3有理数加减法与绝对值

学科教师辅导讲义学生姓名：年级：七课时数：3辅导科目：数学辅导教师：辅导内容：绝对值与有理数加减法辅导日期：教学目标：1.掌握绝对值的定义与几何意义2.会进行简单的有理数加减法【同步知识讲解】知识点1：绝对值知识点：1.【绝对值的几何意义】一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a. （距离具有非负性）2.【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3.【求字母a的绝对值】①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩例1.在数轴上离原点距离是3的数是________．分析：绝对值的几何定义。

例2．下列判断：①负数没有绝对值；②绝对值最小的有理数是0；③任何数的绝对值都是非负数；④互为相反数的两个数的绝对值相等，其中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个分析：绝对值的概念与应用。

变式训练：1．数轴上与表示1的点的距离是2的点所表示的数有________．2．＋6的符号是________，绝对值是________，56-的符号是_______，绝对值是_______．3．绝对值等于本身的数有( )A．1个B．2个C．4个D．无数个4．求下列数的绝对值，并用“<”号把这些绝对值连接起来．－1.5，－3.5，2，1.5，－2. 75．5．正式足球比赛时所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果：－25、＋10、－20、＋30、＋15、－40．请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识进行说明．知识点2：有理数的加法知识点：加法：同号两数相加，取相同的符号并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时，和为0（互为相反数的两个数的和为0）；绝对值不等时，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数与0相加，仍得这个数。

例1．(＋5)＋(＋7)＝_______；(－3)＋(－8)＝_______；(＋3)＋(－8)＝_______；(－3)＋(－15)＝_______；0＋(－5)＝________；(－7)＋(＋7)＝_______．分析：有理数加减法法则的简单应用。

例2：如图，数轴上A 、B 两点所表示的有理数的和是_______．分析：有理数与数轴的结合应用，找出表示的数，再进行计算。

变式训练：1．下列各组运算：3455⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、6576⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、1303⎛⎫-+ ⎪⎝⎭、()31.254⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，其中结果符号为负的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．计算：(1)3＋(－1)＋(－3)＋1＋(－4)； (2)()55412969+++-；【精题精练精讲】专题1：绝对值1．下列四个数中，绝对值比它本身大的数是( )A ．－2B ．0C ．1D ．32．绝对值最小的有理数是 ( )A ．1B ．0C ．－1D ．不存在3．在数轴上表示－2的点离开原点的距离等于 ( )A ．2B ．－2C ．±2D ．44．下列各式中，正确的是 ( )A ．若a ＝b ，则a ＝bB ．若a >b ，则a>bC ．若a<b ，则a <bD ．若a ＝b ，则a ＝±b5.已知a 为实数,.则下列四个数中一定为非负数的是( )A.a.B.-aC.|-a|D.-|-a|6.如果a ＜0,那么( )A. lal<0B.-(-a)>0C. lal>0D.-a<o7.下列说法中,错误的是( )A.+5的绝对值等于5B.绝对值等于5的数是5C.-5的绝对值是5D.+5、-5的绝对值相等8．实数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，－a ，－1的大小关系是 ( )A ．－a <a <－1B ． －1<－a <aC ．a <－1<－aD ．a <－a <－19．3.14π-= ．x =3-，则x = ．10．若1a ++(b －2)2=0，则(a + b )2015+a 2016= ．11．若|－x |＝|－7|，则x ＝________；若|x |＝－(－8)，则x ＝________．=-，它在数轴上的意义是表示5的点与原点(即表示０的点)之间的距离，又如式子，12．大家知道550a+在数轴上的意义是________．它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子513．若|2+a|+|3﹣b|=0，则a b= ．14.把下列各组数用“＜"号连接起来:(1)(2)|-5|, -6, -|-5| ,-(-10), -|-10|;15.己知|a|=2,|b|=5,且a＞b,求a,b的值.16.已知|a+1|+|b-2|+|c+3|=0,求|a|+|b|+|c|的值,17．(1) 在数轴上点A表示7，点B，C表示互为相反数的两个数，且C与A间的距离为2，求点B，C对应的数是什么?(2) 如果点M，N在数轴上表示的数分别是a，b，且a=3，b=1，试确定M，N之间的距离．18．已知A，B在数轴上分别表示a，b．(1) 对照数轴填写下表：(2) 若A ，B 两点的距离记为d ，试问：d 和a ，b 有何数量关系?(3) 若点C 表示的数为x ，当点C 在什么位置时，1x ++2x -取得最小值? 最小值是多少?(4) 当x 满足什么条件时，4x -－3x +的值始终是7．19.有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，试比较a ，b ，|a |，－b 的大小，并用“<”号把它们连接起来．20．数形相伴．(1)如图，点A 、B 所代表的数分别为－1，2，在数轴上画出与A 、B 两点的距离和为5的点(并标上字母)．(2)若数轴上点A 、B 所代表的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离可表示为AB ＝a b -，那么，12x x ++-＝7时，当＝7时，x ＝_______；当12x x ++->5时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在_______．专题2：有理数加法I,判断:(1)绝对值相等的两个数的和为0( )(2)若两个有理数的和为负数,则这网个数至少有一个是负数( )(3)如果某数比-5大2,则这个数的绝对值是3( )2.已知两个有理数的和为正数,则这两个有理数( )2830 -+-B．－6．计算：(1)()()110.53 2.75542⎛⎫⎛⎫---++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)()112 2.511222---+--；(3)[1.4－(－3.6＋5.2)－4.3]－(－1.5) ； (4)()111112346⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+--⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭；(5)11323413243⎧⎫⎡⎤⎛⎫------⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．7．下表列出了国外几个城市与北京的时差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数)．(1)如果现在的北京时间是中午12：00，那么东京时间是多少？(2)如果小颖给远在纽约的舅舅打电话，她在北京时间14：00打电话，你认为合适吗？8．计算：1511914117111234567892612203042567290-+-+-+-+．专题5：绝对值与数轴1.如图，数轴上标出的点中任意相邻两点间的距离都相等，则a 的值为（ ）A.0B.2C.4D.102.数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系4=21×（2+6），那么到点100和到点999距离相等的点表示的数是 ；到点m 和点-n 距离相等的点表示的数是 。

3.如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，其中AB=BC，若a>b>c,则该数轴的原点O 的位置应该在。

x=1，这样的数x可以4.在数轴上，表示数x的点与表示数1的点的距离等于1，其几何意义可表示为1-是0或2.（1）等式|x-2|=2的几何意义可仿上解释为：在数轴上______，其中x的值可以是______．（2）等式|x+3|=2的几何意义可仿上解释为：在数轴上______，其中x的值可以是______．（3）在数轴上，表示数x的点与表示数5的点的距离等于6，其几何意义可以表示为______，其中x的值可以是______．5.如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去．第n次移动到点An，则点A2015表示的数是___ ．【知识能力训练】1．（2018秋•海淀区校级期中）下面材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|当A、B两点都不在原点时，（1）如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|（2）如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|（3）如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|综上，数轴上A、B两点的距离|AB|＝|a﹣b|回答下列问题：（1）数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为；（3）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．【分析】本题应从绝对值在数轴上的定义（绝对值定义是坐标轴上的点到原点的距离）下手，分别解出答案．【解答】解：（1）﹣2﹣（﹣5）＝﹣2+5＝3；所以﹣2与﹣5两点之间的距离是3；（2）因为|x+1|＝2，所以x＝1或﹣3；（3）根据绝对值的定义，|x+1|+|x﹣2|可表示为x到﹣1与2两点距离的和，根据绝对值的几何意义知，当x在﹣1与2之间时，|x+1|+|x﹣2|有最小值3．故答案为：（1）3 （2）1或﹣3 （3）﹣1≤x≤22．（2017秋•海淀区校级期末）已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝；（2）当x＝时，点P到点A、点B的距离之和是6；（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是；（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动秒时，点P到点E，点F的距离相等．【解答】解：（1）由题意得，|x﹣（﹣3）|＝|x﹣1|，解得x＝﹣1；（2）∵AB＝|1﹣（﹣3）|＝4，点P到点A，点B的距离之和是6，∴点P在点A的左边时，﹣3﹣x+1﹣x＝6，解得x＝﹣4，点P在点B的右边时，x﹣1+x﹣（﹣3）＝6，解得x＝2，综上所述，x＝﹣4或2；（3）由两点之间线段最短可知，点P在AB之间时点P到点A，点B的距离之和最小，所以x的取值范围是﹣3≤x≤1；（4）设运动时间为t，点P表示的数为﹣3t，点E表示的数为﹣3﹣t，点F表示的数为1﹣4t，∵点P到点E，点F的距离相等，∴|﹣3t﹣（﹣3﹣t）|＝|﹣3t﹣（1﹣4t）|，∴﹣2t+3＝t﹣1或﹣2t+3＝1﹣t，解得t＝或t＝2．故答案为：（1）﹣1；（2）﹣4或2；（3）﹣3≤x≤1；（4）或2．3．（2018秋•锡山区校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是．（4）当a＝1时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【分析】（1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可；（2）先去掉绝对值号，然后进行计算即可得解；根据两点间的距离的表示列式计算即可得解；（3）找到﹣2和5之间的整数点，再相加即可求解；（4）判断出a＝1时，三个绝对值的和最小，然后进行计算即可得解．【解答】解：（1）|1﹣4|＝3，|﹣3﹣2|＝5，|a﹣（﹣1）|＝3，所以，a+1＝3或a+1＝﹣3，解得a＝﹣4或a＝2；（2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间，∴a+4＞0，a﹣2＜0，∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6；（3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12．故这些点表示的数的和是12；（4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7．故答案为：3，5，﹣4或2；6；12；1；7．【课后知识应用】1．某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高( )．A．-10℃ B．-6℃ C．6℃ D．10℃2.（吉林）若等式0□1=﹣1成立，则□内的运算符号为（）A． + B．﹣C．×D．÷3．两个有理数相加，和小于其中一个加数而大于另一个加数，需满足（）A．两个数都是正数 B．两个数都是负数C．一个是正数，另一个是负数 D．至少有一个数是零4．下列说法中正确的是A．正数加负数，和为0B．两个正数相加和为正；两个负数相加和为负C．两个有理数相加，等于它们的绝对值相加D．两个数的和为负数，则这两个数一定是负数5．下列说法正确的是( )A．零减去一个数，仍得这个数B．负数减去负数，结果是负数C．正数减去负数，结果是正数D．被减数一定大于差6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 ( )A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg7. -3+5的相反数是( )．A．2 B．-2 C．-8 D．88.有理数,,a b c c在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”（1）｜a｜______｜b｜；（2）a＋b＋c______0：（3）a－b＋c______0；（4）a＋c______b；（5）c－b______a．9. （上海）计算：|﹣2|+2=________．10．某月股票M开盘价20元，上午10点跌1.6元，下午收盘时又涨了0.4元，则股票这天的收盘价是_______．11．列出一个满足下列条件的算式：(1)所有的加数都是负数，和为-5，________；(2)一个加数是0，和是-5________；(3)至少有一个加数是正整数，和是-5，________．12. 数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a ☆b＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2的值是 .13.如图所示，数轴上A、B两点所表示的有理数的和是_________．14.计算题（1）232(1)(1)( 1.75)343-----+-（2）132.1253(5)(3.2)58-+---+（3）21772953323+---（4）231321234243--++-+（4）2312()() 3255 ---+--+-（5）123456782001200220032004 -+-+-+-+--+-+a=±2, b=±∵|b|=3, ∴, a+b=(+2)+(+3)=+5;。