5.1 任意角和弧度制知识点一 任意角 1．角的概念：角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 ． 2．角的表示：如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB ”，始边： ，终边： ，顶点 .3．角的分类：名称 定义图示正角一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角零角一条射线 做任何旋转形成的角设α，β是任意两个角， 为角α的相反角． (1)α＋β：把角α的 旋转角β. (2)α－β：α－β＝ ．知识点三 象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限．知识点四 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∠Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 知识点五 度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角 1度的角等于周角的1360弧度制定义 以 作为单位来度量角的单位制 1弧度的角长度等于 的圆弧所对的圆心角知识点六 弧度数的计算 （1）弧度数正角的弧度数是一个 数. 负角的弧度数是一个 数. （2）零角的弧度数是 （3）弧度数的计算 公式：rl =α知识点七 角度与弧度的互化角度化弧度 弧度化角度 360°＝ rad 2π rad ＝ 180°＝ rad π rad ＝ 1°＝π180 rad≈0.017 45 rad1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30° 度数×π180＝弧度数弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数知识点八 弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l ＝αR .(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.1．与2022︒终边相同的角是（ ） A ．488-︒B ．148-︒C ．142︒D ．222︒ 2．135-的角化为弧度制的结果为（ ） A ．32π-B ．35π-C ．34π-D ．34π 3．下列说法正确的是（ ） A ．终边相同的角相等 B ．相等的角终边相同 C ．小于90︒的角是锐角 D ．第一象限的角是正角4．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为(0).ααπ<≤则α=（ ）A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π 5．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥.“会圆术”给出AB 后的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+，记实际弧长为l .当2OA =，60AOB ∠=︒时，l s -的值约为（ ）（参考数据： 3.14π≈3 1.73≈）A ．0.01B ．0.05C ．0.13D ．0.536．把375-︒表示成2πk θ+，k Z ∈的形式，则θ的值可以是（ ） A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-7．角76π所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知一扇形的周长为6(0)a a >，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（ ） A ．6π B ．4π C ．1 D ．2二、多选题9．若α是第二象限角，则（ ） A ．πα-是第一象限角 B ．2α是第一或第三象限角 C ．32πα+是第二象限角 D ．α-是第三或第四象限角10．设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，周长为L ，则（ ） A ．若α，r 确定，则L ，S 唯一确定 B ．若α，l 确定，则L ，S 唯一确定 C ．若S ，L 确定，则α，r 唯一确定 D ．若S ，l 确定，则α，r 唯一确定11．下列结论中正确的是（ ）A ．终边经过点()(),0m m m >的角的集合是2,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；B ．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是3π； C ．若α是第三象限角，则2α是第二象限角，2α为第一或第二象限角； D ．{}4590,M x x k k Z ==︒+⋅︒∈，{}9045,N y y k k Z ==︒+⋅︒∈，则M N ⊆12．已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90︒的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B A C =⋂ B ．C C =B ∪ C ．B A B = D ．A B C ==三、填空题13．写出两个与6π终边相同的角______．14．半径为2cm ，中心角为30的扇形的弧长为______cm ．15．如图，扇环ABCD 中，弧4AD =，弧2BC =，1AB CD ==，则扇环ABCD 的面积S =__________．16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43___________.四、解答题17．已知1690α=．(1)把α表示成2k πβ+的形式，其中k ∈Z ，[)0,2βπ∈； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且[)4,2θππ∈--．18．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为()0L α>． (1)已知扇形的周长为10cm ，面积是24cm ，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．19．已知1570α=-︒，2750α=︒，135rad πβ=，23rad πβ=-．(1)将1α，2α用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将1β，2β用角度制表示出来，并在{}720180ββ-︒≤≤-︒内找出与它们终边相同的所有角．5.2 三角函数的概念知识点一任意角的三角函数的定义条件如图，设α是一个任意角，α∠R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)定义正弦点P的叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝余弦点P的叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝正切点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tan α，即yx＝三角函数正弦函数y＝sin x，x∠R余弦函数y＝cos x，x∠R正切函数y＝tan x，x≠π2＋kπ，k∠Z知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三公式一终边相同的角的同一三角函数的值．即=+)2sin(παk=+)2cos(παk=+)2tan(παk其中Zk∈知识点四 同角三角函数的基本关系关系式文字表述平方关系sin 2α＋cos 2α＝ 同一个角α的正弦、余弦 的 等于 商数关系sin αcos α＝ ⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∠Z同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的一、单选题1．已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为（ ）A ．3B ．12-C 3D ．122．已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．523．已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是（ ） A ．22B ．225C ．434D 4344．若12cos 13α=，且α为第四象限角，则tan α的值为（ ） A ．125B ．125-C ．512D ．512-5．已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3tan 4α=-，则cos α=（ ）A ．35B ．35C ．45-D ．456．已知α为第二象限角，则（ ） A ．sin 0α<B ．tan 0α>C ．cos 0α<D ．sin cos 0αα>7．已知P 是半径为3cm 的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置0P 开始，按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为πrad/s 2.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy ，若0π3P Ox ∠=，则点P 到x轴的距离d 关于时间t （单位：s ）的函数关系为（ ）A ．π3sin 43d t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．ππ3sin 23d t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．π3sin 43d t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．ππ3sin 23d t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．在平面直角坐标系xOy 中，P （x ，y ）（xy ≠0）是角α终边上一点，P 与原点O 之间距离为r ，比值rx叫做角α的正割，记作sec α；比值r y 叫做角α的余割，记作csc α；比值xy叫做角α的余切，记作cot α．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：5sec 4β=-；乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=-；丁：4cot 3β=． 如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁二、多选题9．下列说法错误的是（ ）A ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是6πB ．若角2rad α=，则α角为第二象限角C ．若角α为第一象限角，则角2α也是第一象限角 D ．在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内，函数tan y x =与sin y x =的图象有3个交点10．已知角α的终边与单位圆交于点3,55m P ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin α的值可能是（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．3511．已知角θ的终边经过点(2,3)--，且θ与α的终边关于x 轴对称，则（ ） A ．21sin 7θ=- B ．α为钝角C ．27cos 7α=-D ．点(tan θ，tan α)在第四象限12．已知点()(),20P m m m -≠是角α终边上一点，则（ ） A ．tan 2α B ．5cos 5α=C ．sin cos 0αα<D ．sin cos 0αα>三、填空题13．已知角α的终边经过点()1,2P ，sin 2cos sin cos αααα--+的值是____________．14．已知角2022α= ， 则sin cos tan sin cos tan αααααα++= _______________________． 15．若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记22cos sin P θθ=-，33cos sin Q θθ=-，44cos sin R θθ=-，则P 、Q 、R 的大小关系为_________．16．已知1sin cos 52παααπ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，则11sin cos αα-的值为___________.四、解答题17．已知第一象限角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点()1P m m +,，且3cos 5α=． (1)求m 及tan α的值； (2)求()sin sin cos ααα+的值．18．已知tan 2α=，求下列各式的值. (1)1sin cos αα； (2)111sin 1sin αα+-+. 19．已知2212sin cos 2cos sin αααα+=-． (1)求tan α的值； (2)求222sin 3sin cos cos αααα+-的值．20．已知第二象限角α满足sin ,cos αα是关于x 的方程2255120x x --=的两个实根. (1)求1tan tan αα+的值； (2)求()22sin cos sin 2cos sin ααααα+-的值.5.3 诱导公式知识点一 公式二～四终边关系 图示公式公式二角π＋α与角α的终边关于 对称sin(π＋α)＝ ， cos(π＋α)＝ ， tan(π＋α)＝ 公式三角－α与角α的终边关于 轴对称sin(－α)＝ ， cos(－α)＝ ， tan(－α)＝ 公式四角π－α与角α的终边关于 轴对称sin(π－α)＝ ， cos(π－α)＝ ， tan(π－α)＝知识点二 诱导公式五、六 （1）公式五=-)2sin(απ=-)2cos(απ（2）公式六=+)2sin(απ=+)2cos(απ一、单选题1．cos210︒的值等于（ ） A ．12 B ．32C ．32-D ．22-2．已知5sin 5α=，则πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．55B ．55-C ．255-D ．2553．3cos()sin 2x x ππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（ ） A ．2cos x -B ．0C ．2sin x -D ．cos sin x x -4．已知()0,απ∈，()tan 3sin παα-=，则tan α=（ ） A ．22B 2C ．2D ．22-5．若()tan π3α-=，则sin 2cos sin cos αααα-=+（ ） A ．52B ．52-C ．14-D ．146．若()1sin 2π3α+=，tan 0α<，则cos α=（ ）A ．22B ．13-C ．13D 227．已知()113sin cos 2013cos 22ππαπαα⎛⎫⎛⎫-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22sin sin cos ααα-=（ ） A ．2110 B ．32C 3D ．28．若α为任意角，则满足cos cos 2k παα⎛⎫+⋅=- ⎪⎝⎭的一个k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．下列转化结果正确的有（ ） A ．171sin62π= B ．113tan 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．150-化成弧度是76π-D ．12π化成度是15 10．在∠ABC 中，下列关系式恒成立的有（ ） A ．()sin sin A B C += B ．cos sin 22A B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()sin 22sin20A B C ++=D ．()cos 22cos20A B C ++=11．在平面直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是（ ） A ．()sin sin απβ+= B ．()sin sin απβ-= C ．()sin 2sin παβ-=- D ．()sin 2sin παβ+=12．下列说法正确的有（ ） A ．3sin 600tan 240︒+︒=B ．若已知cos31m ︒=，则2sin 239tan1491m =-︒︒C ．已知()1cos 753α︒+=，且18090α-︒<<-︒，则()22cos 15α︒-=D ．函数()1f x ax =+在区间()1,1-上存在一个零点的充分必要条件是1a <-或1a > 三、填空题13．172053sin cos tan 636πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________．14．()()cos585tan 585sin 570︒=-︒+-︒__________． 15．已知π3cos 64α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．16．若tan()2πα-=-，则3cos(2)2cos 2sin()sin 2ππααππαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫---- ⎪⎝⎭__________.四、解答题17．已知()4cos 5πα+=，且tan 0α>. (1)求tan α的值； (2)()()()2sin sin 22ππααπ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'的值.18．已知角α终边上一点()43P ,-，求下列各式的值．(1)sin cos sin cos αααα+- (2)()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．（1）已知()1sin 3πα-=，求()sin 3,cos 2ππαα⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值．（2）化简()()sin 2cos 3sin cos 22παπαππαα-⋅+⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．20．已知正弦三倍角公式：3sin 33sin 4sin x x x =-∠（1）试用公式∠推导余弦三倍角公式（仅用cos x 表示cos3x ）； （2）若角α满足sin 33sin 2αα=，求cos3cos αα的值.5.4 三角函数的图象与性质知识点一正弦函数、余弦函数的图象函数y＝sin x y＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点，⎝⎛⎭⎫π2，1，，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)正(余)弦曲线正(余)弦函数的叫做正(余)弦曲线知识点二函数的周期性1．函数的周期性一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个，使得对每一个x∠D都有x＋T∠D，且，那么函数f(x)就叫做周期函数．叫做这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．知识点三正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x图象定义域R R周期2kπ(k∠Z且k≠0)2kπ(k∠Z且k≠0)最小正周期2π奇偶性知识点四正弦函数、余弦函数的单调性与最值正弦函数 余弦函数图象定义域 RR值域单调性在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∠Z )上都单调递增，在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∠Z )上都单调递减在每一个闭区间[2k π－π，2k π](k ∠Z )上都单调递增，在每一个闭区间[2k π，2k π＋π] (k ∠Z )上都单调递减最值x ＝π2＋2k π(k ∠Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∠Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∠Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∠Z )时，y min ＝－1知识点五 正切函数的图象与性质解析式y ＝tan x图象定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∠Z 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数单调性 在每一个区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∠Z )上都单调递增 对称性对称中心⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∠Z )一、单选题1．下列关于函数tan 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（ ）A ．最小正周期为πB ．图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．在区间,312ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．图像关于直线12x π=-成轴对称2．与图中曲线对应的函数可能是（ ）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．sin y x =-D ．sin y x =-3．函数sin(2)4y x π=-的单调减区间是（ ）A ．3[,],(Z)88k k k ππππ-+∈ B ．3[2,2],(Z)88k k k ππππ-+∈ C ．37[2,2],(Z)88k k k ππππ++∈ D ．37[,],(Z)88k k k ππππ++∈ 4．已知函数()sin()f x x ϕ=+为偶函数，则ϕ的取值可以为（ ） A ．π2-B ．πC ．π3D ．05．已知函数()tan 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的有（ ）∠函数()f x 最小正周期为2π； ∠定义域为|R,,Z 28k x x x k ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭∠()f x 图象的所有对称中心为,0,Z 48k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭； ∠函数()f x 的单调递增区间为3,,Z 2828k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．函数()()sin 2,0,6f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，若方程()2f x =的解为()1212,0x x x x π<<<，则()12sin x x -=（ ）A ．23-B ．33-C ．73-D ．26-7．记函数()sin()f x x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若2()2f T =，3π4x =为()f x 的零点，则T的最大值为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π8．已知函数π()cos 22cos 2f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，给出下列结论：∠()f x 的最小正周期为2π： ∠()f x 是奇函数：∠()f x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； ∠()f x 在ππ,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．∠∠ B ．∠∠ C ．∠∠∠ D ．∠∠∠二、多选题9．下列函数以π02⎛⎫⎪⎝⎭,为对称中心的有（ ） A ．sin y x = B ．tan y x = C ．πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 2y x =10．函数()π3sin 334g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()g x 的最小正周期为6πB ．()g x 的图像关于直线π4x =对称 C ．()g x 的图像关于点5π,312⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．()g x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增11．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；B ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称；C ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减； D ．该图象向右平移3π个单位可得2sin2y x =的图象. 12．已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列命题正确的是（ ）A ．若()f x 在[0,)π上有10个零点，则3943,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．若()f x 在[0,)π上有11条对称轴，则3943,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．若()f x 2在[0,)π上有12个解，则21,122ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．若()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则35,42ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦三、填空题13．函数()=sin2+1(0)f x x ωω>在ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω取值范围为_____________14．已知函数()(25sin π,0,4f x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，设方程(),(01)f x m m =<<的根从小到大依次为123,,x x x ，且2132x x x =，则m =___________.15．设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是__________．16．设函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有2个零点，则实数ω的取值范围为______________.四、解答题17．已知函数()sin 62f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和.18．已知函数()sin()(R,0,0,0)2f x A x x A πωϕωϕ=+∈>><<的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式； (2)求不等式()1f x >的解集.19．已知函数2π()sin(2)3f x x =+. (1)请用五点法做出()f x 一个周期内的图像；(2)若函数()()g x f x m =-在区间π[0,]2上有两个零点，请写出m 的取值范围，无需说明理由.20．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，π<ϕ），其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，______；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．∠函数()f x 向左平移π6个单位得到的图象关于y 轴对称且()00f <．∠函数()f x 的一条对称轴为π3x =-且()π16f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭；(1)求函数()f x 的解析式；(2)若π17π,212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方程()()()2430f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．勉，学习需坚持。
