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§06. 不等式知识要点1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>-（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么 .2a b ab +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大.（ 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. ） 3,3a b c a b c R abc +++∈≥(4)若、、则（当仅当a=b=c 时取等号）0,2b a ab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 （8）0,0a b m >>>，则b b m a a m+<+（糖水的浓度问题）4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a ,b 都是正数，那么 222.1122a b a b ab a b ++≤≤≤+（当仅当a=b 时取等号） 即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）： 特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a n a a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd a b c d +≤++. 常用不等式的放缩法：①211111111(1)(1)1n n n n n n n n n-=<<=-++-- ②11111121k k k k k k k k k+-=<<=-+++-+ 5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造、图解法、数学归纳法(1)比较法：作差——分解因式、配方等——判断符号——结论（也可作商与比较）(2)综合法：利用不等式性质、定理证明不等式(3)分析法：从欲证不等式出发，寻找它成立的充分条件.注意书写的规范性，否则可能不得分。
高考不等式知识点总结高考数学中不等式是一个非常重要的知识点，占据着较大的比重。
下面是对高考数学中不等式知识点的完整总结：一、基本概念和性质1.不等关系：对于实数a和b，如果a=b，则称a等于b；如果a≠b，则称a不等于b。
当a不等于b时，可以断定a大于b（记作a>b），或者a小于b（记作a<b）。
2.不等式：不等式是由不等关系得到的等式，包括大于等于不等式（a≥b）和小于等于不等式（a≤b）。
3.基本性质：(1)若a>b且b>c，则a>c；(2) 若a>b且c>0，则ac>bc；(3) 若a>b且c<0，则ac<bc；(4)若a>b且c≥0，则a+c>b+c；(5)若a>b且c≤0，则a+c>b+c。
4.解不等式：与解方程类似，解不等式是指寻找满足不等式的解的过程。
5.不等式的性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个同号的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个异号的数，不等号方向改变。
二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：求解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。
在解过程中，可以通过加减法、乘除法保持不等式不变。
2.不等式组：由多个不等式组成的方程组，称为不等式组。
求解不等式组的关键是确定每个不等式的集合和并集。
三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：求解一元二次不等式的关键是确定不等式的根及开口方向。
可以根据系数的正负、零点的位置和变号法等来确定解的范围。
2.二次函数与一元二次不等式：通过对一元二次不等式的解法，可以进一步理解和应用二次函数的性质。
四、绝对值不等式1.绝对值不等式的性质：对于绝对值不等式，可以利用绝对值的性质将其拆分为多个实数的不等式。
2.解绝对值不等式的关键是分情况讨论。
将绝对值不等式中的绝对值拆分出来，分别讨论绝对值内外的情况，从而得到解的范围。
不等式汇总
【知识图解】
【方法点拨】
不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实
际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点
. 1.
掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式求
最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。
2.
一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系和相互转化。
3.线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，
对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，
能解决简单的线性规划问题。
同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。
不等
式一元二次不等式
基本不等式
二元一次不等式组
应用
解法
应用
几何意义
应用
证明。
第51课时：第六章 不等式——含绝对值的不等式课题：含绝对值的不等式一．复习目标：1．理解含绝对值的不等式的性质，及其中等号成立的条件，能运用性质论证一些问题；2．会解一些简单的含绝对值的不等式．二．知识要点：1．含绝对值的不等式的性质：①||||||||||a b a b a b -≤+≤+，当 时，左边等号成立；当 0 ab ≥时，右边等号成立．②||||||||||a b a b a b -≤-≤+，当 时，左边等号成立；当 时，右边等号成立．③进而可得：||||||||||a b a b a b -≤±≤+．2．绝对值不等式的解法： ①0a >时，|()|()()f x a f x a f x a >⇔><-或；|()|()f x a a f x a <⇔-<<；②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法；③根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式．三．课前预习：1．不等式|lg ||||lg |x x x x -<+的解集为 （ ）()A (0,)+∞ ()B (0,1) ()C (1,)+∞ ()D (1,10)2．不等式1|21|2x ≤-<的解集为 （ ）()A 13(,0)[1,)22- ()B 13{01}22x x -<<≤≤且 ()C 13(,0][1,)22- ()D 13{01}22x x -<≤≤<且3．()f x 为R 上的增函数，()y f x =的图象过点(0,1)A -和下面哪一点时，能确定不等式|(1)|1f x -<的解集为{|14}x x << （ ）()A (3,1) ()B (4,1) ()C (3,0) ()D (4,0)4．已知集合{||1|}A x x a =-≤，{||3|4}B x x =->，且A B φ=，则a 的取值范围是 ．5．设有两个命题：①不等式|||1|x x m +->的解集是R ；②函数()(73)x f x m =--是减函数，如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是 ．四．例题分析：例1．已知01x <<，01a <<，试比较|log (1)|a x -和|log (1)|a x +的大小．例2．求证：||||||1||1||1||a b a b a b a b +≤+++++．例3．设,,a b c R ∈，已知二次函数2()f x ax bx c =++，2()g x cx bx a =++，且当||1x ≤时，|()|2f x ≤，（1）求证：|(1)|2g ≤；（2）求证：||1x ≤时，|()|4g x ≤．例4．设m 等于||a 、||b 和1中最大的一个，当||x m >时，求证：2||2a b x x +<．五．课后作业：1．若,a b R ∈，且||||a c b -<，则 （ ）()A ||||||a b c <+ ()B ||||||a b c >- ()C a b c <+ ()D a b c >-2．若0m >，则||x a m -<且||y a m -<是||2x y m -<的 （ ）()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 、()g x ，设不等式|()||()|f x g x a +<(0)a >的解集是M ，不等式|()()|f x g x a +<(0)a >的解集是N ，则集合M 、N 的关系是 （ ）()A N M ≠⊂ ()B M N = ()C M N ⊆ ()D M N ≠⊂4．不等式||22x x x x ≥++的解集是 ． 5．不等式|4||3|x x a -+-<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ．6．若实数,a b 满足0ab >，则①||||a b a +>；②||||a b b +<；③||||a b a b +<-；④||||a b a b +>-．这四个式子中，正确的是 ．7．解关于x 的不等式2||x a a -<（a R ∈）． 8．解不等式：（1）2|1121|x x x -+>；（2）|3||21|12x x x +-->+．9．设有关于x 的不等式lg(|3||7|)x x a ++->，（1）当1a =时，解这个不等式；（2）当a 为何值时，这个不等式的解集为R ．10．设二次函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-，都有|()|1f x ≤， 求证：（1）||1a c +≤；（2）对一切[1,1]x ∈-，都有|2|4ax b +≤．。
完整版高中数学不等式知识点总结高中数学中的不等式是学习数学中非常重要的一部分，在中高考中，不等式占据了较多的分数比重。
本文将对高中数学中的不等式进行全面的总结，内容涵盖了不等式的概念、基础知识、理论与定理、解题思路、常用不等式以及与其他章节的联系等方面。
一、不等式的概念与基础知识不等式是指含有不等关系的算式，一般表示成 a<b 或a>b，其中 a、b 可以是实数、分数或代数式等。
当 a<b 时，称 a 小于 b，也可以写成 b 大于 a；当 a>b 时，称 a 大于b，也可以写成 b 小于 a。
在不等式中，表示关系的符号“<”和“>”称为不等号。
解不等式可以用图像法、正推反证法和直接法等方法。
图像法：绘制不等式所代表的曲线或图形，在图形中表示不等关系所代表的区域，最终得出解不等式的集合。
正推反证法：通过推理判断得出不等式的解，其中正推法是根据不等式的性质进行推导和运算，而反证法则是通过推翻假设得出结论。
直接法：对不等式进行变形、化简和运算，得出解的过程。
不等式的基础知识：1. 加减法原则：若 a<b，则 a+c<b+c，a-c<b-c（c 为任意实数）。
2. 乘除法原则：若 a<b 且 c>0，则 ac<bc，a/c<b/c；若 a<b 且 c<0，则 ac>bc，a/c>b/c。
3. 平均值不等式：对于任意两个正数 a 和 b，有(a+b)/2>=√ab，等号当且仅当 a=b 时取到。
二、不等式的理论与定理1. 不等式传递性：若 a<b，b<c，则 a<c。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个实数序列a1,a2,...,an 和 b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=((a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^ 2+...+bn^2))，等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=...=an/bn 时取到。
不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
一元一次不等式的符号方向：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。
在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：AB，A+CB+C在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式符号不改向;例如：AB，A-CB-C在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：AB，AxCBxC(C0)在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：AB，AxC如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。
1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a>bb>a②传递性:a>b，b>ca>c③可加性:a>ba+c>b+c④可积性:a>b，c>0ac>bc⑤加法法则:a>b，c>da+c>b+d⑥乘法法则：a>b>0，c>d>0ac>bd⑦乘方法则：a>b>0，an>bn(n∈N)⑧开方法则：a>b>02.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+，那么(当且仅当a=b时等号) 如果为实数，则重要结论(1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
高三数学不等式知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在高三数学学习中，掌握不等式的相关知识点对于理解和解决问题至关重要。
本文将对高三数学中的不等式知识点进行总结。
1. 不等式的基本性质不等式的基本性质包括：- 加法性质：如果a > b，那么a + c > b + c。
- 减法性质：如果a > b，那么a - c > b - c。
- 乘法性质：如果a > b，c > 0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。
- 除法性质：如果a > b，c > 0，那么a/c > b/c；如果a > b，c < 0，那么a/c < b/c。
2. 不等式的解集表示法解不等式时常常需要表示出解集，常见的表示方法有：- 图形表示法：将不等式的解集在数轴上用图形表示出来，例如用方向箭头表示不等式的解集。
- 区间表示法：使用区间表示法表示解集，例如(a, b)表示开区间，[a, b]表示闭区间，(a, b]表示半开半闭区间，等等。
- 集合表示法：使用集合的符号表示解集，例如{x | a < x < b}表示大于a小于b的x的集合。
3. 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。
解一元一次不等式的方法与解方程类似，不同的是在解的过程中需要注意保持不等式的方向性。
- 加减法解不等式：通过加减同一个数使得不等式简化，确定不等式的方向。
- 乘除法解不等式：通过乘除同一个正数或负数使得不等式简化，确定不等式的方向。
4. 一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。
解一元二次不等式的关键是确定二次函数的图像与x轴的位置关系。
- 求解不等式组：将二次不等式转化为不等式组的形式，通过观察二次函数的变化趋势求解。
- 图像法求解：绘制二次函数的图像，根据图像与x轴的位置关系得出解集。
高考数学不等式知识点解析在高考数学中，不等式是一个重要的知识点，它不仅在函数、几何等多个领域有着广泛的应用，也是考查学生逻辑思维和运算能力的重要内容。
接下来，让我们一起深入了解一下高考数学中不等式的相关知识。
一、不等式的基本性质1、对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a 。
例如，5 ＞ 3，那么 3 ＜ 5 。
2、传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c ，则 a ＞ c 。
比如，8 ＞ 5 ，5 ＞ 2 ，所以 8 ＞ 2 。
3、加法法则：若 a ＞ b ，则 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
也就是说，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变。
4、乘法法则：若 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；若 a ＞ b 且 c ＜0 ，则 ac ＜ bc 。
例如，当 2 ＞ 1 ，乘以 3 （正数）得到 6 ＞ 3 ；乘以－2 （负数）得到－4 ＜－2 。
二、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤为：1、去分母（如果有分母的话），但要注意乘以正数时不等号方向不变，乘以负数时不等号方向改变。
2、去括号。
3、移项，将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
4、合并同类项。
5、系数化为 1 ，根据不等式的性质，确定不等号方向是否改变。
例如，解不等式 2x ＋ 5 ＞ 9 ，首先移项得到 2x ＞ 9 5 ，即 2x ＞4 ，然后系数化为 1 ，得到 x ＞ 2 。
三、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元二次不等式。
解一元二次不等式的关键是求出其对应的一元二次方程的根。
可以通过判别式Δ ＝ b² 4ac 来判断根的情况。
当Δ ＞ 0 时，方程有两个不同的实根 x₁和 x₂（x₁＜ x₂），则不等式的解集为 x ＜ x₁或 x ＞ x₂（大于大根，小于小根）。
高考不等式涉及的知识点高考数学中，不等式是一个重要的知识点，也是学生们需要掌握的基础内容之一。
在高考中，不等式题目通常出现在数学试卷的选择题和解答题中，涉及了许多重要的数学概念和思维方法。
本文将通过逐步的思考，介绍高考不等式涉及的主要知识点。
一、不等式的基本概念不等式是用不等号连接的两个数或两个算式，表示这两个数的大小关系。
不等式中的不等号可以是大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)、小于等于号(≤)。
例如，1+2<4表示1+2的值小于4。
二、不等式的解集对于一个不等式，我们需要找出使得不等式成立的所有数的集合，这个集合被称为不等式的解集。
例如，不等式2x-3>5的解集表示为{x|x>4}，表示当x大于4时，不等式成立。
三、不等式的性质1.加减性质：如果不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等式的方向不变。
例如，对于不等式2x-3>5，如果两边同时加上3，得到2x>8，方向不变。
2.乘除性质：如果不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等式的方向不变；如果乘以（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。
例如，对于不等式2x-3>5，如果两边同时乘以2，得到4x-6>10，方向不变；如果两边同时乘以-1，得到-2x+3<-5，方向改变。
3.倒数性质：如果两边同时取倒数，不等式的方向改变。
例如，对于不等式2x-3>5，如果两边同时取倒数，得到1/(2x-3)<1/5，方向改变。
四、不等式的求解方法解不等式的方法主要有图像法、试探法和代数法。
1.图像法：将不等式转化为图像在直角坐标系中的表示，通过观察图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式x+2>0，可以绘制出直线y=-2，然后确定直线上的点对应的x值的范围，即为不等式的解集。
2.试探法：通过尝试不同的数值，来判断不等式的解集。
例如，对于不等式x^2-4<0，可以尝试x取不同的值，如x=0、x=1、x=-1等，来确定不等式的解集。
不等式知识点高考高考中的不等式知识点在高考数学中，不等式是一个重要的知识点，它作为一种数学表达方式，可以用来描述数值之间的大小关系。
掌握不等式的运算法则和解题方法，对于高考数学的考试成绩至关重要。
一、不等式的基本概念不等式是指用不等号（<，>，≤，≥）连接两个数或两个代数式的数学式子。
不等式中的符号有特定的含义，大于号（>）表示左边的数大于右边的数，小于号（<）表示左边的数小于右边的数，大于等于号（≥）表示左边的数大于或等于右边的数，小于等于号（≤）表示左边的数小于或等于右边的数。
二、不等式的性质和运算法则不等式的性质和运算法则是解不等式问题的基础。
在运算不等式时，需要遵守以下几个常用的法则：1. 加减法则：若a>b，则a+c>b+c（a，b，c均为实数）；若a>b，c<0，则a+c>b+c。
2. 乘除法则：若a>b，且c>0，则ac>bc；若a>b，且c<0，则ac<bc。
3. 反号法则：若a>b，则-b>-a。
4. 绝对值不等式：若|a|<b，则-b<a<b。
三、不等式的解集表示解不等式即确定所有满足不等式条件的数值或代数式的集合。
不等式的解集可以用不等式表示，也可以用集合表示。
以下是常见的几种解集表示方法：1. 不等式表示：例如x>1，表示x的取值范围大于1。
2. 区间表示：用（a，b）表示满足条件的数值范围，其中a和b为实数。
例如(1，+∞)表示大于1的所有实数。
3. 集合表示：用集合的形式表示不等式的解集。
例如{x｜x>1}表示大于1的所有实数。
四、不等式的应用不等式在高考数学中的应用广泛，涉及到许多重要的数学概念和方法。
以下是不等式在高考数学中的一些典型应用：1. 最值问题：通过不等式求解某个函数的最值问题，例如求一元二次函数的最值。
2. 证明题：使用不等式进行数学定理的证明，如柯西不等式、阿贝尔不等式等。
高中数学第六章-不等式考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │§06. 不 等 式 知识要点1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a ba b+≤+（当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd a b c d +≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n nn n-==-≥++--1)2n nn n ==≥+-（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬⇔≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x+=+≥与同号，故取等。
高考数学必考知识点不等式：不等式导语：高考数学中，不等式是必考的重要知识点之一，掌握不等式的基本性质和解题方法对提高数学成绩至关重要。
本文将重点介绍不等式的基本概念、性质和解题方法。
一、不等式的基本概念不等式是数学中比较两个数大小关系的一种符号表示法。
常见的不等式符号包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
二、不等式的性质1. 传递性：若a>b，b>c，则a>c。
即不等式大小关系具有传递性的特点。
2. 加减性质：若a>b，则a+c>b+c；若a>b，c>0，则ac>bc。
即不等式两边同时加上或减去相同的数，不等式的大小关系不变；不等式两边同时乘以一个正数（或除以一个正数），大小关系不变；不等式两边同时乘以一个负数（或除以一个负数），不等式的大小关系发生改变。
3. 倒置性质：若a>b，则-b>-a；若a>b，c<0，则ac<bc。
即不等式两边同时乘以-1，不等式的大小关系发生倒置。
4. 倒数性质：若a>b，c>d且c>0，d>0，则1/a<1/b；若a>b，c>d且c<0，d<0，则1/a>1/b。
5. 平方性质：对于正实数a和b，若a>b，则a²>b²；若a=b，则a²=b²；若a<0，b<0，则a²>b²。
即不等式两边同时平方，不等式的大小关系不变。
三、不等式的解题方法1. 直接比较法：通过观察和比较不等式中数的大小关系，直接求解不等式。
例题1：解不等式3x+5>2x-1。
解：首先将不等式移到等式两边，得3x-2x>-1-5，即x>-6。
例题2：解不等式(x+1)(x-2)<0。
解：使用区间法解不等式，首先找出等式的零点x=-1和x=2，然后根据零点将数轴划分为三个区间：(-∞，-1)，(-1，2)和(2，+∞)。
第六章：不等式、推理与证明Ⅰ不等关系与不等式，一元二次不等式、可分解因式的高次不等式、绝对值不等式、分式不等式及其解法1、实数的运算性质和大小顺序间的关系；；；2、不等式的基本性质（熟记）（1）反对称性：如果，那么；如果，那么；（2）传递性：如果且，那么；如果且，那么；（3）可加性：如果，那么；（4）可乘性：如果且，那么；如果且，那么；（5）乘方法则：如果，那么；（6）开方法则：如果，那么；3、一元二次不等式的解法（略）复习韦达定理：对于方程（）两根为，则有4、绝对值不等式的解法（重点掌握）（1）绝对值的意义：；（2）绝对值不等式的解法：1）当时，；；2）当时，不等式的解集为；不等式的解集为无解或空集；3）当时，不等式的解集为；不等式的解集为无解或空集；4）当时，；；（3）型不等式的解法：（重点掌握）1）零点分段法：即令各个绝对值为0，解出零点，然后在数轴上把数轴分成几个区间来分别讨论；2）利用绝对值的几何意义:数形结合思想；3）通过构造函数，利用函数图像求解（函数与方程结合思想），一般需要按1）的方法将函数写成分段函数形式；（4）绝对值不等式的几个重要结论：（重点掌握）1）如果是实数，那么，当且仅当时，等号成立；2）如果是实数，那么，当且仅当异号时，等号成立；3）如果是实数，那么，当且仅当时，等号成立；5、简单分式不等式的解法（掌握）此类不等式切忌去分母，一律移项通分化为形式，再转化为求解；6、可化为的高次不等式的解法：（掌握）数轴标根法（穿针引线法、数轴穿根法）解高次不等式（考试一般最多只考查到三项）基本思路：将不等式化为含未知数一次因式的连乘或连除即：，找到使得各个因子等于零的x的值，将这些值按大小关系在数轴上标出，再从右上方开始画一条曲线，顺次穿过各点，数轴上方的部分标“+”即不等式 >0时的取值范围，数轴下方的部分标“-”即不等式<0时的取值范围。
注意事项：1）当为连续相乘时，可不考虑“不等式0（0）”是否可以取得使一次因子为0的值；当有除数因子存在时，必须考虑“不等式0（0）” 是否可以取得使一次因子为0的值；2）当化简的不等式里面存在同一个一次因式的多次方时，则在“穿线”时要遵循：奇穿偶不穿规则，即如果是偶数次方，则画曲线时不考虑该点，越过该点穿越下一个点，如果是奇数次方，则必须要穿过该点。
高考不等式的知识点总结高考数学中的不等式是一个关键的考点，涉及到不等式的性质、解不等式、不等式的证明等方面。
掌握不等式的知识对于高考数学的学习非常重要。
接下来，我将对高考不等式的知识点进行总结，希望能帮助广大考生更好地备考。
一、不等式的性质首先，不等式的性质是我们理解不等式方程的基础。
不等式性质的理解对于后续的解不等式问题具有重要意义。
1.1 不等式的传递性不等式具有传递性，即如果 a > b，b > c，则 a > c。
这个性质在解不等式过程中常常被使用，特别是在比较大小时。
1.2 倒数性质设 a > b，则 1/a < 1/b。
这个性质在不等式的推导中经常用到，可以将不等式中的分数项化为倒数，从而简化计算。
1.3 开方性质当 a > b 且 a > 0，那么√a > √b。
这个性质常常用于解决存在根号的不等式问题。
需要注意的是，若 a < 0，则不能对不等式两边同时开方。
二、不等式的解法在高考中，不等式的解法通常包括两种：代数法和图像法。
2.1 代数法代数法是通过变量的代入、移项、取绝对值等方式解决不等式问题的方法。
主要包括以下几种情况：2.1.1 一元一次不等式例如：ax + b > 0。
可以根据 a 的正负来讨论其解集情况。
2.1.2 一元二次不等式例如：ax^2 + bx + c > 0。
可以运用求根公式求出方程的根，根据其正负确定不等式的解集。
2.1.3 绝对值不等式例如：|ax + b| > c。
可以根据绝对值的性质进行讨论，注意分情况讨论。
2.2 图像法图像法是通过将不等式转化为图像问题，通过观察图像来解决不等式问题的方法。
主要包括以下几种情况：2.2.1 一元一次不等式可以通过绘制一次函数的图像，确定函数曲线与 x 轴的相对位置，从而确定不等式的解集。
2.2.2 一元二次不等式可以通过绘制二次函数的图像，确定函数曲线与 x 轴的相对位置，从而确定不等式的解集。
(完整版)高中数学不等式知识点总结高中数学中，不等式是一个重要的内容，它是解决数学问题的一种有力工具。
不等式是一种用于描述数值的大小关系的数学语句，它包含“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等符号。
在数学考试中，不等式问题常常出现在基础知识和综合应用的部分，所以对不等式的学习是非常必要的。
下面我将为大家总结一下高中数学中关于不等式的知识点。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是数值之间大小关系的表达式，由关系符号和数值构成。
2. 关系符号的含义：- 大于：表示前面的数比后面的数要大，如a>b。
- 小于：表示前面的数比后面的数要小，如a<b。
- 大于等于：表示前面的数比后面的数大或相等，如a≥b。
- 小于等于：表示前面的数比后面的数小或相等，如a≤b。
二、不等式的性质及常用规则1. 不等式的性质：- 若a>b，则-a<-b。
- 若a>b，则a+c>b+c。
- 若a>b，则ac>bc（当c为正数时）。
- 若a>b，则ac<bc（当c为负数时）。
- 若a>b，且c>0，那么a/c>b/c。
- 若a>b，且c<0，那么a/c<b/c。
2. 不等式的常用规则：- 加法规则：若a>b，则a+c>b+c。
- 减法规则：若a>b，则a-c>b-c。
- 乘法规则：若a>b（c>0），则ac>bc；若a<b（c<0），则ac<bc。
- 除法规则：若a>b（c>0），则a/c>b/c；若a<b（c<0），则a/c<b/c。
- 对称性：若a>b，则-b<-a。
三、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解集表示法：- 解集用区间表示。
- 开区间：解集中的数不包括端点。
- 闭区间：解集中的数包括端点。
2. 不等式的性质应用举例：- 若a>0，则-1/a<0。
高考不等式综合知识点一、引言高考数学中，不等式是一个非常重要的知识点。
掌握不等式的综合知识点对于解题起到了至关重要的作用。
本文将从不等式的基本概念、性质和解题技巧等方面进行论述。
二、不等式的基本概念不等式是数学中一种使用不等号（如大于号、小于号等）连接的数学关系。
不等式中的元素可以是数字、变量、以及数字和变量的运算组合。
例如，8>6，表示8大于6；2x-3>5，表示2x-3大于5。
三、不等式的性质1. 传递性：如果a>b，b>c，那么a>c。
这个性质可以帮助我们简化不等式的证明过程。
2. 加减性：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。
这个性质表示，不等式两边同时加上或者减去相同的数，不等关系保持不变。
3. 乘除性：如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac<bc。
这个性质表示，不等式两边同时乘以正数（或除以负数），不等关系保持不变。
4. 对称性：对于任意的a和b，如果a>b，那么b<a。
这个性质表示，改变不等式两边的顺序，不等关系保持不变。
四、不等式的解题技巧1. 合并同类项：在不等式中，可以对一些具有相同变量的项进行合并，以简化不等式的形式。
2. 分析符号：在解不等式时，需要分析符号的规律。
例如，负负得正，正负得负等。
根据符号的规律，可以推导出符合条件的不等式解。
3. 假设法：在解不等式时，可以假设一个条件，然后通过推导和验证来确定解的范围。
这种方法在解绝对值不等式时尤为有效。
4. 区间法：在解求解不等式时，可以将不等式转化为区间的表示形式。
例如，对于不等式2x-3>5，可以将其转化为2x>8，再转化为x>4。
通过区间法来研究不等式的解集。
五、例题解析1. 已知不等式5x-3<2x+7，求x的取值范围。
解：首先，将不等式中的同类项合并，得到3x<10。
高中数学 第六章——不等式
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：
（1）理解不等式的性质及其证明．
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
（4）掌握简单不等式的解法．
（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │
§06.不等式 知识要点
1.不等式的基本概念
（1）不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>-
（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.
（3）同向不等式与异向不等式.
（4）同解不等式与不等式的同解变形.
2.不等式的基本性质
（1）a b b a <⇔>（对称性）
（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）
（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）
（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加）
（5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）
（6）bc ac c b a >⇒>>0,.
（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）
（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）
(9)0,0a b a b c d c d >><<⇒>（异向不等式相除）
11(10),0a b ab a b
>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）
（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若
（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）
（3）如果a ,b
.2
a b +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：
○
1如果P 是定值,那么当x=y 时，S 的值最小； ○
2如果S 是定值,那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.
,3
a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号）
0,2b a ab a b
>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）
2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或
（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若
4.几个著名不等式
（1）平均不等式：如果a ,b
都是正数，那么2
112a b a b ++（当仅当a=b 时取等号）
即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）： 特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a =b 时，222()22
a b a b ab ++==） ),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a n
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b
c
d +≤++. 常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n
-==-≥++--
1)n ==≥
（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则
若n
n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,, （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有 12121212()()()()()().2222
x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或 则称f(x)为凸（或凹）函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.
特例①一元一次不等式ax >b 解的讨论；
②一元二次不等式ax 2
+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0()()0()()0;0()0
()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解
1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬⇔≥⎨⎭⎪>⎩
定义域 ○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或○
3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]
([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式
()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b
>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅> （5）对数不等式：转化为代数不等式
()0()0log ()log ()(1)()0;
log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩
（6）含绝对值不等式
○
1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想； ○
3应用化归思想等价转化 ⎩
⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为 注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：
①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=
⋅--≤=
②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x
+=+≥与同号，故取等。
