高中数学 第二章 解析几何初步 章末复习

章末复习(二)学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想．1．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．2．点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外．(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内．(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上．3．直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r→相离；d＝r→相切；d<r→相交．4．圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则5．求圆的方程时常用的四个几何性质6．与圆有关的最值问题的常见类型(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题． 7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B | ＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ].注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 8．空间中两点的距离公式空间中点P 1(x 1，y 1，z 1)，点P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2.类型一 求圆的方程例1 根据条件求下列圆的方程．(1)求经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上的圆的方程；(2)求半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，被直线x －y ＝0截得的弦长为42的圆的方程． 考点 圆的标准方程题点 圆心在某直线上求圆的标准方程 解 (1)由题意知，线段AB 的垂直平分线方程为 3x ＋2y －15＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3，∴圆心C (7，－3)，半径为r ＝|AC |＝65. ∴所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65. (2)方法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心坐标为(a ，b )，半径为r ＝10， 圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为d ＝|a －b |2.由半弦长，弦心距，半径组成直角三角形，得 d 2＋⎝⎛⎭⎫4222＝r 2， 即(a －b )22＋8＝10，∴(a －b )2＝4.又∵b ＝2a ，∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.方法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝10， ∵圆心C (a ，b )在直线y ＝2x 上，∴b ＝2a . 由圆被直线x －y ＝0截得的弦长为42， 将y ＝x 代入(x －a )2＋(y －b )2＝10， 得2x 2－2(a ＋b )x ＋a 2＋b 2－10＝0.设直线y ＝x 交圆C 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝42， ∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16.∵x 1＋x 2＝a ＋b ，x 1x 2＝a 2＋b 2－102，∴(a ＋b )2－2(a 2＋b 2－10)＝16，即a －b ＝±2.又∵b ＝2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.反思与感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤 第一步：选择圆的方程的某一形式．第二步：由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)． 第三步：解出a ，b ，r (或D ，E ，F )． 第四步：代入圆的方程．注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．跟踪训练1 如图所示，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为________________．考点 圆的弦长问题题点 直线和圆相交求圆的方程 ★答案☆ (x －1)2＋(y －2)2＝2解析 取AB 的中点D ，连接CD ，AC ，则CD ⊥AB .由题意知，|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，所以圆心C (1，2)，故圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. 类型二 直线与圆的位置关系例2 已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值． 考点 直线和圆的位置关系 题点 直线和圆的位置关系 解 (1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2. ①当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离为d ＝3－1＝2＝r 知，此时直线与圆相切． ②当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知，|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.(2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝⎛⎭⎫2322＝4，解得a ＝－34.反思与感悟 当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系及弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆半径为r ，则弦长为l ＝2r 2－d 2.解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线． 跟踪训练2 已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0. (1)若直线l 过点P ，且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 弦的中点的轨迹方程． 考点 直线和圆的位置关系 题点 直线和圆的位置关系解 (1)如图所示，|AB |＝43，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，∴|AD |＝2 3.由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0， 得(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，∴|AC |＝4. 在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.当所求直线l 的斜率存在时，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线l 的距离为|－2k －6＋5|k 2＋1＝2，得k ＝34，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0，∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.(2)设过P点的圆C弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，∴k CD·k PD＝－1，即y－6x＋2·y－5x＝－1，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.类型三圆与圆的位置关系例3已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)求当m取何值时两圆外切？(2)求当m取何值时两圆内切？(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．考点题点解圆Q1：x2＋y2－2x－6y－1＝0可化为(x－1)2＋(y－3)2＝11，可得圆心Q1(1,3)，r1＝11，圆Q2可化为(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心Q2(－5,6)，r2＝61－m.两圆圆心距|Q1Q2|＝(5－1)2＋(6－3)2＝5.(1)当两圆外切时，|Q1Q2|＝11＋61－m，即5＝11＋61－m.解得m＝25＋1011.(2)当两圆内切时，|Q1Q2|＝|11－61－m|，因为11<5，所以|Q1Q2|＝61－m－11，所以5＝61－m－11，所以m＝25－1011.(3)当m＝45时，由两圆方程相减，得公共弦方程为x2＋y2－2x－6y－1－x2－y2＋10x＋12y－m＝0，即4x＋3y－23＝0.圆心Q1到公共弦的距离为d ＝|4×1＋3×3－23|42＋32＝2，所以公共弦长为2r 21－d 2＝2(11)2－22＝27.跟踪训练3 已知两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P ，Q 两点，若点P 的坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为________． 考点 圆与圆的位置关系题点 已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围 ★答案☆ (－2，－1)解析 两圆的圆心坐标分别为O 1(－1,1)和O 2(2，－2)， 由平面几何知，直线O 1O 2垂直平分线段PQ ， 则k PQ ·12O O k ＝k PQ ·1－(－2)－1－2＝－1，∴k PQ ＝1.∴直线PQ 的方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1. 由点P (1,2)在圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2上， 可得r ＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝5，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴Q (－2，－1)．类型四 数形结合思想的应用例4 若曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，512 B.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤13，34D.⎝⎛⎦⎤512，34考点 数形结合思想的应用 题点 数形结合思想的应用 ★答案☆ D解析 首先明确曲线y ＝1＋4－x 2表示半圆，由数形结合可得512＜k ≤34.反思与感悟 数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题．跟踪训练4 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则yx 的最大值为________，最小值为________．考点 数形结合思想的应用 题点 数形结合思想的应用 ★答案☆3 －3解析 如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设yx＝k ，即y ＝kx ， 则当圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3.(也可由平面几何知识，得|OC |＝2，|CP |＝3，∠POC ＝60°，直线OP 的倾斜角为60°，直线OP ′的倾斜角为120°)1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋54a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a ＜－2或a ＞23B ．－23＜a ＜2C ．a ＞1D ．a ＜1考点 圆的一般方程题点 二元二次方程表示圆的条件 ★答案☆ D解析 由题意知a 2＋4a 2－4⎝⎛⎭⎫54a 2＋a －1＞0，解得a ＜1. 2．以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝16 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝16 C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝9 D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝9 考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的方程★答案☆ B3．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°＜α≤30° B ．0°＜α≤60° C ．0°≤α≤30°D ．0°≤α≤60°考点 直线与圆的位置关系题点 由直线与圆的位置关系求参数的值或范围 ★答案☆ D解析 设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0， 圆心(0,0)到直线l 的距离为d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，解得0≤k ≤3，即0≤tan α≤3，∴0°≤α≤60°.4．圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线的条数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 考点 圆与圆的位置关系 题点 两圆的位置关系与其公切线 ★答案☆ C解析 两圆的标准方程分别为C 1：(x －3)2＋(y ＋8)2＝121；C 2：(x ＋2)2＋(y －4)2＝64， 则两圆的圆心与半径分别为C 1(3，－8)，r 1＝11；C 2(－2,4)，r 2＝8. 圆心距为|C 1C 2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13. 又∵r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2， ∴两圆相交，则公切线共2条．5．已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0. (1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2105时，求实数m 的值．考点 圆的弦长问题题点 直线和圆位置关系的综合问题解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)． 因为直线x －my ＋3＝0与圆相切，所以|3＋3|1＋(－m )2＝2，解得m ＝±2 2.(2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝|3＋3|1＋(－m )2.由24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3＋3|1＋(－m )22＝2105， 得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9.故m ＝±3.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，经常使用的几何性质有(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．一、选择题1．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用★答案☆D解析曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则曲线C表示的是以(－a,2a)为圆心，2为半径的圆．要使圆C上所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a)必须在第二象限，从而有a>0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径．易知圆心到两坐标轴的最短距离为|－a|，则有|－a|>2，故a>2.综上，a>2.2．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()A．{1，－1} B．{3，－3}C．{1，－1,3，－3} D．{5，－5,3，－3}考点两圆的位置关系题点由圆与圆的位置关系求参数的值或范围★答案☆C解析∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，当两圆内切时，|a|＝1，当两圆外切时，|a|＝3，∴实数a的取值集合是{1，－1,3，－3}，故选C.3．已知圆C 与直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的方程 ★答案☆ B解析 由圆心在x ＋y ＝0上，可排除C ，D.再结合图像，或者验证选项A ，B 中，圆心到两直线的距离是否等于半径2即可．4．如图，在长方体ABCO －A 1B 1C 1D 1中，|OA |＝3，|OC |＝4，|OD 1|＝3，BC 1与B 1C 相交于点P ，则点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫4，32，32B.⎝⎛⎭⎫32，32，4 C ．(3，4，3) D.⎝⎛⎭⎫32，4，32 考点 题点 ★答案☆ D解析 过P 作BC 的垂线交BC 于点M ，则点M 是BC 的中点，|PM |＝32，|MC |＝32，所以P ⎝⎛⎭⎫32，4，32. 5．已知直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是()考点题点★答案☆B解析由题意，得圆M：(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2.∵圆M过原点(0,0)，∴排除A，C选项．选项B，D中，圆心M(a，－b)在第一象限，∴a>0，b<0，∴直线ax－y＋b＝0经过第一、三、四象限，故B选项符合．6．已知直线l：kx＋y－2＝0(k∈R)是圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0的对称轴，过点A(0，k)作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为()A．2 B．2 2 C．3 D．23考点 圆的切线问题 题点 圆的切线长问题 ★答案☆ D解析 由圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0， 得(x －3)2＋(y ＋1)2＝1，表示以C (3，－1)为圆心，1为半径的圆．由题意可得直线l ：kx ＋y －2＝0经过圆C 的圆心(3，－1)， 故有3k －1－2＝0，得k ＝1，则点A (0,1)， 即|AC |＝(0－3)2＋(1＋1)2＝13，则|AB |＝|AC |2－r 2＝(13)2－1＝23，故选D.7．已知圆心为(2,0)的圆C 与直线y ＝x 相切，则切点到原点的距离为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D.3 考点 圆的切线问题 题点 圆的切线长问题 ★答案☆ B解析 如图，设圆心为C ，切点为A ，圆的半径为r ＝|2－0|2＝2，|OC |＝2，∴切点到原点的距离为22－(2)2＝ 2.故选B. 二、填空题8．若两圆x 2＋(y ＋1)2＝1和(x ＋1)2＋y 2＝r 2相交，则正数r 的取值范围是________________． 考点 圆与圆的位置关系题点 由圆与圆的位置关系求参数的值或范围★答案☆ (2－1，2＋1)解析 ∵两圆x 2＋(y ＋1)2＝1和(x ＋1)2＋y 2＝r 2相交， 圆x 2＋(y ＋1)2＝1的半径和圆心分别是1，(0，－1)， 圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2的半径和圆心分别是r ，(－1，0)，∴两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差的绝对值，小于两个圆的半径之和， 即|r －1|＜(0＋1)2＋(－1－0)2＜r ＋1， ∴r －1＜2＜r ＋1， ∴r ∈(2－1，2＋1)，即正数r 的取值范围是(2－1，2＋1)．9．已知在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)的直线l 与直线x －y ＋1＝0垂直，且l 与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为________． 考点 圆的弦长问题题点 直线与圆位置关系的综合问题 ★答案☆ 1解析 ∵直线l 的方程为y ＝－(x －1)， 即x ＋y －1＝0.又由圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3，得x 2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (0，－1)到l 的距离为d ＝|－2|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22， 又原点O 到l 的距离为|－1|2＝22，∴S △OAB ＝12×22×22＝1.10．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是______________________________________． 考点 圆的标准方程题点 圆心在某直线上求圆的标准方程★答案☆ (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8 解析 由题意可设圆心C (a ，a )，如图，得22＋22＝2a 2， 解得a ＝±2，r 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8.11．直线x ＋y ＋a ＝0(a >0)与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且S △OAB ＝3，则a ＝________. ★答案☆6或2解析 ∵圆心到直线x ＋y ＋a ＝0的距离d ＝|a |2， |AB |＝2×4－a 22，∴S △OAB ＝12×2×4－a 22×|a |2＝3，解得a 2＝6或a 2＝2.又a >0， ∴a ＝6或 2. 三、解答题12．已知A (1,2，－1)，B (2,0,2)． (1)在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |；(2)若xOz 平面内的点M 到点A 的距离与到点B 的距离相等，求点M 的坐标满足的条件． 考点 题点解 (1)由于点P 在x 轴上，故可设P (a ,0,0)， 由|P A |＝|PB |，得(a －1)2＋4＋1＝(a －2)2＋4， 即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a＝1，所以点P的坐标为P(1,0,0)．(2)由于点M在平面xOz内，故可设M(x,0，z)，由|MA|＝|MB|，得(x－1)2＋(－2)2＋(z＋1)2＝(x－2)2＋(z－2)2，即x＋3z－1＝0.所以点M的坐标满足的条件为x＋3z－1＝0.13．已知圆心坐标为(3,4)的圆N被直线x＝1截得的弦长为2 5.(1)求圆N的方程；(2)若过点D(3,6)的直线l被圆N截得的弦长为42，求直线l的斜率．考点圆的弦长问题题点直线和圆位置关系的综合问题解(1)由题意知，圆心到直线的距离为3－1＝2，∵圆N被直线x＝1截得的弦长为25，∴圆的半径为r＝5＋4＝3，∴圆N的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝9.(2)显然直线l的斜率存在．设直线l的方程为y－6＝k(x－3)，即kx－y－3k＋6＝0，∵圆心(3,4)到直线l的距离为d＝21＋k2，r＝3，弦长为42，∴42＝29－d2，化简得1＋k2＝4，解得k＝± 3.四、探究与拓展14．直线3x＋y－23＝0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为() A．30° B．45° C．60° D．90°考点圆的弦长问题题点直线与圆位置关系的综合问题★答案☆C解析过O作OC⊥AB，垂足为点C，由圆的方程x2＋y2＝4，得圆心O的坐标为(0,0)，半径为r＝2.∵圆心到直线3x＋y－23＝0的距离为d＝|OC|＝232＝3，∴直线被圆截得的弦长为|AB|＝2r2－d2＝2，∴△AOB 为等边三角形，即∠AOB ＝60°，∴直线被圆截的劣弧AB 所对的圆心角为60°，故选C.15．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0相交于A ，B 两点．(1)求公共弦AB 所在的直线方程；(2)求圆心在直线y ＝－x 上，且经过A ，B 两点的圆的方程；(3)求经过A ，B 两点且面积最小的圆的方程．考点 求过直线与圆或圆与圆交点的圆的方程题点 求过两圆交点的圆的方程解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得x －2y ＋4＝0. ∴圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0的公共弦AB 所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(2)由(1)得x ＝2y －4，代入x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0中，得y 2－2y ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即A (－4,0)，B (0,2)． 又圆心在直线y ＝－x 上，设圆心为M (x ，－x )，则|MA |＝|MB |，|MA |2＝|MB |2，即(x ＋4)2＋(－x )2＝x 2＋(－x －2)2，解得x ＝－3.∴圆心M (－3,3)，半径|MA |＝10.∴圆心在直线y ＝－x 上，且经过A ，B 两点的圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(3)由A (－4,0)，B (0,2)，得AB 的中点坐标为(－2,1)，12|AB|＝12(－4－0)2＋(0－2)2＝ 5.∴经过A，B两点且面积最小的圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.。

第2章平面解析几何初步章末总结苏教版必修2一、待定系数法的应用待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法．直线、圆的方程常用待定系数法求解．例1求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为2的直线的方程．变式训练1 求圆心在圆(x －32)2＋y 2＝2上，且与x 轴和直线x ＝－12都相切的圆的方程．二、分类讨论思想的应用分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．(在用二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时要分类讨论)；直线方程除了一般式之外，都有一定的局限性，故在应用直线的截距式方程时，要注意到截距等于零的情形；在用到与斜率有关的直线方程时，要注意到斜率不存在的情形．例2 求与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程．变式训练2 求过点A (3,1)和圆(x －2)2＋y 2＝1相切的直线方程．三、数形结合思想的应用数形结合思想是解答数学问题的常用思想方法，在做填空题时，有时常能收到奇效．数形结合思想在解决圆的问题时有时非常简便，把条件中的数量关系问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题用数量关系表示出来，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．例3 曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是________．变式训练3 直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是________．第二章 章末总结 答案重点解读例1 解 当直线过原点时，设直线的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．由题意知|3k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝1或k ＝－17．所以所求直线的方程为x －y ＝0或x ＋7y ＝0．当直线不经过原点时，设所求直线的方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0．由题意知|3＋1－a |2＝2，解得a ＝2或a ＝6．所以所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0．综上可知，所求直线的方程为x －y ＝0或x ＋7y ＝0或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0． 变式训练1 解 设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．因为圆(x －32)2＋y 2＝2在直线x ＝－12的右侧，且所求的圆与x 轴和直线x ＝－12都相切，所以a >－12．所以r ＝a ＋12，r ＝|b |．又圆心(a ，b )在圆(x －32)2＋y 2＝2上，所以(a －32)2＋b 2＝2，故有⎩⎪⎨⎪⎧r ＝a ＋12，r ＝|b |，a －322＋b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，r ＝1，b ＝±1.所以所求圆的方程是(x －12)2＋(y －1)2＝1或(x －12)2＋(y ＋1)2＝1．例2 解 (1)截距为0时，设切线方程为y ＝kx ，则d ＝|0－2|1＋k 2＝1，解得k ＝±3， 所求直线方程为y ＝±3x ．(2)截距不为0时，设切线方程为x －y ＝a ，则d ＝|0－2－a |12＋12＝1， 解得a ＝－2±2，所求的直线方程为 x －y ＋2±2＝0．综上所述，所求的直线方程为 y ±3x ＝0和x －y ＋2±2＝0．变式训练2 解 当所求直线斜率存在时， 设其为k ，则直线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0． ∵直线与圆相切，∴d ＝|2k －0＋1－3k |1＋k2＝1， 解得k ＝0．当所求直线斜率不存在时，x ＝3也符合条件． 综上所述，所求直线的方程是y ＝1和x ＝3．例3 ⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 解析 首先明确曲线y ＝1＋4－x 2表示半圆，由数形结合可得512<k ≤34．变式训练3 －1<b ≤1或b ＝－ 2解析 作出曲线x ＝1－y 2和直线y ＝x ＋b ，利用图形直观考查它们的关系， 寻找解决问题的办法．将曲线x ＝1－y 2变为x 2＋y 2＝1(x ≥0)．当直线y ＝x ＋b 与曲线x 2＋y 2＝1相切时，则满足|0－0＋b |2＝1，|b |＝2，b ＝±2．观察图象，可得当b ＝－2或－1<b ≤1时，直线与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点．。

【步步高学案导学设计】2014-2015学年高中数学第二章解析几何初步章末总结北师大版必修2一、数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”．本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到很好的效果．例1设点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上．求y＋2x＋1的最小值．例2讨论直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2的交点的个数．二、分类讨论思想的应用分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．(在用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时要分类讨论)；直线方程除了一般式之外，都有一定的局限性，故在应用直线的截距式方程时，要注意到截距等于零的情形；在用到与斜率有关的直线方程时，要注意到斜率不存在的情形．例3过点P(－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线方程．例4求过点A(3,1)和圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方程．三、对称问题在解析几何中，经常遇到对称问题，对称问题主要有两大类，一类是中心对称，一类是轴对称．1．中心对称(1)两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点P2(2a －x1,2b－y1)，也即P为线段P1P2的中点，特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y)．(2)两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于P对称的点都在另外一条直线上，并且l1∥l2，P到l1、l2的距离相等．2．轴对称(1)两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程．(2)两直线关于直线对称：设l1，l2关于直线l对称．①当三条直线l1、l2、l共点时，l上任意点到l1、l2的距离相等，并且l1、l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；②当l1∥l2∥l时，l1到l的距离等于l2到l的距离．例5已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．例6自点P(－6,7)发出的光线l射到x轴上点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0相切于点Q．求光线l所在的直线方程．第二章章末总结答案例1解式子y ＋2x ＋1的几何意义是点P (x ，y )与定点(－1，－2)连线的斜率．如图，当为切线l 1时，斜率最小．设y ＋2x ＋1＝k ，即kx －y ＋k －2＝0，由直线与圆相切， 得|－1＋k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝43．故y ＋2x ＋1的最小值是43．例2解如图所示，在坐标系内作出曲线y＝4－x2的图像(半圆)．直线l1：y＝x－2，直线l2：y＝x＋22．当直线l：y＝x＋b夹在l1与l2之间(包括l1、l2)时，l与曲线y＝4－x2有公共点；进一步观察交点的个数可有如下结论：①当b<－2或b>22时，直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2无公共点；②当－2≤b<2或b＝22时，直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2仅有一个公共点．③当2≤b<22时，直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2有两个公共点．例3 解 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，符合题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y －2＝kx ．令y ＝0，得x ＝－1与x ＝－2k．由题意得|－1＋2k|＝1，即k ＝1．∴直线的方程为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2， 即为x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0．综上可知，所求的直线方程为x ＝－1，x ＝0或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0．例4 解 当所求直线斜率存在时，设其为k ，则直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0． ∵直线与圆相切，∴d ＝|2k －0＋1－3k |1＋k2＝1，解得k ＝0． 当所求直线斜率不存在时，x ＝3也符合条件． 综上所述，所求直线的方程是y ＝1和x ＝3．例5 解 (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则点P ，P ′的中点M 在直线l 上，且直线PP ′垂直于直线l ，即⎩⎪⎨⎪⎧y ′＋52＝3·x ′＋42＋3y ′－5x ′－4×3＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－2y ′＝7， ∴P ′坐标为(－2,7)． (2)设直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 1上任一点P 1(x 1，y 1)关于l 的对称点P 2(x 2，y 2)一定在l 2上，反之也成立． ⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 22＝3×x 1＋x 22＋3y 1－y 2x 1－x 2×3＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－45x 2＋35y 2－95y 1＝35x 2＋45y 2＋35，把(x 1，y 1)代入y ＝x －2，整理得7x 2＋y 2＋22＝0，∴l 2方程为7x ＋y ＋22＝0．(3)设直线l 关于点A (3,2)的对称直线为l ′，由于l ∥l ′，可设l ′为y ′＝3x ′＋b (b ≠3)．由点到直线的距离公式得 |3×3－2＋b |32＋1＝|3×3－2＋3|32＋1， 即|b ＋7|＝10，解得b ＝－17或b ＝3(舍去)，∴直线l ′的方程为y ′＝3x ′－17，即对称直线的方程为3x －y －17＝0．例6解 如图，作圆x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0关于x 轴的对称圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋21＝0，由几何光学原理知，直线l 与圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋21＝0相切，又∵l 的斜率必存在，故可设直线l ：y －7＝k (x ＋6)，即kx －y ＋6k ＋7＝0．由d ＝|4k ＋3＋6k ＋7|k 2＋1＝10|k ＋1|k 2＋1＝2， 得k ＝－34或k ＝－43， 故光线l 所在的直线方程为3x ＋4y －10＝0或4x ＋3y ＋3＝0．。

数学必修2 解析几何复习一、直线的倾斜角、斜率以及直线方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫作直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0°，180°)． 2．斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (4)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )2．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或43．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 4．如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为 ．答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0. 综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.7.直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 ．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 ∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． 8.已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为 ．答案 x ＋13y ＋5＝0二、两直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.3．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )． 4．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行 5．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 6．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定 答案 C 2．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1 答案 C 3．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝ .答案 1 4．(2017·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3 答案 C 5．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是 ． 答案3246．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝ . 答案 0或17. 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2.方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0， 由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6，可得a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立；当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23. 方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0，可得a ＝23.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．三、圆的方程1.圆的定义与方程2．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． (3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程． 3．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2；(2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.1.以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x ＋4y ＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －3)2＋(y －1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 答案 A2．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为 ． 3．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B4．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1 C ．a >1或a <－1 D ．a ＝±4 答案 A 5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A(x －2)2＋(y －1)2＝1 B(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D(x －3)2＋(y －1)2＝1 答案 A四、直线与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).3.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．1．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3] C ．[－3,1] D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案 C 2．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为 ． 答案 2 2 3．若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是( ) A[－2，2] B[－22，22] C[－2－1，2－1] D[－22－1,22－1] 答案 D4.过点A (3,5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为 ． 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)， ∵|OA |＝(3－1)2＋(5－2)2＝13>2，∴点A (3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1,2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2， 即|3－2k |＝2k 2＋1，∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.5.已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8 答案 B解析 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B.。