合肥北城中学高一数学组参加一中

安徽省合肥市北城中学2022年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在数列{a n}中，a1=，a2=，a n a n+2=1，则a2016+a2017=（）A．B．C．D．5参考答案：C【考点】数列递推式．【分析】a1=，a2=，a n a n+2=1，可得：a4n﹣3=，a4n﹣1=2，a4n﹣2=，a4n=3．即可得出．【解答】解：∵a1=，a2=，a n a n+2=1，∴a3=2，a5=，…，可得：a4n﹣3=，a4n﹣1=2．同理可得：a4n﹣2=，a4n=3．∴a2016+a2017=3+=．故选：C．2. 下列函数中与函数相等的函数是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D3. 三个数之间的大小关系是（）A． B. C. D.参考答案：C4. S n为等差数列{a n}的前n项和，且.记，其中[x]表示不超过x的最大整数，如，则数列{b n}的前1000项和为()A. 1890B. 1891C. 1892D. 1893参考答案：D【分析】先求出等差数列的通项公式，再分析数列的各项取值，求其前项和.【详解】设等差数列的公差为，则，，解得，故.，当时，；当时，；当时，；当时，.所以数列的前1000项和为.【点睛】本题考查等差数列的基本问题，分组求和，解题的关键是根据新定义判断数列的哪些项的值是相同的..5. 化简（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】减法先变为加法，利用向量的三角形法则得到答案.【详解】故答案选A【点睛】本题考查了向量的加减法，属于简单题.6. 已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图，那么不等式的解集是（）A． B．C． D．参考答案：C7. 下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7 B．log0.50.4＞log0.50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1 D．log2＞log3参考答案：C【考点】不等式比较大小．【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，逐一分析各个指数式和对数式的大小，可得答案．【解答】解：∵y=3x在R上为增函数，0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；∵y=log0.5x在（0，+∞）上为减函数，0.4＜0.6，∴log0.50.4＞log0.50.6，故B正确；∵y=0.75x在R上为减函数，﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；∵y=log2x在（0，+∞）上为增函数，，∴log2＞log3，故D正确；故选：C8. 已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（）A．x3+2x2 B．x3﹣2x2 C．﹣x3+2x2 D．﹣x3﹣2x2参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【分析】设x＜0时，则﹣x＞0，我们知道当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，所以可求f（﹣x）=﹣x3﹣2x2，再由奇函数知f（x）=﹣f（﹣x）即可求解．【解答】解：设x＜0时，则﹣x＞0，因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．9. 已知是定义在上的偶函数，那么的值是（）．A．B．C．D．参考答案：B依题意得：，∴，又，∴，∴．故选．10. 计算= ( )A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知平面向量，，若，则实数等于参考答案：12. 已知函数的定义域和值域都是[2，b]（b＞2），则实数b的值为．参考答案：3【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由函数解析式画出函数图形，得到函数在[2，b]上为增函数，再由f（b）=b求得b值．【解答】解： =，其图象如图，由图可知，函数在[2，b]上为增函数，又函数的定义域和值域都是[2，b]（b＞2），∴f（b）=，解得：b=3．故答案为：3．【点评】本题考查函数的定义域，考查了函数值域的求法，训练了利用函数的单调性求函数的值域，是基础题．13. 已知函数f（x）=，则f（ln3）= ．参考答案：e【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可得到结论．【解答】解：∵1＜ln3＜2，∴2＜ln3+1＜3，由分段函数的表达式可知，f（ln3）=f（1+ln3）=f（ln3e）=，故答案为：e．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接代入即可，比较基础．14. （5分）已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为．参考答案：4考点：扇形面积公式．专题：计算题．分析：设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r=2，l=4，再由扇形面积公式可得扇形的面积S．解答：设扇形的半径为r，弧长为l，则解得r=2，l=4由扇形面积公式可得扇形面积S=lr==4故答案为：4点评：本题给出扇形的周长和圆心角的大小，求扇形的面积，着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等知识，属于基础题．15. 已知函数对于满足的任意，，给出下列结论：①②③④其中正确的是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④参考答案：C略16. 已知下列关系式；①：②；③（?）=（?）；④；⑤．其中正确关系式的序号是．参考答案：①②④【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的基本公式和基本运算律判断即可．【解答】解：①，正确，②，正确③（?）=（?），向量不满足结合律，故不正确④；正确⑤设与的夹角为θ，则||=|||?||?cosθ|， =|||?||?cosθ，故不正确，故答案为：①②④17. 已知是关于的方程的两个实根，，则实数的值为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

将语言文字纳入日常管理，在学校发展规划和年度工作计划、总结中有语言文字工作内容合肥北城中学2016-2017学年工作计划一、指导思想：以“提升学校办学品味，办人民满意教育”为办学目标，大力推进课程改革，提高办学成效，给师生搭建发展的平台、创造发展的机会，营造和谐的教育氛围，全面提高教育教学质量。

二、工作目标和思路：坚持以人为本，树立“和谐治校、质量立校、科研兴校、特色强校”的办学理念，坚持德育为先，质量立教，教研并进，以人为本，规范办学，不断营造良好的教育教学氛围，把学校办成一所管理方法活、师资力量强、环境设施好的现代化中学，为学校教育教学质量全面提高打下坚实基础。

根据我校的实际，本学年学校工作的思路为“四个强化”：（1）强化教师思想教育工作，构建和谐奋进的校园氛围；（2）强化职能部门的管理工作，责任到人，逐级负责，促进教师专业化成长；（3）强化过程管理，狠抓常规落实，为督导评估夯实基础；（4）强化学生行为养成教育，形成勤奋学习、积极向上的良好学风。

三、工作重点：1. 强化教育教学实施的过程管理，有效地推进课程改革，全面提升教育教学质量。

2. 加强教师队伍建设，以“师德师风建设月”活动为抓手，利用庆祝教师节的契机，大力宣传和弘扬优秀教师的先进事迹，强化全员培训。

3. 开展教学研究和教育科研，一是要抓好课题研究，一是要抓好“学生良好行为习惯培养”的研究。

4. 以“感恩教育”、“法制教育”和“生命教育”为重点，开展丰富的德育主题活动，提升学生的思想道德修养。

5. 重视语言文字规范化，在日常教育教学工作中提高对语言文字的要求，并加强教师基本功的培训。

四、具体措施：（一）坚持以人为本，坚持法治和德治相结合，着力提高学校的管理水平。

一是认真学习《安徽省中小学管理规范》，严格执行《合肥北城中学教师考核细则》，努力完善学校的各项值日制度，做到空间上不留死角，时间上不留盲区。

实施精细化管理，切实提高工作的管理效能和运行质量。

安徽省合肥市第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．5107．在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为一个侧棱相等、高为1A ．M 有最小值，N 有最大值C ．M 有最大值，N 有最大值二、多选题9．下列关于复数21iz =-的四个命题，其中为真命题的是（A ．z 的虚部为1C ．z 的共轭复数为1i-+10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口是（）A ．AC AE BF -=BC ．AF AB CB CD⋅=⋅ D 11．有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（）A ．33B ．23CA ．四边形ABCD 的面积为C ．4BO CD ⋅=-10DO DF ⋅=三、填空题13．已知向量(2,a =r 14．若复数(1z m =+________；15．已知ABC ，0P 是边00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ．若16．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为四、解答题(1)用a ，b表示向量AD ， (2)求证：B ，E ，F 三点共线．18．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角(1)求C ；(2)若tan 2tan B a cC c-=，求A ．19．如图，数轴,x y 的交点为由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量得12OP xe ye =+，我们把(指在斜坐标系xOy 中的坐标）(1)若90,OP θ=为单位向量，且(2)若45θ=，点P 的坐标为20．如图所示，在四棱锥P （1）求证：//BC AD ；（2）若M 是线段CE 上一动点，则线段理由．(1)设OBCθ∠=，记铺设的管道总长度为(2)当管道总长取最小值时，求22．数学史上著名的波尔约过相互拼接得到．它由法卡斯两位数学家分别在1833年和形，使它们的全面积都与原平面图形的面积相等：图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分）形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图中，并作简要说明．。

时间科目教师班级节次备注地点周一12月1日地理曹胜高二16班1行政楼二楼录播教室周一12月1日化学李雪松高二6班2行政楼二楼录播教室周一12月1日化学刘敏高二10班3行政楼二楼录播教室周一12月1日化学蔡菊高二9班4行政楼二楼录播教室周一12月1日化学吴杰侠高二5班5行政楼二楼录播教室周二12月2日生物汪婷婷高二4班1行政楼二楼录播教室周二12月2日物理蔡新贵高二5班2行政楼二楼录播教室周二12月2日生物汪培高二2班3行政楼二楼录播教室周二12月2日物理鲍亮亮高二3班4行政楼二楼录播教室周二12月2日生物吴国安高二10班6行政楼二楼录播教室周二12月2日生物贺东旭高二1班8行政楼二楼录播教室周二12月2日音乐廖娟高一15班9行政楼二楼录播教室周三12月3日历史袁臻高二15班1行政楼二楼录播教室周三12月3日物理周多成高二11班2行政楼二楼录播教室周三12月3日历史何继承高二12班3行政楼二楼录播教室周三12月3日政治韦丽高二14班4行政楼二楼录播教室周三12月3日物理李梦丽高二7班6行政楼二楼录播教室周四12月4日历史杨明高三5班1行政楼二楼录播教室周四12月4日2周四12月4日生物曹雅丽高三6班3行政楼二楼录播教室周四12月4日生物高健高三4班4行政楼二楼录播教室周四12月4日生物张启凤高三7班7行政楼二楼录播教室周四12月4日物理胡行勇高二10班8行政楼二楼录播教室周五12月5日政治代晓芝高二15班1行政楼二楼录播教室周五12月5日地理王方平高二15班2行政楼二楼录播教室周五12月5日美术韩艳梅高一9/10/11/12/13/14/153需调课行政楼二楼录播教室周五12月5日通用技术肖琳高一9班4行政楼二楼录播教室周五12月5日历史汪晓亚高二16班5行政楼二楼录播教室周五12月5日艺术（美术）胡雯雯高二16班6行政楼二楼录播教室周五12月5日通用技术李安琪高二10班7行政楼二楼录播教室周五12月5日美术巫乃超高一3班8行政楼二楼录播教室合肥北城中学“一师一优课、一课一名师、课课有精品。

北城初中2019级新生开学典礼暨军训开训仪式
军训号角吹响，梦想从这里启航。

8月27日上午，合肥北城中学东校区2019级七年级新生入学教育暨军训开营仪式举行。

参加仪式的领导有合肥北城中学校长王东录，副校长徐祖刚、王克成、张群，校长助理贺东旭，办公室主任梁艳。

仪式由梁艳主持。

首先进行的是升国旗奏国歌。

雄伟庄严的歌声，鲜艳飞扬的红旗拉开了入学教育的帷幕，也给予同学们坚定的力量。

随后教官代表王哲提出了明确的要求，希望同学们能不畏困难，努力拼搏，以昂扬的斗志，饱满的精神迎接军训。

接着，王东录校长发表讲话。

他说合肥北城中学东校区是由合肥一中全面托管，并在合肥一中、北城中学的双向指导关爱下发展的寄宿制初中，未来可期。

他针对北城中学东校区未来的发展思路也提出了具体的想法：致力于名校合作，争取用优质的资源、合理的进度安排、得当的考试制度等打造“精英”学校；塑造师德高尚、业务精湛的教师队伍；培养综合能力强、素质水平高的优秀学生。

最后，王东录重点对参加入学教育的新生提出要求和期望，希望同学们能够遵守军纪，听从教官安排，严格训练，锻炼自己的耐心、恒心、团结之心，并在此过程中养成良好的习惯、端正的态度，以崭新的姿态面对接下来的学习生涯。

仪式最后，王东录宣布2019级七年级新生入学教育暨军训正式开始。

300名懵懂天真、充满活力的新生，在蓝天白云下开启自己的青春之旅，相信他们在合肥北城中学东校区这个大舞台上，一定能不惧风雨、坚定梦想、扬帆启航。

合肥一中名师简介
合肥一中是安徽省著名的重点中学之一，拥有一支优秀的师资队伍，其中许多教师都是市内知名的教育专家。

以下是一些合肥一中名师的简介:
1. 李老师：合肥一中的物理教师，具有丰富的教学经验和深厚的学术造诣。

在教学过程中，他注重培养学生的思维能力和科学素养，引导学生探究物理问题的本质和规律。

他的教学风格严谨细致，善于将理论知识与实际应用相结合，深受学生的喜爱和赞誉。

2. 张老师：合肥一中的生物教师，具有多年的教学经验和扎实的专业知识。

在教学中，她注重培养学生的自主学习能力和创新能力，引导学生深入探究生物科学的本质和奥秘。

她的教学风格生动有趣，善于将生物学知识与现实生活相结合，让学生在学习中感受到生物科学的魅力。

3. 王老师：合肥一中的历史教师，是一位有着丰富教学经验和深厚学术造诣的教育专家。

在教学中，他注重培养学生的思维能力和综合素质，引导学生深入了解历史事件的来龙去脉和历史人物的内心世界。

他的教学风格严谨简明，善于将历史知识与现实世界相结合，让学生从中感受到历史的智慧和价值。

4. 李老师：合肥一中的政治教师，具有多年的教学经验和扎实的专业知识。

在教学中，他注重培养学生的思维能力和分析问题的能力，引导学生深入了解政治制度的特点和本质，培养学生的社会责任感和公民意识。

他的教学风格深入浅出，善于将理论知识与实际问题相结合，让学生在学习中感受到政治学科的价值和应用。

以上是一些合肥一中知名的名师，他们在教学中取得了卓越的成绩，为学校的发展和学生的成长做出了重要的贡献。

合肥北城中学2015级高一数学竞赛成绩表格序号班级姓名成绩11吴阳16 21余康雨30 31陶雪萌18 41邵松25 51朱同19 61刘楠16 72马玉贤40 82袁江38 92李龙31 102梁颖26 112赵鸿程31 122吴亚东38 132徐东天23 142左驰25 152魏清陶31 162张文萱28 172刘奥40 182王鸿熙25 192黄菊14 202葛逸龙16 213杨近好42 223朱海波38 233张璐44 243房文远31 253黄胜你21 263孟冬冬18 273崔宇5 283闫少将25 293董纯志10 303陈伟健32 314郑黎佳27 324王淑艳22 334余云翔29 344罗李32 354罗雨晴27 364黄一博28 374陶萍5 384程慧15 394礼毅君15 404张韩存19 414李悦15 424万海燕12 434卜增辉42 445陈海霞39455李中岗15 465周帅30 475刘硕楠21 485张睿銎31 495代雅琪15 505陶余苗15 515魏雅婷20 525顾新新33 536张子旭18 546王迎澳38 556郑博文16 566葛雨20 576彭陈明24 586汪文静40 596王慧玲25 606秦光虎16 616戴凤荣27 626王雅慧10 636崔祺10 647田彪16 657崔杰37 667陈龙31 677陶旭东28 687黄海丽35 697陶强强45 707龚昊27 717伍建宇17 727曹欣怡15 737甄俊辉24 747梁文艺33 757张新宇10 767李扬8 777曹军杰10 787杨梦晴42 797孟志强36 808徐飞20 818闫磊37 828崔浩然33 838刘学雯32 848许忠志30 858甄圣龙45 869王友文26 879丁成右10 889陶锐32 899陆博志10 909沈正东16 919张健康32929王聪30 939杨毅25 949钱盛丰10 959徐鹏辉33 969周基健25 9710朱思哲38 9810仇浩25 9910武新宇22 10010尹俊峰38 10110杨雨婷33 10210阮梦雅40 10310尚志博25 10411陈宇德21 10511黄鑫宝35 10611刘婷13 10711周康阳43 10811张世阳33 10911黄逸飞43 11011李梦婷37 11111陶宏飞57 11211徐海涛48 11311代旸辰31 11411李智33 11511杨璨38 11611杜欣禾56 11712陶无言26 11812张家宇23 11912高明骏23 12012孟甄一36 12112阮丹阳35 12212袁月28 12312宋宗悦46 12412陶思远33 12512薛雨涵41 12613方志宇36 12713董红亮28 12813赵龙珊33 12913杜伟30 13013范倩倩31 13113黎犇45 13213李婉44 13313张惠敏30 13413周庚辰35 13513梁赵套28 13613孟令辉25 13713张毕48 13813郑东4813913徐子涵26 14013陈国良11 14113王正宝23 14213楚天袆48 14313郭要跃31 14413戴成龙46 14513赵雍48 14613胡羽琦20 14713吴京晶36 14813袁武48 14913万周洋48 15014王云康15 15114李宗亮26 15214陈龙19 15314代晓鹏39 15414刘倩倩51 15514唐琦48 15614徐健康28 15714杨雨欣52 15814王辛茹43 15914王欣茹25 16014杨昊39 16114卢娜41 16214邵宏运48 16314谢海辉44 16414徐志39 16514唐梓淮42 16614单鑫54 16714袁放58 16814戴良洋41 16914戴翔宇15 17014周磊 43 17114胡陈诚43 17214苏蜜蜜38 17314张祥43 17414杨腾云31 17514岳灿茹38 17614梁俊杰36 17714金妮40 17814徐雅丽 33 17914徐玲40 18014叶宏颖23 18114杨晓宇33 18214丁元杰41 18314胡俊宝43 18414董梦欣33 18514李澳昕4118614宁伟杰28 18714汪严俊南33 18814王袁东45 18915高啸43 19015邓茹靓38 19115闫二旺48 19215夏孟雨33 19315孔冉26 19415孙阳38 19515唐李辉59 19615徐伟豪41 19715张明志30 19815高钊38 19915蒋雨婷25 20015赵鹏25 20115李赛赛28 20215陈龙43 20315叶雯慧25 20415屠韬40 20515曾义勇41 20615胡晓雅36 20715郑昊然63 20815王世煜43 20915彭圣龙32 21015刘海兰41 21115彭学伟25 21215方一鸣56 21315王元喆28。

2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，5}，B ＝{2，4}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{4}B ．{2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}2．命题“∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3＜0 B ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0 C ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≤0 D ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3＜03．函数y =√x 2+2x−3x−1的定义域是（ ）A ．[﹣3，1]B ．[﹣1，1）∪（1，3]C ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）4．对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） A ．若a ＜b ，则1a＞1bB ．若a ＜b ，则ac 2＜bc 2C ．若a ＜0＜b ，则ab ＜b 2D ．若c ＞a ＞b ，则1c−a＜1c−b5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0）B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6]￥D ．[−114，−1)∪[6，8]8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）＝3，若∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−110．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜111．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6 12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ ．14．下列命题中，真命题的编号是 ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 ．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}． （1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}． （1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数． （1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，B＝{2，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}解：由已知得∁U A＝{2，3，4}，所以（∁U A）∩B＝{2，4}．故选：B．2．命题“∃x∈R，x2﹣3x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣3x+3＜0B．∀x∈R，x2﹣3x+3≥0C．∃x∈R，x2﹣3x+3≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+3＜0解：∃x∈R，x2﹣3x+3≥0的否定是：∀x∈R，x2﹣3x+3＜0．故选：A．3．函数y=√x2+2x−3x−1的定义域是（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，1）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）解：要使得函数y=√x2+2x−3x−1有意义，则x2+2x﹣3≥0，且x﹣1≠0，解得x＞1或x≤﹣3，故定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．故选：D．4．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A．若a＜b，则1a ＞1bB．若a＜b，则ac2＜bc2C．若a＜0＜b，则ab＜b2D．若c＞a＞b，则1c−a ＜1c−b解：若a＜0，b＞0，则1a ＜1b，故A错误；若c＝0，则ac2＝bc2，故B错误；因为a＜0＜b，所以ab﹣b2＝b（a﹣b）＜0，即ab＜b2，故C正确；因为c＞a＞b，所以0＜c﹣a＜c﹣b，所以1c−a ＞1c−b＞0，故D错误．故选：C．5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0） B ．（0，+∞） C ．（﹣1，0） D ．（﹣2，0）解：由题意，函数f(x)=9−3x x−2=−3+3x−2（x ＞3）， 令t ＝x ﹣2，则t ＞1，可得3t∈(0，3)，故f(x)=−3+3x−2（x ＞3）的值域为（﹣3，0）． 故选：A ．6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x ，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）解：二次函数y ＝x 2﹣（a +2）x +3的对称轴为x =a+22， 因为函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1ax，x ＞1是R 上的减函数，所以有{a+22≥1，a ＞01−a −2+3≥a，解得0＜a ≤1．故选：B ．7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6] B ．(−∞，−1]∪(−114，6) C ．(−114，+∞)D ．[−114，−1)∪[6，8]解：当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）≤2⇒2x 2﹣5x ﹣3≤0⇒−12≤x ≤3时，f （x ）＝x 2﹣1； 当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）＞2⇒2x 2﹣5x ﹣3＞0⇒x ＜−12或x ＞3时，f （x ）＝5x ﹣x 2， 作出f （x ）的图象，如图所示：函数y＝f（x）﹣m的图象与x轴恰有1个公共点，转化为函数f（x）的图象与直线y＝m恰有1个交点，由图象并结合各分段区间上的f（x）的值，可得：6≤m≤8或−114≤m＜﹣1，则实数m的取值范围是[−114，﹣1）∪[6，8]，故D项正确．故选：D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝3，若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）解：由∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0， 不妨令x 1＜x 2⇒x 1f （x 1）＜x 2f （x 2）可知函数xf （x ）在（0，+∞）上单调递增， 记g （x ）＝xf （x ），则g （﹣x ）＝（﹣x ）f （﹣x ）＝﹣x [﹣f （x ）]＝xf （x ）＝g （x ），所以g （x ）为偶函数，因此g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且g （﹣1）＝g （1）＝1×f （1）＝3， 不等式（x +3）f （x +3）＞3等价于g （x +3）＞g （1），故|x +3|＞1，解得x ＞﹣2或x ＜﹣4，故不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−1解：由题意知函数y ＝x +1的定义域为R ，值域为R ，y =(√x +1)2的定义域为[﹣1，+∞），与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故A 错误； y =√x 33+1=x +1定义域为R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故B 正确； y =√(x +1)33=x +1定义域R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故C 正确；y =x 2+1x−1的定义域为{x ∈R |x ≠1}，与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故D 错误．故选：BC ．10．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜1解：当a ＝0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0为﹣2＜0，满足题意；a ≠0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立，则必有a ＜0且Δ＝（﹣2a ）2+4a ×2＜0， 解得﹣2＜a ＜0，故a 的取值范围为﹣2＜a ≤0，由题意知所选不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为（﹣2，0]的真子集，结合选项可知﹣1＜a ＜0，﹣2＜a ＜0所对应集合为（﹣2，0]的真子集， 故选项A ，B 满足条件．故选：AB ．11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6解：对于选项A ，当a ＝2，b ＝1，m ＝1时，a b=2，a+m b+m=32＜2，当a ＞b 时，糖水不等式不成立，故A 不正确； 对于选项B ，因为x ＞32，y =2x −1+12x−3=2x −3+12x−3+2≥2√(2x −3)×(12x−3)+2=4， 当且仅当2x ﹣3=12x−3，即x ＝2时取等号，故B 正确； 对于选项C ，因为2x +y =1≥2√2xy ，所以xy ≤18，当且仅当2x ＝y ，即x =14，y =12时等号成立， 所以(√2x +√y)2=2x +y +2√2⋅√xy ≤1+2√2⋅√18=2， 即√2x +√y ≤√2，当且仅当x =14，y =12时等号成立，故C 正确； 对于选项D ，因为a 2（b 2﹣2）＝4， 所以a 2=4b 2−2＞0，所以a 2+b 2=4b 2−2+b 2=4b 2−2+（b 2﹣2）+2≥2√4b 2−2⋅(b 2−2)+2＝6，当且仅当b 2−2=4b 2−2，即a 2＝2，b 2＝4时，等号成立，故D 正确．故选：BCD ．12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 解：选项A ，由题意得x ∈R ，f （﹣x ）=−x 1+|−x|=−x 1+|x|=−f （x ），所以函数f （x ）是奇函数，故A 正确；选项B ，C ，由函数解析式可得f （x ）={x 1+x ，x ≥0x 1−x ，x ＜0={1−1x+1，x ≥011−x−1，x ＜0，函数图象如图所示：所以f （x ）的值域是（﹣1，1），在R 上单调递增，故B 正确，C 错误； 选项D ，由函数f （x ）在R 上单调递增， 则当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）max ＝f （1）=12，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则t 2﹣2at +12≥12恒成立， 即t 2﹣2at ≥0恒成立，令h （a ）＝﹣2at +t 2，即a ∈[﹣1，1]时，h （a ）≥0恒成立， 则{ℎ(1)=t 2−2t ≥0ℎ(−1)=t 2+2t ≥0，解得：t ≤﹣2或t ≥2或t ＝0，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ 0 ．解：f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （﹣2）＝3，所以f （f （﹣2））＝f （3）＝0．故答案为：0．14．下列命题中，真命题的编号是 ①④ ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．解：x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2＞0恒成立，故①正确； 由2x 2﹣3＝0，解得x =±√62∉N ∗，故②错误；﹣1×2+1＝﹣1＜0，故③错误， x ＝4，y ＝1满足题意，故④正确． 故答案为：①④．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 12 ． 解：因为a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，所以（4a +4b ）（6a +3b ）＝36，所以（4a +4b ）（6a +3b ）=36≤(4a+4b+6a+3b)24=(10a+7b)24， 则10a +7b ≥12，当且仅当{4a +4b =6a +3b (a +b)(2a +b)=3，即a =12，b ＝1时，等号成立，故10a +7b 的最小值为12． 故答案为：12．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是134．解：因为函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1）， 当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ）， 当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，则f （x ）＝2f （x ﹣1）＝2（x ﹣1）[1﹣（x ﹣1）]＝﹣2（x ﹣1）（x ﹣2）=−2(x −32)2+12∈[0，12]， 当x ∈（2，3]时，x ﹣2∈（0，1]，则f （x ）＝4f （x ﹣2）＝4（x ﹣2）[1﹣（x ﹣2）]＝﹣4（x ﹣2）（x ﹣3）=−4(x 2−5x +6)=−4(x −52)2+1∈[0，1]，当x ∈（3，4]时，x ﹣3∈（0，1]，则f （x ）＝8f （x ﹣3）＝8（x ﹣3）[1﹣（x ﹣3）]＝﹣8（x ﹣3）（x ﹣4）=−8(x 2−7x +12)=−8(x −72)2+2∈[0，2]，因为对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32， 当x ∈（3，4]时，令f(x)=−8(x 2−7x +12)=32， 解得x =134或x =154，如下图所示：由图可知，m ≤134，故实数m 的最大值为134． 故答案为：134．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝2时，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜5}；（2）因为A ∪B ＝A ，所以B 是A 的子集，①B ＝∅，即3m ﹣1≤m ﹣3，解得m ≤﹣1；②B ≠∅，则{m −3≥−23m −1≤83m −1＞m −3，所以1≤m ≤3，综上所述，实数m 的取值范围为{m |m ≤﹣1或1≤m ≤3}．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}．（1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）因为B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣6＜x ＜2}，所以方程x 2+2mx ﹣3m 2＝0的两根分别为﹣6和2，由韦达定理得{−6+2=−2m −6×2=−3m 2，解得m ＝2． 所以实数m 的值为2．（2）由x 2﹣x ﹣6＜0，得﹣2＜x ＜3，A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则A ⫋B ，当m ＝0时，B ＝{x |x 2＜0}＝∅，此时A ⫋B ，不成立；当m ＞0时，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣3m ＜x ＜m }，因为A ⫋B ，则有{−3m ≤−2m ≥3，解得m ≥3； 综上所述，实数m 的取值范围是[3，+∞）．19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 解：（1）因为f （x ）为幂函数，所以m 2﹣5m +7＝1，解得m ＝2或m ＝3；当m ＝2时，f （x ）＝x 2是偶函数，不是奇函数；当m ＝3时，f （x ）＝x 3是奇函数，所以m ＝3．故f （x ）的解析式f （x ）＝x 3．（2）由（1）得，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2＝x 3﹣x 2，对于x ＜0，则﹣x ＞0，g （﹣x ）＝（﹣x ）3﹣（﹣x ）2＝﹣x 3﹣x 2，又因为函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （﹣x ）＝g （x ），所以g （x ）＝﹣x 3﹣x 2（x ＜0），所以函数g （x ）的解析式g(x)={x 3−x 2，x ≥0−x 3−x 2，x ＜0． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．解：（1）由f （x ）＞0，得x 2﹣4x +a ＞0，即a ＞﹣x 2+4x ，令g （x ）＝﹣x 2+4x ，g （x ）＝﹣（x ﹣2）2+4，所以g （x ）在[1，2]上单调递增，在[2，5]上单调递减，则在[1，5]上g （x ）的最小值为g （5）＝﹣5，最大值为g （2）＝4．选择条件①，∃x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 成立，则a ＞g （x ）min ，所以a ＞﹣5，故实数a 的取值范围是（﹣5，+∞）．选择条件②，∀x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 恒成立，则a ＞g （x ）max ，所以a ＞4，故实数a 的取值范围是（4，+∞）．（2）当x ≥0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(x)]=f(x)，＝x 2﹣4x +a ＝（x ﹣2）2+a ﹣4，所以F （x ）在[0，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增；当x ＜0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(−x)]=12[x 2−4x +a +(−x)2+4x +a]=x 2+a ， 所以F （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，综上函数F （x ）的单调递增区间为[2，+∞）．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．解：（1）设矩形运动场的长、宽分别为a ，b （如图，单位：m ），由题意，ab ＝3200，所以2a +b ≥2√2ab =160，当且仅当{a =40b =80时，取“＝”， 故栅栏总长的最小值为160m ．（2）由题意（a +2）（b +4）＝3200，整理得ab +4a +2b ﹣3192＝0，而4a +2b =3192−ab ≥2√8ab =4√2ab ，故ab +4√2ab −3192≤0，令√ab =t （t ＞0），则t 2+4√2t −3192≤0，解得0＜t ≤38√2，所以√ab ≤38√2，即ab ≤2888，当且仅当{b =2a √ab =38√2，即{a =38b =76时，取“＝”， 故运动场面积的最大值为2888m 2．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．（1）解：因为f(−2)=−52，且f （x ）是奇函数，所以f(2)=52，所以{4+a 2+b =524+a −2+b =−52，解得{a =1b =0，所以f(x)=x +1x ． 此时，f(x)+f(−x)=x +1x +(−x)+1−x=0， 所以f （x ）是奇函数，满足要求； 函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 证明如下：任取x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2)， 因为x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，所以x 1x 2﹣1＜0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减；同理可证明函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增．（2）由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t(x +1x )， 令z =x +1x ，y ＝z 2﹣2tz ﹣2，由（1）可知函数z =x +1x 在[13，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增， 所以z ∈[2，103]，因为函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2的对称轴方程为z ＝t ＜0，所以函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2在[2，103]上单调递增， 当z ＝2时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最小值，y min ＝﹣4t +2；当z =103时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最大值，y max =−203t +829．所以h （x ）min ＝﹣4t +2，ℎ(x)max =−203t +829，又因为对∀x1，x2∈[13，3]都有|h（x1）﹣h（x2）|≤8恒成立，所以h（x）max﹣h（x）min≤8，即−203t+829−(−4t+2)≤8，解得t≥−13，又因为t＜0，所以t的取值范围是[−13，0)．。

学校 班级 姓名 学号 座位号 。

………………………………………… 装 …………………… 订 …………………… 线 ………………………………………… —————————————————————————————————————————————————绝密★启用前合肥北城中学高一周考试卷11数学试卷考试范围：必修5 时间：60分钟 总分值：100 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．务必将选择题答案填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（每题5分，共40分）1.不等式(2)(1)0x x +->的解集为（ ） A .{}21x x x <->或 B .{}21x x -<<C .{}12x x x <->或 D .{}12x x -<<2.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，如果10120S =，那么110a a +的值是（ ）A .12B .36C .24D .483. 下列各式中最小值等于2的是（ ）A .22x a a x +B .1(4)x x x+≥ C .23x x ++ D .33x x -+ 4. 设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A .P AP B +=0 B . PC PA +=0 C . PB PC +=0 D . PA PB PC ++=05. 已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则（ ） A . ω=1 ϕ=6πB .ω=1ϕ=6π-C . ω=2 ϕ= 6πD .ω=2ϕ=6π-6．在△A B C 中，已知||4,||2,ABC AB AC S ∆===则AB AC ⋅的值为（ ） （A ）．－2 （B ）．2 （C ）．±4 （D ）．±27.在ΔA B C 中，已知)sin(sin )cos(tan B C A B C B -+-=，则ΔA B C 是（ ） （A ）．直角三角形（B ）．等腰三角形（C ）．锐角三角形 （D ）．等腰或直角三角形 8．若,4-<k 则函数)1(cos 2cos -+=x k x y 的最小值是 （ ）（A ）． 12+k （B ）． 12+-k （C ）． 1- （D ）．1第II 卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共20分） 9.若向量(4,1) (2,1), //x ==-a b a b ，则x = .10.已知, , a b c 分别是ABC ∆的三个内角, , A B C 所对的边，若1, 3a b ==, 2A C B +=,则sin C = .11.若偶函数)(x f 在]0,(-∞内单调递减，则不等式)(lg )1(x f f <-的解集是 ．12.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且324612,27a a a a =++=，则使得n S 达到最大值的n 是_________.三、解答题（每题10分，共40分）13.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b c ab +-=. (1)求角C 的大小；(2)若4CA CB ⋅=，求ABC ∆的面积装 …………………… 订 …………………… 线 …………………………………………14.已知函数()cos ,,(463x f x A x R f ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭．（1）求A 的值；（2）设430,0,,42317f παβαπ⎡⎤⎛⎫∈+=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()cos αβ+的值．15．已知数列}{n a 满足：*112,23()n n a a a n n N +==++∈．（1）设2*()n n b a n n N =-∈，求证：{}n b 是等差数列； （2）若*1()1n n c n N a =∈+，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求证34n S <．16.已知定义在R上的函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=++，且(1)1f =，若数列{}{},n n a b 对任意正整数n 有1(),()22n n na f nb f ==+. (1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和n S。

合肥一中、合肥六中、北城中学2015-2016学年第一学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分）.1.已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,M N P MN ===，则P 的子集共有（ ）A ．2 个B ．3个C ．4个D ．5个2.函数y = ）A ．(1,)+∞B ．(,2)-∞C ．(1,2)D ．[)1,23.函数2()3log ()x f x x =--的零点所在区间是（ ）A ．5(,2)2--B ．(2,1)--C ．(1,2)D ．5(2,)24. 23(log 9)(log 4)等于（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4 5.函数()3sin(2)3f x x π=-的图象的一条对称轴是（ ） A ．3x π= B ．512x π= C ．2x π= D ．56x π= 6.函数()y f x =的部分图象如图所示，则()y f x =的解析式为（ ）A ．4sin(2)15y x π=++ B ．sin(2)15y x π=-+C ．42sin(2)15y x π=+- D ．2sin(2)15y x π=--7.已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+（,λμ为实数），则m 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞+∞8.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（ ）A ．13B ．3C ．6D ．9 9. O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若()(2)0OA OC OA OC OB -+-=，则ABC ∆是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以AB 为斜边的直角三角形C ．以AC 为底边的等腰三角形D ．以AC 为斜边的直角三角形11.已知函数())(0)3f x x πωω=+>，若()f x θ+是周期为2π的偶函数，则θ的一个可能值是（ ）A ．43πB ．76πC ．πD ．56π12.如图，(,),(,)M M N N M x y N x y 分别是函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与两条直线1:2:(0),:l y m A m l y m =≥≥=-的两个交点，记()N M S m x x =-，则()S m 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，共20分．）13.已知4,2a b ==，且a 与b 夹角为120°，则(2)()a b a b -+=________．14.已知11tan(),tan()2223ααββ+=-=，则tan α=_______． 15.计算：0000cos 2cos88sin 47sin133+=________．16.如图，矩形ORTM 内放置5的小正方形，其中,,,A B C D 在矩形的边上，且E 为AD 的中点，则()AE BC BD -=_______．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 上的点，且12AF AB =，11,34BD BC CE CA ==，若记,AB m CA n ==，试用,m n 表示BE 、FD ．18.（本小题满分12分）已知角α的终边经过点(,2)(0)P x x >，且cos x α=，求1sin tan αα+的值． 19.（本小题满分12分）已知函数21()cos cos ()2f x x x x x R =-+∈． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）函数()f x 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得()g x 的图象，求函数()y g x =在[]0,x π∈上的最大值及最小值．20.（本小题满分12分）已知点A 、B 、C 的坐标分别为(3,0)A 、(0,3)B 、3(cos ,sin ),(,)22C ππααα∈．（1）若AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC =-，求22sin sin 21tan ααα++的值． 21.（本小题满分12分）已知(sin ,cos ),(sin ,),(2cos ,sin )a x x b x k c x x k ===--．（1）当4x π=时，求b c +；（2）若()()g x a b c =+，求当k 为何值时，()g x 的最小值为32-． 22.（本小题满分12分）已知集合M 是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数T ，对任意x R ∈，有()()f x T Tf x +=成立．（1）函数()f x x =是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）的图像与y x =的图像有公共点，证明：()x f x a M =∈；（3）若函数()sin f x kx M =∈，求实数k 的值．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5 CDBDB 6-10 ADCCA 11-12 BC2122,22M N B M N B x x x x x x x x +-=-+=，得212(),2()22M N B N M B T T x x x x x x x x -=-=--=-=，所以2M N T x x πω-==（常数），选C ．二．填空题（每小题5分，共20分）13．12 14．1715 16．-3 16．提示：以点A 为坐标原点，AD 为y 轴，写出相应坐标可得；或基向量法等．三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，6大题共70分）17．解：34BE BA AE m n =+=--； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 1111()2363FD FB BD m m n m n =+=-+=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．解：∵(,(0)P x x >，∴点P 到原点的距离r =又cosx α=，∴c o s 6x α==．∵0x >，∴x =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴r =．当x =时，P 点坐标为，由三角函数的定义，有sin6α==-1tan α==∴1sin tan 66αα+=-=-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．解：（1）2211()cos cos 2cos sin(2)226f x x x x x x x π=-+=-=- 由222262k x k πππππ-≤-≤+得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）函数()f x 的图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移6π个单位，得()sin()3g x x π=-， 因为[]0,x π∈得：2,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin()3x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦． 所以当0x =时，()sin()3g x x π=-有最小值 当56x π=时，()sin()3g x x π=-有最大值1． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）∵(cos 3,sin ),(cos ,sin 3)AC BC αααα=-=-， ∴(cos 3)sin 106cos AC ααα=-+=-， cos BC ==，由AC BC =得sin cos αα=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分又∵3(,)22ππα∈，∴54πα=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由1AC BC =-，得(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα-+-=-．∴2sin cos 3αα+=． 又22sin sin 22sin (sin cos )2sin cos sin 1tan 1cos αααααααααα++==++． 由①式两边平方得412sin cos 9αα+=，∴52sin cos 9αα=-．∴22sin sin 251tan 9ααα+=-+． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．解：（1）(sin 2cos ,sin ),1b c x x x b c +=-+=． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）(2sin ,cos ),()()4sin cos (cos )(sin )a b x x k g x a b c x x x k x k +=+=+=-++- 23sin cos (sin cos )x x k x x k =-+--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分令sin cos )4tx x x π=-=-， 则t ⎡∈⎣，且222sin cos 2sin cos 12sin cos t x x x x x x =+-=-， 所以21sin cos 2t x x -=． 所以()gx 可化为2222133()(3),222t h t kt t t kt k t -⎡=-+-=+--∈⎣，对称轴3322kkt =-=-⨯．当3k -<k > 222min333()(((222g x h k k k ==⨯+--=-+，由23322k -+=-，得230k +-=，所以2k =．因为k >此时无解． ②当3k ≤-≤，即k -≤ 222min 3373()()()()3233262k k k g xh k k k =-=-+---=--． 由2733622k --=-，得0k ⎡=∈-⎣． ③当3k ->k <-222min 333()222g x h k k ==+--=-+．由23322k -++=-，得230k -=，所以2k =因为k <-综上所述，当0k =时，()g x 的最小值为32-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）当时，()f x x =，对于非零常数T ，(),()f x T x T Tf x Tx +=+=，又对任意,x R x T Tx ∈+=不恒成立，∴函数()f x x M =∉． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）由题意得方程组xy a y x⎧=⎨=⎩有解，消去y 得x a x =，显然0x =不是方程x a x =的解，∴存在非零常数T ，使T a T =．∴()()x T x T x f x T aa a T a Tf x ++====， ∴()x f x a M =∈． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（3）当0k =时，()0f x =，显然()0f x M =∈．当0k ≠时，∵()sin f x kx M =∈，∴存在非零常数T ，对任意x R ∈，有()()f x T Tf x +=成立，即sin()sin kx kT T kx +=恒成立．又0,k x R ≠∈，∴,()kx R kx kT R ∈+∈，∴[][]sin 1,1,sin()1,1kx kx kT ∈-+∈-，∴1T =±，当1T =时，sin()sin kx k kx +=恒成立，则2,k m m Z π=∈．当1T =-时，sin()sin kx k kx -=-成立 ，即sin()sin kx k kx π-+=成立，则2,k m m Z ππ-+=∈，即2(1),k m m Z π=--∈．即2(1),k m m Z π=-∈．综上所得，实数k 的取值范围是{}|,k k m m Z π=∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。

安徽省合肥市第一中学肥东分校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．在复平面内,复数(2)i i -对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）AB ．C ．8D ．3．正方形ABCD 的边长为1，则|2|AB AD +=u u u r u u u r （ ）A．1 B ．3 C D4．已知向量a r ，b r 都是单位向量，且1a b -=r r ，则a b +=r r （ ）A ．1 BC ．2D 5．如图，四边形OADB 是以向量OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r 为边的平行四边形.又13BM BC =，13CN CD =，则用a v ，b v 表示MN =u u u u r （ ）A ．1566a b +r r B ．()23a b +r r C ．1126a b -r r D ．1126a b +r r6．若向量)a =r ，()2,0b =-r ，则b r 在a r 上的投影为（ ）A ．1-B ．C ．1,2⎛- ⎝⎭D ．12⎛ ⎝⎭7．在ABC V 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则sin A =A ．310BC D8．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为表面积为（ ）A ．B ．(8π+C ．D ．(10π+二、多选题9．下面是关于复数21i z =-+的四个命题，其中真命题为（ ） A ．22i z =B ．2z =C ．z 的虚部为-1D ．z 的共轭复数为1i +10．,,A B C 表示不同的点，,n l 表示不同的直线，,αβ表示不同的平面，下列说法错误的是（ ）A ．若,,,AB l A B α∈∉，则//l αB ．若,//,//l n n αβαβ⋂=，则//n lC ．若,,,,,A B A B C l αβαβ∈∈⋂=，则C l ∈D ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n11．在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，以下能独立说明ABC V 为等腰三角形的是（ ）A ．sin sin AB =B ．sin 2sin 2A B =C ．cos cos a b A B =D ．sin sin a b A B=三、填空题12．已知两点()()2153A B -,,,，则与向量AB u u u v 同向的单位向量是． 13．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图P ABCD -是阳马，PA ⊥平面ABCD ，5PA =，4AB =，3AD =，则该阳马的外接球的表面积为.14．设复数z 满足2i 2i 4z z ++-=，则1i z --的取值范围是.四、解答题15．已知211i 1z m m =++，21(23)i 2z m =-+，m R ∈，i 为虚数单位．且12z z +是纯虚数． (1)求实数m 的值；(2)求12z z ⋅的值．16．已知向量(2,1),(1,)a b x =-=r r ．（Ⅰ）若()a a b ⊥+r r r ，求||b r 的值；（Ⅱ）若2(4,7)a b +=-r r ，求向量a r 与b r 夹角的大小．17．如图所示，四边形ABCD 是直角梯形，其中AD AB ⊥，//AD BC ，若将图中阴影部分绕AB 旋转一周.（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.（2）求阴影部分形成的几何体的体积.18．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 2sin c A =且c b <.(1)求角C 的大小；(2)若4b =，延长AB 至D ，使BC BD =，且5AD =，求ACD V 的面积.19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AA ==，AB cos ACB ∠=P 为线段1BC 上的动点．(1)当P 为线段1BC 上的中点时，求三棱锥B PAC -的体积；(2)当P 在线段1BC 上移动时，求AP CP +的最小值．。

学校 班级 姓名 学号 座位号 。

………………………………………… 装 …………………… 订 …………………… 线 ………………………………………… ———————————————————————————————————————————————————北城中学高一数学周考1测试卷命题：朱其杰一、 选择题（每小题5分，共40分）1．下列各组对象中不能构成集合的是( )A ．合肥北城中学的全体教职员工B ．北城中学高一新生的所发的所有书本C ．2013年考入北城中学的全体学生D ．北城中学的体育明星2．设集合A 只含一个元素a ，则下列各式正确的是( )A ．{}A a =B ．A a =C ．A a ⊆D ．{}A a ∈ 3．已知集合{}3,2,1A =，则A 的非空真子集的个数是（ ）A.4B.5C.6D.84.在R 上定义运算⊙: a ⊙b a ab b ++=2，则满足x ⊙)2(-x <0的实数x 的取值范围为( ).A. {}20＜＜x xB. {}12＜＜x x -C. {}12>-<x x x ，或D. {}21＜＜x x - 5．不能用十字相乘法因式分解的是（ ） A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 6．下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合；(3)1，32，64，|－12|,0.5这些数组成的集合有5个元素；(4)集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．设A={x|x 2–1=0},B={x|ax –1=0,a∈R},若A B ⊆，则a 的值可以为（ ）A 0B 1C –1D 0, –1, 18．集合P ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，S ＝{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z }，a ∈P ，b ∈M ，设c ＝a ＋b ，则有( )二、填空题（每题5分，共20分）9.因式分解2384a a -+=_____________10. 若{}b a a a b a +=⎭⎬⎫⎩⎨⎧,,012，，，则=a _____________,=b _____________. 11. A={}731)(x Z x 2+<∈x —，则A 中元素的个数为_____________ 12. 已知集合{}{}B A mx x B x x x A ⊆===+-=,1|,065|2，则实数m 所构成的集合M =__________________三、解答题（40分）13.（10分）选择适当的方法表示下列集合 （1）二次函数322+-=x x y 的函数值组成的集合 （2）{}0)2)(1(|A =--=x x x x ，写出集合A 所有的子集.14.（10分）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=有唯一实数解14|A 2x a x a ，试用列举法表示集合A装……………………订……………………线…………………………………………。

合肥一中2023~2024学年度高一下学期期末联考数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。

2．答题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．已知复数（为虚数单位），则（ ）A ．1B ．2C D．2．设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题：①若，，则②若，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．如图是我国2018~2023年纯电动汽车销量统计情况，则下列说法错误的是（）A ．我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势B ．这六年销量的第60百分位数为536.5万辆C ．2020年销量高于这六年销量的平均值B ．这六年增长率最大的为2019年至2020年4．已知向量，，在上的投影向量为（ ）2i12iz -+=-i z =αβγm n m α∥n α∥m n ∥m γ⊥n γ⊥m n ∥m α∥n α⊥m n ⊥m n ∥n α∥m α∥2a = 4b = 2a b -= a bA ．B ．C．D ．5．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则（ ）千米A ．B ．CD6．如图，电路中、、三个电子元件正常工作的概率分别为，，．则该电路正常工作的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知正四棱台，其所有顶点均在同一个表面积为的球面上，且该球的球心在底面上，则棱台的体积为（ ）AB ．CD ．8．若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论错误的是（ ）A ．角为钝角B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设、为复数，则下列命题正确的是（）b- b14b14b- M N A B A B M N A 30MAN BAN ︒∠=∠=B 60ABM ∠=︒75NBM ∠=︒2AB =MN =-4-1+A B C ()13P A =()12P B =()35P C =4158157157121111ABCD A B C D -32πABCD 1111ABCD A B C D -ABC △A B C a b c 224sin 02A Bb a a +-+=C 22220a b c +-=tan B 3tan tan 0A C +=1z 2zA ．若，则B ．若，则C．若，则D ．若，且，则在复平面对应的点在一条直线上10．已知随机事件，的概率都大于0，表示事件的对立事件，则（ ）A ．当时，，相互独立B ．当时，C ．当时，D ．当时，11．已知正方体的棱长为2，点是棱上的动点（不含端点），下列说法正确的有（）A ．可能垂直B ．三棱锥的体积为定值C ．过点截正方体的截面可能是等腰梯形D ．若，过点且垂直于的截面的周长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．文以载道，数以忘忧，本学期某校学生组织数学知识竞答（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩为样本，分成，，，，，得到如图所示频率分布直方图：估计该校高二学生数学成绩的平均数为______．13．在复平面内，将与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，则与所得的向量对应的12z z =12z z ∈R 112z =-2024112z =12z z =2212z z=12z z z z -=-12z z ≠z A B A A ()()()P AB P A P B =⋅A B A B ⊆()()P A P B ≥()0P AB >()()P AB P B <()()1P A P B +=B A=1111ABCD A B C D -M 1CC AM 1BD 1B ABM -B 1111ABCD A B C D -1CM C M =B AM [)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,1003O 60︒复数是______．14．如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，，，，，．若，则直线与平面所成角的正弦值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（满分13分）在三棱柱中，，平面，且．（1）求证：平面平面；（2）求：点与平面的距离．16．（满分15分）已知，，分别为锐角三个内角，，（1）求；（2）若，的面积为，求边的长．17．（满分15分）立德中学高一（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男3010016女209019（1）按男女比例，采用分层抽样在该班级抽取了5人，现从这5人中随机抽2人，求抽到的2人中至少有一个男生的概率；（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）．18．（满分17分）如图①，已知是边长为2的等边三角形，是的中点，，如图②，将沿边翻折至．l αβ--π3l A B AC α⊂BD β⊂AC l ⊥BD l ⊥2AC AB BD ===CD β111ABC A B C -AB AC ⊥1B C ⊥ABC 1112AB AC AA ===1AB C ⊥11ABB A C 11ABB A a b c ABC △A B C cos 1B B -=B sin C B =ABC △3c AB C '△D AB 'DH B C '⊥B DH '△DH BDH △（1）但线段上是否存在点，使得平再？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；（2）若平面与平面所成的二面角的正切值为，求点到直线的距离．19．（满分17分）如图，设，是平面内相交成角的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若，记．（1）在仿射坐标系中．（1）若，求；（2）若，，且与的夹角为，求；（2）如图所示，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，，分别为，中点，求的最大值．合肥一中2023~2024学年度高一下学期期末联考数学参考答案一、单选题1．【答案】A 【详解】．2．【答案】B【详解】，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，BC F AF ∥BDH BFFCBHC BDA B CH Ox Oy ()0παα<<1e 2eOx Oy xOy αα12OP xe ye =+(),OP x y = α(),a m n = a()1,2a =- ()2,1b =- a bπ3cos απ3B C x y 1BC = 13OD OC = E F BD BC OE OF ⋅2i 112iz -+===-αβγm n若，，则，，相交或异面，故①不正确；若，，则，故②正确；若，，则，故③正确；若，，则或，故④不正确；正确命题的个数是2．3．【答案】C【详解】对于A ，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增，故A 正确；对于B ，因为，将所有汽车销量数据从小到大排序，所以销量的第60百分位数为第4个数据，即536.5，故B 正确；对于C，这六年销量的平均数为，故C 错误；对于D ，因为2019年至2020年的增长率为，超过其他年份的增长率，故D 正确．4．【答案】D【详解】因为，又因为，，所以，所以在上的投影向量为．5．【答案】D【详解】因为，，可得是等边三角形，千米．记直线与直线的交点为，，所以，为的中点，所以为等腰三角形，，又千米，故选：D ．6．【答案】A【详解】由题知该电路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一个能正常工作，因为该电路正常工作为事件，则m α∥n α∥m n ∥m n m γ⊥n γ⊥m n ∥m α∥n α⊥mn ⊥m n ∥nα∥m α∥m α⊂0.66 3.6⨯=97.2111.5291.6536.568.5756.8410.35291.66+++++=>291.6111.51.6111.5-≈2a b -= 224448a b a b +-⋅=24a = 216b = 4a b ⋅=-ab 241164a b b b b b⋅-⋅==- 30MAN BAN ︒∠=∠=60ABM ∠=︒ABM △2BM =AN BM O 18090AOB BAN ABM ︒︒∠=-∠-∠=AN BM ⊥O BM BMN △1cos cos 75OB BN MN NBM ︒===∠()1cos 75cos 45302=︒︒+︒==MN ==A B C D ()()()(){}111P D P A P B P C ⎡⎤⎡⎤=--⋅-⎣⎦⎣⎦．7．【答案】C【详解】设球心为，球的半径为，棱台高为，则，所以，由于在底面上，底面为正方形，易得正方形，面积为16；设底面的外接圆半径为，则易得正方形，面积为4；所以正四棱台的体积为．故选：C ．8．【答案】C【详解】，，即，，又，为钝角，故选项A 正确；由余弦定理知，，化简得，故选项B 正确；，，故选项D 正确；，，113411132515⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯---= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦O O R h 24π32πR =R =O ABCD ABCD ABCD 4=1111A B C D r r ==1111A B C D 2=1111ABCD A B C D -(11643V =⨯++=224sin02A Bb a a +-+= 224cos 02C b a a ∴-+=()22cos 10b a a C -++=cos 02b C a∴=-<()0,πC ∈C ∴222cos 22a b c b C ab a+-==-22220a b c +-=()()222222222tan sin cos sin cos 1tan cos sin sin cos 332a b c bc A A C A C a b C A C C A c b ab b c a +-⋅-==⋅=⋅==-⋅+- 3tan tan 0A C ∴+=πA B C ++= ()tan tan tan 3tan 2tan tan 11tan tan 1tan 3tan 3tan tan A C A AB AC A C A AA A+-∴=-+=-=-=-+⋅+为钝角，，，，当且仅当，即时，等号成立，此时C 错误．故选：C二、多选题9．【答案】AD【详解】对于A ，对于A ，若，设则，故，故A 正确；对于B ：，，，所以以3为周期，所以，故B 错误．对于C ，令，，则，此时，C 错误；对于D ，由复数的几何意义知在复平面对应的点在一条直线上，故D 正确．10．【答案】AC【详解】对于选项A ，因为，所以，相互独立，因此，相互独立，故A 正确；对于选项B ，如图，阴影部分代表事件，无法判断与的大小，故B 错误；对于选项C ，根据题意，得到如图所示，阴影部分代表事件，由图可知，，故C 正确；对于选项D ，根据对立事件的定义，，又，所以，概C π0,2A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭tan 0A >13tan tan A A ∴+≥=13tan tan A A =tan A =tan B 12z z =2i z c d =+1i z c d =-2212R z z c d =+∈2112z =-311z =4112z =-+1n z 202436742211112z z z ⨯+===-11z =2i z =121z z ==2212z z ≠z ()()()P AB P A P B =⋅A B A B A ()P A ()P B AB ()()P AB P B ≤()()1P A P A +=()()1P A P B +=()()P B P A =率相等，不一定事件相等，故D 错误．11．【答案】BCD【详解】对于A ，若，由知平面，所以，与题设矛盾，故A 错误；对于B ，，故B 正确；对于C ，取，中点，，连接，，，，，，，，，，四边形即为过点的正方体的一个截面；又四边形为等腰梯形，C 正确；对于D ，由题意知：为中点，连交与，知过作交与点，过作，可知平面，则四边形即为过点且垂直于的截面，不难得出，为，中点，，，，截面的周长为D 正确．故选：BCD ．三、填空题1AM BD ⊥1AC BD ⊥1BD ⊥AMC 11BD CC ⊥1111433B ABM A BMB BMB V V AB S --==⨯⨯=△AD 1DD P N BP PN 1NC 1BC 1PN AD ∥112PN AD =11AD BC ∥11AD BC =1PN BC ∴∥112PN BC =∴1BPNC B 1CN BP ===∴1BPNC M 1CC AC BD O AC AM ⊥O OH AM ⊥11A C H H SQ DB ∥AM ⊥BDSQ BDSQ B AM S Q 11A D 11A B BD = 12SQ BD ==DS BQ ===∴BD SQ DS BQ +++=12．【答案】75.5【详解】由，解得．该校学生成绩的平均数为．13．【答案】14．【详解】在平面内过作与平行且相等的线段，连接，在平面内过作与平行且相等的线段，连接，，，补成一个正三棱柱，是边长为2的正三角形，因为二面角的平面角为，所以，又，所以是等边三角形，可得，，因为，所以平面，又平面，所以，在中，由勾股定理可得，在中，．三、解答题15．（满分13分）解析：（1）平面，平面，，又，，平面，平面，平面，平面平面．()0.020.0350.025101a a ++++⨯=0.01a =550.1650.2750.35850.25950.175.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-αB AC BE EC βA BD AF FD FC ED AFC BDE -BDE △l αβ--π3π3CAF ∠=2AC AB BD ===ACF △CH =1FH =FD AB ∥FD ⊥AFC FC ⊂AFC FD FC ⊥Rt DFC △CD ==Rt CHD △sin CH CDH CD ∠===1B C ⊥ ABC AB ⊂ABC 1B C AB ∴⊥AB AC ⊥ 1B C AC C = 1AC B C ⊂、1AB C AB ∴⊥1AB C AB ⊂ 11ABB A ∴1AB C ⊥11ABB A（2）由（1）可知平面平面，平面平面，在平面内，过作直线，垂足为，则平面．易知，，根据等面积法，可知：，故点与平面．（方法二：等体积法（略））16．（满分15分）解析：（1，，，，，．（2），，，，（为外接圆半径），．17．立德中学高一（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数学如下表：1AB C ⊥11ABB A 1AB C 111ABB A AB =1AB C C 1CH AB ⊥H CH ⊥11ABB A 1B C =1AB=11AC B C CH AB ⋅==C 11ABB A πcos 2sin 16B B B ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭π1sin 62B ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭π02B <<πππ663B ∴-<-<ππ66B ∴-=π3B =sinC B ==π02C <<π4C ∴=ππ5ππ4312A ∴=--=()()11sin 2sin 2sin sin 322ABC S ab C R A R B C ==⋅=+△R ABC △2R ∴=2sin c R C ∴==性别参加考试人数平均成绩标准差男3010016女209019（1）按男女比例，采用分层抽样在该班级抽取了5人，现从这5人中随机抽2人，求抽到的2人中至少有一个男生的概率；（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）．解析：（1）按照分层抽样抽取的5人中有3名男生、2名女生，现从这5人中随机抽取2人，样本空间包含10个样本点，“全是女生”包含1个样本点．记：“至少有一个男生”为事件，由古典概型可知：．（2）记该班参加考试学生成绩的平均数为，方差为，，记男生成绩为：，平均数为，方差为；女生成绩为：，平均数为，方差为；，，，，，．故该班级参加考试的学生成绩的平均数为96，标准差约为18．18．（满分17分）解；（1）存在点满足题意，且，理由如下：如图，过作直线，与交于点，由图1可知，为的中点，此时，，，平面，平面，A ()1911010P A =-=z 2s 301002090963020z ⨯+⨯==+12330,,,,x x x x x 21s 12320,,,,y y y y y 22s ()3030222111113030i i i i s x x x x ===-=-∑∑ ()302221130i i x s x =∴=+∑()20202222211112020i i i i s y y y y ===-=-∑∑ ()202222120i i y s y =∴=+∑()()3020222222212111130203225050i i i i s x y z s x s y z ==⎛⎫⎡⎤=+-=+++-= ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑18s ∴=≈F 12BF FC =A AM DH ∥CH M M B C '12HM MC =AM DH ∥AM ⊄BDH DH ⊂BDH平面．在线段上取点，使得，连接，，则，同理可得平面，又，平面平面，又平面，平面．（2）如图，延长，相交于，连接，，，，平面，平面，，过作直线，垂足为，且为的中点，连，，，，平面，又平面，，为二面角的平面角，在中，，，在中，（为边上的高）故：点到直线即点到直线19．（满分17分）解：（1）①，，．AM ∴∥BDH BC F 12BF FC =FM AF FM BH ∥FM ∥BDH AMFM M = ∴AFM ∥BDH AF ⊂ AFM AF ∴∥BDH CH AD N BN DH BH ⊥ DH HC ⊥BH HC H = DH ∴⊥BHC BN ⊂ BHC DH BN ∴⊥H HT BN ⊥T T BN DT DH BN ⊥ TH BN ⊥DH TH H = BN ∴⊥TDH DT ⊂ TDH BN TD ∴⊥HTD ∴∠H BN D --tan HTD ∠=Rt HTD △tan DHHTD HT∠==HT ∴=2BN BT ==BHN △HT BN NH h ⋅=⋅h NH HT BN h NH ⋅∴==B NH B CH (),a m n =12a me ne ∴=+a ∴===②易知，．（2）在中，根据正弦定理可得：，由余弦定理可得：，，，其中，当时，即：，，a b ==()()()1212π54cos cos 2245cos 3a b e e e e αα⋅=-=-+⋅-+=-1cos 2α∴=OBC △sin 60sin sin BC OB OC C B ===︒ 22222π2cos13BC OB OC OB OC OB OC OB OC =+-=+-=OB C ∴=π3OC B C ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭()()()11112243OE OF OB OD OB OC OB OC OB OC⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭()()22222214111345324331212OB OC OB OC OB OC OB OC OB OC ⎛⎫=+⋅+=+⋅+=+- ⎪⎝⎭22222244π4π535sin 3sin 5sin 3sin 33333OB OC C C C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2π1cos 241cos 222π35385cos 23cos 232233C C C C ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎡⎤-⎛⎫⎝⎭⎢⎥=⋅+⋅=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()27282cos 282323C C C ϕ⎛⎫⎡⎤=-=+- ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭cos ϕ=π22C ϕ-=π42C ϕ=+()(22max25383OB OC+=+ ()22max max 153212OE OF OB OC⎡⎤⋅=+-=⎢⎥⎣⎦。