3.1.1不等关系与不等式第一课时

不等关系与不等式教案教学设计3．1.1 不等关系与不等式整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用．对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程．即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来．在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望．根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系．要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识．三维目标1．在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系．2．会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围．3．通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美．重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围．教学难点：准确比较两个代数式的大小．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课．思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系．这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着．这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课．推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系？2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗？3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系？4任意两个实数具有怎样的关系？用逻辑用语怎样表达这个关系？活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系．在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容．实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA＜xB.教师协助画出数轴草图如下图．实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零．实例4：两点之间线段最短．实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．实例6：限速40/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢？学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系．那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x ≤6，a＋2≥0,3≠4,0≤5等．教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来．实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|Ac|＋|Bc|＞|AB|，如下图．|AB|＋|Bc|＞|Ac|、|Ac|＋|Bc|＞|AB|、|AB|＋|Ac|＞|Bc|.|AB|－|Bc|＜|Ac|、|Ac|－|Bc|＜|AB|、|AB|－|Ac|＜|Bc|.交换被减数与减数的位置也可以．实例6，若用v表示速度，则v≤40/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的．但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论．讨论结果：(1)(2)略；(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大．(4)对于任意两个实数a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立．用逻辑用语表达为：a－b ＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b.应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法．点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )A．f(x)＞g(x) B．f(x)＝g(x)c．f(x)＜g(x)D．随x值变化而变化答案：A解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．2．已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.∵x≠0，得x2＞0.从而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.例2比较下列各组数的大小(a≠b)．(1)a＋b2与21a＋1b(a＞0，b＞0)；(2)a4－b4与4a3(a－b)．活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定．本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点．解：(1)a＋b2－21a＋1b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b 2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b.∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴a－b22a＋b＞0，即a＋b2＞21a＋1b.(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a －b)＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]．∵2a2＋(a＋b)2≥0(当且仅当a＝b＝0时取等号)，又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0.∴a4－b4＜4a3(a－b)．点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x＞y，且y≠0，比较xy与1的大小．活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系．解：xy－1＝x－yy.∵x＞y，∴x－y＞0.当y＜0时，x－yy＜0，即xy－1＜0.∴xy＜1；当y＞0时，x－yy＞0，即xy－1＞0.∴xy＞1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy－1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法．解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为，根据问题的要求a＜b，且ab≥10%，由于a＋b＋－ab＝b－a b b＋＞0，于是a ＋b＋＞ab.又ab≥10%，因此a＋b＋＞ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．点评：一般地，设a、b为正实数，且a＜b，＞0，则a ＋b＋＞ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q ≠1，则( )A．a1＋a8＞a4＋a5 B．a1＋a8＜a4＋a5 c．a1＋a8＝a4＋a5D．a1＋a8与a4＋a5大小不确定答案：A解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4 ＝a1[(1－q3)－q4(1－q3)]＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q)(1＋q2)．∵{an}各项都大于零，∴q＞0，即1＋q＞0.又∵q≠1，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)＞0，即a1＋a8＞a4＋a5.知能训练1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的个数为( )A．3B．2c．1D．02．比较2x2＋5x＋9与x2＋5x＋6的大小．答案：1．c 解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.∴只有①恒成立．2．解：因为2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.课堂小结1．教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中．2．教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方．鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究．作业习题3—1A组3；习题3—1B组2.设计感想1．本节设计关注了教学方法的优化．经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式．各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动．也就是说，世上没有万能的教学方法．针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药．2．本节设计注重了难度控制．不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点．作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响．3．本节设计关注了学生思维能力的训练．训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线．采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化．变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升．备课资料备用习题1．比较(x－3)2与(x－2)(x－4)的大小．2．试判断下列各对整式的大小：(1)2－2＋5和－2＋5；(2)a2－4a＋3和－4a＋1.3．已知x＞0，求证：1＋x2＞1＋x.4．若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．5．设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．参考答案：1．解：∵(x－3)2－(x－2)(x－4)＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)．2．解：(1)(2－2＋5)－(－2＋5)＝2－2＋5＋2－5＝2.∵2≥0，∴(2－2＋5)－(－2＋5)≥0.∴2－2＋5≥－2＋5.(2)(a2－4a＋3)－(－4a＋1)＝a2－4a＋3＋4a－1＝a2＋2.∵a2≥0，∴a2＋2≥2＞0.∴a2－4a＋3＞－4a＋1.3．证明：∵(1＋x2)2－(1＋x)2＝1＋x＋x24－(x＋1)＝x24，又∵x＞0，∴x24＞0.∴(1＋x2)2＞(1＋x)2.由x＞0，得1＋x2＞1＋x.4．解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.∴－2xy(x－y)＞0.∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．5．解：∵aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b，且a≠b，当a＞b＞0时，ab＞1，a－b＞0，则(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba.当b＞a＞0时，0＜ab＜1，a－b＜0.则(ab)a－b＞1.于是aabb＞abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb＞abba.。

3．1 不等关系与不等式（第一课时）大冶一中柯尊胜一、教学目标（1）通过实例，明确不等量关系的存在．通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．（2）学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；在实际问题中抽象出不等关系，培养学生的抽象思维能力，正确运用数学语言的表述能力；通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．二．教学的重点与难点重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题．理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值．理解不等式的基本性质，并能用以解决简单的数学问题。

难点：用不等式（组）正确表示出不等关系．三、教学方法以广泛的相关事例为指导，辅以信息技术手段，采用问题式引导探究，并与讲解演练相结合，在实例中抽象，在抽象中提升。

四、教学基本流程创设情景，由实例引入新课用不等式表示不等关系不等式的基本性质及简单应用小结，用不等式表示不等关系、不等式基本性质五、教学过程实际问题中的不等关系引例1 今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；引例2 限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：．引例3 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2．5%，蛋白质的含量p应不少于2．3%，用不等式可以表示为________．几何中的不等关系1、两点间直线段最短。

2、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。

3. 设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d 与两点的距离|AB|是什么关系？实数的基本不等关系1、正数大于零、负数小于零；2、非负数大于或小于零、非正数不大于零；3、实数的平方不小于零，实数的绝对值大于或等于零；4、“同号积为正，异号积为负。

3.1.1 不等关系与不等式(一)一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值教学难点1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题投影仪、胶片、三角板、刻度尺导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零实例4:两点之间线段最短实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时40 km∈N *)，（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量师很好，请继续讲生那么销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-师这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较（留下让学生思考的时间）师请同学们继续思考第三个问题［合作探究］【问题3】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm 和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式师假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生截得两种钢管的总长度不能超过生截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍生截得两种钢管的数量都不能为负师上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生它们要同时满足条件，应该是且的关系生由实际问题的意义，还应有师这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习课堂练习练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+.,,0,0,4000518698N y x y x y x （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N）课堂小结师 通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生 我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题 生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）布置作业第84页习题3.1A组4、不等关系与不等式（一）实例方法引导方法归纳如何用不等式或不等式组表示实例剖析（知识方法应用）小结实际问题中不等量关系？示范解题等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础。

第三章不等式3.1 不等关系与不等式第1课时不等关系与比较大小学习目标1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.(数学抽象、数学建模)2.能用不等式表示不等关系.(数学抽象、数学建模)3.理解实数大小与实数运算的关系,会用作差法比较两个实数的大小.(逻辑推理、数学运算、数学建模)【必备知识·自主学习】导思1.我们学过的不等号有哪些?什么是不等式?2.初中学过在数轴上表示大小,那两个实数比较大小还有别的方法吗?1.不等式的相关概念(1)不等号:<,≤,>,≥,≠;(2)不等式:由不等号表示的关系式.(1)“≤”的含义是什么?提示:<或=.(2)不等式a≥b和a≤b有怎样的含义?提示:①不等式a≥b应读作:“a大于或等于b”,其含义是a>b或a=b,等价于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确.②不等式a≤b应读作:“a小于或等于b”,其含义是a<b或a=b,等价于“a不大于b”,即若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b正确.2.实数a,b大小的比较如果a-b是正数,那么a>b a-b>0⇔a>b如果a-b等于零,那么a=b a-b=0⇔a=b如果a-b是负数,那么a<b a-b<0⇔a<b怎样证明a>b?提示:证明a-b是正数,即a-b>0.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)不等关系“不大于3”用不等式表示为x<3. ( )(2)不等式5≥5不成立. ( )(3)若>1,则a>b. ( )提示:(1)×.用不等式表示为x≤3.(2)×.不等式5≥5表示5=5或5>5,因为5=5成立,所以不等式5≥5成立.(3)×.如=2>1,但是-2<-1.2.(教材二次开发:习题改编)大桥桥头竖立的“限重60吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车和货的总重量T满足关系为( ) A.T<60 B.T>60 C.T≤60 D.T≥60【解析】选C.“限重60吨”即为T≤60.3.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为.【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1),而x<1,所以x-2<0,x-1<0,所以x2+2-3x>0,所以x2+2>3x.答案:x2+2>3x【关键能力·合作学习】类型一利用不等式表示不等关系(数学抽象、数学建模)1.限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,使汽车速度v不超过40 km/h,用不等关系表示速度的限制为.2.某工厂8月份的产量比9月份的产量少;甲物体比乙物体重;A容器不小于B容器的容积,若前一个量用a表示,后一个量用b表示,则上述事实可表示为;;.3.有如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种大小关系用含字母a,b的不等式表示出来.【解题指南】抓住题干中的关键词,如:不超过、不小于等写出不等式. 【解析】1.“不超过”即“小于或等于”,所以v≤40 km/h .答案:v≤40 km/h2.注意理解题目中的关键词语,并转化为不等关系,8月份的产量比9月份的产量少可表示为a<b;甲物体比乙物体重可表示为a>b;A容器不小于B容器的容积可表示a≥b.答案:a<ba>ba≥b3.图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.设图(1)面积为S1,则S1=+,图(2)面积为S2,则S2=ab,所以a2+b2>ab.1.将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示.2.常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于,至少,不低于小于等于,至多,不超过符号语言> < ≥≤【补偿训练】1.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再加入m克糖(m>0),搅拌糖融化后,糖水更甜了,将这个事实用一个不等式表示为.【解析】因为b克糖水中含a克糖(0<a<b)时,糖水的“甜度”为,所以若在该糖水中加入m(m>0)克糖,则此时的“甜度”是,又因为糖水会更甜,所以<.答案:<2.一辆汽车原来每小时行驶x km,如果这辆汽车每小时行驶的路程比原来多20 km,那么在4天内它的行程就超过2 200 km,写成不等式为;如果它每小时行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8小时的路程现在就得花9小时多的时间,用不等式表示为.【解析】①原来每小时行驶x km,现在每小时行驶(x+20)km.则不等关系“在4天内它的行程就超过2 200 km”,写成不等式为4×24×(x+20)>2 200,即96(x+20)>2 200.②原来每小时行驶x km,现在每小时行驶(x-12)km,则不等关系“原来行驶8小时的路程现在就得花9小时多的时间”,写成不等式为8x>9(x-12).答案:96(x+20)>2 200 8x>9(x-12)类型二用不等式组表示不等关系(数学抽象、数学建模)【典例】某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路导引】①甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数;②车队每天至少要运360 t矿石;③甲型卡车不能超过4辆,乙型卡车不能超过7辆.【解析】设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则即用不等式组表示不等关系的三注意(1)适用条件:当问题中同时满足几个不等关系时,应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另外若问题中有几个变量,则选用几个字母分别表示这些变量即可.(2)全:解决这类有多个不等关系的问题时,要注意根据题设将所有不等关系都找出来.(3)读:若有表格、图象等,读懂表格、图象对解决这类问题很关键.1.某校高一年级的213名同学去科技馆参观,租用了某公交公司的x辆公共汽车.如果每辆车坐30人,则最后一辆车不空也不满.则题目中所包含的不等关系为.【解析】根据题意得:答案:2.某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情况下,生产空调、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时如表:家电名称空调彩电冰箱工时/h若每周生产空调x台、彩电y台,试写出满足题意的不等式组.【解析】由题意,知x≥0,y≥0,每周生产冰箱(120-x-y)台.因为每周所用工时不超过40 h,所以x+y+(120-x-y)≤40,即3x+y≤120.又每周至少生产冰箱20台,所以120-x-y≥20,即x+y≤100.所以满足题意的不等式组为【拓展延伸】列不等式组表示不等关系(1)关注限制条件:实际应用问题中往往有2到3个限制条件,应先分析这些限制条件,并用不等式表示;(2)关注变量范围:要根据实际问题的意义确定变量的范围,并在不等式组中表示出来.【拓展训练】有学生若干人,住若干宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,求宿舍间数和学生人数.【解析】设宿舍x间,则学生(4x+19)人,依题意解得<x<.因为x∈N*,所以x=10,11或12,学生人数为:59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人,11间63人或12间67人. 【补偿训练】1.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式组表示为.【解析】“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”,所以答案:2.用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N*),已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的,请从这个实例中提炼出一个不等式组为.【解析】依题意得第二次钉子没有全部进入木板第三次全部进入木板所以(k∈N*).答案:(k∈N*)类型三比较大小(逻辑推理、数学运算、数学建模) 角度1 作差法比较大小【典例】若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A.f(x)<g(x) B.f(x)=g(x)C.f(x)>g(x)D.随x值变化而变化【思路导引】作差,根据差的正负判断.【解析】选C.f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,所以f(x)>g(x).本例中若g(x)=3x2+x,试比较f(x)与g(x)的大小关系.【解析】f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(3x2+x)=-2x+1,当-2x+1>0,x<时,f(x)>g(x) ;当-2x+1=0,x=时,f(x)=g(x);当-2x+1<0,x>时,f(x)<g(x).角度2 作商法比较大小【典例】已知a>0,b>0且a≠b,比较a a b b与(ab的大小.【思路导引】作商,利用指数运算的性质变形,判断商与1的关系.【解析】因为a>0,b>0且a≠b,所以==,当a>b>0时,>1,>0,>1,此时a a b b>(ab;当b>a>0时,<1,<0,>1,此时a a b b>(ab,综上所述a a b b>(ab.1.关于作差法比较大小对差式的变形是判断差式正负的关键,常用的变形有配方、通分、因式分解、分母有理化等.2.关于作商法比较大小多用于指数式的比较,对商式一般利用指数的运算性质,通过约分、化同次等方法,比较与1的大小.1.已知a>0,b>0,且a≠b,比较+与a+b的大小.【解析】因为-(a+b)=-b+-a=+=(a2-b2)=(a2-b2)=,又因为a>0,b>0,a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0.所以-(a+b)>0,所以+>a+b.2.设a>0,b>0,且a≠b,试比较a a b b,a b b a的大小.【解析】因为=a a-b·b b-a=,(1)若0<a<b,则0<<1,a-b<0;故>1,(2)若0<b<a,则>1,a-b>0;故>1.综上,a a b b>a b b a.【拓展延伸】作差法比较大小的一般步骤第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“和”或“积”;第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0(不确定的要分情况讨论);最后得结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键. 【拓展训练】已知a,b为正实数,试比较+与+的大小. 【解题指南】注意结构特征,尝试用作差法或者作商法比较大小.【解析】方法一:(作差法)-(+)=+=+= =.因为a,b为正实数,所以+>0,>0,(-)2≥0,所以≥0,当且仅当a=b时等号成立.所以+≥+(当且仅当a=b时取等号).方法二:(作商法)======1+≥1,当且仅当a=b时取等号.因为+>0,+>0,所以+≥+(当且仅当a=b时取等号).方法三:(平方后作差)因为=++2,(+)2=a+b+2,所以-(+)2=.因为a>0,b>0,所以≥0,当且仅当a=b时取等号.又+>0,+>0,故+≥+(当且仅当a=b时取等号). 【补偿训练】(1)已知a>b>c>0,试比较与的大小;(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.【解析】(1)-====.因为a>b>c>0,所以a-b>0,ab>0,a+b-c>0.所以>0,即>.(2)(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=+.因为≥0,所以+≥>0,所以(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0,所以2x2+5x+3>x2+4x+2.【课堂检测·素养达标】1.(教材二次开发:习题改编)已知a,b分别对应数轴上的A,B两点坐标,且A在原点右侧,B在原点的左侧,则下列不等式成立的是( ) A.a-b≤0 B.a+b<0C.|a|>|b|D.a-b>0【解析】选D.a>0,b<0,所以a-b>0.2.已知a∈R,p=a2-4a+5,q=(a-2)2,则p与q的大小关系为( )A.p≤qB.p≥qC.p<qD.p>q【解析】选D.p-q=a2-4a+5-(a-2)2=1>0,所以p>q.3.某地规定本地最低生活保障金x元不低于1 000元,则这种不等关系写成不等式为.【解析】因为最低生活保障金x元不低于1 000元,所以x≥1 000.答案:x≥1 0004.某杂志原来以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.根据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就相应减少2 000本,若把提价后杂志的单价设为x元,表示销售的总收入不低于20万元的不等式为.【解析】由题意,销售的总收入为x万元,所以“销售的总收入不低于20万元”用不等式可以表示为x≥20.答案:x≥20【新情境·新思维】已知函数f(x)=x2+4x+c,则f(1),f(2),c三者之间的大小关系为. 【解析】f(1)=5+c,f(2)=12+c,则c<f(1)<f(2).答案:c<f(1)<f(2)。

2.1第1课时不等关系与不等式教学目标核心素养1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)2.作差法比较两实数的大小(重点)1. 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养.教学知识导读1．不等符号与不等关系的表示(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；(2)不等关系用不等式来表示．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于＞≥＜≤≤≥≥≤思考：不等式a≥b和a≤b有怎样的含义？[提示]①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．3．比较两实数a，b大小的依据思考：x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？[提示]作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.初试身手1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为()A．T<40B．T>40C．T≤40D．T≥40【答案】C【解析】限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.2．设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________．【答案】m≥n【解析】m －n ＝2a 2＋2a ＋1－(a ＋1)2＝a 2≥0.3．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有________个．【答案】1【解析】由1a <1b <0，得a <0，b <0，故a ＋b <0且ab >0，所以a ＋b <ab ，即①正确；由1a <1b <0，得⎪⎪⎪⎪1a >⎪⎪⎪⎪1b ，两边同乘|ab |，得|b |>|a |，故②错误；由①②知|b |>|a |，a <0，b <0，那么a >b ，故③错误． 合作探究面积不小于110 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式表示其中的不等关系．[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18， 这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝⎛⎭⎫15－x2(m)． 因此菜园面积S ＝x ·⎝⎛⎭⎫15－x2，依题意有S ≥110， 即x ⎝⎛⎭⎫15－x2≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥110. 规律方法1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可．3．用不等式(组)表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、不少于等． (2)适当的设未知数表示变量．(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式． 跟踪训练1．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[解] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N .【例2】 已知a ，b 为正实数，试比较a b ＋ba与a ＋b 的大小． 思路探究：注意结构特征，尝试用作差法或者作商法比较大小． [解] 法一：(作差法)⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －(a ＋b )＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫b a －a ＝a －b b ＋b －aa＝（a －b ）（a －b ）ab ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab.∵a ，b 为正实数，∴a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0， ∴（a －b ）2（a ＋b ）ab ≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立． ∴a b ＋ba≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)． 法二：(作商法)b a ＋ab a ＋b ＝（b ）3＋（a ）3ab （a ＋b ）＝（a ＋b ）（a ＋b －ab ）ab （a ＋b ）＝a ＋b －abab＝（a －b ）2＋ab ab ＝1＋（a －b ）2ab ≥1，当且仅当a ＝b 时取等号．∵b a ＋ab>0，a ＋b >0， ∴b a ＋ab≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)． 法三：(平方后作差)∵⎝⎛⎭⎫a b ＋b a 2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，∴⎝⎛⎭⎫a b ＋b a 2－(a ＋b )2＝（a ＋b ）（a －b ）2ab .∵a >0，b >0，∴（a ＋b ）（a －b ）2ab≥0，又a b ＋b a >0，a ＋b >0，故a b ＋ba≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)． 规律方法1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．2．如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1. 跟踪训练2．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．[解] (x 3－1)－(2x 2－2x ) ＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1) ＝(x －1)(x 2－x ＋1) ＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34.因为x <1，所以x －1<0.又⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 所以(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0. 所以x 3－1<2x 2－2x .课堂小结1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了． a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b . 2．作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．当堂检测1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示为________．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45【解析】“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45.2．若8<x <10，2<y <4，则xy 的取值范围是________．【答案】(2，5)【解析】∵2<y <4，∴14<1y <12.∵8<x <10，∴2<xy<5.3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________． 【答案】4.5t <28 000【解析】由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000. 4．设M ＝a 2，N ＝－a －1，则M ，N 的大小关系为________． 【答案】M ＞N【解析】M －N ＝a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34＞0，∴M ＞N .。

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关系与不等式的性质课时作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．已知a<0，－1<b<0,则下列各式正确的是错误!( D )A．a〉ab〉ab2B．ab>a〉ab2C．ab2>ab〉a D．ab〉ab2〉a[解析]∵－1<b<0,∴1〉b2〉0>b〉－1，即b〈b2<1，两边同乘以a得，∴ab>ab2〉a。

故选D．2．如果a、b、c满足c〈b<a，且ac〈0,那么下列选项中不一定．．．成立的是错误!（ C ) A．ab>ac B．bc〉acC．cb2<ab2D．ac(a－c)<0［解析］∵c<b<a，且ac<0，∴a〉0，c<0.∴ab－ac＝a（b－c)〉0，bc－ac＝（b－a）c〉0,ac（a－c）<0,∴A、B、D均正确．∵b可能等于0,也可能不等于0.∴cb2〈ab2不一定成立．3．已知：a，b，c，d∈R,则下列命题中必成立的是导学号 54742612（ B )A．若a>b，c〉b，则a〉cB．若a〉－b，则c－a<c＋bC．若a>b，c〈d，则错误!>错误!D．若a2>b2，则－a<－b［解析]选项A，若a＝4，b＝2，c＝5,显然不成立;选项C不满足倒数不等式的条件，如a〉b〉0，c〈0<d时,不成立；选项D只有a〉b>0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立,故选B．4．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是错误!( C )A．lg（x2＋1）≥lg(2x) B．x2＋1〉2xC．错误!≤1D．x＋错误!≥2[解析］A中x〉0；B中x＝1时，x2＋1＝2x;C中任意x，x2＋1≥1，故错误!≤1；D中当x<0时，x＋错误!<0。

§3.1.1不等关系与不等式（第一课时）教学重点：理解不等式的意义，建立适当的不等式（组）表示不等关系．教学难点：如何从具体问题情境中抽象出数学模型并建立不等式．教学过程：一、设置情境，引发思考学生辅助学习素材1．视频：（1）国庆50周年阅兵式；（2）祖国大地山川秀美；（3）道路限速路标；（4）天平测质量；（5）跷跷板游戏．【制作提示】用数学的眼光看世界，认识世界，感受现实世界中相等关系与不等关系普遍存在，感受数学之美，增强用数学的意识．等量关系体现了数学的对称美、统一美、和谐美、平衡美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出数学的奇异美、层次美．2．你还能举出哪些更多的不等关系的实例？3．你能否用所学过的哪种数学知识来表示和研究这些不等关系？二、提出问题，激发探究学生活动：尝试用适当的不等式表示下列问题中所蕴含的不等关系：1．设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，表示d与|AB|之间的不等关系．2．某种杂志原以每本世纪末2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，使销售总收入不低于20万元应怎样表示？3．小圆的半径为r，大圆的半径为R，两圆的圆心距离为d，若两圆相交，则d应满足什么关系？4．学习素材中蕴含不等关系的表示．建构数学：把生活中的具体问题转化成数学问题，并用恰当的数学模型（不等式）表示出来即为本节课的核心问题．其具体步骤为：实际问题：不等关系→（抽象概括）→数学问题：不等式数学模型：不等式→（刻画）→实际问题：不等关系三、巩固结论，尝试应用〖例1〗某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍，怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？〖问题〗（1）本例涉及哪几个变量？（2）哪句话中体现了不等关系？〖例2〗某单位计划10月份组织员工到泰山旅游，人数估计在10~25人之间．甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到泰山旅游的价格都是每人200元，甲旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠；乙旅行社表示先免去一位旅客的旅游费用，其余游客八折优惠．问该单位怎样选择，使其支付的旅游费用较少？〖问题〗（1）若有10人，应选择哪家旅行社？（2）满足什么条件，选择甲旅行社更优惠？（3）满足什么条件，选择乙旅行社更优惠？（4）你对解决本例中的问题有什么想法？〖例3〗由下表给出了甲、乙、丙三种食物的维生素含量及其成本．现欲将三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含有35000单位的维生素A 和40000单位的维生素B，设甲、乙两种食物各取x kg、y kg，那么x、y应满怎样的关系？〖问题〗（1）从这段话中可以抽象出哪几种不等关系？（2）混合食品有哪几中成分组成，含量各为多少？（3）各成分中的维生素A和维生素B的含量又是多少？四、反思小结，理论升华（1）解决实际问题的常规步骤：实际问题：不等关系→（抽象概括）→数学问题：不等式数学模型：不等式→（刻画）→实际问题：不等关系（2）一个重要数学模型：不等关系．【反馈练习】（只列出不等关系，不求解）（1）a与b的和是非负数；（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”；（3）在一个面积为350m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ大于宽Ｗ的4倍．（4）有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用a、b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）．（5）某种植物适宜生长在温度在18°～20°的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0.55°．现测得山脚下的平均温度为22°，试问该植物种植在山区多高处较为适宜？（6）某市政府准备投资1800万元兴办一所中学,经调查,班级数量以20到30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别为28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量）所满足的条件是什么？五、布置作业1．书面作业：教材P83习题3．1 A组第4、5题B组第3题2．课外思考：b克糖水中有a克糖（b>a>0），若再加入m克（m>0）糖，则糖水更甜了，为什么？你能否用不等式的知识给出合理的解释？。

3.1不等关系与不等式（1）
一、教学目标：
1．知识与技能：
通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．
2．过程与方法：
通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．
3．情感、态度与价值观：
通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．
重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．
难点：利用不等式的性质证明简单的不等式
三、教学模式与教法、学法
教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．
“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.
学法：突出探究、发现与交流．
四、教学过程
其中,0,,R a b a b >∈且. (2)61x +4
2
()x x -+
6421
x x x =--+422(1)(1)x x x =---
24(1)(1)x x =--222(1)(1)x x =-+
当1x =±时, 61x +4
2
()x x =+;
当1x ≠±,61x +4
2
()x x >+.
(3) a b
a b b a a b a a b b -⎛⎫= ⎪
⎝⎭。

教学要求：了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.教学重点：从实际问题中找出不等关系.教学难点：正确理解现实生活中存在的不等关系.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下以前所学的不等关系吗？2、讨论：除了书上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关 系吗？3、用不等式表示，某地规定本地最底生活保障金不底于300元；二、讲授新课：1、教学用不等式表示不等关系① 在现实生活中，存在着许许多多的不等关系，在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.② 举例：例如：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是v ≤40.④ 实数的运算性质与大小顺序之间的关系对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b 是正数;如a<b,那么a-b 是负数;如果a-b 等于0.它们的逆命题也正确.即(1)0;(2)0;(3)0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<2、教学例题：①出示例1：日常生活中，在一杯含有a 克糖的b 克糖水中，再加入m 克糖，则这杯糖水变甜了，请根据这一事实提炼出一道不等式。

（浓度＝溶质溶液） ②出示例2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销量就相应地减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入还不底于20万元呢？（教师示范 → 学生板演 → 小结）3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系.三、巩固练习：１.某电脑拥护计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要至少要买３片和２盒，请将购买软件和磁盘所满足的不等关系用不等式表示出来。