得到A的坐标，将A的坐标代入y=即可求出k的值．【解答】解：设A的坐标为（x，3）；将（x，3）代入y=x+2得：3=x+2，x=1，故A点坐标为（1，3）．将A（1，3）代入y=得：k=3，故答案为3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，要充分利用两函数有公共点的特点，根据一次函数的解析式式求出点的坐标，再利用坐标求出反比例函数的比例系数是解此类题目的一般规律．16．（3分）有四张扑克牌，分别为红桃3，红桃4，红桃5，黑桃6，背面朝上洗匀后放在桌面上，从中任取一张后记下数字和颜色，再背面朝上洗匀，然后再从中随机取一张，两次都为红桃，并且数字之和不小于8的概率为．【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都为红桃，并且数字之和不小于8的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次都为红桃，并且数字之和不小于8的结果数为4，所以两次都为红桃，并且数字之和不小于8的概率==．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．17．（3分）如图所示，△ABC中，D为△ABC的边AC上一点，若∠ABD=∠ACB，AD=3，DC=1，则AB=2．【分析】只要证明△ABD∽△ACB，可得=，即可解决问题；【解答】解：∵∠A=∠A，∠ABD=∠ACB，∴△ABD∽△ACB，∴=，∴=，∴AB2=12，∴AB=2，故答案为2【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在y轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y=的图象过点B、E．则AB的长为﹣1．【分析】设OD=a，AD=b，则点E（a，a），点B（a+b，b），由反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a、b的二元二次方程组，解之取a、b均为正值的解即可．【解答】解：设OD=a，AD=b，则点E（a，a），点B（a+b，b），∵反比例函数y=的图象过点B、E，∴，解得：，（舍去），（舍去），（舍去）．∴AB=AD=b=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及解二元二次方程组，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出关于a、b的二元二次方程组是解题的关键．三、解答题（共66分）19．（6分）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（﹣2，6）（1）求这个反比例函数的关系式；（2）判断点B（3，﹣4）是否在这个反比例函数的图象上？【分析】（1）首先设这个反比例函数的解析式为（k≠0），再把点A（﹣2，6）的坐标代入函数关系式，即可算出k的值，进而可得函数关系式；（2）只要把点B（3，﹣4）代入（1）中算求的函数关系式，满足关系式，就是函数图象上的点，反之则不在．【解答】解：（1）设这个反比例函数的解析式为（k≠0），依题意得：6=，∴k=﹣12，这个反比例函数解析式为；（2）由（1）求得：，当x=3时，y=﹣4，∴B（3，﹣4）在这个函数的图象上．【点评】此题主要考查了利用待定系数法求反比例函数解析式，判断点是否在函数图象上，题目比较简单．20．（8分）某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为；（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．【分析】（1）由5个项目中田赛项目有2个，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：；故答案为：；（2）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况，∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：=．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（8分）如图，已知反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象相交于A（4，1）、B（a，2）两点，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为E、C．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若点D的坐标为（1，0），求△ABD的面积．【分析】（1）把点A、B的坐标代入反比例函数解析式，求得m、a的值；然后把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式来求k、b的值；（2）求出直线BD的解析式为：y=2x﹣2，证得AB⊥BD，根据两点间的距离公式得到BD==，AB==，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y=上，∴m=xy=4×1=4，∴y=．把B（a，2）代入y=，得2=，∴a=2，∴B（2，2）．∵把A（4，1），B（2，2）代入y=kx+b∴解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x+3；（2）过A作AE⊥x轴于E，设直线BD的解析式为y=mx+n，∴，∴，∴直线BD的解析式为：y=2x﹣2，∵直线AB的解析式为：y=﹣x+3；∴AB⊥BD，∴∠ABD=90°，∵BD==，AB==，==．∴S△ABD【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，两点间的距离公式，三角形的面积，正确的识图是解题的关键．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，【分析】由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长．【解答】解：（1）证明：连接OC．∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠ACO=∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，∴OD==5，∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．【点评】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠OCD=90°；（2）根据勾股定理求出OD的长度．23．（8分）△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于BC的中点处．①如图甲，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；②如图乙，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N．求证：△ECN∽△MEN．【分析】（1）由△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，易得∠2=∠4，又由∠B=∠C=45°，即可证得△BEM∽△CNE；（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，可得，又由BE=EC，即可得，然后由∠ECN=∠MEN=45°，证得△ECN∽△MEN．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴∠1+∠2=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠3=45°∴∠1+∠4=135°∴∠2=∠4，∵∠B=∠C=45°，∴△BEM∽△CNE；（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴，又∵BE=EC，∴，∴，又∵∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠BCP=∠BAN（2）求证：=．【分析】（1）由AC为⊙O直径，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到结论．（2）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC=∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AC为⊙O直径，∴∠ANC=90°，∴∠NAC+∠ACN=90°，∵AB=AC，∴∠BAN=∠CAN，∵PC是⊙O的切线，∴∠ACP=90°，∴∠ACN+∠PCB=90°，∴∠BCP=∠CAN，∴∠BCP=∠BAN；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，∴∠PBC=∠AMN，由（1）知∠BCP=∠BAN，∴△BPC∽△MNA，∴．【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理．25．（10分）月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．【分析】（1）依据待定系数法，即可求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；（2）分两种情况进行讨论，当x=8时，s max=﹣80；当x=16时，s max=﹣16；根据﹣16＞﹣80，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．（3）根据第二年的年利润s=（x﹣4）（﹣x+28）﹣16=﹣x2+32x﹣128，令s=103，可得方程103=﹣x2+32x﹣128，解得x1=11，x2=21，然后在平面直角坐标系中，画出s与x的函数图象，根据图象即可得出销售价格x（元/件）的取值范围．【解答】解：（1）当4≤x≤8时，设y=，将A（4，40）代入得k=4×40=160，∴y与x之间的函数关系式为y=；当8＜x≤28时，设y=k'x+b，将B（8，20），C（28，0）代入得，，解得，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+28，综上所述，y=；（2）当4≤x≤8时，s=（x﹣4）y﹣160=（x﹣4）•﹣160=﹣，∵当4≤x≤8时，s随着x的增大而增大，∴当x=8时，s max=﹣=﹣80；当8＜x≤28时，s=（x﹣4）y﹣160=（x﹣4）（﹣x+28）﹣160=﹣（x﹣16）2﹣16，∴当x=16时，s max=﹣16；∵﹣16＞﹣80，∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．（3）∵第一年的年利润为﹣16万元，∴16万元应作为第二年的成本，又∵x＞8，∴第二年的年利润s=（x﹣4）（﹣x+28）﹣16=﹣x2+32x﹣128，令s=103，则103=﹣x2+32x﹣128，解得x1=11，x2=21，在平面直角坐标系中，画出s与x的函数示意图可得：观察示意图可知，当s≥103时，11≤x≤21，∴当11≤x≤21时，第二年的年利润s不低于103万元．【点评】本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时。